Curso Básico de MATLAB: Principais funções..ppt

29/10/2007 Galdino, J.F 1
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
4ª Semana Matemática
Introdução a Programação no MATLAB

2
Currículo Resumido
2003.1 - Graduando em Engenharia Elétrica;
2004.1 a 2006.2 - Monitor de Cálculo 1 pelo DME;
2007 – Membro do Projeto Olhos Digitais;
2007 – Participação no IV Encontro de Extensão da UFCG
(Atual) - Monitor Voluntário do Laboratório de Princípios de
Comunicações;
(Atual) – Professor Voluntário de Matemática do
PVS (Pré Vestibular Solidário) 2007.
E-mail: josenildofg@gmail.com

3
Sumário
 Introdução ao MATLAB
 Estruturas de Controle
 Arquivos de Comando M-File
 Funções de Entrada e Saída
 Introdução a Funções MATLAB
 Toolboxes
 Toolbox de Matemática Simbólica
 Programas em MATLAB

4
Introdução ao MATLAB
 MATLAB(MATrix LABoratory): Programa
de computador especializado e otimizado
para cálculos científicos e de engenharia.
 Surgiu em 1970 com o intuito de auxiliar
os cursos de Teoria Matricial, Álgebra
Linear e Analise Numérica.

5
Introdução ao MATLAB
 Vantagens
 Facilidade de Uso
 Independência de Plataforma
 Funções Predefinidas
 Interface Gráfica de Usuário
 Compilador MATLAB
 Desvantagens
 Linguagem Interpretada
 Custo

7
Janela de Comandos MATLAB
Janela de Histórico de Comandos
Espaço de Lançamento
Navegador de Diretório Corrente
Navegador de Ajuda

8
Introdução ao Matlab
 Informação do Sistema:
>>computer
>>version
>>ver
>>license

9
MATLAB comand pi Comentários
format short 3.1416 5 dígitos
format long 3.14159265358979 16 dígitos
format short e 3.1416e+000 5 dígitos + expoente
format long e 3.141592653589793e
+000
16 dígitos + expoente
format short g 3.1416 short ou short e
format long g 3.14159265358979 long ou long e

10
MATLAB comand pi Comentários
format hex 400921fb54442d18 Hexadecimal, ponto
flutuante
format bank 3.14 2 digitos decimais
format + + positivo(+),
negativo(-) ou zero(0)
format rat 355/113 razão aproximada

11
 Comandos básicos:
>>who -- Lista as variáveis.
>>whos -- Lista e especifica as variáveis.
>>clc -- Limpa a Janela de Comandos.
>>clf -- Limpa figura atual
>>clear -- Deleta variáveis do workspace MATLAB.
>>help -- Ajuda do Matlab, documentação.
>>help elfun – Lista funções do MATLAB

12
Operadores Aritméticos
Forma Geral: A op B
+ Soma Estrutural e Matricial
- Subtração Estrutural e Matricial
* Multiplicação Matricial
/ Divisão Matricial à Direita
Divisão Matricial à Esquerda
^ Expoente Matricial
‘ Operador de Transposição

13
5
D 







2
3
C







1
0
2
1
-
B







1
2
0
1
A

14
 A + B
0 2
2 2
 A – B
2 -2
2 0
 A + C
Operação ilegal
 A + D
6 5
7 6

15
 A * B
-1 2
2 5
 A * C
3
8
 A .* B
-1 0
0 1
 A .* C
Operação ilegal

16
 A / B
-1 2
-2 5
 A B
-1 2
2 -3
 A ./ B
-1 0
Inf 1
 A . B
-1 Inf
0 1

17
Operadores Relacionais
 Forma geral
A op B
A e B: Operandos.
Pode ser uma matriz,
um escalar ou uma
cadeia de caracteres.
Op: Operador
Operador Operação
== Igual a
~= Diferente de
> Maior que
>= Maior que
ou igual a
< Menor que
<= Menor que
ou igual a

18
 Os operadores <, <=, > e >= são usados
para comparar a parte real dos operandos.
 Os operadores == e ~= são usados para
comparar a parte real e imaginária dos
operandos.

19
Expressão Resultado
5 > 3 1
´AC’ > ‘BA´ 0 1
a > b 1 0
1 + j <= 2 + 3*j 1
x >= [3 8] 1 0
a > c 0 1
2 + j == 1+ j 0
5 + j ~= 2 + j 1
a = [2 1] b = [ 1 1 ] c = [ 0 2 ] x = [ 4 2]

20
Operadores Lógicos
Operação Lógica Binária Operação Lógica Unária
A op B op A
Operador Operação
& E lógico
l OU lógico
xor Ou exclusivo lógico
~ Não lógico

21
Operadores Lógicos
 O MATLAB utiliza a lógica positiva, ou
seja, assume-se o valor verdadeiro se ele
for diferente de zero e falso se ele for igual
a zero.

22
Operadores Lógicos
Entradas e ou xor não
A B A & B A l B xor(A,B) ~A
0 0 0 0 0 1
0 1 0 1 1 1
1 0 0 1 1 0
1 1 1 1 0 0
• Tabela da Verdade para Operadores Lógicos

23
Precedência dos operadores
1. Os operadores aritméticos são avaliados primeiro.
2. Os operadores relacionais são avaliados da
esquerda para a direita.
3. Todos os operadores ~ são avaliados.
4. Todos os operadores & são avaliados.
5. Todos os operadores I são avaliados.
OBS: Sempre use parênteses para indicar a ordem
correta desejada de avaliação de uma expressão.

24
Operadores Lógicos
Expressão Resultado
~A 0
A l B 1
B l C 1
3 > 4 & 1 0
3 > (4 & 1) 1
~C 0
A l B & C 1
A & C 1
B & C 0
A = 1, B = 0 e C = -10

25
Operadores Lógicos -Exercícios
Expressão
~A
A l B
B l C
3 > 4 & 1
3 > (4 & 1)
~C
A l B & C
A & C
B & C
Resultado
0
1
1
0
1
0
1
1
0

26
Estruturas de Controle
 Controle de Fluxo
O controle de fluxo é um recurso que permite que resultados
anteriores influenciem operações futuras. Como em outras
linguagens, o MatLab possui recursos que permitem o controle
de fluxo de execução de comandos, com base em estruturas
de tomada de decisões.
Será apresentado as seguintes estruturas de controle:
 if
 if-else
 switch
 while
 for

27
 Simbologia
Símbolo de decisão
Indica que ações serão executadas
Inicio e fim de uma estrutura de uma controle

28
 Algoritmo
Série de ações executadas em uma ordem
especifica.
 Pseudocódigo
Linguagem artificial e informal de representar o
código de um programa.
Útil para desenvolver algoritmos que serão
convertidos em programas estruturados no
Matlab.

29
if
Estrutura de seleção para escolha de cursos
de ação específicos.
A estrutura de seleção if executa uma ação
indicada só quando a condição é true
(Verdadeira); caso contrário, a ação é saltada.

30
if
Condição
Verdadeira
Falsa
Executa uma ação
Testa a condição

31
 Pseudocódigo
Se a nota do estudante for maior ou igual que 7.0
Imprima “Aprovado”
 Código no Matlab
if nota >= 7
fprintf(‘Aprovado’);
end

32
If-else
Condição
Verdadeira
Falsa
Executa uma ação
Testa a condição
Executa uma ação

33
 Pseudocódigo
Se a nota do estudante for maior ou igual que 7.0
Imprima “Aprovado”
senão
Imprima “Reprovado”
 Código no Matlab
if nota >= 7
fprintf(‘Aprovado’);
else
fprintf(‘Reprovado’);
end

34
Estruturas de controle
Laços são construções MATLAB que nos
permitem executar uma sequência de
declarações mais de uma vez.
Existem dois tipos de laços:
 while
 for

35
Estruturas de controle
while: é um bloco de declarações que se repete
indefinidamente, enquanto uma condição
for satisfeita.
A forma geral do while é:
while expressão
...
... Bloco de código
...
end

36
while
Condição
Verdadeira
Falsa
Executa uma ação
Testa a condição

37
 switch
Estrutura de seleção múltipla.
Consiste de uma série de rótulos case e um
otherwise.

38
Estrutura de Controle
Case (‘a’)
Falso
Verdadeiro
Ação(ões) do case a
Ação(ões) do case b
Case (‘b’)
Otherwise
Verdadeiro
Falso
.
.
Falso

39
 Laço for : Executa um bloco de declarações
durante um número especificado de vezes.
for indice = expressão
Declaração 1
.... Corpo
Declaração n
end

40
Estrutura de Controle
cont = 1
cont <= n
Falso
Verdadeiro
Corpo do laço cont = cont + 1
n: número de iterações do laço for
cont: variável de controle
Inicialização da variável de controle
cont = 2
cont = 3

41
 Exemplo: Calcular a soma dos 10 primeiros inteiros.
soma = 0; % Inicializa a variável soma com zero
for k = 1:10
soma = soma + k;
end
fprintf('A soma dos dez primeiros inteiros eh: %.2f', soma);
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 









Soma

42
 Exemplo: Calcular o fatorial de um número n.
n = 5;
fatorial = 1; % Inicializa a variável soma com
zero
for k = 1:n % Laço de repetição: n vezes
fatorial = fatorial*k; % Cálculo do fatorial
end
fprintf(‘O fatorial de %.2f eh %.2f', n, fatorial);

43
 Exemplo: Calcular a soma dos 5 primeiros inteiros impares.
soma = 0; % Inicializa a variável soma com zero
for k = 1:2:9
soma = soma + k;
end
fprintf('A soma dos 5 primeiros inteiros impares eh: %.2f', soma);
9
7
5
3
1 




Soma

44
for X while
 while: utilizado para repetir um trecho de
código quando não é desconhecido o número
de iterações do laço.
 for: utilizado para repetir um trecho de código
quando é conhecido o número de iterações do
laço.

45
 Break
Usada para controlar a operação dos laços
for e while
Encerra a execução do laço e passa o
controle para a próxima declaração logo após
o fim do laço.

46
% Uso do break
for k = 1:5
if k == 3;
break;
end
fprintf(‘k = %dn’, k);
end
disp(‘Fim do laço!’);

47
k = 1
k = 2
Fim do laço!

48
 Continue
Usada para controlar a operação dos laços
for e while
Termina a passagem corrente pelo laço e
retorna o controle para o inicio do laço.

49
% Uso do continue
for k = 1:5
if k == 3;
continue;
end
fprintf(‘k = %dn’, k);
end
disp(‘Fim do laço!’);

50
k = 1
k = 2
k = 4
k = 5
Fim do laço!

51
Arquivos de Comando M-File
Geralmente, utiliza-se o prompt do MATLAB para
introduzir os comandos. Entretanto este
procedimento simples para execução de
comandos no prompt se torna altamente
ineficiente quando a complexidade do problema
aumenta. Em suma, podemos dizer que para
problemas simples podemos usar o prompt do
MATLAB e para os mais difíceis deve-se utilizar o
script-file ou M-file, que é também conhecido
como arquivo de comando ou arquivo M.

52
Erro comum de Programação: Os nomes
dos arquivos de comando precisam
sempre terminar com a extensão ‘.m’.
Exemplos:
programa1.m, exemplo1.m, etc.

53
 Como Criar um Arquivo M (M-file)
Para criar um arquivo M-file, siga os seguintes
passos:
Inicialmente, você deve abrir o programa
MATLAB, dando um duplo click no ícone do
MATLAB que está na área de trabalho.
Selecione o menu File (dê um click).
Selecione o item New e em seguida aponte
para M-file e dê um click.

54
Exenplo de script-file.
% script-file: circulo.m
% Este programa calcula a área de um circulo
raio = 2.5;
area = pi*raio^2;
fprintf(‘Area do circulo = %.3f ', area);

55
 Como Executar um Arquivo M (M-file)
 Para executar um arquivo M-file no MATLAB é preciso
gravar o arquivo correspondente. Para isto, selecione o
item Save Workspace As do menu File. Dê preferência
salvar o arquivo no diretório corrente do MATLAB, ou
seja, na pasta work. Para executar o arquivo M, digite
no prompt do MATLAB o nome do arquivo salvado
anteriormente, sem a extensão ‘.m’. Feito isso o
MATLAB gera o executável do programa.

56
Para exemplificar, considere o arquivo
circulo.m. Digite no prompt do MATLAB o
nome do arquivo circulo. Será apresentado
o executável do programa.
>> circulo
Area do circulo = 19.635

57
Resumindo, pode-se dizer que um programa
em MATLAB consiste na criação do arquivo
M-file utilizando-se o editor de texto e sua
respectiva chamada por linha de comando
no prompt do MATLAB.

58
Introdução a Funções MATLAB
 Funções Predefinidas MATLAB
Fornece uma enorme variedade de funções
prontas para uso.
Funções trigonométricas, logarítmicas, raízes.
Funções hiperbólicas, funções de Bessel, etc.
As funções MATLAB podem devolver mais de
um resultado para o programa que as ativa.

59
 Uso da função max
Retorna o valor máximo de um vetor de entrada,
podendo retornar a localização de onde ocorreu o
máximo.
maxval = max([1 2 -4 5])
maxval = 5
[maxval index] = max([1 2 -4 5])
maxval = 5
index = 4

60
 Funções MATLAB com Matrizes como
entrada.
x = [ 0 pi/2 pi 3*pi/2 2*pi] % Entrada
y = sin(x) % Saída
y = [ 0 1 0 -1 0] % Resultado

61
Agora é com você!!!
x = [ 0 pi/2 pi 3*pi/2 2*pi]
y = cos(x)

62
Calcule os valores de sin x, cos x e tan x,
para x = 30º, 45º e 60º.

63
 Funções Elementares

64
 Funções Definidas pelo usuário.
function [outarg1, outarg2, ...] = fname(inarg1, inarg2, ...)
% H1 comentário
% Mais um comentário
...
(Código executável)
...
(return)

65
x
y
xa xb
ya
yb
A
B
d
D: distancia entre os pontos A e B
C

66
function [resultado] = distancia2(xa,ya,xb,yb)
% DISTANCIA2 Calcula a distancia entre dois pontos
% Function DISTANCIA2 calcula a distancia entre dois pontos
% A(xa,ya) e B(xb,yb) no sistema de coordenadas cartesiano.
%
% Chamada a função
%
% res = distancia2(xa, ya, xb, yb)
%
% Definiçao das variaveis
% xa: abscissa do ponto A
% ya: ordenada do ponto A
% xb: abscissa do ponto B
% yb: ordenada do ponto B
% resultado: Distancia entre os pontos A e B.

67
% OBSERVAÇOES
% Data Programador Descriçao
% 05/10/07 Josenildo F. Galdino Codigo Original
% Calculo da distancia
resultado = sqrt((xb - xa).^2 + (yb - ya).^2)

68
Uso da função distancia2.
% Script file: teste_distancia2.m
% Este programa testa a funçao distancia2
% Data Programador Descriçao
% 05/10/07 Josenildo F. Galdino Codigo Original
% Definiçao das variaveis:
% xa: abscissa do ponto A
% ya: ordenada do ponto A
% xb: abscissa do ponto B
% yb: ordenada do ponto B
% resultado: distancia entre os dois pontos A e B.

69
% Dados fornecidos pelo usuario
disp('Calcule a distancia entre os pontos A e B');
xa = input('Forneca a abscissa do ponto A: ');
ya = input('Forneca a ordenada do ponto A: ');
xb = input('Forneca a abscissa do ponto B: ');
yb = input('Forneca a ordenada do ponto B: ');
% Uso da funçao definida pelo programador
resultado = distancia2(xa, ya, xb, yb); % Chamada a funçao.
% Exibiçao do resultado
fprintf('A distancia entre os pontos A e B e %fn', resultado);

70
>> teste_distancia2
Calcule a distancia entre os pontos A e B
Forneca a abscissa do ponto A: 1
Forneca a ordenada do ponto A: 1
Forneca a abscissa do ponto B: 2
Forneca a ordenada do ponto B: 2
resultado =
1.4142
A distancia entre os pontos A e B e 1.414214
>>

71
Toolboxes
 Statistics Toolbox
 Symbolic Math Toolbox
 Partial Diferrential Equation Toolbox
 Curve Fitting Toolbox
 Signal Processing Toolbox
 Control System Toolbox
 Communication Toolbox

72
Symbolic Math Toolbox
 O Toolbox de Matemática Simbólica
disponibiliza uma coleção de diversas funções
do MATLAB utilizadas para calcular operações
básicas, tais como: derivadas, limites, integrais,
expansão da serie de Taylor, e outras
operações. A manipulação simbólica no
MATLAB pode ser vista como uma evolução do
modo como você utiliza o MATLAB para
processar números.

73
 A grande vantagem de se utilizar tal
processo é que podemos obter resultados
mais exatos, eliminando-se assim a
imprecisão introduzida pelos valores
numéricos. Podemos resolver derivadas,
integrais, equações diferenciais e
algébricas utilizando-se esta poderosa
ferramenta.

74
EXPRESSÕES SIMBÓLICAS
Deve-se entender por Expressão simbólica as
expressões que contêm objetos simbólicos que
podem representar números, funções e operações
e variáveis.
Dica: As variáveis simbólicas não precisam de um
valor numérico. Esta variável simbólica representa
apenas um símbolo de uma expressão simbólica.

75
EXPRESSÕES SIMBÓLICAS
Exemplos:
3
x )
5
( 4
x
dx
d
z 

76
O MATLAB disponibiliza várias funções que
trabalham com funções polinomiais e que podem ser
utilizadas para representar funções polinomiais.
Dentre elas, encontram-se as seguintes funções:
collect
expand
factor
simplify
simple

77
collect
Organiza os coeficientes
 Sintaxe
collect( f )
mostra um polinômio f em sua variável simbólica, seja x, e
organiza todos os coeficientes com a mesma potência de x.
Um segundo argumento pode especificar a variável que se deve
organizar se houver mais de uma variável simbólica possível.

78
collect(f)
1) Escreva a função y = (x+1)^3 na forma polinomial
>> clear % Limpa a Janela de Comandos
>> x = sym('x'); % Define a variavel simbolica “x”
>> y = (x + 1)^3; % Define a função y = f(x)
>> collect(y); % Organiza os coeficientes
>> pretty(ans) % Exibe o resultado
x3
+ 3x2
+ 3x + 1

79
Escreva a função y = (x + 1)(x + 2) na forma
polinomial.

80
 collect( f, nome da variável simbólica)
A função collect neste caso aceita um segundo argumento
que especifica que variável simbólica deve ser utilizada
para organizar o polinômio.

81
collect(f, nome da variável simbólica)
2) Escreva a função f(x,z) = (x + 1)^3 + z na forma
polinomial.
>> x = sym('x'); % Define a variável simbólica x
>> z = sym(‘z’); % Define a variável simbólica z
>> y = (x +1)^3 + z; % Define a função y = f(x,z)
>> collect(y,x); % Organiza os coeficientes em x
x3
+ 3 x2
+ 3 x + 1 + z

82
Escreva a função y = (x + 1)^3 + (z + 1)^2
na forma polinomial, em termos de z.

83
 expand
realiza a distribuição de produtos para polinômios
e aplica outras identidades que envolvem funções
de somas, identidades trigonométricas, exponenciais
e logaritmos.
Sintaxe
 expand( f )

84
expand(f)
3) Escreva a função y = (x+1)^3 na forma polinomial
>> clear % Limpa a Janela de Comandos
>> x = sym('x'); % Define a variavel simbolica “x”
>> y = (x + 1)^3; % Define a função y = f(x)
>> expand(y); % Realiza o produto polinomial
x3
+ 3x2
+ 3x + 1

85
expand X collect
Além de representar funções polinomiais a função é
bastante útil na manipulação de expressões simbólicas
trigonométricas, exponenciais, hiperbólicas, entre outras
funções. Esta é uma das características marcantes que
diferenciam a função expand da collect. A função
expand é bem mais robusta, porque trabalha com
muitos tipos de funções, enquanto a função collect é
restrita apenas a funções polinomiais. Podemos, dizer
que a função expand é uma evolução da função collect,
agregando-se novas funcionalidades.

86
expand
4) Obtenha a forma expandida da função
trigonométrica cos(x + y).
x = sym(‘x’); % Cria a variável simbólica x.
y = sym(‘y’); % Cria a variável simbólica y.
expand(cos(x+y)) % Realiza a operação
ans = % Variável padrão do matlab
cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y) % Resultado

87
Obtenha a forma expandida da função
exponencial exp(x + y).

88
Factor
Fatoração
 Sintaxe
factor(X)
Esta função obtém a forma fatorada de um polinômio.
Na sintaxe da função X, pode ser apenas a expressão
simbólica. Ou um array simbólico contendo vários
expressões simbólicas. No caso de utilizar um array, a
função factor retorna um array com as expressões
simbólicas correspondentes.

89
 Uso da Função factor
Calcular os fatores primos de um número
inteiro.
Obter a forma polinomial fatorada.
Simplificar expressões simbólicas.

90
Factor(x)
5) Calcule os fatores dos seguintes números 15 e 50.
>> factor(15)
ans =
3 5
>> factor(50)
ans =
2 5 5

91
Factor
 Observação:
O maior valor inteiro que a função factor
aceita é um numero inteiro de até 16 dígitos,
se o número tiver uma quantidade de dígitos
superior a 16. Devemos usar o sym para criar
um elemento.

92
Factor(x)
5) Calcule os fatores do número
>> factor(15)
ans =
3 5
>> factor(50)
ans =
2 5 5

93
Factor(x)
5) Calcule os fatores do número 12345678901234567890
>> factor(sym('12345678901234567890'))
ans =
(2)*(3)^2*(5)*(101)*(3803)*(3607)*(27961)*(3541)

94
6) Obtenha a forma fatorada da equação
y = x^3 +3*x^2 + 3*x + 1
>> x = sym('x'); % Cria a variável simbólica x.
>> y = x^3 + 3*x^2 + 3*x + 1 % Define a função y = f(x)
>> factor(y); % Fatoração
(x + 1)^3

95
Obtenha a forma fatorada da equação
y = x^2 + 3*x + 2

96
Simplify
Simplificação simbólica.
 Sintaxe:
R = simplify(S)
A função simplify é uma ferramenta poderosa, que em
geral aplica várias identidades algébricas que envolvem
somas, potência inteira, raízes quadradas e potência
fracionária, como também vários identidades que envolvem
funções trigonométricas, exponencial e funções de Bessel,
função gama, etc.

97
7) Simplifique a seguinte expressão:
>> x = sym('x'); % Cria a variável simbólica x.
>> y = (x^3 + 8)/(x^4 - 16); % Define a função y = f(x)
>> simplify(y); % Simplificação simbólica
x^2 - 2x + 4
-------------------
x^3 - 2x^2 + 4x - 8
16
8
4
3



x
x
y

98
Simplifique a seguinte expressão:
8
2
3



x
x
y

99
8) Simplifique a seguinte expressão
>> x = sym(‘x’); % Cria a variável simbólica x.
>> y = cos(x)^2 + sin(x)^2; % Define a função y = f(x)
>> simplify(y); % Simplificação simbólica
1
)
(
sin
)
(
cos 2
2
x
x
y 


100
9) Simplifique a seguinte expressão:
>> syms x y positive % Cria as variáveis simbólicas
x e y, ambas
positivas.
>> simplify(log(x*y)); % Simplificação simbólica
log(x) + log(y)
)
*
log( y
x

101
Simple
Busca a forma mais simplificada para a expressão simbólica.
 Sintaxe:
r = simple( S )
[r,how] = simple( S )
A função simple(S) tenta várias simplificações algébricas
diferentes na expressão simbólica S, exibe a representação de
menor comprimento para S. S é um sym. Se S for uma matriz, o
resultado indica a representação mais curta da matriz inteira
que necessariamente não é a representação mais curta de
cada elemento individual.

102
10 ) Simplifique a expressão y = (x + 1)(x + 2)
>> x = sym(‘x’); % Cria a variável simbólica x.
>> simple((x+1)(x+2)) % Simplificação
ans =
x^2+3*x+2

103
Simplifique a expressão )
(
sin
)
(
cos
2 2
2
x
x
y 


104
pretty
Esta função imprime uma expressão simbólica.
 Pretty(expressão simbólica).
A grande vantagem do uso da função pretty quando trabalha-se
com matemática simbólica é que a exibição da expressão
simbólica é a mais clara possível.
Dica: Ao trabalhar com matemática simbólica, sempre use a
função pretty, para tornar mais legível a expressão simbólica
mostrada na tela.

105
 LIMITES

106
Limites
% ----------------------------------------------------------------------------------------
% Scripte file: limites.m
% Este programa calcula o limite de algumas funções.
% ---------------------------------------------------------------------------------------
% DESCRIÇAO
% ---------------------------------------------------------------------------------------
% DATA PROGRAMADOR DESCRIÇAO DO CODIGO
% 10/10/07 Josenildo F. Galdino Código Original
%---------------------------------------------------------------------------------------

107
syms x a; % Cria as variáveis simbólicas x e a.
f = 1/(x^2); % Definição da função f(x)
pretty(f); % Exibição da função
limit(f,2) % Calcula o limite quando x tende a 2.
f1 = (25*x^3 + 2)/(75*x^7 -2); % Definição da função f1(x)
pretty(f1) % Exibição da função.
limit(f1) % Calcula o limite quando x tende a 0.

108
f2 = (25*x^3 + 2)/(75*x^7 -2); % Definição da função f2(x)
pretty(f2) % Exibição da função
limit(f2) % Calcula o limite quando x tende a 0.
f3 = (x^2 - 2)/(x - 2); % Definição da função f3(x)
limit(f3,2) % Calcula o limite quando x tende a 2.
f4 = (x^2 - a^2)/(x^2 + 2*a*x + a^2); % Definição da função f3(x)
limit(f4,a) % Calcula o limite quando x tende a a.

109
g = sin(2*x)/x; % Definição da função g(x)
pretty(g) % Exibição da função
limit(g) % Calcula o limite quando x tende a 0.
g1 = sin(5*x)/x; % Definição da função g1(x)
pretty(g1) % Exibição da função
limit(g1) % Calcula o limite quando x tende a 0.

110
g2 = (sin(5*x) - sin(3*x))/x; % Definição da função g2(x)
g3 = (1 - sqrt(1 - x^2))/(x^2); % Definição da função g3(x)

111
 DERIVADAS

112
DERIVADAS
>> syms x n; % Cria a variável simbólica x.
>> p = x^3 + 4*x^2 -7*x -10; % Define a função f(x).
>> d = diff(p) % Calcula a derivada de f(x).
d =
3*x^2+8*x-7
>> e = diff(p,2) % Calcula a 2ª derivada de f(x).
e =
6*x+8
>> f = diff(p,3) % Calcula a 3ª derivada de f(x).
f =
6

113
DERIVADAS
syms x n % Cria as variaveis simbólicas x e n.
>> g = x^n; % Define a função g(x).
>> h = diff(g) % Calcula a derivada de g(x).
h =
x^n*n/x
>> h = simplify(h) % Simplifica o resultado.
h =
x^(n-1)*n

114
DERIVADAS DE FUNÇÕESTRANSCENDENTAIS
>> syms x % Cria as variaveis simbólicas x e n.
>> f1 = log(x); % Define a função f1(x).
>> df1 = diff(f1) % Calcula a derivada de f1(x).
df1 =
1/x
>> f2 = (cos(x))^2; % Define a função f2(x).
>> df2 = diff(f2) % Calcula a derivada de f2(x).
df2 =
-2*cos(x)*sin(x)

115
DERIVADAS DE FUNÇÕES TRANSCENDENTAIS
>> f4 = cos(2*x);
>> df4 = diff(f4)
df4 =
-2*sin(2*x)
>> f5 = exp(-(x^2)/2);
>> df5 = diff(f5)
df5 =
-x*exp(-1/2*x^2)

116
 Calcule a derivada de
1
)
(


x
x
x
f
>> syms x; % Cria a variável simbólica x.
>> p = x/(x-1); % Define a função f(x).
>> diff(p) % Calcula a derivada de f(x).
ans =
1/(x-1)-x/(x-1)^2
>> simplify(ans) % Simplifica a expressão da derivada.
ans =
-1/(x-1)^2
>> pretty(ans) % Exibe a resposta no formato mais visivel.
1
- --------
2
(x - 1)

117
 Calcule a derivada de
em x = 1, ou seja,
2
2
)
( x
x
x
f 


)
1
(
'
f

118
% Cálculo da derivada
syms x; % Cria a variável simbólica x.
p = 2 + x + x^2; % Define a função f(x).
d = diff(p); % Calcula a derivada de f(x).
pretty(d); % Exibe o resultado da derivada
% Calculo da derivada em um ponto (x = 1)
g = [2 1]; % Define o polinômio da derivada
polyval(g,1) % Calcula a derivada em x = 1
subs(d,1) % Valor da função em x = 1

119
 INTEGRAIS
>> syms x n t % Cria as variáveis simbólicas x n t
>> int(x^n) % Calcula a integral de x^n
ans =
x^(n+1)/(n+1)
>> int(x^3 +4*x^2 + 7*x + 10) % Calcula da integral x^3 + 4x^2 + 7x + 10
ans =
1/4*x^4+4/3*x^3+7/2*x^2+10*x
>> int(x,1,t) % Calculo da integral de x, no intervalo [ 1, t ].
ans =
1/2*t^2-1/2

120
INTEGRAIS DE FUNÇÕES TRANSCENDENTAIS
>> syms x % Cria a variável simbólica x
>> int(1/x) % Calcula a integral de f(x) = 1/x.
ans =
log(x)
>> int(cos(x)) % Calcula a integral de f(x) = cos (x)
ans =
sin(x)
>> int(1/(1+x^2)) % Calcula a integral de f(x) = 1/(1 + x^2)
ans =
atan(x)
>> int(exp(-x^2)) % Calcula a integral de f(x) = exp(-x^2)
ans =
1/2*pi^(1/2)*erf(x)

121
Programas em MATLAB
 Resolver a equação quadrática
0
12
10
2 2


 s
s

122
Programas em MATLAB
% -----------------------------------------------------------------------------------------
% Scripte file: quadratica.m
% Este programa calcula as raizes da equaçao quadratica, sendo
% fornecidos pelo usuario os coeficientes a, b e c da equaçao
% a*x^2 + b*x + c = 0
% ---------------------------------------------------------------------------------------
% DESCRIÇAO
% ---------------------------------------------------------------------------------------
% DATA PROGRAMADOR DESCRIÇAO DO CODIGO
% 10/10/07 Josenildo F. Galdino Código Original
%---------------------------------------------------------------------------------------

123
Programas em MATLAB
% DEFINIÇAO DAS VARIAVEIS
% a - coeficiente do termo x^2
% b - coeficiente do termo x
% c - coeficiente do termo x^0 ou termo independente.
% x1 - raiz da equação quadrática
% x2 - raiz da equação quadrática
% m - variável intermediaria
% n - variável intermediaria

124
Programas em MATLAB
clc; % Limpa a area de trabalho.
% Obtenção dos parâmetros
disp('Forneca os coeficientes da equaçao quadratica');
a = input('nForneca o coeficiente a: ');
b = input('Forneça o coeficiente b: ');
c = input('Forneca o coeficiente c: ');
x = linspace(-12,12,300); % Gera 300 pontos entre -12 e 12.
y = a*x.^2 + b*x + c; % Definição da função y = f(x)

125
Programas em MATLAB
% Cálculo das raízes
m = -b/(2*a);
n = sqrt(b^2 - 4*a*c)/(2*a);
fprintf('nAs raizes da equacao quadratica sao:')
x1 = m + n
x2 = m - n
fprintf('n');

126
Programas em MATLAB
% Exibição do gráfico
plot(x,y); % Gráfico em 2-D.
title('bfitEquaçao Quadratica'); % Titulo do gráfico
xlabel('bfitx'); % Eixo horizontal
ylabel('bfity'); % Eixo vertical

127
Programas em MATLAB
Forneca os coeficientes da equaçao quadratica
Forneca o coeficiente a: 2
Forneça o coeficiente b: 10
Forneca o coeficiente c: 12
As raizes da equaçao quadratica sao:
x1 =
-2
x2 =
-3

129
ANIMAÇÃO
 Demonstração
Script-file: animacao.m

130
ANIMAÇÃO
 Demonstração
Script-file: animacao1.m

131
ANIMAÇÃO
 Demonstração
Script-file: animacao2.m

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