Aula7e8
- 1. Fórmula posicional: É possível observar que o número de pontos é igual ao quadrado da posição. Assim, temos que an = n2 Fórmula recursiva: a1 = 1 a2 = a1 + 3 a3 = a2 + 5 a4 = a3 + 7 ...... Nota-se que o termo atual é sempre a soma do termo anterior com um número. Conforme observação do exemplo, esse número pode ser definido como sendo 2n-1 em que n = posição do termo. Assim, temos que a fórmula recursiva para essa sequência é: an= an-1 + 2n-1
- 2. Fórmula posicional: a1 = 1 a2 = 6 a3 = 15 a4 = 28 ..... Nota-se que a posição pode ser dada por an = 2n2 + n Fórmula recursiva: Segue que a fórmula recursiva é an = an-1 + 4 (n+1) + 1 an = an-1 + 4n + 5 a) O primeiro termo de cada linha é uma seqüencia (1, 3, 7, 13 ...) que pode ser considerada uma Progressão Aritmética de Segunda Ordem e pode ser representada da seguinte forma: sendo que a segunda sequencia formada é uma p.a. de razão 2. Essa p.a. de segunda ordem pode ser descrita pela fórmula posicional an = n + (n – 1)2 Assim, se acharmos o termo a31 estaremos achando o valor do primeiro elemento da 31ª linha. Jogando os dados na fórmula temos:
- 3. a31 = 31 + (31 – 1)2 a31 = 31 + 900 a31 = 931 b) O último termo de cada linha (1 , 5 , 11 , 19 ...) também segue como uma p.a. de segunda ordem seguindo a seguinte fórmula posicional an = n2 + (n – 1) Assim, se acharmos o 31º termo dessa sequencia estaremos achando o último termo da sequencia da linha 31 que começa com a1 = 931. Jogando na fórmula temos: a31 = (31)2 + (31 – 1) a31 = 961 + 30 a31 = 991. Desta forma, temos uma p.a. (linha 31) que começa com 931 e segue até 991 (931, ..., 991). Sabendo o primeiro e o último termo da p.a. é possível calcular o quantidade de elementos “n” que ela possui, através do termo geral da p.a. = am = an + (m – n).r 991 = 931 + (n – 1).2 n = 31 ou seja, a linha 31 é uma p.a. que possui 31 termos. Agora, com esse dados é possível calcular a soma dessa p.a. Sm = (a1 + an).n - Sm = (931 + 991). 31 Sm = 59.582 Sm = 29.791 2 2 2 Resposta: Na dízima periódica apresentada, os números se repetem a cada 6 algarismos. Assim, basta dividir 1000 por 6, ver quantos inteiros dá e o resultado à pergunta será o “resto” da divisão. Assim, 1000 / 6 = 166 inteiros e sobra o resto 4. O número que está na posição 4 da dízima é o número 2. Logo, a resposta é o algarismo 2.
- 4. A primeira sequencia é uma p.a. de razão 4. Assim, sua fórmula posicional pode se definida por: an = (n-1).4 – 10 an = 4n – 14 Já a segunda sequencia é uma p.a. de segunda ordem que pode ser definida por: an = n + (n – 1)2 + 2 an = n2 – n + 3 a) 0,77777... = 0,7 + 0,07 + 0,007 + .... Ou seja, é uma P.G. de razão 0,1 (ou 1/10). Assim, podemos dizer que a soma dos infinitos termos dessa p.g. de razão menor que 1 pode ser definida pela fórmula acima. Substituindo, então, os valores temos: S = a1 0,7 0,7 0,7 . 10 7 1-q 1 – 1/10 9/10 1 9 9 Resposta: 7/9
- 5. b) 0, 16161616... = 0,16 + 0,0016 + 0,000016 ... Ou seja, é uma p.g. de razão 0,01 (ou 1/100). Assim, podemos dizer que a soma dos infinitos termos dessa p.g. de razão menor que 1 pode ser definida pela fórmula acima. Substituindo, então, os valores temos: S = a1 0,16 0,16 0,16 . 100 16 1-q 1 – 1/100 99/100 1 99 99 Resposta: 16/99 c) 0,23333... = 2/10 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 ... Ou seja, do segundo termo em diante é uma p.g. de razão 1/10. Assim, podemos dizer que a soma dos infinitos termos dessa p.g. de razão menor que 1 pode ser definida pela fórmula acima. Substituindo, então, os valores temos: S = a1 2 + 0,03 2 + 0,3 18 + 3 21 1-q 10 1 - 1/10 10 9 90 90
- 6. Respostas: b) 5 e 6 c) 6 d) Significa que a soma dos termos da série convergem para o número limite da mesma, que, neste caso, é o número 2.