C7 exercicios

CAPÍTULO 7
Exercícios Resolvidos
R7.1) O problema mais grave do estado do RJ
Considere uma pesquisa por amostragem feita em 1986 junto à população do
Estado do Rio de Janeiro. Foram ouvidas 1230 pessoas que, entre outras
coisas, apontaram qual era, em sua opinião, o problema mais grave do
Estado naquele momento. Com base nos dados brutos, foi obtida a tabela a
seguir.
Tabela 5.4 - Freqüências e Percentuais dos 1230 respondentes da Pesquisa junto à
população do Estado do RJ em 1986, segundo o problema mais grave do Estado
Problema mais grave do Estado
Freqüências Percentuais
Segurança / Violência (S/V) 360 29,27
Educação 160 13,01
Saúde 152 12,36
Saneamento 118 9,59
Alimentação/Fome/Pobreza (A/F/P) 73 5,93
Transporte 63 5,12
Outros 304 24,72
Total 1230 100,00
Fonte: Pesquisa de Opinião sobre as Eleições do Rio de Janeiro 1986
IBASE / SERPRO / IM-UFRJ
Construa o gráfico de barras e o gráfico de setores (ou gráfico “pizza”) com
base nessa tabela de freqüências.
Solução:
Gráfico de barras correspondente aos percentuais dos 1230 respondentes da Pesquisa junto à
população do Estado do RJ em 1986, segundo o “problema mais grave do Estado”
IBASE / SERPRO/IM-UFRJ
Gráfico de setores correspondente aos percentuais dos 1230 respondentes
da Pesquisa junto à população do Estado do RJ em 1986, segundo o
“problema mais grave do Estado”

IBASE / SERPRO / IM-UFRJ
R7.2) Variável mais constante e Variável vezes constante
Considere o conjunto de dados abaixo:
Obs. X Y Z
1 1 2 4
2 2 4 5
3 3 6 6
4 4 8 7
5 5 10 8
(a) Para cada uma das variáveis X, Y, Z, calcule: média, variância, desvio padrão,
coeficiente de variação (cv), mediana (Q2), Q1, Q3, DIQ=Q3-Q1.
(b) Faça um gráfico localizando no eixo horizontal (graduado de 1 a 10) as coordenadas
dos pontos e no eixo vertical três níveis: X, Y e Z. Analise visualmente a relação
entre as 3 variáveis em termos de centralidade e dispersão.
(c) Verifique que relação matemática existe entre as variáveis Y e X e faça o mesmo
com relação às variáveis Z e X. Em seguida verifique que relação matemática existe
entre os valores das medidas de centralidade e de dispersão relativas às variáveis Y
e Z e as mesmas medidas para X.
(d) Como se poderia generalizar as constatações do item (c) para o caso de variáveis do
tipo Y = cX e Z = c+X?
Solução:
(a) Exemplifiquemos os cálculos para a variável Y:
Média : 6
5
10
8
6
4
2
y 





Variância: 10
1
5
6
5
)
10
8
6
4
(2
S
2
2
2
2
2
2
2
Y 








Desvio Padrão: 3,16
10
SY 

Coeficiente de Variação: 0,53
6
3,16
cvY 


Mediana: Dados Ordenados:
Posição: 1 2 3 4 5
Valor: 2 4 6 8 10
3
2
5
1
)
Posição(Q2 

 Q2(Y) = y(3) = 6
1o
Quartil: 2
2
3
1
)
Posição(Q1 

 Q1(Y) = y(2) = 4
3o
Quartil: 4
2
5
3
)
Posição(Q3 

 Q3(Y) = y(4) = 8
Distância Interquartil:DIQ(Y) = Q3(Y) – Q1(Y) = 8 – 4 = 4
O procedimento para as outras duas variáveis é análogo.
A tabela abaixo é um resumo de todos os resultados obtidos:
Var. Média Variância DPadrão Coef. var. Q2 Q1 Q3 DIQ
X 3 2,5 1,58 0,53 3 2 4 2
Y 6 10 3,16 0,53 6 4 8 4
Z 6 2,5 1,58 0,26 6 5 7 2
(b) Gráfico simultâneo das variáveis X, Y e Z:
A figura sugere que:
 De X para Y tudo dobra, tanto em termos de locação como de dispersão;
 De X para Z tudo se desloca para a direita de 3 unidades.
(c) É fácil ver que Y = 2X e Z = 3 + X.
Além disso, Média(Y) = 6 = 2 x 3 = 2 Média(X)
Variância(Y) =10 = 4 x 2,5 = 22
. Variância(X)
DPadrão (Y) = 3,16 = 2 x 1,58 = 2 DPadrão (X)
Coef. var.(Y) = 0,53 = Coef. var.(X)
Mediana(Y) = 6 = 2 x 3 = 2 Mediana(X)
Q1(Y) = 4 = 2 x 2 = 2 Q1(X)
Q3 (Y) = 8 = 2 x 4 = 2 Q3(X)
DIQ(Y) = 4 = 2 x 2 = 2 DIQ(X)

Isso quer dizer que, quando multiplicamos uma variável por 2, todas as medidas aqui
consideradas também ficam multiplicadas por 2, exceto: a Variância, que fica
multiplicada por 4; e o Coeficiente de Variação, que permanece inalterado.
Média(Z) = 6 = 3 + 3 = 3 + Média(X)
Variância(Y) =10 = 4 x 2,5 = 22
. Variância(X)
Variância(Z) = 2,5 = Variância(X)
DPadrão (Z) = 1,58 = DPadrão (X)
Coef. var.(Z) = 0,26 =
x
SX


 3
3
3
58
,
1
Mediana(Z) = 6 = 3 + 3 = 3 + Mediana(X)
Q1(Z) = 5 = 3 + 2 = 3 + Q1(X)
Q3 (Z) = 7 = 3 + 4 = 3 + Q3(X)
DIQ(Z) = 2 = DIQ(X)
Isso quer dizer que, quando somamos 3 unidades a uma variável, a média e os 3 quartis
(Q1, Q2 e Q3) também aumentam de 3 unidades. Já a Variância, o Desvio Padrão e a
DIQ não se alteram.
(d) Se Y = c.X, temos: Média(Y) = c. Média(X)
Variância(Y) = c2
. Variância(X)
DPadrão (Y) = . DPadrão (X)
Coef. var.(Y) = Coef. var.(X)
Mediana(Y) = c.Mediana(X)
Q1(Y) = c.Q1(X)
Q3 (Y) = c.Q3(X)
DIQ(Y) = . DIQ(X)
Se Z = c + X: Média(Z) = c + Média(X)
Variância(Z) = Variância(X)
DPadrão (Z) = DPadrão (X)
Coef. var.(Z) =
1
x
c
X)
Coef.var.(
x
c
SX



Mediana(Z) = c + Mediana(X)
Q1(Z) = c + Q1(X)
Q3 (Z) = c + Q3(X)
DIQ(Z) = DIQ(X)

R7.3) Tempo de permanência em hospital – Análise diretamente a partir da
distribuição de freqüências
Há determinadas situações em que não se tem acesso aos dados individuais, mas está
disponível uma distribuição de freqüências da variável de interesse, como na tabela
abaixo.
Tabela – Distribuição de freqüências do tempo de permanência na última internação
referente a uma amostra de pacientes do Hospital Espírita de Porto Alegre nos quatro
primeiros meses de 1996
Permanência (dias) Ponto médio (xj) Freqüência simples
(fj)
0 a 10 5 70
10 a 20 15 69
20 a 30 25 90
30 a 40 35 43
40 a 50 45 43
50 a 60 55 31
60 a 70 65 16
70 a 80 75 7
80 a 90 85 0
90 a 100 95 1
Total 370
Fonte: Jornal Brasileiro de Psiquiatria - Setembro de 1999
Como determinar as medidas de centralidade e de dispersão em uma tal situação?
Solução:
Para simplificar, vamos considerar que, para todas as observações que pertencem a
uma determinada classe (intervalo), o valor da variável é exatamente igual ao ponto
médio daquele intervalo.
Portanto, para obter valores aproximados para a média x e o desvio padrão S usam-
se as expressões a seguir:
n
x
f
x
J
1
j
j
j



1
n
n
x
f
x
f
S
2
J
1
j
j
j
J
1
j
2
j
j















onde J é o número total de classes da tabela e
para cada classe j, j = 1,2,...,J,
fj é a freqüência absoluta de observações naquela classe
xj é o ponto médio do intervalo considerado
No caso do exemplo acima temos então
28,22
370
95
1
...
15
69
5
70
x 






 dias

   
18,66
369
370
95
1
...
15
69
5
70
95
1
...
15
69
5
70
S
2
2
2
2














 dias
Quanto à determinação da mediana e da distância interquartil, recomenda-se
complementar a tabela original com mais algumas colunas, conforme a seqüência de
passos abaixo:
i. Construir a partir dos dados uma coluna com as freqüências absolutas acumuladas.
Por exemplo: 69
70
139 
 ; 90
139
229 
 ; etc.
ii. Construir a partir dos dados uma coluna com as freqüências relativas acumuladas yj.
Por exemplo:
370
70
189
,
0  ;
370
139
376
,
0  ; etc.
iii. Montar a tabela a seguir:
Tabela – Cálculos necessários para a determinação da mediana e dos quartis do Tempo de
Permanência
No
da
classe
Classe de
Permanência
(dias)
Freq. abs.
simples
Freq. abs.
Acumulada
Freq. Rel.
acumulada
1 0 a 10 70 70 0,189
2 10 a 20 69 139 0,376
3 20 a 30 90 229 0,619
4 30 a 40 43 272 0,735
5 40 a 50 43 315 0,851
6 50 a 60 31 346 0,935
7 60 a 70 16 362 0,978
8 70 a 80 7 369 0,997
9 80 a 90 0 369 0,997
10 90 a 100 1 370 1,000
Isso quer dizer que:
 18,9% dos tempos de permanência são menores que 10 dias;
 37,6% dos tempos de permanência são menores que 20 dias.

iv. Determinação do 1º quartil Q1
Sabemos que ¼ (ou 25%) das observações devem estar abaixo de Q1. Então os 25%
menores tempos de permanência devem ser inferiores a Q1, ou seja, a freqüência relativa
acumulada correspondente a Q1 tem que ser igual a 0,25.
Como 0,189 < 0,25 < 0,376, isso implica que necessariamente Q1 está entre 10 e 20 dias.
A figura abaixo então nos mostra como podemos calcular o valor de Q1 através de uma
Regra de três:
0,189
0,376
10
20
0,189
0,25
10
Q1





. Então,
    13,26
0,189
0,376
0,189
0,25
10
20
10
Q1 






v. Determinação do 2º quartil Q2 (mediana)
Sabemos que 1/2 (ou 50%) das observações devem estar abaixo de Q2. Então os 50%
Analogamente, podemos escrever também:
    25,14
0,376
-
0,619
0,376
0,50
20
30
20
Q2 





vi. Determinação do 3º quartil Q3
Sabemos que 3/4 (ou 75%) das observações devem estar abaixo de Q3. Então os 75%
Analogamente, podemos escrever também:
    41,29
0,735
-
0,851
0,735
0,75
40
50
40
Q3 





Logo, Mediana = 25,14 dias e DIQ = 41,29  13,26 = 28,03 dias.
R7.4) Critério para apontar outliers e o peso da cauda da distribuição mãe
Suponha que dispomos de uma amostra com n observações (dados reais) x ,x ,...,x
1 2 n
relativas a uma determinada variável e desejamos usar o seguinte critério, proveniente da
Análise Exploratória, para detectar observações discrepantes nesse conjunto de dados:
A observação xj é discrepante, se x (x
j    
 x
s,  )
s
 , onde
x e s são, respectivamente, a média e o desvio padrão amostrais
e  é uma constante positiva (a ser escolhida).
Nossa intenção é escolher o valor de  para que somente em 1% dos casos uma
observação pertinente seja (erradamente) apontada como outlier.
Formulando agora o problema em termos populacionais (e não amostrais), em cada um
dos casos abaixo, calcule o valor da constante  (positiva) para que
10 Q1 20
X
Fr
0,189 0,25 0,376

 
DP(X)
α
E(X)
X
DP(X)
α
E(X)
P
α
dp(X)
E(X)
X
P 














= 0,99.
(a) Se X obedece a uma distribuição Uniforme em um intervalo [a,b].
(b) Se X obedece a uma distribuição Normal(,2
).
(c) Se X obedece a uma distribuição Exponencial dupla com densidade dada por
f(x)
1
2T
exp
x m
T
, x R
 






   ,
onde m e T são parâmetros reais com    
m e T > 0.
Neste caso, o gráfico da densidade fica com o seguinte aspecto:
(d) Que conclusões podem ser extraídas dos itens (a), (b) e (c) quanto ao valor da
constante  a ser utilizado nesse critério?
Obs.: Use as seguintes propriedades matemáticas:
Distribuição de
Probabilidade
Média Desvio Padrão
Uniforme (a;b)
2
b
a
12
a
b
Normal (;)  
Exp dupla (m;T) m 2
T
Solução:
(a) Suponhamos que X~U[a,b]. Então
2
b
a
)
X
(
E

 e
12
a
b
)
X
(
dp

 .
Portanto, a condição a ser obedecida nesse caso se transforma em





 








12
a
b
α
2
b
a
X
12
a
b
α
2
b
a
P
0,99 . (I)
Lembremos que, no caso da distribuição Uniforme, a probabilidade em (I) coincide
com a área do retângulo cuja base é igual a
12
a
b
2α
12
a
b
α
2
b
a
12
a
b
α
2
b
a 






 








 


e cuja altura é igual a
a
b
1

.
Conseqüentemente:
12
a
b
2α
0,99

 


a
b
1
12
2α
.

Daí, 715
,
1
2
12
99
,
0


 .
(b) Suponhamos que X~N(;2
). Então E(X) =  , DP(X) =  e )
1
;
0
(
N
~
X
Z



 .
   
α
Z
α
P
σ
μ
ασ
μ
σ
μ
X
σ
μ
ασ
μ
P
ασ
μ
X
ασ
μ
P
0,99 








 












.
Então, é fácil ver que 576
,
2

 . (Basta usar a tabela da Normal padrão.)
(c) Suponhamos que X é exponencial dupla (m,T). Então sua densidade é
R
x
,
T
m
x
exp
2T
1
f(x) 








 

 . Além disso, E(X) = m e DP(X) = T 2 .
A condição a ser obedecida nesse caso se transforma em
  









 







2
αT
m
2
αT
m
dx
T
m
x
exp
2T
1
2
αT
m
X
2
αT
m
P
0,99 .
Fazendo a mudança de variável
T
m
x
u

 , e usando o fato de que a função
[h: u →  
u
exp  ] é uma função par, (ou seja, h(–u) = h(u), para todo u), temos
     
2
α
exp
1
u)
exp(
u)du
exp(
2
1
2
Tdu
u
exp
2T
1
0,99
2
α
2
α
2
α
0
2
α
0 








  

.
Daí,   01
,
0
2
exp 

 , e conseqüentemente, 256
,
3
2
01
,
0
ln



 .
(d) Todas as três distribuições aqui consideradas são simétricas em torno da sua
média. Porém, à medida que passamos da Uniforme para a Normal e desta para a
Exponencial dupla, as caudas da distribuição vão se tornando cada vez mais
“pesadas”, ou seja, a densidade tende a zero cada vez mais lentamente, à medida
que o módulo do seu argumento tende a infinito. Assim sendo, os itens (a), (b) e
(c) acima nos mostram que quanto mais “pesadas” forem as caudas da distribuição
de probabilidade que deu origem aos dados, maior deverá ser o valor da constante
 que figura no critério para apontar outliers.

R7.5) Eleição - Intenção de voto em função da faixa etária do eleitor
Com base em uma pesquisa eleitoral relativa ao 2o
turno da eleição para a Prefeitura de
uma determinada cidade foi obtida a tabela abaixo, que informa a preferência do
eleitorado por faixa etária.
Idade
(em anos)
Candidato C1 Candidato C2 Brancos, Nulos e Indecisos
25
15  70% 10% 20%
35
25  50% 20% 30%
45
35  40% 40% 20%
55
45  30% 60% 10%
65
55  20% 70% 10%
Através dessa mesma pesquisa apurou-se também que a distribuição por faixa etária
do eleitorado é a seguinte:
Faixa Etária
(em anos)
25
15  35
25  45
35  55
45  65
55 
Percentual 25% 30% 25% 15% 5%
Pergunta-se:
(a) Quantos por cento do eleitorado total (entre 15 e 65 anos de idade) pretende votar
em C1? E em C2? Qual o percentual correspondente a Brancos, Nulos e
Indecisos (BNI)?
(b) Quais são a média e o desvio padrão da idade do eleitorado do candidato C1?
(c) Quais são a mediana e o intervalo interquartil da idade do eleitorado do candidato
C2?
Solução:
Os valores da 1ª tabela já nos fornecem uma primeira impressão de que o candidato C1
conta principalmente com o apoio do eleitorado mais jovem, enquanto o candidato C2
conta principalmente com a preferência dos mais idosos.
(a) Para calcular a proporção de intenção de voto em C1 trabalhamos com a coluna
referente a este candidato na 1° tabela, bem como a distribuição por faixa etária que
está na 2° tabela.
Int. voto C1 = 0,70x0,25+0,50x0,30+0,40x0,25+0,30x0,15+0,20x0,05 = 0,48
Analogamente podemos calcular também
Int. voto C2 = 0,10x0,25+0,20x0,30+0,40x0,25+0,60x0,15+0,70x0,05 = 0,31 e
Int. voto BNI = 0,20x0,25+0,30x0,30+0,20x0,25+0,10x0,15+0,10x0,05 = 0,21
Assim, as intenções de voto globais são: 48% para C1, 31% para C2, e 21% para
BNI.
(b) As freqüências correspondentes a cada faixa etária no eleitorado de C1 são:

Faixa etária Freqüência relativa Ponto médio
25
15  0,365 20
35
25  0,313 30
45
35  0,208 40
55
45  0,094 50
65
55  0,021 60
onde 48
,
0
/
25
,
0
70
,
0
365
,
0 
 48
,
0
/
30
,
0
50
,
0
313
,
0 
 ...
Então, trabalhando com o ponto médio de cada intervalo, para o eleitorado de C1, a
média de idade (em anos) é
94
,
30
021
,
0
60
094
,
0
50
208
,
0
40
313
,
0
30
365
,
0
20 










x
e o desvio padrão da idade (em anos) é
61
,
10
)
94
,
30
021
,
0
60
094
,
0
50
208
,
0
40
313
,
0
30
365
,
0
20
( 2
1
2
2
2
2
2
2












S
(c) Analogamente, as freqüências correspondentes a cada faixa etária no eleitorado de C2
são
Faixa etária Frequencia relativa simples Frequencia relativa acumulada
25
15  0,081 0,081
35
25  0,194 0,275
45
35  0,323 0,598
55
45  0,290 0,888
65
55  0,113 1,001
Os quartis da variável idade relativa ao eleitorado de C2 são:
71
,
33
10
194
,
0
081
,
0
25
,
0
25
Q1 



 96
,
41
10
323
,
0
275
,
0
50
,
0
35
Q2 




24
,
50
10
290
,
0
598
,
0
75
,
0
45
Q3 



 53
,
16
Q1
Q3 

Obs.: Para uma explicação mais detalhada desse tipo de raciocínio, veja o Exercício 3 acima.
Portanto, mediana = 41,96 anos e distância interquartil = 16,53 anos.
Esses resultados corroboram a nossa impressão inicial de que C1 é o preferido do eleitor
mais jovem, enquanto que o eleitorado de C2 já é formado principalmente pelos eleitores
de idade mais avançada.
R7.6) Por que o módulo da correlação é menor ou igual a 1?
A desigualdade de Schwarz é uma propriedade da Álgebra Linear, segundo a qual,
)
)(
(
)
( t
t
2
t
v
v
u
u
v
u  , se u e v são dois vetores do Rn
.
Usando a Desigualdade de Schwarz, justifique por que o coeficiente de correlação
amostral é menor ou igual a 1 em módulo, ou seja, 1
rxy  , para quaisquer duas variáveis
quantitativas x e y.

Sugestão: Dados os vetores











n
1
x
x

x e











n
1
y
y

y do Rn
, faça 1
x
u x

 e 1
y
v y


, onde x e y são as médias amostrais de x e y respectivamente, e 1 é o vetor do Rn
cujas coordenadas são todas iguais a 1.
Solução:
Usando a sugestão, temos:
Ou seja:
Efetuando os produtos matriciais:
Logo:
Extraindo a raiz quadrada, temos 1
rxy 
R7.7) Regressão e Correlação
A partir de uma massa de dados com n = 20 pares (xi,yi) calcularam-se:
 reta de regressão: y = 2627,82  37,15 x;
  = quociente entre as médias amostrais =
x
y = 159,50;
  = quociente entre os desvios padrão amostrais = 
X
Y
s
s 39,123.
(a) Determine o coeficiente de correlação rxy.
(b) Determine as médias amostrais y
e
x .
Solução:
Vamos utilizar os seguintes símbolos:
(a) Então podemos escrever:
(*)
onde a e b são os coeficientes da reta de regressão.
Por outro lado:

Daí se deduz que
(b) Sabemos também que . Substituindo em (*), obtemos
, o que implica que = 13,363
Finalmente, .
Exercícios Propostos
P7.1) Um erro grosseiro, mas (infelizmente) bastante comum
A partir dos dados x1, x2,..., xn, calcula-se a variância da variável x pela expressão
1
n
n
x
x
S
n
1
i
2
n
1
i
i
2
i
2













Então, se n = 5, x1 = 3, x2 = 5, x3 = 0, x4 = 2, x5 = 6, temos:
74
6
2
0
5
3
x 2
2
2
2
2
5
1
i
2
i 







Logo, 8
,
14
4
5
74
74
1
5
5
74
74
S2






(a) O que está errado nesse cálculo?
(b) Qual a solução correta?
P7.2) Combinando duas amostras
Foram coletados os dados relativos a uma determinada variável para duas amostras
distintas. Apresentam-se a seguir, para cada uma delas, os resultados obtidos quanto a:
tamanho da amostra, média e desvio padrão.
Amostra No de Obs. Média D Padrão
1 5 7,4 6,309
2 4 11,5 9,983
(a) Considerando agora a amostra combinada, ou seja, a amostra composta por todas as 9
observações, qual o valor da sua média?
(b) Qual o seu desvio padrão?
P7.3) Atualização da mediana

Temos um conjunto de dados com 11 observações já devidamente ordenadas:
x(1) < x(2) < x(3) < ... < x(11).
Quais das seguintes afirmações estão corretas e quais estão erradas? Por que?
(a) A mediana desses dados é  
6
x
Q2  .
(b) Suponha que foi eliminada desse conjunto de dados original a maior observação
x(11). Então a nova mediana é agora    
 .
x
x
2
1
10
1 

(c) Suponha que foi adicionada ao conjunto de dados original mais uma observação, de
modo que ele passou a ter 12 observações. Então a diferença entre o maior valor
possível da nova mediana e o menor valor possível da nova mediana é
   
 
5
7 x
x
2
1

 .
P7.4) Implantes mamários – Raciocínio equivocado
Um determinado fabricante produz implantes mamários utilizando gel de Silicone. Os
dados a seguir se referem à tensão de ruptura desses implantes e foram obtidos através de
testes físicos realizados com uma amostra de tamanho n = 20:
72,2 80,1 70,4 67,8 70,9 72,1 75,1 73,0 59,4 77,2
65,1 66,5 64,1 79,0 70,6 70,3 63,1 64,4 74,9 75,3
Com base nesses dados obtenha os quartis Q1, Q2 e Q3.
Foi apresentada a seguinte solução:
Posição 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Valor 72,2 80,1 70,4 67,8 70,9 72,1 75,1 73 59,4 77,2
Posição 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Valor 65,1 66,5 64,1 79 70,6 70,3 63,1 64,4 74,9 75,3
Posição (Q2) = → Q2 =
Posição (Q1) = → Q1 = 71,8
Posição (Q2) = → Q3 = 70,525
a) Algo está errado nessa solução. O que é?
b) Qual a solução correta?
P7.5) Preços de automóveis
A tabela de freqüências a seguir se refere aos preços (em reais) pelos quais foram
anunciados 2695 automóveis para venda em um determinado site.
Faixa de preço Freqüência
Até R$ 7.000 344
De R$ 7.001 a R$ 10.000 419
De R$ 10.001 a R$ 15.000 530
De R$ 15.001 a R$ 20.000 443
De R$ 20.001 a R$ 25.000 320
De R$ 25.001 a R$ 30.000 229
De R$ 30.001 a R$ 40.000 220
De R$ 40.001 a R$ 50.000 99
De R$ 50.001 a R$ 100.000 80
Acima de R$ 100.000 11
Total 2695

(a) Determine a média e o desvio padrão dessa variável.
(b) Determine a mediana e a distância interquartil dessa variável.
P7.6) Telefonia fixa per capita
A Tabela de dados brutos a seguir reporta, o número linhas telefônicas por 1000
habitantes em cada estado do Brasil, em 2001.
Tabela – Telefonia fixa per capita em cada estado do Brasil em 2001
(em linhas telefônicas por 1000 habitantes)
Acre 183,8 Maranhão 86,1 Rio Janeiro 347,5
Alagoas 125,4 M Grosso 199,6 R G Norte 150,1
Amapá 193,3 M G Sul 235,3 R G Sul 236,9
Amazonas 162,0 M Gerais 218,6 Rondônia 214,6
Bahia 142,3 Pará 128,0 Roraima 214,1
Ceará 140,6 Paraíba 125,4 Sta Catarina 257,3
D Federal 456,8 Paraná 244,2 S Paulo 362,8
E Santo 228,7 Pernambuco 147,8 Sergipe 140,7
Goiás 231,4 Piauí 118,2 Tocantins 113,8
Fonte: Almanaque Abril 2002
(a) Construa um ramo-folha para essa variável.
(b) Determine os seus quartis.
(c) Construa o seu Box-plot.
(d) Há outliers entre essas observações? Quais?
P7.7) Habitantes por leito hospitalar nos estados do Brasil
A tabela a seguir contem o número de habitantes por leito hospitalar em cada estado do
Brasil no ano de 2005.
Tabela – No
de habitantes/leito no Brasil em 2005
Rio Janeiro 341,30 Minas Gerais 414,94 D Federal 469,48
Goiás 344,83 Mato Grosso 418,41 Tocantins 471,70
R G Sul 354,61 R G Norte 418,41 Rondônia 497,51
Paraná 362,32 Acre 421,94 Alagoas 507,61
M G Sul 364,96 São Paulo 436,68 Pará 520,83
Sta Catarina 375,94 Maranhão 440,53 Sergipe 552,49
Pernambuco 395,26 E Santo 446,43 Amazonas 641,03
Paraíba 398,41 Bahia 456,62 Roraima 653,59
Piauí 404,86 Ceará 467,29 Amapá 800,00
Fonte: IBGE - Pesquisa Assistência Médico-Sanitária
(a) Faça um box plot desses dados.
(b) Calcule a média, a mediana, o desvio padrão e a distância interquartil.
(c) Repita o item (a), porém excluindo o estado do Amapá.
(d) Compare as variações em cada uma dessas quatro medidas, com e sem o Amapá,
e extraia conclusões a esse respeito.

P7.8) Propriedades da Distribuição Normal
Seja X uma variável aleatória com distribuição Normal de média  e desvio padrão .
Sejam q1(X), q2(X) e q3(X) os três quartis de X, ou seja, eles são tais que
1/4
(X))
q
P(X 1 
 1/2
(X))
q
P(X 2 
 3/4
(X))
q
P(X 3 
 .
Finalmente, sejam  
(X)
q
(X)
q
1,5
(X)
q
a 1
3
1 

 e  
(X)
q
(X)
q
1,5
(X)
q
b 1
3
1 

 .
(a) Obtenha expressões matemáticas para q1(X), q2(X) e q3(X) em função de  e .
(b) Prove que   0,99
b
X
a
P 

 .
Obs.: Esta é uma avaliação probabilística do procedimento para apontar observações
aberrantes (usando medidas resistentes) que foi exposto na teoria, para o caso de dados –
sem outliers – provenientes de um modelo gaussiano.
P7.9) Proximidade entre medidas de centralidade e entre medidas de
dispersão
Quando o ramo-folha, obtido com base em um conjunto de dados relativos a uma
determinada variável, sugere que:
 existe simetria em torno de um valor central;
 não há observações discrepantes;
qual é a sua expectativa no que se refere:
 à proximidade entre a média e a mediana dessa variável?
 à proximidade entre o desvio padrão e a distância interquartil dessa variável?
Justifique as suas respostas.
Sugestão:
Imagine, por exemplo, que os dados foram gerados a partir de uma distribuição Normal.
P7.10) Número de hotéis nos municípios da Região Serrana do RJ
Os dados abaixo se referem ao número de estabelecimentos hoteleiros em cada um dos 37
municípios da Região Serrana do Estado de Rio de Janeiro no ano de 2001.
Tabela – No
de hotéis na Região Serrana do RJ – 2001
Município Hotéis Município Hotéis Município Hotéis
Areal 3 Resende 36 Nova Friburgo 84
Barra Mansa 22 Engenheiro Passos 4 Lumiar 16
Barra do Piraí 18 Visconde de Mauá 12 São Pedro da Serra 14
Eng
o
. Paulo de Frontin 8 Rio Claro 10 Paty do Alferes 8
Itatiaia 121 Rio das Flores 2 Petrópolis 83
Maringá 17 Sapucaia 5 Petrópolis / arredores 58
Maromba 20 Três Rios 15 Rio Bonito 6
Penedo 55 Valença 34 SJ do Vale do Rio Preto 5
Mendes 5 Conservatória 20 Silva Jardim 6
Paraíba do Sul 12 Volta Redonda 14 Teresópolis 44
Piraí 7 Cach de Macacu 14 Vassouras 9
Porto Real 4 Guapimirim 7
Quatis 5 Miguel Pereira 12

Com base nesse conjunto de dados foram calculados:
Média 22, 027
Mediana 12
Q1 6
Q3 20
DIQ 14
Se for utilizado o critério para identificação de observações discrepantes que se baseia em
medidas resistentes, teremos Cerca Superior = Q3 + 1,5 DIQ = 20 + 1,5 x 14 = 41. Sendo
assim, 6 das 37 observações (16%) seriam apontadas como possíveis outliers, isto é,
municípios onde haveria um número anormalmente alto de hotéis: Teresópolis (44),
Penedo (55), Petrópolis/arredores (58), Petrópolis (83), Nova Friburgo (84) e Itatiaia
(121).
Responda:
(a) Por que a média resultou ser tão maior que a mediana neste caso?
(b) Por que tantos municípios teriam sido apontados pelo critério que identifica
outliers?
P7.11) Deficit habitacional no Estado do Rio de Janeiro
A tabela a seguir contem o número de domicílios rústicos em alguns municípios do
Estado do Rio de Janeiro no ano 2000.
Tabela – No
de domicílios rústicos no RJ – 2000
Angra dos Reis 572 Miracema 216
Araruama 117 Niterói 914
Barra do Piraí 741 Nova Friburgo 295
Barra Mansa 250 Nova Iguaçu 457
Belford Roxo 339 Petrópolis 1.839
Cabo Frio 566 Queimados 81
Campos dos Goytacazes 1.119 Resende 66
Duque de Caxias 556 Rio das Ostras 123
Guapimirim 51 Sto Antônio de Pádua 88
Itaboraí 132 São Gonçalo 394
Itaguaí 70 São João de Meriti 103
Itaperuna 74 São Pedro da Aldeia 77
Japeri 122 Saquarema 289
Macaé 143 Seropédica 159
Magé 567 Teresópolis 329
Maricá 64 Valença 229
Fonte: Fundação João Pinheiro (FJP), Centro de Estatística e Informações (CEI)
a. Determine os quartis
b. Obtenha um gráfico Box-plot para esses dados.
c. Seria o gráfico ramo-folha adequado para representar estes dados? Por que?

P7.12) Fundo de Participação dos Municípios
A tabela a seguir contem o valor total no 1º semestre da 2010 do Fundo de Participação
dos Municípios por unidade da Federação, em milhões de reais:
Tabela – Fundo de participação dos municípios – 2010
AC 100,33 MA 846,76 RJ 615,30
AL 483,44 MG 2666,50 RN 512,34
AM 299,97 MS 309,41 RO 178,50
AP 71,81 MT 375,42 RR 76,00
BA 1843,72 PA 740,54 RS 1378,96
CE 1060,50 PB 656,62 SC 789,20
DF 33,82 PE 1021,47 SE 295,47
ES 350,06 PI 538,47 SP 2688,37
GO 742,54 PR 1379,80 TO 281,75
Fonte: Secretaria do Tesouro Nacional
(a) Determine os quartis Q1, Q2, Q3.
(b) Construa um Box plot para esses dados.
P7.13) Desemprego no Brasil
A tabela a seguir contem a taxa de desemprego em cada estado do Brasil no ano de 2007:
Tabela – Desemprego no Brasil - 2007
Rondônia 6,26 Ceará 6,89 Rio de Janeiro 10,16
Acre 4,07 R G do Norte 8,3 São Paulo 9,31
Amazonas 10,54 Paraíba 7,53 Paraná 5,62
Roraima 9,24 Pernambuco 11,41 Santa Catarina 4,69
Pará 7,03 Alagoas 7,6 R Gr do Sul 6,59
Amapá 14,46 Sergipe 8,81 M Gr do Sul 6,59
Tocantins 5,67 Bahia 9,23 Mato Grosso 5,83
Maranhão 6,41 Minas Gerais 7,43 Goiás 7,72
Piauí 3,76 Espírito Santo 10,27 Distrito Federal 7,63
Obtenha um gráfico ramo-folha e um Box-plot para esses dados.

P7.14) Densidade populacional em cada estado do Brasil
Os dados a seguir se referem à densidade populacional de cada estado do Brasil conforme
apurado no Censo de 1980.
Tabela – Densidade Populacional no Brasil - 1980
Estado Densidade
(habit./km2
)
Estado Densidade
(habit./km2
)
Rondônia 2,02 Acre 1,97
Amazonas 0,92 Roraima 0,34
Pará 2,77 Amapá 1,26
Maranhão 12,31 Piauí 8,52
Ceará 36,02 R G do Norte 35,8
Paraíba 49,14 Pernambuco 62,49
Alagoas 71,7 Sergipe 51,84
Bahia 16,88 Minas Gerais 22,96
E Santo 94,37 R Janeiro 260,74
São Paulo 101,25 Paraná 38,33
S Catarina 38,00 R G Sul 29,06
M Grosso Sul 3,91 Mato Grosso 1,29
Goiás 6,01 Distrito Federal 203,94
(a) Calcule a média e o desvio padrão da variável densidade.
(b) Suponha que um determinado valor da variável pode ser considerado discrepante dos
demais se a distância entre esse valor e a média for maior que 3 desvios padrão. Quais
dos estados acima se enquadram nessa categoria de valores discrepantes?
(c) Construa um box-plot para esses dados.
(d) Construa um box-plot para as raízes quadradas desses dados.
(e) Construa um box-plot para os logaritmos desses dados.
(f) Compare esses box-plots quanto ao seu grau de simetria.
Obs.: Para os dados acima,  
x 1153,84 e  
2
x 150326,3774.
P7.15) Dados Simulados a partir de uma distribuição conhecida
Os dados a seguir podem ser encarados como uma amostra aleatória de tamanho n = 15
da distribuição Normal com média populacional µ = 10 e variância populacional σ2
= 4.
Eles foram obtidos por simulação usando um gerador de números aleatórios.
9,5 11,4 7,2 10,0 9,4 8,2 6,4 10,9 7,6 9,5 10,7 9,9 8,8 8,6 9,9
(a) Calcule a mediana q2 e a distância interquartil populacionais diq (= q3 – q1) dessa
distribuição de probabilidade.
(b) Obtenha a média, a variância, a mediana e a distância interquartil amostrais usando
os dados aqui fornecidos.
(c) Repita o que foi feito no item anterior, porém acrescentando aos dados um outlier
cujo valor é 100.
(d) Preencha a tabela a seguir e extraia as conclusões cabíveis.

Média Variância Mediana Dist. Interquartil
Medidas
populacionais
Medidas amostrais
(sem o outlier)
Medidas amostrais
(com o outlier)
P7.16) Escolha da carreira e suas motivações entre os vestibulandos
Foi realizada uma pesquisa junto aos alunos classificados no vestibular da UFRJ em
1993. A Tabela de contingência a seguir foi montada a partir dos dados que constavam
em 810 questionários selecionados por amostragem.
Tabela de Contingência relativa às variáveis Opção de carreira e Fator predominante na escolha de carreira.
Dados relativos a uma amostra do 810 classificados no vestibular da UFRJ em 1993
Áreas de Opção Fatores Determinantes da Escolha da Carreira
de Carreira
Mercado
Trabalho
Prestígio Aptidão
Pessoal
Baixa conc.
por vagas
Perspect.
salariais
Total
Biomédica 13 2 113 4 5 137
Exatas/Tecnologia 24 1 176 2 5 208
Arquit./Artes Gráf. 0 1 49 1 1 52
Geo-econômica 11 0 61 0 1 73
Outras 33 5 286 6 10 340
Total 81 9 685 13 22 810
Fonte: “Perfil Sócio-Econômico dos Alunos Classificados na UFRJ no Vestibular de 1993”, E.A.Simone,
R.C.Gomes
(a) Com base nessa tabela de contingência obtenha uma nova tabela com
percentuais:
 Promovendo eventualmente algumas fusões de linhas ou colunas de modo a
garantir a confiabilidade do processo de extrapolação dos resultados da amostra
para a população; e
 Comparando as 5 áreas de opções de carreira em termos do perfil de motivações
para as escolhas características de cada área.
(b) Extraia as conclusões cabíveis.
P7.17) Será mera coincidência?
Considere o seguinte conjunto de dados:
No. obs X Y
1 2 6
2 4 2
3 7 2
4 3 9
5 6 0
(a) Calcule as variâncias amostrais de X e de Y, ou seja, .

(b) Calcule a covariância amostral entre X e Y, ou seja, .
(c) Construa uma nova variável Z = X + Y e calcule a sua variância amostral .
(d) Compare com .
(e) Como você explica essa coincidência?
P7.18) Produção Industrial e Força de Trabalho no Brasil
A tabela a seguir fornece para cada estado do Brasil, o Valor total V da produção
industrial (em milhões de cruzeiros), o Número total (P) de pessoas ocupadas na
indústria, o logaritmo decimal de V e o logaritmo decimal de P, segundo o Censo
Industrial de 1980.
Tabela – Prod. Industrial e Força de trabalho no Brasil - 1980
Estado V P log10(V) = y log10(P) = x
Amazonas 333 527 2,52 2,72
Pará 2655 2035 3,42 3,31
Maranhão 71 271 1,85 2,43
Piauí 882 1290 2,95 3,11
Ceará 8874 13776 3,95 4,14
Rio Grande do Norte 5989 9816 3,78 3,99
Paraíba 1469 2499 3,17 3,40
Pernambuco 9134 12720 3,96 4,10
Alagoas 924 1031 2,97 3,01
Sergipe 951 961 2,98 2,98
Bahia 2234 4154 3,35 3,62
Minas Gerais 17089 30002 4,23 4,48
Espírito Santo 2653 4402 3,42 3,64
Rio de Janeiro 39503 49256 4,60 4,69
São Paulo 172229 195756 5,24 5,29
Paraná 4364 7619 3,64 3,88
Santa Catarina 34335 28949 4,54 4,46
Rio Grande do Sul 64851 91813 4,81 4,96
Mato Grosso do Sul 59 222 1,77 2,35
Mato Grosso 32 83 1,51 1,92
Goiás 1196 2415 3,08 3,38
Distrito Federal 99 239 2,00 2,38
Com base nesses dados:
(a) Construa uma tabela no formato abaixo, onde em cada posição da tabela conste o
percentual de ocorrências correspondentes àquela coluna - classe de V - dentro do
total de ocorrências da linha - classe de P.
Classe de V - Valor da Produção
(em milhões de cruzeiros)
Classe de P – Pessoal Ocupado Até 1000 Entre 1000 e 10000 Mais de 10000
Até 1000
Entre 1000 e 10000
Mais de 10000
(b) Plote os pares (x,y) , onde x = log10 P e y = log10 V, em um sistema de eixos
coordenados e calcule o coeficiente de correlação entre essas variáveis.
(c) Obtenha as estimativas de mínimos quadrados dos coeficientes da reta de regressão y
= a + b.x, onde x = log10 P e y = log10 V.

(d) Qual seria a sua estimativa para o Valor Total da Produção Industrial (em milhões de
Cruzeiros) em um estado onde houvesse 10000 pessoas ocupadas na indústria?
Justifique a sua resposta.
(e) Identifique os valores discrepantes da variável log(P) usando o critério que se baseia
nos quartis da variável.
Sabe-se que
 
x 78,25  
y 73,72  
2
x 295,72  
2
y 268,66  
xy 281,39

P7.19) Engenharia de Estruturas
Em seu livro “Uncertainties analysis, loads and safety in Structural Engineering (em
português: Análise de incertezas, cargas e segurança em Engenharia de Estruturas),
Prentice Hall, 1982”, Gary C. Hart apresenta o conjunto de dados a seguir, que nos
permite investigar a relação de dependência entre duas propriedades mecânicas do
concreto: X = módulo secante (em 106
psi) e Y = força de compressão. (em 103
psi)
X 3,41 3,52 3,57 3,61 3,43 3,59 3,62 3,56 3,35 3,47
Y 8,20 7,10 7,30 8,60 6,80 7,60 8,50 6,90 5,40 6,20
X 3,53 3,33 3,54 3,22 3,49 3,25 3,79 3,64 3,67 3,72
Y 7,90 5,80 9,10 4,50 6,30 5,20 9,50 8,90 7,40 8,70
(a) Obtenha um diagrama de dispersão relativo a esses dados.
(b) Calcule o coeficiente de correlação entre x e y.
(c) Ajuste aos dados a reta de regressão y = a +bx
P7.20) Acidentes em Auto-estradas
Este conjunto de dados contem informações relativas a n = 39 trechos de grandes auto-
estradas do estado de Minnesota, EUA. Somente algumas das variáveis originalmente
disponíveis foram aqui consideradas.
Fonte: Weisberg, “Applied Linear Regression”, Wiley, 1980
Descrição das variáveis:
Símbolo Nome Unidades ou Explicação
RATE Taxa de Acidentes Acidentes por milhão de veículos.milhas
ACPT Pontos de Acesso No
de pontos de acesso por milha no trecho
FAI Indicador de FAI = 1, se auto-estrada interestadual secundária, senão = 0
PA Indicador de PA = 1, se artéria principal, senão = 0
MA Indicador de MA = 1, se artéria especial, senão = 0
Obs.: Para dois dos trechos na amostra FAI = PA = MA = 0. Eles correspondem a auto-estradas
recebedoras de fluxo especiais.
Aqui estão os dados:
Rate ACPT FAI PA MA Rate ACPT FAI PA MA Rate ACPT FAI PA MA
4,58 4,6 1 0 0 3,85 5,4 0 1 0 8,21 27,3 0 0 1
2,86 4,4 1 0 0 2,69 7,9 0 1 0 2,93 18 0 0 1
3,02 4,7 1 0 0 1,99 3,2 0 1 0 7,48 30,2 0 0 1
2,29 3,8 1 0 0 2,01 11 0 1 0 2,57 10,3 0 0 1
1,61 2,2 1 0 0 4,22 8,9 0 1 0 5,77 18,2 0 0 1
6,87 24,8 0 1 0 2,76 12,4 0 1 0 2,9 12,3 0 0 1
3,85 11 0 1 0 2,55 7,8 0 1 0 2,97 7,1 0 0 1
6,12 18,5 0 1 0 1,89 9,6 0 1 0 1,84 14 0 0 1
3,29 7,5 0 1 0 2,34 4,3 0 1 0 3,78 11,3 0 0 1
5,88 8,2 0 1 0 2,83 11,1 0 1 0 2,76 16,3 0 0 1
4,2 5,4 0 1 0 1,81 6,8 0 1 0 4,27 9,6 0 0 1
4,61 11,2 0 1 0 9,23 53 0 0 1 3,05 9 0 0 0
4,8 15,2 0 1 0 8,6 17,3 0 0 1 4,12 10,4 0 0 0
(a) Obtenha um gráfico de setores para o tipo de estrada.
(b) Faça um gráfico de dispersão para RATE versus ACPT.

(c) Calcule o coeficiente de correlação entre essas duas variáveis.
(d) Obtenha a equação da reta de regressão RATE = a + b ACPT.
Pfessora, eu tenho uma pergunta...
Tem uma coisa nessa prova de Matemática que eu não entendo...
Todos esses números!
P7.21) Apartamentos de dois quartos em Botafogo
A tabela a seguir contem apartamentos de 2 quartos no bairro de Botafogo, Rio de Janeiro
e oferecidos para venda no site www.zap.com.br/imoveis em 21/10/2010 com preço em
milhares de reais:
Tabela – Área (m2
) e Preço (103
reais) de imóveis em 2010
Área
(m2
)
Preço Área
(m2
)
Preço Área
(m2
)
Preço Área
(m2
)
Preço
69 400 84 480 68 435 85 550
92 400 59 520 70 439 97 557
68 410 55 520 75 440 85 560
69 416 85 525 70 440 85 570
68 420 76 530 75 450 110 580
75 420 80 530 60 450 72 589
75 420 75 530 70 450 80 590
79 430 60 540 77 455 80 600
64 430 74 550 68 455 80 600
70 430 85 550 68 460 75 600
66 430 76 550 75 460 100 600
(a) Construa um gráfico de dispersão para esses dados
(b) Calcule o coeficiente de correlação entre Área e Preço.
(c) Ajuste a esses dados uma reta de regressão expressando o Preço como função
linear da Área.
(d) Extraia as conclusões cabíveis.

P7.22) Densidade e/ou Viscosidade como preditoras do BMCI
O Raro é um dos produtos do processo de Craqueamento Catalítico do petróleo. O
BMCI é uma medida de aromaticidade que, em princípio, depende tanto da Densidade
como da Viscosidade do Raro e é aqui a principal variável de interesse.
Os resultados dos ajustes por mínimos quadrados são:
BMCI = 120,6 – 3,03 api e BMCI =119,7 + 0,0158 SSU
As correlações amostrais são corr(SSU, BMCI) = 0,0561 e corr(api, BMCI)= – 0,848
Apresentamos nos gráficos a seguir o diagrama de dispersão da densidade (api)
versus o BMCI e também o diagrama de dispersão da viscosidade (SSU) versus o BMCI,
em cada um foi traçado a reta de regressão sendo a variável a ser explicada a BMCI.
O que os resultados obtidos evidenciam no que se refere à força da relação entre BMCI e
densidade (api)? E entre BMCI e viscosidade (SSU)?

P7.23) Difusividade Térmica
Os dados a seguir mostram como a Difusividade Térmica de uma fibra varia em função da
temperatura. Quatro situações diferentes são consideradas:
Carb sem = Fibra de carbono sem envelhecimento
Vidro sem = Fibra de vidro sem envelhecimento
Carb com = Fibra de carbono com envelhecimento
Vidro com = Fibra de vidro com envelhecimento
Tabela – Temperatura (o
C) e Difusividade Térmica (mm2
/s)
Carb sem Vidro sem Carb com Vidro com
Temp Dif Térm Temp Dif Térm Temp Dif Térm Temp Dif Térm
( ºC ) ( mm²/s ) ( ºC ) ( mm²/s ) ( ºC ) ( mm²/s ) ( ºC ) ( mm²/s )
30,2 0,459 30,3 0,304 29,9 0,422 30,1 0,339
50,3 0,445 50,4 0,297 50,2 0,408 50,3 0,341
60,1 0,442 60,2 0,296 60,1 0,404 60,3 0,337
120,2 0,414 119,9 0,283 120,0 0,365 120,1 0,290
130,1 0,414 130,2 0,281 130,0 0,362 130,1 0,288
170,0 0,371 170,1 0,281 169,9 0,334 170,0 0,276
180,0 0,366 180,0 0,284 179,8 0,326 180,0 0,273
27,8 0,449 30,1 0,336 30,1 0,436 29,9 0,299
90,0 0,497 90,0 0,317 90,2 0,392 90,0 0,268
110,0 0,436 110,0 0,310 110,1 0,383 110,0 0,260
114,8 0,436 115,0 0,313 115,4 0,380 115,1 0,267
139,9 0,425 139,9 0,306 140,1 0,370 140,0 0,254
179,9 0,379 179,8 0,299 180,0 0,336 179,9 0,247
190,0 0,372 189,9 0,296 190,0 0,328 189,9 0,244
209,9 0,367 209,9 0,285 210,0 0,330 209,9 0,236
(a) Para cada uma das 4 situações aqui consideradas: Carbono sem, Vidro sem, Carbono com,
Vidro com, ajuste aos dados uma reta de regressão
Difusividade Térmica = Temperatura
(b) No caso da fibra de carbono, o decrescimento da Difusividade Térmica em função da
temperatura é mais rápido com ou sem envelhecimento? Por que?
(c) No caso da fibra de vidro, o decrescimento da Difusividade Térmica em função da
temperatura é mais rápido com ou sem envelhecimento? Por que?
(d) Comparando as duas situações onde não há envelhecimento, o decrescimento da Difusividade
Térmica em função da temperatura é mais rápido no caso da fibra de carbono ou no caso da
fibra de vidro? Por que?
(e) Comparando as duas situações onde há envelhecimento, o decrescimento da Difusividade
Térmica em função da temperatura é mais rápido no caso da fibra de carbono ou no caso da
fibra de vidro? Por que?
Obs.: Para facilitar os cálculos, são fornecidos:
Σx Σy Σx2
Σy2
Σxy
Carbono sem 1803,2 6,272 265974,1 2,644600 725,962
Vidro sem 1805,7 4,488 266095,4 1,346240 532,775
Carbono com 1805,8 5,576 266229,3 2,090994 642,041
Vidro com 1805,6 4,219 266148,3 1,203391 484,294
onde: x = Temperatura y = Difusividade Térmica

P7.24) Duas retas ou uma só?
O conjunto de dados a seguir se refere a um experimento para avaliação catalítica em
uma refinaria. Ele contem n = 135 observações e p = 3 variáveis, a saber:
T1 = Temperatura (em graus Celsius)
T2 = Temperatura (em graus Farenheit)
MAD = Massa de água deslocada
Tabela – Resultados de experimento para avaliação catalítica
T1 T2 MAD T1 T2 MAD T1 T2 MAD
-7,7 18,14 1958 -13,1 8,42 1928 -15,2 4,64 2325
-6,5 20,3 1946 -7,1 19,22 1820 -15,1 4,82 2257
-9,4 15,08 1937 -11,5 11,3 1919 -10,8 12,56 2313
-11,3 11,66 1923 -15 5 2316 -15,1 4,82 2305
-9,6 14,72 1906 -15,1 4,82 2341 -14 6,8 2325
-8,2 17,24 1905 -15,1 4,82 2331 -15,5 4,1 2396
-9,9 14,18 1921 -15 5 2327 -15,7 3,74 2562
-8,8 16,16 1830 -15 5 2289 -12,9 8,78 2340
-13,1 8,42 1928 -15,2 4,64 2302 -13,2 8,24 2298
(a) Fazendo y = T2 e x = T1:
i. Obtenha um gráfico de dispersão de x contra y.
ii. Calcule o coeficiente de correlação rxy entre x e y.
iii. Ajuste por mínimos quadrados a reta de regressão y = a + bx.
iv. Ajuste por mínimos quadrados a reta de regressão x = c + dy.
v. Compare os valores obtidos de b e 1/d.
vi. Compare os valores obtidos de a e .
(b) Fazendo y = MAD e x = T1, repita a mesma seqüência de passos.
(c) Tomando agora como ponto de partida um conjunto qualquer de n pares de
observações (xi,yi), podem ser ajustadas aos dados duas retas de regressão:
 uma considerando y como a variável a explicar e x como a variável
explicativa, como é usual, ou seja, y = a + bx;
 a outra invertendo os papéis, ou seja, considerando x como a variável a
explicar e y como a variável explicativa, ou seja, x = c + dy.
Se explicitarmos y como função de x nessa segunda equação teremos
Então, se essas duas retas forem traçadas no mesmo gráfico, em geral elas só
coincidirão entre si se tivermos e . Evidentemente, em geral
isso não acontecerá. Para que valores de rxy podemos garantir que ao invés de
duas retas distintas teremos uma só? Como ficaria o aspecto do gráfico de
dispersão neste caso? Por que?

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