Exercicios-resolvidos-de-calculo-i (1)

333
T g ‰ 3 ‰ 3 6e dQa 7
cb
‰ ˆ ƒ„…‚ 'e dQa cb e:
…„ƒ‚ então
‘ ’ ‰
, . Por outro lado observamos que se , temos que Fazendo
‘ #
…„ƒ‚ © † ‡ © 3 ‰ ‡ © † © 3 ‰
‡
T © † © …„ƒ‚ ˆ 'e r€dQa7
3 c b ca b
‡ © † © 6e
Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão:
w
fxs
vutsvutsq iprehq ipyihf gP X§¨§ ¦ ¥ ©
.
[2] Calcule:
cb
'e dQ$aA

T ` 3 @6 $54I Y §¨§ ¦ ¥ © 3 ( F §¨§¦ ¥ ©
; então: X
' $210S V(
W3
Logo, a condição necessária para que o limite exista é que a primeira parcela seja nula, isto é,
T
U@6 $54I @6 $54IS R
3
( EC
D
P (
Q@6 $54I HGF A 3
D
( EC B
(
@' $940 8) 3 6 %$540% ( 3 (

( 6 %$270%
6 %$540% ' $210
' $210
Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão:
limite.
e calcule o ( ) §¨§ ¦ ¥ © para que exista £ ¡
¤¢ [1] Determine o valor da constante

' %$#!
9.1 Limites
por ceder, gentilmente estes exercícios.
Agradecemos ao Professor Silvio Pinha Gomes do Departameneto de Análise do IME-UERJ,
Exemplos Diversos
Capítulo 9

$
¤ ¦VP © E V © D S ¤ © $ H© © H©
T 3 1$ 1 I 3
V© E
D 1
© $ © H©

4 G 4 E 3 G 4 E 3
4 G 1 4 F
G
P F EG P E E
G
F E A 7 4 F D A 3 7 F D
Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão:
T 7 4 F 3 1
42
§¨§¦¥ ©
E D
[5] Calcule:
. )
‘ 3
e
3 , ou seja e
‘ 3) ‘ 3¢ . Logo, @ 9 A @ 9 31
' 42©
7 C £ B 8 £ £ ‘ 3 'ee 87 §¨§¦¥ se Sabemos que

T ¤ 65655 3 ¤ 65655
3 P ¤ 65655 )
# ) 65655 ) 2 @@ V # @@ V ) 65655 ) 4 @@ V ¤ @@ V
4 A
Solução : Primeiramente reescrevamos a expressão:
5
T ‘ 3 P ¤S65650 ) A 42¥§¦1§¨ © 3
¤ @@ V
tais que ) '
£ ¡ 0( [4] Determine as constantes
$
¤
T ( ¥ b 3 ¡ ¥ V %P P ¤ #‰ C !A X§¨§¦ ¥¡ 3 w ¢¤ P ‰ C A X§¨§¦ ¥¡ 3 © ¡ P 'e ‰ A ©§ §¨§¦¥ ©
‡ †(
e: , então Por outro lado observamos que se
‘ ’ ‰

T ‰ ‰ 3 6e ( ‰ C 3 ‰
que e D 'e ‰ D 6 D
‰ ˆ 3 'e ‰
, temos Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão. Fazendo
6e ( ‰ 6 3 ‰
. © ¨©
§
[3] Calcule:
‡
© P 6e ‰ A ¨ §¦¥
q f w †( ¡
X vutsipq ehyfxs
©
¥
TV b 3 V ¥ ¢¤ ¥ ¢¤
‰ ˆ$ £ ‰ ˆ$ §¨ ¥¦ ¡ 3 V ¦£ ‰ ˆ$ §¨§¦¥¡ 3 vutsripihgP 'e dQ Aa ¨ §¦¥
cb Logo:
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS 334

.
D ( ¨ ( c b $ X© [8] Calcule:
)g¨ D ¦ ' '!''e r€a $%G'e a #!„ §¨§¦¥
. V ( „ „ 3 c c D c ddrddT ˆ gS 3 $ 7
TTTTT D Por outro lado,
„ ‡ 1 † „ # 5 E 9
V ©
V ©

T
$ 7 3 'e 7 §¨ ¥¦ 3 c T T T T T #1 „ „ „ ¨ §¦¥
1I ( 0 ddrddT ( ¥ „ 0 V ¥ „ 0 „ „
. Logo:
TT
D ddT 7
onde
„ c g c ¤ ( E c 9 ¥ „ ( „¥ g V ¥ 3 'e
D„
'
TTTTT
6e 7 #!e 3 c 7I ( 0 ddddT ( ¥ V ¥ 0
Solução : Dividindo os polinômios:
T V ©

TTTTTT
c 70 ( 0 ddrdd#7 ( ¥ „ 0 V ¥ „ I „ §¨ ¥¦
[7] Calcule:
T #A se
D se
(
D 3 se

D D 3 'e ¡
D ¥ ¨
2g¦‘ ‘ Então:
„ © „ „ © „ „ „ „
T 3
( ( S E 41 §¨§¦¥ 3 ( ( p 3 3
( 3 ( p© S E 42¥¦1 §¨ 3 ( 01 „ ( D 42¥§¦1 §¨
§ © (
: . Agora estudemos o caso se logo
„ 2A D D ¥ ¨
2¤g©‘ ‘ 3 6e ¡

'
(© p S E 42¥§¦1 §¨ „ „ „ „ 41 §¨§¦¥ „
‘ 3 ( (p
3 3 ) ( D 3 (
§ © (1 , temos: Se
„ „ „ „ „ D ¤g¦‘
¥ ¥
T D 41 3 D 3 1
42
D
D D 3 „ GD ( D §¨§¦¥ 3 ( g 1 „ D ( D §¨§¦¥ 3 D ¡
(
temos: ; se , então Solução : Observe que, se
D „ 3 „ ‘ 3 i‘ ¡ „ ‘ 3
T 3 1
42
#¤ ¢ F01 „ ( D §¨ ¥¦ 3 6e ¡
‘ £ ( (
[6] Determine a função deﬁnida por:
5 P V © E V©
TD 3 D 341 ¨ §¥ © 3
¦ 7 E 3 1
42
§¨§¦¥ ©
V© E S D
D
Logo:
335 9.1. LIMITES

se
…„…‚
T ‘#A
se
‡ © † ©
‘ 3 se

…„…‚ 3 6e ¡
‘ #¥ ‡ © † ©
é contínua em . Reescrevamos a função: Solução : Claramente, o problema é determinar se
‘ ¡
T‘ 3 se
ƒ„…‚ 3 [1]
se
‘
¨3 ‡ © † © 6e ¡
Analise a continuidade das seguintes funções:
9.2 Continuidade
3
T Y D 3 6e ‰ # 'e ‰ # D ¡§ §¨§¦¥ © X'e ‰ 8'edQb a ‰ # ¡§ §¨§¦¥ ©
¤
c
cb
6e dQa #¢
Logo:

T 6e ‰ # 'e ‰ D 3 'e ‰ # 8'e ‰ # 'e ‰ D 3 6e ‰ # 6erc €b a ‰ #
¤
c
'e rb€a cb
G6e ‰ #! 'e dQa
#¢ 4
, então: pois
‘ ©'e dQa
¨3 c b
' P

'e ‰ A 'e D r€a 3 cb
cb cb cb
P'e r€a 8'e a A D 3 6e a # ( § ¥ dQa ( § ¥ a # 'e r€a 3 ( § ¦ dQa ¥ cb
Solução : Primeiramente reescrevamos o numerador:
§

T 6e ‰ # G'edc Qb a ‰ ¡¨§¨§¦¥ ©
¤
¢
#£4 [9] Calcule:
não existe. cb
© Consequentemente,
w '!'6e $%8'e #
dQa $ w a §¨§¦¥
§¦§¨ ¥ ©
T D 3 5 'e a §¦¨ ¥ © 3

'
© 6e ¡ ©
3 'e a # § §¨§¦¥ 3 6e ¡ § ¨ §¦¥

Então
se T( 3 X
se
( ¤ g¦‘
se
¥ ¨
6e a # 3 6e ¡
‘ ¥
2¤g¨ (
¤ 6e a #
. Logo 3 (
e 3 ( r€a cb ( 3
, então . Se
a 3
, logo 3 cb e
r€a $ cb
então . Se
dQa X ¡ ( '' $$ 6e a #
¨ ‘ ¥ ¨ ‘ , logo
3 6e '¡ e X'e 3¡

e , então
3 '!''e‘ r€a $'$!''e #¥ $6e dc Qa ¥ ¨ 6Xe . Se Solução : Seja
cb ‘ b ‘ ¥
##¨ ( '!''e r€a $%G'e a # 3
cb $ 6e ¡

§ ¨
b
¡ @ 3 [3]
§ ¨
¥ 4§¨1 §¦¥ ¡ 3 6e ¡

¡ © b ¥

¥
s¦
. Figura 9.2: Gráﬁco de
¥ ¦
VV ¥1 s ¢¢ (( 3 6e ¡
-1
-0.5
2 1 -1 -2
0.5
1
não é contínua em . Então,
‘ w
¡ ¡
w ¡ ©

T 3 P ¤ © V D ˆ A § §¦§¨ ¥ © 3 6e ¡ § §¦§¨ ¥ © X e
3 P 5 © V D C A §¦¨ ¥ © 3 6e
¡ §¨§¦¥
D D
, temos:
3 V© ¢ ¤
e
§ © §¨§¦¥ ¢ £

3 V © w © §¨§¦¥ Sabendo que
¡ ¡ ¡
T ¤ © V D V ¡ ¡
3 ¤ © V D 3
D C 3 E ¤5© © D V D
D # © V D 'e ¡
Solução : Reescrevamos a função:
¡
. 5 ¡
© VD 3 [2]
2 © V D 6e ¡
Figura 9.1: Gráﬁco de .
¡
-1
-0.5
6 4 2 -2 -4 -6
0.5
1
não é contínua em . Então
‘ w ¡
T
©
X© e
©
©

3 'e r€a § ¨ §¦¥ 3 'e ¡ § ¨ §¦¥
cb cb
X 3 6e dQa § §¨§¦¥ 3 6e ¡ §¨§¦¥
Logo,
337 9.2. CONTINUIDADE

¥ ©
¥ © w
¤ ¤
e ¥¦
T
X 3 ( a # §¨§¦¥ 3 'e ¡ § §¨§¦¥ 3 §¨¥ © 3 6e ¡ §¨¥ ¥¦ ©

. Por outro lado: , então Solução : Se
3 ( $ a 3 $ ¡ se
3

T %A
se
4 c [1]
%¨g©
¨
© a 3 6e ¡
¤
se
9¤¥
4
Determine as constantes tais que as seguintes funções sejam contínuas:
¡
3 -3
3
£ é contínua em . Então,
¡
T‘ se
2A ' 3 se
‘#¨¤ ‘ 'e ¡
§ ¨
. Reescrevendo a função:
b 3
¥ 4¨1 §¦¥ ¡ , então Se
h ‘ 3 ¡ D ‘ 3
§ ¨
¡V
¢ £¡ 3
T ¤ ¢ 1 3 1 §¥
4¨ 2 ¡
¦ § ¨
3 ¡ b b S ¥ ¥ 4§¨2¥§¦1 ¡
¢ £¡

3 ¤ ¢s h ¡ 1 V 4 ¡ © Sv
Logo:
§
T¡b ¥ ‰ 3 ¡b § ¨ ¥
b § § ¨ § ¨
b b %
¡ b ¥ 3 ¦b ¡ ¡ b ¥ 3 ¡ b S ¥
¡ © § ¨ § ¨ § ¨ § ¨ § ¨
¥ ‰ 3 ¡© ¥ ¡
Sv v © b ¥ 3 ¡ © S ¡ © b ¥ 3 ¡ © b Sv ¥
, então: Se
‘ #A
§ ¨
T b ¥ 42 3 1
‘ 3 ¡ ¡ © b v ¥ §¨ ¥¦ ¡ § ¨

. Logo, 3 1
42 3 41 e , então, Solução : Se
¢ ¤ 3 ¡ b %$ §¨ ¥¦ ¡ ‘ 3 ¡ © b §¨§¦¥ ¡
‘ ¥
#

T 3 ¤ § ( §¨§¦¥ © 3 Y SF ( © ©
y ¡ w § D ¥ § ( §¨ ¥¦ 3 'e ¡ w§ ( §¨ ¥¦
3P ‰ y ( w D ¥

¨§¦§¥ ¡ 3 E!eC ( §¨§¦¥ © 3 'e ¡ ( §¨§¦©
y ‰ y y dQa A y
cb @ DE e y dQa
cb
¤
. Logo: 3 D ¡ , então Se
D 3
TP ‰
‰
y 3 ‰ c b D
3 E!eC c b 3 § 7 b
c
y rb€a A y ‰ y dQa D
@ E!e y r€a yE!'y$ „ d‚c Qa DD e:
, ¥ , então , temos que , fazendo ¥ ƒ…„‚ ¥ …ƒ Por outro lado:
‘ ’ ‰ ¥ D D E! 3 ‰ ‡‡ ( ‡ ¥ ( © † @V© †V 3 ‡ @(( ¥¤ © @V© V †
T ¤ e ( 1e
D (
3 Y )
D
¡ e ( 1e D
§ y ( ¥
Solução : Primeiramente fatoremos os polinômios:
T D2A se ¥
se
¤ H1 © 1 ( © ¥ © P ¢ © 1 P ©
¤
[2]
D 3 se ¥ …ƒ
„ ‚ 3 6e ¡
D ¥
2¤ ‡ @(( ¥¤ © @V© V †
¡
-1
3 -3
1
se

T %A
se
©
a 3
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¨ ¨ se

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9 ¥ ©
. Logo: 3 c , isto é, Como os limites laterais devem ser iguais, temos que e

X 3 c w ©
e
©

T c 3 4 c §¨§¦ ¥ © 3 6e ¡ § §¨§¦¥ ©

X 3 ( a # ¨§§¦¥ 3 6e ¡ §¨§¦¥
então . Por outro lado:
, . Se 3 ¤
, isto é, ¤
X 3 ( a 3 ¡
Como os limites laterais devem ser iguais, temos que
3

X 3 %

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se
5
T %A ¢ V HH©11 © ¥ ¥ © © @V¥ P 1 © P ©
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#
¤
. e que tem soluções
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¤
3 c
¤
. Então, temos o sistema: logo,
Y 3 c
' D © D © ©
Y 3 g4 § §¨¦§¥ 3 g e ( !e § §¨§¦¥ 3 § §¨§¦¥
¤ ¢ £ ¢ £
y ¤ e ( 1e w © 'e ¡ w ©
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¤

3 c ' ( a # §¨§¦¥ 3 6e ¡ §¨§¦¥

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c 3 ¡, e: , então 3 . Se 3 c logo,
¤ ¤
' c 3c ( a §¨ ¥¦ §¨ ¥¦
§ X© 3 ¡ § X©
'
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dQa © 66 # w © 'e w X©
cb ‡
3 P 'e dQ…aA P #6e© † ƒ„…‚ $bA §¨¦§¥ 3 g © † „…ƒ‚ b §¨§¦¥ 3 'e ¡ §¨§¦¥ ‡
¤
, e:
c 3 i‘ ¡ , então Se
‘ 3
D
T g e ( 1e 3 ` ¤ ( Y
¢ £
y ¤ e ( 1e ¥ ¤ ( 'y¤
Solução : Primeiramente fatoremos os polinômios:
V1 V ¡
se

T %A ¢ V 1 H© ¥ ¥ © @V¥ P ©
¤
se [3]
%¨g¦‘ ¨ se
c H© '5 ( © a 1 P ©
V ¥ vutsrq© ipihf ‚
3 6e ¡

‘ ¥
#¤
¡
-1
6 5 4 3 2 1 -1
1
2
3
4
T D2A se ¥
se
¤ H1 © 1 ( © ¥ © P ¢ ©
D 3 se ¥ ƒ…
@V1 „ V P ‚ © 3 'e ¡
D ¥
2 ‡ @(( ¥¤ © @V© V †
¤
e: @V V 3 Então,

¡
0.1 0.05 -0.05 -0.1
T ‘#A se
©‡‡ © @@ V 1 V…„† ƒ‚ ¢ £¡
se †
¤ ¤ ¢
¥£
‘ 3 ‡ 3
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© @VV 1 ¥ 'e ¡
‘ #¥ ( † V ¡ H©
e: , temos que por outro lado,
; ‘ , temos,
‘ y‘ s 3 c § ¨

3 § X§¦§¨ ¥ ©
© i‘ ¡ s 'e ¡ § ¨ § ¨

X© Como:
y‘dc 3 'e ¡ § ¥¦§¨ © ‘yd 3 @ V b ¥ 3 ¢ '8y‘d¤ $ § ¨ §¦¥ ¥ 3 ¢ 68yd5$ ¥ § §¨§¦¥
‘ s ‘ ‘‘
§ ¨
‘‘
T P ¢ '8yd¤%$ ¥ A § X¥¦§¨ © c 3
§ ¨ § ¨

P ‘‘ ‘
68yd¤$ ¥ A § §¦§¨ ¥ © c 3 P 68‘yd¤c $ ¥ A P c c dQ Aa § X¥¦§¨ © 3 'e ¡ § X¥¦§¨ ©
6 c b
¤
. Por outro lado: isto é,
w Y 3
¤
' ¤
¤
# 3 ‘i ¡ 3 Y ( 6e ¡
3 §¦§¨ ¥ ©
¤
. Logo, necessáriamente devemos ter que:
2 3 i‘ ¡ , então 3 Solução : Se
T ‘gA ‡
se © @‡ © „ V ‘ 1ƒ„V…‚† ¢ £¡
se † ¤
[4]
¤ ¤ ¢
¥£

‘ 3 ‡ 3 se
@VV #1 ¥ 6e ¡
‘ ¥
g ‡© ¥† ¡ † H© ¡
¡
6 4 2 -2
1
2
3
4

. , que é paralela à reta [3] Determine a equação da reta normal à curva
‘ 3 ¥ D 8 D ¨
'e c © 3 ¥
T D 3 ¥ D § g!eCD 3 ¥

¥
D
3 ¥ E7 § #!e D 3
Logo, as equações da reta tangente e da reta normal são, respectivamente:
¥
T D 3 $ ( ¤
§ ¤
( D
) ! gˆ G 3 3 (
D 3 V ¤
§ D
( ! g 3 ¥ 3 V ¤
$
tangente e da reta normal à curva são, respectivamente:
Logo, o único ponto de interseção é . Por outro lado, os coeﬁcientes angulares da reta
‘ ' $
T 3 ¦ ‘ 3 2D7 ¦
cb
‘ 3 2D7 r€a 9

, temos: Solução : Determinemos a interseção da curva com o eixo dos . Se
‘ 3 ¥
no ponto onde a curva intersecta o eixo dos .
V (¥ cb ¥
[2] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva
© r€a 9 3
. e , , Então
Y 3 c V 3 V( 3 ) 3
T cb
'e dQa 3
Y
' D ` ( a ' DD a Y 3

' Y a ' D D a ` 3 'e ¡

, logo: e Por outro lado,
cb D
'e ( r€a ˆ
3 6 D a # #8' D ( a # D 3 ' Y a #
T `

6 Y a #
6 DD a # ` 3 'e ¡

; então: e
V 3 V( 3 ) 3 , cuja solução é
'
‘ 3 Y )
3 )
‘ 3 ) obtemos o sistema:
; logo, e , Solução : Primeiramente note que

) 3 ( ¡ Y ) 3 i‘ ¤¡ ) 3 i‘ ¡ e .
c H(' ' ) determine
„
, ¢ , pode ser escrita na forma
£¡ c 'e dQa 3 'e ¡
cb e que
¡
‘ 3 i‘ ‡ † ¡ 3 i‘ ¡¡ 3 i‘ ¡¡ 3 i‘ ¡
, , onde )
£ ¡ ' 0' . Sabendo que [1] Considere a função
3 ( ¡ ' Y a # x' D a ) 3 6e ¡

9.3 Derivada

9.3. DERIVADA 343

Solução : Primeiramente, calculemos os coeficientes angulares que precisamos. O coeficiente
3 ‘ 3 ¥ E! D
D
angular da reta é . O coeficiente angular da reta normal à curva é:
¤

V
S 3 ¥ 3 ( ¤
T 'e c ¨

( 3V
Como as retas são paralelas, temos que ¤ ¤
, isto é:

3 'e c ¨ § 'e ¨ S
3 c D § ¢(¥b 3
logo, temos que
( ¥ b D 3 ( ¥ b c¨ ( ¥ b 3 ¥ . A equação da reta normal à curva que passa pelo
ponto é:
( ¥ b D ' ( ¥ b
§
( ¥ b 7 3 ( ¥ b g ¥
D ¥ T(¥b 3
0.6

0.4

0.2

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

-0.2

-0.4

Figura 9.8: A reta ¥
(¥b 3 .

[4] Determine os parâmetros , e
tais que a parábola
) £ B¡ ¥
) ( 3 tangencie a reta
¥
3
no ponto de abscissa e passe pelo ponto .
‘ ' X$

Solução : Como o ponto
‘ ' X$
deve pertencer à parábola, substituindo na equação, temos
que:
T ‘ 3 ) $
3
Como a parábola deve tangenciar a reta
3 no ponto de abscissa , temos que se
3 ¥ , então
' $ ¥
. Isto é, o ponto é comum à reta e à parábola; substituindo na equação, temos que:
T 3 ) D
O coeficiente angular da reta é ¤
3 e o coeficiente angular da reta tangente à parábola é
¤
D 3 ¥ 3 (, logo ) ( 3V ¤
)
V D 3 $ (
. Como :¤ ¤

T 3 ) D
Logo, de (1), (2) e (3) temos o sitema:
)
‘ 3
) 3
)
D 3 '

344 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

cuja solução é: V 3 3 e ) V( 3 .

2

1

1

Figura 9.9: Exemplo [4].

[5] A forma de uma colina numa área de preservação ambiental, pode ser descrita pela equação
¥
§ § B ‘ ( D C 3
¢
, sendo
£ y ¨ ¨ §
. Um caçador, munido de um riﬂe está localizado no yd
‘‘
ponto . A partir de que ponto da colina, a fauna estará segura?

'

Solução : Denotemos por
¥ ' e 3 7
o ponto além do qual a fauna não pode ser vista pelo
caçador, situado no ponto
‘ ' D
. A fauna estará a salvo, além do ponto onde a reta que liga
7

‘ ' D
à colina seja tangente à mesma.

2

Figura 9.10: Vista bidimensional do problema.

Observe que
5 D 3 ¥
¢ £
é o coeﬁciente angular de qualquer reta tangente à parábola; logo,
no ponto , temos
7 5 D 3 ¥ ¢ £
e a equação da reta tangente é:

¥ T !e'y ¤ D $ 3 ¥
¢ £

Como a reta passa por
‘ ' D , temos:
$ T D 'y 5 D $ 3 ¥
¢ £

7
O ponto também pertence à parábola; então:

T § § ¤ ( ˆ 3 ¥ D
¢ £

9.3. DERIVADA 345

Igualando (1) e (2):
‘ 3 Y e' ` e 3 y Y (
D §
` 3 e T§ 3 ¥
Então,
7 ` A §' ` 3
e a fauna estará a salvo a partir de .
D ' $
[6] A reta tangente à curva
2 ( D ˆ 3 ¥
no ponto é também tangente à curva em
um outro ponto. Ache este ponto.

Solução : O coeﬁciente angular da reta tangente à curva é , como ¥
Y Y 3 D ' $
é um ponto comum à reta e a curva, temos
3 $ ¥

. A equação da reta tangente que passa
pelo ponto é:
D ' $ 3
. Para determinar os pontos comuns à curva e à reta tangente,
¥
resolvemos o sistema:
0 ( # C 3 ¥
D
'
54 3 ¥

obtendo
¡3 ‘ 3 ( # ( e 3 ¤ ( E
D e . O ponto procurado é
‘ ' X$
.

2

-1 1

Figura 9.11: Exemplo [6]

[7] O ponto
7 ' § 3
pertence à parábola
Y 3( ¥ . Determine todos os pontos
8
da parábola
8 7
tais que a normal em passe por

Solução : Um ponto arbitrário da parábola é
(© 3 ¤£V ¢ 3 8 3
e o coeﬁciente angular da reta normal
' ¢

8
à curva é: ¤
. A equação da reta normal à curva no ponto é:
V
T !e D 3 ( Y
¥
Mas a normal passa pelo ponto
' § , logo:

§ D 3 ( Y 3 ` Y ` D § T ‘ 3 Y ' # ' §
D

3V 8
Os pontos procurados são 3 8 ' D $ 3 ( 8 Y ' Y $
, e .
' §


9

4

1
-4 -2 6

Figura 9.12: Exemplo[7].

[8] Nos pontos de interseção da reta com a curva
, traçam-se as
¥
‘ 3 9
¥ ¥ Y ( 3
normais à curva. Calcule a área do triângulo formado pelas normais e pela corda que subtende
os referidos pontos de interseção.

Solução : Determinemos os pontos de intersecção da reta
‘ 3 ¤ ¥ 1
com a curva:
¥
(
¥ Y ¤4 3
¥ T 3
Obtemos
‘ 3 Y e' e 3 Y C ¥ (
; então e
Y 3 3
; logo temos os pontos
7 D ' $ 3
e
7 ¥' Y 3 (
. Por outro lado, os coeﬁcientes angulares das normais são dados por:
V

¤
3 ¢ Y ! D 3
¥
¤
V( 3 $
e ¤
V 3 Y . As equações das normais em (7 V7 e , são respectivamente:
D '
3 ¥
Y T Y D 3 0 ¥

Resolvamos o seguinte sistema para achar os pontos de intersecção das retas normais:

D ¥
4 3

Y ¥ ¢ Y #4C 3
D
obtemos
§ 3 5( 3 ¥
e . Seja
5
' ( § 37 . A área do triângulo de vértices
7 (7 V
, e
7
é dada por

, onde:
(¡ 3

¢ ¥ D 3 ££££ § Y ££££ 3 §

T

T @ ¥Y 3
£ D ¥ ¥ D £
¤

9.3. DERIVADA 347

6

4

2

1 4 6


[9] Esboce o gráﬁco da curva
e ( 3 ( ¥
.
Solução : Primeiramente observamos que se mudamos por , a equação da curva não muda; ¥ ¥ 4 3 6e ¡ 3 ¥

logo a curva é simétrica em relação ao eixo dos . Por outro lado,
# ' $ 3 ¡ , logo
¢ ¤
. Se
¢ ¤
3
, então e se
, então ou
¥
‘ . A curva
‘
‘ ' 3 $¥ ‘ ' i‘ 3
3 ‘ 3
intersecta os eixos coordenados nos pontos
'e ¡ 3 ¥ e . Determinemos os pontos críticos,
derivando e igualando a zero:
‘ 3 4 eCD 3 ¥
D #
§ TD 3
Note que
$ ¥
não existe e é contínua em
¡ ; como 3
, no ponto
¢ ¤
# ' $ 3 ¡ ¢

3
a reta tangente à curva é vertical. Determinemos os pontos extremos, estudando o sinal
D 3
de ao redor do ponto
¥ :
‘ #A ¥ ¦ D 9A
‘#¥ ¥ ¦
'
D 9¥
logo,
D 3
é ponto de mínimo local e
D 3 ¥ . Pela simetria em relação ao eixo dos , se

consideramos ¥
4 C 3

, o ponto
D ' D $ é de máximo. A curva não possui pontos de
inﬂexão ou assíntotas.

2

1

-3 -2 -1 1 2

-1

-2


[10] Dada uma circunferência de raio , determine o comprimento de uma corda tal que a soma
9
desse comprimento com a distância da corda ao centro da circunferência seja máxima?


Solução :

y y

x
r


Com as notações do desenho,
( (9 3 ¥ (9 3 (¥ (
; então . O comprimento da corda é
( ( 9 D 3 'e ¡
; logo
( (9 D 3
. Logo, a função que devemos maximizar é: ¥ 3
D .
Derivando e igualando a zero:
D
T ¥ 9 3 § ¡ ( 9 3 ( ¥ ¦ ( ( 9 G 3 D ¦ ‘ 3 ( ( 9 C 3 'e ¡

Derivando novamente:
(9 D #¥ ¥ Y ¥ 3 9 ¡
( ( ( 9 3 'e ¡

§ T‘ 9 ¥
Logo, ¢$
¤
¥ 3 ¢ ¡
é ponto de máximo e
$
¤
9 .
[11] Determine o cilindro circular reto de volume máximo que pode ser inscrito num cone
circular reto.
Solução :
A

D

y
x
B E C

Figura 9.16: Seção bidimensional do problema.

Com as notações do desenho, sejam e o raio e a altura do cone, respectivamente;
e o raio
a altura do cilindro. Por outro lado, o
9
¥ ¢ £
¤ é semelhante ao ; temos:
§¢ £
¦ ¥

¤ ¨ ¤ ' 9
¦§¢ 3 ¦ §
¢
¥
3 9
9
§ ¥ 3 ¢
9
T $

9.3. DERIVADA 349

O volume do cilindro é
(( 3 ¥ ; logo, de
$ temos que a função a maximizar é:

T ( 9 ¢ 9 ( 3 6e

‘ 3 ' 9 D ¢ ( 3 6e
‘ 3 D 9

§ ou T 3
9
como
‘
¨3 , o único ponto crítico é
( 3 ¤
. Estudemos o sinal de
9D :
D ¤g¥ ‘
¦ ‘ 2A 9 D ¥ 9

2¤ 9 D
‘ ¥ D
¦
T 9 A
Então
( é ponto de máximo. Logo, o cilindro de volume máximo inscrito num cone tem
3 ¤
¥D
¤ ¤
raio da base igual a do raio da base do cone e altura igual a da altura do cone.
[12] Determine o trapézio de perímetro máximo que pode ser inscrito num semi-círculo de raio
9.
Solução :
D y C

x
h

n
A 2r B

Figura 9.17:

O triângulo
¢ ¤
é retângulo pois é inscrito num semi-círculo; note que . Sabe- ¥ c#9D 3
D
mos que num triângulo retângulo, cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e sua
projeção sobre a hipotenusa; logo:
( (
c9D 3( § D 3 c 9
e ¥
D 3 cE9D 3
D 9
9
T
7
Então, o perímetro , é:

7 D g D 3 'e
9
D g ( 9 §
7
( ! g Y 'e
T 9 D 9 3
9
7 ‘ 3 g D 3 6e
D ¦
T9 3
9

T § §
¢ 'e ‰ 9 ¡ 3 § ¢ 6e ‰ 9 3 ¨¢
¢ @ ¢ §
¦( 0D% 3

5 ( e c ¨ 3 @
Solução : Integramos por partes:
. 3 [4] Calcule

¢ ¤ ( e c ¨ 6e ‰ 9 ¡
T ( @
S)0 G E D 3 @ D 3 @ ¢ ¡ 3
logo,
(
¢ ¢ )0 3 @ ¢ § F0S G 3 @(
Agora, fazendo:

T ( 0 G % E ( 0 G 3 ( 0$ G ( 0S E então;
, Solução : Note que
( ( (
rF0 $' ( I$ 3 ) ( 0$9 ( I 3 F0$ G ( 0

( I$ G ( 0S E
. 3 [3] Calcule
¢ ¡
‰
T
‰ 3
c
6e ( dbQD a ‰ 9 3 ( ‰ D ‰ 9 3 ‰ ¢ ( ( ‰ % ¡ 3 ‰ ¢ ‰ S ¡
. Então: § Solução : Fazendo :
¢ 6e a # 3 ‰ ¢
cb
'e r€a 3 ‰
.
cb
dQa c 3 [2] Calcule
¢¥''e e a # 'e SQa
db ¡
T D § ¨
3 D 3 @ ¢ @ 3
ƒ„…‚ 'e ‰ ( ¥ ( @ ¡
¦ §¤ §
…‚ § § ¨
. Então: ‡ © † © ¤‡ © † 3 @ ¢ ¤
Solução : Fazendo :
¢ ©‡‡ † © † ¡ 3 @ ¢ 'e ‰ ¥ 3 @
. ¢
a dQa cb 3 [1] Calcule
§ ¨
£'e 6e# '‰ e ¥
¡
9.4 Integração
9 9
tem base maior igual a , base menor igual a e lados não paralelos iguais a . 9 9
Logo, . O trapézio de perímetro máximo que pode ser inscrito num semi-círculo de raio D 9 ¥ 3 7
9
§
7 7
T #¥ 9
‘ 3 'e

D Derivando novamente:

T ¢ ¡ c ' ¤ ¤ „c ƒD 3 ¢ „
¤
( ¥c ( D ( $ V ¡ [6] Veriﬁque que:

3 . Logo
V V
¥
T D 3 P ‰ 9 G$ ‰ 9 A ( 3 ( @ @ ¢ S V ¥ ( 3 ( @ @ ¢ V ( 3 D

( ( X$ ¡ ¡
então e:
, Observe que a integral deﬁnida não depende da variável de integração. Fazendo ¢ 'e r€a 3 @ ¢
cb

'e a # 3 @
‰ a ‰ a
T ¢ a c b a ( ¢
c b a ( b
£'e'ye ( r#€X% ¡ 3 D § ‰ £ y‰ ( r#€X ¡ 3 ‰ ¢ ‰ d(c Qa ‰ S ( ¡ 3
Logo:
T ‰ a ‰ ( c a a
‰ r€a ‰ ( ‰ ( r€a ‰ ( 'e r€a
c b( # S 3 yb( # % 3 'e ( c #b S lado:
. Por ouro
‘ 3‰ , então( 3 e se
( 3‰ , então ; se
‘ 3 ‰¢ 3 ¢ ‰ ( 3 , Solução : Fazendo
¢ .
a [5] Calcule
£'e6ye ( d#Qa % ¡ 3
c b
T

0 'e ‰ 9 P gG¤ ( e c ¨ A P 8'e ‰ 9 ( 0$ A D 3 @ ¢ § ¡ § @ 3
Então:
' V

8'e ‰ 9 3 @ ¢ § ¡
V
e: 1 ©
V Voltando a :
© 8'e ‰ 9 3 P 'e ‰ 9 ¤
( eeA 1 © © 3 @ ¢ §
TD D 3 D 3

6e ‰ 9 ¤ ( e 6e P ‰ 9 7 A D 'e ‰ 9 (
¢ ( ( D 3 V

¢ £FI ˆ ¡ ¡ D 6e ‰ D 9 ( 3 ¢ FI ¡ D
( 'e ‰ 9 (
Logo:
T D 3 § §
( ¢ 3 §¢
(
FI¢ 3 @ ¢ §
'e ‰ 9 3 @
. Para achar , novamente integramos por partes: § V Denotemos por

¢ 6e ‰ 9 ¡ 3
351 9.4. INTEGRAÇÃO

relação ao eixo dos . Determinemos as interseções das curvas com os eixos coordenados. Se ¥
Solução : Se mudamos por , as equações não mudam, logo as curvas são simétricas em
C
. ¢ ¡
, onde e
¥ 1 ( 3 ¥ ( ¥ D 3 (
[7] Determine a área da região limitada pelas curvas
T ¤ ¤ c„ D
¤ 3
¤
( ¥c ( D

c
T T 5 D „ 3
ddT
( c ¤# c T T ¥ Y ¦ £D ¢ ( D „
D 3

¤ c D c D § ET T c D E ddT ¥ Y £ ©D ¡
ddT
( c D ¤# c CD Y ©D ' ¤©D ' D ¨D ' D ¢$
, então:
c D
¤ c E TdTdT TT
£ ¢ por Multipliquemos
c DD ¤ c DD E ddT §§ YY £DD ¢
D $
TT „
¢
T $
¤ c E§ c T ddT ¥ 3
c BD¤ Egc D D Ed T T § ¦ Y £B¢ ¥
D D d D ¦
.
.
.
¢
£ ¥ £ ¢ 3 3
` § Y £D ¢ `
¢
¥ £ ¢ 3 ¢ 3
§ ¥Y £D ¢ V( ¥§

£ ¢ 3 3 (
Y £D ¢ Y

¡ 3 3 3 V
D ¡ D D
V ¥„ „
, logo:
3 ‰ ¢ ‰ a #
3 , como ¤c c D 3 isto é
„ ( ¡ D
' c
„ c 3
D E ‰ ¢ ‰ V ¥ ( a # D
„ ( ¡ 3

‰ ¢ ‰ „ D
( a # ( ¡ c E ‰ ¢ ‰ V ¥ ( a # ( ¡ c D
„ £
„
‰¢ cb 3

D
‰ ( dQa ‰ V ¥ ( a # ( ¡ c g ( £££ ‰ r€a ‰ ( a # cb „
integrando por partes:
„ „ „
¢ ‰ ¢ ‰ V 1 ( a #
( ¡ 3 ¢ ( ˆ$ V ¡ 3
, então: ‰¢ „ „ cb „ outro lado,
. Por ( 3 ‰ , então e se , então ; se
‰ V 1 ( a # 3 3 ‰ ¢ ‰ ‰ a ¢ # ‰ a ‰ ( 3 r€a ¢ , ˆ‰ dQ3b a 3 ¢ ( ˆ$ Solução : Fazendo
3 ‘ 3‰ ‘
# c

9.4. INTEGRAÇÃO 353
‘ 3 ‘ 3 ( ‘ 3 ¥ ‘ 3 ‘ 3 ' ' i‘ ‘ ' i‘
, então ¥e ; se , então ¥ ; logo os pontos e são os
© P
pontos de interseção das curvas com os eixos coordenados. Escrevendo ¥ 1 © 3 ¥ e ,
¡( 3
determinamos a interseção das curvas, resolvendo o sistema:
¥ ¢
©( 3

P
¥ ' 1 © 3
‘ 3 g ( (
donde,
D
; fazendo temos
@ ( 3 e . Note que

3 ‘ 3 g @ ( ( @
D
‘ 3
é o único ponto crítico de ambas as curvas; para a parábola é um ponto de mínimo e para
a outra curva é um ponto de máximo.

Figura 9.18: Região do exemplo [7].

Pela simetria da região, calculamos a área no primeiro quadrante e multiplicamos o resultado
por 2: (
T T @ P D !(A ( 3 ¢ ¢ D F F ¡ ¡ D 3
( (

‘ 3 (¥ ¤
[8] Determine a área da região limitada pela curva e pelos eixos coordenados.
Solução : Se mudamos por e por
ˆ
, a equação não muda, logo a curva é simétrica
¥ ¥
em relação ao eixo dos e dos . Determinemos os pontos de interseção da curva com os eixos
coordenados. Se , então
‘ 3 ( e

e se , então
‘ 3 ¥ ‘ 3¥ ¥
; logo os pontos
‘ 3 ,
‘ ' X$ ‘ ' i‘

‘ $
e são os pontos de interseção da curva com os eixos. Consideramos ; logo ¥
( ˆ ( 3
' ' X$ '
¡
. Não é difícil ver que em
‘ 3
a curva possui um ponto de mínimo local e que
3 ¤$
são pontos de máximo local.

0.4

-1 1


.

se a esfera tem raio ¢ [10] Determine o volume da calota esférica de altura
¥ 5 ¥ ¢ ¥ ¢ ¥ ¢ ¥ 3
G G G
T T @ ‘ D 3 ¥ ¢ #
V ¡ V ¡ Y ¢ ¡D Logo:
6 5 4 3 2 1
4
5
9
10
. logo
, ¥ 3 ¥ obtemos e de , logo D 3
obtemos ; de , logo obtemos De
3 ‘ d 3 ¥ D § 3 3 ¥ $
3 ( ¥ 3 ( ¥ § 3 ( ¥ Y
§ 3 ( ¥ Y ` 3 ( ¥ D ` 3 ( ¥ $
Solução : Determinemos as interseções das curvas:
e o eixo dos . ¥ ¥
, , [9] Determine a área da região limitada pelas curvas
‘ 3g(
‘ 3 § ( ¥ Y ‘ 3 ` ( ¢ ¥
T T @ `( 3
‰¢
‰ Y a # ˆ@
Y 3 ‰¢ cb

D 3
( ¡
‰ D ( dQa ( ¡
‰¢ ‰ ‰ cb
‰ ‰ ‰ cb D 3
( a # r€a D ( ¡ D 3 ¢ ( a # ( dQa ( ¡
; então:
b
‰ ¢ ‰ ( a # ‰ ( cdQa 3 ¢ ( ˆ ( ‰ ¢ ‰ a # 3 ¢ e , então cb
‰ dQa 3 Fazendo
T
¢ ( ˆ G ( V ¡ D 3
por .
Pela simetria da região, calculamos a área no primeiro quadrante e multiplicamos o resultado D

9.4. INTEGRAÇÃO 355

R

h


Solução : Fazendo uma rotação da esfera se for necessário, consideramos ¥
( F ( 3

ea
seguinte região:

R-h
R

Figura 9.22:

Logo:

¡¡ ¤¡ ( ) ( ( ¢ ( ££ 1 ( A ( ( ¢
( 3 ¢ (

G
( 3

3 P ££

( 3 ¢ @ T §T

¢£¥ ¢£¥ ¢ £¥
P ( D 3
Em particular, se , então 3 3 ¢ é o volume da semi-esfera de raio ; se então

¢

3 P
é o volume da esfera de raio

.

[11] Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada pelas
5 © ¥ b 3 ¥ # © ( ¥ b 3

curvas ¥ , e o eixo dos , em torno do eixo dos .

Solução : Determinemos os pontos de interseção das curvas:
# ©( ¥b 3 ‘ 3 D © ¥ b ©( ¥b D 3 ©¥b
¥
¥
¤ © ¥ b 3 § § § T D c ¨ 3


3

2

1

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2


Logo:
( ¤ © ¥ b ¡ ¡ ( 3
¢ P © ¥ b g © ( ¥ b © ¥ b UA ¡ ( 3 ¢ ¢ ( # © ( ¥ b
D

‡ †( ¡¥ y
†(‡ ¡¥
T §T „ @ ( Y 3 „
[12] Calcule o comprimento de arco da curvas
§ 3 (¥ ( ( 3¥¥ situado dentro do círculo .
Solução : Determinemos os pontos de inteseção das curvas:
( 3 ¥¥ ‘ 3 § ¥ § ( ¥ ¥ '# ¥ 3 § ( ¥ ¥ ¥

§ 3 (¥ ( § § ¥ T 3

2

1

-2 -1 1 2

-1

-2


Pela simetria da curva, consideremos
( ¥¥ 3 , derivando
( V ¥ ¢ ($ 3
¡ ; então:

¢
Y D ¡ D
¥ ¥ V
T¥¢ Y 3
Fazendo @ ¢ ¢ 3
, obtemos:
¢
` ¡ ¢ 1V
Y
¥Y 3 V
@ ¢ @ TT D 3 ¢ @

Solução : Devemos calcular a área da região ilimitada:
e o eixo dos . , [14] Calcule a área da região limitada pela curva
£ (
9 ¤ e8) 3 ¥

.
D cb cb
T @ ( ( 3 P ¡ r5 ¡ D r€a ` G ¡ Y r€a A D ( §¨§¦¥ @ 3 Logo:
(
cb
T P ¡ Dr5 ¡ D r€a ` G ¡ Y r€a A D 3
cb
(
D cb b
P ‰ r¢ ‰ D r€a ` 8 ‰ Y cr€a A ( D 3 ¢ D D ¡ D
¢
. Então: ; se cb ¡
( 3 ‰ § ¥ D’ ¡ ( 3 ‰ ( dQa § ¢3 ‘ 3 ‰ § ‘ 3 e Temos,
T‰¢ c
‰ dbQa ( ` 3 ¢ D 3 ¢ D D
. Por outro lado:
c
‰ ¢ ‰ a # ‰ dbQa Y 3 ¢ , temos que cb
‰ ( r€a D 3 Fazendo
w ¢
T @
¢
¢ D D ¡ (§¨§¦¥ D 3 ¢ D D ( ¡ D 3
¢
e: 3 ¥ ; então consideramos A equação da assíntota é
E
© ¦%©¥P ( D 3
eixo dos . Note que a curva intersecta os eixos na origem.
Solução : Se mudamos por , a equação não muda, logo a curva é simétrica em relação ao ¥ ¥
¢
. e sua assíntota, [13] Calcule a área da região determinada por
‘ ¨3 © P %©¥ ( 3 ( ¥
357 9.4. INTEGRAÇÃO

T T @ 3
) ) ) )

3 41
D c ¨ 4ˆ

P D c ¨ ¤ @ c ¨ A §¨ ¥¦ 3 P D c ¨ ˆ¤ c 3 §¨1 ¥¦ 3
3

¤ ) V ¨ A 41 3

P D c ¨ G¤ ) c ¨ S¤ ) ) c 4¨2¥§¦1 3 ¢ ¢ ¤ (
3

¨ UA ¡ ¡ §¨ V¥¦

V 3
(
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