Apostila r i

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS – UNICAMP
CENTRO SUPERIOR DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA – CESET

ST302 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

PROF. MILTON GIACON JÚNIOR

1

Apresentação.

Estas notas de aula, têm a finalidade de auxiliar ao aluno, no acompanhamento da
matéria de Resistência dos Materiais no dia a dia da escola. Nela procuramos apresentar a matéria de
uma forma resumida e clara. Constam resumos da teoria e alguns exemplos de exercícios resolvidos Não
é nossa pretensão apresentar aqui um tratado sobre a matéria, mas simplesmente tentar derrubar aquela
imagem corrente, que coloca Resistência dos Materiais como complicada e de difícil compreensão. O que
ocorre é que devido ao despreparo do aluno nas matérias básicas, fica de fato difícil ao aluno acompanhar
o desenrolar da matéria sem uma devida dedicação, pois são necessários conceitos firmes nas áreas de
Física e Matemática, principalmente, além de uma boa dose de atenção e bom senso.
A finalidade de uma boa escola, é desenvolver no aluno a capacidade de se virar
sozinho e não ficar dependente de professores, ou se ater somente àquilo que há nos cadernos e livros ou
nos exemplos resolvidos em sala, mas prepará-lo para o dia a dia profissional, onde todos os dias sua
capacidade será testada na solução de problemas inesperados que se apresentem diariamente e cuja
solução dependa exclusivamente da sua própria iniciativa e onde o profissional deve às vezes estudar
matérias que se apresentam até publicadas em outras línguas .
Juntos nós chegaremos lá.

Boa Sorte.

2

Antes de começarmos a matéria propriamente dita, vamos rever rapidamente alguns conceitos
bastantes importantes para nós.
FORÇA : É uma grandeza vetorial, caracterizada pôr sua direção, intensidade e sentido.

MOMENTO : De uma força F em relação a um ponto O é um vetor tal que a sua intensidade é igual
ao produto do módulo da força pela sua distância ao ponto º

F

o
Z

M=F.z

BINÁRIO :

F

o

Z
2
Z Z

M0 = F.z 2 F.z 1
- M0
= F( z 2 z 1
- )= F.z

RESULTANTE DE FORÇAS :

F 2

F F F F1 F3
2 3 4
F
1 R F 4

MOMENTO RESULTANTE :

0
2m 2m
4t 1n 5t

4

∑M = 5 x 2 – 4 x 2 – 4 x 1 = - 2 tfm

3

CONDIÇÕES DE EQUILIBRIO :

Y ∑Fx = 0
F2
F3
∑Fy = 0 ⇒ ∑F = 0
F1
F4
∑M = 0
0 X

Todos estes conceitos apresentados acima, já devem ser do conhecimento da maioria dos alunos
que já os viram em Física ou Matemática, porém os que se apresentam a seguir, já são de um
conhecimento mais restrito à área técnica e portanto devemos nos ater mais a eles, pois se tratam de
conceitos novos e com os quais os alunos devem já ir se habituando.
Vejamos então alguns deles:

BARRA : Elemento da estrutura que transmite apenas esforços de tração e compressão.
CHAPA : Elemento que serve para transmitir todos os esforços existentes nas estruturas.
NÓ : É uma articulação através da qual , unem-se duas ou mais barras pela extremidade.
VÍNCULO : Apoios e articulações pelos quais são unidas as chapas entre si ou com a chapa terra

Veremos no transcorrer do curso que barras e chapas são desenhadas de maneiras distintas.
Porém os nós e os vínculos recebem a mesma representação, devendo ficar bem claro que a diferença é o
fato de uma une peças sujeitas somente esforços de tração e compressão e a outra peças sujeitas a todos
os tipos de esforços que ocorram na estrutura.
Com a utilização das peças descritas acima, poderemos representar através de um desenho,
qualquer tipo de estrutura, devendo porém tomar cuidado de utilizar as representação específica para cada
caso.
Vejamos então a representação das ligações das estruturas com o solo (chapa terra ), que por
ligarem chapas denominam-se VINCULOS .

VINCULAÇÃO DAS ESTRUTURAS:

1. APOIO MÓVEL

O U O U

R

2. APOIO FIXO.

O U
R

R

4

3. ENGASTE:

P

H

M

Vejamos como funciona :

Exemplo : Calcule os valores das rações de apoio.
1) 2)

3)
4tf 4 2
45°

3tf

3m 2m

3tf

2m

3tf
2m

3tf

2m 2m 2m 2m

Ficando claro como as estruturas se ligam e como ocorrem as ligações entre elas , deveremos
estudar agora quais os efeitos que as cargas externas provocam internamente nas estruturas e para isso
vamos estudar os esforços solicitantes, que são o resultado interno das cargas externas.

ESFORÇOS SOLICITANTES

Suponhamos, uma viga (chapa ) sujeita a varias cargas e suportada por dois apoios, um fixo e
outro móvel como no desenho abaixo.

P1 P2 P3 P4 Pn

R 3

R 1
R 2

Se no traço indicado, seccionarmos a peça, ela evidentemente cairá, o que não ocorria antes do
seccionamento, indicando ocorrerem ali esforços que não permitiam a separação da mesmas. Estes
esforços, denominam-se ESFORÇOS SOLICITANTES e representam aqueles esforços que ocorrem
internamente às peças e são devidos à interação entre as partículas dos materiais que a compõe; interação
esta que não permite a separação das partes sem que haja sobre elas um força de elevado valor.

5

P1 P2 P3 P 4 Pn

R 3

R 1 R 2

Na realidade, ocorrem ali, esforços atuando em todas as direções e que devem ser agrupados
segundo algum critério para facilitar o nosso entendimento. Assim, agrupou-se estes esforços em várias
categorias , associando-se a elas um tipo de carga específico, como vemos abaixo.

FORÇA NORMAL : N é a resultante das forças horizontais que atuam na secção.
FORÇA CORTANTE : Q é a resultante das forças verticais que atuam na secção.
MOMENTO FLETOR : Mf ou M é a resultante dos momentos fletores atuando na secção
MOMENTO TORÇOR: Mt é a resultante dos momentos torçores que atuam na secção.

Mt

Q Mt

N

SIMPLIFICAÇÃO NO CASO PLANO: Com a finalidade de facilitar nosso trabalho, vamos agrupar
as cargas, conforme o plano em que atuam e estudá-las . Verificamos que os esforços Mf, Q e N atuam no
plano de cargas ( do papel ) e Mt no plano perpendicular a ele. Estudaremos inicialmente os três
primeiros e oportunamente Mt.
Deveremos ainda separá-las conforme os tipos de apoios, vejamos portanto a
CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS:
Para a equação B = 3C + 2N onde B - no. de barras da estrutura
C - no. de chapas da estrutura
N - no. de nós da estrutura.
Quando ocorrer:
B < 3C + 2N ⇒ Estrutura Hipostática
B = 3C + 2N ⇒ Estrutura Isostática
B > 3C + 2N ⇒ Estrutura Hiperestática

ESTRUTURA HIPOSTÁTICA: Quando o numero de reações de apoio é menor que o número de
equações de equilíbrio

F F
1 2

R R
1
1

6

ESTRUTURA ISOSTÁTICA : Quando o número de reações de apoio é igual que o número de equações.

F F F
1 2 2

R
1 R R
2 3

ESTRUTURA HIPERESTÁTICA : Quando o número de reações de apoio e maior que o numero de
equações( este caso será estudado em Estática)

R 1 R 2 R 3 R 4

Trabalharemos, por enquanto, somente com problemas isostáticos, veremos os casos
hiperestáticos oportunamente.
Para a resolução das equações, deveremos seguir os seguintes passos:
1. Identificar os tipos de vínculos;
2. Isolar o sistema, locando forças e reações;
3. Escrever e montar as equações de equilíbrio estático da estrutura;
4. Efetuar os cálculos;
5. Substituir os valores numéricos das equações;
6. Efetuar a verificação dos cálculos;
7. Desenhar os diagramas.

Vejamos como se escrevem as equações que serão utilizadas para o desenho dos diagramas.

FORÇA CORTANTE E MOMENTO - EQUAÇÕES

Y
a
P c P
1
a 2

R a X
3
x

R 1
R 2

L

A viga está em equilíbrio sob a ação de P1 e P2 e das reações de apoio R1 e R2. Seccionando-se
a viga em a-a, distante x de R1 deveremos introduzir Q e M para que haja equilíbrio.
Assim:

a M M b
P 1 P 2

Q
x
R 1

R L-x
1

7

MOMENTO FLETOR (M): O momento M da figura é chamado Momento Fletor da secção a-a, (seu
valor é obtido com a utilização da equação da estática M=0). O seu valor é produzido por todos os
esforços que atuam na parte da viga, que se conservou em equilírio, depois que se abandonou a outra
parte e que produzem momento em a-a . Deve-se sempre considerar apenas uma parte da viga , à
esquerda ou à direita do ponto para o qual se deseja o valor de M.
Neste caso o momento é calculado: Mc= R1.x – P1.(x-a) ou Mc= R2.(1-x) – P2.[(1-x) – b]
CONVENÇÃO DE SINAIS:
M > 0 tração nas fibras inferiores. M < 0 tração nas fibras superiores.

FORÇA CORTANTE ( Q ): A força cortante Q é chamada Força Cortante da secção a-a ( seu valor é
obtido com a utilização da equação da estática Fv = 0). O seu valor é obtido com a somatória de todas
as componentes verticais que atuam à esquerda ou à direita de a-a . Aqui, também deveremos considerar
apenas uma parte da viga, à esquerda ou à direita do ponto para o qual se deseja o valor de Q.
Fv = 0 -Q + R1 – P1 = 0 Q = R1 – P1

+ _

CONVENÇÃO DE SINAIS:
Exercícios: Escrever as equações para : ( desprezar o peso próprio)

1) 2)
q

X

L

3)

P
X X
1 2

Vamos ver as aplicações práticas.
Traçar os diagramas de M, N e Q. para:
1) 2)

3)

3tf 4tf 4 2

45°

3m 2m

3tf

2
m
3tf
2
m
3tf

FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR - RELAÇÕES
2m 2m 2m 2m
DIFERENCIAIS

8

Quando vamos representar os diagramas, é usual que apareçam cargas distribuídas, devendo-se então
lançar mão das relações diferenciais para que se entenda o procedimento.

pdx
M M+dM
Q
X
X
Q+dQ
L

X X dx

dx

Equilibrando-se o elemento vem:

∑Fv = 0 Q – ( Q+ dQ) – pdx = 0. E daí - dQ – pdx = 0 de onde vem p = - dQ_ I
dx

∑Mx = 0 M – ( M + dM ) + pdx . dx + ( Q + dQ).dx
0 2 0
M – M – dM + pdx2+ Qdx + dQdx Q = dM II
2 dx
Derivando-se II em relação a x teremos :

d2M = dQ = -p d2M = -p
dx dx dx

Obs.: Quando M é máx. ⇒ dM = 0 ⇒ Q=0.
dx

MOMENTO ESTÁTICO

Momento estático: O momento estático de um elemento de área em relação a um eixo, situado no mesmo
plano que a superfície considerada, é o produto da área do elemento pela sua distância ao eixo
considerado.

Y

X
Y
dMx = ydS dMy = xdS
0 X

Momento estático: O momento estático de uma superfície de área em relação a um eixo, situado no
mesmo plano que a superfície considerada, é a integral dos momentos estáticos de todos os elementos de
uperfície finita.
Y

Mx = ∫dMx = y.dS My = ∫d My = xdS
X
Y

0 X

9

CENTRO DE GRAVIDADE DE UMA SUPERFICIE PLANA

Mx = y.S ⇒ y = Mx = 1 . ∫yds
S S

Exemplos :
1) Calcular a posição do C.G. 2)
5 3 5
0
3
4

6 12

5

5
2
5 2 1 6 6 2
5 0

3) 4)
5 5 5

5 5

30
45

5
5
5
5 2 5
5 0
0

5)

17

5

15

5 3
0

10

Apostila r i

Mais conteúdo relacionado

Destaque (20)

Mais de zeramento contabil (20)

Apostila r i