3 b – análise combinatória ii
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Este documento discute dois tipos de permutação: 1) Permutação simples, que é o número de maneiras de ordenar elementos distintos. É dado por Pn = n! 2) Permutação com repetição, que é o número de maneiras de ordenar elementos com repetições. É dado por Pn / (α! β! γ!...), onde α, β, γ são as repetições de cada elemento.
3 b – análise combinatória ii
- 1. 3B – Análise combinatória II Permutação Simples E Permutação com Repetição
- 2. Permutação • Significado: Vamos contar agora, o número de maneiras que podemos ordenar uma certa quantidade de elementos. Ou seja, Permutação é o numero de misturas que podemos fazer. Palavras-chave: Ordenar / Misturar.
- 3. Permutação Simples • É quando não há repetição de nenhum elemento . • Exemplo 1: De quantas maneiras podemos ordenar(misturar) as letras a, b e c ? • Exemplo 2: Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra TRIGO? • Exemplo 3: Quantos resultados possíveis existem numa prova de natação disputada por 8 atletas, desconsiderando empates?
- 4. Permutação Simples • Definição: O número de permutações simples de n objetos distintos é dado por 𝑃𝑛 = 𝑛!
- 5. Permutação com Repetição • Exemplo 1: Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra OSSO ?
- 6. 1º) Vamos analisar o diagrama diferenciando as letras, teremos então: OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS Se considerarmos as letras da palavra OSSO como sendo elementos distintos, teremos 𝑃4 = 4! = 24 ordenações.
- 7. 2º) Vamos analisar o diagrama sem diferenciar as letras, teremos então: OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS Veja que há um grande número de repetições, sobrariam apenas 6 tipos de ordenações distintas.
- 8. OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS Como podemos eliminar essa repetição de elementos na contagem final ?
- 9. 1º) Pensamos no total de permutações (ordenações) diferenciando os elementos. Logo temos 𝑃4 = 4! 2º) Pensamos nas ordenações dos elementos que se repetem. - As duas letras O ordenam-se de 𝑃2 = 2! maneiras. - As duas letras S ordenam-se de 𝑃2 = 2! maneiras. 3º) Para não haver diferenciação, o cálculo pode ser resumido em: 𝑃4 𝑃2. 𝑃2 = 24 2.2 = 6
- 10. • De modo geral, o número de permutações de n elementos, dos quais um deles é repetido ∝ vezes, o outro é repetido β vezes, o outro é repetido γ vezes, ..., é dado por: 𝑃𝑛 α, β, γ,… = 𝑛! α!. β!. γ! …
- 11. Exemplo 2: Qual o número de modos de uma pessoa dirigir-se do ponto P ao ponto Q, podendo apenas andar para o norte ou para o leste ? N S LO