Matemática - Exercícios Resolvidos (Coeficiente Angular)
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1) O documento apresenta 11 exercícios resolvidos sobre geometria analítica. Os exercícios envolvem cálculo de coeficientes angulares de retas, determinação de colinearidade ou perpendicularidade entre retas, conversão entre formas de equações de retas e determinação de equações de circunferências.
Matemática - Exercícios Resolvidos (Coeficiente Angular)
- 1. Exercícios Resolvidos 1) Marque os pontos P = (1, 2) e Q = (−3, 5) no plano cartesiano, dese- nhe a reta determinada por eles e calcule seu coeciente angular. Resolução: Vamos calcular o coeciente angular m da reta: m = yQ−yP xQ−xP = 5−2 −3−1 = −3 4 2) Marque no plano cartesiano os pontos (1,2), (-3,5) e (2,6) e utilize o coeciente angular para determinar se os três pontos são colineares. Resolução: Se três pontos forem colineares então os coecientes angulares das retas determinadas por cada par deles são iguais (anal eles estão sobre a mesma reta). Reciprocamente, se pares distintos de pontos gerarem retas com mesmo coeciente angular, então os três pontos são colineares. Mais ainda, sabemos que se os coecientes angulares distinguirem para pelo menos dois pares de pontos, então os pontos não são colineares. Vejamos o que acontece no nosso caso: Seja m1 o coeciente angular da reta que passa por (1,2) e (-3,5). Já sabemos do exemplo anterior que m1 = −3 4 . Seja m2 o coeciente angular da reta que passa por (-3,5) e (2,6). Então m2 = 6−5 2−(−3) = 1 5 . Logo, como m1 e m2 são diferentes, temos que os pontos (1,2), (-3,5) e (2,6) não são colineares. 3) Marque os pontos (1,2), (-3,5) e (7,10) no plano cartesiano e utilize os coecientes angulares para determinar se os pontos formam um triângulo retângulo. Resolução: Duas retas com coecientes angulares m1 = 0 e m2 = 0 são perpendicu- lares se m1 e m2 satisfazem a relação: m1 = − 1 m2 . Vejamos o que acontece no nosso caso: 1
- 2. Seja m1 o coeciente angular da reta que passa por (1,2) e (-3,5). Já sabemos que m1 = −3 4 . Seja m2 o coeciente angular da reta que passa por (-3,5) e (7,10). Então m2 = 10−5 7−(−3) = − 5 10 = 1 2 . Seja m3 o coeciente angular da reta que passa por (1,2) e (7,10). Então m3 = 10−2 7−1 = 8 6 = 4 3 . Logo, m3 = − 1 m1 e então a reta denida por (1,2) e (-3,5) e a reta denida por (1,2) e (7,10) são perpendiculares. Temos então que os pontos (1,2), (-3,5) e (7,10) formam um triângulo retângulo. 4) Escreva a equação da reta do Problema 1 na forma y = mx + h uti- lizando a forma ponto-coeciente angular para determinar o seu coeciente linear. Resolução: Sabemos que m = −3 4 . Logo, a equação da reta será y = −3 4 x+h. Vamos determinar o coeciente linear h: Sabemos que a reta passa pelo ponto P = (1, 2). Substituindo x = 1 e y = 2 na equação da reta temos: 2 = −3 4 .1 + h ⇒ h = 2 + 3 4 = 11 4 Logo, a equação da reta será y = −3 4 x + 11 4 5) Ache a equação da reta que passa por (5,-2) e é paralela a x + 2y = 3. Resolução: A equação da reta x + 2y = 3 pode ser reescrita como: y = −x 2 + 3 2 . Como retas paralelas possuem o mesmo coeciente angular, queremos achar a reta que possui coeciente angular −1 2 e passa pelo ponto (5,-2). Vamos achar tal equação: y = −x 2 + h ⇒ −2 = −5 2 + h ⇒ h = −2 + 5 2 = 1 2 . Logo, a equação da reta será y = −x 2 + 1 2 . 6) Ache a equação da reta que passa (5,1) e é perpendicular a y +3 = 4x. Resolução: 2
- 3. A equação da reta y + 3 = 4x pode ser reescrita como y = 4x − 3. Logo, o coeciente angular desta reta é m = 4. Já sabemos que uma reta perpendicular a ela deverá ter coeciente an- gular − 1 m = −1 4 . Procuramos então a equação da reta que possui coeciente angular −1 4 e passa pelo ponto (5,1). Vejamos: y = −1 4 x + h ⇒ 1 = −5 4 + h ⇒ h = 1 + 5 4 = 9 4 . Logo, a equação da reta será y = −1 4 x + 9 4 . 7) A equação de uma reta que corta o eixo x no ponto (a,0) e que corta o eixo y no ponto (0,b) pode ser escrita da seguinte maneira: x a + y b = 1 Esta é chamada forma segmentária da equação da reta. Coloque a equação 6x + 9y = 5 na forma segmentária. Resolução: Se y = 0 ⇒ 6x + 9.0 = 5 ⇒ 6x = 5 ⇒ x = 5 6 . Se x = 0 ⇒ 6.0 + 9y = 5 ⇒ 9y = 5 ⇒ y = 5 9 . Logo, a = 5 6 e b = 5 9 , e a forma segmentária da equação da reta será x 5/6 + y 5/9 = 1. 8) Determinar a equação da mediatriz do segmento AB, onde A = (7, 4) e B = (−1, −2). Resolução: A inclinação da reta que contém o segmento AB é m = 4−(−2) 7−(−1) = 3 4 . O ponto médio de AB é 7−1 2 , 4−2 2 = (3, 1). A reta que buscamos passa pelo ponto (3,1) e é perpendicular a reta que contém AB. Logo, sua equação é dada por y = −4 3 x + 5. 9) Achar a equação da reta s cujos pontos são equidistantes das retas r1 : 12x − 5y + 3 = 0 e r2 : 12x − 5y − 6 = 0. 3
- 4. Resolução: Observe que r1 e r2 são paralelas de inclinação 12 5 . Logo, a reta s procu- rada deve ter inclinação 12 5 . Para encontrar um ponto que passe por s considere um reta qualquer que corte r1 e r2, e tome o ponto médio das interseções desta reta com r1 e r2. Escolho aqui o próprio eixo y que intersepta r1e r2 em (0, 3 5 ) e (0, −6 5 ). O ponto médio destes pontos é (0, − 3 10 ). O teorema de Tales garante de (0, − 3 10 ) pertence à reta procurada. Assim s : y + 3 10 = 12 5 (x) ⇒ s : y = 12 5 (x) − 3 10 . 10) Determinar a equação de um círculo, sabendo que A = (−2, 1) e B = (4, 3) são extremidades de um diâmetro. Resolução: O comprimento D do diâmetro é a distância entre (−2, 1) e (4, 3) dada por: D2 = (4 − (−2))2 + (3 − 1)2 ⇒ D = √ 40. Logo, o raio do círculo é √ 40/2. O centro é o ponto médio das extremidades do diâmetro. Portanto, C = −2+4 2 , 1+3 2 ⇒ C = (1, 2). Logo, a equação do círculo é (x − 1)2 + (y − 2)2 = 10. 11) Determinar a equação do círculo de centro em C = (−2, 3) e que é tangente à reta 20x − 21y − 42 = 0. Resolução: O raio do círculo é a distância D entre o centro e a reta dada por: D = |20(−2)−21(3)−42|√ 400+441 = 145 29 = 5 Logo, a equação do círculo será (x + 2)2 + (y − 3)2 = 25. 4