INTRODUCAO A TEORIA DOS CONZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZJUNTOS.ppt
- 1. INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS • Prof. Elionaro Rochelly
- 2. O QUE É UM CONJUNTO? • Não existe uma definição formalizada do que vem a ser um conjunto. O que temos é uma ideia ou uma noção do que vem a ser um conjunto. • De uma maneira geral, temos que um conjunto é tudo aquilo que nos dá uma ideia de coleção ou de agrupamento.
- 3. POR EXEMPLO: Conjuntos de times de futebol. Melhores jogadores do mundo Conjunto de políticos? É uma quadrilha.
- 4. • Todo conjunto é formado por um ou vários objetos que são denominados elementos. • De maneira geral indicamos um conjunto por uma letra maiúscula. • PERTINÊNCIA: O conceito de pertinência procura relacionar um elemento com um conjunto. • Para representar um elemento pertencente a um conjunto usamos o símbolo e para indicar um elemento que não pertence a um conjunto usamos o símbolo ∉. • CONCEITOS IMPORTANTES
- 5. Exemplo: • Seja o conjunto M = {2;4;6;8;10}, complete com ou as lacunas ∉ abaixo. • 2__ M • 5__M • 10__M • Brasil__M ∉ ∉
- 6. SUBCONJUNTO • Esse conceito visa estabelecer uma relação entre dois conjuntos. Dados dois conjuntos, A e B, dizemos que A é subconjunto de B se cada elemento do conjunto A também é um elemento do conjunto B. Indica-se por: • A B (lê-se A está contido em B)
- 7. Exemplos:
- 8. Relação de Inclusão • Quando relacionamos conjunto com conjunto utilizamos os símbolos de está contido e ⊂ ⊄ não está contido . • Por Exemplo: • {1,2,3} {1,2,3,4,5,6} ⊂ • {1,2,0} {1,2,3,4,5,7} ⊄
- 9. IGUALDADE DE CONJUNTOS • Dois conjuntos A e B são ditos iguais quando possuem exatamente os mesmos elementos. • Dados os conjuntos A = {0,1,2,3,4} e B = {2,3,4,1,0} como todos os elementos são iguais podemos dizer que A = B.
- 10. • Conjunto vazio: O conjunto vazio corresponde a um tipo particular de conjunto, já que ele não possui elementos. Esse conjunto é usado para indicar uma situação impossível de ocorrer. • Podemos indicar um conjunto vazio por {} ou • Conjunto Unitário: Corresponde a outro tipo especial de conjunto. O conjunto unitário é todo conjunto que possui apenas um elemento. • Conjunto Universo: Corresponde ao conjunto ao qual pertencem todos os elementos que fazem parte do nosso estudo.
- 11. CONJUNTO DAS PARTES • O conjunto das partes de um conjunto é formado por todos os subconjuntos de A. Ou seja: • ℙ (A) = {x / {x} A} • Exemplo: o conjunto das partes dos conjuntos abaixo: A = {0, 1} é: • ℙ (A) = {Ø, {0}, {1}, {0,1}} • Já para o conjunto B = {0, 1, 2}, o conjunto das partes será • ℙ (B) = {Ø, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {1, 2}, {0, 2}, {0, 1, 2}}
- 12. PROPRIEDADES IMPORTANTES • a) Ø (A) ℙ • b) A (A) ℙ • c) Se A possui n elementos, (A) ℙ possui elementos
- 13. Operações com conjuntos: • União: Os elementos pertences aos dois conjuntos. • A B = {x/xA ou x B} (União) • Intersecção: Os elementos que pertencem simultaneamente a dois ou mais conjuntos. • A B = {x/xA e x B} • Diferença: Os elementos pertences aos conjunto A, mas não pertence ao conjunto B. • A - B = {x/xA e xB}
- 14. Diagrama de Venn A B A A - B B - A
- 15. Exemplo: • Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, encontre: • A) A B B) AUB c) A-B A B 1 3 4 5 6 0 2
- 16. Problemas com operações de conjuntos Numa sala de aula: 85 alunos jogam basquete; 75 jogam futebol; 17 praticam duas atividades: basquete e futebol. Quantos alunos foram pesquisados, sabendo-se que todos optaram pelo menos por um dos dois esportes?
- 17. Diagramas de Venn com três conjuntos
- 18. Exemplo: • . Observe o diagrama e responda: • Vamos responder o que se pede abaixo: • a) A = • b) B = • c) C = • d) (A B)U(B C) = ∩ ∩ • e) (A C) U B= ∩
- 19. Questões • 1)Dados os conjuntos A = {0;1}, B = {0;2;3} e C = {0;1;2;3}, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) cada afirmação abaixo: • a) ( ) A B ⊂ • b) ( ) {1} A ⊂ • c) ( ) A C ⊂ • d) ( ) B C ⊄ • e) ( ) B C ⊂ • f) ( ) {0;2} B
- 20. • 3(Unifap)O dono de um canil vacinou todos os seus cães, sendo que 80% contra parvovirose e 60% contra cinomose. Determine o porcentual de animais que foram vacinados contra as duas doenças.
- 21. • 2) Uma atividade com duas questões foi aplicada em uma classe de 40 alunos. Os resultados apontaram que 20 alunos haviam acertado as duas questões, 35 acertaram a primeira questão e 25, a segunda. Faça o diagrama e calcule o percentual de alunos que acertou apenas uma questão?
- 22. • 4 (FATEC) Para a identificação de pacientes com sintomas de gripe influenza A, a Anvisa (Agência Nacional de Vigilância Sanitária) informou hoje que os voos procedentes do Reino Unido, Espanha e Nova Zelândia também serão inspecionados por uma equipe da agência e por médicos da Empresa Brasileira de Infraestrutura Aeroportuária (Infraero). Inicialmente, apenas os voos vindos do México, Canadá e Estados Unidos eram inspecionados. A decisão foi tomada durante reunião da Anvisa com representantes das companhias aéreas, da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac) e da Infraero, no Aeroporto Internacional de Cumbica, em Guarulhos, na Grande São Paulo. (Adaptado de: http://noticias.uol.com.br/cotidiano/2009/04/28/ult5 772u3774.jhtm, Acesso em: 09.05.2009.)
- 23. • Em um voo proveniente de Miami, a Anvisa constatou que entre todas as pessoas a bordo (passageiros e tripulantes) algumas haviam passado pela cidade do México. No diagrama, U representa o conjunto das pessoas que estavam nesse voo; P o conjunto dos passageiros; M o conjunto das pessoas que haviam passado pela cidade do México e A o conjunto das pessoas com sintomas da gripe influenza A. Considerando verdadeiro esse diagrama, conclui- se que a região sombreada representa o conjunto das pessoas que, de modo inequívoco, são aquelas caracterizadas como • (A) passageiros com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México. • (B) passageiros com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México. • (C) tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México. • (D) tripulantes com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México. • (E) tripulantes sem sintomas da gripe que passaram pela cidade do México.
- 24. 5) Uma pesquisa de mercado foi realizada para verificar a audiência de três programas de televisão, 1200 famílias foram entrevistadas e os resultados obtidos foram os seguintes: 370 famílias assistem ao programa A, 300 ao programa B e 360 ao programa C. Desse total, 100 famílias assistem aos programas A e B, 60 aos programas B e C, 30 aos programas A e C e 20 famílias aos 3 programas. Com base nesses dados, determine: •a) quantas famílias não assistem a nenhum dos 3 programas? •b) quantas famílias assistem ao programa A e não assistem ao programa C? •c) qual o programa de maior fidelidade, ou seja, cujos espectadores assistem somente a esse programa?
- 25. • 6. (ENEM) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas. Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum, C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das quais 4 também estarão em C1. Nessas condições, o fabricante, para a montagem dos três catálogos, necessitará de quantos originais de impressão?
- 27. Conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, ...} N* = {1, 2, 3, ...} Medida unitária
- 28. Propriedades dos Nº Naturais 1) A soma de dois números naturais é um número natural. 2) A multiplicação de dois números naturais é um número natural. 3) Se n é um número natural, então n+1 é o sucessor de n e n é o antecessor de n+1
- 29. Conjunto dos números inteiros Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} Inteiros não nulos: * = {..., −2, −1, 1, 2, ...} Inteiros não negativos: + = {0, 1, 2, 3, ...} Inteiros não positivos: — = {..., −3, −2, −1, 0} Números opostos
- 30. Propriedades dos Nº Inteiros 1) Todo número natural é um número inteiro. 2) A soma e a diferença entre dois números inteiros resulta em um outro número inteiro. 3) A multiplicação (produto) entre dois números inteiros é um número inteiro.
- 31. Conjunto dos números racionais = 0 . 8 25 = –2 – 2 1 . = 0,333… 1 3 . 0 10 .
- 32. Propriedades dos Nº Racionais 1) Todo número natural e todo número inteiro é um número racional. 2) A soma ou a diferença entre dois números racionais resulta em um outro número racional. 3) O produto entre dois números racionais é um número racional. 4) O quociente entre dois número racionais, sendo o divisor diferente de zero, é um número racional.
- 33. Conjunto dos números irracionais Exemplo A medida da diagonal (d) de um quadrado de lado 1 = 1,414213562... é um número cuja representação decimal tem infinitas casas não periódicas depois da vírgula. 2 Qual o outro irracional que você conhece?
- 34. Propriedades dos Nº Irracionais 1) Um número irracional não é um número racional. 2) A soma ou a diferença entre um número irracional com um número racional é um número irracional. 3) A produto entre um número irracional e um número racional é um número irracional. 4) O quociente entre um número irracional e número racional , diferente de zero, é um número irracional.
- 35. Conjunto dos números reais Reunião do conjunto dos números racionais com o dos irracionais = conjunto dos números reais (Conjunto dos números irracionais)
- 36. Questões. 1) Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891), “Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem.” Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, uma das grandes invenções humanas. Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é correto afirmar que: •A) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional. •B) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. •C) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional. •D) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional. •E) a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo.
- 37. • 2) Os conjuntos numéricos foram surgindo à medida que certas operações aritméticas não eram fechadas dentro dos conjuntos em que eram realizadas. Assim, por exemplo, o conjunto dos números inteiros surgiu como extensão do conjunto dos números naturais. Embora a adição de dois números naturais resulte sempre em um número natural (a adição é fechada no conjunto dos números naturais), a subtração não é (a subtração de dois números naturais nem sempre resulta em um número natural). Assinale a afirmação verdadeira: • a) Os números naturais são fechados em relação à divisão. • b) Os números inteiros são fechados em relação à adição. • c) Os números inteiros são fechados em relação à divisão. • d) A adição de dois números irracionais sempre resulta em um número irracional. • e) A subtração de dois números irracionais sempre resulta em um número irracional.