Calculo2lista6
0 gostou277 visualizações
1. A expressão para du/dx se u depende de x, y(x) e z(x,y) é du/dx = fx + fy' + fz(fx + fy' ), onde y' é dy/dx e zx e zy são as derivadas parciais de z. 2. Se w depende de u e v, que dependem de x e y linearmente, então a derivada temporal de w é igual à combinação linear das derivadas espaciais. 3. A derivada de z = sen(x)cos(x) é dz/dx = (sen(x))(sen
Calculo2lista6
- 1. 1 UFSCar { C¶lculo 2. Turma C. Sexta lista de exerc¶ a ³cios. 2o semestre de 2006. Prof. Jo~o C.V. Sampaio a 1. Escreva uma express~o para a du dx , se u = f(x; y; z), com y = '(x), e z = Ã(x; y). Resposta. du dx = fx (x; y; z) + fy (x; y; z) ¢ '0 (x) + fz (x; y; z) ¢ (Ãx (x; y) + Ãy (x; y) ¢ '0 (x)), sendo, nesta express~o y = '(x) e z = Ã(x; '(x)). a 2. Mostre que se w = f (u; v) ¶ diferenci¶vel, e se u = x+at, v = y+bt, ent~o wt = awx +bwy . e a a 3. Sendo z = (sen x)cos x , calcule dz dx , por deriva»~o em cadeia, tomando z ca = uv e ent~o a cos x cos2 x u = sen x, v = cos x. Resposta. dz dx = (sen x) ( sen x ¡ sen x ¢ ln(sen x)). 4. Mostre que se z = xy + x ¢ f( x ), (f deriv¶vel) ent~o x ¢ y a a @z @x +y¢ @z @y = xy + z. 5. A fun»~o diferenci¶vel z = f (x; y) ¶ homog^nea de grau n se f (tx; ty) = tn f (x; y). Mostre ca a e e que uma tal fun»~o satisfaz a equa»~o x @x + y @f = nf (x; y). Sugest~o. Derive ambos os ca ca @f @y a membros em rela»~o a t e depois fa»a t = 1. ca c 6. Considere a equa»~o diferencial parcial ca @ 2z @2z @2z ¡5 +6 2 =0 @x2 @x@y @y @2z Mostre que, fazendo-se s = y + 2x, t = y + 3x, a equa»~o torna-se ca =. Determine @s@t ent~o a forma de uma solu»~o geral z = '(x; y), supondo ' diferenci¶vel com derivadas a ca a ³nuas. Resposta. z = f(y + 2x) + g(y + 3x) parciais de ordem 2 cont¶ 7. Como no problema anterior, determine a solu»~o geral da equa»~o ca ca @2z @2z @ 2z 2 + ¡ 10 2 = 0 @x2 @x@y @y fazendo a mudan»a de vari¶veis u = 5x ¡ 2y, v = 2x + y. c a 8. Suponha que w = f (x; y) ¶ solu»~o geral de wxx ¡ wyy = 1. Fa»a x = u + v, y = u ¡ v, e e ca c 2 @ w mostre que a equa»~o se torna ca = 1. Resolva ent~o a equa»~o dada. a ca 2 ¡y 2 @u@v Resposta. w = x 4 + f (x + y) + g(x ¡ y). 9. Se z = f (x; y), e x = r cos µ, y = r sen µ, mostre que (a) @z @z @z = cos µ + sen µ @r @x @y @z @z @z = ¡r sen µ + r cos µ @µ @x @y
- 2. 2 e ent~o que a @z @z sen µ @z = cos µ ¡ @x @r r @µ @z @z cos µ @z = sen µ + @y @r r @µ 1 @z 2 (b) ( @x )2 + ( @y )2 = ( @z )2 + @z @z @r ( ). r2 @µ @ 2f @ 2f 10. Escreva a equa»~o de Laplace ca + 2 = 0, em termos de coordenadas polares r e µ, @x2 @y @ 2 r 1 @f 1 @ 2f sendo x = r cos µ, y = r sen µ. Resposta. 2 + + 2 2 = 0. @r r @r r @µ µ 2 ¶ @2u @2u ¡2s @ u @2u 11. Se x = e cos t, y = e sen t, mostre que s s + =e + 2 . @x2 @y 2 @s2 @t