E6 calc1

Departamento de Computação é Matemática Cálculo I
USP- FFCLRP
Prof. Rafael A. Rosales 5 de março de 2014
Lista 6
Gráﬁcos: Pontos críticos, máximos e mínimos, partes crescentes e
decrescentes. L’Hôpital. Diferencial. Polinômio de Taylor
1 Máximos, Mínimos...
Exercício 1. Encontre os pontos críticos das seguintes funções:
a)f(x) = x3
− 3x2
+ 3x b)f(x) = sen2
x c)f(x) =
1
1 + x2
d)f(x) = x2
−
2
x
e)f(x) =
√
x(1 − x) f)f(x) =
x
x2 − 9
Exercício 2. Para as funções abaixo, encontre os intervalos nos quais f é crescente ou
decrescente, os valores de máximo e mínimo locais de f, os intervalos de concavidade
e pontos de inﬂexão:
a)f(x) = 2x3
− 3x2
− 12x b)f(x) = x4
− 6x2
c)f(x) = sen2
(x), 0 ≤ x ≤ 2π
Exercício 3. Para cada uma das funções encontre os máximos e mínimos locais e
globais no domínio dado:
a)f(x) = senx + cosx, x ∈ [0, π] b)f(x) = e−x
− e−2x
, x ∈ [0, 1]
c)f(x) =
x
1 + x2
, x ∈ R d)f(x) = xe−x
, x ∈ R
e)f(x) = x4
− x2
+ |x|, x ∈ [−1, 1] f)f(x) =
ln(x)
x
, x ∈ [1, 3]
Exercício 4. 2. Se f(x) é um polinômio qualquer, portanto, f (x) também é um
polinômio. Mostre que entre duas raízes distintas de f(x) existe pelo menos uma raiz
de f (x).
Exercício 5. Encontre uma função cúbica f(x) = ax3 + bx2 + cx + d que tenha valor
máximo local 3 em -2 e valor mínimo local 0 em 1.
Exercício 6. Mostre que a equação x3 + x2 − 5x + 1 = 0 admite três raízes reais e
distintas. Localize tais raízes.
Exercício 7. Esboce a curva:
a)y = 2 − 15x − 9x2
− x3
b)y =
x
x − 1
c)y =
1 + x2
1 − x2
d)y =
1
x3 − x
e)y =
x2
x2 + 9
f)y =
x
x2 − 9
g)y =
−x2
x2 − 9
h)y = x2 + 1 − x i)y = xe−x
j)y =
x3
x2 + 3x − 10
k)y =
x2 − 4x + 4
x2 − 5x + 6
l)y = x4
− 4x2
1

(para i) pode considerar que ex 2.7182818x)
Exercício 8. Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→1/2−
ln(1 − 2x)
tg(πx)
b) lim
x→+∞
ln(x100)
5
√
x
c) lim
x→0+
ln(x)
cotg(x)
d) lim
x→+∞
ln(x)
e2x
e) lim
x→+∞
xex
ex2 f) lim
x→0+
x3
ln(x)
g) lim
x→+∞
xsen(
3
x
) h) lim
x→0
(
1
1 − cos(x)
−
2
x2
) i) lim
x→0
(
1
ln(1 + x)
−
1
ex − 1
)
j) lim
x→0+
(xsen x)tg x
k) lim
x→0
(ex
+ 3x)1/x
l) lim
x→0+
xtg(x2)
m) lim
x→+∞
ln(ln(x))
√
x
n) lim
x→0+
xe1/x
o) lim
x→∞
x +
√
x −
√
x − 1
Exercício 9. Sejam f(x) = x2sen(1/x) e g(x) = x. Mostre que lim
x→0
f(x) = lim
x→0
g(x) =
0, lim
x→0
f(x)
g(x)
= 0 e que lim
x→0
f (x)
g (x)
não existe. Há alguma contradição com a Regra de
L’Hôpital? Justifique sua resposta.
Exercício 10. a) Seja f : R → R uma função derivável tal que f (x) = 0 para todo
x ∈ R. Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que f é uma função constante.
b) Seja g : R → R uma função derivável tal que g (x) = g(x) para todo x ∈ R. Mostre
que existe um c ∈ R tal que g(x) = cex para todo x ∈ R. ( Sugestão: considere a
função h(x) = g(x)e−x e use (a)).
Exercício 11. Mostre que todo polinômio de grau 3 tem um único ponto de inflexão.
Exercício 12. As funções senh : R → R e cosh : R → R dadas por
senhx =
ex − e−x
2
e coshx =
ex + e−x
2
são chamadas de seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, respectivamente. Mostre que:
a) senh é uma função ímpar e cosh é uma função par;
b)
d
dx
senhx = coshx e
d
dx
coshx = senhx;
c) cosh2
x − senh2
x = 1, ∀x ∈ R;
d) senh(x + y) = senhxcoshy + coshxsenhy;
e) Defina tghx =
senhx
coshx
e sechx =
1
coshx
. Mostre que 1 − tgh2x = sech2x;
f) Esboce o gráfico de senh, cosh e tgh.
Exercício 13. Moste que lim
x→∞
1 +
x
n
n
= ex
, para x > 0.
Exercício 14. Encontre a linearização L(x) de f em a para
a) f(x) = x3
, a = 1 b) f(x) = 1/x, a = 4.
Exercício 15. Encontre o diferencial dy e calcule dy para os valores de x e dx dados:
a) y = x2 + 2x, x = 3 e dx = 0, 5;
b) y = (x2 + 5)3, x = 1 e dx = 0, 05;
c) y = cos x, x = π/6 e dx = −0, 01.
2

Exercício 16. Use diferenciais para estimar 36, 1 e sen59o.
Exercício 17. Calcular o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de x0 quando:
a) y = 3
√
x, x0 = 1 b) y = ex, x0 = 0 c) y = senx, x0 = 0
Exercício 18. Usando o polinômio de Taylor de ordem 2 do exercício anterior, calcular
um valor aproximado e o erro desta aproximação para:
a) 3
8, 2 b) e0,03 c) sen(0, 1)
Exercício 19. Mostre que para todo x real,
sen(x) = lim
n→∞
x −
x3
3!
+
x5
5!
− . . . + (−1)n x2n+1
(2n + 1)!
.
2 Diferencial. Taxas de variação relacionadas. Máximos e mí-
nimos.
Exercício 20. A aresta de um cubo mede 30 cm, com um possível erro na medida de
0,1 cm. Use diferenciais para estimar o erro máximo possível em calcular o volume do
cubo e a área da superfície do cubo.
Exercício 21. O diâmetro de uma esfera mede 84cm, com erro possível de 0,5 cm. Use
diferenciais para estimar o erro máximo na área da superfície calculada e no volume
calculado.
Exercício 22. Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 1 km, a 500 km/h,
e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a
distância do avião até a estação está crescendo quando ele está a 2 km além da estação.
Exercício 23. Dois carros iniciam o movimento de um mesmo ponto. Um viaja para o
sul a 60 km/h e o outro para o oeste a 25 km/h. A que taxa está crescendo a distância
entre os dois carros duas horas depois?
Exercício 24. Está vazando água de uma tanque cônico invertido a uma taxa de 10.000
cm3/min. Ao mesmo tempo, está sendo bombeada água para dentro do tanque a uma
taxa constante. O tanque tem 6 metros de altura e seu diâmetro, no topo, é 4 metros.
Se o nível da água está subindo a uma taxa de 20 cm/min, quando a altura da água
for 2 metros encontre a taxa segundo a qual a água está sendo bombeada dentro do
tanque.
Exercício 25. Um esteira transportadora está descarregando cascalho a uma taxa de
30cm3/min, formando uma pilha na forma de cone com diâmetro da base e altura
sempre iguais. Quão rápido está crescendo a altura da pilha quando está a 10 cm de
altura?
Exercício 26. Encontre dois números cuja soma seja 23 e cujo produto seja máximo.
Exercício 27. Encontre as dimensões de um retângulo com perímetro de 100m cuja
área seja a maior possível.
Exercício 28. Um fazendeiro com 750 m de cerca quer cercar uma área retangular e
então dividí-la em 4 partes com cercas paralelas a um lado do retângulo. Qual a maior
área total possível das 4 partes?
3

Exercício 29. Se 1200 cm2 de material estivessem disponíveis para fazer uma caixa
com uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível da caixa.
Exercício 30. Um contêiner para estocagem retangular com uma tampa aberta deve
ter um volume de 10 m3. O comprimento é o dobro da largura. O material para a base
custa 10 reais por m2 e o material para o lado custa 6 reais por m2. Encontre o custo
dos materiais para o mais barato dos contêineres. E se o contêiner tiver uma tampa
que é feita do mesmo material usado nos lados?
Exercício 31. a) Mostre que de todos os retângulos com uma área dada, aquele com
um menor perímetro é um quadrado. b) Mostre que de todos os retângulos com um
dado perímetro, aquele com maior área é um quadrado.
Exercício 32. Encontre o ponto sobre a reta y = 4x + 7 que está mais próximo da
origem.
Exercício 33. Um pedaço de fio com 10 m de comprimento é cortado em 2 partes.
Uma parte é dobrada em formato de um quadrado, ao passo que a outra é dobrada na
forma de um triângulo equilátero. Como deve ser cortado o fio de forma que a área
total englobada seja máxima? ( Resp: tudo para o quadrado ) E mínima?
Exercício 34. A iluminação de um objeto por uma fonte de luz é diretamente propor-
cional à potência da fonte e inversamente propocional ao quadrado da distância da
fonte. Se duas fontes de luz, uma 3 vezes mais forte que a outra, são colocadas a 10m
de distância, onde deve ser colocado o objeto sobre a reta entre as fontes de tal forma
a receber o mínimo de iluminação?
Exercício 35. † Dois corredores com largura a e b se encontram formando um angulo
reto conforme se mostra na figura.
a
b
Qual é o maior cumprimento permitido de uma escada o qual garante que esta ainda
poda ser carregada (horizontalmente) de um corredor ao outro?
Exercício 36. † Encontre o trapezio de maior área o qual pode ser inscrito em um
semi-circulo de raio a, com uma das suas bases sobre o diametro do circulo.
Exercício 37. †† A esquina inferior direita de uma folha é dobrada de maneira que esta
toca em um ponto a margem esquerda conforme mostrado na figura abaixo.
4

β
Se a folha é muito comprida e a sua largura é denotada por α, mostre que o menor
comprimento do lado β é 3
√
3α/4.
Respostas
x
y
1
x3−x
x
y
xe−x0.2
0.4
2 4 6
5

x
y
x4 − 4x2
−3
4
10
−2 −1 1 2
x
y
x2
(x2+9)
0.4
0.8
−10 −5 5 10
12. O graﬁco de g é,
x
y
sinh(x)
cosh(x)
tgh(x)
−2
2
4
6
−2 −1 1 2
20. 270 cm3 e 36cm2 .
21. 84πcm2 e 1764πcm3.
22. 200
√
5 km/h.
23. 65 km/h.
24. ≈ 289.111 cm3/min.
25. ≈ 0, 38cm/min.
26. x = y = 23/2.
6

27. a = b = 25.
28. 14062,5.
29. 4000.
30. 191,28.
32. (-28/17,7/17)
33. 40
√
3/(9 + 4
√
3) m.
34. 10
3
√
3/(1 +
3
√
3)m da fonte mais forte.
35.
a
b
x
y
Da ﬁgura acima temos que
b
x
=
y
a
,
portanto o comprimento da linha ponteada é igual a
b2 + x2 + a2 +
a2b2
x2
= b2 + x2 +
a
x
x2 + b2 = 1 +
a
x
x2 + b2.
O maior comprimento da escada corresponde ao comprimento mínimo da linha pon-
teada. Este último é obtido quando
0 = −
a
x2
x2 + b2 + 1 +
a
x
x
√
x2 + b2
= −
a
x2
(x2
+ b2
) + x + a
1
√
x2 + b2
,
Assim, ax2 + ab2 = x3 + ax2, e disto x = a1/3b2/3. Logo o comprimento da escada é
1 +
a2/3
b2/3
a2/3b2/3 + b2 = b2/3
+ a2/3 a2/3b4/3 + b2
b4/3
= (b2/3
+ a2/3
)2/3
.
36. Se x é a altura do trapezio, então
A(x) = (a + a2 − x2)x
é a sua área; veja o desenho abaixo.
a
x
√
a2 − x2
7

Neste caso o máximo ocorre quando
0 = A (x) = a + a2 − x2 −
x2
√
a2 − x2
=
a
√
a2 − x2 + a2 − 2x2
√
a2 − x2
,
ou de maneira alternativa quando,
a2
(a2
− x2
) = (2x2
− a2
)2
= 4x4
− 4x2
a2
+ a4
.
Isto implica que 4x4 = 3x2a2 e x =
√
3a/2. Assim a área em questão é
a + a2 −
3a
4
√
3a
2
= a +
a
2
√
3a
2
=
3
√
3a2
4
.
37. Consideramos os seguintes pontos,
β
D C B
E E
A
α
Se x = BC e y = AB, então
ED = x2 − (α − x)2 = 2αx − α2 do EDC,
α2
+ (y − ED)2
= y do EE A,
logo
α2
+ (y − 2αx − α2)2
= y2
−y 2αx − α2 + αx = 0
y2
(2αx − α2
) = α2
x2
y2
=
α2x2
2αx − α2
=
αx2
2x − α
.
O quadrado do comprimento de β é
x2
+ y2
= x2
+
αx2
2x − α
=
2x3
2x − α
.
Esta quantidade é mínimizada quando
0 = 6x2
(2x − α) − 4x3
= 8x3
− 6x2
α = x2
(8x − 6α),
8

ou quando x = 3α/4. Para este valor de x o comprimento é
2
3α
4
3
3α
2
− α
=
3
√
3α
4
.
9

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