Exercicio 5 transformada de fourier no tempo continuo
- 1. Considere um sinal periódico 𝑥(𝑡) = 1 + 1 2 sen(𝜋𝑡) + 1 4 sen(2𝜋𝑡) a) Faça um esboço do módulo da transformada de Fourier do sinal 𝑥(𝑡). b) Para fazer amostragem de 𝑥(𝑡), qual é a mínima frequência de amostragem que é possível usar sem gerar aliasing? Responder com um valor numérico e mostrar a justificativa usando o gráfico gerado no item anterior. c) Seja 𝑥̂(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∙ 𝑝(𝑡) onde p(𝑡) é um trem de impulsos com período 𝑇 = 2/3. Faça um esboço gráfico do módulo da transformada de Fourier do sinal 𝑥̂(𝑡). d) Em seguida, 𝑥̂(𝑡) é utilizado como entrada de um sistema 𝐻 (linear e invariante no tempo) que tem as seguintes características: |𝐻(𝑗𝜔)| = { 𝑇, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 |𝜔| < 𝜋 𝑇 0, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 |𝜔| ≥ 𝜋 𝑇 , e ∠𝐻(𝑗𝜔) = 0, ∀𝜔, gerando a saída 𝑔(𝑡). Faça um esboço gráfico do modulo da transformada de Fourier de 𝑔(𝑡). Respostas: a) Faça um esboço do módulo da transformada de Fourier do sinal 𝑥(𝑡). 𝑥(𝑡) = 1 + 1 2 sen(𝜋𝑡) + 1 4 sen(2𝜋𝑡) sen(𝜔0 𝑡) = 1 2𝑗 𝑒 𝑗𝜔0 𝑡 − 1 2𝑗 𝑒−𝑗𝜔0 𝑡 Série de Fourier: 𝑥(𝑡) = 1 + 1 4𝑗 𝑒 𝑗𝜋𝑡 − 1 4𝑗 𝑒−𝑗𝜋𝑡 + 1 8𝑗 𝑒 𝑗2𝜋𝑡 − 1 8𝑗 𝑒−𝑗2𝜋𝑡 Coeficientes da série: 𝑎0 = 1; 𝑎1 = 1 4𝑗 ; 𝑎−1 = − 1 4𝑗 ; 𝑎2 = 1 8𝑗 ; 𝑎−2 = − 1 8𝑗 Transformada de Fourier relacionada com os coeficientes da Série de Fourier: 𝑋(𝑗𝜔) = ∑ 2𝜋𝑎 𝑘 𝛿(𝜔 − 𝑘𝜔0) ∞ 𝑘=−∞ onde a frequência natural é 𝜔0 = 𝜋 Para 𝑘 = 0, |𝑋(𝑗𝜔)| = √(2𝜋)2 = 2𝜋 Para 𝑘 = 1, |𝑋(𝑗𝜔)| = √( 2𝜋 4 ) 2 = 𝜋 2
- 2. Para 𝑘 = −1, |𝑋(𝑗𝜔)| = √(− 2𝜋 4 ) 2 = 𝜋 2 Para 𝑘 = 2, |𝑋(𝑗𝜔)| = √( 2𝜋 8 ) 2 = 𝜋 4 Para 𝑘 = −2, |𝑋(𝑗𝜔)| = √(− 2𝜋 8 ) 2 = 𝜋 4 Gráfico do módulo da transformada de Fourier b) Para fazer amostragem de 𝑥(𝑡), qual é a mínima frequência de amostragem que é possível usar sem gerar aliasing? Responder com um valor numérico e mostrar a justificativa usando o gráfico gerado no item anterior. O teorema da amostragem requer explicitamente que a frequência de amostragem seja maior que o dobro da frequência mais alta do sinal 𝜔𝑠 > 2𝜔 𝑀 𝜔 𝑀 = 2𝜋 𝜔𝑠 > 4𝜋
- 3. c) Seja 𝑥̂(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∙ 𝑝(𝑡) onde 𝑝(𝑡) é um trem de impulsos com período 𝑇 = 2/3. Faça um esboço gráfico do módulo da transformada de Fourier do sinal 𝑥̂(𝑡). Trem de impulsos 𝑝(𝑡) = ∑ 𝛿(𝑡 − 𝑘𝑇) ∞ 𝑘=−∞ 𝑃(𝑗𝜔) = 2𝜋 𝑇 ∑ 𝛿 (𝜔 − 2𝜋𝑘 𝑇 ) ∞ 𝑘=−∞ 𝑃(𝑗𝜔) = 3𝜋 ∑ 𝛿(𝜔 − 3𝜋𝑘) ∞ 𝑘=−∞ 𝑥̂(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∙ 𝑝(𝑡) 𝑋̂(𝑗𝜔) = 1 2𝜋 𝑋(𝑗𝜔) ∗ 𝑃(𝑗𝜔) |𝑋̂(𝑗𝜔)| = 1 2𝜋 |𝑋(𝑗𝜔)| ∗ |𝑃(𝑗𝜔)| Note que ocorre aliasing, 𝜔𝑠 = 3𝜋
- 4. Gráfico do módulo da transformada de Fourier do sinal 𝑥̂(𝑡) d) Em seguida, 𝑥̂(𝑡) é utilizado como entrada de um sistema 𝐻 (linear e invariante no tempo) que tem as seguintes características: |𝐻(𝑗𝜔)| = { 𝑇, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 |𝜔| < 𝜋 𝑇 0, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 |𝜔| ≥ 𝜋 𝑇 , e ∠𝐻(𝑗𝜔) = 0, ∀𝜔, gerando a saída 𝑔(𝑡). Faça um esboço gráfico do modulo da transformada de Fourier de 𝑔(𝑡). 𝑔(𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ 𝑥̂(𝑡) 𝐺(𝑗𝜔) = 𝐻(𝑗𝜔) ∙ 𝑋̂(𝑗𝜔) |𝐺(𝑗𝜔)| = |𝐻(𝑗𝜔)| ∙ |𝑋̂(𝑗𝜔)|
- 5. Gráfico do módulo da transformada de Fourier da saída 𝑔(𝑡)