Álgebra Li

Notas de Aula - 30/11/2009

Profo : José Sérgio Domingues

Universidade Estadual de Montes Claros - UNIMONTES

Curso de Licenciatura Plena em Matemática

Sumário
1 Diagonalização de Matrizes 1

2 Diagonalização de Operadores 2

3 Formas Bilineares e Quadráticas Reais 4
3.1 Formas Bilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 Matriz de uma Forma Bilinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3 Forma Bilinear Simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.4 Formas Quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Forma Canônica de Jordan 8

5 Teorema Espectral 10
5.1 Operadores Auto-Adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.2 Teorema Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6 Referências 11

1 Diagonalização de Matrizes
Denição 1.1. Dizemos que uma matriz A, de ordem n, é diagonalizável, se existem
matrizes P e D tais que A = P DP −1 , ou equivalente, D = P −1 AP , em que D é uma
matriz diagonal.

Teorema 1.2. Seja A uma matriz de ordem n que tem n autovetores L.I (V1 , V2 , ..., Vn ),
associados a λ1 , λ2 , ..., λn , respectivamente. Então, as matrizes

 
 λ1 0 ··· 0 
 
 0 λ2 0 0 
 
P = [V1 V2 ... Vn ] e D= . . 
 .
. 0 ··· . 
. 

 
0 ··· 0 λn

são tais que D = P −1 AP , ou seja, A é diagonalizável. Reciprocamente, se A é diagonal-
izável, então ela possui n autovetores L.I.
 
1 −1
Exemplo 1.3. Encontre as matrizes P e D, sendo A =   e verique que
−4 1
A = P DP −1
.

Os autovalores encontrados são λ1 = −1 e λ2 = 3. Seus respectivos autoespaços
associados são W1 = {(α, 2α) | α ∈ R} = {α(1, 2) | α ∈ R} e W2 = {(α, −2α) | α ∈
R} = {α(1, −2) | α ∈ R}.
Observe que V1 = (1, 2) e V2 = (1, −2) são autovetores L.I. Portanto, de acordo com
o Teorema 1.2, temos que
   
1 1 −1 0
P =  e D= .
2 −2 0 3
 
1 1
Além disso, P −1 =  2 4  e A = P DP −1 .
1
2
−1
4

Teorema 1.4. Autovalores distintos possuem autovetores associados linearmente inde-
pendentes (L.I).

Corolário 1.5. Se V é um espaço vetorial de dimensão n e T : V → V é um operador
linear que possui n autovalores distintos, então V possui uma base cujos vetores são todos
autovetores de T.

1

Em outras palavras, o corolário nos garante que, se conseguirmos encontrar tantos
autovalores distintos quanto for a dimensão do espaço, podemos garantir a existência de
uma base de autovetores.

2 Diagonalização de Operadores
Denição 2.1. Dizemos que o operador linear T : V → V é um operador diagonalizável
se existe uma base de V cujos elementos são autovetores de T.

Portanto, de acordo com o corolário acima, para vericar se um operador linear é di-
agonalizável, basta mostrar que a matriz associada a esse operador possui n autovalores
distintos.

Exemplo 2.2. Verique que T : R3 → R3 dado por T (x, y, z) = (3x−3y−4z, 3y+5z, −z),
não é diagonalizável.
A matriz associada a esse operador linear em relação à base canônica é
 
3 −3 −4
 
 
A = [T ]α =  0
α 3 5 
 
0 0 −1

portanto, o seu polinômio característico é dado por det(A − λI3 ) e seus autovalores são
as soluções da equação característica det(A − λI3 ). Para o nosso exemplo, temos
     
 3 −3 −4   λ 0 0   3 − λ −3 −4 
     
A − λI3 =  0
 3 5 − 0 λ 0 = 0
    3−λ 5 

     
0 0 −1 0 0 λ 0 0 −1 − λ

Então, P (λ) = 0 ⇐⇒ det(A − λI3 ) = (3 − λ)2 (−1 − λ) = 0 ⇐⇒ λ1 = 3 e λ2 = −1.

• Para λ1 = 3, temos:
     

 −3y − 4z = 0
 0 −3 −4  x   0  


    
(A − 3I3 )v = 0 ⇐⇒  0
 0 5 

 =  0  ⇐⇒
y    5z = 0
     



0 0 −4 z 0  − 4z = 0

⇐⇒ x = α e y = z = 0.

Portanto,

W1 = {(α, 0, 0) | α ∈ R} = {α(1, 0, 0) | α ∈ R}

2

• Para λ2 = −1, temos:

     

 4x − 3y − 4z = 0
 4 −3 −4   x   0  


    
 0
(A+I3 )v = 0 ⇐⇒  4   y  =  0  ⇐⇒
5     4y + 5z = 0
     



0 0 0 z 0  0 = 0

α
⇐⇒ x = 16
, y = −5α
4
e z = α.

Portanto,

W2 = {( 16 , − 5 α, α) | α ∈ R} = {α( 16 , − 5 , 1) | α ∈ R}
α
4
1
4

Neste caso, temos apenas dois autovetores L.I para T , e portanto não existe uma
base de R3 constituída só de autovetores de T . Isto signica este operador não é
diagonalizável.

Exemplo 2.3. Mostre que T : R2 → R2 onde T (x, y) = (−3x + 4y, −x + 2y), é
diagonalizável.
De acordo com o que estudamos anteriormente, para mostrar que T é diagonalizável,
basta vericar que a matriz associada a este operador linear possui o número de autoval-
ores distintos igual a 2, pois neste caso, V = R2 e dim(R2 ) = 2.
 
−3 4
Pois bem, em relação à base canônica α, temos que A = [T ]α = 
α
. Logo,
−1 2
 
−3 − λ 4
det(A − λI2 ) = 0 ⇐⇒ det   = 0 ⇐⇒ (−3 − λ)(2 − λ) + 4 = 0
−1 2−λ

⇐⇒ λ2 + λ − 2 = 0 ⇐⇒ λ1 = 1 e λ2 = −2.

Como a matriz A possui dois autovalores distintos, pelo Corolário 1.5, V = R2
possui uma base formada por autovetores de T . E portanto, pela Denição 2.1, T é
diagonalizável.

Exemplo 2.4. No exemplo anterior, vimos que λ1 = 1 = λ2 = −2. O leitor pode vericar
que dois autovetores linearmente independentes associados a λ1 e λ2 são, respectivamente,
V1 = (1, 1) e V2 = (4, 1). Pelo Corolário 1.5, uma base de V = R2 é β = {V1 , V2 }.
Vamos encontrar [T ]β e observar de que tipo ela será.
β

3

T (V1 ) = T (1, 1) = (−3 + 4, −1 + 2) = (1, 1) = 1 · V1 + 0 · V2
T (V2 ) = T (4, 1) = (−3 · 4 + 4 · 1, −4 + 2 · 1) = (−8, −2) = 0 · V1 − 2 · V2

Portanto, concluímos que
 
1 0
[T ]β = 
β

0 −2

que é uma matriz diagonal, onde a diagonal principal é formada exatamente pelos auto-
valores de T .

Isso não ocorreu por acaso, na realidade, a denição formal de operador diagonalizável,
vem da idéia de a partir de um operador linear T : V → V , conseguirmos encontrar uma
base β de V na qual a matriz do operador nesta base ([T ]β ) seja uma matriz diagonal,
β

que é a forma mais simples possível de se representar um operador.

3 Formas Bilineares e Quadráticas Reais

3.1 Formas Bilineares
Denição 3.1. Seja V um espaço vetorial real. Uma forma bilinear é uma aplicação
B : V XV → R denida por (v, w) → B(v, w) tal que:

i. Para w xado, B(v, w) é uma forma linear em v , isto é,

B(v1 + v2 , w) = B(v1 , w) + B(v2 , w) e B(av, w) = aB(v, w)

ii. Para v xado, B(v, w) é uma forma linear em w, isto é,

B(v, w1 + w2 ) = B(v, w1 ) + B(v, w2 ) e B(v, aw) = aB(v, w)

Exemplo 3.2. O produto usual de números reais, denido por P : R X R → R com
(x, y) → xy .
Vamos vericar as duas propriedades para demonstrar que esta aplicação é bilinear.

i. P (x1 + x2 , y) = (x1 + x2 )y = x1 y + x2 y = P (x1 , y) + P (x2 , y)

P (ax, y) = axy = a(xy) = aP (x, y)

4

ii. P (x, y1 + y2 ) = x(y1 + y2 ) = xy1 + xy2 = P (x, y1 ) + P (x, y2 )

P (x, ay) = xay = a(xy) = aP (x, y)

Exemplo 3.3. Seja V um espaço vetorial com produto interno , . O operador linear
B : V X V → R denido por (v, w) → v, w é uma forma bilinear pelas propriedades
de produto interno.

3.2 Matriz de uma Forma Bilinear
Seja V um espaço vetorial e B : V X V → R uma forma bilinear. Se α = {v1 , ..., vn } é
uma base de V , podemos associar a B uma matriz ([B]α ), denominada matriz da forma
α

bilinear B , na base α, da seguinte forma:

Como α é base de V , tomando v, w ∈ V podemos escrever

v = x1 v1 + ... + xn vn
e
w = y1 v1 + ... + yn vn .

Então,
   
B(v1 , v1 ) · · · B(v1 , vn ) y
   1 
 .
. .. .
.   . 
B(v, w) = [x1 ... xn ] ·  . . . · . 
.
   
B(vn , v1 ) · · · B(vn , vn ) yn

Portanto,

B(v, w) = [v]α · [B]α · [w]α
α

Exemplo 3.4. Seja B : R2 X R2 → R a forma bilinear dada por B(v, w) = −x1 y1 +
2x2 y1 + 5x2 y2 onde v = (x1 , x2 ) e w = (y1 , y2 ). Então, se α = {e1 , e2 } é a base canônica
de R2 , temos:

B(e1 , e1 ) = B((1, 0), (1, 0)) = −1 · 1 + 2 · 0 · 1 + 5 · 0 · 0 = −1
B(e2 , e1 ) = B((0, 1), (1, 0)) = −0 · 1 + 2 · 1 · 1 + 5 · 1 · 0 = 2
B(e1 , e2 ) = B((1, 0), (0, 1)) = −1 · 0 + 2 · 0 · 0 + 5 · 0 · 1 = 0
B(e2 , e2 ) = B((0, 1), (0, 1)) = −0 · 0 + 2 · 1 · 0 + 5 · 1 · 1 = 5

5

Então,
   
B(e1 , e1 ) B(e1 , e2 ) −1 0
[B]α = 
α
= 
B(e2 , e1 ) B(e2 , e2 ) 2 5
e
   
−1 0 y1
B(v, w) = [x1 x2 ] ·  ·  = [v]α · [B]α · [w]α
α
2 5 y2

 
−2 0 0
 
Exemplo 3.5. Seja M = 


4 2 0 . É possível associar a M uma forma bilinear
 
0 0 2
B : R3 X R3 → R denida por
   
−2 0 0 y1
   
   
B((x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 )) = [x1 x2 x3 ] ·  4 2 0  ·  y2 
   
0 0 2 y3

Então,

B((x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 )) = −2x1 y1 + 4x2 y1 + 2x2 y2 + 2x3 y3 .

3.3 Forma Bilinear Simétrica
Denição 3.6. Uma forma bilinear B : V X V → R é denominada forma bilinear
simétrica se B(v, w) = B(w, v), ∀ v, w ∈ V .

Exemplo 3.7. B(v, w) = v, w , onde , é um produto interno em V .

Exemplo 3.8. B : R2 X R2 → R dada por B(v, w) = −x1 y1 + 3x2 y1 + 3x1 y2 + 2x2 y2 ,
onde v = (x1 , x2 ) e w = (y1 , y2 ) (Verique!).

Exemplo 3.9. Vamos encontrar a matriz da forma bilinear acima, utilizando a base
canônica α, [B]α .
α

No exemplo acima, V = R2 =⇒ α = {e1 , e2 } é uma base de V . Logo,

B(e1 , e1 ) = B((1, 0), (1, 0)) = −1 · 1 + 3 · 0 · 1 + 3 · 1 · 0 + 2 · 0 · 0 = −1

B(e1 , e2 ) = B((1, 0), (0, 1)) = −1 · 0 + 3 · 0 · 0 + 3 · 1 · 1 + 2 · 0 · 1 = 3

6

B(e2 , e1 ) = B((0, 1), (1, 0)) = −0 · 1 + 3 · 1 · 1 + 3 · 0 · 0 + 2 · 1 · 0 = 3

B(e2 , e2 ) = B((0, 1), (0, 1)) = −0 · 0 + 3 · 1 · 0 + 3 · 0 · 1 + 2 · 1 · 1 = 2

Então,
   
B(e1 , e1 ) B(e1 , e2 ) −1 3
[B]α = 
α
= 
B(e2 , e1 ) B(e2 , e2 ) 3 2

Observação 3.10. Observe que a matriz da forma bilinear que encontramos acima é
simétrica.

Teorema 3.11. Uma forma bilinear B : V X V → R é simétrica se, e somente se, [B]α
α

é uma matriz simétrica.

Observação 3.12. A demonstração do teorema acima é trivial, e ca a cargo do leitor.

3.4 Formas Quadráticas
Denição 3.13. Seja V um espaço vetorial real e B : V X V → R uma forma bilinear
simétrica. A função Q : V → R denida por Q(v) = B(v, v) é chamada forma quadrática
associada a B .

Exemplo 3.14. Seja B : R3 X R3 → R dada por B(v, w) = x1 y1 + 2x2 y2 + 3x3 y3 +
x1 y2 + x2 y1 , onde v = (x1 , x2 , x3 ) e w = (y1 , y2 , y3 ). Facilmente, verica-se que B é
uma forma bilinear simétrica de R3 .
A forma quadrática associada associada a B é a função

Q(v) = B(v, v) = x2 + 2x2 + 3x2 + x1 x2 + x2 x1
1 2 3

= x2 + 2x2 + 3x2 + 2x1 x2
1 2 3

Exemplo 3.15. Associada ao produto interno usual de Rn , B : Rn X Rn → R com
B(v, w) = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn (que obviamente é uma forma linear simétrica) está
a forma quadrática Q(v), dada por

Q(v) = B(v, v) = x2 + x2 + ... + x2
1 2 n

7

4 Forma Canônica de Jordan
Partição de uma Matriz em Blocos: Particionar uma matriz A qualquer em blocos,
signica dividir esta matriz em submatrizes.
 
√
 1 −2 π
3 
 
Exemplo 4.1. Se A = 
 6 −7 2 −1 , uma das possíveis subdivisões de A é

 
−7 −3 −9 0
 
√
1 −2 π 3   

  A11 A12
A=
 6 −7 2 −1  = 

,
  A13 A14
−7 −3 −9 0

onde,    
√ 6 −7 2 −1
A11 = 1 −2 π , A12 = 3 , A13 =   e A14 =  ,
−7 −3 −9 0

são os blocos da subdivisão da matriz original A.

Já estudamos que nem todo operador linear T : V → V é diagonalizável, ou seja,
nem sempre existe uma base β de V tal que a matriz [T ]β é diagonal. Entretanto, para
β

várias aplicações, é suciente que exista uma base β tal que a matriz [T ]β tenha uma forma
β

bem próxima da forma diagonal. Essa forma é denominada forma canônica de Jordan.

Denição 4.2. Uma matriz J , n xn, está na forma canônica de Jordan, se ela é da
forma
 
  λj 0 · · · 0 0 

Jλ1 0 ··· 0  
  
   1 λj · · · 0 0 
 0 Jλ2 · · · 0   
   . . ...
. . . . 
. . 
J = , em que Jλj = . . . .
 .
. . ...
. .
.   
 . . .   
   0 0 ··· λj 0 
 
0 0 · · · Jλk  
0 0 ··· 1 λj

para j = 1, ..., k . Jλj é chamado bloco de Jordan.

8

 
2 0 0 0
 
 
 1 2 0 0 
 
Exemplo 4.3. A=  está na forma canônica de Jordan e é formada
 0 1 2 0 
 
 
0 0 0 2

por dois blocos de Jordan, o primeiro sendo 3x3 e o segundo 1x1.

 
5 0 0 0
 
 
 1 5 0 0 
 
Exemplo 4.4. B=  está na forma canônica de Jordan e é formada
 
 0 0 −3 0 
 
0 0 1 −3

por dois blocos de Jordan, ambos 2x2.

 
 −4 0 0 0 
 
 1 −4 0 0 
 
Exemplo 4.5. C=  está na forma canônica de Jordan e é for-
 0 1 −4 0 
 
 
0 0 1 −4

mada por apenas um bloco de Jordan.

 
 7 0 0 0 
 
 0 7 0 0 
 
Exemplo 4.6. D=  está na forma canônica de Jordan e é formada
 0 0 7 0 
 
 
0 0 0 7

por 4 blocos 1x1.

 
 2 0 0 0 
 
 1 2 0 0 
 
Exemplo 4.7. E=  não está na forma canônica de Jordan. Pois
 0 1 2 0 
 
 
0 0 1 −1

como os elementos da diagonal principal não são iguais, ela teria que ser formada por
pelo menos dois blocos de Jordan e [−1] deveria ser um bloco de Jordan 1x1.

9

5 Teorema Espectral

5.1 Operadores Auto-Adjuntos
Denição 5.1. Sejam U e V espaços vetoriais sobre R. Indicaremos por L(U, V ) o
conjunto das transformações lineares de U em V e se U = V , o conjunto dos operadores
lineares de U será denotado por L(U ).

Denição 5.2. Seja V um espaço vetorial euclidiano. Um operador T ∈ L(V ) se diz
auto-adjunto se

T (v), w = v, T (w)

para quaisquer v, w ∈ V .

Exemplo 5.3. Seja T ∈ L(R2 ) dado por T (x, y) = (ax + by, bx + cy). Vamos mostrar
que T é um operador auto-adjunto.

T (x, y), (z, y) = (ax + by, bx + cy), (z, y) = axz + byz + bxt + cyt.

Por outro lado,

(x, y), T (z, y) = (x, y), (az + bt, bz + ct) = axz + bxt + byz + cyt.

Portanto, T (x, y), (z, y) = (x, y), T (z, y) e consequentemente, T é um operador
auto-adjunto.

5.2 Teorema Espectral
Teorema 5.4 (Espectral). Para todo operador auto-adjunto T ∈ L(V ), sendo V um es-
paço vetorial de dimensão nita e munido de produto interno, existe uma base ortonormal
{v1 , v2 , ..., vn } ⊂ V formada por autovetores de T .

10

6 Referências
[1] BOLDRINI, J. L (et al.). Álgebra Linear, 3a edição. Editora Harbra ltda. São Paulo, 1980.

[2] CALLIOLI, H. e ROBERTO C. Álgebra Linear e Aplicações - Nova Edição.

[3] LIMA, E.L. Álgebra Linear, 7a edição - Coleção Matemática Universitária - IMPA.

[4] LANG, S. Álgebra Linear - Editora Edgar Blucher Ltda, SP.

[4] SANTOS, R.J. Introdução à Álgebra Linear - Editora UFMG - Belo Horizonte.

[5] SANTOS, R.J. Álgebra Linear e Aplicações - Editora UFMG - Belo Horizonte.

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