Combinatória 1
- 2. COMBINATÓRIA 1 01. (Espcex 2020) O Sargento encarregado de organizar as escalas de missão de certa organização militar deve escalar uma comitiva composta por um capitão, dois tenentes e dois sargentos. Estão aptos para serem escalados três capitães, cinco tenentes e sete sargentos. O número de comitivas distintas que se pode obter com esses militares é igual a a) 630. b) 570. c) 315. d) 285. e) 210. 02. (Epcar 2020) Um pisca-pisca usado em árvores de natal é formado por um fio com lâmpadas acopladas, que acendem e apagam sequencialmente. Uma pessoa comprou um pisca-pisca, formado por vários blocos, com lâmpadas em formato de flores, com o seguinte padrão: - Cada bloco é composto por 5 flores, cada uma com 5 lâmpadas circulares, de cores distintas (A, B, C, D, E), como na figura: - Em cada flor, apenas 3 lâmpadas quaisquer acendem e apagam juntas, por vez, ficando as outras duas apagadas. - Todas as 5 flores do bloco acendem e apagam juntas. - Em duas flores consecutivas, nunca acendem e apagam as mesmas 3 cores da anterior. Assim, considere que uma composição possível para um bloco acender e apagar corresponde à figura abaixo: O número de maneiras, distintas entre si, de contar as possibilidades de composição para um bloco desse pisca-pisca é a) 5 10 b) 4 9 10 c) 5 9 d) 5 9 10 03. (Efomm 2020) Quantos são os anagramas da palavra MERCANTE que possuem a letra M na 1ª posição (no caso, a posição de origem), ou a letra E na 2ª posição, ou a letra R na 3ª posição? a) 8400 b) 120 c) 10920 d) 12600 e) 15120
- 3. COMBINATÓRIA 2 04. (Acafe 2020) Um grupo de seis amigos, sendo dois meninos e quatro meninas, estão comemorando a formatura do Ensino Médio. O fotógrafo solicitou ao grupo que se sentasse em um banco de seis lugares e que os meninos se sentassem nas extremidades do banco. Com essa configuração, o número de maneiras distintas que o grupo pode se sentar é de a) 720 b) 24 c) 48 d) 120 05. (Ime 2020) Diversos modelos de placas de identificação de veículos já foram adotados no Brasil. Considere os seguintes modelos de placas e a descrição de sua composição alfanumérica: - Modelo 1: AB123 (duas letras seguidas de três números) - Modelo 2: AB1234 (duas letras seguidas de quatro números) - Modelo 3: ABC1234 (três letras seguidas de quatro números) - Modelo 4: ABC1C23 (três letras seguidas de um número, uma letra e dois números) Sejam 1 2 3 c , c , c e 4 c as quantidades das combinações alfanuméricas possíveis para os modelos 1, 2, 3 e 4, respectivamente. Os números 1 2 3 c , c , c e 4 c são termos de uma progressão aritmética com infinitos termos com a maior razão possível. A soma dos algarismos da razão dessa progressão é: Observação: Considere o alfabeto com 26 letras. a) 11 b) 12 c) 14 d) 16 e) 19 06. (Espcex 2019) Considere o conjunto de números naturais {1 , 2, ,15}. Formando grupos de três números distintos desse conjunto, o número de grupos em que a soma dos termos é ímpar é a) 168. b) 196. c) 224. d) 227. e) 231. 07. (Efomm 2019) De quantas maneiras diferentes podemos escolher seis pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, de um grupo composto de sete homens e quatro mulheres? a) 210 b) 250 c) 371 d) 462 e) 756
- 4. COMBINATÓRIA 3 08. (Epcar 2019) No ano de 2017, 22 alunos da EPCAR foram premiados na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP). Desses alunos, 14 ganharam medalhas, sendo 3 alunos do 3º esquadrão, 9 do 2º esquadrão e 2 do 1º esquadrão. Os demais receberam menção honrosa, sendo 2 alunos do 3º esquadrão, 4 do 2º esquadrão e 2 do 1º esquadrão. Para homenagear os alunos premiados, fez-se uma fotografia para ser publicada pela Nascentv em uma rede social. Admitindo-se que, na fotografia, os alunos que receberam menção honrosa ficaram agachados, sempre numa única ordem, sem alteração de posição entre eles, à frente de uma fila na qual se posicionaram os alunos medalhistas, de modo que, nesta fila: - as duas extremidades foram ocupadas somente por alunos do 2º esquadrão que receberam medalha; - os alunos do 1º esquadrão, que receberam medalha, ficaram um ao lado do outro; e - os alunos do 3º esquadrão, que receberam medalha, ficaram, também, um ao lado do outro. Marque a alternativa que contém o número de fotografias distintas possíveis que poderiam ter sido feitas. a) (72) 9! b) (144) 9! c) (288) 9! d) (864) 9! 09. (Efomm 2019) Considere uma loja que vende cinco tipos de refrigerantes. De quantas formas diferentes podemos comprar três refrigerantes desta loja? a) Dez b) Quinze c) Vinte d) Trinta e cinco e) Sessenta 10. (Eear 2019) Com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6 e 7 posso escrever ____ números pares de quatro algarismos distintos. a) 120 b) 180 c) 240 d) 360 11. (Ita 2018) Sobre duas retas paralelas r e s são tomados 13 pontos, m pontos em r e n pontos em s, sendo m n. Com os pontos são formados todos os triângulos e quadriláteros convexos possíveis. Sabe-se que o quociente entre o número de quadriláteros e o número de triângulos é 15 11. Então, os valores de n e m são, respectivamente, a) 2 e 11. b) 3 e 10. c) 4 e 9. d) 5 e 8. e) 6 e 7. 12. (Epcar 2018) Dez vagas de um estacionamento serão ocupadas por seis carros, sendo: 3 pretos, 2 vermelhos e 1 branco. Considerando que uma maneira de isso ocorrer se distingue de outra tão somente pela cor dos carros, o total de possibilidades de os seis carros ocuparem as dez vagas é igual a a) 12.600 b) 16.200 c) 21.600 d) 26.100
- 5. COMBINATÓRIA 4 13. (Efomm 2018) Um decorador contemporâneo vai usar quatro “objetos” perfilados lado a lado como decoração de um ambiente. Ele dispõe de 4 copos transparentes azuis, 4 copos transparentes vermelhos, duas bolas amarelas e 3 bolas verdes. Cada “objeto” da decoração pode ser um copo vazio ou com uma bola dentro. Considerando que a cor altera a opção do “objeto”, quantas maneiras distintas há de perfilar esses quatro “objetos”, levando-se em conta que a posição em que ele se encontra altera a decoração? a) 1.296 b) 1.248 c) 1.152 d) 1.136 e) 1.008 14. (Esc. Naval 2018) O atual campeão carioca de futebol, Botafogo, possui escudo baseado em um pentagrama, conforme figuras abaixo. O pentagrama é um polígono estrelado de 5 vértices, que podem ser igualmente distribuídos em uma circunferência (formando cinco arcos congruentes). O pentagrama, através de seus segmentos, determina 6 regiões internas, 5 triângulos e 1 pentágono. O pentágono é vizinho de todos os triângulos e não existem triângulos vizinhos entre si. Sendo assim, utilizando até 6 cores distintas (preto, branco, cinza, verde, amarelo e azul), de quanta maneiras essas regiões do pentagrama, conforme Figura 2, podem ser coloridas, de forma que não haja duas regiões vizinhas com cores iguais? a) 720 b) 120 c) 6.480 d) 3.750 e) 3.774 15. (Espcex 2018) Duas instituições financeiras fornecem senhas para seus clientes, construídas segundo os seguintes métodos: 1ª instituição: 5 caracteres distintos formados por elementos do conjunto {1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 2ª instituição: 6 caracteres distintos formados por duas letras, dentre as vogais, na primeira e segunda posições da senha, seguidas por 4 algarismos dentre os elementos do conjunto {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Para comparar a eficiência entre os métodos de construção das senhas, medindo sua maior ou menor vulnerabilidade, foi definida a grandeza "força da senha", de forma que, quanto mais senhas puderem ser criadas pelo método, mais "forte" será a senha. Com base nessas informações, pode-se dizer que, em relação à 2ª instituição, a senha da 1ª instituição é a) 10% mais fraca b) 10% mais forte c) De mesma força d) 20% mais fraca e) 20% mais forte
- 6. COMBINATÓRIA 5 16. (Ita 2017) Com os elementos 1 , 2, ,10 são formadas todas as sequências 1 2 7 (a , a , , a ). Escolhendo-se aleatoriamente uma dessas sequências, a probabilidade de a sequência escolhida não conter elementos repetidos é a) 7 7! . 10 3! b) 7 10! . 10 3! c) 7 3! . 10 7! d) 3 10! . 10 7! e) 7 10! . 10 17. (Esc. Naval 2017) Calcule o número de soluções inteiras não negativas de 1 2 3 4 5 6 x x x x x x 20, + + + + + = nas quais pelo menos 3 incógnitas são nulas, e assinale a opção correta. a) 3.332 b) 3.420 c) 3.543 d) 3.678 e) 3.711 18. (Eear 2017) Em um campeonato de tênis estão inscritos 10 militares. Para disputar o campeonato, esses militares podem formar _____ duplas diferentes. a) 34 b) 35 c) 44 d) 45 19. (Espcex 2017) Um grupo é formado por oito homens e cinco mulheres. Deseja-se dispor essas oito pessoas em uma fila, conforme figura abaixo, de modo que as cinco mulheres ocupem sempre as posições 1, 2, 3, 4 e 5, e os homens as posições 6, 7 e 8. Quantas formas possíveis de fila podem ser formadas obedecendo a essas restrições? a) 56 b) 456 c) 40.320 d) 72.072 e) 8.648.640
- 7. COMBINATÓRIA 6 20. (Efomm 2017) Quantos anagramas é possível formar com a palavra CARAVELAS, não havendo duas vogais consecutivas e nem duas consoantes consecutivas? a) 24 b) 120 c) 480 d) 1.920 e) 3.840 GABARITO 1 - A 2 - B 3 - A 4 - C 5 - E 6 - C 7 - C 8 - D 9 - D 10 - B 11 - E 12 - A 13 - D 14 - E 15 - A 16 - B 17 - E 18 - D 19 - C 20 - C