Funcoes gaia

www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br
FUNFUNÇÇÕESÕES

P
x
y
O
y
x
P(x, y)
abscissa do
ponto P
ordenado do
ponto P
No caso, x e y são as
coordenadas de P.

xO
y
E
A
F
B
C D
E (x, 0)
A (+, +)
C (0, y)
B (–, +)
C (–, –)
D (+, –)

FUNFUNÇÇÃOÃO
DEFINIDEFINIÇÇÃOÃO
Sejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relaSejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relaçção R de Aão R de A
em B, essa relaem B, essa relaçção serão seráá chamada de funchamada de funçção quandoão quando parapara
todotodo e qualquer elemento de A estiver associado ae qualquer elemento de A estiver associado a umum úúniconico
elemento em B.elemento em B.
A relaA relaçção binão bináária h = {(x;y)| x > y}ria h = {(x;y)| x > y}
y>x
A
B
2
4
1
3
5
h: {(2;1), (4;1), (4,3)}h: {(2;1), (4;1), (4,3)}
A relaA relaçção binão bináária g = {(x;y)| y= x + 3}ria g = {(x;y)| y= x + 3}
3xy +=
2
4
1
3
5
g: {(2;5)}g: {(2;5)}
A B
NÃONÃO ÉÉ FUNFUNÇÇÃOÃO NÃONÃO ÉÉ FUNFUNÇÇÃOÃO

c) A relac) A relaçção binão bináária f = {(x;y)| y = x + 1}ria f = {(x;y)| y = x + 1}
1+= xy
A B2
4
1
3
5
f: {(2;3), (4;5)}f: {(2;3), (4;5)}
ff éé uma funuma funçção de A em B, poisão de A em B, pois todotodo
elemento de A estelemento de A estáá associado aassociado a umum
úúniconico elemento em Belemento em B
ELEMENTOS DE UMA FUNELEMENTOS DE UMA FUNÇÇÃO: f: AÃO: f: A →→→→→→→→ BB
DOMDOMÍÍNIO: A = {2, 4}NIO: A = {2, 4}
CONTRA DOMCONTRA DOMÍÍNIO: B = {1, 3, 5}NIO: B = {1, 3, 5}
CONJUNTO IMAGEM: Im (f) = {3, 5}CONJUNTO IMAGEM: Im (f) = {3, 5}

x
y
0 1 2 3 4
Não é função

Considere a funConsidere a funçção f: Aão f: A →→→→→→→→ B definida porB definida por y = 3x + 2, podey = 3x + 2, pode--sese
afirmar que o conjunto imagem de fafirmar que o conjunto imagem de f éé::
23 += xy
A B 23 += xy
521.3 =+=y1
2
3
5
8
11
15
17
822.3 =+=y
1123.3 =+=y
23)( += xxf
→
→
→
5)1( =f
8)2( =f
11)3( =f
}11,8,5{)Im( =∴ f

GRGRÁÁFICO DA FUNFICO DA FUNÇÇÃO f: AÃO f: A →→→→→→→→ B definida por y = 3x + 2B definida por y = 3x + 2
Pares Ordenados Obtidos: {(1,5); (2,8); (3,11)}Pares Ordenados Obtidos: {(1,5); (2,8); (3,11)}
1 2 3
11
8
5
x
y

1 2 3
11
8
5
x
y
GRGRÁÁFICO DA FUNFICO DA FUNÇÇÃO f:ÃO f: ℜℜℜℜℜℜℜℜ →→→→→→→→ ℜℜℜℜℜℜℜℜ definida por y = 3x + 2definida por y = 3x + 2

x
y
0
2
4 10
8
D = [4, 10[
Im = [2, 8[
D = {x ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ/4 ≤≤≤≤ x < 10}
Im = {y ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ/2 ≤≤≤≤ x < 8}
Domínio
Imagem

Seja o gráfico abaixo da função f, determinar a soma dos números associados às
proposições VERDADEIRAS:
01. O domínio da função f é {x ∈ R | - 3 ≤ x ≤ 3}
02. A imagem da função f é {y ∈ R | - 2 ≤ y ≤ 3}
04. para x = 3, tem-se y = 3
08. para x = 0, tem-se y = 2
16. para x = - 3, tem-se y = 0
32. A função é decrescente em todo seu domínio
V
V
(3,3) ou f(3) = 3
(0,2) ou f(0) = 2
(-3,2) ou f(-3) = 2
V
V
F
F

FUNFUNÇÇÃO POLINOMIAL DO 1ÃO POLINOMIAL DO 1ºº GRAUGRAU

y = f(x) = ax + b
a > 0
y
D = ℜℜℜℜ Im = ℜℜℜℜ
FUNÇÃO
CRESCENTE
(0, b)
x
y
(0, b)
x
FUNÇÃO
DECRESCENTE
a < 0
Raiz ou
zero da
função
y = 0

y = x – 2
y
(0, -2)
x2 3
1
4
2
5
3
y = 3x – 6 y
(0, -6)
x2 3
3
4
6
5
9
CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR – TAXA DE VARIAÇÃO
∆x
∆y
a =

Seja f(x) = ax + b. Sabe-se que f(3) = 5 e f(-1) = - 3. Dê o valor de f(8).
f(3) = 5
f(-1) = -3
(3, 5)
(-1, -3)
y = ax + b
5 = a(3) + b
-3 = a(-1) + b



=+
=+
3-ba-
5b3a
a = 2 b = - 1
f(x) = ax + b
f(x) = 2x – 1
Logo: f(8) = 2.8 – 1 f(8) = 15

Sabe-se que o valor de um carro novo é R$ 30 000,00 e, com 4 anos de uso, passa
a ser R$ 20 000,00. Considerando o decrescimento linear, obtenha o valor desse
carro depois de 8 anos de uso.
x(anos)
y(reais)
0 4
30 000
20 000
Função do 1º grau:
f(x) = a.x+ b
P1(0,30000)
P2(4,20000)
30000 = a.0 + b
b = 30000
20000 = a. 4 + 30000
a = -2500
f(x) = a.x+ b
f(x) = -2500x+ 30000
f(8) = -2500.8+ 30000
f(8)f(8) == 10 00010 000
Portanto após 8 anos o
valor do carro será R$ 10000,00
y = a.x+ b
y = a.x+ b

O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste.
Sabendo-se que hoje ela vale R$800,00, e que daqui a 5 anos valerá R$160,00,
o seu valor, em reais, daqui a três anos será:
x(anos)
y(reais)
0 5
160
800
f(x) = a.x+ b
P1(0,800)
P2(5,160)
800 = a.0 + b
b = 800
160 = a. 5 + 800
-640 = 5a
a = -128
f(x) = a.x+ b
f(x) = -128.x+ 800
f(3) = -128.3+ 800
f(3)f(3) == 416416
Portanto após 3 anos a
Máquina valerá R$ 416,00

A semi-reta representada no gráfico seguinte expressa o custo de produção C,
em reais, de n quilos de certo produto.
C(reais)
x(quilogramas)0 20
80
180
Se o fabricante vender esse
produto a R$ 102,00 o quilo,
a sua porcentagem de lucro
em cada venda será?
f(x) = a.x+ b
P1(0,80)
P2(20,180)
80 = a.0 + b
b = 80
180 = a. 20 + 80
20a = 100
a = 5
f(x) = a.x+ b
f(x) = 5.x+ 80
f(1) = 5.1+ 80 ⇒⇒ f(1) = 85f(1) = 85
R$ 85 ⇔ 100%
R$102 ⇔ x
x = 120%
LUCRO DE 20%

Um camponês adquire um moinho ao preço de R$860,00. Com o passar do tempo,
ocorre uma depreciação linear no preço desse equipamento. Considere que, em 6
anos, o preço do moinho será de R$ 500,00. Com base nessas informações, é correto
afirmar:
x(anos)
y(reais)
0 6
500
860
f(x) = a.x+ b
A(0,860)
B(6,500)
860 = a.0 + b
b = 860
500 = a. 6 + 860
-360 = 6a
a = -60
f(x) = a.x+ b
f(x) = -60.x+ 860
a) f(3) = -60.3+ 860
f(3) = 680
A
B
F
b) f(9) = -60.9+ 860
f(9) = 320
F
c) f(7) = -60.7+ 860
f(7) = 440
F
d) - 60x + 860 < 200
-60x < -660
x > 11anos
F
e) f(13) = -60.13+ 860
f(13) = 440
f(13) = 80
V

Em um termômetro de mercúrio, a temperatura é uma função afim (função do 1o
grau) da altura do mercúrio. Sabendo que as temperaturas 0oC e 100oC
correspondem, respectivamente, às alturas 20 ml e 270 ml do mercúrio, então a
temperatura correspondente a 112,5 ml é
ml
temperatura0 100
20
270
f(x) = a.x+ b
P1(0,20)
P2(100,270)
20 = a.0 + b
b = 20
270 = a. 100 + 20
100a = 250
a = 2,5
f(x) = a.x+ b
f(x) = 2,5.x+ 20
y = 2,5x + 20
112,5 = 2,5x + 20
92,5=2,5x
37°C = x

FUNFUNÇÇÃO POLINOMIAL DO 2ÃO POLINOMIAL DO 2ºº GRAUGRAU

y = f(x) = ax2 + bx + c
Vértice
(0,c)
xV
yV
x1 x2
Vértice
(0,c)
xV
yV
x1 x2
y
x x
y
a > 0 a < 0
RaRaíízeszes : x: x11 ee xx22
ax2 + bx + c = 0 2 4
V V
b
x e y
a a
− −∆
= =

RESUMO GRÁFICO
∆∆∆∆ > 0
x1 ≠≠≠≠ x2
x1 x2
y
x
∆∆∆∆ = 0
x1 = x2
x1 = x2
x
y
∆∆∆∆ < 0
x1, x2 ∉∉∉∉ R
x
y

Após o lançamento de um projétil, sua
altura h, em metros, t segundos após o
seu lançamento é dada por
h(t) = – t2 + 20t. Em relação a este
lançamento, analise as afirmações a
seguir.
l. A altura máxima atingida pelo projétil
foi de 10m.
ll. O projétil atingiu a altura máxima
quando t=10s.
lll. A altura do projétil é representada por
uma função polinomial quadrática cujo
domínio é [0,20].
lV. Quando t = 11, o projétil ainda não
atingiu sua altura máxima.
Todas as afirmações corretas estão em:
a) I – III b) I – II – IV c) II – III d) III – IV
ACAFE – SC PUC – PR
O lucro de uma determinada
empresa é dado pela lei
L(x) =L(x) = -- xx22 + 8+ 8xx -- 77, em que x é a
quantidade vendida (em milhares de
unidades) e L é o lucro (em reais). A
quantidade que se deve vender para
que o lucro seja máximo bem como
o valor desse lucro são,
respectivamente:
A) 3.000 unidades e R$ 6.000,00
B) 4.000 unidades e R$ 9.000,00
C) 4.000 unidades e R$ 8.000,00
D) 5.000 unidades e R$ 12.000,00
E) 4.500 unidades e R$ 9.000,00

UFSC – SC
Se o lucro de uma empresa é dado por
L(x) = 4(3 – x)(x – 2), onde x é a
quantidade vendida, então o lucro da
empresa é máximo quando x é igual a:
UFSC – SC
O lucro, em reais, para a comercialização
de x unidades de um determinado
produto é dado por
L(x) = - 1120 + 148x – x2. Então, para que
se tenha lucro máximo, deve-se vender
quantos produtos?
UFSC - SC
Tem-se uma folha de cartolina
com forma retangular, cujos lados
medem 56cm e 32cm e deseja-
se cortar as quinas, conforme
ilustração a seguir. Quanto
deve medir x, em centímetros,
para que a área da região
hachurada seja a maior possível?
GABARITO: 11

PARIDADE DE FUNPARIDADE DE FUNÇÇÕESÕES

FUNFUNÇÇÃO PAR OUÃO PAR OU ÍÍMPARMPAR
FUNÇÃO PAR
VALORES SIMÉTRICOS DE X
IMAGENS IGUAIS
f(x) = x2 – 4
f(-3) = (-3)2 – 4 =
f(3) = (3)2 – 4 =
5
5
FUNÇÃO ÍMPAR
IMAGENS SIMÉTRICAS
f(x) = x3
f(-4) = (-4)3 =
f(4) = 43 =
- 64
64
f(-x) = f(x) f(-x) = - f(x)

FUNÇÃO PAR
IMAGENS IGUAIS
FUNÇÃO ÍMPAR
IMAGENS SIMÉTRICAS
f(-x) = f(x)
f(-x) = - f(x)
FUNFUNÇÇÃO PAR OUÃO PAR OU ÍÍMPAR?MPAR?
1) f(x) = 4x3 + x
GRÁFICO SIMÉTRICO AO EIXO Y
GRÁFICO SIMÉTRICO EM RELAÇÃO
A ORIGEM
2) f(x) = 3x4 + 5x2
3) f(x) = 5x4 + 2x3
4) f(x) = sen x
5) f(x) = cos x
6) f(x) = tg x
ÍÍMPARMPAR f(-x) = - f(x)
f(-2) = - f(2)
PARPAR f(-x) = f(x)
f(-3) = f(3)
SEMSEM
PARIDADEPARIDADE
ÍÍMPARMPAR sen(-x) = - sen(x)
sen(-30°) = - sen(30°)
PARPAR
cos(-x) = cos(x)
cos(-30°) = cos(30°)
ÍÍMPARMPAR tg(-x) = - tg(x)
tg(-30°) = - tg(30°)

UFSC 2013UFSC 2013
ff éé uma funuma funççãoão ÍÍMPAR?MPAR?
NÃO, POIS f(NÃO, POIS f(--2)2) ≠≠ --f(2)f(2)

Observe o gráfico da função cujo domínio é o conjunto
D={x∈∈∈∈ R/- 2 < x < 4} e analise as afirmações a seguir.
ACAFE 2013.1ACAFE 2013.1
l. A função é par.
ll. A função possui 3 raízes reais.
lll. No intervalo A=[1,3] a função é
decrescente.
IV. A função pode ser representada por
y = x³ - 3x² - x +3, sendo
D={x∈∈∈∈ R/- 2 < x < 4}
Todas as afirmações corretas estão em:
a) I - II - III
b) II - IV
c) II - III - IV
d) III - IV

FUNFUNÇÇÃO COMPOSTAÃO COMPOSTA

( ) 34xxg −= ( ) 12xxf +=
A B C
f(g(x)) = fog (x)
g(f(x)) = gof (x)
f(f(x)) = fof(x)
g(g(x)) = gog(x)
NOTANOTAÇÇÕESÕES
2 5 11
( ) 5-8xg(x)f =
f(x) = 2x + 1
f(…) = 2(…) + 1
f(g(x)) = 2g(x) + 1
f(g(x)) = 2(4x – 3) + 1
CCÁÁLCULO de f(g(x))LCULO de f(g(x))
f(g(x)) = 8x – 5

Sejam f(x) = 2x + 3, g(x) = x – 5 e h(x) = 3x – 1. Calcule f(g(h(3))
f(x) = 2x + 3 g(x) = x – 5 h(x) = 3x – 1
h(3) = 3.3 – 1
h(3) = 9 – 1
h(3) = 8
g(8) = 8 – 5
g(8) = 3
f(3) = 2.3 + 3
f(3) = 6 + 3
f(3) = 9
Portanto f(g(h(3)) = 9

O número N de caminhões produzidos em uma montadora durante um dia,
após t horas de operação, é dado por N(t) = 20t – t2, sendo que 0 ≤ t ≤ 10.
Suponha que o custo C (em milhares de reais) para se produzir N
caminhões seja dado por C(N) = 50 + 30N.
a) Escreva o custo C como uma função do tempo t de operação da
montadora.
b) Em que instante t, de um dia de produção, o custo alcançará o valor de
2300 milhares de reais?
UFPRUFPR –– 20132013 –– SEGUNDA FASESEGUNDA FASE

UFSCUFSC –– VERDADEIRO OU FALSOVERDADEIRO OU FALSO
Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = sen x e g(x) = x2 + 1.
Então (fog)(x) = (fog)(– x) para todo x real.
UFSC 2012UFSC 2012
VV
Sejam h e k, duas funções, dadas por h(x) = 2x - 1 e k(x) = 3x + 2.
Então h(k(1)) é igual a 9.
UFSC 2002UFSC 2002
VV
UFSC 2006UFSC 2006
UFSCUFSC –– QUESTÃO ABERTAQUESTÃO ABERTA

FUNFUNÇÇÃO INJETORA SOBREJETORAÃO INJETORA SOBREJETORA
E BIJETORAE BIJETORA

FUNFUNÇÇÃO INJETORAÃO INJETORA
GRÁFICO ESTRITAMENTE CRESCENTE OU ESTRITAMENTE DECRESCENTE
FUNFUNÇÇÃO SOBREJETORAÃO SOBREJETORA
FUNFUNÇÇÃO BIJETORAÃO BIJETORA

UFSC 2013UFSC 2013
ff éé uma funuma funçção INJETORA?ão INJETORA?
NÃO, POIS f(2,3) =NÃO, POIS f(2,3) = f(2,7)f(2,7)

FUNFUNÇÇÃO INVERSAÃO INVERSA
3x
1-2x
f(x)
−
=
Encontre a inversa da função
3x
1-2x
f(x)
−
=
x =
3
12
−
−
y
y
x(y – 3) = 2y – 1
xy – 3x = 2y – 1
xy – 2y = 3x – 1
xy – 2y = 3x – 1
y(x – 2) = 3x – 1
y =
2
13
−
−
x
x
2x
13x
(x)f 1
−
−
=−
GABARITO: 27

Funcoes gaia

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados (20)

Semelhante a Funcoes gaia (20)

Mais de slidericardinho (20)

Funcoes gaia