Apostila i conjuntos numericos

ETEC PROF CAMARGO ARANHA
APOSTILA I
MATEMÁTICA
CONJUNTOS NUMÉRICOS
RELAÇÕES E FUNÇÕES
ENSINO MÉDIO INTEGRADO
TÉCNICO EM ADMINISTRAÇÃO - 1ª SÉRIE
PROFESSOR RESPONSÁVEL
JOÃO EDISON T. MARTINS
1

Conjuntos
Um conjunto é uma coleção qualquer de elementos.
Exemplo 1
X é o conjunto dos números naturais pares menores que 10
X = { 2, 4, 6, 8 }
Y é o conjunto dos números naturais maiores que 3 e menores
que 7
Y = { 4, 5, 6 }
K é o conjunto dos números naturais compreendidos entre 1 e
10
K= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
Relação de pertinência
Dizemos, por exemplo, que 2 K pois 2 é elemento do
conjunto K.
O quadro a seguir apresenta alguns símbolos utilizados na teoria
dos conjuntos:
: pertence : existe
: não pertence : não existe
: está contido : para todo (ou qualquer que
seja)
: não está contido : conjunto vazio
: contém N: conjunto dos números naturais
: não contém Z : conjunto dos números inteiros
/ : tal que Q: conjunto dos números racionais
: implica que
Q'= I: conjunto dos números
irracionais
: se, e somente se
R: conjunto dos números reais
Operações com conjuntos
Reunião ou união: X U Y
Interseção: X  Y
Diagrama de Venn
Diferença: X - Y
Complementar:
X
KC
No exemplo 1, temos:
X U Y = { 2, 4, 5, 6, 8 }
X  Y = { 4, 6 }
X - Y = { 2, 8 }
X
KC = { 1, 3, 5, 7, 9, 10 }
EXERCÍCIO 1
Sendo A = { 3, 4, 5, 6, 7} e B = {5, 6, 7, 8, 9 ...}, determine:
a) A ∪ B =
b) A B =∩
EXERCÍCIO 2
São dados os conjuntos
A = {x ∈ N / x é impar},
B = {x ∈ Z / – 3 ≤ x < 4} e
C = {x ∈ Ζ / x < 6}.
2

Calcule
a) A =
b) B =
c) C =
d) ( A B )∩ ∪ ( B C ) =∩
e) A C∩ ∪ B =
Subconjuntos
Quando todos os elementos de A pertencem a B, dizemos que A
é subconjunto de B e indicamos por A ⊂ B ou ainda que B ⊃
A
Os símbolos significam:
⊂ está contido
⊃ contém
EXERCÍCIO 3
Dados os conjuntos A = {0;1}, B = {0;2;3} e C = {0;1;2;3},
classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) cada afirmação abaixo:
( ) A ⊂ B
( ) {1} ⊂ A
( ) A ⊂ C
( ) B ⊂ C
( ) B ⊃ C
( ) {0;2}
⊃ B
EXERCÍCIO 4
Se n(A), n(B) e n(A ∩ B) correspondem a 90, 50 e 30 elementos,
respectivamente, calcular:
n(A U B) =
EXERCÍCIO 5
Em uma escola, 100 alunos praticam vôlei, 150 futebol, 20 os
dois esportes e 110 alunos nenhum. Calcular o número total de
alunos dessa escola.
EXERCÍCIO 6
No concurso para o CPCAR foram entrevistados 979 candidatos,
dos quais 527 falam a língua inglesa, 251 a língua francesa e 321
não falam nenhum desses idiomas. Quantos candidatos falam as
línguas inglesa e francesa?
EXERCÍCIO 7
Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de 200
consumidores por três produtos P, Q e R mostrou que, dos
entrevistados, 20 consumiam os três produtos; 30 os produtos P
e Q; 50 os produtos Q e R; 60 os produtos P e R; 120 o produto
P; e 75 o produto Q. Se todas as 200 pessoas entrevistadas
deram preferência a pelo menos um dos produtos, pergunta-se:
a) Quantas consumiam somente o produto R?
b) Quantas consumiam pelo menos dois dos produtos?
c) Quantas consumiam os produtos P e Q, e não R?
EXERCÍCIO 8
Numa prova constituída de dois problemas, 300 alunos
acertaram somente um deles, 260 o segundo, 100 alunos
acertaram os dois e 210 erraram o primeiro, quantos alunos
fizeram a prova?
Sistemas de numeração
Antes mesmo do surgimento dos números, os povos se
utilizavam de símbolos como ferramentas auxiliares em
processos envolvendo contagem. Os vários povos que
constituíram civilizações no decorrer da história buscaram
desenvolver técnicas matemáticas capazes de solucionar
problemas cotidianos. Entre os povos podemos citar os maias,
incas, astecas, sumérios, egípcios, gregos, chineses, romanos,
povos da região mesopotâmica, entre outros.
Nessa evolução surgiram sistemas de numeração, técnicas de
contagem, símbolos numéricos, calendários baseados no sistema
solar, objetos de contagem como o ábaco, posicionamento
numérico além de outras descobertas. Os cálculos matemáticos
e os mistérios da natureza sempre fascinaram o homem, que
3

buscou e ainda busca nos números, desvendar determinadas
situações. O surgimento do sistema de numeração indo-arábico
facilitou o crescimento da Matemática e de outras ciências, pois
a base decimal facilitou os cálculos numéricos.
Nos séculos seguintes, a introdução do sistema de base decimal
na Europa pelos árabes e os grandes gênios da Matemática
despertaram suas habilidades intelectuais para o
desenvolvimento de novas técnicas. O surgimento de
importantes relações caracterizadas por números constantes
como o π (pi) constituíram importantes passos para a ciência dos
números. Os mistérios da natureza começavam a ser
desvendados e explicados com a ajuda dos mesmos.
Os números constituem o alicerce da Matemática, pois sem
estes, ela não teria evoluído como evoluiu. Até hoje, os números
intrigam as pessoas ligadas à área de exatas através de situações
que conduzem a resultados fascinantes. A criatividade e a
habilidade em manobrar os números, levam a um mundo cheio
de mistérios e segredos. Observe as seguintes situações:
1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 987 65
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321
1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111
9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888
1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321
A disposição dos números envolvendo as operações da adição e
da multiplicação resultaram em sequências numéricas com certo
grau de curiosidade, e como diria Pitágoras, um célebre
matemático grego: “Os números governam o mundo.”
O sistema decimal é muito usado no cotidiano, pois nos oferece
uma forma mais simples de manipular os números em
determinadas situações matemáticas. É composto por dez
dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Conjuntos numéricos
Para desenvolver a matemática hoje estudada, inúmeras
mudanças na organização de todos os conceitos matemáticos
foram necessárias. A concepção dos conjuntos numéricos
recebeu maior rigor em sua construção com Georg Cantor, que
pesquisou a respeito do número infinito. Cantor iniciou diversos
estudos sobre os conjuntos numéricos, constituindo, assim, a
teoria dos conjuntos. Os conjuntos numéricos são
compreendidos como os conjuntos dos números que possuem
características semelhantes. Temos então os seguintes conjuntos
numéricos:
Conjunto dos números Naturais ( );
Conjunto dos números Inteiros ( );
4

Conjunto dos números Racionais ( );
Conjunto dos números Irracionais ( );
Conjunto dos números Reais ( );
Conjunto dos números Complexos ( );
Formação dos números naturais
Números primos são números divisíveis apenas por si próprios e
pela unidade: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, .....
Números compostos são formados por fatores primos. Por
exemplo, o número 6 é compostos pelos fatores primos 2 e 3,
pois 2 x 3 = 6
Mínimo múltiplo comum (MMC) entre números
Exemplo: 12 e 28
Os números são decompostos em fatores primos ao mesmo
tempo, isto é, divididos pelo mesmo número primo. O quociente
da divisão é colocado abaixo do dividendo. Esse processo deve
ocorrer até a simplificação total do dividendo, ou seja, resultar 1:
MMC (12, 28) = 2 × 2 × 3 × 7 = 84
Máximo divisor comum (MDC) entre números
Exemplo: 75 e 125
75 = 3 x 5 x 5
125 = 5 x 5 x 5
Observe que a multiplicação dos fatores primos coincidentes nas
duas fatorações, formam o maior divisor comum, então:
MDC (75, 125) = 5 x 5 = 25
Método prático
50 25 0
125 75 50 25
1 1 2
Dividir o número maior pelo menor, repetindo o resto ao lado do
menor. Prosseguir dividindo pelo resto até resultar uma divisão
exata.
Aplicações do MMC e MDC
Exemplo 1
Uma indústria de tecidos fabrica retalhos de mesmo
comprimento. Após efetuar os cortes necessários, verificou-se
que duas peças restantes tinham as seguintes medidas: 156
centímetros e 234 centímetros. O gerente de produção ao ser
informado das medidas determinou que o funcionário cortasse o
pano em partes iguais e de maior comprimento possível. Como
ele poderá resolver essa situação?
O MDC entre 156 e 254 corresponderá à medida do
comprimento desejado:
MDC (156, 234) = 2 x 3 x 13 = 78
Ou, pela regra prática:
78 2
234 156 78
1 0
Portanto, os retalhos podem ter 78 cm de comprimento.
Exemplo 2
5

Uma empresa de logística é composta de três áreas:
administrativa, operacional e vendas. A área administrativa é
composta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de vendas
com 36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma
integração entre as três áreas, de modo que todos os
funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o
mesmo número de funcionários com o maior número possível.
Determine quantos funcionários devem participar de cada
equipe e o número possível de equipes.
MDC (48, 36, 30) = 6
12 0 6 0
48 36 12 30 12 6
1 3 2 2
48 + 36 + 30 = 114 (total de funcionários)
114 : 6 = 19 equipes
O número de equipes será igual a 19, com 6 participantes cada
uma.
Exemplo 3
(PUC–SP) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é
feita na máquina A a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e
na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a
manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas
receberão manutenção no mesmo dia?
MMC (3, 4, 6) = 12
Concluímos que após 12 dias, a manutenção será feita nas três
máquinas. Portanto, dia 14 de dezembro.
Exemplo 4
Um médico, ao prescrever uma receita, determina que três
medicamentos sejam ingeridos pelo paciente de acordo com a
seguinte escala de horários: remédio A, de 2 em 2 horas,
remédio B, de 3 em 3 horas e remédio C, de 6 em 6 horas. Caso o
paciente utilize os três remédios às 8 horas da manhã, qual será
o próximo horário de ingestão dos mesmos simultaneamente?
MMC (2, 3, 6) = 6
De 6 em 6 horas os três remédios serão ingeridos juntos.
Portanto, o próximo horário será às 14 horas.
Exercício 9
Uma indústria de tecidos fabrica retalhos de mesmo
comprimento. Após efetuar os cortes necessários, verificou-se
que duas peças restantes tinham as seguintes medidas: 640
centímetros e 560 centímetros. O gerente de produção ao ser
informado das medidas determinou que o funcionário cortasse o
pano em partes iguais e de maior comprimento possível. Como
ele poderá resolver essa situação?
Exercício 10
Uma empresa de logística é composta de três áreas:
administrativa, operacional e vendas. A área administrativa é
composta de 64 funcionários, a operacional de 56 e a de vendas
com 32 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma
integração entre as três áreas, de modo que todos os
funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o
mesmo número de funcionários com o maior número possível.
Determine quantos funcionários devem participar de cada
equipe e o número possível de equipes.
Exercício 11
Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na
máquina A a cada 6 dias, na máquina B, a cada 10 dias, e na
máquina C, a cada 14 dias. Se, nesta data foi feita a manutenção
nas três máquinas, após quantos dias as máquinas receberão
novamente manutenção no mesmo dia?
Exercício 12
Um médico, ao prescrever uma receita, determina que três
medicamentos sejam ingeridos pelo paciente de acordo com a
seguinte escala de horários: remédio A, de 3 em 3 horas,
remédio B, de 4 em 4 horas e remédio C, de 8 em 8 horas. Caso o
paciente utilize os três remédios às 8 horas da manhã, qual será
o próximo horário de ingestão dos mesmos simultaneamente?
Cálculo numérico
Podemos dividir a Matemática em duas partes, o cálculo
numérico e o cálculo algébrico.
O cálculo numérico envolve as operações da adição, subtração,
multiplicação, divisão, potenciação e radiciação, envolvendo os
números reais e os complexos.
6

O calculo algébrico está diretamente ligado às expressões
algébricas, envolvendo equações, inequações e sistemas de
equações.
Exemplo 1
{35 – [20 – (5 + 3²) : 2] + 40}
{35 – [20 – (5 + 9) : 2] + 40} =
{35 – [20 – 14 : 2] + 40} =
{35 – [20 – 7] + 40} =
{35 – 13 +40} = 62
Exemplo 2
* indica a operação multiplicação no Excel
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Exercício 13
Calcular:
a) =+
7
1
9
2
b) =
16
27
*
9
8
c) =
7
1
:
9
2
d) =−
16
27
9
8
Transformação de dízimas periódicas simples em frações
geratrizes
Um método prático para se obter a fração geratriz no caso de
dízimas periódicas simples, consiste em utilizarmos o período
como numerador e como denominador um número formado por
tantos dígitos 9, quantos forem os dígitos do período. Vejamos:
9
1
...111,0 =
99
25
...2525,0 =
7

99
1
...010101,0 =
333
41
999
123
...123123123,0 ==
Caso a dízima possua uma parte inteira, basta destacar e
calcular a parte decimal:
999
568
99
73
5...737373,5 ==
Caso a dízima periódica seja composta, ou seja, existir uma parte
não periódica, devemos transformar da seguinte forma:
 o mumerador da fração é obtido pela parte não
periódica seguida do período e subtrair a parte não
periódica;
 o denominador da fração deverá ter tantos 9 quantos
forem os algarismos do período seguido de tantos
zeros quantos forem os algarismos da parte não
periódica.
30
7
90
21
90
223
...2333,0 ==
−
=
900
407
900
45452
...45222,0 =
−
=
99000
87943
99000
88888831
...888313131,0 =
−
=
Exercício 14
Transformar os números decimais em frações irredutíveis:
a) 1,666666... b) 1,6 c) 1,625
d) 1,6777... e) 2,66454545...
Número quadrado perfeito
Todo número quadrado perfeito tem raiz quadrada exata.
Por exemplo: 12144 =
123.43.23.21443.2144 22424
−===→=
44.1
= 12
- 1
= 044 = 22 x 2 = 44
- 44
= 0
Exercício 15
Calcular a raiz quadrada de:
729
29.7
= 27
- 4
= 329 = 47 x 7 = 329
- 329
= 0
276 676
76.66.27
= 526
- 25 = 102 x 2 = 204
= 266
- 204
= 6276 = 1046 x 6 = 6276
- 6276
= 0
Exercício 16
Sabe-se que a área de um terreno quadrado é 1764 m2. Calcular
o seu perímetro.
Números irracionais
Os números irracionais são aqueles que não podem ser
representados por meio de uma fração. O surgimento desses
números veio de um antigo problema que Pitágoras se recusava
a aceitar, que era o cálculo da diagonal de um quadrado, cujo
lado mede 1 unidade, diagonal esta que mede √2. Este número
deu início ao estudo de um novo conjunto, representado pelos
números irracionais:
8

.
2 = 1,414
- 1 = 24 x 4 = 96
= 100
- 96
= 400 = 281 x 1 = 281
- 281
= 11900 = 2824 x 4 = 11296
- 11296
= 604
O número pi
Para calcular o comprimento de uma circunferência verificou-se
que um número se repetia para qualquer que fosse o seu raio,
número que foi denominado π. Esse número é encontrado
através da razão do comprimento pelo diâmetro da
circunferência.
onde C é o comprimento da circunferência, d o seu diâmetro e r
o raio.
A constante π é de fundamental importância para a área de
geometria e trigonometria. Veremos alguns exemplos de
números irracionais e notaremos que a sua parte decimal não
possui nenhuma estrutura que possa ser fundamentada em
forma de fração, assim como ocorre em frações periódicas.
Com isso, podemos falar que números irracionais são aqueles
que em sua forma decimal são números decimais infinitos e não
periódicos. Em outras palavras, são aqueles números que
possuem infinitas casas decimais e em nenhuma delas
obteremos um período de repetição.
Exercício 17
Calcular a raiz quadrada de 5 até a terceira casa decimal.
Intervalos reais
Pode-se representar o conjunto dos números reais associando
cada número x ∈ R a um ponto de uma reta r. assim se
convencionarmos uma origem O, associando a ela o zero,
adotamos uma unidade e um sentido positivo para esta reta,
teremos aquela que denominamos reta orientada.
Seja a e b números reais com a < b. os subconjuntos de R a seguir
são chamados intervalos.
Intervalos limitados
Intervalo fechado: números reais maiores ou iguais a a e
menores ou iguais a b.
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
Intervalo aberto: números reais maiores do que a e menores do
que b.
]a, b[ = {x ∈ R | a < x < b}
Intervalo fechado à esquerda: números reais maiores ou iguais a
a e menores do que b.
[a, b[ = {x ∈ R | a ≤ x < b}
9

Intervalo fechado à direita: números reais maiores do que a e
]a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}
Intervalos ilimitados
Semi reta esquerda, fechada, de origem b: números reais
]-∞ ,b] = {x ∈ R | x ≤ b}
Semi reta esquerda, aberta, de origem b: números reais
menores que b.
]-∞ ,b[ = {x ∈ R | x
Semi reta direita, fechada, de origem a: números reais maiores
ou iguais a a.
[a,+∞ [ = {x ∈ R | x ≥ a}
Semi reta direita, aberta, de origem a: números reais maiores
que a.
]a, +∞ [ = {x ∈ R | x>a}
Reta numérica: números reais.
] ∞- ,+∞ [ = R
EXERCÍCIO 18
Represente os conjuntos abaixo sob a forma de intervalo:
A =
B =
C =
D =
E =
Determinar:
a) A U B
b) B D∩
c) E - (B U C)
d) C D∩
Produtos notáveis
Os produtos notáveis obedecem a leis especiais de formação e,
por isso, não são efetuados pelas regras normais da
multiplicação de polinômios. Apresentam-se em grande número
e dão origem a um conjunto de identidades de grande
aplicação.
Considere a e b, expressões em R, representando polinômios
quaisquer, apresentamos a seguir os produtos notáveis.
Quadrado da soma de dois termos
Quadrado da diferença de dois termos
Produto da soma pela diferença de dois termos
10

Cubo da soma de dois termos
Cubo da diferença de dois termos
Fatoração
Fatorar uma expressão algébrica é modificar sua forma de soma
algébrica para produto; fatorar uma expressão é obter outra
expressão que seja equivalente à expressão dada;
na forma de produto.
Na maioria dos casos, o resultado de uma fatoração é um
produto notável. Há diversas técnicas de fatoração que
estudaremos em seguida, supondo a, b, x e y expressões não
fatoráveis.
Fator Comum
Devemos reconhecer o fator comum, seja ele numérico, literal
ou misto; em seguida colocamos em evidência esse fator
comum, simplificamos a expressão deixando em parênteses a
soma algébrica. Observe os exemplos abaixo.
Agrupamento
Devemos dispor os termos do polinômio de modo que formem
dois ou mais grupos entre os quais haja um fator comum, em
seguida, colocar o fator comum em evidência.
Observe:
Diferença de Quadrados
Utilizamos a fatoração pelo método de diferença de quadrados
sempre que dispusermos da diferença entre dois monômios
cujas literais tenham expoentes pares. A fatoração algébrica de
tais expressões é obtida com os seguintes passos:
1º) Extraímos as raízes quadradas dos fatores numéricos de
cada monômio; 2º) Dividimos por dois os expoentes das literais;
3º) Escrevemos a expressão como produto da soma pela
diferença dos novos monômios assim obtidos.
Por exemplo, a expressão a2
– b2
seria fatorada da seguinte
forma
Trinômio Quadrado Perfeito
Uma expressão algébrica pode ser identificada como trinômio
quadrado perfeito sempre que resultar do quadrado da soma
ou diferença entre dois monômios.
Por exemplo, o trinômio x4
+ 4 x2
+ 4 é quadrado perfeito, uma
vez que corresponde a (x2
+ 2)2
. São, portanto, trinômios
quadrados perfeitos todas as expressões da forma a2
± 2ab + b2
,
fatoráveis nas formas seguintes:
Trinômio Quadrado da Forma ax2
+ bx + c
Supondo sejam x1 e x2 as raízes reais do
trinômio, , dizemos que:
Lembre-se de que as raízes de uma equação de segundo grau
podem ser calculadas através da fórmula de Bhaskara:
Soma de diferença de cubos
Se efetuarmos o produto do binômio (a + b) pelo trinômio a2
–
ab + b2
, obtemos o seguinte desenvolvimento:
11

O que acabamos de desenvolver foram produtos notáveis que
nos permitem concluir que, para fatorarmos uma soma ou
diferença de cubos, basta-nos inverter o processo
anteriormente demonstrado.
Assim, dizemos que:
Equações
Consideremos as três igualdades abaixo:
1ª) 2 + 3 = 5
2ª) 2 + 1 = 5
3ª) 2 + x = 5
Dizemos que as duas primeiras igualdades são sentenças
matemáticas fechadas, pois são definitivamente falsas ou
definitivamente verdadeiras. No caso, a primeira é sempre
verdadeira e a segunda é sempre falsa.
Dizemos que a terceira igualdade é uma sentença matemática
aberta, pois pode ser verdadeira ou falsa, dependendo do valor
atribuído à letra x.
No caso, é verdadeira quando atribuímos a x o valor 3 e falsa
quando o valor atribuído a x é diferente de 3.
Sentenças matemáticas desse tipo são chamadas de equações;
a letra x é a variável da equação, o número 3 é a raiz ou solução
da equação e o conjunto S = {3} é o conjunto solução da
equação, também chamado de conjunto verdade.
Exemplos:
1º) 2x + 1 = 7
3 é a única raiz, então S = {3}
2º) 3x – 5 = –2
1 é a única raiz, então S = {1}
Resolução de uma equação
Resolver uma equação é determinar todas as raízes da equação
que pertencem a um conjunto previamente estabelecido,
chamado conjunto universo.
Exemplo 1
Resolver a equação:
x2
= 4 em R
As raízes reais da equação são –2 e +2, assim:
Exemplo 2
Resolver a equação:
x2
= 4 em N
A única raiz natural da equação é 2, assim:
Na resolução das equações, podemos nos valer de algumas
operações e transformá-las em equações equivalentes, isto é,
que apresentam o mesmo conjunto solução, no mesmo
universo. Vejamos algumas destas propriedades:
P1) Quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número aos
dois membros de uma igualdade, esta permanece verdadeira.
Observemos a equação:
x + 2 = 3
Subtraindo 2 nos dois membros da igualdade, temos:
x + 2 = 3 x + 2 -2 = 3 - 2
Assim:
x + 2 = 3 x = 1
P2) Quando multiplicamos ou dividimos os dois membros de
uma igualdade por um número diferente de zero, a igualdade
permanece verdadeira.
Observemos a equação:
–2x = 6
Dividindo por –2 os dois membros da igualdade, temos:
Assim:
-2x = 6 x = -3
Equação do 1º grau
Chamamos de equação do 1º grau as equações do tipo:
12

onde a e b são números conhecidos com a 0.
Exemplo:
3x – 5 = 0 (a = 3 e b = –5)
Para resolvermos uma equação do 1º grau, devemos isolar a
incógnita em um dos membros da igualdade, usando as
propriedades P1 e P2 do item anterior.
Exemplo:
3x – 5 = 0
3x - 5 + 5 = 0 + 5
3x = 5
3x = 5
De modo abreviado, fazemos:
3x - 5 = 0
3x = 5
Assim:
Podemos estabelecer uma fórmula para resolver em R a
equação:
Assim:
ax + b = 0
ax = -b
Exemplo:
Resolver em R a equação:
2x + 5 = 0
Exercícios Resolvidos
Resolver as equações:
a) 3x – 5 = 2x + 6
3x – 2x = 6 + 5
x = 11
S = {11}
b) 2 (x + 3) + 3 (x – 1) = 7 (x + 2)
2x + 6 + 3x – 3 = 7x + 14
2x + 3x – 7x = 14 + 3 – 6
–2x = 11
Equações fracionárias
Algumas equações são apresentadas com frações em seu
desenvolvimento. Dessa forma, requerem algumas técnicas
fundamentais para a resolução. No caso das frações, devemos
reduzir os denominadores ao mesmo valor, aplicando o cálculo
do mínimo múltiplo comum (mmc). Depois de calculado,
devemos dividir o novo denominador pelo anterior e multiplicar
o resultado pelo numerador correspondente.
Exemplo 1
Exemplo 2
Sempre que resolver uma equação desse modelo, fique atento
aos sinais existentes e ao jogo de sinal em algumas
multiplicações. Ao trocar um elemento de membro, não se
esqueça de inverter o sinal. Veja mais exemplos resolvidos
detalhadamente:
Exemplo 3
13

Exemplo 4
Equações algébricas fracionárias
Toda equação fracionária algébrica possui no seu denominador uma
incógnita. Devemos sempre observar as restrições, pois não podemos ter
divisões por zero.
A equação abaixo é um exemplo de equação algébrica fracionária que
possui restrições:
Resolução de uma Equação Algébrica Fracionária
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
A densidade de um corpo de massa igual a 600 g e volume x cm³ e
diminuída de 50g/cm³ é igual a 100g/cm³. Qual é o volume desse corpo?
Equação de 2º grau
Chamamos de equação do 2º grau as equações do tipo:
onde a, b e c são números conhecidos com a 0.
Exemplos:
1º) 2x2
– 3x + 5 = 0 (a = 2, b = –3 e c = 5)
2º) 5x2
+ 7x = 0 (a = 5, b = 7 e c = 0)
3º) 4x2
– 11 = 0 (a = 4, b = 0 e c = –11)
Resolução da equação do 2º grau
Exemplos:
1º) Resolver em R a equação:
x2
-16=0
Notemos que nesta equação do 2º grau o coeficiente b é igual a
zero por isto ela é chamada de equação do 2º grau incompleta.
Vamos acompanhar a sua resolução:
x2
-16=0 x2
=16
x2
-16=0 x = –4 ou x = +4
Assim:
14

x2
+ 11x = 0
Notemos que nesta equação do 2º grau o coeficiente c é igual a
zero e por isto ela é chamada, também, de equação do 2º grau
incompleta. Vamos acompanhar a sua resolução:
x2
+ 11x = 0 x(x + 11) = 0
x2
+ 11x = 0 x = 0 ou x + 11 = 0
x2
+ 11x = 0 x = 0 ou x = –11
Assim:
x2
+ 4x + 4 = 16
Observemos que x2 + 4x + 4 é, na sua forma fatorada, é igual a
(x + 2)2
, então:
x2
+ 4x + 4 = 16 passa a ser (x + 2)2
= 16
Assim:
x2
+ 4x + 4 = 16 (x + 2)2
= 16
x2
+ 4x + 4 = 16 x + 2 = –4 ou x + 2 = 4
x2
+ 4x + 4 = 16 x = –6 ou x = 2
Assim:
x2
– 6x + 5 = 0
Observemos que x2
– 6x + 5 não é um quadrado perfeito, donde
se conclui que o procedimento utilizado no exemplo anterior
não poderá repetido. Não poderá ser repetido a menos que
façamos algumas modificações na equação, como veremos a
seguir:
x2
é “o quadrado do primeiro”, 6x é “duas vezes o primeiro (que
é x) pelo segundo”, logo, o segundo só poderá ser o número 3
e, assim, “o quadrado do segundo será igual a 9”. Como o
quadrado perfeito só aparecerá se tivermosx2 – 6x + 9,
acrescentaremos aos dois membros da igualdade o número 9.
Assim:
x2
– 6x + 5 = 0 x2
– 6x + 5 + 9 = 9
x2
– 6x + 5 = 0 x2
– 6x + 9 = 4
x2
– 6x + 5 = 0 (x – 3)2
= 4
x2
– 6x + 5 = 0 x – 3 = –2 ou x – 3 = 2
x2
– 6x + 5 = 0 x = 1 ou x = 5
Assim:
Fórmula de Bhaskara
Vamos resolver a equação: ax2
+ bx + c = 0, que é a forma geral
da equação do 2º grau.
Inicialmente multiplicamos os dois membros da igualdade por a.
Teremos:
a2
x2
+ abx + ac = 0
Notemos que a expressão:
é um quadrado perfeito e, assim podemos acrescentar aos dois
membros da igualdade a expressão:
.
Logo:
Chamando b2
– 4ac de discriminante da equação do 2º grau,
que será representado pela letra grega (delta), teremos:
Dessa forma, resolvemos a equação do 2º grau com os
coeficientes literais a, b e c o que nos permite estabelecer uma
fórmula já nossa conhecida, chamada “fórmula de Bhaskara” a
qual resolverá qualquer equação do 2º grau, bastando substituir
os coeficientes pelos números na equação a resolver.
Exemplo
Resolver em R a equação
5x2
– 12x + 4 = 0
temos, a = 5, b = –12 e c = 4
substituindo na fórmula de Bhaskara:
15

Observação: Se a equação não estiver na forma ax2
+ bx + c = 0
deve ser preparada através das operações conhecidas tais como
eliminação de denominadores, retirada de parênteses, dentre
outras.
Discussão das soluções da equação de 2º grau
Quando resolvemos uma equação do 2º grau, já colocada na
sua forma normal é importante observar que três casos podem
surgir em relação ao cálculo do discriminante. Observe:
1º caso: > 0 A equação terá duas raízes reais e distintas.
Exemplo
Resolver em R:
2º caso: = 0 A equação terá duas raízes reais e iguais.
Exemplo
Resolver em R:
3º caso: < 0 A equação não terá raízes reais.
Exemplo
Equações biquadradas
Equações biquadradas é uma equação escrita da seguinte forma
geral: ax4
+ bx2 + c = 0. Para resolver (encontrarmos as sua
raízes) é preciso transformá-las em uma equação do segundo
grau.
Para melhor compreensão veja no exemplo abaixo como essa
transformação acontece e como chegamos às raízes da equação
biquadrada.
y4
– 10y2
+ 9 = 0 → equação biquadrada
(y2
)2
– 10y2
+ 9 = 0 → também pode ser escrita assim.
Substituindo variáveis: y2
= x, isso significa que onde for y2
iremos
colocar x.
x2
– 10x + 9 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau
encontrando x` e x``
16

a = 1 b = -10 c = 9
∆ = b2
– 4ac
∆ = (-10)2
– 4 . 1 . 9
∆ = 100 – 36
∆ = 64
x = - b ± √∆
2a
x = -(-10) ± √64
2 . 1
x = 10 ± 8
2
x’ = 9
x” = 1
Essas são as raízes da equação x2
– 10x + 9 = 0, para
encontrarmos as raízes da equação biquadrada y4
– 10y2 + 9 = 0
devemos substituir os valores de x’ e x” emy2
= x.
Para x = 9
y2
= x
y2
= 9
y = √9
y = ± 3
Para x = 1
y2
= x
y2
= 1
y = √1
y = ±1
Portanto, a solução da equação biquadrada será:
S = {-3, -1, 1, 3}.
Relações e funções
Relações
Relação entre os conjuntos A e B é um conjunto de pares
ordenados (x,y) em que x ∈ A e y ∈ B, mediante uma lei de
formação.
Exemplo:
Uma pessoa recebe R$3,00 por objeto que fabrica. Ela consegue
produzir de 5 a 10 objetos por dia. O seu salário diário s está
determinado pelo número n de objetos produzidos.
Ao conjunto A de pares ordenados de números reais chama-se
de relação. As possibilidades de produção diária variam de 5 a
10 objetos, podendo ser obtidos os seguintes pares ordenados:
A = { (5,15), (6,18), (7,21), (8,24), (9,27), (10,30) }
O conjunto dos primeiros números dos pares ordenados de uma
relação é chamado de Domínio da relação.
Indica-se por: D (A) = {5, 6, 7, 8, 9, 10}.
O conjunto dos segundos números dos pares ordenados da
relação é chamado de Imagem da relação.
Indica-se por Im (A) = {15, 18, 21, 24, 27, 30}.
O conjunto Imagem é subconjunto do Contradomínio (CD), que
corresponde ao conjunto onde está definido o problema. No
caso, esse conjunto corresponde ao Conjunto dos Números
Naturais.
Nesse exemplo, para cada elemento da relação, o segundo
número do par ordenado, chamado de ordenada, é triplo do
primeiro número, chamado de abscissa.
Descrevemos a relação mediante uma sentença aberta, chamada
lei de formação:
y = 3 . x
17

Funções
Uma relação estabelecida entre dois conjuntos A e B, onde
exista uma associação onde para todo elemento de A existe um
único elemento de B por medio de uma lei de formação. é
denominada função.
As funções possuem um conjunto denominado domínio (D) e
outro chamado de imagem (Im) da função.
No plano cartesiano o domínio da função é representado no eixo
x, enquanto o eixo y são representados os valores y, que
constituem a imagem da função:
Exemplo 1
Preço f(x) a ser pago em função da quantidade de litros (x) de
combustível abastecidos por um veículo.
Considerando o preço da gasolina de R$ 2,50 o litro, temos a
seguinte lei de formação:
f(x) = 2,50 . x,
Exemplo 2
Numa viagem, um automóvel mantém uma velocidade constante
de 60 km/h. Com o passar do tempo, esse veículo irá percorrer
uma determinada distância.
A equação que determina a distância E(x) percorrida pelo veículo
relacionando a velocidade média (V) e o tempo (x) do
movimento é dada por:
E(x) = V . x
Observe que se o veículo desenvolveu essa velocidade média por
3 horas consecutivas, percorreu 180 km:
x (h) V E(x) = V . x
3 60 km/h E(3) = 60 . 3 = 180 km
Exemplo 3
Uma indústria de brinquedos possui um custo mensal de
produção equivalente a R$ 5.000,00 mais R$ 3,00 reais por
brinquedo produzido.
A lei de formação será formada por uma parte fixa e outra
variável. Observe:
C (x)= 5000 + 3 . x
onde C(x) é o custo da produção e x o número de brinquedos
produzidos. Como serão produzidos 2.000 brinquedos temos:
C = 5000 + 3 . 2 000
C = 5000 + 6 000
C = R$ 11 000,00
O custo na produção de 2 000 brinquedos será de R$ 11 000,00.
Lei de formação de uma função
Toda função de A em B é definida por uma lei de formação,
relacionando elementos desses conjuntos.
Exemplo 1
y = 2x ou f(x) = 2x
Nesse caso temos que y corresponde ao dobro de x.
Veja a relação entre alguns dos valores de x e y:
f : R → R tal que f(x) = 2x
18

Exemplo 2
A função que representa o quadrado de um número é dada
através da função
f(x) = x² ou y = x²
f : R → R tal que f(x) = x²
Exemplo 3
A função a seguir representa o sucessor do dobro de um número
e é dada pela seguinte expressão:
Y = 2x + 1 ou f(x) = 2x + 1
Exemplo 4
A função f(x) = x² + x é uma função do 2º grau.
Exemplo 5
f(x) = x³
Exemplo 6
Observe os gráficos a seguir, que mostram a variação
aproximada da velocidade de um atleta que corre cerca de 10m
em 10s:
Gráfico I
19

No entanto, o gráfico II não poderia representar o movimento
de um atleta, pois no instante t = 4 ele teria diferentes
velocidades ao mesmo tempo:
Gráfico II
Esses dois gráficos representam relações entre velocidade e
tempo, mas apenas o Gráfico I representa uma função.
Propriedades das funções
Função sobrejetora
Uma função é sobrejetora se o conjunto imagem for igual ao
conjunto do contradomínio, ou seja, todos os elementos do
contradomínio participam da relação.
Função injetora
Uma função é injetora se os elementos do conjunto do domínio
estiverem ligados a imagens distintas.
Função bijerora
Uma função é bijetora se for sobrejetora e injetora.
Observe o diagrama abaixo que representa uma função f(x) = x²
D(f) = {-3,1,2,3}
Im(f) = {1,4,9}
CD(f) = {1,4,5,9}
Essa função não é sobrejetora; nem injetora.
Função composta
A função composta pode ser entendida pela determinação de
uma terceira função C, formada pela junção das funções A e B.
Dizemos função g composta com a função f, representada por
g o f.
Exemplo 1
Ao considerarmos as funções f(x) = 4x e g(x) = x² + 5,
determinaremos:
a) g o f
(g o f)(x) = g(f(x))
g(x) = x² + 5
g(4x) = (4x)² + 5
g(4x) = 16x² + 5
(g o f)(x) = g(f(x)) = 16x² + 5
b) f o g
(f o g)(x) = f(g(x))
f(x) = 4x
f(x² + 5) = 4 * (x² + 5)
f(x² + 5) = 4x² + 20
20

(f o g)(x) = f(g(x)) = 4x² + 20
Exemplo 2
Vamos determinar a) g(f(x)) e b) f(g(x)), em relação às funções
f(x) = x + 2 e g(x) = 4x² – 1.
a) (g o f)(x) = g(f(x))
g(x) = 4x² – 1
g(x + 2) = 4 * (x + 2)² – 1
g(x + 2) = 4 * (x + 2) * (x + 2) – 1
g(x + 2) = 4 * (x² + 2x + 2x + 4) – 1
g(x + 2) = 4 * (x² + 4x + 4) – 1
g(x + 2) = 4x² + 16x + 16 – 1
g(x + 2) = 4x² + 16x + 15
b) (g o f)(x) = g(f(x)) = 4x² + 16x + 15
(f o g)(x) = f(g(x))
f(x) = x + 2
f(4x² – 1) = (4x² – 1) + 2
f(4x² – 1) = 4x² – 1 + 2
f(4x² – 1) = 4x² + 1
(f o g)(x) = f(g(x)) = 4x² + 1
Função inversa
Dados os conjuntos A = {-2,-1,0,1,2} e B = {-5,-3,-1,1,3} e a função
A→B definida pela fórmula
y = 2x – 1
Então: f = { (-2,-5); (-1,-3); (0,-1) ; (1,1) ; (2,3)}
A função inversa será indicada por f -1
: B→A definida pela
fórmula
2
1+
=
x
y
Então: f-1
= {(-5,-2); (-3,-1) ; (-1,0); (1,1) ; (3,2)}
O que é domínio na função f vira imagem na f -1
e vice-versa.
Para obter a inversa, devemos isolar a variável x
y = 3x – 5
y + 5 = 3x
3
5+
=
y
x
e substituir x por y e y por x
21

3
5+
=
x
y
Exemplo 1
Dada a função f(x) = x² a sua inversa será:
Isolando x:
y = x²
yx =
Invertendo x por y e y por x:
xy =
Exemplo 2
Dada a função
a sua inversa será:
Isolando y:
x (3y – 5) = 2y +3
3xy – 5x = 2y + 3
3xy – 2y = 3 + 5x
y (3x – 2) = 3 + 5x
Representação gráfica das funções no plano cartesiano
22

Parte do texto (com adaptações) foi extraído de
http://www.brasilescola.com/matematica/
24

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