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Este documento resume os principais tópicos da teoria de matrizes, incluindo sistemas lineares, subespaços fundamentais, autovalores e autovetores, traço de matrizes, forma quadrática e sinais de matrizes.
![Coordenadas em Espa¸os Lineares
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Nota Antes de responder a ultima quest˜o, introduze-se conceitos sobre
´ a
coordenadas em espa¸os lineares...
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Dependˆncia Linear Um conjunto de vetores {x1 , x2 , . . . , xk }, xi ∈ Rn ,
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i = 1, . . . , k, ´ linearmente dependente se existem escalares α1 , α2 , . . . , αk ,
e
n˜o todos nulos tais que
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α i xi = α 1 x1 + α 2 x2 + · · · + α k xk = 0
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Caso contr´rio, o conjunto {x1 , x2 , . . . , xk } ´ linearmente independente – LI
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Veja que i=1 αi xi = Xα
sendo X [ x1 x2 ··· xk ] ∈ Rn×k , α [ α1 α2 ··· α k ]T ∈ R k
pag.4 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4
ca
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- 1. ´ Algebra Linear – Teoria de Matrizes 1. Sistemas Lineares 1.1. Coordenadas em espa¸os lineares: independˆncia linear, base, c e dimens˜o, singularidade, combina¸˜o linear a ca 1.2. Espa¸o imagem (colunas) - Espa¸o linhas. Posto c c 1.3. Espa¸o nulo (n´cleo). Nulidade c u 2. Autovalores e autovetores 3. Tra¸o de matriz c 4. Forma quadr´tica e sinais de matrizes a 5. Valores singulares 6. Norma vetorial 7. Norma matricial pag.1 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4 ca c Reinaldo M. Palhares
- 2. Sistemas Lineares Considere o conjunto de equa¸oes alg´bricas lineares c˜ e y1 = a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn . . . . . . . . . y = Ax = am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn ym x1 , . . . , xn denotam entradas do sistema linear y1 , . . . , ym denotam sa´ ıdas do sistema linear aij denotam parˆmetros que caracterizam o mapeamento entrada-sa´ a ıda A ∈ Rm×n , y ∈ Rm e x ∈ Rn pag.2 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4 ca c Reinaldo M. Palhares
- 3. Subespa¸os Fundamentais c Quest˜es fundamentais o Caracterizar os conjuntos de sa´ ıdas y1 , . . . , ym que podem ser obtidos dadas as entradas x1 , . . . , xn (controlabilidade da sa´ ıda) Dadas as sa´ ıdas y1 , . . . , ym identificar, se poss´ ıvel, o conjunto de entradas x1 , . . . , xn que as geram (observabilidade da entrada) Em outras palavras... Como caracterizar uma solu¸˜o para Ax = y ? Veja que ca tem-se um conjunto com m equa¸oes e n inc´gnitas c˜ o Pode-se definir subespa¸os fundamentais de tal forma a obter condi¸oes de c c˜ existˆncia e uma forma geral de solu¸oes para Ax = y e c˜ pag.3 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4 ca c Reinaldo M. Palhares
- 4. Coordenadas em Espa¸os Lineares c Nota Antes de responder a ultima quest˜o, introduze-se conceitos sobre ´ a coordenadas em espa¸os lineares... c Dependˆncia Linear Um conjunto de vetores {x1 , x2 , . . . , xk }, xi ∈ Rn , e i = 1, . . . , k, ´ linearmente dependente se existem escalares α1 , α2 , . . . , αk , e n˜o todos nulos tais que a k α i xi = α 1 x1 + α 2 x2 + · · · + α k xk = 0 i=1 Caso contr´rio, o conjunto {x1 , x2 , . . . , xk } ´ linearmente independente – LI a e k Veja que i=1 αi xi = Xα sendo X [ x1 x2 ··· xk ] ∈ Rn×k , α [ α1 α2 ··· α k ]T ∈ R k pag.4 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4 ca c Reinaldo M. Palhares
- 5. Coordenadas em Espa¸os Lineares c Proposi¸˜o Qualquer conjunto de n vetores LI qualifica uma base em um ca espa¸o linear n−dimensional (ie um espa¸o de dimens˜o n) c c a Lema Considere Q ∈ Rn×n . O sistema de equa¸oes c˜ T Qx = 0, x x1 x2 ··· xn possui uma solu¸˜o n˜o-nula (x = 0) se e somente se Q ´ singular ca a e Teorema Considere Q = q1 q2 · · · qn . Ent˜o Q ´ n˜o-singular se e a e a somente se o conjunto de vetores {q1 , q2 , . . . , qn } ´ LI (em outras palavras, e ∃Q−1 ) pag.5 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4 ca c Reinaldo M. Palhares
- 6. Coordenadas em Espa¸os Lineares c Representa¸˜o de vetores ca Considere um conjunto de vetores {q1 , q2 , . . . , qn }, base no Rn . Ent˜o todo a vetor y ∈ Rn pode ser escrito como combina¸˜o linear: ca n y= αi qi = Qα i=1 Como Q ´ n˜o-singular: e a α = Q−1 y representa¸˜o unica de y na base {q1 , q2 , . . . , qn } ca ´ Para outra base qualquer P , y = P ζ, ζ = P −1 y = P −1 Qα !!! pag.6 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4 ca c Reinaldo M. Palhares
- 7. Subespa¸os Fundamentais c Defini¸˜o ca O espa¸o colunas de A ´ o espa¸o gerado pelas colunas de A, e ´ c e c e denominado espa¸o imagem de A — (A) . Por outro lado, o espa¸o linhas de A ´ o c c e espa¸o gerado pelas linhas de A — (AT ) c T 1 −1 −3 Exemplo y= 1 −1 est´ no espa¸o imagem de a c A= ? ¢ ¤ 0 10 0 ¡ £ ¥ Em outras palavras, y = Ax, para algum x? Sim, pois as colunas de A geram todo o espa¸o 2-dimensional c • posto de colunas de A ∈ Rm×n ´ a dimens˜o de e a (A), ie ´ equivalente ao e n´mero de colunas LI de A u • posto de linhas de A ∈ Rm×n ´ a dimens˜o de e a (AT ) • dim (A) = dim (AT ) = r = posto(A) ∴ posto(A) ≤ min {m, n} pag.7 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4 ca c Reinaldo M. Palhares
- 8. Subespa¸os Fundamentais c Defini¸˜o ca O espa¸o nulo ` direita (ou n´cleo) de A ´ o espa¸o gerado por todos os c a u e c vetores x satisfazendo Ax = 0 — N (A). Por outro lado, o espa¸o nulo ` esquerda c a de A ´ o espa¸o gerado por todos os vetores y satisfazendo y T A = 0 — N (AT ) e c T Exemplo x= 1 10 0 est´ no espa¸o N (A): a c ¡ 1 −1 −3 A= ? ¢ ¤ 0 10 0 £ ¥ Em outras palavras, Ax = 0? Como 1 1 −1 −3 −9 0 ¢ ¤ 10 = = ¢ ¤ ¢ ¤ ¢ ¤ ¦ § 0 10 0 100 0 ¦ § 0 £ ¥ £ ¥ £ ¥ £ ¥ portanto, a resposta ´ negativa e pag.8 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4 ca c Reinaldo M. Palhares
- 9. Subespa¸os Fundamentais c • Considere A de ordem m × n Dimens˜o dos quatro subespa¸os fundamentais: a c (A), (AT ), N (A) e N (AT )? r posto(A) = dim (A) n colunas de A ∴ r + dim N (A) = n → dim N (A) = n − r (Nulidade) r posto(AT ) = dim (AT ) m linhas de A ∴ r + dim N (AT ) = m → dim N (AT ) = m − r pag.9 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4 ca c Reinaldo M. Palhares
- 10. Subespa¸os Fundamentais c • O espa¸o n-dimensional de entrada X = c (AT ) ⊕ N (A) • O espa¸o m-dimensional de sa´ Y = c ıda (A) ⊕ N (AT ) MATLAB orth(A) – base ortonormal para (A) null(A) – base ortonormal para N (A) rank(A) – posto de A 0 1 1 2 ¢ ¤ Exemplo Posto de A = 1 2 3 4 = a1 a2 a3 a4 ? ¦ § ¦ § ¡ 2 0 2 0 £ ¥ a1 e a2 s˜o LI. a3 = a1 + a2 . a4 = 2a2 . A tem duas colunas LI ∴ posto(A) = 2 a pag.10 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4 ca c Reinaldo M. Palhares
- 11. Subespa¸os Fundamentais c Teorema Dado A ∈ Rm×n , existe uma solu¸˜o x para Ax = y, para ca qualquer y, sse posto(A) = m (posto completo de linhas) Teorema Dado A ∈ Rn×n . Se ∃A−1 , ent˜o Ax = y tem uma unica solu¸˜o a ´ ca para todo y, ie x = A−1 y. Em particular, a unica solu¸˜o para Ax = 0 ´ ´ ca e x=0 pag.11 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4 ca c Reinaldo M. Palhares
- 12. Autovalores e Autovetores Defini¸˜o Um escalar λ ´ denominado um autovalor de A ∈ Rn×n se ca e ∃x ∈ Rn , x = 0, satisfazendo Ax = λx Tal x ´ denominado um autovetor de A associado ao autovalor λ e Como calcular autovalor ? Basta escrever Ax = λx = λIx da forma (A − λI) x = 0 Se (A − λI) ´ n˜o singular, ent˜o a unica solu¸˜o ´ x = 0 !! e a a ´ ca e Por´m x = 0, ent˜o (A − λI) deve ser necessariamente singular, ou de forma e a equivalente, det(A − λI) = 0 ... Toda ra´ de p(λ) = det (A − λI) ´ uma autovalor de A ız e pag.12 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4 ca c Reinaldo M. Palhares
- 13. Teoria de Matrizes Tra¸o c Para A ∈ Rn×n , o tra¸o de A, denotado por Tr{A} ou Tra¸o{A}, ´ c c e definido como sendo: n Tr {A} = aii i=1 ie, ´ a soma dos elementos da diagonal principal e Propriedades n 1. Tr{A} = λi i=1 2. Tr{A + B} = Tr{B + A} = Tr{A} + Tr{B} 3. Tr{AB} = Tr B T AT = Tr{BA}= Tr AT B T (se existirem multiplica¸oes) c˜ ¨ © ¨ © n n 4. Tr AT A = a2 ij ¨ © i=1 i=1 pag.13 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4 ca c Reinaldo M. Palhares
- 14. Forma quadr´tica e Sinais de Matrizes a Simetria P ∈ Rn×n ´ dita ser sim´trica se P = P T e e Nota Todos os autovalores de uma matriz sim´trica s˜o reais e a Nota Toda matriz sim´trica pode ser diagonalizada, mesmo para autovalores repetidos e (MATLAB: jordan) Forma Quadr´tica a ´ E uma classe de fun¸oes escalares na forma c˜ P11 ··· P1n x1 . .. . . ¢ ¤ ¢ ¤ V (x) = xT P x = x1 ··· xn . . . . , P = PT ¦ § ¦ § . . . ¦ § ¦ § ¡ ¦ § ¦ § Pn1 ··· Pnn xn £ ¥ £ ¥ pag.14 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4 ca c Reinaldo M. Palhares
- 15. Forma quadr´tica e Sinais de Matrizes a Fun¸˜o escalar definida positiva Dado P = P T , se a fun¸˜o escalar xT P x > 0, ca ca para todo x = 0, ent˜o P ´ dita ser definida positiva, sendo denotado por P a e 0 Fun¸˜o escalar definida negativa Dado P = P T , se a fun¸˜o escalar ca ca xT P x < 0, para todo x = 0, ent˜o P ´ dita ser definida negativa, sendo denotado a e por P 0 Fun¸˜o escalar semidefinida positiva (negativa) Dado P = P T , se a fun¸˜o ca ca escalar xT P x ≥ 0 (xT P x ≤ 0), para todo x = 0, ent˜o P ´ dita ser semidefinida a e positiva (semidefinida negativa), sendo denotado por P 0 (P 0) Nota Se P ´ semidefin´ ent˜o ∃x = 0 tal que xT P x = 0 e ıda, a pag.15 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4 ca c Reinaldo M. Palhares
- 16. Forma quadr´tica e Sinais de Matrizes a Teorema P = P T ∈ Rn×n ´ definida positiva (semidefinida positiva) sse e λ(P ) > 0 (λ(P ) ≥ 0) Teorema P = P T ∈ Rn×n ´ definida negativa (semidefinida negativa) sse e λ(P ) < 0 (λ(P ) ≤ 0) Exerc´ ıcio Moste que V (x) ´ definida positiva e V (x) = xT P x = 10x2 + 4x2 + x2 + 2x1 x2 − 2x2 x3 − 4x1 x3 1 2 3 Fato Dado H ∈ Rm×n ent˜o a 1. H T H ou HH T ´ sim´trica e e 2. H T H 0 ou HH T 0 3. H T H 0 se posto(H) = n (posto completo de colunas) 4. HH T 0 se posto(H) = m (posto completo de linhas) pag.16 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4 ca c Reinaldo M. Palhares
- 17. Valores Singulares Dado H ∈ Rm×n Define-se M HT H ∴ M = MT 0, M ∈ Rn×n Portanto todos os autovalores de M s˜o reais e n˜o negativos a a r indica o n´mero de autovalores positivos de M u Ent˜o os autovalores de M = H T H podem ser ordenados da forma a λ2 ≥ λ2 ≥ · · · ≥λr > 0 = λr+1 = · · · = λn 1 2 Denote por n = min(m, n). Ent˜o o conjunto a λ1 ≥ λ2 ≥ · · · λr > 0 = λr+1 ≥ λn ´ denominado de valores singulares de H. Em outras palavras, os valores singulares de e H (denotado por σ) s˜o obtidos de: a σ= λ(H T H), MATLAB: sigma pag.17 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4 ca c Reinaldo M. Palhares
- 18. Produto Interno A fun¸˜o x, y : R × R → R ´ um produto interno se satisfaz os seguintes axiomas ca e ∗ 1. x, y = y, x , x, y = y, x 2. α(x + y), z = α x, z + α y, z 3. x, x ≥ 0 e x, x = 0 ⇔ x=0 Representa¸˜o usual para vetores do Rn ca n x, y = xi y i i=1 Vetores ortogonais – x ⊥ y x, y = xT y = 0 pag.18 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4 ca c Reinaldo M. Palhares
- 19. Norma Vetorial A fun¸˜o x : R → R ´ uma norma se satisfaz os seguintes axiomas ca e 1. x+y ≤ x + y 2. αx = |α| x 3. x ≥0e x =0 ⇔ x=0 Normas usuais para vetores no Rn 1 n r • Norma-r x r |xi |r , 1≤r<∞ i=1 • Norma-∞ x ∞ max |xi | 1≤i≤n pag.19 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4 ca c Reinaldo M. Palhares
- 20. Norma Vetorial 1 √ n 2 • Norma-2 ou Norma Euclidiana x 2 xT x = x, x = |xi |2 i=1 Nota Interpreta¸˜o gr´fica ? A norma-2 ´ o comprimento do vetor a partir da origem ca a e MATLAB norm(x,1) – norma-1 norm(x,2) ou norm(x) – norma-2 norm(x,inf) – norma-∞ pag.20 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4 ca c Reinaldo M. Palhares
- 21. Norma Matricial O conceito de norma vetorial pode ser “estendido” para matrizes, no sentido de se poder “mensurar” matrizes. Considere X o espa¸o de entradas R n e Y o espa¸o de c c ıdas Rm sa´ Defini¸˜o ca Considere A : X → Y. O operador ´ limitado se e ∃c < ∞, c ∈ R : Ax < c x , ∀x ∈ X Defini¸˜o ca Considere A : X → Y. A norma de A ´ a menor constante c e Portanto a norma de um operador linear pode ser caracterizada por Ax r A r sup = sup Ax r x=0 x r x r =1 A r ´ denominada norma matricial induzida por uma norma vetorial r e pag.21 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4 ca c Reinaldo M. Palhares
- 22. Norma Matricial Para diferentes x , tem-se diferentes A m 1. A 1 = max |aij | ⇔ A maior soma absoluta das colunas j i=1 1 T 2. A 2 = λmax (A A) 2 ⇔ Valor singular m´ximo de A a m 3. A ∞ = max |aij | ⇔ A maior soma absoluta das linhas i j=1 pag.22 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4 ca c Reinaldo M. Palhares
- 23. Norma Matricial 3 2 Exemplo Normas 1, 2 e ∞ de A = ? −1 0 A 1 = max {3 + | − 1|; 2 + 0} = 4 A 2 = 3.7 A ∞ = max {3 + 2; | − 1| + 0} = 5 pag.23 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4 ca c Reinaldo M. Palhares
- 24. Norma Matricial Interpreta¸˜o gr´fica ? Considere por exemplo a norma A ca a 1. Note que y = Ax e n x 1 =1 ⇒ x 1 = |xi | i=1 portanto 3 2 1 3 3 2 0 2 y1 = Ax = = , y2 = Ax = = ¢ ¤ ¢ ¤ ¢ ¤ ¢ ¤ ¢ ¤ ¢ ¤ −1 0 0 −1 −1 0 1 0 £ ¥ £ ¥ £ ¥ £ ¥ £ ¥ £ ¥ 3 2 −1 −3 3 2 0 −2 y3 = Ax = = , y4 = Ax = = ¢ ¤ ¢ ¤ ¢ ¤ ¢ ¤ ¢ ¤ ¢ ¤ −1 0 0 1 −1 0 −1 0 £ ¥ £ ¥ £ ¥ £ ¥ £ ¥ £ ¥ pag.24 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4 ca c Reinaldo M. Palhares
- 25. Norma Matricial 2 1.5 1 x 1 =1 0.5 0 −0.5 −1 PSfrag replacements −1.5 A 1 =3+1=4 −2 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 MATLAB norm(A,r), r = 1, 2 ou r =inf pag.25 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4 ca c Reinaldo M. Palhares
- 26. Exerc´ ıcios 0 1 1 2 −1 1. Calcule o posto de A = 1 2 3 4 −1 2 0 2 0 2 1 −0.5 2 2. Calcule as normas induzidas 1,2 e ∞ para A = 0 0.7 0.3 −0.9 0 0.1 −4 −1 2 3. Encontre os valores singulares de A = 2 0.5 −1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 4. Encontre uma forma diagonal para A = 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 pag.26 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4 ca c Reinaldo M. Palhares