Cap 1 matematica
- 1. 1-1 CAPÍTULO 1 MATEMÁTICA INTRODUÇÃO O uso da matemática está tão presente em todos os setores da vida quotidiana; que, raramente, se é que acontece, alguém percebe por completo quão desamparados estaríamos na realização do nosso trabalho diário sem o seu conhecimento, até mesmo na sua forma mais simples. Muitas pessoas têm dificuldade com cálculos relativamente simples, envolvendo a- penas a matemática elementar. Para executar- mos cálculos matemáticos com sucesso, é preci- so compreender os processos e a prática contí- nua no uso dos domínios matemáticos. De uma pessoa que esteja entrando no ramo da aviação, será exigido que trabalhe com exatidão. A mecânica de aviação está fre- quentemente envolvida em tarefas que exigem cálculos matemáticos de vários tipos, tolerân- cias em componentes de aeronaves e motores. Na maioria das vezes, é crucial fazer medições de milésimos ou décimos de milésimo de pole- gadas. Por causa das pequenas tolerâncias, que se deve observar, é importante que o mecânico de aviação seja capaz de realizar medidas e cál- culos matemáticos precisos. A matemática pode ser comparada a um "Kit" de ferramentas, e cada operação matemáti- ca comparada ao uso de uma das ferramentas na solução de um problema. As operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão são as ferramentas disponíveis para nos ajudar a resolver um problema em questão. OS NÚMEROS INTEIROS A adição dos números inteiros O processo de encontrar a combinação entre dois ou mais números, é chamado adição. o resultado é chamado soma. Quando somamos vários números intei- ros, como 4567, 832, 93122 e 65; os colocamos embaixo, uns dos outros, com seus dígitos em colunas, de modo que na última, ou a partir da direita, eles fiquem na mesma coluna. Quando somamos decimais como 45,67; 8,32; 9,3122 e 0,65; os colocamos embaixo um do outro, de modo que os pontos decimais este- jam em ordem na linha, de alto à baixo. Para conferir a adição; ou somamos os algarismos na mesma ordem novamente; ou os somamos em ordem contrária. Subtração dos números inteiros A subtração é o processo para se encon- trar a diferença entre dois números, tirando o menor do maior. O número que é subtraído é chamado subtraendo, o outro número é chamado minuendo; a diferença tirada deles é chamada resto. Para encontrar o resto, escreva o subtra- endo embaixo do minuendo, como na adição. Começando da direita, diminua cada algarismo do subtraendo do algarismo acima, e escreva o resto abaixo, na mesma coluna. Quando o pro- cesso é terminado, o número abaixo do subtra- endo é o resto. Para conferir a subtração, somamos o resto e o subtraendo. A soma dos dois é igual ao minuendo. Multiplicação de números inteiros O processo para se encontrar a quantida- de obtida pela repetição de um dado número, em um número específico de vezes, é chamado mul- tiplicação. O processo de multiplicação é, de fato, um caso de adição repetida, no qual todos os números que estão sendo adicionados são idênticos. Portanto, a soma de 6+6+6+6=24 pode ser expressa pela multiplicação 6 x 4 =24. Os números 6 e 4 são conhecidos como os fato- res (coeficientes) da multiplicação e o 24, como produto. Nessa operação, o produto é formado pela multiplicação dos fatores. Quando um dos fatores é um número in- teiro de um algarismo, o produto é formado pela multiplicação desse número por cada algarismo do outro fator, da direita para a esquerda, mu- dando quando necessário. Quando ambos os fatores são formados por números inteiros de mais de um algarismo, o produto é formado pela multiplicação de cada algarismo de um fator pelo outro. No exercício, o cuidado está, em quando escrever abaixo os
- 2. produtos parciais formados, estar certo de que o algarismo da extremidade direita se alinha abai- xo do algarismo da multiplicação. Este é então, um problema de adição simples para encontrar o produto final. EXEMPLO: Determinar o custo de 18 velas de ignição, custando cada $3.25. 3, 25 x 18 2600 325 58,50 Quando se multiplica uma série de nú- meros, o produto final será o mesmo, indepen- dentemente da ordem pela qual esses números são organizados. EXEMPLO: Multiplicar: (7) (3) (5) (2) = 210 Divisão dos números inteiros O processo de descobrir quantas vezes um número está contido em um segundo núme- ro, é chamado divisão. O primeiro número é chamado o divisor; o segundo, o dividendo; e, o resultado é o quociente. Das quatro operações básicas, a divisão é a única que envolve acertos e erros na solução. É necessário fazer tentativas quanto ao algaris- mo apropriado, ainda que a experiência tende a diminuir o número de tentativas, a forma incor- reta pode acontecer uma vez ou outra. Colocar a vírgula, corretamente no quo- ciente, freqüentemente constitui uma dificulda- de. Quando se divide um número decimal por outro, um passo importante é eliminar a vírgula do divisor. Para conseguir basta mover a vírgula para a direita, em um número de casas necessário para eliminá-la. A seguir, move-se a vírgula para a direi- ta no dividendo tantas casas quanto forem ne- cessárias mover no divisor, e procede-se como na divisão normal. FRAÇÕES Uma fração é uma divisão indicada que expressa uma ou mais de uma das partes iguais, na qual uma unidade é dividida. Por exemplo, a fração 2/3 indica que o inteiro foi divido em 3 partes iguais, e que 2 dessas partes estão sendo usadas ou consideradas. O número acima da li- nha é o numerador e o número abaixo é o de- nominador. Se o numerador de uma fração é igual ou maior que o denominador, a fração é conhecida como imprópria. Na fração 15/8, se a divisão indicada é efetuada, a fração imprópria é troca- da para um número misto, que é um número inteiro, e uma fração: 15 8 1 7 8 = Uma fração complexa é aquela que con- tém uma ou mais frações, ou números mistos, no numerador ou denominador. Os exemplos são: 7 21 105 ou 7 3 35 x3 x5 x 2 x5 x2 x6 21 105 210 35 6 210 1 2 ; 5 8 ; 3 4 ; 3 1 2 2 3 2 5 8 2 3 Uma fração decimal é obtida pela divi- são do numerador de uma fração pelo denomi- nador, e mostrando o quociente como um deci- mal. A fração 5/8 é igual 5:8 = 0,625. Uma fração não muda seu valor, se tanto o numerador quanto o denominador, forem mul- tiplicados ou divididos pelo mesmo número. 1 4 3 3 3 12 1 4 x = = As mesmas operações fundamentais rea- lizadas com números inteiros podem também ser realizadas com frações. São: adição, subtra- ção, multiplicação e divisão. Adição e subtração de frações ordinárias (comuns) Para se adicionar ou subtrair frações, to- dos os denominadores devem ser semelhantes. No trabalho com frações, como os números in- teiros, aplica-se regra de semelhança. Isto é, 1-2
- 3. apenas frações iguais podem ser adicionadas ou subtraídas. Quando adicionamos ou subtraímos fra- ções que têm denominadores iguais, é apenas necessário, adicionar ou subtrair os numerado- res; e expressar o resultado como o numerador de uma fração, cujo denominador, é o denomi- nador comum. Quando os denominadores são diferentes, é necessário primeiro reduzir as fra- ções ao denominador comum, antes de continu- ar com o processo de adição ou subtração. EXEMPLOS: 1 - Uma certa instalação de interruptor requer um "passeio" da haste, de 5/8 de polegada, antes que ocorra a atuação da mesma. Se for requeri- do um "passeio" de 1/8 de polegada após a atua- ção, qual será o "passeio" total da haste? Passo 1: Somar os numeradores. 5 + 1 = 6 Passo 2: Expressar o resultado como numerador de uma fração cujo denominador é o denominador comum. 5 8 1 8 6 8 + = 2 - O deslocamento total de um "macaco de ros- ca" é 13/16. Se o deslocamento em uma direção, vindo de uma posição neutra, é 7/16 de polega- da, qual é o deslocamento na direção contrária? Passo 1: Subtrair os numeradores. 13 - 7 = 6 Passo 2: Expressar o resultado como numerador de uma fração cujo denominador é o denominador comum. 13 16 7 16 6 16 − = 3 - Encontrar o diâmetro externo de uma seção de tubo que tem 1/4 de polegada de diâmetro interno, e uma espessura de parede combinada de 5/8 de polegada. Passo 1: Reduzir as frações ao denominador comum. 1 4 2 8 5 8 5 8 = =; Passo 2: Somar os numeradores e expressar o resultado como numerador de uma fração cujo denominador é o denomi- nador comum. 2 8 5 8 7 8 + = 4 - A tolerância para a ajustagem da inclinação do aileron de um avião é 7/8, mais ou menos 1/5 de polegada. Qual é a inclinação mínima para a qual o aileron possa ser ajustado? Passo 1: Reduzir as frações para o denominador comum. 7 8 35 40 8 40 = =; 1 5 Passo 2: Subtrair os numeradores e expressar o resultado como nos exemplos acima. 35 40 8 40 27 40 − = Cálculo do mínimo denominador comum Quando os denominadores de frações a serem somadas ou subtraídas, são tais, que o mínimo denominador comum possa ser determi- nado imediatamente, o MDC (mínimo denomi- nador comum) pode ser encontrado pelo método de divisão contínua. Para encontrar o MDC de um grupo de frações, escreva os denominadores na linha ho- rizontal. A seguir, divida os mesmos denomina- dores pelo menor número inteiro que dividirá dois ou mais dos denominadores, daí, descer para uma nova linha todos os quocientes e nú- meros que não foram divisíveis. Continuar este processo até que não tenha dois números na linha de resultados que sejam divisíveis por qualquer número inteiro que não seja um. Mul- tiplica-se todos os divisores e os termos restan- tes na última linha para obter o máximo deno- minador comum. 1-3
- 4. EXEMPLO: Qual é o MDC para 7/8, 11/20, 8/36, 21/45? Passo 1: Escrever os denominadores na linha horizontal e dividi-la pelo menor nú- mero inteiro, que dividirá exatamente dois ou mais dos números. 2| 8 20 36 45 4 10 18 45 Passo 2: Continuar este processo até que não haja dois números na linha de resulta- do que sejam divisíveis por qualquer número inteiro, que não seja um. 2| 8 20 36 45 2| 4 10 18 45 2| 2 5 9 45 3 1 5 9 45 3| 1 5 3 15 5 1 5 1 5 1 1 1 1 Passo Final: Multiplicar todos os divisores e termos restantes na última coluna para obter o MDC. MDC = 2x2x2x3x3x5 = 360 Multiplicação de frações O produto de duas ou mais frações é ob- tido pela multiplicação dos numeradores para formar o numerador do produto; e pela multipli- cação dos denominadores, para formar o deno- minador do produto. A fração resultante é, então, reduzida pa- ra o seu menor termo. Um denominador comum não precisa ser encontrado para esta operação, já que o novo denominador, na maioria dos ca- sos, será diferente de todas as frações originais. EXEMPLO: Qual é o produto de 3/5 x 12/22 x 1/2? Passo 1: Multiplicar os numeradores. 3 x 12 x 1 = 36 Passo 2: Multiplicar os denominadores. 5 x 22 x 2 = 220 Passo Final: Reduzir a fração resultante para o seu menor termo. 36 220 9 55 = Cancelamento Cancelamento é a técnica de separar ou cancelar todos os fatores comuns que existem entre numeradores e denominadores. Isso ajuda na obtenção do produto, eliminando os cálculos mais pesados. EXEMPLO: Qual é o produto de 18/10 x 5/3? O produto poderia ser encontrado pela multipli- cação de 18 x 5 e 10 x 3 e, então, dividindo o produto dos numeradores pelo produto dos de- nominadores. Entretanto, o método mais fácil de solução é pelo cancelamento. É evidente que o 10 no denominador e o 5 no numerador podem ser divididos por 5. 1 18 10 5 3 x 2 Da mesma maneira, o 18 e o 3 são divi- síveis por 3. 6 1 18 10 x 5 3 2 1 O 6 resultante no numerador e o 2 no denominador são divisíveis por 2. 3 6 1 18 10 x 5 3 = 3 x 1 1 x 1 = 3 1 = 3 2 1 1 1-4
- 5. A fração está, portanto, reduzida aos seus meno- res termos; e os passos finais da divisão e multi- plicação são realizados facilmente, quando comparados com tarefas de multiplicar e dividir as frações maiores. Divisão de frações comuns A divisão de frações comuns é feita, convenientemente, por conversão do problema em uma multiplicação de duas frações comuns. Para dividir uma fração por outra, inverte-se a fração divisora, e multiplica-se os numeradores e denominadores. Isto é conhecido como o mé- todo do divisor invertido. Lembre-se sempre da ordem em que as frações são escritas. É importante, na divisão, que as operações sejam realizadas na ordem indicada. Lembre-se também, que é sempre o divisor que é invertido, nunca o dividendo. Números mistos Os números mistos podem ser adiciona- dos, subtraídos, multiplicados ou divididos; tro- cando-os pelas frações impróprias e procedendo como nas operações com outras frações. EXEMPLO: Um pedaço de tubo medindo 6 3/16 de polegada é tirado de um pedaço de 24 1/2 de polegada. Levando em conta 1/16 de polegada para o cor- te, qual é a medida do pedaço restante? Passo 1: Reduzir as partes fracionárias para fra- ções semelhantes e completar o pro- cesso de subtração. 1 2 3 16 1 16 8 16 3 16 1 16 4 16 1 4 − − = − − = = Passo 2: Subtrair as partes inteiras. 24 - 6 = 18 Passo Final: Combinar os resultados obtidos em cada passo. 18 + 1/4 = 18 1/4 de polegada Números decimais Números decimais são frações cujos de- nominadores são 10 ou múltiplos de 10, tais como 100, 1000, 10.000, etc. Eles são indica- dos, escrevendo-se um ou mais algarismos para a direita de um sinal de referência chamado vír- gula. Portanto: 6 10 0,6 0,06 0,006 = ⇒ = ⇒ = ⇒ ambos lido ambos lido s seis decimais 6 100 ambos lidos seis centesimos 6 1000 s seis milesimos Quando escrevemos um número deci- mal, qualquer número de zeros pode ser escrito à direita, sem alterar seu valor. Isto pode ser ilustrado da seguinte maneira: 0,5 5 10 1 2 0,50 50 100 1 2 0,500 500 1000 1 2 = = = = = =; ; Uma fração decimal, que é escrita onde não há números inteiros como 0,6; 0,06; etc., é chamada decimal puro. Quando um número inteiro e uma fração decimal são escritos juntos como 3,6; 12,2; 131,12; etc., o número é conhe- cido como decimal misto. Figura 1-1 Circuito em série. Adição de decimais Quando operamos com números deci- mais, a regra de semelhança requer que se adi- cione ou subtraia apenas denominadores iguais. Essa regra foi discutida anteriormente sob o título de adição e subtração de números inteiros. Para somar ou subtrair expressões decimais, 1-5
- 6. organize os decimais, de modo que as vírgulas se alinhem verticalmente, e some ou subtraia, como os inteiros. Coloque a vírgula no resultan- te diretamente abaixo da vírgula nos adendos, ou minuendo e subtraendo. EXEMPLOS: A resistência total do circuito em série (figura 1-1) é igual a soma das resistências indi- viduais. Qual é a resistência total para o circuito mostrado neste exemplo? Passo 1: Organize os números decimais na co- luna vertical de modo que as vírgulas fiquem alinhadas. 2,34 37,5 0,09 Passo 2: Complete a adição seguindo a técnica usada na soma dos números inteiros. Coloque a vírgula no resultado dire- tamente abaixo das vírgulas das par- celas. 2,34 37,5 0,09 39,93 ohms Subtração dos decimais Um circuito em série contendo dois re- sistores tem uma resistência total de 37,27 ohms. Um dos resistores têm o valor de 14,88 ohms. Qual é o valor do resistor restante? Passo 1: Coloque os números decimais na co- luna vertical, de modo que as vírgulas fiquem no alinhamento. 37,27 - 14,88 Passo 2: Realizar a subtração, usando o proce- dimento de subtração dos números in- teiros. Coloque a vírgula no resultado diretamente abaixo das outras vírgulas. 37,27 - 14,88 22,39 Multiplicação de números decimais A multiplicação de um número decimal por outro sempre produzirá um resultado menor do que qualquer dos dois números. Quando um decimal é multiplicado por um número inteiro ou por um número misto, a resposta se posicio- nará entre os dois números. Quando se multiplica uma fração deci- mal por um número inteiro ou uma outra fração decimal, a maior dificuldade consiste no posi- cionamento da vírgula. Para multiplicar decimais, ignore as vír- gulas e multiplique os termos, como se eles fos- sem números inteiros. Para localizar a vírgula no produto, comece da direita e siga para a es- querda o número de casas decimais, que serão iguais a soma de casas decimais, nas quantida- des multiplicadas. Passo 1: Posicione e multiplique os termos. Desconsidere a vírgula. 9,45 x 120 000 1890 945 113400 A seguir, determine o local da vírgula, comece à direita do produto e siga para a es- querda o número de casas decimais, iguais à soma das casas decimais das quantidades multi- plicadas. 9,45 x 120 18900 945 1134,00 Em alguns problemas o número de alga- rismos no produto será menor que a soma de ca- sas decimais nas quantidades multiplicadas. Onde isso ocorrer, simplesmente some zeros para a esquerda do produto, até que o número de algarismos se iguale à soma das casas decimais nas quantidades multiplicadas. EXEMPLO: Multiplicar 0,218 por 0,203 1-6
- 7. Passo 1: Organize os termos e proceda a mul- tiplicação, desconsiderando a vírgula. 0,218 0,203 654 4360 44254 Passo 2 - Localizar a vírgula, acrescentando um zero à esquerda do produto, até que o número de casas seja igual a soma das casas decimais nas quantidades mul- tiplicadas. A seguir, acrescente um zero à esquerda da vírgula. 0,218 0,203 654 4360 0,044254 Divisão de números decimais Quando um ou ambos os termos de um problema de divisão envolve expressões deci- mais, o quociente é encontrado ao se converter o problema para outro, envolvendo um número inteiro. Dois fatos relacionando a divisão de de- cimais que devem ser colocados em mente são: (1) Quando o dividendo e o divisor são multipli- cados pelo mesmo número, o quociente perma- nece inalterado; (2) Se o divisor for um número inteiro, a casa decimal no quociente se alinhará verticalmente com o decimal no dividendo, quando o problema for expresso em forma de divisão prolongada. Para dividir expressões decimais, conte para a direita da vírgula no dividendo o mesmo número de casas que estão situados à direita da vírgula no divisor. Se o número de casas deci- mais no dividendo for menor que o número de casas decimais no divisor, acrescente zeros ao dividendo; lembrando que deve haver no míni- mo tantas casas decimais no dividendo quantas sejam as do divisor. Dividir os termos despre- zando as vírgulas. EXEMPLO: A área da asa de um certo avião é de 245 pés quadrados; sua extensão é 40,33 pés. Qual é a corda média de suas asas? Passo 1: Disponha os termos da divisão e mova a vírgula para a direita, somando zeros quando necessário. 245.00 40,33 Passo 2: Divida os termos, desconsiderando os pontos decimais completamente. 245.00 4033 030200 6,07 1969 Arredondamento de decimais Há uma tendência geral a pensar que to- dos os números são precisos. Realmente, o do- mínio inteiro de medidas, envolve números que são apenas aproximações de números precisos. Por exemplo, medições de comprimentos, áreas e volumes são as melhores aproximações. O grau de precisão dessas medições depende do refinamento dos instrumentos de medidas. De vez em quando é necessário arredon- dar um número para algum valor prático para o uso. Por exemplo, o valor de uma medição é 29,4948 polegadas. É impraticável, se não im- possível, medir de forma exata, com uma regua de aço (escala), cuja precisão seja 1/64 de pole- gada. Para utilizar essa medida, podemos usar o processo de arredondamento. Uma expressão decimal é arredondada tomando-se determinado número de casas e descartando-se as demais. O número retido é uma aproximação do número calculado ou do número exato. O grau de precisão desejado determina o número de algarismos a ser tomado. Quando o algarismo, logo à direita do último algarismo tomado, for 5 ou maior, aumente o último algarismo tomado de uma unidade. Quando o algarismo, imediatamente à direita do último algarismo tomado for menor que 5, deixe-o inalterado. EXEMPLO: Arredonde 29,4948 para o décimo mais próximo. Passo 1: Determine o número de algarismos a ser tomado. Neste caso - décimos sen- 1-7
- 8. do a primeira casa para a direita da vírgula. 29,4948 Passo 2:Mude o valor do último algarismo to- mado, se requerido. Neste caso, como é maior que 5 o decimal final é expresso assim: 29,4948 passa a ser 29,5 polegadas. Conversão de decimais para frações comuns Para transformar um número decimal em uma fração comum, conte o número de al- garismos para a direita da vírgula. Expresse o número como numerador de uma fração, cujo denominador é 1, seguido pelo número de zeros que ficará igual ao número de algarismos à di- reita da vírgula. EXEMPLO: Expresse 0,375 como uma fração comum. Passo 1: Conte o número de algarismos à direi- ta da vírgula. 0,375 1 2 3 Passo 2: Expresse o número como numerador de uma fração cujo denominador seja 1, seguido pela quantidade de zeros, que ficará igual ao número de alga- rismos à direita da vírgula. 1000 375 375,0 = Muitas vezes uma dimensão é descrita num manual de manutenção, ou numa planta, sob a forma de frações decimais. Para que possa ser utilizada, a dimensão precisa ser convertida com aproximação adequada para a escala dis- ponível no instrumento de medida. No caso do mecânico, a régua de aço (escala) costuma ser o instrumento mais usado. Figura 1-2 Centralizando um furo. Para transformar um decimal na fração equivalente mais próxima, com um denomina- dor desejado, multiplique o decimal por esse denominador. O resultado será o numerador da fração procurada. EXEMPLO: Quando são requeridos juros precisos de diâmetro uniforme, primeiramente eles são per- furados com 1/64 de polegada a menos (SUB- MEDIDA) e, posteriormente alargados ou reti- ficados até o diâmetro desejado. Qual o ta- manho da broca a ser utilizada antes de alargar um furo até 0,763 de polegada? Passo 1: Multiplique o decimal pelo denomi- nador desejado - 64: 0,763 x 64 3052 4578 48,832 Passo 2: Arredonde o produto para o inteiro mais próximo e expresse-o como o numerador da fração correspondente: 48,832 ---> 49 fração = 49 64 1-8
- 9. Passo Final: Para determinar o tamanho da bro- ca, subtraia 1/64 de polegada do diâmetro final do furo: 49 64 1 64 48 64 3 4 − = = Assim, devemos usar a broca de 3/4 de polega- da. Conversão de frações comuns em números decimais. Para converter uma fração comum, seja ela própria ou imprópria, para um número deci- mal, divida o numerador pelo denominador e acrescente zeros à direita, de modo a dar ao quociente a precisão desejada. EXEMPLO: Calcule a distância do centro do furo (figura 1-2) às bordas da placa, considerando que o centro do furo coincide com o centro da placa. Expresse o comprimento e a largura da placa em decimais, dividendo por 2. Expresse o resultado final nos 32 avos mais próximos. Passo 1: Transforme os números mistos em fra- ções impróprias: 5 7 16 87 16 29 8 = =; 3 5 8 Passo 2: Converta as frações impróprias em expressões decimais: 87 16 5 4375 29 8 3 625= =, ; , Passo 3: Divida as expressões decimais por 2 para achar o centro da placa. 5 4375 2 2 7188 1813 , , ; ,= = 3,625 2 Passo Final: Expresse o resultado final em 32 avos. 2 7188 2 23 32 , ;= 1,813 = 1 26 32 Percentagem Muitos problemas do dia a dia envolvem percentagem. A maior parte deles envolve al- gum tipo de comparação entre uma parte e um todo. Essas comparações se tornam problemas de percentagem quando tais frações são expres- sas como um percentual. Uma fração cujo denominador é 100 é dado o nome de percentual. Ao escrever tais frações, o símbolo do percentual (%) é utilizado para substituir o denominador. Qualquer fração ou número decimal pode ser expresso como um percentual. A fração 1/5 pode ser expressa como 0,20 ou como 20 por cento, ou simplesmente, 20%. Note que o percentual é a mesma coisa que uma fração decimal, exceto que a vírgula foi movida duas casas para a direita, e depois deletado, após o símbolo "%" ter sido adiciona- da. Expressão de um número decimal como um percentual Para exprimir um número decimal, como um percentual, mova a vírgula duas casas para a direita (adicione zeros, se necessário), e então coloque o símbolo "%". EXEMPLO: Exprima 0,90 como um percentual. Passo 1: Mova a vírgula duas casas para a direi- ta 0,90 ---> 90, Passo Final: Elimine a vírgula e coloque o sím- bolo "%". 90, ---> 90% Expressão de um percentual como um núme- ro decimal Algumas vezes pode ser necessário ex- primir um percentual como um decimal. Tenha em mente que um percentual é simplesmente um número decimal, cuja vírgula foi deslocada duas casas para a direita; assim, para se expri- mir um percentual como um número decimal, tudo que se precisa fazer é mover a vírgula duas casas para a esquerda. 1-9
- 10. Expressão de uma fração comum como um percentual A técnica envolvida em exprimir uma fração comum em percentual é, essencialmente, a mesma utilizada para uma fração decimal. A única diferença está no procedimento necessário para converter a fração em número decimal. EXEMPLO: Expresse 5/8 como um percentual Passo 1: Converta a fração em número decimal 5 8 5 8 0,625= ÷ = Passo Final: Mova a vírgula duas casas e direita e coloque o símbolo "%". 0,625 = 62,5% Calculando qual percentual um número é de outro Determinar qual percentual um número é de outro se faz escrevendo o número que repre- senta a parte, como sendo o numerador de uma fração, cujo denominador será o número que representa o todo. Então se converte tal fração em percentual. EXEMPLO: Um motor de potência 12 HP está desenvolvendo potência de 10,75 HP. Qual a eficiência do motor expressa em porcentagem? Passo 1: Escreva o número que representa a parte 10,75 como o numerador; e o número que representa o todo, 12, como sendo o denominador. 10,75 12 Passo 2: Converta a fração formada em número decimal. 10,75 12 0,8958÷ = Passo Final: Expresse o decimal em percentual. 0,8958 = 89,58% A eficiência do motor é de 89,58% Calculando um percentual de um número dado A técnica utilizada para determinar um percentual de um dado número é baseada no processo de multiplicação. É necessário expri- mir o percentual desejado, sob a forma de nú- mero decimal ou fração comum, e multiplicá-lo pelo número dado. EXEMPLO: A velocidade de cruzeiro de um avião numa altitude de 7500 pés é de 290 nós. Qual a velocidade de cruzeiro a 9000 pés, sabendo-se que ela teve um acréscimo de 6%? Passo 1: Expresse o percentual desejado em decimal. 6% = 0,06 Passo 2: Multiplique o número dado pela ex- pressão decimal 290 x 0,06 = 17,40 Passo Final: Some o produto encontrado, que corresponda ao acréscimo de 6% à velocidade original. 290 + 17,4 = 307,4 nós A velocidade de cruzeiro a 9000 pés será de 307,4 nós. Determinação de um número do qual se co- nhece um percentual Para se determinar um número, quando dele se conhece um percentual, expresse o per- centual como um número decimal e divida o número conhecido pela expressão decimal do percentual. EXEMPLO: Oitenta ohms representam 52% da resistência total de um circuito elétrico. Calcule a resistência total deste circuito. 1-10
- 11. Passo 1: Expresse o percentual conhecido como um número decimal. 52% = 0,52 Passo 2: Divida o número correspondente ao percentual conhecido pelo expresso decimal. 80 - 0,52 = 153,8 ohms A resistência total é de 153,8 ohms Razão Uma importante aplicação das frações comuns é a razão, que representa a comparação entre números. Comparações através de razões têm grande aplicação na aviação. A razão é utilizada para expressar a comparação entre o volume de um cilindro, quando o pistão está no ponto morto inferior; e o volume do mesmo cilindro, quando o pistão está no ponto morto superior. Esta razão é denominada razão de com- pressão. A razão de resposta de uma asa de avião é a comparação entre a medida da envergadura e a medida da corda. A relação entre velocidade, área de asa, envergadura, peso e potência, de diferentes modelos e tipos de aeronaves, pode ser comparada através da utilização de razões. A razão é o quociente de um número dividido por outro, expressos em termos iguais. A razão é, pois, a fração que um número representa de outro e pode ser expressa como uma fração, ou pode ser escrita utilizando os dois pontos (:) como sendo o símbolo para re- presentar a razão. Assim a razão 7/8 pode ser escrita 7:8. Determinação da razão entre duas quantida- des Para achar a razão, o primeiro termo é divido pelo segundo. Ambas as quantidades, de ambos os termos, devem estar necessariamente expressos na mesma unidade; e a fração, entre- tanto, formada e reduzida aos termos mais sim- ples. EXEMPLOS: 1 - Qual a razão entre uma carga de combustível de 800 galões e uma de 10080 libras? assuma que o peso do combustível é de 7,2 libras por galão. Passo 1: Expresse a carga de combustível de 800 galões como sendo o numerador de uma fração, cujo denominador será a carga de combustível de 10080 lb. R = 800gal 10080lb Passo 2: Expresse ambas as quantidades na mesma unidade (libras) Em libras: R lb = × = ( , ) . 800 7 2 10,080lb 5760lb 10800lb Em galões: R = = 800gal 10 080gal 7 2 800gal 1400gal. , Passo Final: Reduza a fração formada com ter- mos mais simples. Em libras: 74 7 4 10080 5760 ÷== ouR Em galões: R = = ÷ 800 1400 4 7 ou 4 7 2 - Se a velocidade de cruzeiro de um avião é de 200 nós e sua velocidade máxima é de 250 nós, qual a razão entre a velocidade de cruzeiro e a velocidade máxima? Passo 1: Expresse a velocidade do cruzeiro co- mo numerador de uma fração, cujo denominador é a velocidade máxi- ma. R = 200 250 Passo Final: Reduza a fração resultante aos ter- mos mais simples. R = = 200 250 4 5 Se quiser expressar a razão à unidade. R = = ÷ 4 5 0,8 1 1-11
- 12. Determinação da quantidade relativa ao primeiro termo Considere agora a situação, na qual são conhecidas a razão e a quantidade correspon- dente ao segundo termo, e, que se deseje achar a quantidade correspondente ao primeiro termo. Para resolver este tipo de problema, multiplique a quantidade que corresponde ao segundo termo pela fração que corresponde à razão. EXEMPLO: A razão é 5/7 e o número corres- pondente ao segundo termo é 35. Ache o núme- ro correspondente ao primeiro termo. Passo 1: Expresse o problema como o produto do segundo termo, pela razão. 35 5 7 × = Passo Final: Faça as operações indicadas: 5 5 7 25× = O primeiro termo é 25. Pode-se verificar calculando razão entre 25 e 35. 25 35 5 7 = Determinação da quantidade relativa ao se- gundo termo. Para resolver um problema deste tipo, a razão entre as duas quantidades e, a quantidade correspondente ao primeiro termo devem ser conhecidos. A solução é obtida dividindo-se a quantidade conhecida (1º termo) pela fração que representa a razão: EXEMPLO: A razão entre dois números é 2/3, o nú- mero que corresponde ao primeiro termo é 100. Ache o número que corresponde ao segundo termo. Passo 1: Expresse o problema como o quociente do primeiro termo dividido pela razão. 100 2 3 ÷ = Passo Final: Faça as operações 100 2 3 ÷ = 50 3 2 150× = O segundo termo é 150. Novamente pode-se verificar, calculando a razão entre 100 e 150: 100 150 2 3 = Proporção A proporção e a equivalência entre duas ou mais razões. Assim: 3 4 6 8 = ÷; ou 3 4 = 6 8÷ Lê-se: 3 está para 4; assim como 6 está para 8. O primeiro e o último termo da propor- ção são chamados "extremos". O segundo e o terceiro termos são chamados "meios". Em qualquer proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Na pro- porção 2" 3 = 4 6÷ ÷ O produto dos extremos; 2x6, é 12; o produto dos meios; 3x4, também é 12. Na verificação de qualquer proporção, verifica-se que isto é sempre verdade. Esta regra simplifica a solução de muitos problemas práti- cos. Um avião consumiu 24 galões de gasoli- na, para percorrer uma distância de 300 milhas. Quantos galões precisará para voar 750 milhas? 300 750 24 300 750 24 300X 18000 60 = × = × = = X X X 1-12
- 13. Resposta: Sessenta galões serão necessários para percorrer a distância de 750 mi- lhas. Números positivos e negativos Números positivos e negativos são números que possuem um valor relativo, conforme sua posição, em relação a uma origem ou zero. Números acima, ou de um lado; usual- mente à direita do zero, são designados positi- vos (+). Aqueles abaixo ou do lado oposto; usu- almente à esquerda do zero, são designados ne- gativos (-). A figura 1-3 é representativa dos números relativos numa escala horizontal. -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 Figura 1-3 - Escala de números relativos. - A soma de números positivos é positiva - A soma de números negativos é negativa. Adição Para somar um número positivo e um ne- gativo, ache a diferença entre seus valores abso- lutos, e atribua a essa diferença o sinal ( "+" ou "-" ) do número de maior valor absoluto. EXEMPLO: O peso de uma aeronave é de 2000 libras. Uma bandeja de equipamento eletrônico pesando 3 libras e um transceptor pesando 10 libras, são removidos dessa aeronave. Qual o novo peso? Para efeito de peso e balanceamento, to- do peso removido da aeronave é considerado negativo, e todo peso incluído, é considerado positivo. Passo 1: Adicione os valores absolutos dos pe- sos retirados. 10 + 3 = 13 Passo 2: Atribua o sinal negativo; pois foram pesos retirados. - 13 Passo Final: Ache a soma entre o total de pesos removidos, sinal negativo, e o peso total original da aeronave. 2000 - 13 = 1987 O novo peso da aeronave é de 1987 libras. Subtração Para subtrair números positivos e nega- tivos, troque o sinal do subtraendo (número a ser subtraído do outro), e proceda como na adi- ção. EXEMPLO: Qual é a diferença entre a temperatura de +20º, lida a 5000 pés e a de - 6º, lida a 25000 pés? Siga a regra "a diferença de temperatura, é igual a primeira temperatura lida; subtraída da- quela, tomada na segunda leitura". Passo 1: Troque o sinal do número a ser subtraí- do. + 20 passa a ser - 20 Passo Final: Combine os termos e proceda co- mo adição. - 6 + (- 20) = - 26 graus Multiplicação O produto de dois números positivos é positivo ( + ). O produto de dois números nega- tivos, é positivo ( + ). O produto entre um nú- mero positivo e um negativo, é negativo ( - ). EXEMPLOS: 3 x 6 = 18 - 3 x 6 = -18 - 3 x (- 6) = 18 3 x (- 6) = 18 Divisão O quociente entre dois números positi- vos é positivo. O quociente entre dois números negativos é negativo. O quociente entre um nú- mero positivo e um negativo, é negativo. 1-13
- 14. EXEMPLOS: -2=-3)(62=-3)(6- -2=36-236 ÷÷ ÷=÷ POTÊNCIAS E RAIZES Potência Quando um número (a base), é usado como fator, duas ou mais vezes, o resultado é uma potência da base. Um expoente positivo inteiro, escrito como um número pequeno (em tamanho) à direita e pouco acima da base, indica o número de vezes em que base é usada como fator. Assim, "4 ao quadrado" ou "42", significa 4 x 4, que é igual a 16. O 4 é a base, o 2 é o ex- poente, e o 16 é o resultado. Raízes A raiz de um número é aquele dentre dois ou mais números iguais, que, quando mul- tiplicados, produzem o número original. Tal número é chamado fator igual. Sendo assim, dois fatores iguais que produzem 9, quando multiplicados são: 3 e 3. Por isso, a raiz quadra- da de 9 é igual a 3. Isso pode ser representado assim: 9 = 3. O símbolo " " é chamado de radical. Outro método de iniciar a raiz quadrada de um número, é utilizar um expoente fracional. Tal como 9 1/2 = 3. Caso a raiz a ser obtida não seja quadra- da, ela também pode ser representada de manei- ra semelhante; ou seja, a raiz cúbica de 9 pode ser escrita 9 1/3 . Por exemplo, a raiz cúbica de 8 é igual a 2, e pode ser representada, " 83 = 2 ", a raiz quarta de 256 é igual a 4, e pode ser representa- da por " 256 44 = ", ou "256 1/4 ". Cálculo da raiz quadrada É relativamente fácil determinar a raiz quadrada de alguns números, como: 4, 9, 16 e 144. Esses números são os quadrados perfeitos de pequenos números. Infelizmente, nem todos os números são quadrados perfeitos, nem pequenos. O quadrado de um número é, o produto dele por si mesmo. O cálculo da raiz quadrada é o processo inverso da exponenciação e, é essencialmente, um processo especial de divisão. Uma descrição desse processo é apresentada a seguir. EXEMPLO: Encontre a raiz quadrada de 213,16. Passo 1: Começando pela vírgula, divida o nú- mero em partes com apenas dois alga- rismos, antes e depois da vírgula. A última parte à esquerda da vírgula não precisa ter dois algarismos; todos os outros precisam. Deve-se adicionar um zero à direita, de forma que a úl- tima parte possua dois algarismos. 21316, Passo 2: Escolha o maior número que possa ser elevado ao quadrado na primeira parte. Coloque o número sobre o radical; de- pois coloque o quadrado desse número sob a primeira parte; e por fim subtraía. 1 21316 1 . 1 1 Passo Final: Desça a próxima parte. (1) Multiplique a raiz por 2, e ponha o produto à esquerda do resto, como o divisor de tentati- va. (2) Encontre o número de vezes que o divisor de tentativa está contido na parte do resto, que é um dígito maior que o divisor de tentati- va. Escreva esse número à direita do divisor de tentativa para formar um divisor final; e também à direita do dígito na raiz. (3) Multiplique esse número pelo divisor com- pleto. Se o resultado for maior que o resto, reduza o número de 1, tanto na raiz como no divisor final, e repita a multiplicação. 1-14
- 15. (4) Subtraia o produto formado do resto, e des- ça a próxima parte, para formar um novo resto. (5) Para completar, simplesmente repita os pro- cedimentos para cada número restante, não é necessário calcular além do número de dígitos do número original. 213,16 1 4 6 -1 24 113 -96 286 17 16 17 16 Obs.: O 2 está contido 5 vezes dentro do 11. Contendo 5 x 25 é maior que 113; portanto o 5 deve ser reduzido a 4. A vírgula é colocada na raiz. Dessa for- ma, o número de dígitos da parte inteira da raiz, é igual à soma do número de partes com dois al- garismos, na parte inteira do número, do qual a raiz foi extraída. Potências de dez A dificuldade de realização de proble- mas matemáticos; envolvendo números muito grandes, ou muito pequenos; e a contagem e escrita de muitas casas decimais, são tanto um aborrecimento como uma fonte de erros. Os problemas de representação e cálculo são simplificados pelo uso das "potências de dez". (ver figura 1-4). Este sistema requer a compreensão dos princípios da exponenciação. Eles são resumidos a seguir: (1) O expoente positivo de um número (ou po- tência) é o método de indicar quantas vezes o número é multiplicado por si. Por exem- plo, 23 (dois ao cubo) significa que o núme- ro 2 deve ser multiplicado por sí 3 vezes (2x2x2=8). Um número com expoente ne- gativo pode ser definido como seu inverso ou recíproco (1 dividido pelo número) com o mesmo expoente, agora positivo, por e- xemplo, 2-3 (lê-se 2 elevado a menos 3) é o mesmo que: 1 2 1 2 2 2 1 83 ( ) = × × = (2) Qualquer número, exceto o zero, elevado à zero é igual à 1. Quando um número é es- crito sem um expoente, o valor do expoente é 1. Quando um expoente não tem sinal (+ ou -), precedendo-o, o expoente é positi- vo. POTÊNCIA DE DEZ EXPANSÃO VALOR Expoente Positivo 10 10 10 10 10 10 1.000.000 10 10 10 10 10 10 100.000 10 10 10 10 10 10.000 10 10 10 10 1.000 10 10 10 100 10 10 10 1 A velocidade da luz e de 30.000.000.000 de centimetros por segundos, simplificando para 3 10 centimetros por segundo. Expoente Negativo 10 = 1 10 1 10 1 10 = 5 4 3 2 1 10 -1 10 10 0,1 10 6 0 2 × × × × × × × × × × × × × × × × − = 1 1 10 10 1 100 = 1 10 1 10 10 10 1 1.000 = 1 10 1 10 10 10 10 1 10.000 = 1 10 1 10 10 10 10 10 1 100.000 = 1 10 1 10 10 10 10 10 10 1 1.000.000 3 4 5 6 10 0,01 10 0,001 10 0,0001 10 0,00001 10 0,000001 2 3 4 5 6 × = × × = × × × = × × × × = × × × × × = − − − − A massa de um elétron é de 0,000.000.000.000.000.000.000.000.000.911 gramas. ______________________________________ Figura 1-4 Potências de dez e seus equivalentes (3) O valor de um número não muda quando ele é multiplicado e dividido pelo mesmo fator (5 x 10:10=5). Movendo-se a vírgula de um 1-15
- 16. número para a esquerda, é o mesmo que di- vidí-lo por 10, para cada decimal, que a vír- gula se mova. Inversamente, movendo-se a vírgula para a direita, é o mesmo que multi- plicarmos o número por 10, para cada casa que a vírgula se mova. Os procedimentos para o uso de potên- cias de dez pode ser resumido: (1) Mova a vírgula para a casa desejada. Conte o número de casas movidas. (2) Multiplique o número por 10, a uma potên- cia igual ao número de casas decimais que a vírgula foi movida. (3) O expoente de 10 será negativo se a vírgula for movida para a direita; e será positivo se a vírgula for movida para a esquerda. Uma ajuda para lembrar o sinal a ser usado é: E, A, D, S. Quando a vírgula é movida para a es- querda, basta adicionar; e quando a vírgula é movida para a direita, apenas subtraia. Na maioria dos casos, pode-se achar conveniente reduzir os números usados, a núme- ros entre 1 e 10, com a potência adequada. A menos que, de outro modo especificado, todas as respostas dos problemas que usam potências de dez se enquadrem noutro registro. Adição e Subtração de Potências de Dez Antes de usar potências de dez em ope- rações matemáticas, é bom relembrar algumas regras de expoentes. • Dois ou mais números de mesma base, quando multiplicados, mantêm a mesma base elevada à soma algébrica dos expoentes. 3 3 3 3 34 5 3 4 5 3 1 × × = 2 =+ + • Quando dois números de mesma base são di- vididos, o quociente será igual à mesma base elevada à um expoente, igual à subtração dos expoentes. 4 4 4 4 5 3 5 3 2 = =− Um fator pode ser movido do numerador para o denominador; ou, do denominador para o numerador, simplesmente mudando o sinal do seu expoente. 3 4 3 4 4 3 1 4 3 2 3 2 3 3 2 3− − − = × = = × 2− Para que dois ou mais números possam ser multiplicados através da adição ou subtração de seus expoentes, as bases devem ser iguais. Sendo assim, a5 x b6 não podem ser combina- dos; uma vez que as bases são diferentes. Note que as regras especificam soma e subtração algébrica dos expoentes. Veja alguns exemplos: a b c d ⇒ × = = = = ⇒ × = = = ⇒ = = = ⇒ = = = − + − − − − − + − − − − + − − 3 3 3 3 3 1 3 4 4 4 4 1 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 1 6 7 11 7 11 7 11 4 4 5 3 5 3 2 2 8 6 8 6 8 6 14 8 12 8 12 4 4 ( ) ( ) A multiplicação e a divisão, utilizando potências de dez, podem ser realizadas em 3 passos simples, como: (1) Reduza todos os números a valores entre 1 e 10, multiplicados por 10, elevados à potên- cia adequada; (2) Realize as operações indicadas; (3) Mude o resultado para um número entre 1 e 10, multiplicado por 10 à potência adequada. CÔMPUTO DE ÁREA As fórmulas lidam com dimensões, áreas e volumes de figuras geométricas. Há 5 figuras geométricas com as quais você deve estar fami- liarizado. Há uma fórmula para o cálculo de cada uma delas. A área de uma figura plana é igual ao número de unidades quadradas que ela contém. As áreas são medidas em unidades diferentes, das utilizadas para comprimento. Uma área qua- 1-16
- 17. quadrada com 1 polegada de lado, é chamada de uma polegada quadrada. Todas as unidades de área são quadradas, (polegada quadrada, o pé quadrado, o jarda quadrado, vara quadrada, e etc..). Outras unidades de área são, centímetro quadrado, metro quadrado, metro quadrado, e etc. Encontrados no sistema métrico. TABELA DE ÁREAS 144 polegadas quadradas = 1 pé quadrado 9 pés quadrados = 1 jarda quadrada 30 1/4 jardas quadradas = 1 vara quadrada 160 varas quadradas = 1 acre 640 acres = 1 milha quadrada 1 metro = 39,37 polegadas 1 metro = 3,281 pés 1 metro = 1000 milímetros 1 milha terrestre = 1.609 metros A técnica de determinação da área de qualquer forma geométrica é baseada no uso de fórmulas. Para resolver um problema com uma fórmula é necessário: (1) selecionar a fórmula correta, (2) inserir os valores conhecidos na fórmula selecionada; e (3) fazer os cálculos matemáticos para encontrar o resultado. Figura 1-5 O retângulo. O Retângulo O retângulo é uma figura plana de quatro lados opostos côngruos 2 a 2, e em ângulos de 90º. O retângulo é uma figura muito conhecida na mecânica, representa a seção transversal de muitas vigas, hastes e encaixes. (ver fig 1-5). A área do retângulo é o produto das me- didas de comprimento e altura, quando expres- sas na mesma unidade de medida. A área pode ser exprimida pela fórmula: A - C x L Onde: A = área C = comprimento L = altura EXEMPLO: O painel de uma certa aeronave está na forma retangular, que possui um comprimento de 24 polegadas e uma altura de 12 polegadas. Qual é a área do painel expressa em polegadas quadradas? Passo 1: Pegue os valores conhecidos e substi- tua na fórmula. A = C x h A = 24 x 12 Passo 2: Faça a multiplicação indicada, a res- posta será a área total em polegadas quadradas. A 24 x 12 = 288 pol quadradas Figura 1-6 O quadrado. O Quadrado O quadrado é uma figura plana que pos- sui quatro lados iguais e quatro ângulos retos (fig 1-6). Para determinar sua área, basta encontrar o produto entre dois dos lados. Uma vez que os lados são iguais, sua fórmula pode ser expressa da seguinte forma: 1-17
- 18. A = L2 onde A é a área, e L é o comprimento do lado. EXEMPLO: Qual a área de um quadrado cujos lados medem 25 polegadas? Determine o valor conhecido e substitua na fórmula. A =L2 A = 252 A = 25 x 25 = 625 pol2 Triângulos O triângulo é um polígono de três lados. Há três tipos básicos de triângulos: o escaleno, o equilátero e o isósceles. Um triângulo escaleno é aquele que tem lados e ângulos diferentes; o triângulo equiláte- ro tem todos os lados e ângulos iguais. O triângulo que possui apenas os dois la- dos e ângulos iguais é chamado isóscele. Os triângulos também podem ser classi- ficados em reto, obtuso ou agudo. Esses nomes descrevem os ângulos inscritos nos triângulo. Um triângulo retângulo, é aquele que possui um ângulo medindo 90º; num triângulo obtusângulo, um dos ângulos é maior que 90º, no triângulo acutângulo, todos os ângulos são menores que 90º. Os vários tipos de triângulos são mostra- dos na figura 1-7. A altura do triângulo é a linha perpendi- cular, a partir do vértice até a base. Em alguns triângulos, como na fig 1-8, pode ser necessário projetar a base para fora do triângulo, para que a altura possa tocá-la. A base do triângulo é o lado sobre o qual supõe-se que o triângulo descansa. Qualquer lado pode ser tomado como base. Figura 1-7 Tipos de triângulos. Figura 1-8 Triângulo. A área do triângulo é calculada aplican- do-se a fórmula: A = 1 hb 2 onde A é a área; 1/2 é uma constante dada; H é a altura; e, B é a base. EXEMPLO: Encontre a área do triângulo mostrado na figura 1-8. 1-18
- 19. Passo 1: Substitua os valores conhecidos na fórmula da área. A hb = = × × 1 2 1 2' 6" 3' 2" Passo 2: Resolva a fórmula para o valor desco- nhecido. A = × × = = 1 2 30 38 1140 2 570 polegadas quadradas Circunferência e Área de um Círculo Para encontrar a circunferência, ou a área de um círculo, é necessário usar um núme- ro, chamado pi (π). Esse número representa a relação entre o raio e o diâmetro de qualquer circunferência. O Pi não é um número exato, e é representado com quatro casas decimais 3,1416, que é preciso o bastante, para a maioria dos cômputos. (ver fig. 1-9) Circunferência O comprimento de um círculo pode ser encontrado aplicando-se a fórmula: C = π D onde, C é o comprimento; π é a cons- tante (3,1416); e D é o diâmetro do círculo. Figura 1-9 Um círculo. EXEMPLO: O diâmetro de um certo pistão mede 5 polegadas. Qual o comprimento da cir- cunferência formada pela seção transversal do pistão? Passo 1 - Substitua os valores conhecidos na fórmula, C = πD. C = 3,1416 x 5 Passo 2 = Resolva a fórmula. C = 15,7080 polegadas Área A área de um círculo, tal como em um retângulo ou triângulo, deve ser expressa em unidades quadradas. A distância que corresponde à metade do diâmetro de um círculo é chamado "raio". A área de um círculo é encontrada ele- vando-se o raio ao quadrado e multiplicando por π. A fórmula é assim expressa: A = π r2 onde, A é a área; π é a constante dada; e r é o raio do círculo. EXEMPLO: O diâmetro interno de um cilindro de motor de uma aeronave mede 5 polegadas. Ache a área transversal interna do cilindro. Passo 1: Substitua os valores conhecidos na fórmula, A = π r2 . A = 3,1416 x 2,52 Passo 2 - Resolva a equação A = 3,9416 x 6,625 A = 19,635 pol. quadradas 1-19
- 20. O Trapézio Figura 1-10 - O trapézio. Um trapézio (fig. 1-10) é um quadriláte- ro que possui um par de lados paralelos. A área do trapézio é determinada pela fórmula: A b b= + 1 2 1 2( )h onde, A é a área, 1/2, é uma constante; B1 e B2, são as duas bases paralelas; e H é a altura. EXEMPLO: Qual é a área de um trapézio cujas bases medem 14 pol e 10 pol, e cuja altura mede 6 pol? (ver fig. 1-11). Passo 1: Substitua os valores conhecidos na fórmula. A b b= + 1 2 1 2( )h A = + 1 2 10 14 6( ) Passo 2: Resolva os cálculos. A = 1 2 24 6( ) A = × =1 144 72 pol quadradas Figura 1-11 Cômputo da área de um trapézio. Área Alar Para descrever a planta de uma asa (fig. 1-12), muitos dados são requeridos. Para calcu- lar a área de uma asa será necessário considerar o significado dos termos - envergadura e corda. A envergadura é o comprimento da asa, medido de ponta a ponta. A corda é a largura da asa, medida do bordo de ataque ao bordo de fuga. Se a asa for afilada, a corda média deve ser conhe- cida para o cálculo de área. A fórmula para o cálculo da área alar é: A = EC onde A é a área, E é a envergadura e C é a corda média. * O processo usado, no cálculo da área alar, dependerá do formato da asa. Em alguns casos, será necessário usar a fórmula da área alar, em conjunto com uma das fórmulas da área de um quadrilátero ou círculo. EXEMPLOS: 1 - Descubra a área da asa ilustrada na figura 1- 13. Para determinar a área, é necessário decidir que fórmula usar. Vê-se que as pontas da asa formariam um círculo de 7 pés de diâmetro; o resto da asa tem a forma de um retângulo. Com- binando as fórmulas, a área da asa com pontas arredondadas pode ser calculada assim: Passo 1: Substitua os valores conhecidos na fórmula. A = EC + π r2 A = (25 - 7) (7) + (3,1416) (3,5)2 O valor de E é representado pela envergadura original da asa, menos o diâmetro das pontas circulares. Passo 2: Resolva a fórmula. A = (18 x 7) + (3,1416 x 12,25) A = 126 + 38,5 A = 164,5 pés2 (sq.ft) 1-20
- 21. Figura 1-12 Planta da asa. Figura 1-13 Asa com pontas arredondadas. 2 - Encontre a área da asa da fig. 1-14, cuja en- vergadura é de 50 pés e cuja corda média é de 6' 8". Passo 1: Substitua os valores na fórmula. A = EC A = 50' x 6' 8" Passo 2: Resolva os cálculos. A = 50' x 6,67' A = 333,5 pés2 (sq.fr) 3 - Encontre a área de uma asa trapezoidal (mostrada na figura 1-15), cuja envergadura do bordo de ataque mede 30 pés, e a envergadura do bordo de fuga mede 34 pés; e cuja corda mé- dia mede 5 pés. Passo 1: Substitua os valores conhecidos na fórmula. A b b= + 1 2 1 2( )h A = + 1 2 30 34 5( ) Passo 2: Resolva as contas. A A A s = = = 1 2 64 1 2 320 1600 5 ( ) ( ) ( . )pes2 q fr Figura 1-14. Asa enflechada. Figura 1-15. Asa trapezoidal. CÔMPUTO DO VOLUME DOS SÓLIDOS Sólidos são objetos tridimensionais - com comprimento, largura e espessura. Possuem várias formas, sendo os mais comuns os pris- mas, cilindros, pirâmides, cones e esferas. Oca- sionalmente, é necessário determinar o volume de um triângulo, de um cubo, de um cilindro, ou de uma esfera. Uma vez que nem todos os volumes são medidos nas mesmas unidades, é necessário conhecer todas as unidades de volume mais co- muns, e como elas se relacionam. Por exemplo, o mecânico pode saber o volume de um tanque em pés cúbicos ou pole- gadas cúbicas; porém quando o tanque está cheio de gasolina, ele vai querer saber quantos galões esse tanque contém. A tabela a seguir mostra a relação entre algumas das unidades de volume mais comuns. 1-21
- 22. UNIDADES DE VOLUME 1,728 pol3 = 1 pé3 27 pés3 = 1 jarda3 231 pol3 = 1 gal 7,5 gals = 1 pé3 2 pintas = 1 quarto 4 quartos = 1 galão Volume de um Sólido Retangular Um sólido retangular é formado por ân- gulos retos. Em outras palavras, é como se fosse uma caixa (ver fig. 1-16). Se o sólido possui arestas e lados iguais ele é chamado de cubo. A fórmula de determinação do volume de um sólido retangular pode ser expressa as- sim: V = C x l x h onde; V é igual o volume; C é igual ao compri- mento; L é igual à largura; e H é igual à altura. EXEMPLO: Um bagageiro retangular mede 5 pés e 6 polegadas de comprimento, 3 pés e 4 polegadas de largura e 2 pés e 3 polegadas de altura. Quantos pés cúbicos de bagagem ele comportará? Passo 1: Substitua os valores na fórmula. V = C x l x h V = 5' 6" x 3' 4" c 2' 3" Passo 2: Resolva as contas. 3 pés25,41 4 165 4 9 3 10 2 11 4 1 2 3 1 3 2 1 5 == ××= ××= V V V Figura 1-16 Sólido retangular. Figura 1-17 Cubo. Se o sólido for um cubo (fig. 1-17), a fórmula passa a ser o cubo dos lados: V = l3 onde V é o volume, e L é a medida dos lados do cubo. Área e Volume de um Cilindro Um sólido com o formato de uma lata, o comprimento de um tubo ou, com forma se- melhante, é chamado de cilindro. As extremida- des de um cilindro são círculos idênticos, como mostra a Fig. 1-18. Área da Superfície A área da superfície de um cilindro, é encontrada multiplicando-se a circunferência da base pela altura. A fórmula é expressa assim: A = π D h onde A é a área; π é a constante dada, D é o diâmetro, H é a altura do cilindro. 1-22
- 23. Figura 1-18 O Cilindro. Figura 1-19 Deslocamento do Pistão no Cilin- dro. EXEMPLO: Quantos pés2 de folha de alumínio serão necessários para fabricar um cilindro de 12 pés de comprimento e, 3 pés e 6 polegadas de diâ- metro? Passo 1: Substitua os valores conhecidos na fórmula. A = π D h A = 3,1416 x 3' 6" x 12' Passo 2: Resolva as contas. A = 3,1416 x 3,5' x 12' A = 132,95 ou 133 pés2 Volume O volume de um cilindro pode ser en- contrado, multiplicando-se a área de seção transversal pela altura do cilindro. A fórmula pode ser expressa como: V = π r2 h onde V é o volume; π é a constante dada; r2 é o quadrado do raio do cilindro; h é a altura do ci- lindro (figura 1-19). EXEMPLO: O cilindro do motor de uma aeronave possui um raio interno de 5,5 polegadas, e o pistão percorre um curso de 5,5 polegadas. Qual o deslocamento do pistão desse cilindro? Passo 1: Substitua os valores conhecidos na fórmula. V = π r2 h V = (3,1416) (2,75)2 (5,5) Passo 2: Resolva a equação. V = 17,28 x 7,56 V = 130,64 pol3 GRÁFICOS E TABELAS Gráficos e tabelas são representações pictoriais de dados, equações e fórmulas. Atra- vés do seu uso, as relações entre duas ou mais quantidades podem ser mais claramente entendi- das. Além disso, a pessoa pode ver certas condi- ções ou relações em uma olhada; enquanto que, se dependesse de uma descrição escrita, levaria bastante tempo para obter as mesmas informa- ções. Os gráficos têm muitas aplicações, tais como representar uma equação ou fórmula. 1-23
- 24. Podem ser usados para resolver duas equações para um valor comum. Os gráficos e tabelas são construídos em diversos formatos. Alguns dos tipos mais co- muns são: os gráficos de barras, gráficos em li- nha quebrada, gráficos com curvas contínuas e gráficos com círculos. Um exemplo de cada é mostrado na figura 1-20. Um dos gráficos mais úteis em trabalhos técnicos é o que tem curvas contínuas. Interpretação ou Leitura de Gráficos e Tabe- las É mais importante, do ponto de vista do mecânico, ser capaz de ler um gráfico adequa- damente ao invés de desenhar. A relação entre a potência de um certo motor, ao nível do mar e em qualquer altitude até 10.000 pés, pode ser determinada através da tabela da figura 1-21. Para usar este tipo de tabela, simples- mente encontre o ponto no eixo horizontal que representa a altitude desejada; mova-se para cima, ao longo dessa linha, até o ponto de in- terseção com a curva; depois, mova-se para a esquerda, lendo a percentagem disponível no eixo vertical. EXEMPLO: Qual a percentagem da potência ao nível do mar que está disponível à altitude de 5.000 pés? Passo 1: Localize o ponto no eixo horizontal que representa 5.000 pés. Mova para cima até a interseção com a curva. Passo 2: Coloque para a esquerda, lendo a per- centagem de potência disponível a 5.000 pés. A potência disponível é 80%. Nomogramas Geralmente é necessário fazer cálculos, usando a mesma fórmula; porém usando valores diferentes para as variáveis. É possível obter uma solução usando uma régua de cálculo ou preparando uma tabela. Contudo, no caso de fórmulas envolvendo muitas operações matemá- ticas, haverá muito trabalho. Figura 1-20 Tipos de gráficos. Figura 1-21 Carta de potência por altitude. É possível evitar todo esse trabalho, u- sando um diagrama representativo da fórmula; na qual cada variável é representada por uma ou 1-24
- 25. mais linha graduadas. A partir desse diagrama, a solução da fórmula para qualquer variável pode ser lida através de uma linha de índice. Um dia- grama desse tipo é conhecido como nomogra- ma. A maior parte das informações requeri- das para resolver problemas aeronáuticos serão apresentadas em forma de nomograma. Os ma- nuais de instrução, das diversas aeronaves, con- têm numerosos nomogramas, muitos dos quais complexos. Muitos possuirão diversas curvas no mesmo eixo de coordenadas, e cada curva apli- cável a uma diferente constante da equação. No último caso, é essencial selecionar a curva ade- quada a cada condição. Ainda aqui, como nos gráficos mais sim- ples, é mais importante para o mecânico ser ca- paz de ler nomogramas que desenhá-los. O exemplo a seguir é tomado de um ma- nual de manutenção da Allison para o motor turboélice 501-D13. Um nomograma (figura 1-22) é usado para determinar a potência requerida, quando o motor estiver operando com torque mínimo. A OAT (temperatura do ar externo), a pressão barométrica e a rpm do motor, são três fatores que devem ser conhecidos para utilizar este nomograma em particular. EXEMPLO: Determine a potência calculada de um certo motor, usando o nomograma da figura 1- 22. Suponhamos que a OAT seja 10º C, e que a pressão barométrica seja de 28,5 pol.hg, e que o motor esteja operando a 10.000 r.p.m. Passo 1: Encontre os pontos de referência sobre a escala de OAT e sobre a escala de pressão barométrica, que corresponde à temperatura dada, e àa leituras de pres- são. Eles são identificados como 1 e 2, respectivamente, na carta. Com o auxí- lio de uma régua, conecte esses dois pontos e estabeleça o ponto 3 na linha pivô. Passo 2: Encontre a r.p.m. do motor, identifica- da como 4, na escala de r.p.m. do mo- tor. Usando uma régua, conecte os pon- tos 3 e 4 e estabeleça o ponto 5 na es- cala de potência calculada (HP). A po- tência calculada é lida no ponto 5. Nes- te caso o valor encontrado e 98%. Figura 1-22 Potência requerida para torque mínimo. 1-25
- 26. 26 SISTEMAS DE MEDIÇÃO O nosso sistema de medidas (figura 1-23) é parte da nossa herança cultural, desde os tempo em que o Brasil era colônia de Portu- gal, e adquiria a maior parte dos produtos ma- nufaturados da Inglaterra. Esse sistema começou como uma mistu- ra de pesos e medidas Anglo-saxônicas, Roma- nas e Normando-francesas. Desde os tempos medievais, comissões feitas por diversos mo- narcas ingleses reduziram o caos de medidas, adotando padrões específicos para algumas das unidades mais importantes. Registros antigos, por exemplo, dão conta de que uma polegada era definida como comprimento de "três grãos de cevada, redon- dos e secos" quando agrupados; um "penny- peso" ou “um vinte avos" de uma onça de torre, era igual a 32 grãos de trigo do "meio da espi- ga". O galão americano equivale ao galão de vinho britânico, padronizado no início do sécu- lo 18 (é aproximadamente 20% menor que o galão britânico adotado em 1824 e que era usa- do para medir a maioria dos líquidos). Sistema Métrico O sistema métrico é a linguagem domi- nante entre as medidas adotadas hoje em dia. A maioria dos países já usava o sistema métrico, antes da Segunda Guerra Mundial. Desde a guerra, mais e mais países, fo- ram convertidos ou estão em processo de con- versão para o sistema métrico. Somente os Es- tados Unidos e mais 13 países ainda não fize- ram a conversão. O Congresso tem o poder de definir os padrões de pesos e medidas. Repetidas vezes o sistema métrico tem sido proposto; porém sem quorum suficiente. O sistema métrico foi desenvolvido por um estadista francês, Talleyrand, Bispo de An- tum, usando o "metro" como padrão; sendo que o metro é uma parte da circunferência da Terra no Equador. A partir daí, o metro foi desenvol- vido e aceito como padrão. Os múltiplos e sub- múltiplos do metro são baseados no sistema decimal. 5 COMPRIMENTO MASSA VOLUME TEMPERATURA CORRENTE ELÉTRICA TEM- PO MÉTRICO Metro Quilograma Litro Centígrado (Celsius) Ampère Segundo INGLÊS inch (polegada) foot (pé) year (ano fathom (toesa=6pés) rod (vara=5m) mile (milha) ounce (onça) pound (libra) ton (tonelada) grain (grão) dram (dracma) fluid ounce (onça de fluído) teaspoon (colher de chá) cup (xícara) pint (pinta) quart (1/4 de galão) gallon (galão) barrell (barril) peck (1/4 alq.) bushel (alqueire) Fahrenheit ampere Segun- do Figura 1-23 Algumas unidades comuns.
- 27. 27 A Lógica do Metro Nenhum outro sistema de medida atual- mente usado consegue superar a simplicidade do Sistema Métrico. Ele foi deliberadamente projetado para suprir todas as necessidades de cientistas e engenheiros. O leigo só precisa co- nhecer e usar algumas partes simples. O metro possui um ordenamento lógico, enquanto outros sistemas se desenvolveram de- sordenadamente. Existem hoje apenas seis me- didas básicas no Sistema Métrico Internacional. A unidade de comprimento é o metro; a unidade de massa é o kilograma; unidade de tempo é o segundo; a unidade de corrente elétri- ca é o ampère; a unidade de temperatura é o kelvin (que em uso normal é convertido em graus centígrados); a unidade de intensidade luminosa é a candela. Todas as outras unidades de medida do Sistema Métrico Internacional são derivadas dessa seis unidades básicas. A área é medida em metros quadrados; a velocidade em metros por segundo; a densidade em kilogramas por metro cúbico. O newton, a unidade de força, é uma re- lação simples envolvendo metros, kilogramas e segundos; e, pascal, unidade de pressão, é defi- nido como um newton por metro quadrado. Em alguns casos, a relação entre as uni- dades base e as derivadas, tem que ser expressa por fórmulas mais complicadas (o que é inevitá- vel em qualquer sistema de medidas), devido à complexibilidade inata de certas coisas que me- dimos. Relações semelhantes entre massa, área, tempo e outras quantidades no sistema antigo, geralmente requerem fórmulas semelhantes, ainda mais complicadas por conterem constan- tes arbitrárias. Por exemplo, um cavalo de força é definido como 550 libras-pé por segundo. A terceira vantagem, é que o sistema métrico é baseado no sistema decimal. Os múlti- plos e submúltiplos estão sempre relacionados à potência de 10. Por exemplo, um centímetro contém 10 milímetros, 100 centímetros equivalem a 1 me- tro; e, 1.000 metros equivalem a 1 quilômetro. Isso simplifica muito a conversão de grandes medidas em pequenas medidas. Para se calcular o número de metros que existem em 3,794 quilômetros multiplica-se por 1000 (mova a vírgula três casas decimais para a direita), e a resposta será 3.794,00 metros. Por analogia, para se encontrar o número de polegadas em 3,794 milhas, é necessário multiplicar primeiro por 5.280 e depois por 12. Além disso, os múltiplos e submúltiplos de todos as unidade do Sistema Internacional seguem uma nomenclatura padrão que consiste em adicionar um prefixo à unidade, qualquer que seja ela. Por exemplo, quilo equivale a 1.000; um quilômetro é igual a 1000 metros; e um qui- lograma é igual 1.000 gramas. "Micro" é o pre- fixo equivalente a milionésimo; um metro equi- valente a um milhão de micrometros, e um gra- ma equivale a um milhão de microgramas (figu- ra 1-24). PREFIXO SIGNIFICADO tera (1012 ) giga (109 ) mega (106 ) kilo (103 ) hecto (102 ) deca (10) Um trilhão de vezes Um bilhão de vezes Um milhão de vezes Mil vezes Cem vezes Dez vezes deci (10-1 ) centi (10-2 ) mili (10-3 ) micro (10-6 ) nano (10-9 ) pico (10-12 ) Um décimo Um centésimo Um milésimo Um milionésimo Um bilionésimo Um trilionésimo Figura 1-24 Nomes e símbolos para prefixos métricos. Conversão do Sistema Métrico ao Sistema Inglês As pessoas tendem a opor-se às mudan- ças, geralmente por não entenderem o motivo da mudança, ou a nova ordem. A terminologia para
- 28. unidades costumeiras e unidades métricas já foi discutida. Uma tabela de conversão também foi incluída. Exemplo de seu uso: Para se converter polegadas em milíme- tros, multiplique o número de polegadas por 25. (Ex: 25 x 25 = 625 mm). Para se converter milímetros em polega- das, multiplique os milímetros por 0,04. (Ex: 625 mm x 0,04 = 25 opl). Para se converter polegadas quadradas em centímetros quadrados, multiplique por 6,5. (Ex: 100 pol2 x 6,5 = 650 cm2). Para se converter centímetros quadrados em polegadas quadradas, multiplique por 0,16. (Ex: 100 x 0,16 = 16 pol2). A figura 1-26 é praticamente auto-expli- cativa. As medidas, começando em 1/64 de po- legadas, foram convertidas em divisões deci- mais de polegada e em milímetros. Funções dos Números A tabela de funções dos números (figura 1-27 e 1-28), é incluída neste capítulo por con- veniência, para facilitar os cômputos. A familia- rização com as várias partes desta tabela ilustra- rão as vantagens de se usar cálculos já feitos. Números A coluna dos números contém de 1 a 100. As outras colunas contêm cálculos para cada número. Quadrado O quadrado é o produto obtido pela mul- tiplicação de um número por si mesmo: 1 x 1 =1; 2 x 2 = 4; 17 x 17 = 289. A elevação ao quadrado pode ser consi- derada uma forma especial de cômputo de área: Área = Comprimento multiplicado pela largura, A = C x L. Cubo O cubo é o produto obtido pela multipli- cação de um número por si mesmo três vezes. Em sua representação, o número que é multipli- cado chama-se base e o que indica quantas ve- zes a multiplicação ocorre, expoente, que no caso deste cálculo sempre será três. Exemplo: Be , onde B é a base o e, expoente. Assim: 23 = 2 x 2 x 2 = 8 133 = 13 x 13 x 13= 2197 Um cálculo específico de volume pode ser considerado como uma elevação ao cubo. Exemplo: Volume = Comprimento multiplicado pela Largura e pela Altura (V = C x L x H). Raiz Quadrada A raiz quadrada é a operação inversa da elevação ao quadrado. A raiz quadrada de um número é aquele número que, multiplicado por si mesmo (elevado ao quadrado), resultará no número que se extraiu a raiz. Exemplificando: a raiz quadrada de 16 é 4, pois 4x4 = 42 = 16. Em sua representação, utiliza-se um radical, con- forme a representação seguinte: .164,416 2 == pois Raiz Cúbica Por sua vez, a raiz cúbica é a operação inversa da elevação ao cubo. Então a raiz cúbica de um número será igual ao valor que elevado ao cubo resulte naquele do qual se extraiu a raiz. Como exemplo tem-se que a raiz cúbica de 27 é 3, pois 3x3x3 = 33 = 27. Da mesma forma que a raiz quadrada, utiliza-se o radical em sua repre- sentação, porém, por se tratar de raiz cúbica, utiliza-se o índice 3 no radical, conforme a re- presentação seguinte: .273,327 33 == pois Circunferência de um Círculo A circunferência é a medida linear do perímetro de um círculo.Tal medida é calculada multiplicando-se o diâmetro do círculo pela constante π, que é aproximadamente igual a 3,1416. Exemplo: para uma circunferência de diâmetro igual a 10 cm: C = 10cm x 3,1416 = 31,416 cm. Nota: A constante π é obtida dividindo-se a circunferência de qualquer círculo por seu res- pectivo diâmetro. Área de um círculo A área de um círculo é o número de uni- dades quadradas de medidas contidas na área circunscrita. Ela é calculada utilizando-se a fórmula A = π x r2 , ou seja, multiplica-se a constante π pelo valor do raio elevado ao qua- drado.Ex.: para uma circunferência de raio igual a 10cm, temos: A = 3,1416 x (10cm)2 = 314,16 cm2 1-28
- 29. 29 QUANDO VOCÊ CONHECE VOCÊ PODE ACHAR: SE MULTIPLICAR POR: COMPRIMENTO Polegadas Pés Jardas Milhas Milímetros Centímetros Metros Quilometros Milímetros Centímetros Metros Quilômetros Polegadas Polegadas Jardas Milhas 25 30 0,9 1,6 0,04 0,4 1,1 0,6 ÁREA Pol. quadradas pés quadrados jardas quadradas milhas quadradas acres quadrados cent. quadrados metros quadrados quil. quadrados hectares quadrados centímetros quadrados metros quadrados metros quadrados quilômetros quadrados hectares quadrados polegadas quadradas jardas quadradas milhas quadradas acres quadrados 6,5 0,09 0,8 2,6 0,4 0,16 1,2 0,4 2,5 MASSA onças libras gramas quilogramas gramas quilogramas onças libras 28 0,45 0,035 2,2 VOLUME LÍ- QUIDO onças pintas quartos de galão galões mililitros litros litros litros milímetros litros litros litros onças pintas quartos de galão galões 30 0,47 0,95 3,8 0,034 2,1 1,06 0,26 TEMPERATURA graus fahrenheit graus centígrados graus centígrados graus fahrenheit 5/9 após subtrair 32 9/5 e adicionar 32 Figura 1-25 - Convertendo sistema inglês em métrico.
- 30. 30 Figura 1-26 Frações, decimais e milímetros.
- 31. 31 Figura 1-27 Funções dos Números.
- 32. Figura 1-28 Funções dos Números (continuação). 1-32