![Ficha de trabalho de Matemática A – 11.º Ano
2019/2020
Miguel Fernandes
1. Esboça os seguintes conjuntos de pontos do espaço e identifica-os:
1.1. (cos 𝑡 , sin 𝑡 , 2), 𝑡 ∈ [0, 2𝜋]
1.2. (1, 1 + cos 𝑡 , −2 + sin 𝑡), 𝑡 ∈ [0, 2𝜋]
1.3. ( 𝑡, cos 𝑡 , 0), 𝑡 ∈ ℝ
2. Escreve a equação do plano que contém as retas com as direções dos vetores 𝑢⃗ = (1, 2, 1) e 𝑣 = (−1, 0, 3) e
que passa no ponto 𝑍(−1, 0, −3).
3. Considera os pontos do espaço que satisfazem cada uma das seguintes condições:
i. ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2, 3, 4) + 𝑘( 𝑚 − 1, 𝑚 − 3, 0), 𝑘 ∈ ℝ
ii. ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−1, 0, 4) + 𝑘(2𝑚2
+ 𝑚 − 3, 2𝑚2
− 3𝑚 − 9, 0), 𝑘 ∈ ℝ
onde 𝑚 é um número real.
3.1. Indica para que valores de 𝑚 cada uma das seguintes condições define uma reta.
Em caso contrário, o que representam as condições i. e ii.? Justifica.
3.2. Admitindo que 𝑚 é tal que cada uma das condições define uma reta, justifica que as retas são estritamente
paralelas.
3.3. Sem efetuar quaisquer cálculos, escreve a equação cartesiana do plano que contém as retas.
3.4. Considera 𝑚 = 4. Determina a distância entre as duas retas.
Nota: A distância entre duas retas 𝑟 e 𝑠 é o menor número do conjunto {𝑃𝑄̅̅̅̅ ∶ 𝑃 ∈ 𝑟 ∧ 𝑄 ∈ 𝑠}.
4. Escreve a equação vetorial da reta de interseção dos planos 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 3 e −𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = −1.
5. Considera o plano definido por 2𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 3.
5.1. Justifica que o ponto de coordenadas 𝐴(0, 4, −2) é exterior ao plano.
5.2. Escreve a equação vetorial da reta que passa no ponto 𝐴 e é perpendicular ao plano.
5.3. Define, através de uma equação, a superfície esférica cujo centro é o ponto 𝐴 e é tangente ao plano.
6. Considera a superfície esférica definida por ( 𝑥 + 2)2
+ ( 𝑦 − 5)2
+ ( 𝑧 − 6)2
= 86.
6.1. Indica as coordenadas do centro e a medida do raio da superfície esférica.
6.2. Justifica que o ponto 𝐵(−1, 3, −3) pertence à superfície esférica.
6.3. Escreve a equação do plano tangente à superfície esférica em 𝐵.
7. Considera os planos definidos por 𝑧 − 𝑥 = 1 e 𝑧 − 𝑥 = 5.
7.1. Justifica que os planos são paralelos.
7.2. Define, através de uma condição, uma superfície esférica tangente aos dois planos.
8. Define, através de uma condição, o plano mediador do segmento de reta [𝐴𝐵], onde 𝐴(−1, 9, 1) e 𝐵(0, 3, −2).](https://image.slidesharecdn.com/fichacres-200101175124/85/Ficha-geometria-11ano-com-resolucao-1-320.jpg)
Ficha geometria 11ano com resolução
- 1. Ficha de trabalho de Matemática A – 11.º Ano 2019/2020 Miguel Fernandes 1. Esboça os seguintes conjuntos de pontos do espaço e identifica-os: 1.1. (cos 𝑡 , sin 𝑡 , 2), 𝑡 ∈ [0, 2𝜋] 1.2. (1, 1 + cos 𝑡 , −2 + sin 𝑡), 𝑡 ∈ [0, 2𝜋] 1.3. ( 𝑡, cos 𝑡 , 0), 𝑡 ∈ ℝ 2. Escreve a equação do plano que contém as retas com as direções dos vetores 𝑢⃗ = (1, 2, 1) e 𝑣 = (−1, 0, 3) e que passa no ponto 𝑍(−1, 0, −3). 3. Considera os pontos do espaço que satisfazem cada uma das seguintes condições: i. ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2, 3, 4) + 𝑘( 𝑚 − 1, 𝑚 − 3, 0), 𝑘 ∈ ℝ ii. ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−1, 0, 4) + 𝑘(2𝑚2 + 𝑚 − 3, 2𝑚2 − 3𝑚 − 9, 0), 𝑘 ∈ ℝ onde 𝑚 é um número real. 3.1. Indica para que valores de 𝑚 cada uma das seguintes condições define uma reta. Em caso contrário, o que representam as condições i. e ii.? Justifica. 3.2. Admitindo que 𝑚 é tal que cada uma das condições define uma reta, justifica que as retas são estritamente paralelas. 3.3. Sem efetuar quaisquer cálculos, escreve a equação cartesiana do plano que contém as retas. 3.4. Considera 𝑚 = 4. Determina a distância entre as duas retas. Nota: A distância entre duas retas 𝑟 e 𝑠 é o menor número do conjunto {𝑃𝑄̅̅̅̅ ∶ 𝑃 ∈ 𝑟 ∧ 𝑄 ∈ 𝑠}. 4. Escreve a equação vetorial da reta de interseção dos planos 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 3 e −𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = −1. 5. Considera o plano definido por 2𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 3. 5.1. Justifica que o ponto de coordenadas 𝐴(0, 4, −2) é exterior ao plano. 5.2. Escreve a equação vetorial da reta que passa no ponto 𝐴 e é perpendicular ao plano. 5.3. Define, através de uma equação, a superfície esférica cujo centro é o ponto 𝐴 e é tangente ao plano. 6. Considera a superfície esférica definida por ( 𝑥 + 2)2 + ( 𝑦 − 5)2 + ( 𝑧 − 6)2 = 86. 6.1. Indica as coordenadas do centro e a medida do raio da superfície esférica. 6.2. Justifica que o ponto 𝐵(−1, 3, −3) pertence à superfície esférica. 6.3. Escreve a equação do plano tangente à superfície esférica em 𝐵. 7. Considera os planos definidos por 𝑧 − 𝑥 = 1 e 𝑧 − 𝑥 = 5. 7.1. Justifica que os planos são paralelos. 7.2. Define, através de uma condição, uma superfície esférica tangente aos dois planos. 8. Define, através de uma condição, o plano mediador do segmento de reta [𝐴𝐵], onde 𝐴(−1, 9, 1) e 𝐵(0, 3, −2).
- 2. Resolução da ficha de trabalho de matemática – 11.º ano 1. 1.1. Trata-se da circunferência contida no plano 𝑧 = 2, centro (0, 0, 2) e raio 1. 1.2. Trata-se da circunferência contida no plano 𝑥 = 1, centro (1, 1, −2) e raio 1. 1.3. Trata-se do gráfico da função 𝑦 = cos 𝑥 contido no plano 𝑧 = 0. 2. Comecemos por encontrar um vetor 𝑛⃗ ortogonal a ambos os vetores fornecidos: 𝑢⃗ = (1, 2, 1) e 𝑣 = (−1, 0, 3). Sejam 𝑛⃗ = (𝑎, 𝑏, 𝑐) as coordenadas desse vetor, obviamente, não simultaneamente nulas. Assim, { ( 𝑎, 𝑏, 𝑐) ∙ (1, 2, 1) = 0 ( 𝑎, 𝑏, 𝑐) ∙ (−1, 0, 3) = 0 ⟺ { 𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 0 −𝑎 + 3𝑐 = 0 ⟺ { − 𝑎 = 3𝑐 ⟺{ 4𝑐 + 2𝑏 = 0 𝑎 = 3𝑐 ⟺ { 𝑏 = −2𝑐 𝑎 = 3𝑐 Logo o vetor que procuramos é da forma 𝑛⃗ = (3𝑐, −2𝑐, 𝑐), 𝑐 não nulo. Tomando 𝑐 = 1, obtemos 𝑛⃗ (3, −2, 1) e, portanto, a equação cartesiana do plano é dada por: 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 𝑑 = 0 onde 𝑑 é uma constante a determinar. Como o plano passa em 𝑍(−1, 0, −3), obtemos: 3 × (−1) − 2 × 0 − 3 + 𝑑 = 0 ⟺ 𝑑 = 6 Logo a equação do plano é 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 6 = 0 3. 3.1. Para que cada uma das condições i. e ii. defina uma reta, é necessário que os respetivos vetores diretores das equações vetoriais não sejam nulos. Comecemos, primeiramente, por observar que: 2𝑚2 + 𝑚 − 3 = (2𝑚 + 3)(𝑚 − 1) e também 2𝑚2 − 3𝑚 − 9 = (2𝑚 + 3)(𝑚 − 3) donde é imediato concluir que a condição ii. define uma reta se e só se 𝑚 for diferente de −1.5, valor para o qual o triplo (2𝑚2 + 𝑚 − 3, 2𝑚2 − 3𝑚 − 9, 0) é nulo, isto é, tem todas as coordenadas nulas. Nesse caso, diremos que esse triplo é o vetor diretor da reta ii. Em relação à condição i., teremos de impor que ( 𝑚 − 1, 𝑚 − 3, 0) não seja nulo. Para isso, basta considerarmos 𝑚 diferente dos números 1 ou 3. Em suma, 𝑚 deverá ser diferente de −1.5 e de um dos números 1 e 3, ou seja, podemos tomar uma das seguintes hipóteses: 𝑚 ∈ ℝ{−1.5, 1} e 𝑚 ∈ ℝ{−1.5, 3}. Se 𝑚 for igual a −1.5 ou simultaneamente igual a 1 e 3, então as condições i. e/ou ii. reduzem-se a um único ponto. 3.2. Atendendo à fatorização da alínea anterior, tem-se: (2𝑚2 + 𝑚 − 3, 2𝑚2 − 3𝑚 − 9, 0) = (2𝑚 + 3)( 𝑚 − 1, 𝑚 − 3,0) e, portanto, os vetores diretores das retas i. e ii. são colineares. Por outro lado, isso não é suficiente para concluir que as retas são estritamente paralelas, pois retas coincidentes também têm vetores diretores colineares. Para verificarmos que, de facto, não estamos perante este último caso, basta verificar que um dos pontos de uma das retas não pertence à outra. Ora, fazendo (−1, 0, 4) = (2, 3, 4) + 𝑘( 𝑚 − 1, 𝑚 − 3, 0) ⟺ ⟺ { −1 = 2 + 𝑘(𝑚 − 1) 0 = 3 + 𝑘( 𝑚 − 3) 4 = 4 ⟺ { −3 = 𝑘𝑚 − 𝑘 −3 = 𝑘𝑚 − 3𝑘 4 = 4 ⟺ 𝑘𝑚 − 𝑘 = 𝑘𝑚 − 3𝑘 ⟺ 𝑘 = 0 o que não faz sentido. Logo o ponto (−1, 0, 4) não pertence à reta i. e, portanto, as retas i. e ii. são estritamente paralelas. 3.3. Trata-se do plano de equação 𝑧 = 0, pois as retas i. e ii. estão contidas nesse plano (isto é fácil de ver tendo em conta que os vetores diretores têm terceira coordenada nula). 3.4. Para 𝑚 = 4, temos as retas definidas por: i. ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2, 3, 4) + 𝑘(3, 1, 0), 𝑘 ∈ ℝ ii. ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−1, 0, 4) + 𝑘(33, 11, 0), 𝑘 ∈ ℝ Fixemos o ponto 𝑃(2, 3, 4) da reta i. e sejam 𝑄 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) as coordenadas do ponto sobre a reta ii. tal que 𝑃𝑄̅̅̅̅ é mínima. É fácil de ver que o ponto 𝑄 satisfaz 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ (3, 1, 0) = 0 ⟺ ( 𝑎 − 2, 𝑏 − 3, 𝑐 − 4) ∙ (3, 1, 0) = 0 ⟺ 3𝑎 − 6 + 𝑏 − 3 = 0 ⟺ 𝑏 = 9 − 3𝑎, isto é, 𝑄 = (𝑎, 9 − 3𝑎, 𝑐), onde 𝑎 e 𝑐 são números reais.
- 3. Como 𝑄 pertence à reta ii., deveremos ter: ( 𝑎, 9 − 3𝑎, 𝑐) = (−1, 0, 4) + 𝑘(33, 11, 0), para algum 𝑘 ∈ ℝ, donde obtemos o sistema { 𝑎 = −1 + 33𝑘 9 − 3𝑎 = 11𝑘 𝑐 = 4 ⟺ { − 9 + 3 − 99𝑘 = 11𝑘 − ⟺ { − 12 = 110𝑘 − ⟺ { 𝑎 = −1 + 33 × 6 55 = 143 55 𝑘 = 6 55 𝑐 = 4 Logo as coordenadas de 𝑄 são 𝑄 = ( 143 55 , 66 55 , 4) e, portanto, a distância entre as duas retas é a norma do vetor 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ , ou seja, ‖𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = √( 143 55 − 2) 2 + ( 66 55 − 3) 2 = √ 10890 3025 = √10890 55 4. Consideremos o sistema cujas equações são as dos planos dados { 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 3 −𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = −1 ⟺ { 𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 − 3 − ⟺ { − −𝑥 + 3𝑦 + 2𝑥 + 𝑦 − 3 = −1 ⟺ { − 𝑥 = 2 − 4𝑦 ⟺ ⟺ { 𝑧 = 4 − 8𝑦 + 𝑦 − 3 − ⟺ { 𝑧 = 1 − 7𝑦 𝑥 = 2 − 4𝑦 Logo a reta de interseção dos dois planos é o conjunto de pontos em ℝ3 (2 − 4𝑦, 𝑦, 1 − 7𝑦), 𝑦 ∈ ℝ. Ora, podemos decompor o ponto genérico (2 − 4𝑦, 𝑦, 1 − 7𝑦) da seguinte maneira: (2 − 4𝑦, 𝑦, 1 − 7𝑦) = (2, 0, 1) + 𝑦(−4, 1, −7), 𝑦 ∈ ℝ sendo esta uma possível equação vetorial da reta de interseção. Neste caso, (2, 0, 1) é um ponto da reta e (−4, 1, −7) é o seu vetor diretor. 5. 5.1. Basta substituir na equação, 2 × 0 + 4 × 4 + 2 = 18 ≠ 3. Logo o ponto é exterior ao plano. 5.2. Tendo em conta que (2, 4, −1) é um vetor normal ao plano, este poderá ser o vetor diretor da reta que procuramos. Assim, ela fica definida pela equação: ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0, 4, −2) + 𝑘(2, 4, −1), 𝑘 ∈ ℝ. 5.3. Comecemos por determinar as coordenadas do ponto de tangência da superfície esférica com o plano. Com base nos exercícios anteriores, temos que esse ponto de tangência é a interseção do plano com a reta perpendicular a ele e que passa no ponto 𝐴, isto é, a reta definida no exercício anterior. Ora, (2𝑘, 4 + 4𝑘, −2 − 𝑘), 𝑘 ∈ ℝ, é um ponto genérico da reta e, substituindo na equação do plano, resulta: 4𝑘 + 16 + 16𝑘 + 2 + 𝑘 = 3 ⟺ 21𝑘 = −15 ⟺ 𝑘 = − 5 7 Logo o ponto de tangência tem coordenadas (− 10 7 , 8 7 , − 9 7 ) e, portanto, o raio da superfície esférica é a distância 𝑟 do ponto 𝐴 ao ponto de tangência, ou seja, 𝑟 = √( 10 7 ) 2 + ( 8 7 − 4) 2 + (2 + 9 7 ) 2 = √ 1029 49 = √1029 7 Logo a equação da superfície esférica 𝑥2 + ( 𝑦 − 4)2 + ( 𝑧 + 2)2 = 1029 49 6. 6.1. O centro tem de coordenadas 𝐶(−2, 5, 6) e raio 𝑟 = √86. 6.2. Tem-se (−1 + 2)2 + (3 − 5)2 + (−3 − 6)2 = 1 + 4 + 81 = 86, logo o ponto de coordenadas 𝐵(−1, 3, −3) pertence à superfície esférica. 6.3. A equação do plano obtém-se fazendo: 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ ( 𝑥 + 1, 𝑦 − 3, 𝑧 + 3) = 0 ⟺ (1, −2, −9) ∙ ( 𝑥 + 1, 𝑦 − 3, 𝑧 + 3) = 0 ⟺ ⟺ 𝑥 + 1 − 2𝑦 + 6 − 9𝑧 − 27 = 0 ⟺ 𝑥 − 2𝑦 − 9𝑧 = 20 7. 7.1. Os planos são (estritamente) paralelos pois os vetores que lhes são normais são colineares.
- 4. 7.2. O centro da superíficie esférica pertence ao plano 𝑧 − 𝑥 = 3 (porquê?). Logo podemos escolher o ponto (1, 0, 4). O raio deverá ser metade da distância entre os dois planos. Consideremos o ponto (0, 0, 1) do plano 𝑧 − 𝑥 = 1. A reta que passa nesse ponto e é perpendicular aos planos é ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0, 0, 1) + 𝑘(−1, 0, 1), 𝑘 ∈ ℝ. Resolvendo a equação 𝑘 + 1 + 𝑘 = 5 ⟺ 𝑘 = 2, tem-se finalmente que a distância entre os dois planos é √(1 + 2)2 + (4 − 3)2 = √10. Logo a superfície esférica é definida por ( 𝑥 − 1)2 + 𝑦2 + ( 𝑧 − 4)2 = 10 4 8. O ponto médio do segmento tem de coordenadas (− 1 2 , 6, − 1 2 ) e o vetor normal ao plano é o vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = (1, −6, −3). Logo a equação do plano é 𝑥 − 6𝑦 − 3𝑧 + 𝑑 = 0 Onde 𝑑 obtém-se − 1 2 − 36 + 3 2 + 𝑑 = 0 ⟺ 𝑑 = 35 Logo, a equação do plano é 𝑥 − 6𝑦 − 3𝑧 + 35 = 0.