Ap1
- 1. Apˆendice A Distribui¸c˜ao de Boltzmann da energia A Mecˆanica Estat´ıstica ´e uma ´area da F´ısica que utiliza m´etodos estat´ısticos em uma teoria cin´etica para ´atomos e mol´eculas a fim de explicar pro- priedades macrosc´opicas da mat´eria. Por exemplo, ´e um teorema da Mecˆanica Estat´ıstica que o valor m´edio da energia cin´etica das mol´eculas de um g´as a temperatura T ´e 1 2 kBT (para cada grau de liberdade)1 . Um exemplo vai nos conduzir a um dos mais importantes resultados da f´ısica, conhecido como distribui¸c˜ao de Boltzmann, que relaciona a Termodinˆamica com a Mecˆanica Estat´ıstica: Nos concentremos na distribui¸c˜ao das mol´eculas na nossa atmosfera, descon- sideremos os ventos e suponhamos que ela est´a em equil´ıbrio t´ermico a tem- peratura T. Se N ´e o n´umero total de mol´eculas em um volume V do g´as a press˜ao P, ent˜ao PV = NRT, ou P = nkBT, onde n = N/V ´e o n´umero de mol´eculas por unidade de volume. Como a temperatura ´e constante, a press˜ao ser´a proporcional `a densidade. Vamos agora buscar a varia¸c˜ao de densidade em fun¸c˜ao da altitude na atmosfera. Se tomamos uma unidade de ´area a uma altura h, ent˜ao a for¸ca vertical sobre a ´area ´e a press˜ao P. Como o sistema est´a em equil´ıbrio, as for¸cas sobre as mol´eculas devem ser balanceadas, ou seja, a for¸ca resultante sobre cada uma deve ser nula, ent˜ao se tomamos uma camada de espessura h+dh, a press˜ao exercida na ´area inferior da camada deve exceder a press˜ao sobre a ´area de cima da camada de forma a balancear com o peso (a Fig. 62 ilustra a situa¸c˜ao). 1 T em Kelvin, kB = 1, 38 × 10−23 J/K ´e a constante de Boltzmann. 191
- 2. 192 A Distribui¸c˜ao de Boltzmann da energia h + dh g FIGURA 62 - A press˜ao sobre uma camada h + dh deve ser tal a balancear o peso. mg ´e a for¸ca da gravidade em cada mol´ecula, n dh ´e o n´umero total de mol´eculas na se¸c˜ao de ´area unit´aria. Da´ı temos a equa¸c˜ao diferencial de equil´ıbrio Ph+dh − Ph = dP = −mgn dh . (A.1) Como P = nkBT e T ´e constante, podemos eliminar P e ficar com uma equa¸c˜ao para n dn dh = − mg kBT n . (A.2) A solu¸c˜ao dessa equa¸c˜ao diferencial nos fala como a densidade varia em fun¸c˜ao da altura na nossa atmosfera idealizada n = n0 e−mgh/kBT , n0 ´e a densidade a h = 0 . (A.3) Na Fig. 63 vemos o gr´afico da densidade de part´ıculas em fun¸c˜ao da altura. 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 0 10 20 30 40 50 densidade,n (×1025 atomos/m3 ) altura, h (km) FIGURA 63 - Densidade de ´atomos n em fun¸c˜ao da altura h. Com n0 = 2, 4 × 1025 atomos/m3 , T = 300 K, g = 10 m/s2 , m = 5, 3 × 10−26 Kg, massa do O2. ´E interessante notar que o numerador do expoente da Eq. (A.3) ´e a energia
- 3. 193 potencial de cada ´atomo, ent˜ao a densidade em cada ponto ´e proporcional a e− /kBT , (A.4) onde ´e a energia potencial de cada ´atomo. Vamos supor agora que h´a outras for¸cas agindo nos ´atomos, por exemplo que elas sejam carregadas e estejam sob a influˆencia de um campo el´etrico, ou que haja atra¸c˜ao entre elas. Supondo que haja apenas um tipo de mol´ecula, a for¸ca em uma pequena por¸c˜ao de g´as ser´a a for¸ca sobre uma mol´ecula vezes o n´umero de mol´eculas na por¸c˜ao. Por simplicidade vamos pensar que a for¸ca age na dire¸c˜ao x. Da mesma forma do problema da atmosfera, se tomamos dois planos paralelos no g´as separados por uma distˆancia dx, ent˜ao a for¸ca sobre cada ´atomo vezes a densidade n vezes dx deve ser balanceada pela diferen¸ca de press˜ao, ou seja, Fn dx = dP = kBT dn . (A.5) Lembrando que dW = −F dx ´e o trabalho feito sobre uma mol´ecula ao “lev´a- la” de x at´e x + dx, e que o trabalho realizado ´e igual `a diferen¸ca de energia potencial2 , U, ou seja dU = −Fdx, obtemos da Eq. (A.5) que dn n = − dU kBT , (A.6) que pode ser facilmente integrada e resulta n = n0 e−U/kBT , (A.7) onde U ´e a varia¸c˜ao de energia entre o estado final e o inicial. A ´ultima express˜ao ´e conhecida como Lei de Boltzmann e pode ser traduzida da seguinte forma: a probabilidade de encontrar mol´eculas em uma dada configura¸c˜ao espacial ´e tanto menor quanto maior for a energia dessa con- figura¸c˜ao a uma dada temperatura. Tal probabilidade diminui exponencial- mente com a energia divida por kBT. 2 Com a condi¸c˜ao que F seja deriv´avel de um potencial.
- 4. Apˆendice B Deriva¸c˜ao cl´assica da radia¸c˜ao de corpo negro A radiˆancia de um corpo negro est´a associada diretamente `a energia das on- das eletromagn´eticas na cavidade. Vamos ent˜ao calcular quanta energia por unidade de volume existe dentro da cavidade. O c´alculo envolve contabilizar o n´umero de ondas eletromagn´eticas que podem estar na cavidade, al´em do c´alculo da energia m´edia que elas transportam. Consideremos uma cavidade c´ubica de lado L, por simplicidade, com um dos v´ertices em (0, 0, 0). A equa¸c˜ao de onda obedecida por uma das componentes de uma onda eletromagn´etica no v´acuo ´e ∂2 F ∂x2 + ∂2 F ∂y2 + ∂2 F ∂z2 = 1 c2 ∂2 F ∂t2 . (B.1) F = F(x, y, z, t) representa alguma das componentes dos campos el´etrico ou magn´etico oscilantes e c ´e a velocidade da luz. Uma maneira conveniente de escrever a solu¸c˜ao dessa equa¸c˜ao ´e a seguinte: F(x, y, z, t) = C sen(k1x) sen(k2y) sen(k3z) sen(ωt), (B.2) onde C ´e uma constante arbitr´aria. O campo el´etrico deve se anular nas paredes do cubo, ou seja, em x = y = z = 0 e x = y = z = L. Dessa forma, as constantes k1, k2 e k3 devem obedecer `as rela¸c˜oes k1 = n1π L ; k2 = n2π L ; k3 = n3π L , (B.3) onde n1, n2 e n3 s˜ao inteiros positivos. A freq¨uˆencia angular ω pode ser escrita como ω = 2πc λ , 194
- 5. 195 onde λ ´e o comprimento da onda. Assim, uma solu¸c˜ao de onda que obedece `as condi¸c˜oes de contorno ser´a F(x, y, z, t) = C sen n1πx L sen n2πy L sen n3πz L sen 2πct λ . (B.4) Esta ´e a equa¸c˜ao para uma onda estacion´aria dentro do cubo. Podemos imediatamente deduzir a rela¸c˜ao entre o comprimento de onda e o tamanho da aresta L do cubo, substituindo a equa¸c˜ao acima na equa¸c˜ao de onda. Obtemos n1π L 2 + n2π L 2 + n3π L 2 = 2π λ 2 , ou, n2 1 + n2 2 + n2 3 = 4L2 λ2 . (B.5) Vamos ent˜ao contar o n´umero de ondas estacion´arias na cavidade. Consider- emos um sistema de coordenadas num espa¸co vetorial de 3 dimens˜oes, onde as componentes s˜ao n´umeros inteiros (n1, n2, n3). n1 n3 n2 (n1, n2, n3) O volume de uma esfera nesse espa¸co seria o n´umero total de modos, se os valores de n1, n2 e n3 pudessem ser negativos. Como somente n´umeros positivos s˜ao permitidos, dividiremos o volume da esfera por 8. Al´em disso, devemos levar em conta que existe um grau de liberdade adicional corre- spondente `a orienta¸c˜ao relativa entre os vetores E e B. As duas orienta¸c˜oes poss´ıveis correspondem `as duas polariza¸c˜oes da radia¸c˜ao. E B k B E k
- 6. 196 B Deriva¸c˜ao cl´assica da radia¸c˜ao de corpo negro L n = 1 n = 2 n = 3 FIGURA 64 - Modos de onda estacion´aria dentro da cavidade. Ent˜ao, contabilizando isto tamb´em, vemos que o n´umero de ondas esta- cion´arias no espa¸co n ´e N = 1 8 × 2 × 4 3 π(n2 1 + n2 2 + n2 3)3/2 = π 3 (n2 1 + n2 2 + n2 3)3/2 . (B.6) Podemos escrever N em termos do comprimento de onda, usando a express˜ao (B.5), da seguinte forma: N = 8πL3 3λ3 . (B.7) O n´umero de modos por unidade de comprimento de onda ´e obtido calculando dN/dλ, ou seja, − dN dλ = 8πL3 λ4 ⇒ − 1 L3 dN dλ = 8π λ4 , (B.8) que corresponde ao n´umero de modos da cavidade por unidade de compri- mento de onda e de volume. Para encontrar a energia m´edia de cada onda por unidade de volume e por unidade de comprimento de onda, devemos multiplicar a express˜ao anterior por uma energia m´edia . Sabemos que a energia carregada por uma onda eletromagn´etica ´e independente do comprimento de onda; depende apenas da intensidade (amplitude) da onda. Ap´os essa considera¸c˜ao, podemos escr- ever a express˜ao para a energia (E) por unidade de volume (L3 ), ou seja, a densidade de energia, u, por comprimento de onda, da seguinte forma du dλ = 1 L3 dE dλ = − 1 L3 dN dλ = 8π λ4 . (B.9) Para fazer contato com os dados experimentais, vamos relacionar a energia dentro do volume da cavidade `a potˆencia por unidade de ´area irradiada
- 7. 197 ∆A ∆x FIGURA 65 - Radia¸c˜ao com incidˆencia normal – vis˜ao em perspectiva de uma das paredes da cavidade. ∆A ∆A θ θ FIGURA 66 - Radia¸c˜ao com incidˆencia obl´ıqua – corte transversal. pela superf´ıcie da cavidade. Consideremos, ent˜ao, uma pequena ´area ∆A da cavidade c´ubica (figura 65). Vamos, inicialmente, por simplicidade, supor ainda que toda incidˆencia ´e normal e, depois, generalizamos para qualquer ˆangulo de incidˆencia. Nesse caso, o tempo que a radia¸c˜ao leva para percorrer a cavidade ´e ∆t = ∆x c . (B.10) A quantidade de energia por unidade de comprimento de onda no volume ∆A ∆x est´a relacionada `a radiˆancia1 por unidade de comprimento da onda, ou seja, dE dλ = 2 dR dλ ∆t ∆A = dR dλ 2∆x ∆A c , (B.11) onde o fator 2 leva em conta o fato de que apenas metade da radia¸c˜ao na dire¸c˜ao x incide sobre a ´area ∆A – a outra metade viaja no sentido contr´ario, e incide na parede oposta. Portanto, se toda radia¸c˜ao atingisse a parede a 90◦ , ter´ıamos dR dλ = dE dλ c 2∆x ∆A = du dλ c 2 . (B.12) E se a incidˆencia n˜ao for normal? Na figura 66 vemos que a ´area ∆A , que 1 Recorde que a defini¸c˜ao de radiˆancia ´e potˆencia por unidade de ´area, ou seja, energia por tempo por ´area.
- 8. 198 B Deriva¸c˜ao cl´assica da radia¸c˜ao de corpo negro recebe a mesma quantidade de radia¸c˜ao, ser´a maior do que ∆A por um fator que depende do ˆangulo de incidˆencia, isto ´e, ∆A = ∆A cos θ . (B.13) Neste caso, teremos para a potˆencia irradiada, dR dλ = dE dλ 1 2∆t ∆A , (B.14) onde agora ∆t ´e dado por ∆t = ∆x c cos θ , (B.15) que ´e o tempo necess´ario para se percorrer a distˆancia de uma parede `a outra da cavidade – veja que, como a radia¸c˜ao tem incidˆencia obl´ıqua, o caminho percorrido ser´a ∆x = ∆x/ cos θ. Incluindo esses ingredientes na express˜ao (B.14), e tomando uma m´edia sobre os ˆangulos, vem dR dλ = dE dλ c cos2 θ 2∆x ∆A = dE dλ c1 2 2∆x ∆A = du dλ c 4 = 2πc λ4 . (B.16) Quanto vale , a energia m´edia carregada por cada onda? As ondas car- regam a energia proveniente da emiss˜ao do material, cujas cargas, ao serem aceleradas pela radia¸c˜ao eletromagn´etica, ir˜ao irradiar. Devido `a quase que total independˆencia entre os resultados emp´ıricos e as caracter´ısticas es- pec´ıficas da cavidade, podemos fazer um modelo simples para calcular a energia m´edia . Vamos supor que a mat´eria na cavidade seja composta por osciladores harmˆonicos carregados, e, tratando-se se um sistema relati- vamente simples (oscilador + radia¸c˜ao), podemos relacionar com a tem- peratura, atrav´es dos procedimentos usuais da Mecˆanica Estat´ıstica. Classicamente, uma cole¸c˜ao de osciladores se distribui em energia , `a tem- peratura T, com uma densidade de probabilidade de Boltzmann dada por p( ) = 1 Z e− /kT . (B.17) A constante de normaliza¸c˜ao, Z, conhecida em Mecˆanica Estat´ıstica como fun¸c˜ao parti¸c˜ao, pode ser calculada imediatamente, lembrando-se que a prob- abilidade de se encontrar um oscilador com qualquer energia ´e 1. Isto se traduz da seguinte forma: ∞ 0 p( ) d = 1 Z ∞ 0 e− /kT d = 1
- 9. 199 e portanto, Z = ∞ 0 e− /kT d = kT. (B.18) Ent˜ao, a energia m´edia ´e obtida imediatamente, por = ∞ 0 p( ) d = 1 kT ∞ 0 e− /kT d = kT . (B.19) Finalmente, obtemos a equa¸c˜ao cl´assica para a distribui¸c˜ao da radia¸c˜ao de uma cavidade: dR dλ = 2πc λ4 kT . (F´ormula de Rayleigh-Jeans) (B.20)