Geometria analítica conicas BY GLEDSON
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O documento descreve as características de três curvas cônicas: elipse, hipérbole e parábola. A elipse é definida como o conjunto de pontos cuja soma das distâncias a dois focos é constante. A hipérbole é definida como o conjunto de pontos cuja diferença das distâncias aos focos é constante. A parábola é obtida ao seccionar um cone circular reto obliquamente.
Geometria analítica conicas BY GLEDSON
- 1. Cônicas Elipse – Hipérbole – Parábola
- 2. Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a. Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 < 2a, temos:
- 4. Elementos Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:
- 5. Focos : os pontos F1 e F2 Centro: o ponto O, é o ponto médio de Semi-eixo maior: a Semi-eixo menor: b Semi- distância focal: c Vértices: os pontos A1, A2, B1, B2 Eixo maior: A1A2 = 2a Eixo menor: B1B2 = 2b Distância focal: F1F2 = 2c
- 6. Relação fundamental aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2 , retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental: a2 =b2 + c2
- 7. Excentricidade Chamamos de excentricidade o número real e tal que: Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, conseqüentemente, 0 < e < 1. Observação: Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência
- 8. Elipse com centro na origem e eixo maior horizontal Sendo c a semi-distância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0):
- 9. Elipse com centro na origem e eixo maior vertical Nessas condições, a equação da elipse é:
- 10. Considerando dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real menor que a distância entre F1 e F2 , chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a. Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos:
- 12. A figura obtida é uma hipérbole. Observação:Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:
- 13. Elementos Focos: os pontos F1 e F2 Vértices: os pontos A1 e A2 Centro da hipérbole: O ponto O, que é o ponto médio de Semi-eixo real: a Semi-eixo imaginário: b Semi-distância focal: c
- 14. •distância focal: •eixo real: •eixo imaginário:
- 15. Excentricidade Chamamos de excentricidade o número real e tal que: Como c > a, temos e > 1.
- 16. hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox
- 17. hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy
- 18. Uma hipérbole é chamada equilátera quando as medidas dos semi-eixos real e imaginário são iguais: a = b
- 19. Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b. Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é Quando é vertical, o coeficiente é Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b. Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é ;quando é vertical, o coeficiente é .
- 20. Eixo real horizontal e C(0, 0) As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma: As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ;logo, suas equações são da forma:
- 21. eixo vertical e C(0, 0) As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular equações são da forma: eixo vertical e C(0, 0) As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ;logo, suas equações são da forma:
- 23. Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano e d uma reta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d.
- 24. A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto:
- 25. Elementos Observe a parábola representada a seguir, nela, temos os seguintes elementos: Foco: o ponto F Diretriz: a reta d Vértice: o pontoV Parâmetro: p O vértice V e o foco F ficam numa mesma reta, o eixo de simetria e. Assim, sempre temos
- 26. •DF = p •V é o ponto médio de
- 27. parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal Como a reta d tem equação e na parábola temos: y2 = 2px
- 28. parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal y2 = -2px
- 29. parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical x2=2py
- 30. parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical x2= - 2py
- 31. Jamais subestimem o gigante intelectual adormecido dentro de cada um de nós.