Mat s conicas resolvidos
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1) O documento apresenta a resolução de dois exercícios sobre cônicas, incluindo a determinação da equação de uma parábola e hipérbole. 2) É também apresentada a resolução de exercícios sobre cônicas tirados de provas, incluindo obter a forma reduzida de equações e identificar elementos geométricos. 3) Por fim, é resolvido um exercício sobre determinar a equação do lugar geométrico de pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é constante.
Mat s conicas resolvidos
- 1. GUIDG.COM – PG. 1 14/4/2010 – ALGA-1: Exercícios Resolvidos – Cônicas * Do Livro de Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle. * Da lista de exercícios e também da prova de ALGA-1, da UDESC-CCT. Lista, exercício 18. Determine a equação da parábola que passa pelos pontos P(2,1), Q(4,6) r R(5,0). Solução: Existem varias formas de se resolver, aqui vai uma das soluções: Para melhor visualizar, colocamos os pontos no sistema cartesiano (A); e façamos um esboço dos gráficos possíveis (B) e (C). (A) (B) (C) Então pela definição, sabemos que a equação da parábola pode ser: Para (B): y = @ ax 2 + bx + c Para (C) x = ay 2 + by + c Resolvendo para (B), substituímos os pontos P(2,1), Q(4,6) e R(5,0) na equação, depois resolvemos o sistema e encontramos a equação: P x ,y :y = @ax2 + bx + c ` a X b c ^P 2,1 : 1 = @ ` 4a a + `2a b + c ^ ^ ^ ^ ^ ^ b c ^ Q 4,6 : 6 = @ 16 a + 4 b + c ` a ` a ^ ^ b c ^ ^ ^ ZR 5,0 :0 = @ 25 a + 5 b + c ^ ^ ` a ` a ^ (1) Agora veja que se multiplicarmos a primeira equação por (-4) e somarmos com a segunda, eliminamos o coeficiente a, e ficamos com: 2 = @ 4b @ 3c ou 2 + 4b = @ 3c . Da mesma forma, se multiplicarmos a primeira por (-25) e a terceira por (4), somando as equações também eliminamos a, e ficamos com: @ 25 = @ 30b @ 21c 25f @ffff ff fffff ff f30bf f f ffff = ffff@ 3c @ ff+ fff= @ 3c . 25f 30bf ff fff f f ff ff (2) Dividindo a equação por sete: @ ou 7 7 7 7 25f 30bf ff fff ff fff f f + ff = 2 + 4b , resolvendo encontramos b = ff ff 39f ff f f Comparando as equações temos: @ . 7 7 2 Agora substituímos b em algumas das equações (1) ou (2) para encontrar c:
- 2. GUIDG.COM – PG. 2 f g 39f ff ff f f @fff ffff f80f fff fff 2+4 = @ 3c , resolvendo encontramos c = . 2 3 Por último substituímos b e c, na primeira equação para encontrar a: f g 17f ff ff f f 1 = @ 4 a + 2 b + c [ 1 = @ 4 a + 2 ff @ ff , resolvendo encontramos a = . ` a ` a ` a ` a 39f 80f ff f f ff ff 2 3 6 Substituindo na equação geral: y = @ ax 2 + bx + c = @ ffx 2 + ffx @ ff 17f ff ff 39f 80f ff f f ff f f 6 2 3 Para obter a equação da parábola (C), basta seguir o mesmo procedimento, mas alterando a variável e os coeficientes já que o gráfico esta paralelo ao eixo x: x = ffy 2 @ fffy + 5 17f ff f f 107f fff ff ff 30 30
- 3. GUIDG.COM – PG. 3 Livro, pg. 269, exercício 23. Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas. Centro C(-2,1), eixo real paralelo a Ox, passando por P(0,2) e Q(-5,6). Solução: 1º Fazemos o gráfico, e colocando as informações dadas, é isso que temos (fig.1). Agora analisando, concluímos pela definição que a equação da hipérbole é: b c2 ` a2 yffffff kfff @ffff xffffff ffff @h fffffff fff fff ffffff ffffff fff f @ =1 a2 b 2 Pois está fora da origem do sistema, e as “concavidades” estão no eixo real paralelo a Ox. (fig.1) (reta y = 1) O centro foi dado, C(-2,1) então substituímos: b ` ac2 b ` ac2 b c2 +ffff fffffff x ffffffff fffffff @ @2 y@ 1 ` a2 y ff1ff @f ffffffffff ffffffff ffffffffff ffffffff fffffffff f xffffff fffffff 2ff ffffff 2 @ fffffff= 1 2 [ ffffff ffff ff f @ =1 a b a2 b 2 Agora só precisamos achar a² e b², para isso substituímos na equação os pontos P(0,2) e Q(-5,6): c `0 + 2a2 `2 @ 1a2 ffffff ffffff ffffff ffffff ffffff ffffff ffffff ffffff b =1 4b @ a 2 = a 2 b (1) 2 2 P 0,2 : @ [ a2 b 2 c `@ 5 + 2a2 `6 @ 1a2 ffffffff ffffff ffffffff ffffff ffffffff ffffff fffffff ffffff b =1 9b @ 25a 2 = a 2 b (2) 2 2 Q @ 5,6 : @ [ a2 b 2 Comparando (1) com (2): Substituindo b² na equação: Substituindo a² na equação: 4b @ a 2 = a 2 b 2 2 4b @ a 2 = a 2 b 2 2 4b @ a = 9b @ 25a 2 2 2 2 f g f g 4b @ ff = ff b 2 2 91f 91f 2 ff f f ff f f 4 ffff a 2 = a 2 ffff 24aff fff fff ff 24aff fff fff ff 2 5b = 24a 2 2 @ 24 24 5 5 2 b = ffff 24aff fff fff ff f g 2 a 2 ff 1 = a 2 ffff 2 96f ff f f 24aff fff fff ff f g 4 @ ff = ff @ 2 91f 91f ff ff ff f f 5 5 5 b 24 24 2 91f 24aff ff ffff ff fff ff fff = ff f g 5f 91f ff ff ff ff ff f f = 2 5 5 b 24 24 a 2 = ff 91f ff f f b = ff 2 91f ff f f 24 5 Logo a equação reduzida da hipérbole com centro fora da origem é: b c2 +ffff fffffff ` a2 y ff1 ff @f xffffff fffffff ffffff ffff ff 2ff ffffff f 91f @ 91 =1 ff ff ff f f ff ff ff f 24 5
- 4. GUIDG.COM – PG. 4 E a equação geral: b c2 +2 ` a2 y ff1 ff @ xffffff ffffff ffffff ffffff 24 @ 5 fffffff 1 fffffff ffffff f f = 91 91 b c2 24 x + 2 @ 5 y @ 1 = 91 ` a2 b c b c 24 x 2 + 4x + 4 @ 5 y 2 @ 2y + 1 = 91 24x 2 + 96x + 96 @ 5 y 2 + 10y @ 5 @ 91 = 0 24x 2 @ 5 y 2 + 96x + 10y = 0 Não foi necessário desenhar o gráfico, mas para visualizarmos, utilizando a ajuda do computador, o gráfico da hipérbole esta ao lado. Prova: exercício 1 (2009/2) (1,0 pt cada) Usando uma translação de eixos, obtenha a equação reduzida, identifique a cônica, obtenha os elementos (focos, vértices) e represente graficamente. a) 8x² – y² – 64x – 4y + 116 = 0 b) 16x² + 9y² + 96x – 72y + 144 = 0 Solução: a) Simplificando a equação, chega-se à forma reduzida: b c2 +2 y fffff x @ 4 @ fffffff 1 fffffff ffffff f = ` a2 8 Que defini uma hipérbole de centro C(4, –2). Fazendo o gráfico. Logo: os Vértices são: V’(3, –2) e V’’(5, –2) Para encontrarmos os focos, fazemos: c 2 = a 2 + b 2 wwww wwww wwww wwww wwww wwww www www www www www www www www www ww c = F qa 2 + b = F p8 + 1 = F 3 2 Logo: os Focos são: F’(1, –2) e F’’(7, –2) b) Simplificando a equação, chega-se à forma reduzida: b c2 +f ` a2 yffffff 2ff @ffff xffffff ffff fff3ff fff ffffff ffffff ffffff f + =1 9 16 Que defini uma elipse de centro C(-3, 4). Fazendo o gráfico. Os vértices são: V(-3, 0), V(-3, 8), V(-6, 4) e V(0,4) Para encontrarmos os focos, fazemos: a 2 @ b = c 2 2 wwww wwww wwww wwww wwww wwww wwww www wwww wwww wwww www www www www www w w w w ww w c = F qa 2 @ b = F p16 + 9 = F p 7 2 w ww w w ww Logo: os Focos são: F(-3, 4 F p 7 )
- 5. GUIDG.COM – PG. 5 Prova: exercício 2 (2009/2) (2,0 pt cada) Representar graficamente e escrever a equação da elipse cujo centro coincide com o foco da parábola x² - 4x - 8y + 12 = 0 e tangencia o eixo y e a diretriz da parábola. Solução: Primeiro colocamos a equação da parábola na forma padrão, depois fazemos o desenho. x 2 @ 4x @ 8y + 12 = 0 b c x @2 =8 y@1 ` a2 Logo é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y, Com vértice em V(2, 1) . então 2p = 8 logo: ff 2 pf ff = 2 Isso nos da a distância do foco F(2, 3) e da diretriz (y = -1) em relação ao vértice. Sabemos que o centro da elipse coincide com o foco, então, a partir da definição temos: b c2 ` a2 yffffff 3ff @ffff xffffff ffff @2 fffffff ffffff ffffff ffffff fff f + =1 4 16 Que é a equação reduzida da elipse com centro no foco da parábola, com eixo maior paralelo ao eixo y (a²=16), e eixo menor paralelo ao eixo x (b²=4). Isso é fácil perceber pelo que o enunciado disse, que a elipse tangencia o eixo y e a diretriz da parábola (veja a figura). Prova: exercício 3 (2009/2) (2,0 pts) Determine a equação do lugar geométrico dos pontos P(x, y), tal que a soma das distâncias de P aos pontos A(1, 1) e B(5, 1) é 6 unidades. Solução: Se escrevermos na linguagem matemática temos (repetindo o enunciado): Ljk Ljj jj jj jj j M jj j jM j j j j jj k j j Determine a equação do lugar geométrico dos pontos P(x, y) | LPAM+LPBM= 6 . L M L M Logo isso é a definição da elipse, desenvolvendo um pouco mais chegamos a: LA @ PM+LB @ PM= 6 L M L M Lb c ` M L M M b c ` L 1, 1 @ x, y M+L 5, 1 @ x, y M= 6 L a L aM L M L M Lb c L M b cM L 1 @ x, 1 @ y M+L 5 @ x, 1 @ y M= 6 L M L M L M L M Daqui pra frente o processo é longo, mas a intenção é simplificar essa última equação (eliminando os módulos através de manipulação algébrica). No livro, página 229, tem a expansão da definição, então seguindo o mesmo procedimento:
- 6. GUIDG.COM – PG. 6 5x2 @ 30x + 9 y 2 @ 18y + 9 = 0 Ou fatorando (completando os quadrados e tal...) chegamos à equação reduzida: b c2 ` a2 yffffff 1ff @ffff xffffff ffff @3 fffffff fff fff ffffff ffffff fff f + =1 9 5 Ou seja, uma elipse com eixo maior paralelo ao eixo dos x, e eixo menor paralelo ao eixo dos y, com centro em C(3, 1). E por curiosidade (o exercício não pede), o gráfico: