Derivadas apresent definiç_2016
Transferir como DOC, PDF0 gostou209 visualizações
O documento discute o conceito de derivada, sua introdução na física e aplicações em economia. Apresenta a definição formal de derivada e explica como calculá-la para uma função simples usando a definição.
Derivadas apresent definiç_2016
- 1. 2016 D E R I V A D A S - Prof Julio Cezar D E R I V A D A S e suas aplicações.
- 2. 2016- D E R I V A D A S - Prof Julio Cezar D E R I V A D A S . O conceito de Derivada foi introduzido em meados dos séculos XVII e XVIII em estudos de problemas de Física, ligados ao estudo dos movimentos. Entre outros, destacam-se o físico e matemático inglês Isaac Newton (1642-1727) e o filósofo e matemático alemão Gottfried Leibniz (1616- 1716) . As ideias, preliminarmente introduzidas na Física foram, aos poucos, sendo incorporadas a outras áreas de conhecimento. Em Economia e Administração o conceito de Derivada é utilizado principalmente no estudo de gráficos de funções, determinação de máximos e mínimos e cálculo de taxas de variações de funções, particularmente na área econômica (Lucros, Custos, Preços, Receita, etc) Sabemos que uma função f ( x ) = y , definida por uma regra, determina o valor da grandeza y , quando a variável x assume um possível valor real. Para conhecermos os conceitos de Derivadas, vamos analisar a seguinte situação aplicativa: Considere a função R = 200 + 40.x - 4 x² , que calcula o total da receita mensal de uma empresa, em milhares de reais, em função de x, nº de meses a partir de 01/12/2015 ( x = 0) , até 01/06/2016.(x = 6) . Nessas condições, vamos calcular: I. a taxa de variação média da Receita dessa empresa estimada para todo o período de análise do evento (de 01/12/2015 a 01/06/2015). (6 meses de análise) II. a taxa de variação média da Receita dessa empresa estimada para o período de análise do evento (de 01/12/2015 a 01/02/2016). (2 meses de análise) III. a taxa de variação média da Receita dessa empresa estimada para o período de análise do evento (de 01/12/2015 a 01/01/2016). (1 mês de análise) IV. a taxa de variação (marginal) da Receita dessa empresa estimada para o período de análise do evento (de 01/12/2015 a 02/12/2015). (1 dia de análise) A partir da regra da função f (x), podemos obter outra regra (Função Derivada) que permite calcular a taxa de variação “marginal” da função, estimada a partir de qualquer ponto (momento) desejado no evento. Assim, no caso acima apresentado, podemos obter a Derivada a função Receita, que representamos por R ‘(x), que permite calcular a taxa de variação marginal da receita a partir de 01/12/2015, correspondendo à taxa de variação de 01/12 a 02/12/2015. Com esse valor estimado para um dia, (taxa de variação marginal) pode-se estimar a taxa mensal que seria obtido, se as circunstâncias se mantivessem constantes até o final do mês. Assim, será muito importante, matematicamente, obter uma nova regra de cálculo, (FUNÇÃO DERIVADA) , a partir da função principal, pois permitirá determinar a TAXA DE VARIAÇÃO MARGINAL ou INSTANTANEA da grandeza, quando houver uma variação mínima possível da variável ∆ x → 0 A obtenção dessa DERIVADA será efetuada mediante algumas técnicas apresentadas na sequência. Contudo, concluímos inicialmente que podemos utilizar os conceitos de DERIVADA , para determinar a TAXA DE VARIAÇÃO de uma função a partir de um determinado referencial, bem como o valores mínimos e máximos possíveis do valor da grandeza principal. A técnica de cálculo que permite obter essa nova função ”DERIVADA “ é chamada de DERIVAÇÃO ou Diferenciação, apresentado no estudo do Cálculo Diferencial e Integral brevemente.
- 3. OBTENÇÃO DA DERIVADA ATRAVÉS DA DEFINIÇÃO MATEMÁTICA. Derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 Considere a figura abaixo, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de números reais. Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da função y = f(x), quando x varia de x para x + ∆ x : ∆ y = f (x + ∆ x) – f ( x) = f (x + ∆ x) – f ( x) αβDefine-se a derivada da função y = f(x) no ponto x , como sendo o limite da razão incremental acima, quando ∆ x tende a zero, e é representada por f ' (x) , ou seja: lim f (x + ∆ x) – f ( x) = f ‘ (x) ∆ x → 0 ∆ x A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos y ' ou dy/dx. Observe que, quando ∆ x → 0 , o ponto Q no gráfico acima, tende a coincidir com o ponto P da mesma figura, definindo a reta r , que forma um ângulo b com o eixo horizontal (eixo das abcissas), e, neste caso, o ângulo SPQ = α tende ao valor do ângulo β . Ora, quando ∆ x → 0 , já vimos que o quociente ∆y/∆ x representa a derivada da função y = f(x) no ponto x0. Mas, o quociente ∆ y/∆ x representa , como sabemos da Trigonometria, a tangente do ângulo SPQ = α , onde P é o vértice do ângulo. Quando ∆ x → 0 , o ângulo SPQ = α , tende ao ângulo β . Assim, não é difícil concluir que a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0 , é igual numericamente à tangente do ângulo b . Esta conclusão será muito utilizada no futuro. Podemos escrever então: f '(x) = tg α Conclusão Importante: A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , coincide numericamente com o valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x), no ponto x = x0.
- 4. Para obtermos uma expressão matemática que calcule a taxa de variação de uma função f num determinado ponto de análise variável x, devemos fazer com que a variação da grandeza x (∆ x ) seja “ tão pequena “ quanto possível (∆x tender a 0 ) ; (∆ x → 0) . Assim, a variação de y, (∆ y) também ocorrerá, gerando uma variação da grandeza y praticamente no ponto de análise x. Sendo f ( x ) = y uma função . A Derivada de f, indicada por f ‘ ( x ) ou y ‘ é determinada por: DEFINIÇÃO DE DERIVADA Seja o ponto de uma função ( x ; f ( x ) ) Seja (∆ x) o acréscimo de x Então, outro ponto da função é ( x + ∆ x ; f (x + ∆ x ) ). Assim, por definição, f’ ( x ) = dy = lim ∆ y = lim f (x+ ∆ x) - f ( x ) dx ∆ x → 0 ∆ x ∆ x → 0 ∆ x Existem fórmulas para o cálculo das derivadas das funções - as quais serão mostradas no decorrer deste curso - mas, por enquanto, vamos calcular a derivada de uma função simples, usando a definição. Isto servirá como um ótimo exercício introdutório, que auxiliará no entendimento pleno da definição acima. Calcule a derivada da função y = x2 , no ponto x = 10. Temos neste caso: y = f(x) = x2 f(x + ∆ x) = (x + ∆ x)2 = x2 + 2x. ∆ x + (∆ x)2 f(x + ∆ x) - f(x) = x2 + 2x. ∆ x + (∆ x)2 - x2 = 2x. ∆ x + (∆ x)2 Ay = f(x + ∆ x) - f(x) = x2 + 2x. ∆ x + (∆A x)2 - x2 = 2x. ∆ x + (∆ x)2 Portanto, Observe que colocamos na expressão acima, D x em evidencia e, simplificamos o resultado obtido. Portanto a derivada da função y = x2 é igual a dy' = 2x dx Logo, a derivada da função y = x2 , no ponto x = 10 , será igual a : y ' (10) = 2.10 = 20. Qual a interpretação geométrica do resultado acima? Ora, a derivada da função y = x2 , no ponto de abcissa x = 10 , sendo igual a 20, significa que a se, a partir do valor 10, houver uma variação mínima de x, o valor de y terá uma variação estimada de 20 unidades. Representa também o valor da tangente trigonométrica da reta tangente à curva y = x2 , no ponto x = 10 , ou seja, será também igual a 20 , conforme teoria vista acima. Ora, sendo b o ângulo formado por esta reta tangente com o eixo dos x , b será um ângulo tal que tg α = 20. Consultando uma tábua trigonométrica ou através de uma calculadora científica, concluímos que α » 87º 8' 15" . Então, isto significa que a reta tangente à curva de equação y = x2 , no ponto de abcissa x = 10, forma com o eixo dos x um ângulo aproximadamente igual a » 87º 8' 15" . Cálculo de Derivada de uma função através da Definição: a). Seja f(x) = 6x +42 b) Seja f(x) = 2 x ² - 5 c)Seja y = 10 - 3x²