Ex algebra (11)
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1) O documento apresenta exercícios sobre cálculo diferencial e integral, incluindo aproximações lineares, derivadas de ordem superior, máximos e mínimos. 2) É solicitado calcular derivadas, integrar funções, aproximar valores e esboçar gráficos de funções. 3) As respostas fornecem os cálculos das derivadas, aproximações dos valores solicitados e esboços dos gráficos conforme pedido nos exercícios.
Ex algebra (11)
- 1. Lista 8 de C´lculo I a 2010-2 15 UFES - Universidade Federal do Esp´ ırito Santo Aproxima¸ao linear c˜ DMAT - Departamento de Matem´tica a Diferencial LISTA 8 - 2010-2 Derivada de ordem superior 1. Encontre a equa¸ao da reta que melhor aproxima o gr´fico de y = f (x) = x19/3 para valores de x pr´ximos c˜ a o de −1. Usando a equa¸ao desta reta, encontre um valor aproximado para (−1, 06)19/3 . c˜ √ 1 π 1/3 2. Calcule, por diferencial, o valor aproximado de: (a) 35, 99 (b) (c) cos 3, 09 3 3. A altura e o raio de um cilindro reto s˜o iguais, de modo que o volume desse cilindro ´ dado por V = a e πh3 . O volume deve ser calculado com erro n˜o maior que 1% em rela¸ao ao valor real. Determine, a c˜ aproximadamente, o maior erro que pode ser tolerado na medida de h, expressando-o como porcentagem de h. 4. Calcule f ′′ para a fun¸ao do ex. 8. da Lista 7. c˜ 5. Calcule f ′′ para a fun¸ao do ex. 10. da Lista 7. c˜ 1 x2 cos , x = 0 6. Calcule f ′′ , f ′′′ e seus respectivos dom´ ınios para f (x) = x 0, x=0 7. Seja h(x) = x2 − 4 , x ∈ R. (a) Dˆ os pontos onde h ´ duas vezes diferenci´vel e determine h′ (x) e h′′ (x); e e a (b) Esboce o gr´fico de h. a dy dy d2 y 8. Seja y = u cos2 u3 . (a) Calcule ; (b) Se u = u(x), calcule e . du dx dx2 √ √ 9. Prove: se y = cos x − sen x ent˜o 4xy ′′ + 2y ′ + y = 0. a 10. Considere g(x) = cos x×f 2 (x), onde f : R −→ R ´ duas vezes diferenci´vel, f (0) = −1 e f ′ (0) = f ′′ (0) = 2. e a Calcule g ′′ (0). RESPOSTAS 19 16 1. y = x+ ; valor aproximado = −1, 38 2. (a) ∼ 5, 9992 (b) ∼ 0, 3233 = = 3 3 „ «1/3 “π” 1 1 ∼ 0, 8333, ´ uma aproxima¸˜o grosseira, foi usado que 1 est´ perto de 1; 2. (c) como cos = , = e ca a 3 2 2 2 „ «1/3 1 ∼ 0, 79375, ´ uma aproxima¸˜o melhor, foi usado que 1 est´ perto de 0, 512 = (0, 8)3 = e ca a 2 2 1 16 3. % 4. G′′ (r) = − (2r + 2)−9/5 3 „5 « ′′ 16 1 4 1 5. Para x = 0, f (x) = 6x − 7 sen 4 − 3 cos 4 ; ∃f ′′ (0) pois f ′ n˜o ´ cont´ a e ınua em x = 0. x x x x 6. dom f ′′ = dom f ′′′ = R − {0}; ∃f ′′ (0) pois f ′ n˜o ´ cont´ a e ınua em x = 0 e ∃f ′′′ (0) pois ∃f ′′ (0); „ « 1 1 2 1 1 1 f ′′ (x) = 1 − 2 cos + sen ; f ′′′ (x) = − 4 sen . x x x x x x y 12 7. (a) h ´ duas vezes diferenci´vel para ∀x ∈ R; x = −2 e x = 2; e a 10 x2 − 4 ′ −2x se −2 < x < 2 8 h (x) = (2x) 2 = |x − 4| 2x se x < −2 ou x > 2 (b) 6 x2 − 4 ′′ −2 se −2 < x < 2 4 h (x) = (2) 2 = |x − 4| 2 se x < −2 ou x > 2 2 –4 –2 0 2 4 x dy dy ´ du = cos2 u3 − 6u3 sen u3 cos u3 = cos2 u3 − 6u3 sen u3 cos u3 ` 8. (a) (b) du dx dx « d2 y ´ 2 ´ du 2 „ 3 d u ` 2 3 3 3 2 ` 3 2 3 3 3 3 2 3 = cos u − 6u sen u cos u + 6u 3u sen u − 4 sen u cos u − 3u cos u dx2 dx2 dx ′ ′′ 9. Basta calcular y e y , substituir na express˜o do lado esquerdo da equa¸˜o e verificar que se anula. a ca 10. 3