Apostila probabilidade2011.doc

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TEORIA ELEMENTAR DA PROBABILIDADE
1. Introdução
O termo probabilidade é usado de modo muito amplo na
conversação diária para sugerir um certo grau de incerteza no qual ocorreu no
passado, o que ocorrerá no futuro ou o que está ocorrendo no presente.
A idéia de probabilidade desempenha papel importante em muitas
situações que envolvam uma tomada de decisão. Suponhamos que um
empresário deseja lançar um novo produto no mercado. Ele precisará de
informações sobre a probabilidade de sucesso para seu novo produto. Os
modelos probabilísticos podem ser úteis em diversas áreas do conhecimento
humano, tais como: Administração de Empresas, Economia, Psicologia, Biologia e
outros ramos da ciência.
2. Conceitos Básicos
1. Experimento Aleatório
Considere os seguintes experimentos:
E1. Jogar uma moeda e observar se dá cara ou coroa;
E2. Jogar um dado e observar a face voltada para cima;
E3. Inspecionar uma lâmpada, buscando determinar se está boa ou
se tem defeito;
E4. Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar o seu
naipe;
A análise desses experimentos revela:
a. Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob as
mesmas condições;
b. Não se conhece um particular valor do experimento “a priori”, porém
pode-se descrever todos os possíveis resultados – as possibilidades;
2.2 Espaço Amostral
Definição: para cada experimento aleatório E, define-se Espaço
Amostral S o conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento.
Exemplos:
a. E = jogar um dado e observar o nº da face de cima, então:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, }.
b. E = jogar duas moedas e observar o resultado, então:
S = { (c,c), (c,k), (K,c), (k,k) } em que c = cara e k = coroa.

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Observe que sendo S um conjunto, poderá ser finito ou infinito,
trataremos apenas dos conjuntos finitos.
1. Evento
Definição: evento é um conjunto de resultados do experimento; em
termos de conjunto, é um subconjunto de S. Em particular, S e (conjunto vazio)
são eventos; S é dito o evento certo e o evento impossível. Exemplo:
Seja o experimento E ; jogar um dado e observar o resultado. Então
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Cada subconjunto de S constitui um evento.
A1 = {ponto 1} ou {1}
A2 = {ponto menor que 3} ou {1,2}
A3 = {ponto par} ou {2, 4, 6}
A4 = {ponto impar} ou {1 ,3, 5}
A5 = {divisores de 6} ou {1, 2, 3, 6}
A6 = {dos múltiplos de 1} ou {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A7 = {dos pares múltiplos de 5} ou
Observação: Se o numero de elementos do espaço amostral for n, então
o número de eventos a ele associados é 2n.
I. Evento Reunião
Chama-se evento reunião de dois eventos A e B, o evento A B,
formado pelos elementos comuns e não comuns aos eventos A e B. Exemplos:
A1 A2 = {1,2},
A2 A3 = {1, 2, 4, 6},
A3 A4 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
II. Evento Intersecção
Chama-se evento intersecção de dois eventos a e B, o evento A B
formado pelos elementos comuns aos eventos A e B. Exemplos:
A1 A2 = {1}; A3 A5 = {2, 6}; A1 A3 =
III. Eventos Mutuamente Exclusivos
Dois eventos são mutuamente exclusivos, se eles não puderem
ocorrer simultaneamente, isto é, A B = . Exemplos;
A1 e A3 são mutuamente exclusivos,
A3 e A4 são mutuamente exclusivos,
A2 e A3 não são mutuamente exclusivos.
IV. Evento Complementar

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Chama-se evento complementar de um evento A, o conjunto ,
constituído pelos elementos de S que não pertencem ao conjunto A. Exemplos:
= {2, 3, 4, 5, 6,}
= {1, 3, 5}
3. Definição Matemática de Probabilidade
A probabilidade de um evento é igual à razão entre o número de
casos favoráveis e o número de casos possíveis de ocorrer, sendo todos
igualmente prováveis. A notação é:
onde,
probabilidade do evento A;
número de elementos do evento A;
número de elementos do espaço amostral S;
Observação: A probabilidade pode ser representada na forma de
fração, número decimal ou em porcentagem.
Exemplos
1. No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter:
a. o nº 2;
b. um nº par
c. um nº múltiplo de 3
02) Lançando-se simultaneamente duas moedas, qual a probabilidade de
ocorrência de duas caras? K = cara e c = coroa
1. Qual a probabilidade de se obter um rei retirado ao acaso, uma carta de um
baralho de 52 cartas?
2. Qual a probabilidade de sair uma dama ou uma carta de copas, quando
retiramos uma carta de um baralho?
3. Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de:
a. a soma ser menor que 4;
b. a soma ser 9;
c. o primeiro resultado ser maior do que o segundo;
d. os pontos obtidos sejam iguais.
4. Um número inteiro é escolhido aleatoriamente entre os números 1, 2, 3, ... ,
30. Qual a probabilidade de:
a. o número ser divisível por 5;
b. terminar em 3;
c. ser primo;
d. ser divisível por 6 ou 8.

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PRINCIPAIS TEOREMAS
1.0 P(A) 1
2.P(S) = 1
3.P( ) = 0
4.P(A B) = P(A) + P(B) sendo A B =
5.P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
6.P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A B) – P(A C) – P(B C) +
P(A B C)
7.P () = 1 – P(A)
Exemplos
1. Seja E: Lançar um Dado.
A= { sair um número 3}
B = { sair um nº par }
C = { sair um nº impar}
Calcular:
a.
b. P ( A )
c. P ( B )
d. P ( C )
e. P (A B)
f. P (A C)
g. P (A C)
h. P (Ā)
2. Lance um dado e uma moeda.
a. construa o espaço amostral
b. Enumere os seguintes eventos:
A = {coroa, marcado por nº par}
B = {cara, marcado por nº ímpar }
C = {múltiplos de 3}
c. Expresse os seguintes eventos
I)
II) A ou B ocorrem
III) B e C ocorrem

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IV)
d. Quais dos eventos A, B e C são mutuamente exclusivos?
3. Se P(A) = , P(B) = e A e B são mutuamente exclusivos, calcular:
a. P ()
b. P ()
c. P(A B)
d. P(A B)
e. P()
4. Se P(A) = , P(B) = e P(A B) = , calcule P(A B).
5. Se P(A) = , P(B) = e P(A B) = , calcule:
a. P(A B)
b. P( )
c. P( )
06) Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Engenharia, 150 estudam
Economia e 10 estudam Engenharia e Economia. Se um aluno é escolhido ao
acaso, qual a probabilidade de que:
a. ele estude Economia e Engenharia?
b. Ele estude somente Engenharia?
c. Ele estude somente Economia?
d. Ele não estude Engenharia, nem Economia?
e. Ele estude Engenharia ou Economia?
EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE
01) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos e P(A) = 0,25 e P(B) = 0,5,
determinar:
a) P b) P c) P d) P
R: a) 0,75 b) 0,25 c) 0,75 d) 0,5
02) Suponhamos que A e B sejam eventos de um mesmo espaço amostral e que
P(A) = 0,4, P(B)= 0,3, e P= 0,1. Determine a probabilidade de cada um dos
eventos:
a. P e) P
b. P f) P(A, mas não B)
c. P g) P( B, mas não A)
d. P h) P(nem A, nem B)

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R: a) 60% b) 40% c) 60% d) 70% e) 90% f) 30% g) 20% h)
40%
03) Se P=0,5, P=0,2 e P=0,9, determine P. R: 60%
04) Se P=0,8, P=0,6 e P=0,5, determine P. R: 30%
05) De um baralho de 52 cartas, uma é extraída ao acaso. Qual a probabilidade
de cada um dos eventos abaixo?
a. ocorre dama de copas. R: 1,92%
b. ocorre dama. R: 7,69%
c. ocorre carta de naipe “paus”. R: 25%
d. ocorre dama ou rei ou valete. R: 23,08%
e. ocorre uma carta que não é um rei. R: 92,31%
06) Um número é escolhido ao acaso entre os 20 inteiros, de 1 a 20. Qual a
probabilidade do número escolhido:
a. ser par? R:50%
b. ser primo? R: 40%
07) Uma urna contém 6 bolas pretas, 2 bolas brancas e 10 amarelas. Uma bola é
escolhida ao acaso. Qual a probabilidade:
a. de a bola ser amarela? R: 55,55%
b. de a bola ser branca ou preta? R: 44,44%
c. da bola não ser branca, nem amarela? R: 33,33%
08) Dois dados são lançados e observados os números das faces de cima. Qual a
probabilidade:
a. de ocorrerem números iguais? R: 16,67%
b. de ocorrerem números diferentes? R: 83,33%
c. da soma dos números ser 7? R: 16,67%
d. da soma dos números ser menor ou igual a 12? R: 100%
e. de aparecer número 3 em ao menos um dado? R: 30,56%
09) Numa cidade, 30% dos homens são casados, 40% são solteiros, 20% são
desquitados e 10% são viúvos. Um homem é escolhido ao acaso. Qual a
probabilidade;
a. de ele ser solteiro? R: 40%
b. dele não ser casado? R: 70%
c. de ele ser solteiro ou desquitado? R: 60%
10) Um colégio tem 1000 alunos. Destes: 200 estudam matemática, 180 estudam
física, 200 estudam química, 20 estudam matemática, física e química50 estudam
matemática e física, 50 estudam física e química e 70 estudam somente química.
Um aluno do colégio é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de;
a. ele estudar só matemática? R: 7%

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b. ele estudar só física? R: 10%
c. ele estudar matemática e química? R: 10%
11) Na parte de higiene de um supermercado, possui uma prateleira de Pasta
Dental. A tabela abaixo mostra a disponibilidade nesta prateleira:
Marca
Quantia de
Pasta
Dental Por
Tamanho
75 g 90 g 120 g
Close-Up 12 10 8
Sorriso 18 12 11
Colgate 22 14 7
Phillips 8 12 6
Total 60 48 32
Um comprador pega uma destas embalagens totalmente ao acaso. Ache a
probabilidade de que o produto comprado:
a. Seja Colgate ou Phillips; R:49,29%
b. Seja Close-Up ou de 120 g; R: 38,57%
c. Não seja Phillips; R: 81,43%
d. Não seja de 75g, nem Close-Up.R: 44,29%
12) Um empresário supersticioso, quando necessita viajar, escolhe o modelo de
transporte através do lançamento de uma moeda: se sair cara viaja de ônibus, se
sair coroa, viaja de avião. Numa semana em que tiver de fazer exatamente 4
viagens, ache a probabilidade de que ele faça:
a. Nenhuma de avião; R: 6,25%
b. Duas de ônibus; R:37,5%
c. Pelo menos uma de avião. R: 93,75%
13) Um trabalhador possui 4 calças (azul, preta, marrom, cinza) e 3 camisas
(branca, azul, cinza) que podem ser utilizadas no trabalho. Este trabalhador se
veste de forma aleatória. Ache a probabilidade de em um dia utilizar:
a. calça e camisa de mesma cor; R: 16,67%
b. não usar calça marrom; R: 75%
c. usar calça ou camisa azul. R: 50%
14) Para fazer escolha do dia da semana (6 dias úteis) de folga de um funcionário
o Diretor de uma empresa joga um dado e a face voltada para cima indicará o dia

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de folga. Sendo que nesta empresas trabalha um casal (Esposo/Esposa). Em uma
semana ache a probabilidade de que, para este casal ocorra a seguinte folga:
a. esposo e esposa no mesmo dia; r: 16,67%
b. esposa antes do esposo; r: 41,67%
c. esposo e esposa em dias seqüenciais. r: 27,78%
15) Para conduzir o destino de um empresa, existem 4 pessoas disponíveis a
saber: Alfredo, Beatriz, Carlos e Daniel. Os cargos existentes são: Presidente e
Tesoureiro. Se a escolha for feita através de sorteio, ache a probabilidade de que:
a. presidente seja o Alfredo ou a Beatriz; R: 50%
b. tesoureiro não seja mulher; R: 75%
c. Carlos ou o Daniel fique de fora. R: 16,67%

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4. PROBABILIDADE CONDICIONAL
4.1 Definição: Probabilidade Condicional é a probabilidade de ocorrer
determinado evento sob dada condição, ou seja, para dois eventos quaisquer A e
B, sendo P(B) 0, definimos a probabilidade condicional de A, dado que o evento
B ocorreu, P(A/B), como sendo:
Exemplos:
1. Um dado é lançado para cima. Qual a probabilidade de sair o número 3,
sabendo-se ter ocorrido um número ímpar?
2. Temos 200 alunos matriculados em uma universidade, sendo que 10 homens e
20 mulheres fazem estatística. Calcular a probabilidade de ser mulher dado que é
do curso de estatística.
3. Uma família planeja ter 3 crianças. Qual é a probabilidade de que a família
tenha 3 rapazes, dado que a primeira criança que nasceu é rapaz?
4. Dois dados perfeitos são lançados. Qual é a probabilidade de sair soma 8,
sendo que ocorreu o 3 no primeiro dado?
5. Um grupo de pessoas está classificado da seguinte maneira:
Professor Advogado Dentista
Homem 60 80 50
Mulher 90 40 30
Considerando: H = a pessoa é homem ; M = a pessoa é mulher ; P =
a pessoa é professor ; A = a pessoa é advogado ; D = a pessoa é
dentista . Calcule cada uma das probabilidades:
a. P(A/H) =
b. P(P/M) =
c. P(D/H) =
d. P(A/M) =
06. Se A e B são eventos com :
a. P(A/B)

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b. P(B/A)
c. P(A/A B)
d. 0P(A B/A)
07. Se E e F são eventos com P(E F) =
1. Teorema do Produto
Uma conseqüência importante da definição formal de probabilidade
condicional é a seguinte:
Isto é, a probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos
[P(A B)] é o produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro,
dado o primeiro.
Exemplos:
01. Uma urna (1) contém duas bolas vermelhas e 3 bolas brancas, a
urna (2) contém 4 bolas vermelhas e 5 bolas brancas. Uma urna é escolhida ao
acaso e dela uma bola é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de observarmos
urna (1) e bola vermelha?
02. Um lote contém 50 peças boas (B) e 10 defeituosas (D). Uma peça
é escolhida ao acaso e, sem reposição desta, outra peça é escolhida ao acaso.
Qual a probabilidade de ambas serem defeituosa?
03. Uma urna contém 7 bolas brancas e 5 pretas. Retiramos 2 bolas da
urna sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas sejam brancas?
04. Consideremos um conjunto de 10 frutas, das quais 3 estão
estragadas. Escolhendo-se aleatoriamente 2 frutas desse conjunto, determinar a
probabilidade de :
a. ambas serem estragadas;
b. pelo menos uma seja estragada.
5. Independência Estatística

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Dados dois eventos A e B de um espaço amostral S, dizemos que A
independe de B se:
P(A/B) = P(A), isto é, A independe de B se a ocorrência de B não
interfere a probabilidade de A.
Exemplo:
Seja o experimento lançar dois dados. Seja:
A : sair o número 6 no primeiro dado;
B : sair o número 3 no segundo dado.
Então S = { (1,1);(1,3); . . . ;(6,6)}
B = {
A = {
A B = {
Então P(A/B) = P(A), ou seja, a probabilidade de sair 3 no segundo
dado não foi interferida pelo fato de sair 6 no primeiro dado, ou ainda, a
probabilidade de ocorrer A não dependeu da ocorrência de B.
● Vimos que se P(A/B) = P(A), então também é verdade que P(B/A) =
P(B), ou seja, se A independe de B, então B independe de A.
Assim, se A independe de B, logo B independe de A, então:
P(A B) = P(B).P(A/B)
P(A B) = P(B).P(A)
Exemplos:
1. Uma moeda é lançada 3 vezes. Sejam os eventos:
A : ocorrem pelo menos duas caras;
B : ocorrem resultados iguais nos 3 lançamentos.
Verificar se os eventos são independentes.
2. Duas pessoas praticam tiro ao alvo. A probabilidade de
a primeira atingir ao alvo é P(A) = e a probabilidade da segunda
atingir o alvo é P(B)= . Admitindo A e B independentes, se os dois
atiram, qual a probabilidade de:
a. ambos atingirem o alvo;
b. ao menos um atingir o alvo.

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3. De um baralho de 52 cartas, uma é extraída ao acaso. Sejam os eventos:
A : a carta é de copas;
B : a carta é um rei;
C : a carta é um rei ou uma dama.
Quais dos pares de eventos são independentes?
a. A e B;
b. A e C;
c. B e C.
04. As probabilidades de que duas pessoas A e B resolvam um problema são,
P(A) = e P(B) = . Qual a probabilidade de que:
a. Ambos resolvam o problema?
b. Ao menos um resolva o problema?
c. Nenhum resolva o problema?
d. A resolva o problema mas B não?
e. B resolva o problema mas a não?
05. A probabilidade de um certo homem sobreviver mais 10 anos, a partir de uma
certa data é 0,4 e de sua esposa sobreviva mais 10 anos a partir da mesma data
é 0,5. Qual a probabilidade de :
a. ambos sobreviverem mais 10 anos a partir daquela data?
b. Ao menos um deles sobreviver mais 10 anos a partir daquela data?
Exercícios Propostos:
1. Considere uma urna contendo 3 bolas pretas e 5 bolas vermelhas. Retire
duas bolas da urna, sem reposição.
a. Obtenha os resultados possíveis e as respectivas probabilidades;
b. Mesmo problema, para extrações com reposição.
02. No problema anterior, calcule as probabilidades dos eventos:
a. bola preta na primeira e segunda extração;
b. bola preta na segunda extração;
c. bola vermelha na primeira extração.
03. A probabilidade de que A resolva um problema é de 2/3 e a probabilidade de
que B resolva é de ¾. Se ambos tentarem independentemente, qual a
probabilidade do problema ser resolvido? (91,67%)
4. Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refeições: salada
completa ou um prato à base de carne. 20% dos fregueses do sexo masculino

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preferem salada; 30% das mulheres escolhem carne; 75% dos fregueses são
homens. Considere os seguintes eventos:
H : freguês é homem A : freguês prefere salada
M : freguês é mulher B : freguês prefere carne.
Calcular:
a. P(H), P(A/H), P(B/M); (0,75; 0,2; 0,3)
b. P(A H), P(A H); ( 0,15; 0925)
c. P(M/A) (0,5385)
5. Uma companhia se seguros analisou a freqüência com que 2.000 segurados
(1.000 homens e 1.000 mulheres) usaram o hospital. Os resultados são
apresentados na tabela:
Homens Mulheres
Usaram o hospital 100 150
Não usaram o hospital 900 850
a. Qual a probabilidade de que uma pessoa segurada use o hospital?
(0,125)
b. O uso do hospital independe do sexo do segurado?
06. Se A e B são eventos com determine:
a. a probabilidade de A dado B; (0,6)
b. a probabilidade de B dado A; (0,5)
c. a probabilidade de A dado A B; (0,75)
d. a probabilidade de A B dado A. (1)
07. Um levantamento revela as seguintes informações sobre um grupo de
pessoas:
Gosta de música Gosta de TV Gosta de cinema
Homem 50 40 30
Mulher 30 60 40
Considerando: H: a pessoa é homem; M: a pessoa é mulher; A: a pessoa gosta de
música; B: a pessoa gosta de TV e C: a pessoa gosta de cinema, determine:
a) P(M/C); (57,14%)
b) P(B/M); (46,15%)
c) P(H/A); (62,5%)
d) P(A/H); (41,67%)
e) P(C/H); (25%)
08. Uma família planeja ter 3 crianças. Qual é a probabilidade de que a família
tenha exatamente 2 meninas, dado que a primeira criança que nasceu é menina?
(0,5)

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09. Numa cidade, 20% da população são mulheres que não podem votar
(menores de 18 anos). Se 60% da população são mulheres, qual é a probabilidade
de que uma mulher selecionada ao acaso não possa votar? (33,33%)
10. Se A e B são eventos independentes com P(A) = 0,2 e P(B) = 0,4 , determine:
a) P(A B); (0,08) b) P(A B); (0,52)
11. Se A e B são eventos independentes com P(A) = 0,5 e P(A B) = 0,3 ,
determine P(B). (60%)
12. Se A e B são eventos independentes com P(B) = 0,3 e P(A B) = 0,6 ,
determine P(A).(42,86%)
13. Se P(A) = 0,3 , P(B) = 0,2 e P(A B) = 0,4 , determine P(A/B). (50%)
14. Uma urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 pretas. Outra urna II tem 6 bolas
vermelhas e 2 pretas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela é escolhida uma bola
também no acaso. Qual a probabilidade de observarmos:
a. urna I e bola vermelha? (21,43%)
b. urna I e bola preta? (28,57%)
c. urna II e bola vermelha? (37,5%)
d. urna II e bola preta? (12,5%)
15. Uma urna tem 8 bolas vermelhas, 3 brancas e 4 pretas. Uma bola é escolhida
ao acaso e, sem reposição desta, outra é escolhida, também ao acaso. Qual a
probabilidade de:
a. a 1ª bola ser vermelha e a 2ª branca? (11,43%)
b. a 1ª bola ser branca e a 2ª vermelha? (11,43%)
c. a 1ª e a 2ª serem vermelhas? (26,07%)
16. A urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna II tem 2 bolas vermelhas e
6 brancas e a urna III tem 5 bolas vermelhas, 2 brancas e 3 amarelas. Uma urna é
selecionada ao acaso e dela é extraída uma bola, também ao acaso. Qual a
probabilidade de a bola ser:
a. vermelha? (39,29%)
b. branca? (50,72%)
c. amarela? (10%)
17. Uma urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna II tem 6 bolas vermelhas e 2
brancas. Uma urna é selecionada ao acaso e dela é extraída uma bola, também ao
acaso.
a. Qual a probabilidade de observarmos urna I e bola vermelha? (21,43%)
b. Qual a probabilidade de observarmos bola vermelha? (58,93%)
c. Se a bola observada foi vermelha, qual a probabilidade que tenha vindo da
urna I? (36,37%)
PARTE 03

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VARIÁVEL ALEATÓRIA
1. INTRODUÇÃO
Existem experimentos aleatórios pelas quais o espaço amostral não
se caracteriza pôr números, e em muitas vezes deseja-se trabalhar com dados
numéricos. Para que isto se torne possível, existem as variáveis aleatórias (v.a.).
2. DEFINIÇÃO
Sejam E um experimento e S o espaço amostral associado ao
experimento. Uma função X, que associe a cada elemento s S um número real
X(s) é denominado variável aleatória.
3. ESPAÇO AMOSTRAL DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA
É o conjunto formado por todos os valores possíveis desta variável
aleatória.
EXEMPLOS:
1. No experimento “jogar uma moeda 3 vezes consecutivas”
tem-se que o seu espaço amostral é:
S = ccc ; cck ; ckc ; kcc ; ckk ; kck ; kkc ; kkk que não é numérico.
a. Seja X a v.a.: associada ao experimento:
X : número de caras ocorridas.
X = 0, 1, 2, 3
b. Seja X a v.a.: diferença entre o número de caras e de coroas;
X = -3, -1, 1, 3
c. Seja X a v.a.: o tempo decorrido entre 0 1º e o 3º lançamento;
X = x x 0
4. TIPOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
DISCRETA: seu espaço amostral contém uma quantidade enumerável
de resultados, isto é, se existe uma relação com o conjunto dos inteiros, como
nos exemplos X e X .
CONTÍNUA: quando o seu espaço amostral e representado dentro de
um intervalo de valores, como no exemplo X .
1. Probabilidade de uma Variável Aleatória Discreta
Exemplo:

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Ex.01 No lançamento de uma moeda 3 vezes consecutivas, seja X a
v.a. “número de coroas ocorridas”. Determine as seguintes probabilidades:(c=cara;
k=coroa)
S = ccc ; cck ; ckc ; kcc ; ckk ; kck ; kkc ; kkk
a) P(x = 2) ; A = ckk ; kck ; kkc P(x = 2) = 3/8
b) P(x = 0) ; B = ccc P(x = 0) = 1/8
a. P(x 2) ; C = ccc ; cck ; ckc ; kcc ; ckk ; kck ; kkc P(x
2) = 7/8.
2. Distribuição de Probabilidade Discreta
Definição: é o conjunto formado por todos os pares ( xi ; p(xi) ), onde xi
representa cada valor desta variável e p (xi ) a sua respectiva probabilidade; ao
qual pode ser apresentada sob a forma de uma tabela.
Exemplos:
Ex.01. Encontre a distribuição de probabilidade da v.a. X igual ao
número de caras obtidas no experimento lançar duas moedas.
S X (nº de caras) P(X)
(k,k)
(c,k)
(k,c)
(c,c)
0
1
1
2
1/4
1/4
1/4
1/4
P(X) = 1
Ex.02 Na seção de eletrodomésticos de um supermercado tem 6
lâmpadas perfeitas e 4 defeituosas. Um freguês ao comprar uma lâmpada testa
uma a uma até encontrar uma perfeita. Se X é a v.a. ( nº de testes efetuados) e o
experimento E testar lâmpada até obter uma perfeita.
a. Construa a distribuição de probabilidade de X;
b. Calcule a probabilidade do número de teste ser inferior a 3;
c. Calcule a probabilidade do número de teste ser maior ou igual a
2 e menor ou igual a 3.
a)

17
17
S X (Nº de testes) P(X)
B
DB
DDB
DDDB
DDDDB
1
2
3
4
5
0,6
0,2667
0,1
0,0286
0,0048
P(X) = 1
b) P( X 3 ) = P(1) + P(2) = 0,6 + 0,2667 = 0,8667
c)P(2 X 3) = P(2) + P(3) = 0,2667 + 0,1 = 0,3667
3. Medidas de uma Variável Aleatória Discreta
Tal qual em Estatística Descritiva, quando sem tem uma variável
aleatória se faz necessário encontrar parâmetros representativos desta variável
aleatória.
As principais medidas são:
a. Média:
Seja X uma variável aleatória discreta cuja distribuição de probabilidade
é dada pela tabela:
Xi X1 X2 ... Xn
P(xi) P(x1) P(x2) ... P(xn)
Denomina-se média de X ao número:
x = X1 P(x1) + X2 P(x2) + ... + Xn P(xn) ou
x = Xi P(xi)
Tendo em vista que uma v.a. envolve probabilidade, a média é
denominada valor esperado de X, e é representado por:
x = E(X), então E(X) = Xi P(xi)
b. Variância:
A variância da variável aleatória X é o número dado por:
c. Desvio Padrão:

18
18
Exemplos:
Ex.01 A tabela abaixo mostra o número de acidentes (X) de um mesmo
veículo e suas probabilidades de ocorrência, por ano:
Xi 0 1 2 3
P(Xi) 0,7 0,18 0,08 0,04
Encontre:
a. O número médio de acidentes em um ano por veículo:
b. A variância do número de acidentes em um ano por veículo;
c. O desvio padrão;
Ex.02 O número de ligações recebidas na empresa está na razão de 1
interurbano para 4 urbanos. Em um intervalo de tempo que receber 3 ligações,
seja X a v.a. “nº de ligações urbanas”. Pede-se:
a. construa a distribuição de probabilidade X;
b. ache a média de X;
c. ache a variância e o desvio padrão de X;
Resolução:
Considerando U = ligação urbana e I = ligação interurbana, temos:
P(U) = 4/5 e P(I) = 1/5
E = receber 3 ligações telefônicas
(a)
S X(nº de ligações urbanas) P(X)
I I I
U I I
I U I
I I U
U U I
U I U
I U U
U U U
0
1
1
1
2
2
2
3
1/125
4/125
4/125
4/125
16/125
16/125
16/125
64/125
P(X) = 1
Ou ainda simplificando, temos a seguinte distribuição de probabilidade:
Xi 0 1 2 3
P(Xi) 0,008 0,096 0,334 0,512

19
19
(b) E(X) = Xi P(xi)
E(X) = 0.0,008 + 1.0,096 + 2.0,384 + 3.0,512
E(X) = 2,4 ligações urbanas.
(c)
= 0,48 ligações urbanas ao quadrado
D.P. = 0,69 ligações urbanas
Ex. 03 Um digitador de computação comete erros em 30% das páginas
digitadas. Em um concurso ele é aprovado se digita um folha inteira sem cometer
erros, sendo permitido no máximo 3 tentativas. Se X é a variável aleatória: nº de
tentativas por um candidato. Ache:
a. A distribuição de probabilidade de X;
b. A média de X;
c. A variância de X.
Resolução:
E = { digitar o texto sem erros }
X = { número de tentativas }
A = digitar sem erros, logo P(A) = 0,7
B = cometer erros, logo P(B) = 0,3
X = 1 (primeira tentativa)
(a) P(1) = A = 0,7
X = 2 (segunda tentativa)
P (2) = BA = 0,3 . 0,7 = 0,21
X = 3 ( terceira tentativa)
P(3) = BBA + BBB = 0,3 . 0,3 . 0,7 + 0,3 . 0,3 . 0,3 = 0,09
Xi 1 2 3
P(Xi) 0,7 0,21 0,09
(b) E(X) = Xi P(xi)
E(X) = 1 . 0,7 + 2 . 0,21 + 3 . 0,09 = 1,39 tentativas
(c) Var. = 0,4179 tentativas ao quadrado.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Ao jogar uma moeda 4 vezes consecutivas, seja X a v.a. “número de caras
ocorridas”. Determine:
a. A distribuição de probabilidade de X;
b. A média de X;
c. A variância e o desvio padrão de X.

20
20
2. Em uma classe há 6 homens e 3 mulheres. Sorteados 3 alunos ao acaso e
sem reposição, considerando X uma variável aleatória que representa o
número de homens sorteados. Pede-se:
a) A distribuição de probabilidade;
b) A média;
c) O desvio padrão.
3. No lançamento simultâneo de dois dados, considere as seguintes variáveis
aleatórias:
X = número de pontos obtidos no primeiro dado.
Y = número de pontos obtidos no segundo dado.
Construir a distribuição de probabilidade através de uma tabela das
seguintes variáveis:
I. W = X – Y
II. A = 2Y
III. Z = XY
IV. B = máximo de (X,Y)
4. Determine a função de probabilidade de meninos e meninas em famílias
com três filhos, admitindo iguais as probabilidades de menino e menina.
5. Em uma população sabe-se que 30% das pessoas apresentam uma certa
doença. Três pessoas são escolhidas ao acaso. Seja X a v.a. definida
como o número de pessoas doentes que aparecem na amostra.
Estabeleça a distribuição de probabilidade de X, identificando o espaço
amostral do experimento.
6. Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 azuis. Ao retirar três bolas desta
urna, seja Y a v.a. “número de bolas branças ocorridas”. Detyermine as
probabilidades:
a) P(y = 1) b) P(y = 2) c) P(y 1)

21
21
5. MODELO DE DISTRIBUIÇÂO DISCRETA DE PROBABILIDADE
5.1 Distribuição Binomial
A distribuição binomial é utilizada para determinar a probabilidade de
certo número de sucessos num conjunto de observações. Se p é a probabilidade
de um evento ocorrer em uma única tentativa (denominada probabilidade de um
sucesso) e q = 1 – p é a probabilidade de que o evento não ocorra em qualquer
tentativa única (denominada probabilidade de um insucesso), então a
probabilidade do evento ocorrer exatamente x vezes, em n tentativas (isto é, de
que haja x sucessos e n – x insucessos), é dada por:
, em que e p=1 – q ,
onde x = 0, 1, 2, ...., n e n! = n.(n – 1) (n – 2) , ... , 3.2.1
Exemplos:
1. Lançando 5 vezes uma moeda, qual a probabilidade de se obter
“cara” 4 vezes?
n = 5 ; x = 4 ; p = ½; q = 1 – ½ = ½
;
Concluímos que ao lançarmos uma moeda 5 vezes, a probabilidade de
se obter cara 4 vezes é de 15,63%.
2. Uma máquina produz 20% de parafusos defeituosos.
Qual a probabilidade de, em 4 parafusos, sorteados ao acaso,
haver um defeituoso?
n = 4 ; x = 1 ; p = 0,2; q = 1 – 0,2 = 0,8
;
Conclui-se que em 4 parafusos a probabilidade de se obter um
defeituoso é de 40,96%.
3. Um teste é constituído de 10 questões com 4
alternativas cada, das quais apenas uma é a correta. Um aluno
responde aleatoriamente ao teste. Qual a probabilidade de acertar
6 questões?
n = 10 ; x = 6 ; p = 1/4; q = 1 – 1/4 = ¾
;
4. Qual a probabilidade de numa família com 5 filhos
haver 3 meninas?
n = 5 ; x = 3 ; p = 1/2; q = 1 – 1/2 = 1/2
;

22
22
Algumas Propriedades da Distribuição Binomial:
Média = n.p
Variância
Desvio padrão
Exemplo:
Uma máquina produz parafusos defeituosos. A probabilidade de
parafusos defeituosos é de 1%. Qual é a média e o desvio padrão de parafusos
defeituosos, sendo que a produção diária é de 400 parafusos?
N = 400; p = 1% = 0,01 ; q = 0,99
= n.p = 400 . 0,01 = 4 parafusos
● Parafusos
●
A média de parafusos defeituosos diários é de 4 parafusos, com desvio
padrão de 1,9 parafusos.
Exercícios Propostos:
01. Por um longo período de tempo, observou-se que um atirador podia
alcançar um alvo com uma única tentativa, com probabilidade de 0,8. Se
ele atirar 4 vezes nesse alvo, qual é a probabilidade de ele atingir o alvo
precisamente duas vezes ?
02. Uma prova de estatística é constituída de 5 testes com 5 alternativas cada,
das quais apenas uma é a correta. Qual a probabilidade de um aluno,
respondendo aleatoriamente ao teste, acertar 3 questões?
1. Numa família de 4 filhos, qual a probabilidade de
3 meninos?
04. Um time A tem 2/3 de probabilidade de vitória sempre que joga. Se A jogar 5
partidas, qual a probabilidade de a vencer ao menos uma partida?
5. A probabilidade de um atirador acertar um alvo é
de 0,6. Qual a probabilidade de acertar 2 em 3 tiros?
6. Em um grande lote, sabe-se que 10% das peças
são defeituosas. Qual é a probabilidade de, ao se retirarem 6 peças
ao acaso:
a. uma ser defeituosa? (0,3543)
b. no máximo uma ser defeituosa? (0,8857)

23
23
c. Pelo menos duas serem defeituosas? (0,1143)
7. Os produtos de uma empresa sofrem inspeção
de qualidade, através de uma mostra com 12 peças, antes de
serem enviados aos consumidores, podendo ser classificados em A
(de ótima qualidade), B (bons) e C (de 2ª categoria). Se 70% de um
grande lote forem do tipo A, 20% forem do tipo B e o restante for do
tipo C, qual a probabilidade de que a amostra apresente no máximo
3 peças do tipo B ou C? (0,4925)
8. Sabe-se que 1% dos produtos fabricados por
uma empresa apresentam problemas de qualidade. Dois clientes
encomendam um grande lote cada um, mas as remessas têm que
passar pela inspeção de qualidade no recebimento. O cliente A
seleciona ao acaso 10 produtos e o lote é aceito se não existir
nenhuma peça com problema de qualidade. O cliente B toma uma
amostra com 20 produtos e aceita o lote se no máximo 1 peça
apresentar problemas de qualidade. Qual a probabilidade dos dois
lotes serem aceitos pelos clientes? (0,8891)
9. Para este mês, está prevista a chegada de 3
navios em um determinado porto. Dados históricos mostram que
60% dos navios costumam atrasar. Construir a distribuição de
probabilidade para a variável aleatória X = número de navios
atrasados neste mês.
10. Certo curso de treinamento aumenta a
produtividade de uma certa população de funcionários em 80% dos
casos. Se 10 funcionários quaisquer participam deste curso,
encontre a probabilidade de:
a. exatamente 7 funcionários aumentarem a produtividade;(0,201326)
b. não mais do que 8 funcionários aumentarem a produtividade.(0,625)
11. Na manufatura de certo artigo, é sabido que 1
entre 10 dos artigos é defeituoso. Qual a probabilidade de que uma
amostra casual de tamanho 4 contenha:
a. nenhum defeituoso? (0,6561)
b. Exatamente um defeituoso? (0,2916)
c. Exatamente dois defeituosos? (0,0486)
d. Não mais do que dois defeituosos? (0,9963)
12. Um fabricante de peças de automóveis garante
que uma caixa de suas peças conterá, no máximo, 2 defeituosas.
Se a caixa contém 18 peças, e a experiência tem demonstrado que
esse processo de fabricação produz 5% das peças defeituosas,
qual a probabilidade de que uma caixa satisfaça a garantia?
(94,18%)

24
24
13. Qual a média e o desvio padrão do número de
caras em 250 lançamentos de uma moeda? (125; 7,9057)
PARTE 04
Modelos De Distribuição Contínua
1. Definição
As variáveis aleatórias contínuas são aquelas que podem
assumir infinitos valores num intervalo finito. Seja, por exemplo, a variável altura
de pessoas. No intervalo 1,60m a 1,90m existe uma infinidade de valores da
variável, isto é, o conjunto universo da variável possui infinitos elementos.
Desta forma, não se pode associar uma probabilidade a cada
valor da variável, pois se aplicar à fórmula Matemática de probabilidade a
determinado valor da variável, essa probabilidade será nula.
Se A é o evento que representa a ocorrência de determinado
valor da variável, então:
Como
Neste caso utiliza-se de uma função matemática que mede o
grau de concentração de resultados ao executar este experimento, e esta função
recebe o nome de Função de Densidade de Probabilidade. Qualquer resultado
que se deseja obter, aqui se utiliza um operador matemático denominado integral.
Assim sendo os resultados aqui obtidos não serão demonstrados.
2. DISTRIBUIÇÃO NORMAL
É uma das mais importantes distribuições de probabilidade,
sendo aplicada em inúmeros fenômenos e constantemente utilizada para o
desenvolvimento teórico da inferência estatística. É também conhecida como
distribuição de Gauss, Laplace ou Laplace-Gauss.
Seja X uma variável contínua. X terá distribuição normal se:

25
25
em que os parâmetros e são respectivamente sua média e variância.
F(x)
f(x)
x
- + x
A probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir
um valor no intervalo de a e b é igual à área sob a curva da sua função de
densidade de probabilidade entre esses pontos a e b.
a b
Se uma variável aleatória tem distribuição normal, cerca de 68% de
seus valores cairá no intervalo de um desvio padrão a contar de cada lado da
média; cerca de 95,5% no intervalo de dois desvios padrões a contar da média, e
cerca de 99,7% dentro de três desvios padrões a contar da média. A figura abaixo
ilustra a idéia.
-1
-2
-3
+1
+3
+2
68%
95,5%
99,7%

26
26
Em resumo, eis as características das curvas normais:
1. A curva normal tem forma de sino.
2. É simétrica em relação à média.
3. Prolonga-se de - a + .
4. Cada distribuição normal fica completamente especificada por sua média
e seu desvio padrão; há uma distribuição normal distinta para cada
combinação de média e desvio padrão.
5. A área total sob a curva normal é considerada como 100%.
6. A área sob a curva entre dois pontos é a probabilidade de uma variável
normalmente distribuída tomar um valor entre esses dois pontos.
7. Como há um número ilimitado de valores no intervalo de - a + , a
probabilidade de uma variável aleatória distribuída normalmente tomar
exatamente determinado valor é aproximadamente zero. Assim, as
probabilidades se referem sempre a intervalos de valores.
8. A área sob a curva entre a média e um ponto arbitrário é função do
número de desvios padrão entre a média e aquele ponto.
Para o cálculo das probabilidades, surgem dois grandes problemas:
primeiro, para a integração de f(x), pois para o cálculo é necessário o
desenvolvimento em séries, segundo, seria a elaboração de uma tabela de
probabilidade, pois f(x) depende de dois parâmetros, fato este que acarretaria um
grande trabalho para tabelar essas probabilidade considerando-se as várias
combinações de as várias combinações de e 2.
Os problemas foram solucionados por meio de uma mudança de
variável obtendo-se, assim, a distribuição normal padronizada ou reduzida.
VARIÁVEL NORMAL PADRONIZADA
Com o objetivo de facilitar a obtenção de determinadas áreas sob uma
curva normal, podemos fazer uma transformação na variável, levando-a para uma

27
27
distribuição normal com média 0(zero) e desvio padrão 1(um), também conhecida
como distribuição normal padrão.
Para que um dado valor x, de uma distribuição normal com média e
desvio padrão , se transforme num valor z da distribuição normal padrão, basta
fazer a seguinte operação:
* Comparação entre a escala efetiva e a padronizada
= 100
= 10
100
90
80
70
110
130
120
-1
-2
-3
+1
+3
+2
0
Escala efetiva efetivaefetiva
x
Escala padronizada
z
O valor Z é conhecido como valor padronizado. Ele fornece uma
medida relativa do valor x, em termos da distribuição da variável aleatória em
estudo.
Uso da tabela de Distribuição Normal Padronizada
Há vários tipos de tabelas que oferecem as áreas (probabilidades) sob a
curva normal padrão. O tipo mais freqüente é a tabela de Faixa Central.

28
28
A tabela de Faixa Central dá a área sob a curva normal padrão entre z =
0 e qualquer valor positivo de z. A simetria em torno de z = 0 permite obter a área
entre quaisquer valores de z (positivos ou negativos).
0 z0
z
A tabela oferece a área entre 0 e z0 ou P(0 z z0)
Exemplos:
Determine a probabilidade quando se conhece Z.
01) Se Z~N(0,1), determine as seguintes probabilidades.
a) P(0 z 1,23)
b) P(z > 1,47)
c) P(-0,83 z < 1,23)
d) P(z -1,36 ou z > 1,16)
e) P(0,81 < z < 1,94)
f) P(z > -1,6)
g) P(z < 0,9)
Exemplos de Aplicações:
01) As alturas dos alunos de uma determinada escola são normalmente
distribuídas com média 1,60m e desvio padrão 0,30 m. Encontre a probabilidade
de um aluno sorteado ao acaso medir:
a) mais de 1,75 m;
b) entre 1,50 m e 1,80 m
c) menos de 1,48m
02) Considerando o enunciado anterior, determine qual deve ser a medida mínima
para escolhermos 10% dos mais altos?
03) As vendas diárias de uma farmácia têm distribuição normal com média de R$
600,00 e desvio padrão de R$ 180,00. Ache a probabilidade de amanhã haver
uma venda:
a) superior a R$ 700,00.
b) entre R$ 450,00 e R$ 580,00.

29
29
04) A experiência tem mostrado que a duração média de lâmpadas de
retroprojetores é 70 horas com desvio padrão de 8 horas. Qual a probabilidade de
determinada lâmpada durar mais de 82 horas?
05) Uma máquina produz eixos com diâmetro médio de 20 mm, e desvio padrão
0,02 mm. Um eixo é considerado defeituoso se seu diâmetro é maior que 20,05
mm, ou menor que 19,95 mm. Qual a porcentagem de eixos defeituosos?
06) Numa prova final de matemática, as notas dos alunos tiveram uma distribuição
normal com média 6 e desvio padrão 1,5. Sendo 5 a nota mínima de aprovação,
qual a proporção de alunos reprovados?
Exercícios
01) A duração de um certo componente eletrônico tem média de 850 dias e desvio
padrão 45 dias. Calcular a probabilidade desse componente durar mais que 800
dias.(86,65%)
02) Os salários semanais dos operários industriais são distribuídos normalmente
em torno de uma média de R$ 80,00 com desvio padrão de R$ 5,00. Qual a
probabilidade de um operário ter salário semanal maior que R$ 72,00?(94,52%)
03) Se os diâmetros das 400 peças produzidas por uma máquina, num dia, tem
distribuição normal com média 50,2 mm e desvio-padrão 0,15 mm, qual o número
provável de peças com mais de 50,5 mm?(9)
04) A altura média dos alunos de uma Faculdade é 1,72m e o desvio-padrão
0,07m, qual a probabilidade de um aluno, sorteado ao acaso, ter uma altura entre
1,60m e 1,70m?(34,23%)
05) O peso médio dos alunos de uma escola de 1º grau é 32 kg, e o desvio-
padrão é 4 kg. Qual a porcentagem de alunos com mais de 30 kg ?(69,15%)
06) Numa prova final de matemática, as notas dos alunos tiveram uma distribuição
normal com média 6 e o desvio-padrão 1,5 . Sendo 5 a nota mínima de aprovação,
qual a proporção de alunos reprovados ?
R = 25,14%
07) O diâmetro médio dos parafusos produzidos por uma fábrica é de 0,25
polegadas, e o desvio-padrão 0,02 polegadas. Um parafuso é considerado
defeituoso se seu diâmetro é maior que 0,28 polegadas ou menor que 0,20
polegadas. Encontre a porcentagem de parafusos defeituosos.(7,3%)
08) Se as alturas de 300 estudantes são normalmente distribuídas com média
172,72 cm e desvio-padrão 7,62 cm, quantos estudantes têm altura superior a
182,88 cm ?

30
30
R = 27
09) Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir o desgaste de seus
pneus e verificou que ele obedecia a uma distribuição normal, de média 48.000 km
e desvio-padrão 2.000 km. Qual a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso
durar entre 45.000 km e 50.000 km?(77,45%)
10) A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas
por uma certa máquina é 0,005 polegadas e o desvio padrão é 0,502 polegadas. A
finalidade para qual essas arruelas são fabricadas permite a tolerância máxima,
para o diâmetro, de 0,496 polegadas a 0,508 polegadas, se isso não se verificar,
as arruelas serão consideradas defeituosas. Admitindo-se que os diâmetros são
distribuídos normalmente, determine o número esperado de arruelas
defeituosas.(46)
11) Os salários semanal dos operários industriais são distribuídos normalmente
em torno de uma média de R$180,00 com desvio padrão de R$25,00. Pede-se:
a) encontre a probabilidade de um operário ter salário semanal situado entre R$
150,00 e R$ 178,00; (35; 3% )
b) encontre a probabilidade de um operário ter salário semanal maior do que R$
180,00. (50%)
12) Os pesos de 1000 estudantes são normalmente distribuídos com média 63,8
kg e desvio padrão 5,8 kg. Encontre a probabilidade de um aluno pesar:
a) entre 60kg e 70 kg; ( 60,31%)
b) menos do que 65 kg; (58,32%)
c) mais do que 68 kg; (23,58%)
d) entre 66,5 kg e 69 kg. (13,51%)
13) Suponha que o índice pluviométrico em uma cidade tenha distribuição normal
com média 40 e desvio padrão 5. Qual é a porcentagem de a cidade ter menos de
33 polegadas de chuva no próximo ano? Qual é a probabilidade de a cidade ter
mais de 38 polegadas de chuva? ( 8,08%; 65,54%)
14) Suponha que o escore de um estudante no vestibular seja uma variável
aleatória selecionada de uma distribuição normal com média 550 e variância 900.
Se a admissão em certa faculdade exige um escore de 575, qual é probabilidade
de ser admitido? E se o escore mínimo for 540? (0,2033 e 0,6293)

31
31
PARTE 05
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
1. Introdução à Inferência Estatística
Inferência Estatística é poder fazer afirmações sobre características de
uma população, baseando-se em resultados de uma amostra. O uso de
informações da amostra para concluir sobre o todo faz parte da atividade diária da
maioria das pessoas. Basta observar como uma cozinheira verifica se o prato tem
ou não a quantia adequada de sal. Ou ainda, quando uma dona de casa, após
experimentar um pedaço de laranja numa banca de feira, decide se as compras ou
não. Essas são decisões baseadas em procedimentos amostrais. O objetivo de
nosso estudo é conhecer algumas técnicas de inferência aplicada em situações
científicas.
2. Estimação
Estudaremos o problema de avaliar certas características dos elementos
da população, a partir de operações com os dados de uma amostra. É um
raciocínio tipicamente indutivo, em que se generalizam resultados da parte
(amostra) para o todo (população). Este procedimento é denominado estimação
de parâmetros.
Vamos relembrar alguns conceitos:
Parâmetro: alguma característica descritiva dos elementos de uma população
(média, proporção, variância, ...)
Estatística: alguma informação determinada a partir de dados amostrais
3. Técnicas para Inferência Estatística
1. Intervalos de Confiança
Trata-se de uma técnica para se fazer inferência estatística. Ou seja, a
partir de um intervalo de confiança, construído com os elementos amostrais, pode-
se inferir sobre um parâmetro populacional.
Intervalo de confiança é um intervalo de valores, limitado por um valor mínimo e
um valor máximo, usado para estimar um parâmetro desconhecido da população,
de forma que permita afirmar que o verdadeiro valor do parâmetro estará contido
nesse intervalo.

32
32
Vamos então considerar o intervalo de valores [a, b], simétricos em
torno da média do parâmetro , tal que a probabilidade de pertencer ao
intervalo seja igual a 1 - , isto é:
/2
1 -
/2
x
a b
Esta probabilidade 1 - é chamada de nível de confiança (ou grau de
certeza), é preestabelecido pelo pesquisador e significa que, retiradas todas as
amostras da população e construídos todos os intervalos de confiança, poderemos
dizer que (1 - )% destes intervalos conterão o parâmetro . Da mesma forma,
podemos afirmar que para cada intervalo, teremos % de probabilidade de que o
mesmos não contenha . Este é o erro que estaremos cometendo e é chamado
nível de significância.
Note que, quanto maior for o nível de confiança, maior será a amplitude
do intervalo. Sendo conveniente, o nível de confiança pode ser aumentado até tão
próximo de 100% quanto se queira, mas isso resultará em intervalos de amplitude
cada vez maiores, o que significa perda de previsão na estimação. Para amostras
de tamanho n fixo, confiança e precisão variam em sentidos opostos, quanto mais
confiança se deseja, menor a precisão encontrada.
Para encontrarmos um intervalo de confiança para um determinado
parâmetro , devemos obter um intervalo [a, b], centrado em , tal que: P(a
b) = 1 - .
1. Intervalo de Confiança para a Média Populacional ( )
a. Com Variância ( ) conhecida:

33
33
Como se sabe, o estimador de é , assim tem-se o intervalo de
confiança para a média populacional quando a variância é conhecida:
Fixando-se um nível de confiança 1 - ., tem-se:
/2
/2
1 -
x
-Z /2 Z /2
Exemplo:

34
34
A duração da vida de uma peça de equipamento é tal que = 5 horas.
Foram amostradas 100 dessas peças obtendo-se a média de 500 horas. Deseja-
se construir um intervalo de confiança para a verdadeira duração média da peça
com nível de 95% de confiança.
Solução:
Do problema se tem:
= 5; n = 100; = 500 (1 - ).100 = 95%
O gráfico da distribuição normal padrão será:
2,5%
/2
2,5%
95%
/2
1 -
x
-1,96 0 1,96
Lembre-se que para descobrir a abscissa 1,96, entrou-se na tabela com 0,475 =
47,5%, já que a tabela é de faixa central.
Substituindo-se os dados na fórmula, o intervalo encontrado é:
P(499,02 500,98) = 95%
A interpretação desse resultado é dada por:
“ O intervalo [499,02 ; 500,98] contém a verdadeira duração média da peça
com 95% de confiança”.
Exercícios (Intervalos para a média sendo conhecida a variância populacional)
01) Foram retiradas 25 peças da produção diária de uma máquina, encontrando-
se para uma certa medida uma média de 5,2 mm. Sabendo-se que as medidas
têm distribuição normal com desvio padrão 1,2 mm, construir intervalos de
confiança para a média aos níveis de:
a) 90% (5,2 ± 0,3936)
b) 95%;(5,2 ± 0,4704)
c) 99%;(5,2 ± 0,6192)

35
35
02) De uma distribuição normal com 2 = 1,96,obteve-se a seguinte amostra:
25,2; 26,0: 26,4; 27,1; 28,2; 28,4. Determinar o intervalo de confiança para a
média da população, sendo o nível de significância de:
a) = 0,05; (26,88 ± 1,12)
b) = 0,10; (26,88 ± 0,94)
03) Suponha que as alturas dos alunos de nossa faculdade tenham distribuição
normal com = 15 cm. Foi retirada uma amostra aleatória de 100 alunos
obtendo-se =175 cm. Construir, ao nível de confiança de 95% o intervalo para a
verdadeira altura média dos alunos. (175 ± 2,94)
04) Dados n = 10, = 110 e = 10, determinar os intervalos de confiança para
aos níveis de 90% e 95%.(110 ± 5,19 e 110 ± 6,2)
05) Feito um ensaio de corrosão com 64 peças de um lote de produção, verificou-
se que o tempo que a peça suportou nesse teste apresentou uma média de 200
horas. Sabe-se que o desvio padrão populacional vale 16 horas, construir um
intervalo de confiança para a média populacional com 95% de confiança.
(1,96,08h; 203,92h)
06) Suponha que o faturamento bruto mensal da Empresa Santos & Cia Ltda,
tenha distribuição normal com desvio padrão de R$ 4.949.00. Para se fazer uma
estimativa sobre o faturamento bruto da empresa, colheu-se uma amostra de 12
meses obtendo-se um faturamento bruto médio de R$ 15.600.000. Determine o
intervalo com 95% de confiança para o verdadeiro faturamento médio.(15600 ±
2800,16)
07) Suponha que o recolhimento mensal de ICMS da Empresa Santos & Cia Ltda,
tenha distribuição aproximadamente normal com desvio padrão de R$ 3.406,70.
Para se fazer uma estimativa sobre os tributos pagos pela empresa em u
determinado período, colheu-se uma amostra de 8 meses obtendo-se um
recolhimento médio de R$ 9.434,50 de ICMS.Encontre o erro da estimativa e o
intervalo com 98% de confiança. (9434,5 ± 2806,37)
08) A tabela abaixo representa o tempo de uso de três terminais de computadores
(em minutos). Calcule o intervalo de confiança para a média em cada um dos
casos abaixo:
Média (min)
()
Desvio padrão
( )
Tamanho(n) Nível de confiança ( 1 - )
165 20 120 95%
205 30 150 90%

36
36
280 55 80 99%
( 165 ± 3,57; 205 ± 4,01 e 280 ± 15,87)
09) Uma máquina de empacotar café, o faz seguindo uma distribuição normal com
desvio padrão de 10 gramas. Tomando-se uma amostra aleatória de 15 pacotes
encontramos uma média de 495 gramas. Estimar o intervalo de confiança que
contenha o verdadeiro peso médio dos pacotes de café desta máquina ao nível de
99% de confiança. (495 ± 6,66 )
10) O tempo de duração de um equipamento nos Estados Unidos tem desvio
padrão de 6 meses. Ao importa-lo para o Brasil, devido a problemas climáticos,
colocou 42 destes equipamentos em funcionamento que forneceu uma duração
média de 34 meses. Construa o intervalo de confiança de sua duração média no
Brasil. Considere o nível de significância de 5%. (32,18 ; 35,81)
11) Calcule o intervalo de confiança para a média em cada um dos casos abaixo:
Média Amostra Desvio padrão
da população
Tamanho
da amostra
Coeficiente de
confiança
170 cm 15 cm 100 95%
165 cm 30 cm 184 85%
180 cm 30 cm 225 70%
( 170 2,94 ; 165 3,18 e 180 2,08)
b. Com Variância ( ) desconhecida:
O processo para se obter o intervalo de confiança é semelhante àquele
mostrado no item anterior. Como não se conhece , porém, é preciso substitui-lo
por S (desvio-padrão amostral), isto não acarretará maiores dificuldades, pois a
variância amostral dá boa aproximação do verdadeiro valor, na maioria das vezes.
Quando não é conhecido, a distribuição de probabilidade correta a
ser usada é a distribuição “t” de Student, com n – 1 graus de liberdade.
Esta distribuição é bastante parecida com a normal. A principal
diferença entre as duas é que a “t” tem maior área nas caudas. Isto significa que
para um dado nível de confiança, o valor “t” será um pouco maior que o
correspondente valor Z.
Para uma amostra de tamanho pequeno, a distribuição “t” é mais
sensível ao tamanho da amostra, embora para grandes amostras essa
sensibilidade diminua. Na verdade, para grandes amostras, é razoável usar
valores Z para aproximar valores t, muito embora a distribuição “t” seja sempre
teoricamente correta quando não se conhece o desvio-padrão da população.

37
37
Sendo assim, se n > 30 podemos usar a distribuição normal, mesmo quando
não é conhecido.
O Intervalo de Confiança para a Média Populacional ( ) quando é
desconhecido é dado por:
Exemplo:
A amostra: 9, 8, 12, 8, 9, 6, 11, 6, 10, 9 foi extraída de um população
normal. Construir um intervalo de confiança para a média populacional ao nível de
95%.
Solução:
Calculando-se a média e o desvio-padrão da amostra obtém-se:
= 8,7 e S = 2, como (1 - ).100 = 95% e g.l. = n – 1 = 10 – 1 = 9,
usando a tabela da distribuição “t”, t0,025 = 2,2622, substituindo na fórmula, temos
que o intervalo é:
P(7,27 10,13) = 95%
“ O intervalo [7,27 ; 10,13] contém a verdadeira média com 95% de confiança”.

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38
Exercícios (Intervalos para a média sendo desconhecida a variância
populacional)
01) Em quatro leituras experimentais de um comercial de 30 segundos, um locutor
levou em média 29,2 segundos com uma S2 = 5,76 segundos.Construir os limites
de confiança para a média. Dado = 10% (26,38 ; 32,02)
02) Em uma fábrica, colhida uma amostra de certa peça, obtiveram-se as
seguintes medidas para os diâmetros:
10 11 11 11 12 12 12 12 13 13
13 13 13 13 13 13 13 13 13 13
14 14 14 14 14 15 15 15 16 16
a) Estimar a média e a variância; ( 13,13 ; 2,05 )
b) Construir um intervalo de confiança para a média sendo = 5%; (12,60 ;
13,66)
03) Colhida uma amostra de 30 peças, forneceu-se os seguintes pesos:
250 265 267 269 271 275 277 281 283 284
287 289 291 293 293 298 301 303 306 307
307 309 311 315 319 322 324 328 335 339
Por meio da construção do intervalo de confiança, responder se esta amostra
satisfaz a especificação pela qual o peso médio deve ser 300 kg. Adote = 2,5%
e = 5%
R = Satisfaz, pois com 1 - = 95% o intervalo é [288,33 ; 304,93]
04) Numa tentativa de melhorar o esquema de atendimento, um médico procurou
estimar o tempo médio que gasta com cada paciente. Uma amostra aleatória de
49 pacientes, colhida num período de três semanas, acusou uma média de 30
minutos, com desvio padrão de 7 minutos. Construa um intervalo de 95% de
confiança para o verdadeiro tempo médio de consulta. ( 30 1,96 )
05) A polícia rodoviária fez recentemente uma pesquisa secreta sobre as
velocidades desenvolvidas na rodovia no período de 2 às 4 horas da madrugada.
No período de observações, 100 carros passaram por uma parelho de radar a
uma velocidade média de 7a km/h, com desvio padrão de 15 km/h. Construa um
intervalo de 98% de confiança para a média da população. R = 70 3,50
06) Uma amostra aleatória de 40 contas não comerciais na filial de um banco
acusou saldo médio diário de 140 dólares com desvio padrão de 30 dólares.

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39
a) Construa um intervalo de 95% de confiança para a verdadeira média. (140
9,59 )
b) Construa um intervalo de 99% de confiança para a verdadeira média. (140
12,86)
07) Para avaliar a precisão na embalagem de arroz, a fiscalização pesou 28
unidades da marca A, que forneceu os seguintes valores: = 4962g e S = 48g. Se
o peso médio exigido é de 5000g, construa um intervalo de confiança para a
média embalada pela Marca A, com um nível de significância de 5% e responda
se a marca deve ser penalizada?
R = [4943,39 ; 4980,61]
08) Um pesquisador está estudando a resistência de um determinado chip sob
determinadas condições. Utilizando os seguintes valores obtidos de uma amostra
de tamanho 9, determine o intervalo de confiança para a resistência média com
um nível de significância de 5%.
4,9 7,0 8,1 4,5 5,6 6,8 7,2 5,7 6,2
R = [5,33 ; 7,11]
09) Uma amostra é composta pelos seguintes elementos:
7 7 8 9 9 9 10 11
11 11 12 13 13 14 15 15
Construir os intervalos de confiança para a média admitindo-se os
seguintes coeficientes de confiança:
a) 90% R = [9,73 ; 12,14]
b) 95% R = [9,48 ; 12,40]
10) Na tabela abaixo tem-se a distribuição dos salários da Secretaria A:
Nº de Salários Freq. Relativa
4,5 |------ 7,5
7,5 |------ 10,5
10,5 |------ 13,5
13,5 |------ 16,5
16,5 |------ 19,5
0,1
0,2
0,4
0,2
0,1
Total 1,0

40
40
Suponha que n = 60, construa um intervalo de confiança para a média, com
95% de confiança. R = [11,16 ; 12,83]
2. Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional (p)
Como não conhecemos o valor de p (populacional) usamos f (proporção
amostral) como estimador de p. Assim o intervalo de confiança fica:
Exemplo:
Examinamos 500 peças de uma grande produção encontrou-se 260
defeituosas, No nível de 90% construir um intervalo de confiança para a
verdadeira proporção de peças defeituosas.
Solução:
Tem-se n = 500, x = 260, (1 - ).100 = 90%, logo f = x/n = 269/500 = 0,52.
Substituindo na fórmula o intervalo de confiança será:
P(0,488 p 0,552) = 90%, ou ainda P(48,8% p 55,2%) = 90%
“ O intervalo [48,8%;55,2%] contém a verdadeira porcentagem (ou proporção)
de peças defeituosa com 90% de confiança”.
Exercícios (Intervalos para a proporção populacional)
01) Um grupo de pesquisa governamental constatou que 25% das 200 grandes
empresas do Estado não pagam em dia os tributos estaduais. Supondo que foi
tomada uma amostra aleatória, estime através de um intervalo com 90% de
confiança a proporção de empresas que não pagam os tributos em dia. R = [0,2 :
0,3]

41
41
02) Uma amostra aleatória de 400 domicílios mostra-nos que 25% deles são
casas de aluguel. Qual é o intervalo de confiança que podemos, razoavelmente
supor que seja o da proporção de casas de aluguel? Considere = 2%. R =
[0,16 ; 0,34]
03) Em 50 lances de uma moeda, foram obtidas 30 caras. A partir de um intervalo
de confiança de 96%, pode-se dizer que a moeda é honesta? R = Sim [0,46 ;
0,74]
04) Para verificar se um dado era viciado, jogou-se o mesmo 120 vezes, obtendo-
se 25 vezes o número cinco. Calcular um intervalo de confiança para a proporção:
= 1%. Pode-se dizer que o dado é viciado? R = não [0,11 ; 0,31]
05) Em recente pesquisa levada a efeito junto a 200 habitantes de uma grande
cidade, 40 se mostraram favoráveis ao restabelecimento da pena de morte.
Construa um intervalo de 99% de confiança para a verdadeira proporção dos
habitantes daquela cidade à pena de morte.
R = [0,13 ; 0,28]
06) Uma amostra aleatória de 100 fregueses da parte da manhã de um
supermercado revelou que apenas 10 não incluem leite em suas compras.
a) Qual seria a estimativa pontual da percentagem dos que compram leite? R =
0,9
b) Construa um intervalo de 90% de confiança para a verdadeira proporção dos
que compram leite. R = 0,90 0,0495
07) Um grupo de pesquisa de mercado contatou que 25% dos 200 fregueses
recentemente entrevistados num grande shopping center suburbano residem a
mais de 15 km do local. Suponha que foi tomado uma amostra aleatória. Construa
um intervalo de 95% de confiança para a percentagem efetiva de fregueses que
moram a mias de 15 km do shopping center. R = [0,19 ; 0,32]
08) Uma amostra aleatória de 40 homens trabalhando num grande projeto de
construção revelou que 6 não estavam usando capacetes protetores.
a) Construa um intervalo de 98% de confiança para a verdadeira proporção dos
que não estão usando capacetes nesse projeto. R = 0,15 0,13
b) Se há 1000 operários trabalhando no projeto, converta o intervalo de confiança
de percentagens para números de operários. R = 150 130
09) Uma amostra aleatória de 628 donas-de-casa revela que 70% delas preferem
a marca x de detergente. Construir um intervalo de confiança para a proporção
das donas-de-casa que preferem X com 90% de confiança. R = [0,68 ; 0,73]
10) Suponha que estejamos interessados em estimar a porcentagem de
consumidores de um certo produto. Se uma amostra de tamanho 300 forneceu
100 indivíduos que consomem o dado produto, determine o intervalo de confiança
para a proporção com 95% de confiança.

42
42
R = [0,27 ; 0,39]
11) Dada a distribuição a seguir, calcular os intervalos de confiança ao nível de
90%, para as proporções de valores:
a) menores que 21 anos; R = [20,7% ; 41,1%]
b) maiores ou iguais a 24 anos. R = [36,2% ; 58,4%]
Anos Nº de pessoas
15 |------ 18
18 |------ 21
21 |------ 24
24 |------ 27
27 |------30
30 |------ 33
8
9
12
15
7
4
12) Uma centena de componentes foi ensaiada e 93 deles funcionaram mais 500
horas. Determinar um intervalo de confiança de 95% para a proporção. R = [0,88 ;
0,98]
13) Uma amostra de 300 habitantes de uma cidade mostrou que 180 desejavam a
água fluorada. Encontrar os limites de confiança de 90% e 95% para a proporção
da população favorável a fluoração. R = [0,55 ; 0,65] [0,54 ; 0,66]
PARTE 06
1- TAMANHO DAS AMOSTRAS
Na apostila anterior vimos como construir intervalos para os principais
parâmetros populacionais. Em todos os casos, supusemos dado o nível de
confiança desses intervalos. Evidentemente, o nível de confiança deve ser fixado
de acordo com a probabilidade de acerto que se deseja ter na estimação por
intervalo. Sendo conveniente, o nível de confiança pode ser aumentado até tão
próximo de 100% quanto se queira, mas isso resultará em intervalo de amplitude
cada vez maiores, o que significa perda de precisão na estimação. É claro que
seria desejável termos intervalos com alto nível de confiança e pequena
amplitude, o que corresponderia a estimarmos o parâmetro em questão com
pequena probabilidade de erro e grande precisão. Isso, porém, requer uma
amostra suficientemente grande, pois, para n fixo, confiança e precisão variam em
sentidos opostos.
Veremos a seguir como determinar o tamanho das amostras necessárias
nos casos de estimação da média ou de uma proporção populacional.

43
43
1.1- TAMANHO DAS AMOSTRA DE UMA POPULAÇÃO INFINITA OU COM
REPOSIÇÃO
1.1.1 – Tamanho da amostra para a média populacional com variância
conhecida.
Sabemos que o intervalo para a média populacional é:
desconhecida.
Com gl = n’- 1 , sendo n’ = tamanho da amostra conhecida (amostra
piloto)
1.1.3 – Tamanho da amostra para a proporção de sucesso da população
Onde f = X/n
Caso, desconhecemos a proporção de sucesso da amostra (f),
utilizamos f = 0,5 ou 50%. Então o tamanho da amostra será:
1.2- TAMANHO DAS AMOSTRAS DE POPULAÇÕES FINITAS
conhecida.

44
44
desconhecida.
Onde gl = n’- 1 (tamanho da amostra piloto)
1.1.3 – Tamanho da amostra para a proporção de sucesso da população
EXEMPLOS
01) Qual o tamanho da amostra necessário para se estimar a média de uma
população infinita cujo desvio padrão é 4mm, com 95% de confiança e erro de 0,5
mm?
02) Foram feitas 20 medidas do tempo gasto(em minutos) para se resolver um
determinado problema matemático, obtendo-se:
13 15 12 14 17 15 16 15 14 16
17 14 16 15 15 13 14 15 16 15
Esse dados são suficientes para estimar o tempo médio gasto nessa
operação, com precisão de 30 segundos e 95% de certeza? Caso, negativo, qual
o tamanho da amostra adicional necessária?

45
45
03) Numa pesquisa de mercado bem conduzida, 57 das 150 pessoas
entrevistadas afirmaram que seriam compradores de certo produto a ser lançado.
Essa amostra é suficiente para estimar a proporção real de futuros compradores,
com uma precisão de 0,08 e confiança de 95%?
04) Para se estimar a proporção de pessoas interessadas em água fluorada, qual
o tamanho da amostra para se estar confiante em 99% de que o erro seja de no
máximo 3% ?
05) De uma distribuição normal com = 2,25 obteve-se a seguinte mostra:
27,5 25,6 28,2 26,1 25,0 27,4 26,9 25,8 28,5 27,0 25,5
26,7
a) Qual o tamanho da amostra suficiente para estimar a média populacional com
precisão de 0,5 e 90% de confiança.
b) Suponha que o tamanho da população seja de 500 elementos, qual o tamanho
da amostra suficiente para estimar a média populacional com precisão de 0,5 e
90% de confiança.
06) No exemplo 2, suponha que o tamanho da população seja de 800 elementos,
qual o tamanho da amostra.

46
46
07) No exemplo 3, suponha que o tamanho da população seja de 2000 pessoas,
qual o tamanho da amostra.
EXERCÍCIOS:
01) Antes da eleição, um determinado partido está interessado em estimar a
proporção de eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma amostra de tamanho 500
revelou que 60% dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão.
a) Determine o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido na
estimação seja de, no máximo, 0,02 com probabilidade de 95% de confiança. R =
2305
b) Se, uma outra amostra de tamanho 1000, observou-se que 55% dos eleitores
eram favoráveis ao candidato em questão, construa um intervalo com 95% de
confiança. [0,52 ; 0,58]
02) Da experiência passada, sabe-se que o desvio padrão da altura de crianças
de 5ª série do 1º grau é 15 cm.
a) Colhendo uma amostra de 60 crianças destas, observou-se a média de 150 cm.
Qual o intervalo de confiança para a média populacional. R = 1503,8
b) Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo 150 5 tenha 95% de
confiança?
R = 35
c) Suponha que o tamanho da população seja 2000 crianças, qual o tamanho da
amostra para que o erro em estimar a média seja igual a 3,5 cm, com 95% de
confiança ? R = 68
03) Suponhamos que se pretenda estimar a renda média por família numa grande
cidade. Com base em informações passadas. Admite-se que o desvio padrão das
rendas das famílias é igual a R$ 2000,00. Qual deve ser o tamanho da amostra, a
fim de que o erro da estimativa da renda média seja no máximo de R$ 100,00 com
probabilidade igual a 0,96? R = 1681

47
47
04) Um estudo será feito numa população para se estimar a proporção de
mulheres possuidoras de veículos. Qual o tamanho da amostra se desejarmos
estar confiante em 99% de que, nossa estimativa não difira da verdadeira
proporção em mais do que 1%. R = 16.641
05) Para se estimar a proporção de pessoas interessadas em água fluorada, qual
a amostra para se estar confiante em 95% de que o erro será no máximo 1%. R =
9.604
06) Em uma fabrica de válvulas um engenheiro de produção pretende fazer uma
inspeção e retira uma amostra de 400 válvulas, e obtém-se a vida média de 800
horas e o desvio padrão de 100 horas.
a) Qual o intervalo de confiança de 99% para a vida média da população? [787,1
; 812,9]
b) Com que confiança dir-se-ia que a vida média é 8000,98? R 15,86%
c) Que tamanho deve ter a amostra para que seja de 95% a confiança na
estimativa 800 7,84?
R = 625
07) Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a
proporção de eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de
tamanho 100 revelou que 60% dos eleitores eram favoráveis ao candidato em
questão.
a) Determine o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido na
estimação seja de, no máximo, 0,01 com probabilidade de 80%. R = 3932
b) Se na amostra final, com tamanho igual ao obtido em (a), observou-se que
55%, dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão, construa um
intervalo de confiança para a proporção. Utilize o nível de significância de 5%. R
= [0,53 ; 0,57]
08) Determine o número de observações necessário para estimar o tempo médio
de serviço de atendimento a chamadas de um bombeiro hidráulico, se o erro
máximo deve ser de 0,6 hora para um nível de confiança de 95%, sabendo-se que
o tempo de atendimento tem um desvio padrão de 1 hora. Suponha a normalidade
dos dados. R = 11
09) Como seria a resposta do exercício anterior se o erro máximo fosse de apenas
0,3 hora?
R = 43
10) Qual o tamanho da amostra necessária para estimar o tempo médio que um
vendedor de uma loja de móveis gasta com cada cliente, para obter um nível de
confiança de 99% e uma precisão de 2 minutos. Suponha = 12 minutos. R =
240

48
48
11) Uma biblioteca pública deseja estimar a porcentagem de livros de seu acervo
publicados até 1980. Qual deve ser o tamanho da amostra aleatória para se ter
90% de confiança de ficar a menos de 5% das verdadeira proporção? R = 272
12) Um fabricante de flashes deseja estimar a probabilidade de um flash funcionar.
Como se trata de um teste destrutivo, ele deseja manter o tamanho da amostra o
menor possível. Determine o número de observações que devem ser feitas para
estimar a probabilidade a menos de 0,04 com 95% de confiança, se:
a) Ele não tem idéia de percentagem de defeituosos. R = 600
b) Ele crê que a percentagem de defeituosos não supere 6%. R = 135
13) Para verificar a eficácia de um programa de prevenção de acidentes de
trabalho, fez-se um estudo experimental, implementando este programa em dez
empresas da construção civil, escolhidas ao acaso, numa certa região. Os dados
abaixo referem-se aos percentuais de redução de acidentes de trabalho, na
amostra destas dez empresas em que o programa foi implementado.
Amostra Estatísticas
20 15 23 11 29 5 20 22 18
17
Média: Devio padrão : S = 6,65
a) Construa um intervalo de confiança para a média com nível de significância de
5%.
R = 18 4,76
b) Considerando que o número de empresas na região seja de 400 empresas,
qual o tamanho da amostra, considerando um erro máximo de 2,5 pontos
percentuais, com 95% de confiança.
R = 33
14) Numa pesquisa epidemiológica, deseja-se estimar, com 90% de confiança, a
proporção de pessoas infectadas, com erro amostral máximo de 1%. Qual deve
ser o tamanho de uma amostra aleatória simples, admitindo que, na população em
estudo, não devam existir mais que 20% de indivíduos infectados? R = 4356
15) Com o objetivo de estimar o tempo médio de um caixa eletrônico para atender
um cliente, planeja-se fazer um levantamento por amostragem. Qual deve ser o
tamanho de uma amostra aleatória simples de clientes, para garantir uma
estimativa com erro não superior a 2 segundos, ao nível de 95% de confiança?
Admita que, em estudos anteriores, verificou-se que o desvio padrão não
ultrapassa 8 segundos. R = 61
16) Deseja-se estudar as percentagens de ocorrências de diversos atributos das
famílias de uma comunidade de 600 famílias. Qual deve ser o tamanho de uma
amostra aleatória simples, considerando em cada estimativa um erro máximo de
4% e nível de 95% de confiança? R = 300

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17) Um máquina de empacotar café, o faz seguindo uma distribuição normal com
desvio padrão de 10 gramas. Tomando-se uma amostra aleatória de 15 pacotes
encontramos uma média de 495 gramas.
a) Estimar o intervalo de confiança que contenha o verdadeiro peso médio dos
pacotes de café desta máquina ao nível de 99% de confiança. R = 495 6,66
b) Qual o tamanho mínimo da amostra para que a precisão não difira da média
populacional por mais de 5gramas, ao nível de 95% de confiança. R = 15
18) O setor de produção de certa empresa, procurando dimensionar o tempo
médio à realização de uma tarefa, selecionou aleatoriamente 75 de seus
funcionários e observou que gastaram em média 35,7 minutos, com desvio padrão
de 7,8 minutos.
a) Estimar um intervalo de confiança para o tempo médio necessário à realização
daquela tarefa, a um nível de confiança de 99%. R = 35,7 2,32
b) Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo 35,7 2 tenha 95% de
confiança?
R = 58
c) Suponha que o tamanho da população seja de 500 funcionários, qual o
tamanho da amostra para que o erro em estimar a média seja igual a 2 minutos,
com 95% de confiança? R = 52
19) Numa pesquisa no setor comercial e industrial de uma cidade, entre 600
empresas, 240 responderam que possuem equipamentos de primeiros socorros
de alta qualidade.
a) Determinar o intervalo de confiança para a proporção populacional dos que
possuem equipamentos, ao nível de 95%. R = 36% < p < 44%
b) Suponha que o tamanho da população seja de 5000 empresas, determine o
tamanho mínimo para que o erro na estimação da proporção populacional seja de
4%, com 99% de confiança.
R = 832
20) Uma empresa de pesquisa eleitoral consulta 10.000 eleitores numa eleição
para governador de um dado estado e encontra 5472 votos a favor de um dado
candidato.
a) Construa um intervalo de confiança para a proporção populacional desse
candidato com 95% de confiança.
b) Qual o tamanho da amostra necessária para que o erro na estimativa da
proporção populacional seja no máximo de 2%, ao nível de 95%.
c) Suponha que o tamanho da população seja de 10.000 eleitores, qual o tamanho
da amostra necessária para que o erro na estimativa da proporção populacional
seja no máximo de 2%, com confiança de 99%.

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