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O comportamento mecânico do sistema respiratório pode ser aproximado como
aquele de um balão (os pulmões) conectados em série a um tubo (as vias aéreas).
Vamos pensar em um maquinário (ventilador mecânico) que gera oscilações
periódicas de pressão na abertura do tubo. Tais oscilações resultam em variações do
volume no balão (i.e. nos pulmões), de acordo com a equação:
𝑝(𝑡) = 𝑅
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑣(𝑡)
onde 𝑐 é a pressão na abertura das vias aéreas (i.e. na boca), 𝑣(𝑡) é o volume de ar
nos pulmões, e 𝑅 e 𝐶 são constantes reais positivas (resistência das vias aéreas ao
fluxo de ar e complacência dos pulmões, respectivamente). A variação periódica de
𝑝(𝑡) para gerar variações de 𝑣(𝑡) é um dos princípios fundamentais da ventilação
mecânica, que mantém em vida pacientes que não conseguem respirar
autonomamente.
a) Identifique a equação da resposta em frequência do sistema que tem 𝑝(𝑡) como
entrada e 𝑣(𝑡) como saída.
b) Desenhar o diagrama de blocos do sistema.
c) Identifique a resposta 𝑣1(𝑡) do sistema a uma entrada constante 𝑝1(𝑡) = 𝐴, com 𝐴
real e positivo.
d) Identifique a resposta 𝑣2(𝑡) do sistema a uma entrada 𝑝2(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡
, onde 𝑓 é
real e positiva.
e) Identifique a resposta 𝑣3(𝑡) do sistema a uma entrada 𝑝3(𝑡) = 𝐴 cos(2𝜋𝑓𝑡). Neste
contexto, 𝑓 representa a frequência respiratória e 𝐴 representa a amplitude das
oscilações de pressão.
f) Esboce 𝑝3(𝑡) e 𝑣3(𝑡) no mesmo gráfico, considerando os seguintes valores das
constantes: 𝑅 = 1, 𝐶 = 1, 𝐴 = 5, 𝑓 = 1/(2𝜋). Indique no gráfico o valor da
amplitude dos dois sinais, e do intervalo de tempo (i.e. defasagem) entre os
mínimos de 𝑝3(𝑡) e os mínimos de 𝑣3(𝑡).
R
CV(t)
P(t)
g) Considerando um ventilador mecânico que aplica uma variação de pressão
periódica de equação 𝑝4(𝑡) = 𝐴(1 + cos(2𝜋𝑓𝑡)), qual é valor máximo que a saída
𝑣4(𝑡) pode atingir? Como esse valor varia em função da frequência respiratória 𝑓?
Respostas:
a) Identifique a equação da resposta em frequência do sistema que tem 𝑝(𝑡) como
entrada e 𝑣(𝑡) como saída.
𝑝(𝑡) = 𝑅
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑣(𝑡)
Aplicando a transformada de Fourier
𝑃(𝑗𝜔) = 𝑅𝑗𝜔𝑉(𝑗𝜔) +
1
𝐶
𝑉(𝑗𝜔)
𝑃(𝑗𝜔) = (𝑅𝑗𝜔 +
1
𝐶
) 𝑉(𝑗𝜔)
𝑉(𝑗𝜔)
𝑃(𝑗𝜔)
=
1
𝑅𝑗𝜔 +
1
𝐶
𝐻(𝑗𝜔) =
1
𝑅
1
1
𝑅𝐶
+ 𝑗𝜔
b) Desenhar o diagrama de blocos do sistema.
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑝(𝑡)
𝑅
−
1
𝑅𝐶
𝑣(𝑡)
+
𝑣(𝑡)
1
𝑗𝜔
1
𝑅
𝑝(𝑡)
−
1
𝑅𝐶
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
c) Identifique a resposta 𝑣1(𝑡) do sistema a uma entrada constante 𝑝1(𝑡) = 𝐴, com
𝐴 real e positivo.
𝑃1(𝑗𝜔) = 2𝐴𝜋𝛿(𝜔)
𝑉1(𝑗𝜔) =
1
𝑅
1
1
𝑅𝐶
+ 𝑗𝜔
2𝐴𝜋𝛿(𝜔)
Como 𝛿(𝜔) = 0, ∀𝜔 ≠ 0
𝑉1(𝑗𝜔) =
1
𝑅
1
1
𝑅𝐶
2𝐴𝜋𝛿(𝜔)
𝑉1(𝑗𝜔) = 2𝐶𝐴𝜋𝛿(𝜔)
Aplicando a transformada inversa de Fourier:
𝑣1(𝑡) = 𝐶𝐴
d) Identifique a resposta 𝑣2(𝑡) do sistema a uma entrada 𝑝2(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡
, onde 𝑓
é real e positiva.
𝑝2(𝑡) é uma autofunção do sistema, logo
𝑣2(𝑡) = 𝛼𝐴𝑒 𝑗(2𝜋𝑓𝑡+𝜙)
𝛼 e 𝜙 são o módulo e a fase de 𝐻(𝑗𝜔), respectivamente.
𝐻(𝑗𝜔) =
1
𝑅
1
1
𝑅𝐶
+ 𝑗𝜔
Para 𝜔 = 2𝜋𝑓, onde 𝑓 é a frequência. O módulo é dado por:
𝛼 = |𝐻(𝑗𝜔)| =
1
𝑅
1
√(
1
𝑅𝐶
)
2
+ 4𝜋2 𝑓2
e a fase é dada por:
𝜙 = ∠𝐻(𝑗𝜔) =
∠0°
∠ tan−1 (
𝜔
1
𝑅𝐶
)
𝜙 = −tan−1(𝜔𝑅𝐶)
como função arco tangente é uma função ímpar, logo:
𝜙 = tan−1(−2𝜋𝑓𝑅𝐶)
e) Identifique a resposta 𝑣3(𝑡) do sistema a uma entrada 𝑝3(𝑡) = 𝐴 cos(2𝜋𝑓𝑡).
Neste contexto, 𝑓 representa a frequência respiratória e 𝐴 representa a
amplitude das oscilações de pressão.
Como o sistema é linear e invariante no tempo, quando sujeito a uma entrada
periódica este altera apenas módulo e fase do sinal. Desse modo:
𝑣3(𝑡) = 𝛼𝐴 cos(2𝜋𝑓𝑡 + 𝜙)
𝛼 e 𝜙 são o módulo e a fase de 𝐻(𝑗𝜔), respectivamente, obtidos no item anterior.
f) Esboce 𝑝3(𝑡) e 𝑣3(𝑡) no mesmo gráfico, considerando os seguintes valores das
constantes: 𝑅 = 1, 𝐶 = 1, 𝐴 = 5, 𝑓 = 1/(2𝜋). Indique no gráfico o valor da
amplitude dos dois sinais, e do intervalo de tempo (i.e. defasagem) entre os
mínimos de 𝑝3(𝑡) e os mínimos de 𝑣3(𝑡).
𝑝3(𝑡) = 𝐴 cos(2𝜋𝑓𝑡)
𝑣3(𝑡) = 𝛼𝐴 cos(2𝜋𝑓𝑡 + 𝜙)
𝛼 =
1
𝑅
1
√(
1
𝑅𝐶
)
2
+4𝜋2 𝑓2
=
1
√12+
4𝜋2
(2𝜋)2
𝜙 = tan−1(−2𝜋𝑓𝑅𝐶) = tan−1
(−2𝜋
1
2𝜋
𝑅𝐶) = tan−1(−1) = −
𝜋
4
Substituindo os dados:
𝑝3(𝑡) = 5 cos(𝑡)
𝑣3(𝑡) =
1
√2
5 cos (2𝜋𝑓𝑡 −
𝜋
4
) =
5√2
2
cos (𝑡 −
𝜋
4
)
max(𝑝3(𝑡)) = 5 e max(𝑣3(𝑡)) =
5√2
2
≈ 3,535.
g) Considerando um ventilador mecânico que aplica uma variação de pressão
periódica de equação 𝑝4(𝑡) = 𝐴(1 + cos(2𝜋𝑓𝑡)), qual é valor máximo que a
saída 𝑣4(𝑡) pode atingir? Como esse valor varia em função da frequência
respiratória 𝑓?
Como o sistema é linear e invariante no tempo, podemos usar a propriedade da
superposição. Como 𝑝4(𝑡) = 𝑝1(𝑡) + 𝑝3(𝑡), 𝑣4(𝑡) é dado por:
𝑣4(𝑡) = 𝑣1(𝑡) + 𝑣3(𝑡)
𝑣4(𝑡) = 𝐶𝐴 + 𝛼𝐴 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑡 − 𝜙)
max(𝑣4(𝑡)) = 𝐶𝐴 + 𝛼𝐴
max(𝑣4(𝑡)) = (𝐶 + 𝛼)𝐴
Como 𝛼 =
1
𝑅
1
√(
1
𝑅𝐶
)
2
+4𝜋2 𝑓2
.
Para 𝑓 = 0, 𝛼 = 𝐶 e max(𝑣4(𝑡)) = 2𝐶𝐴
Para 𝑓 = ∞, 𝛼 = 0 e max(𝑣4(𝑡)) = 𝐶𝐴
Logo o valor máximo da saída diminui ao se aumentar a frequência 𝑓.

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Exercicio 7 transformada de fourier no tempo continuo ii

  • 1. O comportamento mecânico do sistema respiratório pode ser aproximado como aquele de um balão (os pulmões) conectados em série a um tubo (as vias aéreas). Vamos pensar em um maquinário (ventilador mecânico) que gera oscilações periódicas de pressão na abertura do tubo. Tais oscilações resultam em variações do volume no balão (i.e. nos pulmões), de acordo com a equação: 𝑝(𝑡) = 𝑅 𝑑𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 + 1 𝐶 𝑣(𝑡) onde 𝑐 é a pressão na abertura das vias aéreas (i.e. na boca), 𝑣(𝑡) é o volume de ar nos pulmões, e 𝑅 e 𝐶 são constantes reais positivas (resistência das vias aéreas ao fluxo de ar e complacência dos pulmões, respectivamente). A variação periódica de 𝑝(𝑡) para gerar variações de 𝑣(𝑡) é um dos princípios fundamentais da ventilação mecânica, que mantém em vida pacientes que não conseguem respirar autonomamente. a) Identifique a equação da resposta em frequência do sistema que tem 𝑝(𝑡) como entrada e 𝑣(𝑡) como saída. b) Desenhar o diagrama de blocos do sistema. c) Identifique a resposta 𝑣1(𝑡) do sistema a uma entrada constante 𝑝1(𝑡) = 𝐴, com 𝐴 real e positivo. d) Identifique a resposta 𝑣2(𝑡) do sistema a uma entrada 𝑝2(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 , onde 𝑓 é real e positiva. e) Identifique a resposta 𝑣3(𝑡) do sistema a uma entrada 𝑝3(𝑡) = 𝐴 cos(2𝜋𝑓𝑡). Neste contexto, 𝑓 representa a frequência respiratória e 𝐴 representa a amplitude das oscilações de pressão. f) Esboce 𝑝3(𝑡) e 𝑣3(𝑡) no mesmo gráfico, considerando os seguintes valores das constantes: 𝑅 = 1, 𝐶 = 1, 𝐴 = 5, 𝑓 = 1/(2𝜋). Indique no gráfico o valor da amplitude dos dois sinais, e do intervalo de tempo (i.e. defasagem) entre os mínimos de 𝑝3(𝑡) e os mínimos de 𝑣3(𝑡). R CV(t) P(t)
  • 2. g) Considerando um ventilador mecânico que aplica uma variação de pressão periódica de equação 𝑝4(𝑡) = 𝐴(1 + cos(2𝜋𝑓𝑡)), qual é valor máximo que a saída 𝑣4(𝑡) pode atingir? Como esse valor varia em função da frequência respiratória 𝑓? Respostas: a) Identifique a equação da resposta em frequência do sistema que tem 𝑝(𝑡) como entrada e 𝑣(𝑡) como saída. 𝑝(𝑡) = 𝑅 𝑑𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 + 1 𝐶 𝑣(𝑡) Aplicando a transformada de Fourier 𝑃(𝑗𝜔) = 𝑅𝑗𝜔𝑉(𝑗𝜔) + 1 𝐶 𝑉(𝑗𝜔) 𝑃(𝑗𝜔) = (𝑅𝑗𝜔 + 1 𝐶 ) 𝑉(𝑗𝜔) 𝑉(𝑗𝜔) 𝑃(𝑗𝜔) = 1 𝑅𝑗𝜔 + 1 𝐶 𝐻(𝑗𝜔) = 1 𝑅 1 1 𝑅𝐶 + 𝑗𝜔 b) Desenhar o diagrama de blocos do sistema. 𝑑𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑝(𝑡) 𝑅 − 1 𝑅𝐶 𝑣(𝑡) + 𝑣(𝑡) 1 𝑗𝜔 1 𝑅 𝑝(𝑡) − 1 𝑅𝐶 𝑑𝑣(𝑡) 𝑑𝑡
  • 3. c) Identifique a resposta 𝑣1(𝑡) do sistema a uma entrada constante 𝑝1(𝑡) = 𝐴, com 𝐴 real e positivo. 𝑃1(𝑗𝜔) = 2𝐴𝜋𝛿(𝜔) 𝑉1(𝑗𝜔) = 1 𝑅 1 1 𝑅𝐶 + 𝑗𝜔 2𝐴𝜋𝛿(𝜔) Como 𝛿(𝜔) = 0, ∀𝜔 ≠ 0 𝑉1(𝑗𝜔) = 1 𝑅 1 1 𝑅𝐶 2𝐴𝜋𝛿(𝜔) 𝑉1(𝑗𝜔) = 2𝐶𝐴𝜋𝛿(𝜔) Aplicando a transformada inversa de Fourier: 𝑣1(𝑡) = 𝐶𝐴 d) Identifique a resposta 𝑣2(𝑡) do sistema a uma entrada 𝑝2(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 , onde 𝑓 é real e positiva. 𝑝2(𝑡) é uma autofunção do sistema, logo 𝑣2(𝑡) = 𝛼𝐴𝑒 𝑗(2𝜋𝑓𝑡+𝜙) 𝛼 e 𝜙 são o módulo e a fase de 𝐻(𝑗𝜔), respectivamente. 𝐻(𝑗𝜔) = 1 𝑅 1 1 𝑅𝐶 + 𝑗𝜔 Para 𝜔 = 2𝜋𝑓, onde 𝑓 é a frequência. O módulo é dado por: 𝛼 = |𝐻(𝑗𝜔)| = 1 𝑅 1 √( 1 𝑅𝐶 ) 2 + 4𝜋2 𝑓2 e a fase é dada por: 𝜙 = ∠𝐻(𝑗𝜔) = ∠0° ∠ tan−1 ( 𝜔 1 𝑅𝐶 ) 𝜙 = −tan−1(𝜔𝑅𝐶) como função arco tangente é uma função ímpar, logo: 𝜙 = tan−1(−2𝜋𝑓𝑅𝐶)
  • 4. e) Identifique a resposta 𝑣3(𝑡) do sistema a uma entrada 𝑝3(𝑡) = 𝐴 cos(2𝜋𝑓𝑡). Neste contexto, 𝑓 representa a frequência respiratória e 𝐴 representa a amplitude das oscilações de pressão. Como o sistema é linear e invariante no tempo, quando sujeito a uma entrada periódica este altera apenas módulo e fase do sinal. Desse modo: 𝑣3(𝑡) = 𝛼𝐴 cos(2𝜋𝑓𝑡 + 𝜙) 𝛼 e 𝜙 são o módulo e a fase de 𝐻(𝑗𝜔), respectivamente, obtidos no item anterior. f) Esboce 𝑝3(𝑡) e 𝑣3(𝑡) no mesmo gráfico, considerando os seguintes valores das constantes: 𝑅 = 1, 𝐶 = 1, 𝐴 = 5, 𝑓 = 1/(2𝜋). Indique no gráfico o valor da amplitude dos dois sinais, e do intervalo de tempo (i.e. defasagem) entre os mínimos de 𝑝3(𝑡) e os mínimos de 𝑣3(𝑡). 𝑝3(𝑡) = 𝐴 cos(2𝜋𝑓𝑡) 𝑣3(𝑡) = 𝛼𝐴 cos(2𝜋𝑓𝑡 + 𝜙) 𝛼 = 1 𝑅 1 √( 1 𝑅𝐶 ) 2 +4𝜋2 𝑓2 = 1 √12+ 4𝜋2 (2𝜋)2 𝜙 = tan−1(−2𝜋𝑓𝑅𝐶) = tan−1 (−2𝜋 1 2𝜋 𝑅𝐶) = tan−1(−1) = − 𝜋 4 Substituindo os dados: 𝑝3(𝑡) = 5 cos(𝑡) 𝑣3(𝑡) = 1 √2 5 cos (2𝜋𝑓𝑡 − 𝜋 4 ) = 5√2 2 cos (𝑡 − 𝜋 4 ) max(𝑝3(𝑡)) = 5 e max(𝑣3(𝑡)) = 5√2 2 ≈ 3,535.
  • 5. g) Considerando um ventilador mecânico que aplica uma variação de pressão periódica de equação 𝑝4(𝑡) = 𝐴(1 + cos(2𝜋𝑓𝑡)), qual é valor máximo que a saída 𝑣4(𝑡) pode atingir? Como esse valor varia em função da frequência respiratória 𝑓? Como o sistema é linear e invariante no tempo, podemos usar a propriedade da superposição. Como 𝑝4(𝑡) = 𝑝1(𝑡) + 𝑝3(𝑡), 𝑣4(𝑡) é dado por: 𝑣4(𝑡) = 𝑣1(𝑡) + 𝑣3(𝑡) 𝑣4(𝑡) = 𝐶𝐴 + 𝛼𝐴 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑡 − 𝜙) max(𝑣4(𝑡)) = 𝐶𝐴 + 𝛼𝐴 max(𝑣4(𝑡)) = (𝐶 + 𝛼)𝐴 Como 𝛼 = 1 𝑅 1 √( 1 𝑅𝐶 ) 2 +4𝜋2 𝑓2 . Para 𝑓 = 0, 𝛼 = 𝐶 e max(𝑣4(𝑡)) = 2𝐶𝐴 Para 𝑓 = ∞, 𝛼 = 0 e max(𝑣4(𝑡)) = 𝐶𝐴 Logo o valor máximo da saída diminui ao se aumentar a frequência 𝑓.