Curso de Inteligência Artificial - Parte 3 -

Incerteza, Cap 13
Ronaldo F. Ramos, Dr.
ronaldo@cefet-ce.br
Adaptado de : aima.cs.berkeley.edu

Roteiro
! Incerteza
! Probabilidade
! Sintaxe e Semântica
! Inferência
! Independência e regra de Bayes

Incerteza
Seja a ação At = seguir para o aeroporto chegando t minutos antes do vôo
Esta ação At nos deixará pontualmente?
Problemas:
1. observalidade parcial (estado da rodovia, planos de outros motoristas, etc.)
2. sensores de ruído (relatórios com situação do tráfego)
3. incerteza nos resultados das ações (pneu furado, etc.)
4. complexidade excessiva da modelagem e previsão do tráfego.
Consequentemente uma abordagem puramente lógica poderia:
1. correr risco de falsa afirmativa: “A25 me deixará à tempo no aeroporto”, ou
2. levará a conclusões muitos fracas para tomada de decisões:
“A25 me deixará lá a tempo se não houver acidentes na ponte, se não chover e
meus pneus permanecerem intactos etc etc.”
(A1440 pode ser dito razoavelmente que chegarei a tempo, mas eu teria que
permanecer a noite toda no aeroporto …)

Métodos para tratamento da Incerteza
! Logica Default ou não monotônica:
! Assumir que meu carro não terá um pneu furado
! Assumir que A25 funcionará a não ser que seja contradita pela
evidência
! Questões: Que suposições são razoáveis? Como tratar
contradições?
! Regras com graus fictícios:
! A25 |→0.3 chegar a tempo
! Irrigador |→ 0.99 GramaMolhada
! GramaMolhada |→ 0.7 Chuva
! Questões: Problemas com combinações, ex., Irrigador causa
chuva??
! Probabilidade
! Modela o grau de crença do agente
! Dada uma evidência disponível,
! A25 me deixará a tempo com probabilidade 0.04

Probabilidade
Assertivas probabilisticas sumarizam os efeitos de :
! Preguiça: falha em enumerar exceções, qualificações, etc.
! Ignorância: falta de fatos relevantes, condições iniciais, etc.
Probabilidade Subjetiva:
! Probabilidades relatam proposições sobre o estado
de conhecimento do agente
! ex. P(A25 | não houve acidentes) = 0.06
Isto não são afirmações sobre o mundo.
Probabilidades de proposições podem mudar de acordo
com novas evidências:
ex., P(A25 | não houve acidentes as 5h)= 0.15

Tomando decisões em face da incerteza
Suponha que acreditemos que:
P(A25 me deixará a tempo| …) = 0.04
P(A90 me deixará a tempo|…) = 0.70
! Que ação devo escolher?
Dependerá de minhas preferências por vôos não
disponíveis vc tempo gasto esperando, etc.
! Teoria da Utilidade é usada para representar e inferir
preferências
! Teoria da Decisão = Teoria da Probabilidade + Teoria da
Utilidade

Sintaxe
! Elemento Básico: variável aleatória
! Semelhante a logica proposicional: mundos possíveis definidos pela
atribuição de valores a variáveis aleatórias.
! Variables aleatórias booleanas
ex., Cárie (tenho cárie?)
! Variáveis aleatórias discretas
ex., Tempo pode ser: <ensolarado,chovendo,nublado,nevando>
! Valores de domínios devem ser exautivos e mutuamente exclusivos
! Proposição elementar construída pela atribuição de um valor a A
! Proposições complexas formadas a partir de proposições elementares
e conectivos lógicos padrões. ex. Tempo = ensolarado ∨ Cárie = falso
variável aleatória: ex., Tempo = ensolarado, Cárie = falso
(abreviado como cárie)

Sintaxe
! Evento Atômico: Uma especificação completa
do estado do mundo sobre o qual o agente é
incerto
! Ex. Se o mundo consiste de apenas duas variáveis
aleatórias booleanas Cárie e DorDeDente, então
existem 4 possíveis eventos atômicos:
Cárie = falso ∧ DorDeDente = falso
Cárie = falso ∧ DorDeDente = verdade
Cárie = verdade ∧ DorDeDente = falso
Cárie = verdade ∧ DorDeDente = verdade
! Eventos atômicos são mutualmente
exclusivos e exaustivos

Axiomas da Probabilidade
! Para quaisquer proposições A, B
! 0 ≤ P(A) ≤ 1
! P(verdade) = 1 e P(falso) = 0
! P(A ∨ B) = P(A) + P(B) - P(A ∧ B)

Probabilidade a Priori
! Probabilidade a priori ou probabilidade incondicional de proposições
ex., P(Cárie = verdade) = 0.1 e P(Tempo = ensolarado) = 0.72 corresponde a
uma crença inicial antes da chegada de qualquer evidência nova.
! Distribuição de Probabilidade dá valores para todas possíveis
atribuições:
P(Tempo) = <0.72,0.1,0.08,0.1> (normalizado, i.e., soma é 1)
! Distribuição de probabilidade conjunta para um conjunto de variáveis
aleatórias dá a probabilidade de todos os eventos sobre estas variáveis
! Ex.
P(Tempo,Cárie) = uma matriz 4 × 2 de valores:
Tempo = sol chuva nuvens neve
Cárie = verdade 0.144 0.02 0.016 0.02
Cárie = falso 0.576 0.08 0.064 0.08
! Toda questão a cerca do domínio pode ser respondida pela
distribuição de probabilidade conjunta

Probabilidade Condicional
! Probabilidade Condicional ou posterior
! ex.P(cárie | dordedente) = 0.8
i.e., dado que dordedente é tudo o que sei.
! Se sabemos mais, ex. que cárie é dada. Então temos:
P(cárie | dordedente,cárie) = 1
! Novas evidências podem ser irrelevantes, permitindo a
simplificação, ex.,
P(cárie| dordedente, ensolarado) = P(cárie| dordedente) = 0.8
! Este tipo de inferência, sancionada pelo conhecimento do
domínio é crucial

Probabilidade Condicional
! Definição.
P(a | b) = P(a ∧ b) / P(b) se P(b) > 0
! A regra do produto dá uma formulação alternativa:
P(a ∧ b) = P(a | b) P(b) = P(b | a) P(a)
! Uma versão geral serve para distribuições inteiras. Ex.,
P(Tempo,Cárie) = P(Tempo | Cárie) P(Cárie)
! (Visto como um conjunto de 4 × 2 equações, não é
multiplicação de matrizes)
! Regra da Cadeia é derivada por sucessivas aplicações da regra
do produto:
P(X1, …,Xn) = P(X1,...,Xn-1) P(Xn | X1,...,Xn-1)
= P(X1,...,Xn-2) P(Xn-1 | X1,...,Xn-2) P(Xn | X1,...,Xn-1)
= …
= πi=n 1
P(Xi | X1, … ,Xi-1)

Inferência por enumeração
! Começa com a distribuição de probabilidade
conjunta:
DordeDente ~DordeDente
Boticão ~Boticão Boticão ~Boticão
0,108 0,012 0,072 0,008
0,016 0,064 0,144 0,576
Cárie
~Cárie
! Para qualquer proposição soma-se o eventos
atômicos onde a mesma é verdade.
P(carie=verdade)=0,108+0,012+0,072+0,008=0,2
(Chamada de probabilidade marginal)
Podemos também calcular
P(carie v dordedente) =
0,108+0,012+0,072+0,008+0,016+0,064=0,28.
etc.

! Iniciar com a distribuição conjunta:
! Pode calcular também as probabilidades
condicionais:
P(¬cárie | dordedente) = P(¬cárie ∧ dordedente)
P(dordedente)
= 0.016+0.064
0.108 + 0.012 + 0.016 + 0.064
= 0.4

Normalização
! Denominador pode ser visto como uma constante de
normalização
P(Cárie | DorDeDente) = α P(Cárie,DorDeDente)
= α [P(Cárie,DorDeDente,Boticão) + P(Cárie,DorDeDente,¬
Boticao)]
= α [<0.108,0.016> + <0.012,0.064>]
= α <0.12,0.08> = <0.6,0.4>
Idéia geral: Calcular a distribuição sobre a variável de consulta
fixando as variáveis de evidência e somando as variáveis
ocultas.

Normalmente estamos interessandos:
Na distribuição conjunta posterior das variáveis de consulta Y
sendo dados valores específicos (e) para as variáveis de evidência E
Sejam as variáveis ocultas H = X - Y - E
Então a totalização esperada dos valores da distribuição conjunta é
realizada pela soma das variáveis ocultas:
P(Y | E = e) = αP(Y,E = e) = αΣhP(Y,E= e, H = h)
! Os termos são partes da distribuição conjunta pelo fato de que Y, E e
H juntos são exaustivos dentro do conjunto de variáveis aleatórias.
Problemas óbvios:
1. Complexidade do pior caso é O(dn) onde d é a maior aridade (domínio da
variável aleatória)
2. Complexidade de espaço é O(dn) para armazenamento da distribuição
conjunta
3. Como encontrar valores para elementos de entrada em ordem O(dn)?

Independência
! A e B são independentes sse:
P(A|B) = P(A) ou P(B|A) = P(B) ou P(A, B) = P(A) P(B)
P(DorDeDente, Boticão, Cárie, Tempo)
= P(DorDeDente, Boticão, Cárie) P(Tempo)
! 32 entradas foram reduzidas a 12;
! Para n moedas independentes (não “viciadas “) teríamos O(2n)
→O(n) (! reduzida)
! Independência Absoluta é poderosa, mas rara.
! Odontologia é um campo amplo com centenas de variáveis ,
nenhuma das quais é independente. O que fazer?

Independência Condicional
! P(DorDeDente, Cárie, Boticão) tem 23 – 1 = 7 entradas
independentes
! Se temos cárie, a probabilidade de ter que usar o
boticão não depende do fato de termos dor de dente.
(1) P(boticão | dordedente, cárie) = P(boticão | cárie)
! O memos ocorre se não temos cárie:
(2) P(boticão | DorDeDente,¬cárie) = P(boticao | ¬cárie)
! Boticao é condicionalmente independente de
DorDeDente dado Cárie
! Declarações equivalentes:
P(DorDeDente | Boticao, Cárie) = P(DorDeDente | Cárie)
P(DorDeDente, Boticao | Cárie) = P(DorDeDente | Cárie) P(Boticao| Cárie)

Independência condicional-cont
! Escreve-se uma Distribuição conjunta completa
usando a regra da cadeia.
P(DorDeDente, Boticão, Cárie)
= P(DorDeDente | Boticão, Cárie) P(Boticão, Cárie)
= P(DorDeDente | Boticão, Cárie) P(Boticão | Cárie) P(Cárie)
= P(DorDeDente | Cárie) P(Boticão | Cárie) P(Cárie)
I.e., 2 + 2 + 1 = 5 números independentes
! Na maioria dos casos a independência reduz o
tamanho da representação da distribuição conjunta
de exponencial para linear em n .

Regra de Bayes e Independência Condicional
P(Cárie | DorDeDente ∧ Boticão)
= αP(DorDeDente ∧ Boticão | Cárie) P(Cárie)
= αP(DorDeDente | Cárie) P(Boticão | Cárie) P(Cárie)
! Modelo de Bayes Ingênuo (Naïve): (IDIOTA)
P(Causa,Efeito1, … ,Efeiton) = P(Cause) πiP(Effecti|Cause)
Número total de Parâmetros é linear em n

Redes Bayesianas
! Def: Notação gráfica para declarações de independência
condicional e consequentemente para uma especificação
compacta de distribuições conjuntas complexas
! Sintaxe:
! Um conjunto de “nós”, um por variável
! Um grafo direcional acíclico mostrando influencias diretas
! Uma distribuição condicional para cada nó dado seu pais
P (Xi | Pais (Xi))
! No caso mais simples, a distribuição condicional é representada como uma tabela de
prabilidade condicional dando a distribução sobre Xi para cada combinação de valores dos
pais

Exemplo de Rede Bayesiana
! A topologia da rede codifica as declarações de
independência condicional:
! Tempo é independente de outras variáveis
! DorDeDente and Boticão são condicionalmente
independentes dada cárie

Exemplo do Alarme
Alguém estando no trabalho recebe o telefone do vizinho
João Rapadura dizendo que o alarme da casa está tocando,
mas a vizinha do outro lado Maria Amargura não
ligou.Algumas vezes o alarme é disparado por pequenos
tremores de terra. Será que tem um ladrão na casa?
Variáveis: Ladrão, Terremoto, Alarme,JoaoLiga, MariaLiga
A rede reflete o conhecimento "causal":
Um ladrão(burglar) pode disparar o alarme
Um terremoto (earthquake) pode disparar o alarme
O Alarme pode fazer Maria(Mary) telefonar
O Alarme pode fazer Joao(John) telefonar

Compactação da Rede
! Uma tabela com variáveis aleatórias booleanas Xi com k
parentes booleanos terá 2k linhas para a combinação de valores
dos pais
! Cada linha requererá um valor p para Xi = Verdade
(o valor para Xi = false é 1-p)
! Se cada variável não tem mais que k pais, a rede completa fará
O(n · 2k) valores
! I.e., cresce linearmente com n, vs. O(2n) para a distribuição
conjunta total
! Para a rede do alarme teremos 1 + 1 + 4 + 2 + 2 = 10 valores
(vs. 25-1 = 31)

Semântica da Rede
A distribuição conjunta total é definida como o produto
das distribuições condicionais locais
P (X1, … ,Xn) = πi = 1 P (Xi | Pais(Xi))
e.g., P(j ∧ m ∧ a ∧ ¬b ∧ ¬e)
= P (j | a) P (m | a) P (a | ¬b, ¬e) P (¬b) P (¬e)

Rede não puramente causal
! Vamos usar o exemplo do alarme com a seguinte ordem de
inserção dos nós:
! MaryCalls, JohnCalls, Alarme, Roubo e Terremoto.
Roubo
Terremoto
Alarme
JohnCalls
MaryCalls

Redes não puramente causais
" Problemas:
" A figura possui duas conexões a mais
" julgamento não natural e difícil das probabilidades
" Tendo uma rede puramente causal, teríamos um
número menor de conexões

Tipos de Inferência em Redes Bayesianas
Causal – Causa para efeito
" P(JohnCalls/Roubo) = 0,86
Roubo Alarme JohnCalls
Evidência Query
Diagnóstico – Efeito para Causa
" P(Roubo/JohnCalls) = 0,016
JohnCalls Alarme Roubo
Evidência Query
! Intercausal (entre causas com um efeito comum)
! P(Roubo/Alarme) = 0,376
! P(Roubo/Alarme ∧Terremoto) = 0,373
Roubo Alarme Terremoto
Query Evidência

Tipos de Inferências
" Mista (combinando duas ou mais das de cima)
" P(Alarme/JohnCalls ∧¬Terremoto) = 0,03
" Este é um uso simultâneo de inferência causal e diagnóstico.
JohnCalls Alarme Terremoto
Evidência Query Evidência

Independência de Novo
• Dependências
• Intuitiva.
• Dois nós conectados
influenciam um ao outro
simetricamente.
• Independências
• Exemplo: I (J;M|A),
I(B;E)
• Outros I(B;E|A)?
• -- d-seperation.
• (Separação Direcional)

Separação -d
M e B são separados-d Dado A
(Independentes)
B A M

Separação –d - Divergente
M e J são separados-d Dado A
(Independentes)
A
J M
Influencia pode
ocorrer de J em M se
não conhecemos A
mas I(J;M|A)

Separação –d – convergente
E e B são separados-d NÃO Dado A
(Independentes)
E B
A
E não pode influenciar
B dado que A não é
conhecido.
I(E;B)

Consultas (Query)
Informações interessantes das probabilidades conjuntas:
Qual a probabilidade de ambos Maria e John ligarem se
acontecer um roubo? P(M, J|B)
Qual a mais provável explicação para o fato que Maria
Ligou?
Pode ser Respondido por Inferência na RB
P(M,J|B)=P(B, M, J)/P(B) =
ΣA
E
P E B A M J P B
,
( ( , , , , )) / ( )

Algoritmo de Eliminação de Variáveis – Inferência
Exata
• Idéia: Somar uma variável por vez, gerando uma nova
distribuição em relação as outras variáveis conectando com a
variável eliminada.
• Quando Elimina-se E gera-se uma distribuição de A e B
• Alta Complexidade (NP-HARD) usar Algoritmos de Formação
de Agrupamentos /Árvores de Junção

Inferência Aproximada
! Amostagem direta
! Amostragem de rejeição
! Ponderação de probabilidade
! Simulação de Cadeias de Markov-
Algoritmo CMMC (Cadeia de Markov
Monte Carlo)

Modelos Temporais
R t-1 P(Rt)
V 0,7
F 0,3
R t-1
U t-1
R t
U t
R t+1
U t +1
R t P(Ut)
V 0,9
F 0,2

Modelos Temporais
Hipótese de Markov: Estado atual depende apenas
de um histórico finito de estados anteriores.
Processos de Markov ou Cadeias de Markov
Processo de Markov de Primeira Ordem:
P(Xt|X0:t-1) = P(Xt|Xt-1)
Usos: Filtragem, monitoramento e suavização

Modelos Temporais
! Redes bayesianas dinâmicas
! Casos especiais:
! MOM – Modelos Ocultos de Markov
! Filtros de Kalman
! Etc.
! Aplicações em PDS/Voz, Imagem, etc
! Fica para a próxima .........................

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