Matemática - Análise Combinatória - Com Exercícios Resolvidos - www.CentroApoio.com
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O documento apresenta os principais conceitos da Análise Combinatória, incluindo o Princípio Fundamental da Contagem, Arranjo Simples, Permutações com e sem repetição, Combinação Simples e exemplos ilustrativos de cada tema.
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- 2. Objetivos da aula Princípio Fundamental da Contagem Arranjo Simples Permutações: simples e com repetição Combinação simples
- 3. Princípio Fundamental da Contagem Vamos imaginar o caso de uma montadora de carros que dispõe de 5 cores (preto, vinho, azul, vermelho e prata) para fabricar 3 modelos de carros diferentes (Sapoti, Figo e Amora). Para saber quantos tipos de carros diferentes podem ser fabricados , basta cruzar cada cor, com cada tipo de carro. Usando o esquema a seguir fica mais fácil!
- 4. Temos 15 diferentes tipos de carro.
- 5. Análise Combinatória Princípio Fundamental da contagem Evento que depende de evento anterior
- 6. Tente fazer sozinho 1) Se jogarmos uma moeda para o alto 3 vezes, quantas sequências diferentes podemos obter?
- 7. Tente fazer sozinho 1) Se jogarmos uma moeda para o alto 3 vezes , quantas sequências diferentes podemos obter ?
- 8. Solução Logo, temos 8 resultados diferentes
- 9. Fatorial de um número natural Representamos o fatorial de um número colocando um ponto de exclamação depois desse número ( n! ) Exemplos: 4! 7! 20!
- 10. Cálculo do Fatorial O fatorial de um número natural n é dado pelo seguinte produto : n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3). ... . 2.1 Exemplos: 4! = 4.3.2.1 = 24 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1= 3628800
- 11. O fatorial de zero é igual a 1 0! = 1
- 12. Tente fazer sozinho 2) Calcule:
- 13. Solucão
- 14. Tente fazer sozinho 3) (UEMG) Simplificando a expressão , obtemos:
- 15. Solução Letra D
- 16. Arranjo Simples O arranjo simples acontece quando fazemos qualquer agrupamento com todos ou alguns elementos de um conjunto , cuja ordem dos elementos é considerada . Exemplo: Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 6. = 60 números 5 4 3
- 17. Sendo: n número total de elementos do conjunto p quantidade de algarismos pedida Também podemos usar a fórmula de arranjo simples:
- 18. Análise Combinatória Princípio Fundamental da contagem Arranjo Simples Definição Fórmula Agrupamento de pelo menos 2 elementos Importa a ordem Evento que depende de evento anterior
- 19. Tente fazer sozinho 4) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos escrever? Quantos números de 4 algarismos distintos que terminem com 7 podemos escrever? Quantos números de 7 algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos escrever?
- 20. Tente fazer sozinho 4) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 . Quantos números de 3 algarismos distintos podemos escrever? Quantos números de 4 algarismos distintos que terminem com 7 podemos escrever? Quantos números de 7 algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos escrever?
- 21. Solução = 504 = 336 c) = 840 7 8 3 9 8 7 8 7 6 1 7 6 5 4 1 1
- 22. Permutação A permutação é um caso particular do arranjo simples , pois acontece quando agrupamos todos os elementos do conjunto dado. Exemplo: dados 1, 2, 3, 4, 5 , se queremos formar números de 3 algarismos , temos um caso de arranjo . Se queremos formar números de 5 algarismos , temos um caso de arranjo , particularmente, a permutação .
- 23. Permutação Simples A permutação simples acontece quando fazemos qualquer agrupamento com todos os elementos de um conjunto . Exemplo : A palavra AMOR apresenta 4 letras e com elas, podemos formar alguns anagramas : ROMA – MORA – ROAM - ARMO
- 24. Permutação Simples Para calcular o número total de anagramas , podemos seguir o seguinte raciocínio: = 24 Também podemos usar a fórmula de permutação simples: P n = n! P 4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 4 3 2 1
- 25. Tente fazer sozinho 5) (UF Pel. – RS Adaptado) Tomando como base a palavra UFPEL, resolva as seguintes questões: Quantos anagramas podemos formar? Quantos anagramas podemos formar, de modo que comece e termine com vogal? Quantos anagramas podemos formar, de modo que as letras UF apareçam sempre juntas?
- 26. Tente fazer sozinho 5) (UF Pel. – RS Adaptado) Tomando como base a palavra UFPEL , resolva as seguintes questões: Quantos anagramas podemos formar ? Quantos anagramas podemos formar , de modo que comece e termine com vogal ? Quantos anagramas podemos formar , de modo que as letras UF apareçam sempre juntas ?
- 27. Solução a) = 120 b) = 12 c) = 6 ; 6 .4 = 24 = 2 ; 2 x 24 = 48 UF 2 1 1 3 2 1 4 3 2 1 5 3 2 1 1 2
- 28. Tente fazer sozinho 6) (UNIRIO) Uma família formada por 3 adultos e 2 crianças vai viajar, sendo 2 na frente e 3 atrás. Sabendo-se que apenas 2 pessoas podem dirigir e que as crianças devem ir atrás e na janela, o número total de maneiras diferentes através das quais estas 5 pessoas podem ser posicionadas, não permitindo as crianças irem no colo de ninguém, é igual a: a) 120 b) 96 c) 48 d) 24 e) 8
- 29. Tente fazer sozinho 6) (UNIRIO) Uma família formada por 3 adultos e 2 crianças vai viajar, sendo 2 na frente e 3 atrás . Sabendo-se que apenas 2 pessoas podem dirigir e que as crianças devem ir atrás e na janela , o número total de maneiras diferentes através das quais estas 5 pessoas podem ser posicionadas , não permitindo as crianças irem no colo de ninguém, é igual a: a) 120 b) 96 c) 48 d) 24 e) 8
- 30. Solução = 8 bancos da frente bancos de trás janelas carona motorista 2 2 2 1 1
- 31. Permutação com Repetição Caso o conjunto dado apresente elementos repetidos, usaremos a seguinte fórmula: Sendo: n o número total de elementos α , β , γ número que indica a quantidades de elementos repetidos de cada tipo .
- 32. Permutação com Repetição Exemplo: A palavra ARARAQUARA apresenta um total de 10 letras , sendo 5A , 3R , 1Q e 1U
- 33. Tente fazer sozinho 7) Apresente a quantidade de anagramas da palavra MISSISSIPI.
- 34. Tente fazer sozinho 7) Apresente a quantidade de anagramas da palavra MISSISSIPI .
- 35. Solução MISSISSIPI: 10 letras , sendo 1M, 4I , 4S , 1P
- 36. Análise Combinatória Princípio Fundamental da contagem Arranjo Simples Definição Fórmula Agrupamento de pelo menos 2 elementos Importa a ordem Caso Particular Permutação Evento que depende de evento anterior
- 37. Arranjo Simples Definição Fórmula Agrupamento de pelo menos 2 elementos Importa a ordem Permutação Definição Tipos Com repetição simples Agrupamento de todos elementos dados P! Caso Particular característica
- 38. Combinação Simples A combinação simples acontece quando agrupamos uma quantidade p de elementos de um conjunto com n elementos , sem importa r a ordem que esses elementos são escolhidos. Exemplo : Se devemos sortear 3 pessoas dentre as 5 que se candidataram a uma viagem, não importa a ordem que as 3 serão escolhidas, pois todas as 3 irão da mesma forma.
- 39. Combinação Simples Para resolver problemas que ocorrem a combinação simples, usaremos a fórmula : Exemplo : Se devemos sortear 3 pessoas dentre 5 .
- 40. Tente fazer sozinho 8) (UERJ)Sete diferentes figuras foram criadas para ilustrar, em grupo de 4 distintas, o Manual do Candidato do Vestibular Estadual de 2007. Um desses grupos está apresentado a seguir: Considere que cada grupo de 4 figuras que poderia ser formado é distinto de outro somente quando pelo menos uma de suas figuras for diferente. Nesse caso, o número total de grupos distintos entre si que poderiam ser formados para ilustrar o Manual do Candidato é igual a:
- 41. Tente fazer sozinho 8) (UERJ) Sete diferentes figuras foram criadas para ilustrar, em grupo de 4 distintas , o Manual do Candidato do Vestibular Estadual de 2007. Um desses grupos está apresentado a seguir: Considere que cada grupo de 4 figuras que poderia ser formado é distinto de outro somente quando pelo menos uma de suas figuras for diferente . Nesse caso, o número total de grupos distintos entre si que poderiam ser formados para ilustrar o Manual do Candidato é igual a:
- 42. Solução
- 43. Tente fazer sozinho 9) (IME-RJ) Com 10 espécies de frutas, quantos copos de salada, contendo 6 espécies diferentes, podem ser feitos?
- 44. Tente fazer sozinho 9) (IME-RJ) Com 10 espécies de frutas , quantos copos de salada , contendo 6 espécies diferentes , podem ser feitos ?
- 45. Solução
- 46. Análise Combinatória Princípio Fundamental da contagem Arranjo Simples Definição Fórmula Combinação Simples Definição Fórmula Agrupamento de pelo menos 2 elementos Importa a ordem Caso Particular Permutação Agrupamento de pelo menos 2 elementos Importa a ordem Evento que depende de evento anterior
- 47. Bibliografia http://www.colegioweb.com.br/matematica/principio-fundamental-da-contagem.html http://matematica-online-clc.blogspot.com/2009/07/analise-combinatoria.html Dante, Luiz Roberto: Matemática Contexto & Aplicações 2 – Ensino Médio, Editora Ática – 3ª edição. Págs: 308 a 325