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Manual geogebra 3.2

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Este documento é um manual do GeoGebra versão 3.2 que descreve as principais características e funcionalidades do software. O GeoGebra permite representar objetos matemáticos de forma gráfica, algébrica e numérica através de três zonas - a Zona Gráfica, a Zona Algébrica e a Folha de Cálculo - ligadas dinamicamente. O manual explica como construir geometricamente objetos e como inserir expressões algébricas, assim como descreve os principais menus, ferramentas, comandos e recursos

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Ajuda GeoGebra Manual Oficial da Versão 3.2 Markus Hohenwarter e Judith Hohenwarter www.geogebra.org
Ajuda GeoGebra 3.2 Autores Markus Hohenwarter, markus@geogebra.org Judith Hohenwarter, judith@geogebra.org Última modificação: 2009-03-24 Tradução e adaptação para português de Portugal António Ribeiro, pontopi@gmail.com Última modificação: 2009-05-04 GeoGebra Online Website: http://www.geogebra.org Help Search: http://www.geogebra.org/help/search.html 2
Conteúdos 1. O QUE É O GEOGEBRA? .......................................................................................................... 6 1.1. Múltiplas Vistas para Objectos Matemáticos ................................................................................... 6 3 1.1.1. Zona Gráfica ......................................................................................................................................... 6 1.1.2. Zona Algébrica ..................................................................................................................................... 7 1.1.3. Folha de Cálculo ................................................................................................................................... 8 1.2. O GeoGebra como Ferramenta para Ensinar e Aprender Matemática .............................................. 8 1.2.1. Personalizar a Interface do Utilizador ................................................................................................. 8 1.2.2. Modificar Propriedades dos Objectos ............................................................................................... 10 1.2.3. Usar o Menu de Contexto ................................................................................................................. 10 1.3. O GeoGebra como Ferramenta de Apresentação ........................................................................... 11 1.3.1. Usar a Barra de Navegação ................................................................................................................ 11 1.3.2. Usar o Protocolo de construção ........................................................................................................ 11 1.3.3. Modificar as Configurações do GeoGebra ......................................................................................... 13 1.4. O GeoGebra como Ferramenta de Autor ....................................................................................... 13 1.4.1. Opções de Impressão ........................................................................................................................ 13 1.4.2. Criar Imagens da Zona gráfica ........................................................................................................... 14 1.4.3. Criar Páginas Web Interactivas .......................................................................................................... 15 2. ENTRADA GEOMÉTRICA ..................................................................................................... 16 2.1. Notas Gerais ................................................................................................................................. 16 2.2. Ferramentas de Construção .......................................................................................................... 16 2.2.1. Ferramentas Gerais ........................................................................................................................... 17 2.2.2. Pontos ................................................................................................................................................ 18 2.2.3. Vectores ............................................................................................................................................. 19 2.2.4. Segmentos ......................................................................................................................................... 19 2.2.5. Semirectas ......................................................................................................................................... 20 2.2.6. Polígonos ........................................................................................................................................... 20 2.2.7. Rectas ................................................................................................................................................ 20 2.2.8. Secções Cónicas ................................................................................................................................. 22 2.2.9. Arcos e Sectores ................................................................................................................................ 23 2.2.10. Números e Ângulos ....................................................................................................................... 24 2.2.11. Booleano ....................................................................................................................................... 25 2.2.12. Lugares Geométricos .................................................................................................................... 25 2.2.13. Transformações Geométricas ....................................................................................................... 26 2.2.14. Texto ............................................................................................................................................. 27 2.2.15. Imagens ......................................................................................................................................... 28 3. ENTRADA ALGÉBRICA ......................................................................................................... 31 3.1. Notas Gerais ................................................................................................................................. 31 3.2. Entrada Directa ............................................................................................................................. 33 3.2.1. Números e Ângulos ........................................................................................................................... 33
4 3.2.2. Pontos e Vectores .............................................................................................................................. 34 3.2.3. Rectas e Eixos .................................................................................................................................... 34 3.2.4. Secções Cónicas ................................................................................................................................. 35 3.2.5. Funções de x ...................................................................................................................................... 35 3.2.6. Funções e Operações Pré‐definidas .................................................................................................. 36 3.2.7. Operações e Variáveis Booleanas ...................................................................................................... 37 3.2.8. Listas de Objectos e Operações com Listas ....................................................................................... 38 3.2.9. Matrizes e Operações com Matrizes ................................................................................................. 39 3.2.10. Números Complexos e Operações ................................................................................................ 40 3.3. Comandos .................................................................................................................................... 40 3.3.1. Comandos Gerais ............................................................................................................................... 41 3.3.2. Comandos Booleanos ........................................................................................................................ 41 3.3.3. Números ............................................................................................................................................ 42 3.3.4. Ângulos .............................................................................................................................................. 46 3.3.5. Pontos ................................................................................................................................................ 46 3.3.6. Vectores ............................................................................................................................................. 48 3.3.7. Segmentos ......................................................................................................................................... 49 3.3.8. Semirectas ......................................................................................................................................... 49 3.3.9. Polígonos ........................................................................................................................................... 49 3.3.10. Rectas ............................................................................................................................................ 49 3.3.11. Secções Cónicas ............................................................................................................................ 51 3.3.12. Funções ......................................................................................................................................... 52 3.3.13. Curvas Paramétricas ..................................................................................................................... 53 3.3.14. Arcos e Sectores ............................................................................................................................ 54 3.3.15. Texto ............................................................................................................................................. 56 3.3.16. Lugares Geométricos .................................................................................................................... 58 3.3.17. Listas e Sequências ....................................................................................................................... 58 3.3.18. Transformações Geométricas ....................................................................................................... 62 3.3.19. Comandos de Estatística ............................................................................................................... 63 3.3.20. Comandos de Folha de Cálculo ..................................................................................................... 68 3.3.21. Comandos de Matriz ..................................................................................................................... 68 4. ITEMS DE MENU .................................................................................................................... 69 4.1. Menu Ficheiro .............................................................................................................................. 69 4.2. Menu Editar ................................................................................................................................. 71 4.3. Menu Exibir .................................................................................................................................. 73 4.4. Menu Opções ............................................................................................................................... 74 4.5. Menu Ferramentas ....................................................................................................................... 76 4.6. Menu Janela ................................................................................................................................. 77 4.7. Menu Ajuda .................................................................................................................................. 77 5. RECURSOS ESPECIAIS DO GEOGEBRA ............................................................................ 79 5.1. Animação ..................................................................................................................................... 79 5.1.1. Animação Automática ....................................................................................................................... 79 5.1.2. Animação Manual .............................................................................................................................. 79 5.2. Visibilidade Condicional ................................................................................................................ 80
5.3. Ferramentas Criadas pelo Utilizador ............................................................................................. 81 5.4. Cores Dinâmicas ........................................................................................................................... 82 5.5. Interface JavaScript ...................................................................................................................... 83 5.6. Atalhos de Teclado ....................................................................................................................... 83 5.7. Rótulos e Legendas ....................................................................................................................... 88 5.8. Layers ........................................................................................................................................... 89 5.9. Redefinir ...................................................................................................................................... 90 5.10. Traço e Locus ................................................................................................................................ 90 ÍNDICE ............................................................................................................................................... 92 5
1. O que é o GeoGebra? O GeoGebra é um software de matemática dinâmica que junta geometria, álgebra e cálculo. É desenvolvido para aprender e ensinar matemática nas escolas por Markus Hohenwarter e uma equipa internacional de programadores. 1.1. Múltiplas Vistas para Objectos Matemáticos O GeoGebra fornece três diferentes vistas dos objectos matemáticos: a Zona Gráfica, a Zona Algébrica, ou numérica, e a Folha de Cálculo. Elas permitem mostrar os objectos matemáticos em três diferentes representaçãoes: graficamente (e.g., pontos, gráficos de funções), algebricamente (e.g., coordenadas de pontos, equações) e nas células da folha de cálculo. Assim, todas as representações do mesmo objecto estão ligadas dinamicamente e adaptam-se automaticamente às mudanças realizadas em qualquer delas, independentemente da forma como esses objectos foram inicialmente criados. 1.1.1. Zona Gráfica Usando as ferramentas disponíveis na Barra de Ferramentas, pode realizar construções geométricas na Zona Gráfica com o rato. Seleccione qualquer ferramenta na Barra de Ferramentas e leia a Ajuda da Ferramenta (a seguir à barra de ferramentas) para ver como usar a ferramenta seleccionada. Cada objecto criado na Zona Gráfica tem também uma representação na Zona Algébrica. 6
Nota: Pode mover objectos na Zona Gráfica arrastando-os com o rato. Ao mesmo tempo, as suas representações algébricas são actualizadas automaticamente na Zona Algébrica. Cada ícone na barra de ferramentas representa uma caixa de ferramentas que contém um conjunto de ferramentas similares. Para abrir uma caixa de ferramentas, tem que clicar na pequena flecha situada no canto inferior direito do respectivo ícone. Sugestão: As ferramentas estão organizadas segundo a natureza dos objectos resultantes. Encontrará ferramentas que criam diferentes tipos de pontos na Caixa de Ferramentas de Ponto (ícone ) e ferramentas que lhe permitem aplicar transformações geométricas na Caixa de Ferramentas de Transformação (ícone ). 1.1.2. Zona Algébrica Usando a Entrada de Comandos pode inserir directamente expressões algébricas no GeoGebra. Após ter batido a tecla Enter, a expressão algébrica digitada aparece na Zona Algébrica e a respectiva representação gráfica aparece na Zona Gráfica. Por exemplo, inserindo f(x) = x^2 aparece a função f na Zona Algébrica e o respectivo gráfico na Zona Gráfica. Na Zona Algébrica, os objectos matemáticos são organizados em duas classes: objectos livres e objectos dependentes. Se criar um novo objecto sem que para tal use qualquer objecto existente, ele é classificado como objecto livre. Se, pelo contrário, o seu novo objecto for criado com recurso a objectos já existentes, ele é classificado como objecto dependente. Sugestão: Se quiser esconder a representação algébrica de um objecto na Zona Algébrica pode especificá-lo como um Objecto Auxiliar. Para isso, comece por clicar com o botão direito do rato (MacOS: Ctrl-clique) na representação algébrica do objecto e seleccione ‘Propriedades’ no Menu de Contexto que aparece. Depois, no separador ‘Básico’ do Diálogo de Propriedades pode especificar o objecto como ‘Objecto auxiliar’. Por defeito, os objectos auxiliares não são mostrados na Zona Algébrica, mas pode mudar esta configuração seleccionando o item ‘Objectos auxiliares’ no menu Exibir. Note que também pode modificar objectos na Zona Algébrica. Para isso, comece por assegurar-se que tem a ferramenta Mover activada antes de fazer duplo clique com o botão esquerdo do rato sobre um objecto livre na Zona Algébrica. Depois, na caixa de texto que aparece, pode editar directamente a representação algébrica do objecto. Finalmente, após ter batido a tecla Enter, a representação gráfica do objecto será adaptada automaticamente às alterações que efectuou. Se fizer duplo clique com o botão esquerdo do rato sobre um objecto dependente na Zona Algébrica, aparece uma janela de diálogo que lhe permite redefinir o objecto. O GeoGebra também oferece uma vasta gama de comandos que podem ser inseridos no Campo de Entrada. Pode abrir a lista de comandos no lado direito da Barra de Comandos, clicando no botão ‘Comando’. Depois de seleccionar um comando nesta lista (ou digitar o seu nome directamente no Campo de Entrada), 7
pode pressionar a tecla F1 para obter informação sobre a síntaxe e os argumentos requeridos para aplicar o correspondente comando. 1.1.3. Folha de Cálculo Na Folha de Cálculo do GeoGebra, cada célula tem um nome específico que permite identificá-la directamente. Por exemplo, a célula na coluna A e linha 1 é nomeada A1. Nota: O nome de uma célula pode ser usado em expressões e em comandos para identificar o conteúdo da célula correspondente. Nas células da folha de cálculo pode inserir não só números mas também todo o tipo de objectos matemáticos suportados pelo GeoGebra (eg., coordenadas de pontos, funções, comandos). Se possível, o GeoGebra mostra imediatamente na Zona Gráfica a representação gráfica do objecto inserido numa célula. O objecto toma o nome da célula usada para o criar (e.g., A5, C1). Nota: Por defeito, os objectos na folha de cálculo são classificados como Objectos Auxiliares na Zona Algébrica. Pode exibir ou esconder estes Objectos Auxiliares marcando ou desmarcando o item ‘Objectos Auxiliares’ no menu Exibir. 1.2. O GeoGebra como Ferramenta para Ensinar e 8 Aprender Matemática 1.2.1. Personalizar a Interface do Utilizador A interface do utilizador do GeoGebra pode ser personalizada usando o menu Exibir. Por exemplo, pode esconder diferentes partes da interface (e.g., Zona Algébrica, Folha de Cálculo, Barra de Comandos) desmarcando o correspondente item no menu Exibir. Exibir e Esconder Objectos Pode exibir ou esconder objectos na Zona Gráfica de várias maneiras. • Pode usar a ferramenta Exibir/Esconder objectos para exibir ou esconder objectos. • Abra o Menu de Contexto e seleccione o item Exibir objecto para alterar o estado de visibilidade do objecto seleccionado. • Na Zona Algébrica, o ícone à esquerda de cada objecto mostra o seu estado de visibilidade corrente ( ‘cisível’ ou ‘escondido’). Pode clicar directamente no pequeno ícone para alterar o estado de visibilidade do respective objecto. • Também pode usar a ferramenta Caixa para exibir/esconder objectos para exibir ou esconder um ou mais objectos.
Personalizar a Zona Gráfica Para ajustar a parte visível da Zona Gráfica, pode arrastar o respectivo fundo usando a ferramenta Mover a folha de desenho e os seguintes tipos de zoom: 9 Pode usar as ferramentas Ampliar e Reduzir para fazer zoom na Zona Gráfica. Nota: A posição do clique determina o centro do zoom. Pode usar a roda do rato para fazer zoom na Zona Gráfica. Pode usar atalhos de teclado para ampliar (Ctrl +) e para reduzir (Ctrl -). Depois de clicar com o botão direito do rato (MacOS: Ctrl - clique) num local vazio da Zona Gráfica, aparece o Menu de Contexto que lhe permite fazer ‘Zoom’. Pode especificar um Rectângulo de Zoom clicando no botão direito do rato (MacOS: Cmd - clique) num local vazio da Zona Gráfica e arrastando o rato para o canto oposto do desejado Rectângulo de Zoom. Liberte o botão do rato para terminar o Rectângulo de Zoom, o qual se ajustará automaticamente para preencher todo o espaço na Zona Gráfica. Também pode exibir ou esconder os eixos coordenados e o quadriculado na Zona Gráfica usando o menu Exibir. Nota: Uma outra maneira de exibir ou esconder os eixos coordenados ou o quadriculado consiste em clicar com o botão direito do rato (MacOS: Ctrl-clique) no fundo da Zona Gráfica e seleccionar os correspondentes items ‘Eixos coordenados’ ou ‘Quadriculado’ no Menu de Contexto que aparece. Personalizar os Eixos Coordenados e o Quadriculado Os eixos coordenados e o quadriculado podem ser personalizados usando o Diálogo de Propriedades da Zona Gráfica. Depois de clicar com o botão direito do rato (MacOS: Ctrl-clique) no fundo da Zona Gráfica, pode abrir esta janela de diálogo seleccionando ‘Propriedades’ no Menu de Contexto da Zona Gráfica. No separador ’Eixos coordenados’, pode, por exemplo, alterar o estilo da linha e as unidades dos eixos coordenados, e estabelecer a distância das graduações para um certo valor. Note que pode personalizar cada um dos eixos individualmente, clicando no separador ‘EixoX’ ou ‘EixoY’. Além disso, pode também alterar a razão entre os eixos e exibir ou esconder cada eixo individualmente. No separador ‘Quadriculado’, pode, por exemplo, alterar a cor e o estilo das linhas do quadriculado, e estabelecer a distância entre estas linhas. Também pode escolher o quadriculado ‘Isométrico’. Nota: Para alterar a relação de escala entre os eixos pode simplesmente pressionar e segurar a tecla Shift (ou Ctrl) enquanto arrasta um dos eixos. Nota: O Diálogo de Propriedades da Zona Gráfica é diferente do Diálogo de Popriedades dos objectos. Personalizar a Barra de Ferramentas A barra de ferramentas pode ser personalizada seleccionando ‘Personalizar a barra de ferramentas …’ no menu Ferramentas. Seleccione a ferramenta ou a caixa
de ferramentas que pretende remover da barra de ferramentas, na lista do lado esquerdo da janela de diálogo que aparece, e clique no botão ‘Remover >’. Nota: Pode restaurar a barra de ferramentas padrão clicando no botão ‘Restaurar a barra de ferramentas padrão’ que está situado no canto inferior esquerdo da janela de diálogo. 1.2.2. Modificar Propriedades dos Objectos O Diálogo de Propriedades permite-lhe modificar propriedades de objectos (e.g., cor, estilo da linha, visibilidade). Há várias maneiras de abrir o Diálogo de Propriedades: 10 • Clique com o botão direito do rato (MacOS: Ctrl - clique) num objecto e seleccione ‘Propriedades…’ no Menu de Contexto que aparece. • Seleccione o item ‘Propriedades’ no menu Editar. • Seleccione a ferramenta Mover e faça um duplo clique num objecto situado na Zona Gráfica. Na janela de diálogo Redefinir que aparece, clique no botão ‘Propriedades …’ No Diálogo de Propriedades, os objectos são organizados por tipos (e.g., pontos, rectas, circunferências) na lista do lado esquerdo, o que facilita o manuseamento de um largo número de objectos. Seleccione um ou mais objectos desta lista para modificar as respectivas propriedades. Nota: Clicando num cabeçalho da lista de objectos (e.g., ‘Ponto’) pode seleccionar todos os objectos desse tipo e então modificar, em simultâneo, as propriedades de todos esses objectos. Pode modificar as propriedades de objectos seleccionados usando os separadores no lado direito (e.g., ‘Básico’, ‘Cor’, ‘Estilo’, ‘Avançado’). Nota: O conjunto de separadores que aparecem no lado direito do Diálogo de Propriedades depende dos objectos seleccionados na lista do lado esquerdo. Feche o Diálogo de Propriedades quando terminar as modificações nas propriedades dos objectos. 1.2.3. Usar o Menu de Contexto O Menu de Contexto permite uma maneira rápida de alterar o comportamento ou as propriedades avançadas de um objecto. Clique com o botão direito do rato (MacOS: Ctrl-clique) num objecto para abrir o respectivo Menu de Contexto. Por exemplo, isto permite-lhe alterar a notação algébrica dos objectos (e.g., coordenadas polares ou cartesianas, equação implícita ou explícita) e aceder directamente a recursos como Renomear, Apagar, Activar traço, Animar, ou Copiar para a entrada de comandos. Nota: Se abrir o Menu de Contexto para um ponto na Zona Gráfica, isso dá-lhe a opção ‘Enviar traço para a folha de cálculo’ (apenas se a Folha de Cálculo
estiver activada). Uma vez seleccionada, esta opção permite-lhe gravar as coordenadas de um ponto na Folha de Cálculo se ele for movido. Seleccionando Propriedades… no Menu de Contexto abre o Diálogo de Popriedades, no qual pode alterar as propriedades de todos os objectos em uso (e.g., cor, tamanho, espessura da linha, estilo da linha, preenchimento). 1.3. O GeoGebra como Ferramenta de Apresentação 1.3.1. Usar a Barra de Navegação O GeoGebra oferece uma Barra de Navegação que lhe permite navegar através dos passos da construção de um ficheiro GeoGebra já preparado. Seleccione o item ‘Barra de navegação para passos da construção’ no menu Exibir para mostrar a Barra de Navegação situada na base da Zona Gráfica. A Barra de Navegação fornece um conjunto de botões de navegação e mostra o número dos passos da construção (e.g., 2 / 7 significa que está a mostrar o segundo de um total de sete passos da construção): 11 botão : ‘vai para o primeiro passo’ botão : ‘vai para o passo anterior’ botão : ‘vai para o passo seguinte’ botão : ‘vai para o passo final’ botão : ‘Reproduzir’: ‘reproduz automaticamente todos os passos da construção’ Nota: Pode alterar a velocidade desta reprodução automática usando a caixa de texto situada à direita do botão ‘Reproduzir’. botão ‘Pausa’: ‘pára automaticamente a reprodução’ Nota: Este botão só aparece depois de clicar no botão’Reproduzir’. botão : Este botão abre o Protocolo de Construção. 1.3.2. Usar o Protocolo de construção Pode aceder o Protocolo de Construção interactivo seleccionando o item ‘Protocolo de construção’ no menu Exibir. É uma tabela que mostra todos os passos da construção. O Protocolo de Construção permite-lhe refazer passo a passo uma construção já preparada, usando a Barra de Navegação situada na base da Zona Gráfica. Navegar e Modificar o Protocolo de Construção Pode usar o teclado para navegar no Protocolo de Construção: Use a seta ↑ ‘para cima’ do teclado para regredir um passo da construção. Use a seta ↓ ‘para baixo’ do teclado para avançar um passo da construção. Use a tecla Home para regressar ao início do protocolo da construção e a tecla End se quiser ir para o fim do protocolo da construção.
12 Use a tecla Delete para apagar um passo da construção seleccionado. Nota: Isto pode afectar outros objectos que dependem do objecto/passo da construção seleccionado. Também pode usar o rato para navegar no Protocolo de Construção: Faça um clique duplo numa linha para seleccionar um passo da construção. Faça um clique duplo no cabeçalho de qualquer coluna se quiser ir para o início do Protocolo de construção. Arraste e largue uma linha para mover um passo da construção para uma outra posição no Protocolo de Construção. Nota: Isto nem sempre é possível devido às dependências entre os diferentes objectos. Clique com o botão direito numa linha para abrir o Menu de Contexto do objecto referente ao passo da construção seleccionado. Nota: Pode inserir passos da construção em qualquer posição do Protocolo de Construção: Seleccione o passo da construção anterior ao novo passo que deseja inserir (eg., se quiser que o novo passo seja o quinto deve seleccionar o quarto). Deixe a janela do Protocolo de Construção aberta enquanto cria o novo objecto. Este novo passo da construção é inserido imediatamente na posição escolhida no Protocolo de Construção. Usando a coluna Ponto de quebra no menu Exibir da janela do Protocolo de Construção, pode definir certos passos da construção como ‘Pontos de quebra’. Isto permite-lhe agrupar vários objectos no mesmo passo. Quando navega através da sua construção usando a Barra de Navegação, os objectos assim agrupados são mostrados ao mesmo tempo. Nota: Pode activar ou desactivar as diferentes colunas do Protocolo de Construção usando o menu Exibir na janela do Protocolo de Construção. Exportar o Ptotocolo de Construção como Página Web O GeoGebra permite-lhe exportar o Protocolo de Construção como página web. Primeiro, abra o Protocolo de Construção usando o menu Exibir. Depois, abra o menu Ficheiro que aparece na janela do Protocolo de Construção e seleccione o item ‘Exportar como página web’ . Na janela de exportação do Protocolo de Construção pode inserir ‘Título’, ‘Autor’, e ‘Data’ da construção e escolher se quer ou não incluir a imagem da Zona Gráfica e da Zona Algébrica. Além disso, também pode escolher exportar o ‘Protocolo de construção colorido’. Isto significa que os objectos no protocolo de construção apresentam exactamente a cores dos correspondentes objectos na construção. Nota: O ficheiro HTML exportado pode ser aberto por qualquer browser (e.g. Firefox, Internet Explorer) e editado por muitos sistemas de processamento de texto (e.g. OpenOffice Writer).
1.3.3. Modificar as Configurações do GeoGebra O GeoGebra permite-lhe alterar e gravar as suas configurações favoritas usando o menu Opções. Por exemplo, pode alterar a ‘Unidade angular’ de ‘Grau’ para ‘Radiano’, ou alterar o ‘Estilo dos pontos’, ‘Estilo do ângulo recto’ e ‘Tamanho da caixa para xibir / esconder objectos’. Além disso, também pode alterar o modo como as coordenadas (‘Coordenadas’) são mostradas no ecran e quais os objectos que são rotulados (‘Rotular’). Por favor veja a secção sobre o Menu Opções para mais informações. Pode gravar as suas configurações preferidas seleccionando o item ‘Gravar as configurações actuais’ no menu Opções. Depois de as ter gravado, o GeoGebra lembrar-se-á delas e usa-las-á em cada novo ficheiro que criar. Nota: Pode restaurar as configurações padrão seleccionando ‘Restaurar as configurações padrão’ no menu Opções. Nota: Se usar o GeoGebra como ferramenta de apresentação, deve aumentar o tamanho das fontes (menu Opções) de modo que a sua audiência possa facilmente ler textos e rótulos dos objectos. 1.4. O GeoGebra como Ferramenta de Autor 1.4.1. Opções de Impressão Imprimir a Zona Gráfica O GeoGebra permite-lhe imprimir a Zona Gráfica das suas construções. Pode encontrar o correspondente item ‘Previsão da impressão’ ino menu Ficheiro. Na janela de diálogo Previsão da impressão pode especificar ‘Título’, ‘Autor’ e ‘Data’ para a construção. Além disso, pode configurar a ‘Escala’ da impressão (em cm) e alterar a orientação do papel usado (retrato ou paisagem). Nota: Para actualizar a previsão da impressão depois de ter feito alterações no texto, é necessário pressionar a tecla Enter. Imprimir o Protocolo de Construção Se quiser imprimir o Protocolo de Construção deve abrir primeiro a janela do Protocolo de Construção usando o menu Exibir. Então pode abrir a janela da Previsão da impressão do protocolo de construção no menu Ficheiro desta nova janela. Também aqui, pode inserir ‘Título’, ‘Autor’ e ‘Data’ ou alterar a ‘Escala’ e a orientação do papel antes de imprimir o Protocolo de Construção. Nota: Usando o menu Exibir na janela do Protocolo de Construção, pode activar ou desactivar as diferentes colunas: ‘Nome’, ‘Definição’, ‘Comando’, ‘Álgebra’ e ‘Ponto de quebra’. 13
1.4.2. Criar Imagens da Zona gráfica Gravar a Zona Gráfica como Imagem Pode gravar a Zona Gráfica das suas construções como imagem. Nota: A totalidade da Zona Gráfica será gravada como imagem. Se a sua construção não usa todo o espaço disponível, pode: 14 Usar as ferramentas Mover a folha de desenho, Ampliar, Reduzir para posicionar a sua construção no canto superior esquerdo da Zona Gráfica. Depois, pode reduzir o tamanho da janela do GeoGebra arrastando um dos seus cantos com o rato. Pode usar o Rectângulo de Selecção para especificar que parte da Zona Gráfica deve ser exportada e gravada como imagem. Pode criar pontos chamados Export_1 e Export_2, que são usados para definir diagonalmente cantos opostos do Rectângulo de Exportação. Nota: Os pontos Export1 e Export2 devem estar situados na área visível da Zona Gráfica. No menu Ficheiro, seleccione o item ‘Exportar’ antes de clicar no item ‘Zona Gráfica como Imagem’. Na janela de diálogo que aparece, pode especificar o ‘Formato’, a ‘Escala’ (em cm) e a ‘Resolução’ (em dpi) da imagem que pretende exportar. Nota: O tamanho real da imagem exportada é mostrado na janela de exportação, nas unidades centímetro e pixel. Por favor procure mais informação sobre os diferentes ficheiros de imagem na secção Exportar zona gráfica como imagem. Cópia da Zona Gráfica para a Área de Transferência Existem diferentes maneiras de copiar a Zona Gráfica para a área de transferência do computador: No menu Editar, pode seleccionar o item ‘Cópia da zona gráfica para a área de transferência’. No menu Ficheiro, é necessário seleccionar o item ‘Exportar’ antes de clicar no item ‘Cópia da zona gráfica para a área de transferência’. Na janela de diálogo ‘Exportar zona gráfica como imagem’ (menu Ficheiro – Exportar – Zona gráfica como imagem (png, eps) …) pode clicar no botão ‘Área de transferência’. A imagem da Zona Gráfica copiada para a área de transferência tem o formato PNG (veja PNG). Esta imagem pode ser colada noutros documentos (e.g. documento word). Nota: Para exportar uma imagem da sua construção numa certa escala (em cm) use o item ‘Zona gráfica como imagem’ no menu Ficheiro, Exportar (veja Exportar zona gráfica como imagem).
1.4.3. Criar Páginas Web Interactivas O GeoGebra permite-lhe criar páginas web interactivas, ditas Folhas de Trabalho Dinâmicas, a partir dos ficheiros GeoGebra. No menu Ficheiro, seleccione o item ‘Exportar’ e depois o item ‘Folha de trabalho dinâmica como página Web (html)’. Isto abre a janela de diálogo da Folha de trabalho dinâmica: 15 No topo da janela de exportação pode inserir ‘Título’, ‘Autor’, e ‘Data’ da sua Folha de trabalho dinâmica. O separador ‘Geral’ permite-lhe adicionar algum texto antes e depois da construção dinâmica (e.g., uma descrição da construção e algumas tarefas). Pode também determinar se a própria construção deve aparecer no momento de abertura da página web ou se deve ser aberta clicando num botão. O separador ‘Avançado’ permite-lhe alterar a funcionalidade da construção dinâmica (e.g., exibir o ícone para refazer a construção, pode abrir a janela da aplicação clicando duas vezes na zona gráfica) bem como alterar a interface do utilizador mostrada na apliqueta interactiva (e.g., exibir a barra de ferramentas, modificar a altura e a largura). Nota: Se o tamanho da sua apliqueta é demasiado grande para caber num ecran com resolução padrão (1024 x 768), pode querer redimensioná-la antes de a exportar como Folha de trabalho dinâmica. Nota: Vários ficheiros são criados quando exporta a sua Folha de trabalho dinâmica: • Ficheiro html (e.g. circunferência.html) – este ficheiro inclui a própria folha de trabalho • Ficheiro GGB (e.g. circunferência.ggb) – este ficheiro inclui a sua construção GeoGebra • geogebra.jar (vários ficheiros) – estes ficheiros incluem o GeoGebra e tornam a sua folha de trabalho interactiva Todos estes ficheiros (e.g. circunferência.html, circunferência.ggb e os ficheiros geogebra.jar) têm que estar numa mesma pasta (directório) para que a construção dinâmica funcione. O ficheiro HTML exportado (e.g. circunferência.html) pode ser visto com qualquer browser (e.g. Mozilla, Internet Explorer, Safari). Para que a construção dinâmica funcione, o seu computador tem que ter o Java instalado e activado. Pode obter o Java em http://java.com/pt_BR/download/index.jsp sem qualquer encargo. Se quiser usar a sua Folha de trabalho dinâmica num computador da sua escola, pergunte ao administrador da rede local se tem o Java instalado nos computadores dessa rede. Nota: Pode editar o texto da sua Folha de trabalho dinâmica com muitos processadores de texto (e.g. FrontPage, OpenOffice Writer), abrindo o ficheiro HTML exportado.
2. Entrada Geométrica 2.1. Notas Gerais A Zona Gráfica mostra a representação gráfica dos objectos matemáticos (e.g., pontos, vectores, segmentos, polígonos, funções, curvas, rectas, secções cónicas). Sempre que o cursor do rato é colocado sobre um tal objecto, ele é realçado e aparece um texto que o descreve. Existem várias ferramentas/modos para dizer ao GeoGebra como deve reagir ao clique do rato na Zona Gráfica (veja a secção Ferramentas de Construção). Por exemplo, clicando na Zona Gráfica pode criar um novo ponto (veja a ferramenta Novo Ponto), intersectar duas linhas (veja a ferramenta Intersectar duas linhas), ou criar uma circunferência (veja a ferramenta Circunferência dados o centro e um ponto). 2.2. Ferramentas de Construção As seguintes ferramentas/modos de construção podem ser activadas clicando nos botões da Barra de Ferramentas. Pode clicar na pequena flecha situada no canto inferior direito de um ícone para abrir um menu (‘Caixa de Ferramentas’) que contém ferramentas do mesmo tipo. Nota: Com a maior parte das ferramentas pode facilmente criar novos pontos clicando em espaços vazios da Zona Gráfica. Seleccionar Objectos Para ‘seleccionar um objecto’ deve clicar nele com o rato após ter seleccionado a ferramenta Mover. Se quiser seleccionar vários objectos ao mesmo tempo, deve definir um Rectângulo de Selecção: Seleccione a ferramenta Mover e clique na posição do primeiro canto do desejado Rectângulo de Selecção. Mantenha o botão esquerdo do rato pressionado e mova o ponteiro para a posição do canto diagonalmente oposto do desejado Rectângulo de Selecção. Após ter libertado o botão do rato, todos os objectos dentro do Rectângulo de Selecção ficam seleccionados. Nota: Para seleccionar um conjunto de dois ou mais objectos, mantenha a tecla Ctrl (MacOS: Cmd) pressionada enquanto clica nesses objectos. 16
Renomeação Rápida de Objectos Para renomear rapidamente um objecto clique nele com o botão direito do rato e abra o respectivo diálogo Renomear. Então, reescreva o nome de tal objecto e clique no botão ‘OK’. 2.2.1. Ferramentas Gerais 17 Copiar estilo visual Esta ferramenta permite-lhe copiar propriedades visuais (e.g. cor, tamanho, estilo da linha) de um objecto para outros. Para o fazer, primeiro seleccione o objecto cujas propriedades pretende copiar. Depois, clique nos objectoss que herdarão essas propriedades. Apagar Clique em qualquer objecto que queira apagar. Nota: Pode usar o botão ‘Desfazer’ se apagar acidentalmente o ojecto errado. Mover Arraste e largue objectos livres com o rato. Se seleccionar um objecto clicando nele no modo Mover, pode: • Apagar o objecto pressionando a tecla Delete • Mover o objecto usando as setas do teclado (veja Animação Manual) Nota: Pode activar a ferramenta Mover pressionando a tecla Esc. Mover a folha de desenho Arraste e largue a folha de desenho na Zona Gráfica para mover a área visível da folha de desenho. Nota: Também pode mover a folha de desenho mantendo pressionada a tecla Shift (ou Ctrl, no MS Windows) e arrastando-a com o rato em qualquer modo. Nota: Neste modo também pode alterar a relação de escala entre os eixos coordenados, arrastando cada um deles com o rato. Gravar para a folha de cálculo Esta ferramenta permite-lhe mover um objecto e gravar uma sequência dos seus valores na Folha de Cálculo. Esta ferramenta funciona para números, pontos e vectores. Nota: Por defeito, o GeoGebra usa as primeiras duas colunas vazias na Folha de Cálculo para gravar os valores dos objectos seleccionados.
18 Relação entre dois objectos Seleccione dois objectos para obter informação sobre a sua relação numa janela que se abre (veja também o comando Relação). Rodar em torno de um ponto Seleccione primeiro o ponto que é o centro da rotação. Depois, pode rodar objectos livres em torno desse centro arrastando-os com o rato. Exibir / Esconder rótulo Clique num objecto para exibir ou esconder o respectivo rótulo. Exibir / Esconder objectos Seleccione os objectos que quer exibir ou esconder depois de activar esta ferramenta. Então, mude para uma qualquer outra ferramenta para aplicar as alterações na visibilidade desses objectos. Nota: Quando activa esta ferramenta, todos os objectos que podem ser escondidos são realçados. Desta maneira, pode facilmente exibir/esconder outra vez os objectos desactivando a sua selecção antes de mudar para outra ferramenta. Ampliar Clique em qualquer lugar da Zona Gráfica para ampliar a sua construção (veja também Personalizar a Zona Gráfica) Reduzir Clique em qualquer lugar da Zona Gráfica para reduzir a sua construção (veja também Personalizar a Zona Gráfica) 2.2.2. Pontos Novo ponto Clique na Zona Gráfica para criar um novo ponto. Nota: As coordenadas do ponto são fixadas quando o botão do rato é libertado. Clicando num segmento, recta, polígono, cónica, gráfico de função ou curva, pode criar um ponto nesse objecto (veja também o comando Ponto).
Nota: Clicando na intersecção de duas linha cria um ponto de intersecção (veja também o comando Intersectar). 19 Ponto médio ou centro Pode clicar em dois pontos ou num segmento para obter o respectivo ponto médio. Também pode clicar numa secção cónica (eg., circunferência) para criar o respectivo centro. Intersectar duas linhas Os pontos de intersecção de duas linhas podem ser criados de duas maneiras: • Se seleccionar duas linhas, todos os pontos de intersecção são criados (se possível). • Se clicar directamente sobre uma intersecção de duas linhas, apenas um ponto de intersecção é criado. Nota: Para segmentos, semirectas ou arcos, pode especificar se pretende ou não ‘Permitir pontos de intersecção exteriores’ no separador ‘Básico’ do Diálogo de Popriedades. Isto pode ser usado para obter pontos de intersecção situados na extensão de tais linhas. Por exemplo, a extensão de um segmento ou semirecta é uma recta. 2.2.3. Vectores Vector definido por dois pontos Seleccione o ponto origem e depois o ponto extremidade do vector. Vector aplicado num ponto Seleccione um ponto A e um vector v para criar um novo ponto B = A + v bem como o vector de A para B. 2.2.4. Segmentos Segmento definido por dois pontos Seleccione dois pontos A e B para criar um segmento entre A e B. O comprimento do segmento aparece na Zona Algébrica.
20 Segmento dados um ponto e o comprimento Clique num ponto A que é o extremo inicial do segmento. Especifique o comprimento desejado no campo de texto da janela de diálogo que aparece. Nota: Esta ferramenta cria um segmento com comprimento a e ponto final B, o qual pode ser rodado em torno do ponto inicial A usando a ferramenta Mover. 2.2.5. Semirectas Semirecta definida por dois pontos Seleccione um ponto A e depois um ponto B para criar a semirecta de origem A passando por B. A equação da recta correspondente aparece na Zona Algébrica. 2.2.6. Polígonos Polígono Seleccione sucessivamente pelo menos três pontos, os quais serão os vértices do polígono. Depois, clique outra vez no primeiro ponto para fechar o polígono. A área do polígono é mostrada na Zona Algébrica. Polígono regular Seleccione dois pontos A e B e especifique o número n de vértices no campo de texto da janela de diálogo que aparece. Isto dá-lhe um polígono regular com n vértices (incluindo A e B). 2.2.7. Rectas Bissectriz Uma bissectriz pode ser definida de duas maneiras: • Seleccionando três pontos A, B e C produz a bissectriz do ângulo que tem vértice B. • Seleccionando duas rectas (semirectas ou segmentos de recta) produz as bissectrizes dos dois ângulos formados por tal par de objectos ou respectivos prolongamentos. Nota: Qualquer bissectriz tem vector director com comprimento 1.
21 Recta de regressão Pode criar a recta de regressão de um conjunto de pontos usando duas maneiras diferentes: • Crie um Rectângulo de Selecção que contém todos os pontos do conjunto. • Seleccione uma lista de pontos para criar a correspondente recta de regressão. Recta definida por dois pontos Seleccionando dois pontos A e B cria a recta que passa por A e B. O vector director desta recta é (B - A). Recta paralela Seleccionando uma recta g e um ponto A define a recta que passa por A paralelamente a g. A direcção de tal paralela é a direcção da recta g. Mediatriz Clique num segmento s ou em dois pontos A e B para criar a mediatriz. Nota: A direcção da mediatriz é equivalente ao vector perpendicular a s ou AB (veja também o comando Vector Perpendicular). Recta perpendicular Seleccionando uma recta g e um ponto A cria a recta passando por A perpendicularmente à recta g. Nota: A direcção da perpendicular criada é equivalente ao vector perpendicular à recta g (veja também o comando Vector Perpendicular). Recta polar ou diametral Esta ferramenta cria a recta polar ou a recta diametral de uma cónica: • Cria a polar seleccionando um ponto e uma cónica. • Cria a diametral seleccionando uma recta (ou um vector) e uma cónica. Tangentes As tangentes a uma cónica podem ser produzidas de duas maneiras: • Seleccionando um ponto A e uma cónica c produz todas as tangentes a c que passam e A. • Seleccionando uma recta g e uma cónica c produz todas as tangents a c que são paraelas à recta g.
22 • Seleccionando um ponto A e uma função f produz a recta tangente ao gráfico de f no ponto (x(A), f(x(A)). Nota: x(A) representa a abscissa do ponto A. Se o ponto A pretencer ao gráfico de f então a tangente passa por A. 2.2.8. Secções Cónicas Circunferência dados o centro e o raio Seleccione o centro M e insira a medida do raio no campo de texto da janela que aparece. Circunferência dados o centro e um ponto Seleccionando um ponto M e um ponto P define a circunferência de centro M passando por P. Nota: O raio de tal circunferência é a distância MP. Circunferência definida por três pontos Seleccionando três pontos A, B e C define a circunferência que passa nestes três pontos. Nota: Se os três pontos pertencerem a uma recta, a circunferência degenera nessa recta. Compasso Seleccione um segmento ou dois pontos para especificar o raio. Depois, clique num ponto que será o centro da circunferência. Cónica passando por cinco pontos Seleccionando cinco pontos produz a secção cónica que passa nesses pontos. Nota: Se quatro desses pontos estiverem numa recta, a cónica não é definida. Elipse Seleccione dois pontos que serão os focos da elipse. Depois, especifique um terceiro ponto que pertence à elipse.
23 Hipérbole Seleccione dois pontos que serão os focos da hipérbole. Depois, especifique um terceiro ponto que pretence à hipérbole. Parábola Seleccione um ponto e uma recta, a qual será a directriz da parábola. 2.2.9. Arcos e Sectores Nota: O valor algébrico de um arco é o seu comprimento. O valor algébrico de um sector é a sua area. Arco circular dados o centro e dois pontos Primeiro, seleccione o centro M do arco circular. Depois, seleccione o ponto inicial A do arco e, finalmente, seleccione um ponto B que especifica o comprimento do arco. Nota: O ponto A pertence sempre ao arco circular mas o ponto B pode não pertencer a esse arco. Sector circular dados o centro e dois pontos Primeiro, seleccione o centro M do sector circular. Depois, seleccione o ponto inicial A do sector e, finalmente, seleccione um ponto B que especifica o comprimento do arco do sector. Nota: O ponto A pretence sempre ao arco do sector mas o ponto B pode não pertencer a esse arco. Arco circuncircular dados três pontos Seleccionando três pontos A, B e C cria um arco passando por esses pontos. O ponto A é o ponto inicial do arco, B pretence ao arco e C é o ponto final do arco. Sector circuncircular dados três pontos Seleccionando três pontos A, B e C cria um sector circular passando por esses pontos. O ponto A é o ponto inicial do arco do sector, B pretence ao arco e C é o ponto final do arco. Semicircunferência dados dois pontos Seleccione dois pontos A eB para criar uma semicircunferência de extremos A e B.
2.2.10. Números e Ângulos 24 Ângulo Esta ferramenta cria: • Um ângulo entre três pontos cujo vértice é o segundo ponto seleccionado. • Um ângulo entre dois segmentos. • Um ângulo entre duas rectas. • Um ângulo entre dois vectores. • Todos os ângulos de um polígono. Nota: Se o polígono for criado seleccionando os seus vértices com orientação anti-horária, a ferramenta Ângulo produz os ângulos internos do polígono, senão produz os correspondentes complementos para 360 graus. Nota: Por defeito, os ângulos são criados com orientação anti-horária. Portanto, a ordem pela qual são seleccionados os objectos que definem os ângulos é relevante para esta ferramenta. Se quiser limitar a amplitude dos ângulos a 180°, desmarque ‘Permitir ângulos reentrantes’ no separador ‘Básico’ do respectivo Diálogo de Popriedades. Ângulo com amplitude fixa Seleccione dois pontos A e B e especifique a medida da amplitude do ângulo no campo de texto da janela que aparece. Esta ferramenta cria um ponto C e um ângulo α, onde α é o ângulo ABC. Área Esta ferramenta fornece o valor numérico da área de um polígono, de um círculo ou de uma elipse e mostra um texto dinâmico na Zona Gráfica. Distância, comprimento ou perímetro Esta ferramenta fornece a distância entre dois pontos, duas rectas ou entre um ponto e uma recta e mostra um texto dinâmico na Zona Gráfica. Também fornece o comprimento de um segmento, o perímetro de um polígono e o perímetro de uma circunferência ou de uma elipse. Selector Nota: No GeoGebra, um selector é a representação gráfica de um número livre ou de um ângulo livre. Pode criar um selector para qualquer número livre ou ângulo livre criados anteriormente exibindo esse objecto (veja Menu de Contexto; veja a ferramenta Exibir/Esconder objectos).
Clique em qualquer espaço livre da Zona Gráfica para criar um selector para um número ou ângulo. A janela que aparece permite-lhe especificar o ‘Nome’, ‘Intervalo’ [min, max] e ‘Incremento’ do número ou do ângulo, bem como o ‘Alinhamento’ e ‘Largura’ do selector (em pixeis). A posição de um selector pode ser absoluta (significa que o selector não é afectado pelo zoom, ficando sempre visível na Zona Gráfica) ou relativa ao sistema coordenado (veja o Diálogo de Propriedades do correspondente número ou ângulo). Nota: Na janela de diálogo de Selector pode inserir o símbolo ° do grau ou pi (π) para o intervalo e para o incremento, usando os seguintes atalhos de teclado: 25 Alt-O (MacOS: Ctrl-O) para o símbolo ° do grau Alt-P (MacOS: Ctrl-P) para o símbolo π Declive Esta ferramenta dá-lhe o declive m de uma recta e mostra na Zona Gráfica um triângulo rectângulo em que a razão entre a medida do cateto vertical e a medida do cateto horizontal é o valor absoluto de m. 2.2.11. Booleano Caixa para exibir/esconder objectos Clicando na Zona Gráfica cria uma caixa booleana (veja Operações e Variáveis Booleanas) que lhe permite exibir ou esconder um ou mais objectos. Na janela de diálogo que aparece pode especificar quais os objectos que são afectados por essa caixa. Nota: pode seleccionar estes objectos da lista providenciada na janela de diálogo ou seleccioná-los com o rato tanto na Zona Gráfica como na Zona Algébrica. 2.2.12. Lugares Geométricos Locus Seleccione um ponto B que depende de um outro ponto A e cujo locus deve ser desenhado. Então, clique no ponto A para criar o locus (ou lugar geométrico) do ponto B. Nota: O ponto A tem que estar numa linha (recta, segmento, circunferência, etc). Exemplo: • Escreva f(x) = x^2 – 2 x – 1 na Entrada de Comandos. • Coloque um novo ponto A no eixo das abcissas (veja a ferramenta Novo Ponto; veja o comando Ponto). • Crie o ponto B = (x(A), f'(x(A))) que depende do ponto A. • Seleccione a ferramenta Locus e clique sucessivamente em B e em A.
26 • Arraste o ponto A ao longo do eixo das abscissas para ver o ponto B a descrever o locus. 2.2.13. Transformações Geométricas As seguintes transformações geométricas funcionam para pontos, linhas rectas, cónicas, polígonos e imagens. Homotetia de centro num ponto por um factor Seleccione o objecto da homotetia. Depois, clique num ponto para especificar o centro da homotetia e, finalmente, insira a razão da homotetia na janela de diálogo que aparece. Reflexão numa recta Seleccione o objecto que pretende reflectir. Depois, clique numa recta (semirecta ou segmento de recta) para especificar o espelho/recta de reflexão. Reflexão num ponto Seleccione o objecto que pretende reflectir. Depois, clique num ponto para especificar o espelho/ponto de reflexão. Inversão numa circunferência Esta ferramenta permite-lhe inverter um ponto numa circunferência. Seleccione o ponto que pretende inverter. Depois, clique numa circunferência para especificar a circunferência de inversão (veja também o comando Reflexão). Rodar em torno de um ponto com uma amplitude Seleccione o objecto que pretende rodar. Depois, clique num ponto para especificar o centro da rotação e, finalmente, insira a amplitude do ângulo da rotação na janela de diálogo que aparece. Translação por um vector Seleccione o objecto que pretende transladar. Depois, clique no vector que define a translação.
2.2.14. Texto 27 Inserir texto Com esta ferramenta pode criar na Zona Gráfica textos estáticos ou dinâmicos e fórmulas em LaTeX. Primeiro, especifique a localização do texto usando uma das seguintes maneiras: • Clique num lugar vazio da Zona Gráfica para criar um novo texto nesse lugar. • Clique num ponto para criar um novo texto que fica anexado a esse ponto. Depois, aparece uma janela de diálogo onde pode inserir o texto pretendido. Nota: Pode especificar a posição de um texto como absoluta no ecran ou relativa ao sistema coordenado usando o separador ‘Básico’ do Diálogo de Propriedades. Texto Estático não depende de quaisquer objectos matemáticos e não é afectado pelas alterações na construção. Texto Dinâmico contém valores de objectos que são automaticamente adaptados às alterações provocadas nesses objectos. Texto Misto é uma combinação de texto estático e texto dinâmico. Para criar um texto dinâmico pode inserir a parte estática do texto usando o teclado (e.g., Ponto A =). Então, clique no objecto cujo valor pretende mostrar no texto. Nota: O GeoGebra adiciona automaticamente a síntaxe ("Ponto A = " + A ) necessária para criar um texto Misto: aspas na parte estática do texto e o símbolo mais (+) para ligar as diferentes partes do texto. Inserção Descrição Isto é um texto estático Texto estático "Ponto A = " + A Texto misto (duas partes) usando o valor do ponto A "a = " + a + "cm" Texto misto (três partes) usando o valor do número a Nota: Se um objecto com nome xx já existe e quiser criar um texto estático usando esse nome deve inseri-lo entre aspas: ("xx"). De outro modo, o GeoGebra criará automaticamente um texto dinâmico que lhe dá o valor do objecto xx em vez do nome. Contudo, pode escrever sem aspas qualquer texto que não coincida com o nome de nenhum objecto. Nota: Num texto misto, a parte estática tem que estar entre aspas. As diferentes partes de um texto (e.g., partes dinâmica e estática) têm que ser ligadas usando o símbolo mais (+).
Fórmulas LaTeX No GeoGebra também pode escrever fórmulas em LaTex. Para fazer isso, active a caixa ‘Fórmula LaTeX’ na janela de diálogo da ferramenta Inserir Texto e insira a sua fórmula usando síntaxe LaTeX. Nota: Para criar um texto estático ou um texto que contém uma formula LaTeX deve inserir a parte estática do texto e depois adicionar a fórmula LaTeX entre um par de símbolos ‘dollar’ ($). Exemplo: O comprimento da diagonal é $sqrt{ 2 }$. No menu situado à direita da caixa ‘Fórmula LaTeX’ pode seleccionar a síntaxe para os símbolos mais comuns nas fórmulas. Assim, insere o correspondente código LaTeX no campo de texto e coloca o cursor do rato entre um par de chavetas. Se quiser criar um texto dinâmico dentro da fórmula, clique num objecto e o GeoGebra insere o respectivo nome, bem como a síntaxe para o texto misto. Alguns comandos LaTeX importantes são explicados na tabela seguinte. Por favor consulte qualquer documentação LaTeX para mais informações. 28 LaTeX Resultado a cdot b a ⋅b a frac{a}{b} b sqrt{x} x sqrt[n]{x} n x vec{v} overline{AB} AB x^{2} x 2 a_{1} 1 a sinalpha + cosbeta sinα + cosβ int_{a}^{b} x dx ∫b a xdx sum_{i=1}^{n} i^2 Σ = n i i 1 2 2.2.15. Imagens Inserir imagem Esta ferramenta permite-lhe inserir uma imagem na Zona Gráfica: Primeiro, especifique a localização da imagem usando uma das seguintes maneiras: • Clique na Zona Gráfica para especificar a posição do canto inferior esquerdo da imagem. • Clique num ponto para o definir como canto inferior esquerdo da imagem. Então, aparece um diálogo para abertura de ficheiro que lhe permite seleccionar qualquer ficheiro de imagem que exista no seu computador.
Nota: Após ter seleccionado a ferramenta Inserir imagem, pode usar o atalho de teclado Alt-clique para colar uma imagem directamente da área de transferência para a Zona Gráfica. Propriedades das Imagens Posição A posição de uma imagem pode ser absoluta no ecran ou relativa ao sistema coordenado. Pode especificar isto no separador ‘Básico’ do Diálogo de Popriedades da imagem. Pode especificar até três pontos para os cantos da imagem no separador ‘Posição’ do Diálogo de Popriedades. Isto dá-lhe flexibilidade para alterar a escala, rodar e até distorcer imagens. 29 • ‘Canto 1’: posição do canto inferior esquerdo da imagem • ‘Canto 2’: posição do canto inferior direito da imagem Nota: Este canto controla a largura da imagem e só pode ser estabelecido se o ‘Canto 1’ já o estiver. • ‘Canto 4’: posição do canto superior esquerdo da imagem Nota: Este canto controla a altura da imagem e só pode ser estabelecido se o ‘Canto 1’ já o estiver. Nota: Veja também o comando Canto. Exemplo: Crie três pontos A, B e C para explorar os efeitos dos pontos de canto. • Estabeleça, respectivamente, os pontos A e B como primeiro e segundo cantos de uma imagem escolhida por si. Arrastando os pontos A e B no modo Mover pode explorar a influência que eles têm. • Estabeleça, respectivamente, os pontos A e C como primeiro e quarto cantos e veja agora como o arrastamento destes influencia a imagem. • Finalmente, pode definir todos os três cantos e ver como o arrastamento destes distorce a imagem. Exemplo: Já viu como influenciar a posição e o tamanho de uma imagem. Se quiser anexar a imagem a um ponto A e definir a sua largura como 5 unidades e a sua altura como 7 unidades, deve fazer o seguinte: • Defina o ‘Canto 1’ como sendo A • Defina o ‘Canto 2’ como sendo A + (5, 0) • Defina o ‘Canto 4’ como sendo A + (0, 7) Nota: Se arrastar o ponto A no modo Mover, o tamanho da imagem não se altera. Imagem de Fundo Pode especificar uma imagem como sendo ‘Imagem de Fundo’ no separador ‘Básico’ do Diálogo de Popriedades. Uma imagem de fundo fica por detrás dos eixos coordenados e não pode ser seleccionada com o rato. Nota: Se tiver uma imagem definida como imagem de fundo e quiser alterar essa configuração, abra o Diálogo de Propriedades seleccionando ‘Propriedades …’ no menu Editar.
Transparência Uma imagem pode ser tornada transparente para ver outros objectos ou os eixos coordenados que estão por de trás dela. Pode estabelecer a transparência de uma imagem especificando um valor para o ‘Preenchimento’ entre 0 % e100 % no separador ‘Estilo’ do Diálogo de Popriedades. 30
3. Entrada Algébrica 3.1. Notas Gerais A representação algébrica dos objectos matemáticos (eg., valores, coordenadas ou equações) é mostrada na Zona Algébrica. Pode criar e modificar objectos usando a Entrada de Comandos situada na base do ecran do GeoGebra (veja as secções Entrada Directa e Comandos). Nota: Pressione sempre a tecla Enter após ter inserido a definição de um objecto na Entrada de Comandos. Nota: Pressionando a tecla Enter em qualquer altura muda o foco da Zona Gráfica para a Entrada de Comandos. Isto permite-lhe inserir expressões e comandos na Entrada de Comandos sem ter que primeiro clicar nesta com o rato. Nomear Objectos Nota: Se não pretender nomear um objecto manualmente, o GeoGebra atribui os nomes de novos objectos por ordem alfabética. Pode atribuir um certo nome a um objecto quando o cria usando a Entrada de Comandos: 31 Pontos: No GeoGebra, os pontos são sempre nomeados usando letras maiúsculas. Insira o nome (e.g., A, P) e o sinal de igualdade antes das coordenadas. Exemplos: C = (2, 4), P = (1; 180°), Complexo = 2 + i Vectores: Para fazer a distinção entre pontos e vectores, os vectors são designados por letras minúsculas. Mais uma vez, insira o nome (e.g., v, u) e o sinal de igualdade antes das coordenadas do vector. Exemplos: v = (1, 3), u = (3; 90°), complexo = 1 – 2i Rectas, circunferências e secções cónicas: Qualquer destes objectos pode ser nomeado inserindo o nome e dois pontos antes da respectiva equação. Exemplos: g: y = x + 3, c: (x-1)^2 + (y – 2)^2 = 4, hyp: x^2 – y^2 = 2 Funções: Pode nomear uma função inserindo, por exemplo, f(x) = ou g(x)= antes da sua expressão algébrica. Exemplos: h(x) = 2 x + 4, q(x)= x^2, trig(x) = sin(x) Nota: Se não quiser atribuir manualmente um nome a um objecto, o GeoGebra atribui os nomes dos novos objectos por ordem alfabética. Nota: Pode criar índices nos nomes dos objectos usando um underscore. Por exemplo, A1 é inserido como A_1 e SAB é inserido como S_{AB}.
Modificar Valores Existem duas maneiras de manipular o valor de um objecto livre: 32 • Modificar o valor do objecto inserindo o seu nome e o novo valor na Entrada de Comandos (veja Entrada Directa). Exemplo: Se quiser alterar o valor de um número existente a = 3, insira a = 5 na Entrada de Comandos e depois pressione a tecla Enter. • Editar a representação algébrica: Active a ferramenta Mover e faça um duplo clique sobre o objecto na Zona Algébrica. Isto abre uma caixa de texto na qual pode editar o valor do objecto. Pressione a tecla Enter para aplicar as alterações efectuadas. Nota: O valor de um objecto livre pode ser alterado directamente mas o valor de um objecto dependente só pode ser influenciado alterando os objectos seus ‘parentes’ ou redefinindo esse objecto dependente. Mostrar Histórico da Entrada de Comandos Se quiser ver, passo a passo, os comandos inseridos anteriormente, coloque o cursor na Entrada de Comandos e use as teclas ↑ ‘para cima’ e ↓ ‘para baixo’. Nota: Clique no pequeno botão situado à esquerda da Entrada de Comandos para ver a ajuda relativa à Entrada de Comandos. Inserir o Nome, o Valor ou a Definição de um Objecto na Entrada de Comandos Inserir o nome de um objecto na Entrada de Comandos: Active a ferramenta Mover e seleccione o objecto cujo nome quer inserir na Entrada de Comandos. Depois pressione a tecla F5. Nota: O nome do objecto é anexado à expressão escrita na Entrada de Comandos antes de ter pressionado a tecla F5. Inserir o valor de um objecto na Entrada de Comandos: Existem duas maneiras de inserir o valor de um objecto (e.g., (1, 3), 3x – 5y = 12) na Entrada de Comandos. • Clique com o botão direito do rato (MacOS: Ctrl-clique) no objecto e seleccione o item ‘Copiar para a entrada de comandos’ no Menu de Contexto que aparece. • Active a ferramenta Mover e seleccione o objecto cujo valor quer inserir na Entrada de Comandos. Então, pressione a tecla F4. Nota: O valor do objecto é anexado à expressão escrita na Entrada de Comandos antes de ter pressionado a tecla F4. Inserir a definição de um objecto na Entrada de Comandos: Existem duas maneiras de inserir a definição de um objecto (e.g., A = (4, 2), c = Circunferência[A, B]) na Entrada de Comandos. • Fazendo Alt clique no objecto, insere a respectiva definição e apaga tudo o que esteja escrito na Entrada de Comandos. • Active a ferramenta Mover e seleccione o objecto cuja definição pretende inserir na Entrada de Comandos. Então, pressione a tecla F3.
33 Nota: A definição do objecto é anexada à expressão escrita na Entrada de Comandos antes de ter pressionado a tecla F3. 3.2. Entrada Directa O GeoGebra pode trabalhar com números, ângulos, pontos, vectores, segmentos, rectas, secções cónicas, funções, curvas paramétricas, etc. Pode inserir estes objectos na Entrada de Comandos usando as suas coordenadas ou equações e pressionando a tecla Enter. 3.2.1. Números e Ângulos Números Pode criar números usando a Entrada de Comandos. Se inserir um número (e.g., 3), o GeoGebra atribui uma letra minúscula como nome desse número. Se quiser dar ao número um nome específico, pode inserir tal nome seguido do sinal de igualdade e do número (e.g., pode criar o número decimal r inserindo r = 5.32). Nota: No GeoGebra, números e ângulos usam o ponto como separador decimal. Também pode usar a costante π e a constante de Euler, e, para expressões e cálculos, seleccionando-as no menu situado à direita da Entrada de Comandos ou usando atalhos de teclado. Nota: Se a letra ‘e’ ainda não estiver a ser usada como nome de um objecto existente, o GeoGebra reconhece-a como a constante de Euler se a quiser usar numa nova expressão. Ângulos Os ângulos são inseridos em graus (°) ou radianos (rad). A constante π útil se estiver a usar o radiano como unidade de medida e pode ser inserida como pi. Nota: Pode inserir o símbolo do grau (°) ou o símbolo π usando os seguintes atalhos de teclado: Alt-O (MacOS: Ctrl-O) para o símbolo de grau (°) Alt-P (MacOS: Ctrl-P) para o símbolo π Exemplo: Pode inserir um ângulo α em graus (e.g., α = 60°) ou em radianos (e.g., α = pi/3). Nota: O GeoGebra efectua todos os cálculos internos em radianos. Para tais cálculos, o símbolo ° nada significa mas a constante π/180 é usada para converter graus em radianos. Exemplo: Se a = 30 for um número, então α = a° converte a no ângulo α = 30°, não alterando o valor numérico. Se inserir b = α / °, o ângulo α é convertido no número b = 30, mais uma vez sem alteração do valor numérico.
Selectores e Teclas de Movimento Números e ângulos livres podem ser mostrados como selectores na Zona Gráfica (veja a ferramenta Selector). Usando as teclas de movimento (setas) ou as teclas + e -, pode alterar o valor de um número ou de um ângulo na Zona Algébrica ou na Zona Gráfica (veja Animação Manual). Limites do Intervalo de Variação Números e ângulos livres podem ser limitados a um intervalo [min, max] usando o separador ‘Selector’ do Diálogo de Popriedades (veja também a ferramenta Selector). Nota: Se um ângulo for dependente pode especificar a possibilidade de ele ser ou não reentrante no separador ‘Básico’ do Diálogo de Popriedades. 3.2.2. Pontos e Vectores Pontos e vectores podem ser inseridos em coordenadas cartesianas ou polares (veja a secção Números e Ângulos). Note: As letras maiúsculas denotam pontos ao passo que as minúsculas denotam vectores. Exemplos: 34 • Para inserir um ponto P ou um vector v em coordenadas cartesianas escreva P = (1, 0) ou v = (0, 5). • Para usar coordenadas polares escreva P = (1; 0°) or v = (5; 90°). Nota: É necessário usar o ‘ponto e vírgula’ para separar as duas coordenadas polares. Além disso, se não inserir o símbolo do grau, o GeoGebra trata o ângulo como se ele tivesse sido inserido em radianos. 3.2.3. Rectas e Eixos Rectas Pode inserir uma recta na forma de uma equação linear em x e y ou na forma paramétrica. Em ambos os casos, as variáveis definidas previamente (e.g. números, pontos, vectores) podem ser usadas nas equações. Nota: Pode escrever o nome da recta no início da inserção, seguido por dois pontos Exemplos: • Escreva g: 3x + 4y = 2 para inserir a recta g como equação linear. • Defina um parâmetro t (e.g., t = 3) antes de inserir a recta g na forma paramétrica usando g: X = (-5, 5) + t (4, -3). • Defina primeiro os parâmetros m = 2 and b = -1. Então, pode inserir a equação g: y = m*x + b para obter a recta g na forma reduzida.
Eixos Os dois eixos coordenados estão disponíveis nos comandos usando os nomes EixoX e EixoY. Exemplo: O comando Perpendicular[A, EixoX] constrói a perpendicular ao eixo das abscissas passando pelo ponto A. 3.2.4. Secções Cónicas Pode inserir uma secção cónica na forma de uma equação quadrática em x e y. Variáveis definidas previamente (e.g. números, pontos, vectores) podem ser usadas na equação de uma cónica. Nota: O nome de uma secção cónica pode ser escrito no início da inserção, seguido por dois pontos. Exemplos: 35 • Elipse el: el: 9 x^2 + 16 y^2 = 144 • Hipérbole hyp: hip: 9 x^2 – 16 y^2 = 144 • Parábola par: par: y^2 = 4 x • Circunferência k1: k1: x^2 + y^2 = 25 • Circunferência k2: k2: (x–5)^2 + (y+2)^2 = 25 Nota: Se definir previamente dois parâmetros a = 4 e b = 3, pode inserir uma elipse na forma el: b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2. 3.2.5. Funções de x Para inserir uma função pode usar variáveis previamente definidas (e.g. números, pontos, vectores) e outras funções. Exemplos: • Função f f(x) = 3 x^3 – x^2 • Função g g(x) = tan(f(x)) • Função sem nome sin(3 x) + tan(x) Todas as funções internas (e.g. sin, cos, tan) são descritas na secção Funções e Operações Pré-definidas. No GeoGebra também pode usar comandos para obter, por exemplo, o Integral e a Derivada de uma função. Nota: Também pode usar os comandos f'(x) or f''(x), … para obter as 1ª, 2ª, … derivadas de uma função f(x) previamente definida. Exemplo: Defina a função f como f(x) = 3 x^3 – x^2. Então, pode inserir g(x) = cos(f' (x + 2)) para obter a função g.
Além disso, uma função pode ser transladada por um vector (veja o comando Translação) e uma função livre (não dependente de outros objectos) pode ser movida com o rato usando a ferramenta Mover. Função Restrita a um Intervalo Para restringir uma função a um intervalo [a, b], pode usar o comando Função. 3.2.6. Funções e Operações Pré-definidas Para inserir números, coordenadas ou equações, (veja a secção Entrada Directa) também pode usar as funções e operações pré-definidas constantes na tabela seguinte. Note: As funções pré-definidas têm que ser inseridas usando parênteses curvos. Não pode deixar espaços entre a função e os parênteses. 36 Operação Inserir Adição + Subtracção - Multiplicação * ou espaço Produto escalar * ou espaço Divisão / Exponenciação ^ ou 2 Factorial ! Função Gamma gamma( ) Parênteses ( ) Abcissa x( ) Ordenada y( ) Valor absoluto abs( ) Sinal sgn( ) Raiz quadrada sqrt( ) Raiz cúbica cbrt( ) Número aleatório entre 0 e 1 random( ) Função exponential exp( ) ou ℯx Logaritmo (base e) ln( ) ou log( ) Logaritmo (base 2) ld( ) Logaritmo (base 10) lg( ) Co-seno cos( ) Seno sin( ) Tangente tan( ) Arco-co-seno acos( ) Arco-seno asin( ) Arco-tangente atan( ) Co-seno hiperbólico cosh( ) Seno hiperbólico sinh( ) Tangente hiperbólica tanh( ) Arco-co-seno hiperbólico acosh( ) Arco-seno hiperbólico asinh( )
37 Operação Inserir Arco-tangente hiperbólico atanh( ) Maior inteiro menor ou igual floor( ) Menor inteiro maior ou igual ceil( ) Arredondar round( ) Exemplos: No GeoGebra, também pode efectuar cálculos com pontos e vectores: • Pode criar o ponto médio M de dois pontos A e B inserindo M = (A + B) / 2 na Entrada de Comandos. • Pode calcular o comprimento c de um vector v usando c = sqrt(v * v) 3.2.7. Operações e Variáveis Booleanas Pode usar as variáveis booleanas ‘true’ (verdadeiro) ou ‘false’ (falso). Por exemplo, escreva a = true ou b = false na Entrada de Comandos e depois pressione a tecla Enter. Caixa para Exibir/Esconder Objectos e Teclas de Movimento Variáveis booleanas livres podem ser mostradas na Zona Gráfica como caixas para exibir/esconder objectos (veja a ferramenta Caixa para Exibir/Esconder objectos). Usando as teclas de movimento (setas) também pode alterar o valor de uma variável booleana na Zona Algébrica (veja Animação Manual). Nota: Também pode usar variáveis booleanas como números (valor 0 ou 1). Isto permite-lhe usar uma caixa para exibir/esconder objectos como interruptor de um selector animado, iniciando ou parando a animação. Se, por exemplo, o booleano se chamar b, nas propriedades do selector insira b no campo Velocidade. Neste caso, o botão de animação só é mostrado na Zona Gráfica se existir também um selector animado com velocidade estática (i.é. não dinâmica). Operações Booleanas Pode usar as seguintes operações boleanas no GeoGebra, copiando-as da lista abaixo para a Entrada de Comandos ou inserindo-as directamente com o teclado: Lista Teclado Exemplo Objectos Igual ؟ == a ≟ b ou a == b números, pontos, rectas, cónicas a, b Diferente ≠ != a ≠ b ou a != b números, pontos, rectas, cónicas a, b Menor < < a < b números a, b Maior > > a > b números a, b Menor ou igual ≤ <= a ≤ b ou a <= b números a, b Maior ou igual ≥ >= a ≥ b ou a >= b números a, b E ר && a ∧ b booleanos a, b Ou ש || a ∨ b booleanos a, b
38 Lista Teclado Exemplo Objectos Não ¬ ! ¬a ou !a booleano a Paralela צ a ∥ b rectas a, b Perpendicular ٣ a ⊥ b rectas a, b 3.2.8. Listas de Objectos e Operações com Listas Usando chavetas pode criar uma lista de vários objectos (e.g. pontos, segmentos, circunferências). Exemplos: • L = {A, B, C} dá-lhe a lista constituída pelos pontos A, B e C definidos previamente. • L = {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} dá-lhe a lista constituida pelos mesmos três pontos mas agora expressos pelas respectivas coordenadas cartesianas. Nota: Por defeito, os elementos desta lista não são mostrados na Zona Gráfica. Comparar Listas de Objectos Pode comparar duas listas de objectos: • lista1 == lista2: Verifica se as duas listas são iguais e retorna true (verdadeiro) ou false (falso) como resultado. • lista1 != lista2: Verifica se as duas listas são diferentes e retorna true (verdadeiro) ou false (falso) como resultado. Aplicar Operações e Funções a Listas Nota: Se aplicar operações e funções pré-definidas a listas, obterá como resultado uma nova lista. Exemplos de Adição e Subtracção: Lista1 + Lista2: Adiciona os correspondentes elementos das duas listas. Nota: As duas listas devem ter o mesmo comprimento, isto é, o mesmo número de elementos. Lista + Número: Adiciona o número a cada elemento da lista. Lista1 – Lista2: Subtrai os elementos da segunda lista dos correspondentes elementos da primeira lista. Nota: As listas devem ter o mesmo comprimento. Lista – Número: Subtrai o número de cada elemento da lista. Exemplos de Multiplicação e Divisão: Lista1 * Lista2: Multiplica os correspondents elementos das duas listas. Nota: As listas devem ter o mesmo comprimento.
39 Nota: Se duas listas tiverem matrizes compatíveis é usada a multiplicação de matrizes. Lista * Número: Multiplica cada elemento da lista pelo número. Lista1 / Lista2: Divide cada elemento da primeira lista pelo correspondente elemento da segunda lista. Nota: As listas devem ter o mesmo comprimento. Lista / Número: Divide cada elemento da lista pelo número. Number / Lista: Divide o número por cada element da lista. Outros exemplos: Lista^2: Eleva ao quadrado cada elemento da lista. sin(Lista): Aplica a função seno a cada element da lista. 3.2.9. Matrizes e Operações com Matrizes O GeoGebra também suporta matrizes. Uma matriz é representada como uma lista de listas, sendo que cada uma destas últimas representa uma linha da matriz. Exemplo: A lista {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}} representa a matrix . Operações com Matrizes Exemplos de adição e subtracção: Matriz + Matriz: Adiciona os correspondentes elementos de duas matrizes compatíveis. Matriz – Matriz: Subtrai os correspondentes elementos de duas matrizes compatíveis. Exemplos de Multiplicação: Matriz * Número: Multiplica cada elemento da matriz por um dado número. Matriz * Matriz: Usa a habitual multiplicação de matrizes para calcular a matriz produto. Nota: As linhas da primeira matriz e as colunas da segunda matriz devem ter o mesmo número de elementos. Exemplo: {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}} * {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}} dá-lhe a matriz {{9, 12, 15}, {19, 26, 33}, {29, 40, 51}}. 2x2 Matriz * Ponto (ou Vector): Multiplica a matriz pelo ponto/vector e dá-lhe um ponto como resultado. Exemplo: {{1, 2}, {3, 4}} * (3, 4) dá-he o ponto A = (11, 25). 3x3 Matriz * Ponto (ou Vector): Multiplica a matriz pelo ponto/vector e dá-lhe um ponto como resultado. Exemplo: {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {0, 0, 1}} * (1, 2) dá-lhe o ponto A = (8, 20). Nota: Este é um caso especial para transformações afins onde são usadas coordenadas homogéneas: (x, y, 1) para um ponto e (x, y, 0) para um vector. Portanto, este exemplo é equivalente a: {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {0, 0, 1}} * {1, 2, 1}.
Outros exemplos: (veja a secção Comandos de Matriz): 40 Determinante[Matriz]: Calcula o determinante da matriz dada. Inversa[Matriz]: Inverte a matriz dada. Transposta[Matriz]: Transpõe a matriz dada. 3.2.10. Números Complexos e Operações O GeoGebra não suporta números complexos directamente, mas pode usar pontos para simular operações com números complexos. Exemplo: Se inserir 3+4i na Entrada de Comandos, obtém o ponto (3, 4) na Zona Gráfica. As coordenadas deste ponto são mostradas na Zona Algébrica como 3+4i. Nota: Pode representar qualquer ponto como número complexo na Zona Algébrica. Abra o Diálogo de Propriedades para o ponto e, no separador ‘Álgebra’, seleccione ‘Número complexo’ na lista de formatos de Coordenadas. Se a unidade imaginária i ainda não estiver definida, ela será reconhecida como o par ordenado i = (0, 1) ou o número complexo 0 + 1i. Portanto, pode usar a letra i para inserir números complexos na Entrada de Comandos (e.g., q = 3 + 4i). Exemplos de adição e subtracção: • (2 + 1i) + (1 – 2i) dá-lhe o número complexo 3 – 1i. • (2 + 1i) - (1 – 2i) e dá-lhe o número complexo 1 + 3i. Exemplos de multiplicação e divisão: • (2 + 1i) * (1 – 2i) dá-lhe o número complexo 4 – 3i. • (2 + 1i) / (1 – 2i) e dá-lhe o número complexo 0 + 1i. Nota: Se A e B são dois pontos, A/B faz a divisão complexa. Nota: A multiplicação usual (2, 1)*(1, -2)dá-lhe o produto escalar dos dois vectores. Outros exemplos: O GeoGebra também reconhece expressões envolvendo números reais e números complexos. • 3 + (4 + 5i) dá o número complexo 7 + 5i. • 3 - (4 + 5i) dá o número complexo -1 - 5i. • 3 / (0 + 1i) dá o número complexo 0 - 3i. • 3 * (1 + 2i) dá o número complexo 3 + 6i. 3.3. Comandos Usando comandos pode criar novos objectos ou modificar objectos já existentes. Nota: O resultado de um comando pode ser nomeado inserindo um rótulo seguido do símbolo de igualdade, “=”. No exemplo abaixo, o novo ponto é nomeado S.
Exemplo: Para obter o ponto de intersecão de duas rectas g e h pode inserir S = Intersectar[g, h] (veja o comando Intersectar). Nota: Também pode usar um índice no nome de um objecto: A1 é inserido como A_1 enquanto que SAB é criado usando s_{AB}. Autocompletamento de Comandos Quando insere um comando na Entrada de Comandos do GeoGebra, o software tenta completar automaticamente o comando. Isto significa que depois de escrever as primeiras duas letras do comando na Entrada de Comandos, o GeoGebra sugere o primeiro comando de uma lista alfabética que começa com essas letras. 41 Para aceitar a sugestão e posicionar o cursor dentro dos parênteses rectos, bata a tecla Enter. Se o comando sugerido automaticamente não for aquele que deseja, continue a escrever e o GeoGebra adaptará as sugestões às letras que escrever. 3.3.1. Comandos Gerais PassoDaConstrução PassoDaConstrução[]: Retorna o corrente passo do Protocolo de Construção como um número PassoDaConstrução[Objecto]: Retorna o passo do Protocolo de Construção para o objecto dado como um número Apagar Apagar[Objecto]: Apaga o objecto e todos os objectos que dele dependem Relação Relação[Objecto a, Objecto b]: Mostra uma caixa de mensagem que lhe dá informação sobre a relação entre os objectos a e b. Nota: Este comando permite-lhe saber se dois objectos são iguais, se um ponto está numa recta ou numa cónica, ou se uma recta é tangente ou secante a uma cónica. 3.3.2. Comandos Booleanos Se Se[Condição, Objecto]: Fornece uma cópia do objecto se o valor da condição é true, ou um objecto indefinido se o valor da condição é false. Se[Condição, Objecto a, Objecto b]: Fornece uma cópia do objecto a se o valor da condição é true, ou uma cópia do objecto b se o valor da condição é false.
Definido Definido[Objecto]: Retorna true ou false, conforme o objecto é ou não definido. Inteiro Inteiro[Número]: Retorna true ou false conforme o número é ou não inteiro. 3.3.3. Números RazãoAfim RazãoAfim[Ponto A, Ponto B, Ponto C]: Retorna a razão afim λ de três 42 pontos colineares A, B e C, onde C = A + λ * AB Área Área[Ponto A, Ponto B, Ponto C, ...]: Fornece a área do polígono definido pelos pontos A, B, C, … Área[Cónica c]: Fornece a área da secção cónica c (circunferência ou elipse) Nota: Para calcular a área entre os gráficos de duas funções deve usar o comando Integral. PassoEixo PassoEixoX[]: Retorna o tamanho corrente do passo para o eixo das abcissas PassoEixoY[]: Retorna o tamanho corrente do passo para o eixo das ordenadas Nota: Juntamente com os comandos Canto e Sequência, os comandos PassoEixo permitem-lhe criar eixos personalizados (veja também a secção Personalizar os eixos Coordenados e o Quadriculado). CoeficienteBinomial CoeficienteBinomial[Número n, Número r]: Calcula o coeficiente binomial, isto é, o número de combinações com r elementos tomados de um conjunto com n elementos. Perímetro Perímetro[Cónica]: Retorna o perímetro de uma secção cónica Nota: Isto só faz sentido se a cónica for uma circunferência ou uma elipse. RazãoDupla RazãoDupla[Ponto A, Ponto B, Ponto C, Ponto D]: Calcula a razão cruzada λ de quarto pontos colineares A, B, C e D, onde λ = RazãoAfim[B, C, D] / RazãoAfim[A, C, D]
Curvatura Curvatura[Ponto, Função]: Calcula a curvatura do gráfico de uma função no 43 ponto dado Curvatura[Ponto, Curva]: Calcula a curvatura de uma curva no ponto dado Distância Distância[Ponto A, Ponto B]: Fornece a distância entre dois pontos A e B Distância[Ponto, Recta]: Fornece a distância entre o ponto e a recta Distância[Recta g, Recta h]: Fornece a distância entre g e h. Nota: A distância entre rectas concorrentes é nula. Este comando tem interesse apenas para rectas paralelas. ComprimentoDoSemiEixoMaior ComprimentoDoSemiEixoMaior[Cónica]: Retorna o comprimento do semi-eixo maior de uma secção cónica. ComprimentoDoSemiEixoMenor ComprimentoDoSemiEixoMenor[Cónica]: Retorna o comprimento do semi-eixo menor de uma secção cónica MDC MDC[Número a, Número b]: Calcula o máximo divisor comum dos números a e b MDC[Lista de números]: Calcula o máximo divisor comum da lista de números Quociente Quociente[Inteiro a, Inteiro b]: Calcula o quociente inteiro da divisão do número inteiro a pelo número inteiro b Integral Integral[Função, Número a, Número b]: Retorna o integral definido de uma função no intervalo [a , b]. Nota: Este comando também desenha a área entre o gráfico da função e o eixo das abcissas. Integral[Função f, Função g, Número a, Número b]: Fornece o integral definido da diferença f(x) - g(x) no intervalo [a, b]. Nota: Este comando também desenha a área entre os gráficos das duas funções f e g. Nota: Veja Integral Indefinido Iteração Iteração[Função, Número x0, Número n]: Itera a função n vezes usando o valor inicial x0 dado.
44 Exemplo: Após definir f(x) = x^2 , o comando Iteração[f, 3, 2] dá o resultado (32)2 = 81. MMC MMC[Número a, Número b]: Calcula o mínimo múltiplo comum de dois números a e b MMC[Lista de números]: Calcula o mínimo múltiplo comum dos elementos da lista Comprimento Comprimento[Vector]: Fornece o comprimento do vector dado Comprimento[Ponto A]: Fornece o comprimento do vector posição do ponto A Comprimento[Função, Número x1, Número x2]: Fornece o comprimento do gráfico da função no intervalo [x1, x2] Comprimento[Função f, Ponto A, Ponto B]: Fornece o comprimento do gráfico da função entre os pontos A e B Nota: Se os pontos A e B dados não pertencerem ao gráfico da função, este comando fornece o comprimento do gráfico da função entre os pontos C e D, onde C = (x(A), f(x(A)) e D = (x(B), f(x(B)) Comprimento[Curva, Número t1, Número t2]: Fornece o comprimento da curva entre os valores dos parâmetros t1 e t2 Comprimento[Curva c, Ponto A, Ponto B]: Fornece o comprimento da curva c entre os pontos A e B pertencentes à curva Comprimento[Lista]: Fornece o comprimento da lista, isto é, o número de elementos da lista. ExcentricidadeLinear ExcentricidadeLinear[Cónica]: Calcula a excentridade linear da secção cónica Nota: A excentridade linear é a distância entre o centro da cónica e o seu foco, ou um dos seus dois focos. SomaInferior SomaInferior[Função, Número a, Número b, Número n]: Fornece a soma inferior da função dada no intervalo [a, b] com n rectângulos Nota: Este comando também desenha os n rectângulos. Mínimo e Máximo Mínimo[Número a, Número b]: Fornece o mínimo dos dois números a e b Máximo[Número a, Número b]: Fornece o máximo dos dois números a e b Resto Resto[Inteiro a, Inteiro b]: Fornece o resto quando o inteiro a é dividido pelo inteiro b
Parâmetro Parâmetro[Parábola]: Retorna o parâmetro da parábola, isto é, a distância entre 45 o foco e a directriz Perímetro Perímetro[Polígono]: Retorna o perímetro do polígono Raio Raio[Circunferência]: Retorna o raio da circunferência Comandos Aleatórios AleatórioInteiro[inteiro min, inteiro max]: Gera um número inteiro aleatório entre os números inteiros min e max (incusive) AleatórioBinomial[Número n de tentativas, Probabilidade p]: Gera um número aleatório de uma distribuição binomial com n tentativas e probabilidade p AleatórioNormal[Média, Desvio padrão]: Gera um número aleatório de uma distribuição normal com uma dada média e um dado desvio padrão AleatórioPoisson[Média]: Gera um número aleatório de uma distribuição de Poisson com uma dada média Declive Declive[Recta]: Retorna o declive de uma dada recta Nota: Este comando também desenha o triângulo rectângulo no qual a razão entre a medida do cateto vertical e a medida do cateto horizontal é o valor absoluto do declive. O tamanho deste triângulo pode ser alterado no separador ‘Estilo’ do Diálogo de Popriedades, mantendo-se a proporção entre as medidas dos catetos SomaTrapezoidal SomaTrapezoidal[Função, Número a, Número b, Número n de trapézios]: Calcula a soma trapezoidal da função no intervalo [a, b] usando n trapézios. Nota: Este comando também desenha os n trapézios. SomaSuperior SomaSuperior[Função, Número a, Número b, Número n]: Calcula a soma superior da função no intervalo [a, b] usando n rectângulos. Nota: Este comando também desenha os n rectângulos.
3.3.4. Ângulos Ângulo Ângulo[Vector v1, Vector v2]: Retorna o ângulo entre dois vectores v1 e v2 46 (entre 0° e 360°), de v1 para v2, no sentido directo (anti-horário) Ângulo[Recta g, Recta h]: Retorna o ângulo entre os vectores directores das duas rectas g e h (entre 0° e 360°) Ângulo[Ponto A, Ponto B, Ponto C]: Retorna o ângulo entre os dois vectores B-A e C-B (entre 0° and 360°), de B-A para C-B, no sentido directo, sendo B o seu vértice. Ângulo[Ponto A, Ponto B, Ângulo α]: Retorna o ângulo com amplitude α e vértice B, desenhado a partir de A no sentido directo. Nota: O ponto Rotação[A, α, B] também é criado. Ângulo[Cónica c]: Retorna o ângulo entre o vector u = (1,0) e o vector v director do eixo principal de c, de u para v, no sentido directo (veja o comando Eixos) Ângulo[Vector]: Retorna o ângulo entre o vector (1,0) e o vector dado Ângulo[Ponto]: Retorna o ângulo entre o vector (1,0) e o vector posição do ponto dado Ângulo[Número]: Converte o número dado no ângulo que tem esse número como medida em radianos (resultado entre 0 e 2pi) Ângulo[Polígono]: Cria todos os ângulos de um polígono, no sentido positivo. Nota: Se o polígono for criado com orientação anti-horária, obtém os ângulos internos. Se o polígono for criado com orientação horária, obtém os complementos para 360°, a não ser que nas propriedades dos ângulos tenha desmarcado a caixa ‘Permitir ângulos reentrantes’. 3.3.5. Pontos Centro Centro[Cónica]: Retorna o centro da cónica Nota: Isto não faz sentido se a cónica for uma parábola. Baricentro Baricentro[Polígono]: Retorna o baricentro do polígono Canto Canto[Número n do Canto]: Cria um ponto no canto número n da Zona Gráfica (n = 1, 2, 3, 4), o qual nunca é visível no ecran Canto[Imagem, Número n do Canto]: Cria um ponto no canto número n da imagem (n = 1, 2, 3, 4) Canto[Texto, Número n do Canto]: Cria um ponto no canto número n do texto (n = 1, 2, 3, 4) Nota: A numeração dos cantos é feita em sentido anti-horário e começa no canto inferior esquerdo.
Extremo Extremo[Polinomial]: Fornece todos os extremos locais da função polinomial 47 na forma de pontos no respectivo gráfico. Focos Focos[Cónica]: Fornece todos os focos da secção cónica PontoDeInflexão PontoDeInflexão[Polinomial]: Fornece todos os pontos de inflexão da função polinomial na forma de pontos no respectivo gráfico. Intersectar Intersectar[Recta g, Recta h]: Fornece o ponto de intersecção das rectas g e h Intersectar[Recta, Cónica]: Fornece todos os pontos de intersecção da recta com a secção cónica (no máximo, 2) Intersectar[Recta, Cónica, Número n]: Fornece o n-ésimo ponto de intersecção da recta com a cónica (n =1 ou n = 2) Intersectar[Cónica c1, Cónica c2]: Fornece todos os pontos de intersecção das duas cónicas c1 e c2 (no máximo, 4) Intersectar[Cónica c1, Cónica c2, Número n]: Fornece o n-ésimo ponto de intersecção das duas cónicas c1 e c2 Intersectar[Polinomial f1, Polinomial f2]: Fornece todos os pontos de intersecção dos gráficos das funções polinomiais f1 e f2 Intersectar[Polinomial f1, Polinomial f2, Número n]: Dá o n-ésimo ponto de intersecção dos gráficos das funções polinomiais f1 e f2 Intersectar[Polinomial, Recta]: Fornece todos os pontos de intersecção da recta com o gráfico da função polinomial Intersectar[Polinomial, Recta, Número n]: Fornece o n-ésimo ponto de intersecção da recta com o gráfico da função polinomial Intersectar[Função f, Função g, Ponto A]: Dá o ponto de intersecção das funções f e g usando o método de Newton com ponto inicial A Intersectar[Function, Recta, Ponto A]: Calcula o ponto de intersecção da recta com a função, usando o método de Newton com ponto inicial A Nota: Veja também a ferramenta Intersectar duas linhas PontoMédio PontoMédio[Ponto A, Ponto B]: Retorna o ponto médio dos pontos A e B PontoMédio[Segmento]: Retorna o ponto médio do segmento Ponto Ponto[Recta]: Retorna um ponto na recta Ponto[Cónica]: Retorna um ponto na cónica
Ponto[Função]: Retorna um ponto no gráfico da função Ponto[Polígono]: Retorna um ponto na fronteira do polígono Ponto[Vector ]: Retorna um ponto no vector Ponto[Ponto A, Vector v]: Cria um novo ponto, adicionando v a A Raiz Raiz[Polinomial]: Fornece todos os zeros da função polinomial como pontos do 48 seu gráfico Raiz[Função, Número a]: Fornece um zero da função usando o método de Newton com valor inicial a Raiz[Função, Número a, Número b]: Fornece um zero da função no intervalol [a, b] (método regula falsi) Vértice Vértice[Cónica]: Retorna todos os vertices da cónica 3.3.6. Vectores VectorCurvatura VectorCurvatura[Ponto, Função]: Fornece o vector curvatura da função no ponto dado VectorCurvatura[Ponto, Curva]: Fornece o vector curvatura da curva no ponto dado Direcção Direcção[Recta]: Fornece um vector director da recta Nota: Uma recta de equação ax + by = c tem vector director (b, - a). VectorPerpendicular VectorPerpendicular[Recta]: Retorna um vector perpendicular à recta. Nota: Uma recta de equação ax + by = c tem vector perpendicular (a, b). VectorPerpendicular[Vector v]: Retorna um vector perpendicular ao vector dado. Nota: O vector com coordenadas (a, b) tem vector perpendicular (- b, a). VectorPerpendicularUnitário VectorPerpendicularUnitário[Recta]: Retorna um vector perpendicular à recta, com comprimento 1 VectorPerpendicular[Vector]: Retorna um vector perpendicular ao vector dado, com comprimento 1
VectorUnitário VectorUnitário[Recta]: Dá um vector director da recta, com comprimento 1 VectorUnitário[Vector]: Fornece um vector com comprimento 1 que tem a 49 mesma direcção e a mesma orientação do vector dado Vector Vector[Ponto A, Ponto B]: Cria o vector de A para B Vector[Ponto]: Retorna o vector posição do ponto dado 3.3.7. Segmentos Segmento Segmento[Ponto A, Ponto B]: Cria o segmento entre dois pontos A e B Segmento[Ponto A, Número c]: Cria o segmento de comprimento c a partir do ponto A Nota: O outro extremo do segmento também é criado. 3.3.8. Semirectas Semirecta Semirecta[Ponto A, Ponto B]: Cria a semirecta de origem A passando por B Semirecta[Ponto A, Vector v]: Cria a semirecta de origem A e que tem a direcção e a orientação do vector v 3.3.9. Polígonos Polígono Polígono[Ponto A, Ponto B, Ponto C,...]: Retorna o polígono com vértices A, B, C,… Polígono[Ponto A, Ponto B, Número n]: Cria o polígono regular com n vértice, sendo [A, B] um dos lados 3.3.10. Rectas Bissectriz Bissectriz[Ponto A, Ponto B, Ponto C]: Retorna oa bissectriz do ângulo definido pelos pontos A, B e C Nota: O ponto B é o vértice deste ângulo. Bissectriz[Recta g, Recta h]: Retorna ambas as bissectrizes dos ângulos definidos pelas rectas (ou apenas uma, se as rectas forem paralelas)
Assímptota Assímptota[Hipérbole]: Fornece ambas as assímptotas da hipérbole Eixos Eixos[Cónica]: Retorna o eixo principal e eixo secundário da cónica Diametral Diametral[Recta, Cónica]: Retorna a recta diametral conjugada da recta dada 50 relativamente à cónica Diametral[Vector, Cónica]: Retorna a recta diametral conjugada do vector dado relativamente à cónica Directriz Directriz[Parábola]: Fornece a recta directriz da parábola EixoMaior EixoMaior[Cónica]: Retorna o eixo maior da cónica EixoMenor EixoMenor[Cónica]: Fornece o eixo menor da cónica Recta Recta[Ponto A, Ponto B]: Cria a recta passando pelos pontos A e B Recta[Point, Recta]: Cria a recta que passa pelo ponto dado paralelamente à recta dada Recta[Ponto, Vector v]: Cria a recta que passa pelo ponto dado e tem a direcção do vector v Perpendicular Perpendicular[Ponto, Recta]: Cria a recta que passa pelo ponto dado perpendicularmente à recta dada Perpendicular[Ponto, Vector]: Cria a recta que passa pelo ponto dado perpendicularmente ao vector dado Mediatriz Mediatriz[Ponto A, Ponto B]: Fornece a mediatriz do segmento [A, B] Mediatriz[Segmento]: Fornece a mediatriz do segmento dado Polar Polar[Ponto, Cónica]: Cria a recta polar do ponto dado relativa à cónica dada
Tangente Tangente[Ponto, Cónica]: Cria todas as tangentes à secção cónica que 51 passam pelo ponto dado Tangente[Recta, Cónica]: Cria todas as tangentes à secção cónica que são paralelas à recta dada Tangente[Número a, Função f]: Cria a tangente ao gráfico da função f no ponto (a, f(a)) Tangente[Ponto A, Função]: Cria a tangente ao gráfico da função no ponto do gráfico que tem abcissa x = x(A) Nota: x(A) é a abcissa do ponto A. Tangente[Ponto, Curva]: Cria a tangente à curva no ponto dado 3.3.11. Secções Cónicas Circunferência Circunferência[Ponto M, Número r]: Fornece a circunferência de centro M e raio r Circunferência[Ponto M, Segmento]: Fornece a circunferência de centro M cujo raio mede o comprimento do segmento dado Circunferência[Ponto M, Ponto A]: Fornece a circunferência de centro M passando no ponto A Circunferência[Ponto A, Ponto B, Ponto C]: Fornece a circunferência que passa pelos pontos A, B e C Cónica Cónica[Ponto A, Ponto B, Ponto C, Ponto D, Ponto E]: Retorna a cónica que passa nos cinco pontos A, B, C, D e E Nota: Se quatro dos pontos forem colineares, a cónica não é definida. Elipse Elipse[Ponto F, Ponto G, Número a]: Cria a elipse de focos F e G em que o comprimento do eixo principal mede a Nota: Condiçaõ: 2a > Distância[F, G]. Elipse[Ponto F, Ponto G, Segmento]: Cria a elipse de focos F e G em que o comprimento do eixo principal iguala o comprimento do segmento dado Elipse[Ponto A, Ponto B, Ponto C]: Cria a elipse de focus A e B passando por C Hipérbole Hipérbole[Ponto F, Ponto G, Número a]: Cria a hipérbole de focos F e G em que o comprimento do eixo principal mede a Nota: Condição: 0 < 2a < Distância[F, G] Hipérbole[Ponto F, Ponto G, Segmento]: Cria a hipérbole de focos F e G em que o comprimento do eixo principal iguala o comprimento do segmento dado
Hipérbole[Ponto A, Ponto B, Ponto C]: Cria a hipérbole de focos A e B 52 passando por C CircunferênciaOsculadora CircunferênciaOsculadora[Ponto, Função]: Fornece a circunferência osculadora do gráfico da função no ponto dado CircunferênciaOsculadora[Ponto, Curva]: Fornece a circunferência osculadora da curva no ponto dado Parábola Parábola[Ponto F, Recta g]: Retorna a parábola de foco F e directriz g 3.3.12. Funções Funções Condicionais Pode usar o comando boleano Se para criar uma função condicional. Nota: Pode usar derivadas e integrais de tais funções e intersectar essas funções como se fossem “normais”. Exemplos: • f(x) = Se[x < 3, sin(x), x^2] proporciona-lhe a função que iguala sin(x) para x < 3 e x2 para x ≥ 3. • a ؟ 3 ˄ b ≥ 0 testa se “a iguala 3 e b é maior ou igual a 0”. Nota: Os símbolos para declarações condicionais (e.g., ؟, ˄, ≥) podem ser encontrados no menu imediatamente à direita da Entrada de Comandos. Derivada Derivada[Função]: Retorna a primeira derivada da função dada Derivada[Função, Número n]: Retorna a na derivada da função dada Nota: Pode usar f'(x) ou Derivada[f], bem assim como f''(x) em vez de Derivada[f, 2] e assim sucessivamente. Expandir Expandir[Polinomial]: Expande uma expressão factorizada. Exemplo: Expandir[(x + 3)(x - 4)] dá-lhe f(x) = x2 - x – 12 Factorizar Factorizar[Polinomial]: Factoriaza a expressão de uma função polinomial Exemplo: Factorizar[x^2 + x - 6] dá-lhe f(x) = (x-2)(x+3)
Função Função[Função, Número a, Número b]: Fornece o gráfico que é igual ao de f 53 no intervalo [a, b] e não definido fora de [a, b]. Nota: Este comando só deve ser usado para mostrar funções num certo intervalo. Exemplo: f(x) = Função[x^2, -1, 1] fornece o gráfico da função x2 no intervalo [-1, 1]. Se, após ter definido a função f, inserir g(x) = 2 f(x) , obterá a função g(x) = 2 x2, mas esta não é restrita ao intervalo [-1, 1]. Integral Integral[Função]: fornece o integral indefinido da função dada Nota: Veja Integral Definido Polinómio Polinómio[Polinomial]: Fornece a expressão expandida de uma função polinomial dada. Exemplo: Polinómio[(x - 3)^2] fornece x2 - 6x + 9 Polinómio[Lista de n pontos]: Cria o polinómio interpolador de grau n-1 que passa nesses n pontos. Simplificar Simplificar[Função]: Simplifica os termos de uma dada função, se tal for possível. Exemplos: Simplificar[x + x + x] dá-lhe a função f(x) = 3x Simplificar[sin(x) / cos(x)] dá-he a função f(x) = tan(x) Simplificar[-2 sin(x) cos(x)] dá-lhe a função f(x) = sin(-2 x) PolinómioDeTaylor PolinómioDeTaylor[Função, Número a, Número n]: Cria a expansão em série de poténcias para a função dada, em torno de x = a, até à ordem n 3.3.13. Curvas Paramétricas Curva Curva[Expressão e1, Expressão e2, Parâmetro t, Número a, Número b]: Fornece a curva paramétrica formada pelos pontos cujas coordenadas cartesianas são as expressões e1 e e2, as quais dependem do parâmetro t que varia no intervalo [a, b] Exemplo: c = Curva[2 cos(t), 2 sin(t), t, 0, 2 pi]dá a circunferência de raio 2 em torno da origem.
Nota: As curvas paramétricas podem ser usadas em expressões aritméticas como se fossem funções. Exemplo: Inserindo c(3), retorna o ponto da curva c que corresponde ao caso em que o parâmetro toma o valor 3. Nota: Com o rato pode colocar um ponto sobre a curva, usando a ferramenta Novo Ponto ou o comando Ponto. Uma vez que os extremos a e b do intervalo onde varia o parâmetro t são dinâmicos, pode usar selectores para esses extremos a e b (veja a ferramenta Selector). Comandos para curvas paramétricas Curvatura[Ponto, Curva]: Calcula a curvatura da curva no ponto dado VectorCurvatura[Ponto, Curva]: Fornece o vector curvatura da curva no 54 ponto dado Derivada[Curva]: Retorna a primeira derivada da curva Derivada[Curva, Número n]: Retorna a nª derivada da curva Comprimento[Curva, Número t1, Número t2]: Fornece o comprimento da curva entre os valores paramétricos t1 e t2 Comprimento[Curva c, Ponto A, Ponto B]: Fornece o comprimento da curva c entre dois pontos A e B que pertencem à curva CircunferênciaOsculadora[Ponto, Curva]: Fornece a circunferência osculadora no ponto dado Tangente[Ponto, Curva]: Cria a tangente à curva no ponto dado Derivada Derivada[Curva]: Fornece a primeira derivada da curva dada 3.3.14. Arcos e Sectores Nota: O valor algébrico de um arco é o seu comprimento e o valor algébrico de um sector é a sua área. Arco Arco[Cónica, Ponto A, Ponto B]: Retorna o arco da cónica entre os pontos A e B Nota: Isto só funciona para circunferências e elipses. Arco[Cónica, Número t1, Número t2]: Retorna um arco da cónica entre os valores paramétricos t1 e t2. Nota: Internamente, são usadas as seguintes formas paramétricas: o Circunferência: (r cos(t), r sin(t)), onde r é o raio da circunferência o Elipse: (a cos(t), b sin(t)), onde a e b são os comprimentos do eixo principal e do eixo secundário, respectivamente
ArcoCircular ArcoCircular[Ponto M, Ponto A, Ponto B]: Cria um arco na circunferência 55 de centro M que passa por A. O ponto A é um dos extremos do arco. O outro extremo é a intersecção da circunferência com a semirecta de origem M que passa em B. Nota: O ponto B pode não pertencer ao arco. SectorCircular SectorCircular[Ponto M, Ponto A, Ponto B]: Cria um sector no círculo de centro M cuja circunferência passa por A. O ponto A é um dos extremos do arco do sector. O outro extremo é a intersecção da circunferência com a semirecta de origem M que passa em B Nota: O ponto B pode não pertencer ao arco do sector. ArcoCircuncircular ArcoCircuncircular[Ponto A, Ponto B, Ponto C]: Cria um arco na circunferência definida pelos pontos A, B, e C. Mais precisamente, cria o arco de extremos A e C que passa p B. SectorCircuncircular SectorCircuncircular[Ponto A, Ponto B, Ponto C]: Cria um sector no círcuncírculo definido pelos pontos A, B, e C. O arco deste sector tem extremos A e C e passa em B. Sector Sector[Cónica, Ponto A, Ponto B]: Fornece um sector definido pelos pontos A e B da cónica e o centro da dita Nota: Isto funciona apenas para circunferências e elipses. Sector[Cónica, Número t1, Número t2]: Fornece um sector definido pelos pontos P1 e P2 da cónica e o centro da dita, onde P1 e P2 são os pontos que correspondem, respectivamente, aos valores paramétricos t1 e t2 e a cónica tem uma das seguintes formas paramétricas: • Circunferência: (r cos(t), r sin(t)) , onde r é o raio da circunferência • Elipse: (a cos(t), b sin(t)) , onde a e b são, respectivamente, os comprimentos do eixo principal e secundário da cónica Semicircunferência Semicircunferência[Ponto A, Ponto B]: Cria a semicircunferência de diâmetro AB tal que, sendo M o ponto médio deste diâmetro, o ângulo AMB tem orientação horária
3.3.15. Texto FracçãoEmTexto FracçãoEmTexto[Number]: Converte um número decimal numa fracção, a qual é 56 mostrada na Zona Gráfica na forma de um texto em LaTeX. Exemplo: Sendo a: y = 1.5 x + 2 uma recta, então FracçãoEmTexto[Declive[a]] dá-lhe a fracção 3/2 como texto. LaTex LaTex[Objecto]: Retorna a fórmula para o objecto, na forma de texto em LaTeX Exemplo: Se a = 2 e f(x) = a x2, então LaTex[f] retorna 2 x2 (texto LaTeX) LaTex[Objecto, Booleano]: Retorna a fórmula para o objecto na forma de texto em LaTeX. O booleano determina se as variáveis são substituídas pelos valores (true) ou se os nomes das variáveis são mostrados no texto (false). Exemplos: Se a = 2 e f(x) = a x2, então LaTex[f, true] retorna 2 x2 (texto LaTeX) LaTex[f, false] retorna a x2 (texto LaTeX) LetraParaUnicode LetraParaUnicode["Letra"]: Transforma uma letra no seu número Unicode Nota: A letra tem que estar entre aspas. Exemplo: LetraParaUnicode["a"] retorna o número 97 Nome Nome[Objecto]: Retorna o nome do objecto como texto na Zona Gráfica Nota: Use este comando em textos dinâmicos para objectos que necessitam de ser renomeados. O comando Nome é o oposto do comando Objecto. Objecto Objecto[Nome do objecto como texto]: Retorna o objecto cujo nome é dado como texto (estático e/ou dinâmico). O resultado é sempre um objecto dependente. Nota: O comando Objecto é o oposto do comando Nome. Exemplo: Se os pontos A1, A2, ... , A20 existem e o selector n tem o valor 2, então Objecto["A" + n] dá-lhe uma cópia do ponto A2. Tabela Tabela[Lista 1, Lista 2, Lista 3,...]: Cria uma tabela em forma de texto, sendo cada linha formada pelos elementos de uma das listas dadas Nota: Por defeito, cada lista é apresentada numa nova coluna da tabela. Exemplos: • Tabela[{x^2, 4}, {x^3, 8}, {x^4, 16}] cria uma tabela na forma de um texto com três linhas e duas colunas. Todos os items da tabela são alinhados à esquerda.
57 • Tabela[Sequência[i^2, i, 1, 10]] cria uma tabela na forma de um texto com uma linha. Todos os items são alinhados à esquerda Tabela[Lista 1, Lista 2, ... Lista n, "Alinhamento do texto"]: Cria uma tabela na forma de um texto contendo todos os elementos das listas. A opção “Alinhamento do texto” controla a orientação e o alinhamento do texto. Nota: Os possíveis valores para a orientação e para o alinhamento do texto são "vl", "vc", "vr", "v", "h", "hl", "hc", "hr". Por defeito, o GeoGebra considera "hl". "v" = vertical, i.e. as listas são colunas "h" = horizontal, i.e. as listas são linhas "l" = alinhado à esquerda (left) "r" = a linhado à direita (right) "c" = centrado Exemplos: Tabela[{1,2,3,4},{1,4,9,16},"v"] cria um texto com duas colunas e quatro linhas cujos elementos são alinhados à esquerda. Tabela[{1,2,3,4},{1,4,9,16},"h"] cria um texto com duas linhas e quatro colunas cujos elementos são alinhados à esquerda. Tabela[{11.2,123.1,32423.9,"234.0"},"r"] cria um texto com uma linha cujos elementos são alinhados à direita. Texto Texto[Objecto]: Retorna a fórmula de um objecto como texto. Nota: por defeito, as variáveis são substituídas pelos valores atribuídos. Exemplo: Se a = 2 e c = a2, então Texto[c] retorna o texto "4". Texto[Objecto, Booleano]: Retorna a fórmula de um objecto como texto. O boleano determina se as variáveis são substituídas pelos valores atribuídos (true) ou se os nomes das variáveis são mostrados no texto (false). Exemplo: Se a = 2 e c = a2, então Texto[c, true] retorna o texto "4". Texto[c, false] retorna o texto "a2" Texto[Objecto, Ponto]: Retorna a fórmula do objecto como texto na posição do ponto dado. Exemplo: Texto["olá", (2, 3)] coloca o texto na posição (2, 3). Texto[Objecto, Ponto, Booleano]: Retorna a fórmula do objecto como texto na posição do ponto dado. O boleano determina se as variáveis são substituídas pelos valores atribuídos (true) ou se os nomes das variáveis são mostrados no texto (false). TextoParaUnicode TextoParaUnicode["Texto"]: Transforma o texto numa lista de números Unicode, um para cada caracter. Exemplos: TextoParaUnicode["Algum texto"] dá-lhe a lista dos números Unicode {65, 108, 109, 103, 117, 109, 32, 116, 101, 120, 116, 111}.
58 Se texto1 é "Olá", então TextoParaUnicode[texto1] dá-lhe a lista {79, 108, 225}. UnicodeParaLetra UnicodeParaLetra[Inteiro]: Converte cada número inteiro Unicode numa letra que é mostrada como texto na Zona Gráfica. Exemplo: UnicodeParaLetra[97] dá-lhe o texto "a". UnicodeParaTexto UnicodeParaTexto[Lista de Inteiros]: Converte uma lista de números inteiros Unicode num texto. Exemplo: UnicodeParaTexto[{79, 108, 225}] dá-lhe o texto "Olá". 3.3.16. Lugares Geométricos Locus Locus[Ponto Q, Ponto P]: Retorna o lugar geométrico do ponto Q que depende do ponto P. Nota: O ponto P tem que pertencer a uma linha (e.g. recta, segmento, circunferência, curva). 3.3.17. Listas e Sequências Juntar Juntar[Lista, Objecto]: Junta o objecto à lista Exemplo: Juntar[{1, 2, 3}, (5, 5)] dá-lhe {1, 2, 3, (5, 5)} Juntar[Objecto, Lista]: Junta a lista ao objecto Exemplo: Juntar[(5, 5), {1, 2, 3}] dá-lhe {(5, 5), 1, 2, 3} ContarSe ContarSe[Condição, Lista]: Conta o número de elementos da lista que satisfazem a condição Exemplos: ContarSe[x < 3, {1, 2, 3, 4, 5}] dá-lhe o número 2 ContarSe[x<3, A1:A10], onde A1:A10 é um bloco de células na folha de cálculo, conta todas as células cujos valores são inferiores a 3. Elemento Elemento[Lista, Número n]: Fornece o n-ésimo elemento da lista Nota: A lista deve conter elementos de um único tipo (e.g., só números ou só pontos).
Primeiros Primeiros[Lista]: Retorna o primeiro elemento da lista Primeiros[Lista, Número n de elementos]: Retorna uma nova lista que contém apenas os primeiros n elementos da lista dada. Inserir Inserir[Objecto, Lista, Posição]: Insere o objecto na lista, colocando-o 59 na posição dada. Exemplo: Inserir[x^2, {1, 2, 3, 4, 5}, 3] coloca x2 na Terceira posição e dá-lhe a nova lista {1, 2, x2, 3, 4, 5} Nota: Se a posição for um número negativo, então é contada da direita para a esquerda. Exemplo: Inserir[(1, 2), {1, 2, 3, 4, 5}, -1] coloca o ponto no fim da lista e dá-lhe a nova lista {1, 2, 3, 4, 5, (1, 2)} Inserir[Lista1, Lista2, Posição]: Insere todos os elementos da lista1 na lista2, na posição dada. Exemplo: Inserir[{11, 12}, {1, 2, 3, 4, 5}, 3] coloca os elementos da lista1 na terceira posição (e seguintes posições) da lista2 e fornece a nova lista {1, 2, 11, 12, 3, 4, 5} Nota: Se a posição for um número negativo, então é contada da direita para esquerda. Exemplo: Inserir[{11, 12}, {1, 2, 3, 4, 5}, -2] coloca os elementos da lista1 na penúltima posição da lista2 e fornece a nova lista {1, 2, 3, 4, 11, 12, 5}. Intersecção Intersecção[Lista1, Lista2]: Fornece uma nova lista contendo todos os elementos que pertencem a ambas as listas dadas ListaDeIteração ListaDeIteração[Função, Número x0, Número n]: Dá-lhe a lista de comprimento n+1 cujos elementos são os iterados da função dada, com valor inicial x0. Exemplo: Após ter definido a função f(x) = x^2 o comando L = ListaDeIteração[f, 3, 2] dá-lhe a lista L = {3, 32, (32)2} = {3, 9, 81} Concatenar Concatenar[Lista1, Lista2, ...]: Junta duas ou mais listas. Nota: A lista resultante contém todos os elementos das listas iniciais mesmo se eles forem iguais. Os elementos da nova lista não são reordenados. Exemplos: Concatenar[{5, 4, 3}, {1, 2, 3}] cria a lista {5, 4, 3, 1, 2, 3} Concatenar[Lista de listas]: Junta as sub-listas numa só lista. Nota: A nova lista contém todos os elementos das listas iniciais mesmo se eles forem iguais. Os elementos da nova lista não são reordenados.
60 Exemplos: Concatenar[{{1, 2}}] cria a lista {1, 2} Concatenar[{{1, 2, 3}, {3, 4}, {8, 7}}] cria a lista {1, 2, 3, 3, 4, 8, 7} ManterSe ManterSe[Condição, Lista]: Cria uma nova lista que contém apenas os elementos da lista inicial que satisfazem a condição dada Exemplo: ManterSe[x<3, {1, 2, 3, 4, 1, 5, 6}] retorna a nova lista {1, 2, 1} Últimos Últimos[Lista]: Retorna o último elemento da lista dada. Últimos[Lista, Número n de elementos]: Retorna uma nova lista que contém apenas os últimos n elementos da lista dada Comprimento Comprimento[Lista]: Fornece o comprimento da lista dada, isto é, o número de elementos dessa lista. Mínimo Mínimo[Lista]: Retorna o mínimo dos elementos da lista dada Máximo Máximo[Lista]: Retorna o máximo dos elementos da lista Produto Produto[Lista de números]: Calcula o produto de todos os números da lista RemoverIndefinidos RemoverIndefinidos[Lista]: Remove os objectos indefinidos da lista. Exemplo: RemoverIndefinidos[Sequência[(-1)^i, i, 1, 3, 0.5]] remove o segundo e o quarto elementos da sequência porque estes têm expoente não inteiro e portanto são indefinidos. Reverter Reverter[Lista]: Inverte a posição dos elementos da lista Exemplo: Reverter[{3, 5, 1, 2, 5}] dá a lista [{5, 2, 1, 5, 3}. Sequência Sequência[Expressão, Variável i, Número a, Número b]: Dá a lista dos objectos criados usando a expressão e o índice i que varia de a até b.
61 Exemplo: L = Sequência[(2, i), i, 1, 5] cria a lista dos pontos cuja ordenada varia de 1 até 5 Sequência[Expressão, Variável i, Número a, Número b, Número s]: Fornece a lista de objectos criados usando a expressão dada e o índice i que varia desde a até b com incremento s. Exemplo: L = Sequência[(2, i), i, 1, 5, 0.5] cria a lista dos pontos cuja ordenada varia de 1 até 5 com incremento 0.5. Nota: Dado que os parâmetros a e b são dinâmicos, pode usar qualquer um deles como selector. Ordenar Ordenar[Lista]: Ordena uma lista de números, textos ou pontos. Nota: Uma lista de pontos é ordenada de acordo com as abcissas. Exemplos: Ordenar[{3, 2, 1}] dá a lista {1, 2, 3}. Ordenar[{"pêras", "maçãs", "figos"}] dá os elementos da lista segundo a ordem alfabética: {"figos", "maçãs", "pêras"} Ordenar[{(3, 7), (2, 5), (4, 1)}] dá {(2, 5), (3, 7), (4, 1)}. Soma Soma[Lista]: Calcula a soma de todos os elementos da lista. Nota: Este comando funciona para números, pontos, vectores, textos e funções. Exemplos: Soma[{1, 2, 3}] dá o número a = 6. Soma[{x^2, x^3}] dá a função f(x)=x2 + x3. Soma[Sequência[i,i,1,100]] dá o número a = 5050. Soma[{(1, 2), (7, 3)}] dá o ponto A = (8, 5). Soma[{(1, 2), 3}] dá o ponto B = (4, 2). Soma[{"a","b","c"}] dá o texto "abc". Soma[Lista, Número n de elementos]: Calcula a soma dos primeiros n elementos da lista. Nota: Este comando funciona para números, pontos, vectores, textos e funções. Exemplo: Soma[{1, 2, 3, 4, 5, 6}, 4] dá o número a = 10. ParteDaLista ParteDaLista[Lista, Posição inicial m, Posição final n]: Retorna a lista dos elementos que na lista dada estão situados entre as posições m e n, inclusive Exemplo: ParteDaLista[{7, 5, 1, 6}, 2, 3] dá a lista {5, 1} Reunião Reunião[Lista1, Lista2]: Junta as duas listas e remove os elementos que são repetições de outros.
3.3.18. Transformações Geométricas Homotetia Homotetia[Ponto A, Número r, Ponto S]: Dá o transformado do ponto A na 62 homotetia de centro S e razão r Homotetia[Recta, Número r, Ponto S]: Dá a transformada da recta na homotetia de centro S e razão r Homotetia[Cónica, Número r, Ponto S]: Dá a transformada da cónica na homotetia de centro S e razão r Homotetia[Polígono, Número r, Ponto S]: Dá o transformado do polígono na homotetia de centro S e razão r Nota: Também são criados novos vértices e segmentos. Homotetia[Imagem, Número r, Ponto S]: Dá a transformada da imagem na homotetia de centro S e razão r Nota: Veja também a ferramenta Homotetia de centro num ponto por um factor Reflexão Reflexão[Ponto A, Ponto B]: Reflecte o ponto A no ponto B Reflexão[Recta, Ponto]: Reflecte a recta no ponto Reflexão[Cónica, Ponto]: Reflecte a cónica no ponto Reflexão[Polígono, Ponto]: Reflecte o polígono no ponto Nota: Também são criados novos vértices e segmentos. Reflexão[Imagem, Ponto]: Reflecte a imagem no ponto Reflexão[Ponto, Recta]: Reflecte o ponto na recta Reflexão[Recta g, Recta h]: Reflecte a recta g na recta h Reflexão[Cónica, Recta]: Reflecte a cónica na recta Reflexão[Polígono, Recta]: Reflecte o polígono na recta Nota: Também são criados novos vértices e segmentos. Reflexão[Imagem, Recta]: Reflecte a imagem na recta Reflexão[Ponto, Circunferência]: Inverte o ponto na circunferência Nota: Veja também as ferramentas Reflecção num ponto; Reflecção numa recta; Inversão numa circunferência Rotação Rotação[Ponto, Ângulo]: Roda o ponto pelo ângulo dado em torno da origem dos eixos coordenados Rotação[Vector, Ângulo]: Roda o vector pelo ângulo dado em torno da origem do vector Rotação[Recta, Ângulo]: Roda a recta pelo ângulo dado em torno da origem dos eixos coordenados Rotação[Cónica, Ângulo]: Roda a cónica pelo ângulo dado em torno da origem dos eixos coordenados
Rotação[Polígono, Ângulo]: Roda o polígono pelo ângulo dado em torno da 63 origem dos eixos coordenados Nota: Também são criados novos vértices e segmentos. Rotação[Imagem, Ângulo]: Roda a imagem pelo ângulo dado em torno da origem dos eixos coordenados Rotação[Ponto A, Ângulo, Ponto B]: Roda o ponto A pelo ângulo dado em torno do ponto B Rotação[Recta, Ângulo, Ponto]: Roda a recta pelo ângulo dado em torno do ponto Rotação[Vector, Ângulo, Ponto]: Roda o vector pelo ângulo dado em torno do ponto Rotação[Cónica, Ângulo, Ponto]: Roda a cónica pelo ângulo dado em torno do ponto Rotação[Polígono, Ângulo, Ponto]: Roda o polígono pelo ângulo dado em torno do ponto Nota: Também são criados novos vértices e segmentos. Rotação[Imagem, Ângulo, Ponto]: Roda a imagem pelo ângulo dado em torno do ponto Nota: Veja também a ferramenta Rodar em torno de um ponto com uma amplitude Translação Translação[Ponto, Vector ]: Translada o ponto pelo vector Translação[Recta, Vector]: Translada a recta pelo vector Translação[Cónica, Vector]: Translada a cónica pelo vector Translação[Função, Vector]: Translada a função pelo vector Translação[Polígono, Vector]: Translada o polígono pelo vector Nota: Também são criados novos vértices e segmentos. Translação[Imagem, Vector]: Translada a imagem pelo vector Translação[Vector v, Ponto]: Cria o representante do vector v aplicado no ponto dado Nota: Veja também a ferramenta Translação por um vector 3.3.19. Comandos de Estatística DiagramaDeBarras DiagramaDeBarras[Valor a, Valor b, Lista das alturas]: Cria um diagrama de barras sobre o intervalo [a, b]. O número de barras é determinado pelo comprimento da lista cujos elementos são as alturas das barras Exemplo: DiagramaDeBarras[10, 20, {4,1,3,5,2} ] dá o diagrama de barras sobre o intervalo [10, 20], com cinco barras cujas alturas são as especificadas na lista.
DiagramaDeBarras[Valor a, Valor b, Expressão e1, Variável k, 64 Desde c, Até d]: Cria um diagrama de barras sobre o intervalo [a, b] dado. As alturas das barras são calculadas usando a expressão e1 cuja variável k percorre o intervalo [c, d] Exemplo: Se p = 0.1, q = 0.9, e n = 10 são números, então DiagramaDeBarras[ -0.5, n + 0.5, CoeficienteBinomial[n,k]*p^k*q^(n-k), k, 0, n ] dá um diagrama de barras no intervalo [-0.5, 10.5]. As alturas das barras dependem das probabilidades calculadas usando a expressão dada. DiagramaDeBarras[Valor a, Valor b, Expressão e1, Variável k, Desde c, Até d, Incremento s]: Cria um diagrama de barras sobre o intervalo [a, b]. As alturas das barras são calculadas usando a expressão e1 cuja variável k percorre o intervalo [c, d] com o incremento s dado DiagramaDeBarras[Lista de dados não classificados, Largura das barras]: Cria um diagrama de barras usando uma lista de dados não classificados. A largura das barras é a especificada Exemplo: DiagramaDeBarras[{1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,5,5,5,5}, 1] DiagramaDeBarras[Lista de dados classificados, Lista de frequências]: Cria um diagram de barras usando uma lista de dados classificados e outra lista com as correspondentes frequências Nota: Os dados classificados têm que crescer em progressão aritmética. Exemplos: DiagramaDeBarras[{10,11,12,13,14}, {5,8,12,0,1}] DiagramaDeBarras[{5, 6, 7, 8, 9}, {1, 0, 12, 43, 3}] DiagramaDeBarras[{0.3, 0.4, 0.5, 0.6}, {12, 33, 13, 4}] DiagramaDeBarras[Lista de dados classificados , Lista de frequências, Largura das barras w]: Dá o diagrama de barras usando a lista de dados classificados e as correspondentes frequências. As barras possuem a largura w especificada Nota: Os dados classificados têm que crescer em progressão aritmética Exemplos: DiagramaDeBarras[{10,11,12,13,14}, {5,8,12,0,1}, 0.5] deixa lacunas entre as barras DiagramaDeBarras[{10,11,12,13,14}, {5,8,12,0,1}, 0] produz um diagrama em que as barras são linhas CaixaDeBigodes CaixaDeBigodes[y_deslocamento, y_escala, Lista de dados não classificados]: Cria um diagrama de extremos e quartis, vulgo caixa de bigodes, usando uma lista de dados não classificados. A posição vertical do diagrama é controlada pela variável y_deslocamento. A altura do diagrama é influenciada pelo factor y_escala Exemplo: CaixaDeBigodes[0, 1, {2,2,3,4,5,5,6,7,7,8,8,8,9}] CaixaDeBigodes[y_deslocamento, y_escala, Mínimo, Quartil1, Mediana, Quartil3, Máximo]: Cria a caixa de bigodes no intervalo [Mínimo, Máximo], tendo em conta os dados estatísticos especificados
Covariância Covariância[Lista1 de números, Lista2 de números]: Calcula a 65 covariância usando os elementos de ambas as listas dadas Covariância[Lista de pontos]: Calcula a covariância usanddo as coordenadas dos pontos dados na lista RegressãoLinear RegressãoLinear[Lista de pontos]: Calcula a recta de regressão de y em x para os pontos dados na lista RegressãoLinearX[Lista de pontos]: Calcula a recta de regressão de x em y para os pontos dados na lista Outros Comandos de Regressão RegressãoExponencial[Lista de pontos]: Calcula a curva de regressão exponencial na forma a e^(b x) RegressãoLogarítmica[Lista de pontos]: Calcula a curva de regressão logarítmica na forma a+b ln(x) RegressãoLogística[Lista de pontos]: Calcula a curva de regressão na forma a/(1+b x^(-kx)). Nota: O primeiro e o último ponto da lista devem de estar muito próximos da curva. A lista deve ter pelo menos três pontos, preferivelmente mais. RegressãoPolinomial[Lista de pontos, Grau n do polinómio]: Calcula a regressão polinomial de grau n RegressãoPotência[Lista de pontos]: Calcula a curva de regressão na forma a xb. Nota: Todos os pontos usados têm que estar no primeiro quadrante do sistema coordenado. RegressãoSeno[Lista de pontos]: Calcula a curva de regressão na forma a + b sin(cx+d). Nota: A lista deve conter pelo menos quarto pontos, preferivelmente mais, e também deve conter pelo menos dois pontos de extremo (máximo ou mínimo). Os primeiros dois pontos de extremo local não devem ser muito diferentes dos pontos de extremo absoluto da curva. Histograma Histograma[Lista dos limites das classes, Lista das alturas]: Cria um histograma em que as alturas das barras são as frequências das classes. Os limites das classes determinam a largura e a posição de cada barra do histograma. Exemplo: Histograma[{0, 1, 2, 3, 4, 5}, {2, 6, 8, 3, 1}] cria um histograma de 5 barras com as alturas especificadas. A primeira barra é posicionada sobre o intervalo [0, 1], a segunda é posicionada sobre o intervalo [1, 2], e assim sucessivamente. Histograma[Lista dos limites das classes, Lista de dados não classificados]: Cria um histograma usando uma lista de dados não classificados. Os limites das classes determinam a largura e a posição de
66 cada barra. Também determinam quantos dados ficam em cada classe. Exemplo: Histograma[{1, 2, 3, 4},{1.0, 1.1, 1.1, 1.2, 1.7, 2.2, 2.5, 4.0}] cria um histograma de 3 barras: a primeira com altura 5, a segunda com altura 2 e a terceira com altura 1. InversaNormal InversaNormal[Média, Desvio padrão, Probabilidade]: Calcula a função inversa Φ-1(probabilidade) * (desvio padrão) + (média) onde Φ-1 é a inversa da função densidade de probabilidade Φ para a N(0,1) Nota: Retorna a abcissa x que corresponde à probabilidade dada, isto é, corresponde á área situada sob a curva de distribuição normal, à esquerda de x. Comandos de Média Média[Lista de números]: Calcula a média dos números da lista dada MédiaX[Lista de pontos]: Calcula a média das abscissas dos pontos da lista MédiaY[Lista de pontos]: Calcula a média das ordenadas dos pontos da lista Mediana Mediana[Lista de números]: Determina a mediana dos números da lista Moda Moda[Lista de números]: Determina a(s) moda(s) dos números da lista. Exemplos: Moda[{1,2,3,4}] retorna a lista vazia {} Moda[{1,1,1,2,3,4}] retorna a lista {1} Moda[{1,1,2,2,3,3,4}] retorna a lista {1, 2, 3} Normal Normal[Média, Desvio padrão, Valor da variável]: Calcula a função Φ((x - média) / (desvio padrão)) onde Φ (x) é a função densidade de probabilidade da normal N(0,1) . Nota: Retorna a probabilidade para um dado valor da variável, digamos x, isto é, retorna o valor da área sob a curva de distribuição normal, à esquerda de x. CoeficienteDeCorrelação CoeficienteDeCorrelação[Lista de abcissas, Lista de ordenadas]: Calcula o coeficiente de correlação linear (coeficiente de Pearson) usando as coordenadas dadas nas listas. CoeficienteDeCorrelação[Lista de pontos]: Calcula o coeficiente de correlação linear usando as coordenadas dos pontos dados na lista.
Comandos de Quartil Quartil1[Lista de números]: Determina o primeiro quartil dos números da lista dada Quartil3[Lista de números]: Determina o terceiro quartil dos números da lista dada DesvioPadrão DesvioPadrão[Lista de números]: Calcula o desvio padrão dos números da 67 lista dada Comandos Sigma SigmaXX[Lista de números]: Calcula a soma dos quadrados dos números da lista Exemplo: Para determinar a variância dos números da lista pode usar SigmaXX[lista]/Comprimento[lista] - Média[lista]^2. SigmaXX[Lista de pontos]: Calcula a soma dos quadrados das abscissas dos pontos dados na lista SigmaXY[Lista de abcissas x, Lista de ordenadas y]: Calcula a soma dos produtos xi*yi, onde xi e yi são números na mesma posição i das respectivas listas SigmaXY[Lista de pontos]: Calcula a soma dos produtos xi *yi, em que xi e yi são as coordenadas dos pontos dados na lista. Exemplo: Pode determinar a covariância de uma lista de pontos usando SigmaXY[lista]/Comprimento[lista] - MédiaX[lista] * MédiaY[lista]. SigmaYY[Lista de pontos]: Calcula a soma dos quadrados das ordenadas dos pontos dados na lista Quantidades estatísticas SXX[Lista de números, Lista de números]: Calcula a estatística Σ(x2) - Σ(x) * Σ(x)/n SXX[Lista de pontos]: Calcula a estatística Σ(x2) - Σ(x) * Σ(x)/n SXY[List de números, Lista de números]: Calcula a estatística Σ(xy) - Σ(x) * Σ(y)/n SXY[Lista de pontos]: Calcula a estatística Σ(xy) - Σ(x) * Σ(y)/n. SYY[Lista de números, Lista de números]: Calcula a estatística Σ(y2) - Σ(y) * Σ(y)/n SYY[Lista de pontos]: Calcula a estatística Σ(y2) - Σ(y) * Σ(y)/n. Nota: Estas quantidades são simplesmente formas não normalizadas da variância e da covariância de X e Y dadas por SXX = N var(X), SYY = N var(Y) e SXY = N cov(X,Y) Exemplo: pode determinar o coeficiente de correlação para uma lista de pontos usando SXY[lista] / sqrt(SXX[lista] SYY[lista]).
Variância Variância[Lista de números]: Calcula a variância dos números da lista dada 3.3.20. Comandos de Folha de Cálculo Bloco Bloco[Célula inicial, Célula final]: Cria uma lista contendo os valores 68 das células de um bloco rectangular em que a célula inicial é o canto superior esquerdo do rectângulo e a célula final é o canto inferior direito Exemplos: Bloco[A1, A3] dá a lista {A1, A2, A3} Bloco[A1, C2] dá a lista {A1, A2, B1, B2, C1, C2} Coluna Coluna[Célula]: Retorna a coluna da célula como número (começando em 1) Exemplo: Coluna[B3] dá o número a = 2 pois a coluna B é a segunda coluna da folha de cálculo. NomeDaColuna NomeDaColuna[Célula]: Retorna o nome da coluna como texto Exemplo: NomeDaColuna[A1] dá o texto “A” na Zona Gráfica. Linha Linha[Célula]: Dá o número da linha da célula (começa em 1) Exemplo: Se a célula B3 não for vazia, então Linha[B3] dá o número a = 3. 3.3.21. Comandos de Matriz Determinante Determinante[Matriz]: Retorna o determinante da matriz Exemplo: Determinante[{{1, 2}, {3, 4}}] dá o número c = -2. Inversa Inversa[Matriz]: Inverte a matriz dada Exemplo: Inversa[{{1, 2}, {3, 4}}] dá a matriz inversa {{-2, 1}, {1.5, -0.5}}. Transposta Transposta[Matriz]: Transpõe a matriz dada. Exemplo: Transposta[{{1, 2}, {3, 4}}] dá a matriz {{1, 3}, {2, 4}}.
4. Items de Menu 4.1. Menu Ficheiro Nova janela Atalho de teclado: Ctrl-N (MacOS: Cmd-N) Este item de menu abre uma nova janela GeoGebra que usa as configurações padrão da interface do GeoGebra. Nota: Se alterar e gravar alguma dessas configurações, a nova janela GeoGebra que abrir vai usar as suas configurações favoritas. Novo Este item de menu abre um novo ficheiro (mais precisamente, uma interface nova e vazia) na mesma janela GeoGebra. É-lhe perguntado se deseja gravar a construção existente antes de abrir a nova interface. Nota: A nova interface adopta as configurações usadas na construção precedente. Por exemplo, se os eixos coordenados estiverem invisíveis antes de seleccionar o item ‘Novo’, os eixos também estarão escondidos na nova interface. Abrir… Atalho de teclado: Ctrl-O (MacOS: Cmd-O) Este item de menu permite-lhe abrir um ficheiro GeoGebra (extensão .ggb) que está gravado no seu computador. Nota: Para abrir um ficheiro GeoGebra também pode arrastá-lo com o rato para a janela do GeoGebra e depois largá-lo. Gravar Atalho de teclado: Ctrl-S (MacOS: Cmd-S) Este item de menu permite-lhe gravar uma construção corrente como um ficheiro GeoGebra (extensão .ggb) no seu computador. Nota: Se o ficheiro já estiver gravado, este item de menu substitui o ‘antigo’ ficheiro usando o mesmo nome. Gravar como … Este item de menu permite-lhe gravar uma construção corrente como um ficheiro GeoGebra (extensão .ggb). Ser-lhe-á pedido para inserir um novo nome para o seu ficheiro GeoGebra antes de ele ser gravado no seu computador. 69
Previsão da impressão … Atalho de teclado: Ctrl-P (MacOS: Cmd-P) Este item de menu abre a janela Pevisão da impressão para a Zona Gráfica. Pode especificar ‘Título’, ‘Autor’, ‘Data’ e ‘Escala’ (em cm) para a saída da impressão. Nota: Após efectuar uma alteração, pressione a tecla Enter para actualizar a previsão da saída da impressão. Exportar - Folha de trabalho dinâmico como página web (html) … Atalho de teclado: Ctrl-Shift-W (MacOS: Cmd-Shift-W) Este item de menu permite-lhe exportar a sua construção corrente como página web para assim criar o que se costuma designar por ‘Folha de trabalho dinâmica’, ‘Applet’, ‘Mathlet’, … Por favor veja a secção Criar Páginas Web Interactivas para mais informações. Exportar - Zona gráfica como imagem (png, eps) … Atalho de teclado: Ctrl-Shift-P (MacOS: Cmd-Shift-P) Este item de menu permite-lhe gravar a Zona Gráfica como um ficheiro de imagem no seu computador. Na janela de diálogo que aparece, pode seleccionar o ‘Formato’ para o ficheiro de imagem e alterar a ‘Escala’ (em cm) e a ‘Resolução’ (em dpi) da imagem. Nota: Quando exporta a Zona Gráfica como imagem pode escolher os seguintes formatos: 70 PNG – Portable Network Graphics: este é um formato gráfico baseado no pixel. Quanto maior for a resolução (dpi), melhor será a qualidade (300 dpi costuma ser suficiente). As imagens em formato PNG não devem ser posteriormente redimensionadas para evitar perda de qualidade. Os ficheiros de formato PNG estão bem adaptados para usar em páginas web (html) e em documentos de texto. Nota: Sempre que quiser inserir uma imagem de format PNG num documento de texto (menu Inserir, Imagem a partir de um ficheiro) certifique-se de que o tamanho está definido em 100 %. Caso contrário, a escala escolhida (em cm) deve ser alterada. EPS – Encapsulated Postscript: Este é um format gráfico do tipo vectorial. As imagens em formato EPS podem ser redimensionadas sem qualquer perda de qualidade. Os ficheiros de formato EPS estão bem adaptados para usar com programas gráficos vectoriais (e.g., Corel Draw) e sistemas profissionais de processamento de texto (e.g., LaTeX). A resolução de uma imagem de formato EPS é sempre 72 dpi. Este valor só é usado para calcular o verdadeiro tamanho (em cm) da imagem, não afecta a sua qualidade. Nota: O efeito de transparência relativamente ao preenchimento de polígonos ou de cónicas não é possível com EPS.
71 PDF – Portable Document Format (veja EPS acima) Nota: Se exportar a Zona Gráfica em formato SVG ou PDF, tem a opção de exportar o texo como editável ou como imagem. Isto armazena o texto quer como texto (permitindo depois editá-lo, por exemplo com o InkScape) ou como curvas de Bezier (isto garante que o texto tem o mesmo aspecto mesmo se as fontes correctas não estiverem instaladas no computador). SVG – Scaleable Vector Graphic (Veja EPS acima) EMF – Enhanced Meta Format (Veja EPS acima) Exportar - Cópia da zona gráfica para a área de transferência Atalho de teclado: Ctrl-Shift-C (MacOS: Cmd-Shift-C) Este item de menu copia a Zona Gráfica para a área de transferência do seu computador, permitindo-lhe posteriormente colar esta imagem num outro documento (e.g., documento word). Exportar - Zona gráfica como PSTricks … Atalho de teclado: Ctrl-Shift-T (MacOS: Cmd-Shift-T) Este item de menu permite-lhe gravar a Zona Gráfica como ficheiro de imagem PSTricks, que é um formato de imagem LaTeX. Exportar - Zona gráfica como PGF/TikZ … Este item de menu permite-lhe gravar a Zona Gráfica como um ficheiro de imagem PGF/TikZ, que é um formato de imagem LaTeX. Fechar Atalho de teclado: Alt-F4 (MacOS: Cmd-W) Este item de menu fecha a janela GeoGebra. Se não tiver gravado a sua construção antes de seleccionar ‘Fechar’, ser-lhe-á perguntado se quer gravar as alterações efectuadas. 4.2. Menu Editar Desfazer Atalho de teclado: Ctrl-Z (MacOS: Cmd-Z) Este item de menu permite-lhe desfazer as suas actividades passo a passo. Nota: Também pode usar o botão ‘Desfazer’ à direita da barra de ferramentas. Refazer Atalho de teclado: Ctrl-Y (MacOS: Cmd-Shift-Z)
Este item de menu permite-lhe refazer as suas actividades passo a passo. Nota: Também pode usar o botão ‘Refazer’ à direita da barra de ferramentas. Cópia da zona gráfica para a área de transferência Atalho de teclado: Ctrl-Shift-C (MacOS: Cmd-Shift-C) Este item de menu permite-lhe copiar a Zona Gráfica para a área de transferência do seu computador, permitindo-lhe posteriormente colar esta imagem num outro documento (e.g., documento word). Apagar Atalho de teclado: Delete Este item de menu permite-lhe apagar os objectos seleccionados e todos os que seles dependem. Nota: Seleccione previamente os objectos que pretende apagar (e.g., use um rectângulo de selecção). Seleccionar tudo Atalho de teclado: Ctrl-A (MacOS: Cmd-A) Este item de menu permite-lhe seleccionar todos os objectos usados na sua construção. Seleccionar o layer actual Atalho de teclado: Ctrl-L (MacOS: Cmd-L) Este item de menu permite-lhe seleccionar todos os objectos que estão no mesmo layer que o objecto seleccionado. Nota: Antes de usar este item de menu, deve seleccionar um objecto que está no layer desejado. Seleccionar descendentes Atalho de teclado: Ctrl-Shift-Q (MacOS: Cmd-Shift-Q) Este item de menu permite-lhe seleccionar todos os objectos que dependem de do objecto seleccionado. Nota: É necessário seleccionar o objecto ‘pai’ antes de usar este item de menu. Seleccionar ascendentes Atalho de teclado: Ctrl-Q Este item de menu permite-lhe seleccionar todos os objectos que são ascendentes do objecto seleccionado, isto é, todos os objectos dos quais depende o objecto seleccionado. 72
Nota: É necessário seleccionar o objecto dependente antes de usar este item de menu. Propriedades … Atalho de teclado: Ctrl-E (MacOS: Cmd-E) Este item de menu abre o Diálogo de Popriedades que lhe permite modificar as propriedades de todos os objectos usados no ficheiro GeoGebra. 4.3. Menu Exibir Eixos coordenados Este item de menu permite-lhe exibir ou esconder os eixos coordenados na Zona Gráfica. Nota: Pode usar o diálogo de propriedades para a Zona Gráfica para personalizar os eixos coordenados. Quadriculado Este item de menu permite-lhe exibir ou esconder o quadriculado na Zona Gráfica. Nota: Pode usar o diálogo de propriedades para a Zona Gráfica para personalizar o quadriculado. Zona algébrica Atalho de teclado: Ctrl-Shift-A (MacOS: Cmd-Shift-A) Este item de menu permite-lhe exibir ou esconder a Zona Algébrica. Folha de cálculo Atalho de teclado: Ctrl-Shift-S (MacOS: Cmd-Shift-S) Este item de menu permite-lhe exibir ou esconder a Folha de Cálculo. Objectos auxiliares Este item de menu permite-lhe exibir ou esconder os Objectos Auxiliares na Zona Algébrica. Divisão horizontal Este item de menu permite-lhe dividir a janela do GeoGebra quer verticalmente quer horizontalmente em duas zonas diferentes. 73
Barra de comandos Este item de menu permite-lhe exibir ou esconder a Barra de Comandos situada na base da janela do GeoGebra. Lista de comandos Este item de menu permite-lhe exibir ou esconder a lista de comandos situada no lado direito da Barra de Comandos que se encontra na base da janela doGeoGebra. Protocolo de construção… Este item de menu permite-lhe abrir o Protocolo de Construção numa nova janela. Barra de navegação para passos da construção Este item de menu permite-lhe exibir ou esconder a Barra de Navegação situada na base da Zona Gráfica. Actualizar Atalho de teclado: Ctrl-F (MacOS: Cmd-F) Este item de menu permite-lhe refrescar todas as vistas no ecran. Nota: Pode usar este item para apagar qualquer traço (ou rasto) de pontos ou de rectas na Zona Gráfica. Recalcular todos os objectos Atalho de teclado: F9 Este item de menu recalcula todos os objectos usados no seu ficheiro GeoGebra. Nota: Pode usar este item de menu para criar novos números aleatórios, se os estiver a usar no seu ficheiro GeoGebra. 4.4. Menu Opções As opções globais podem ser alteradas no item de menu Opções. Nota: Para alterar as configurações de um objecto, por favor use o Menu de Contexto e o Diálogo de Popriedades. Captura de pontos Este item de menu decide se a Captura de pontos está ‘Activada’ ou ‘Desactivada’ ou se os pontos são capturados pelo quadriculado ‘Activada (Quadriculado)’. Nota: A opção ‘Automático’ torna a captura de pontos ‘Activada’ quando o quadriculado ou o sistema de eixos coordenados são exibidos e torna essa captura ‘Desactivada’ se eles estão escondidos. 74
Unidade angular Este item de menu determina se a unidade de medida angular mostrada é o ‘Grau’ (°) ou ‘Radiano’ (rad). Nota: Pode inserir um ângulo de ambas as maneiras (grau ou radiano), embora o GeoGebra use o radiano para efectuar os cálculos internos. Arredondar Este item de menu permite-lhe especificar o número de casas decimais ou de algarismos significativos visíveis no ecran. Continuidade O GeoGebra permite-lhe que a continuidade heurística seja ‘Activada’ ou ‘Desactivada’ no menu Opções. O software usa uma aproximação heuristica para que, no movimento, os pontos de intersecção (e.g., recta-cónica, cónica-cónica) se mantenham próximos das suas anteriores posições, evitando saltos (descontinuidades). Nota: Por defeito, esta eurística está desactivada. Para as ferramentas criadas pelo utilizador a continuidade está sempre desactivada. Estilo do ponto Este item de menu determina se, por defeito, os pontos serão mostrados na forma de ● ponto, ○ circunferência ou x cruz. Tamanho da caixa para exibir/esconder objectos Este item de menu permite-lhe especificar o tamanho das caixas para exibir/esconder objectos, podendo escolher entre ‘Regular’ ou ‘Grande’. Nota: Se estiver a usar o GeoGebra como ferramenta de apresentação ou estiver a trabalhar num num quadro branco interactivo, a escolha do tamanho ‘Grande’ facilita o uso destas caixas. Estilo do ângulo recto Determina se os ângulos rectos são simbolizados por um quadrado □, um ponto • ou sem estilo, tal como os outros ângulos. Coordenadas Este item de menu determina se as coordenadas dos pontos são representadas na forma ‘A = (x, y)’ ou ‘A(x | y)’. Rotular Pode especificar se os rótulos dos objectos que venham a ser criados devem ser mostrados ou não. Pode escolher entre as especificações ‘Todos os objectos novos’, ‘Nenhum objecto novo’, ‘Apenas pontos novos’ e ‘Automático’. 75
Nota: A escolha ‘Automático’ mostra os rótulos dos objectos na Zona Algébrica, se esta for exibida. Tamanho da fonte Este item de menu determina o tamanho da fonte para rótulos e para textos (pt). Nota: Se estiver a usar o GeoGebra como ferramenta de apreseentação, o incremento do tamanho da fonte torna mais fácil para a sua audiência ler os textos, rótulos e expressões algébricas que porventura esteja a utilizar. Idioma O GeoGebra está traduzido em muitas línguas e permite-lhe alterar o idioma em uso. Isto afecta todas as expressões que inserir (incluindo o nome dos comandos), e todas a expressões visíveis (e.g., nomes dos menus, definições dos objectos). Nota: Não importa o idioma seleccionado, o ícone globo leva-o de volta ao menu de idiomas. A designação dos idiomas é sempre mostrada em Inglês. Zona gráfica … Este item de menu abre um diálogo onde as propriedades da Zona Gráfica (e.g. eixos coordenados, quadriculado, cor de fundo) podem ser especificadas. Nota: Também pode abrir este diálogo clicando com o botão direito do rato (MacOS: Ctrl-click) no fundo da Zona Gráfica. Gravar as configurações actuais Se, no menu Opções, escolher Gravar as configurações actuais, o GeoGebra recordar-se-á das suas configurações preferidas (e.g., especificações referentes ao menu Opções, à Barra de Ferramentas ou à Zona Gráfica). Restaurar as configurações padrão Pode restaurar as configurações padrão do GeoGebra usando este item de menu. 4.5. Menu Ferramentas Criar nova ferramenta … Com base numa construção existente, pode criar as suas próprias ferramentas no GeoGebra. Depois de preparar a construção da sua ferramenta, escolha Criar nova ferramenta no menu Ferramentas. No diálogo que aparece, pode especificar os objectos iniciais e os objectos finais da sua ferramenta; pode também escolher o nome da ferramenta e do respectivo comando; pode ainda escolher o ícone que aparecerá na barra de ferramentas e descrever a ajuda para o utilizador da ferramenta. Nota: A sua ferramenta pode ser usada com o rato ou como comando. Todas as ferramentas são automaticamente gravadas no seu ficheiro de construção ‘GGB’. 76
Gerir as ferramentas … Usando o menu Gerir as ferramentas (menu Ferramentas) pode apagar uma ferramenta ou modificar o seu nome e o seu ícone. Também pode gravar as ferramentas da sua autoria para um Ficheiro de Ferramentas GeoGebra (‘GGT’). Este ficheiro pode ser usado mais tarde (menu Ficheiro, Abrir) para abrir as suas ferramentas numa outra construção. Nota: Abrindo um ficheiro ‘GGT’ não altera a sua construção corrente, mas se abrir um ficheiro ‘GGB’ isso pode acontecer. Personalizar a barra de ferramentas … Pode personalizar a barra de ferramentas seleccionando o item Personalizar a barra de ferramentas no menu Ferramentas. Isto é especialmente útil para criar páginas web interactivas quando quer restringir as ferramentas visíveis na barra de ferramentas. Nota: A configuração corrente da barra de ferramentas é gravada com a sua construção no respectivo ficheiro ‘GGB’. 4.6. Menu Janela Nova janela Atalho de teclado: Ctrl-N (MacOS: Cmd-N) Este item de menu abre uma nova janela GeoGebra que usa as configurações padrão da interface GeoGebra. Nota: Se alterar e gravar alguma destas configurações a nova janela GeoGebra será aberta usando as novas configurações. Lista das janelas GeoGebra abertas Se tiver mais que uma janela GeoGebra aberta, este item de menu permite-lhe alternar entre elas. Nota: Isto pode ser útil quando está a usar o GeoGebra como ferramenta de apresentação e precisa de ter vários ficheiros GeoGebra abertos ao mesmo tempo, alternando entre eles. 4.7. Menu Ajuda Ajuda Este item de menu dá-lhe acesso à versão html do documento Ajuda GeoGebra. Dependendo de como tenha instalado o GeoGebra no seu computador, pode necessitar de acesso Internet para obter o documento de ajuda: 77 Se tiver feito download a partir da página web e instalado o GeoGebra usando o ficheiro de instalação, a versão html de Ajuda GeoGebra é localmente gravada no seu computador.
78 Se usar o GeoGebraWebstart para instalar o GeoGebra no seu computador, necessita de ter acesso Internet para usar este documento de ajuda. Se não tiver acesso Internet, obterá uma mensagem de erro. Nota: Na página http://www.geogebra.org/help está disponível online a versão html do documento Ajuda GeoGebra e também uma versão em pdf desse documento. www.geogebra.org Se tiver acesso Internet, este item de menu abre a página GeoGebra no se browser (http://www.geogebra.org). GeoGebra Forum Se tiver acesso Internet, este item de menu abre o Forum de Utilizadores GeoGebra online no seu browser (http://www.geogebra.org/forum). Nota: Neste forum pode perguntar e responder sobre questões relativas ao GeoGebra. GeogebraWiki Se tiver acesso Internet, este item de menu abre a página GeoGebraWiki no seu browser (http://www.geogebra.org/wiki). Nota: A GeoGebraWiki fornece um conjunto de materiais educativos livres criados com GeoGebra por utilizadores de todo o mundo. Sobre / Licença Este item de menu abre uma janela que contém informações sobre as licenças do GeoGebra e nomeia as pessoas que suportam o projecto GeoGebra contribuindo de diversas maneiras (e.g., progração, tradução).
5. Recursos Especiais do GeoGebra 5.1. Animação 5.1.1. Animação Automática O GeoGebra permite animar um ou mais números e/ou ângulos ao mesmo tempo se eles forem mostrados como selectores na Zona Gráfica. Se quiser animar um número ou um ângulo no GeoGebra, deve clicar com o botão direito do rato (MacOS: Ctrl-clique) nele e seleccionar ‘Animar’ no separador ‘Básico’ do Menu de Contexto que aparece. Para deter a nimação, necessita de desmarcar ‘Animar’ no mesmo Menu de Contexto. Nota: Após ter animado um número ou um ângulo, aparece um botão no canto inferior esquerdo da Zona gráfica. Este botão permite parar ou continuar uma animação. No separador ‘Selector’ do Diálogo de Propriedades pode alterar o comportamento da animação. Pode controlar a ‘Velocidade’ da animação. Nota: A velocidade 1 significa que a animação leva cerca de 10 segundos a percorrer uma vez o intervalo de variação do selector. Pode também contolar o modo como o ciclo da animação é repetido: 79 <=> Alternado: O ciclo da animação alterna entre ‘Decrescente’ e ‘Crescente’. => Crescente: O valor do selector é sempre crescente. Após atingir o valor máximo do selector, ele salta para o valor mínimo e a sua animação continua. <= Decrescente: O valor do selector é sempre decrescente. Após atingir o valor mínimo do selector, ele salta para o valor máximo e a sua animação continua. Nota: Enquanto a animação automatica está activada, o GeoGebra continua inteiramente funcional. Isto permite-lhe fazer alterações na sua construção enquanto a animação está a decorrer. 5.1.2. Animação Manual Para alterar continuamente um número ou um ângulo de forma manual, seleccione a ferramenta Mover. Depois, clique no número ou no ângulo e pressione a tecla + ou a tecla – ou as teclas de movimento (setas). A manutenção da pressão sobre uma destas teclas permite-lhe produzir animações manuais.
Exemplo: Se as coordenadas de um ponto dependerem de um parâmetro k como em P = (2 k, k), o ponto move-se ao longo de uma recta quando k varia continuamente. Nota: Pode ajustar o incremento do selector no separador ‘Selector’ do Diálogo de Popriedades desse objecto. Atalhos de Teclado: 80 • Shift + seta fornece o incremento de 0.1 unidades • Ctrl + seta fornece o incremento de 10 unidades • Alt + seta fornece o incremento de 100 unidades Nota: Um ponto numa recta também pode movido ao longo dessa recta usando as teclas + ou –. 5.2. Visibilidade Condicional Para além de simplesmente exibir ou esconder objectos, também pode fazer com que o seu estado de visibilidade dependa de uma certa condição. Por exemplo, pode gostar que um objecto apareça no ecran apenas depois de activar uma caixa para exibir/esconder objectos posicionada na Zona Gráfica ou se um selector adquirir um certo valor. Exibir ou Esconder Objectos Condicionalmente Pode utilizar a ferramenta Caixa para Exibir/Esconder objectos para criar uma caixa que controla a visibilidade de um ou mais objectos. Em alternativa, pode criar uma variável booleana (e.g., b = true) usando a Entrada de Comandos e torná-la visível como uma caixa de controlo na Zona Gráfica mudando o seu estado de visibilidade (e.g., use a ferramenta Exibir/Esconder objectos ou o Menu de Contexto). Para utilizar esta variável booleana como condição para a visibilidade de certos objectos, é necessário seguir os passos descritos abaixo. Alterar a Visibilidade dos Objectos No separador ‘Avançado’ do Diálogo de Popriedades, pode inserir uma condição para a visibilidade de um ojecto. Nota: Para criar declarações condicionais, pode seleccionar os operadores lógicos (e.g., ≠, ≥, ˄, ǁ) que estão no menu à direita do campo onde insere as condições. Exemplos: Se a for um selector, então a declaração a < 2 significa que o objecto correspondente só sera mostrado na Zona Gráfica quando o valor do selector for menor que 2. Se b for uma variável booleana, pode usar b como uma declaração condicional. O objeto correspondente será exibido se o valor de b for true e será escondido se o valor de b for false.
81 Se g e h forem duas rectas e quiser que um texto seja mostrado se elas forem paralelas, então pode usar g ǁ h como declaração condicional para exibir/esconder esse texto. 5.3. Ferramentas Criadas pelo Utilizador O GeoGebra permite-lhe criar as suas próprias ferrramentas baseadas numa construção existente. Uma vez criadas, pode servir-se delas com o rato ou então inserir o comando correspondente na Entrada de Comandos. Todas as ferramentas são automaticamente gravadas no seu ficheiro GeoGebra. Criar uma ferramenta Primeiro, crie a construção que a sua ferramenta deve ser capaz de recriar mais tarde. No menu Ferramentas, clique em ‘Criar nova ferramenta’ para abrir a caixa de diálogo correspondente. Agora necessita de preencher os três separadores ‘Objectos finais’, ‘Objectos iniciais’, e ‘Nome e Ícone’ para criar a sua ferramenta personalizada. Exemplo: Criar uma ferramenta que lhe permitirá construer um quadrado sempre que clicar em dois pontos existents ou em dois lugares vazios na Zona Gráfica. • Construa um quadrado começando com dois pontos A e B. Construa os outros dois vértices e ligue-os com a ferramenta Polígono para obter o quadrado polígono1. • Seleccione ‘Criar nova ferramenta’ no menu Ferramentas. • Especifique os ‘Objectos finais’: Clique no quadrado ou seleccione-o na lista de objectos. Especifique também os lados do quadrado como Objectos finais. • Especifique os ‘Objectos iniciais’: O GeoGebra especifica automaticamente os Objectos iniciais para si (neste exemplo: pontos A e B). Pode também modificar a selecção dos objectos iniciais usando a lista dos objectos ou clicando sobre eles na própria construção. • Especifique o ‘Nome da ferramenta’ e o ‘Nome do comando’ para a sua nova ferramenta. Nota: O nome da ferramenta será visível na Barra de Ferramentas do GeoGebra, ao passo que o nome do comando será visível na Lista de Comandos e poderá ser usado na Entrada de Comandos. • Pode também inserir uma descrição da sua ferramenta para ser mostrada como Ajuda da Ferramenta à direita da Barra de Ferramentas. • Também pode escolher no seu computador uma imagem que sirva de ícone para identificar a ferramenta. O GeoGebra redimensiona automaticamente essa imagem de modo a que ela se ajuste ao tamanho do botão na barra de ferramentas. Gravar uma ferramenta Pode gravar as ferramentas que criou para que possa usá-las noutras construções GeoGebra. No menu Ferramentas, seleccione ‘Gerir ferramentas’. Então, seleccione
na lista que aparece a ferramenta que quer gravar. Clique no botão ‘Gravar como…’ para gravar a ferramenta no seu computador. Nota: As ferramentas criadas pelo utilizador são gravadas como ficheiros de extensão ‘.ggt’ ao passo que os habituais ficheiros GeoGebra usam a extensão ‘.ggb’. Aceder a uma ferramenta Se abrir uma nova interface GeoGebra usando o item ‘Novo’ no menu Ficheiro, depois de criar uma ferramenta, essa ferramenta fará parte da barra de ferramentas do GeoGebra. Mas se abrir uma nova janela do GeoGebra (item ‘Nova Janela’ no menu Ficheiro) ou abrir o GeoGebra num outro dia, a sua ferramenta já não fará parte da barra de ferramentas. Existem diferentes maneiras de garantir que as ferramentas criadas pelo utilizador são mostradas na barra de ferramentas de uma nova janela do GeoGebra: 82 Após ter criado uma nova ferramenta pode gravar as novas configurações usando o item ‘Gravar as configurações actuais’ no menu Opções. A partir deste momento a sua ferramenta personalizada fará parte da barra de ferramentas do GeoGebra. Nota: Pode remover a ferramenta personalizada da barra de ferramentas no item ‘Personalizar a barra de ferramentas’ do menu Ferramentas: seleccione a ferramenta na lista de ferramentas apresentada no lado esquerdo da janela de diálogo que aparece e clique no botão ‘Remover >’. Não se esqueça de gravar as suas configurações depois desta remoção. Depois de gravar uma ferramenta no seu computador (como ficheiro ‘.ggt’), pode importá-la para uma nova janela GeoGebra em qualquer altura. Basta seleccionar o item ‘Abrir’ do menu Ficheiro e abrir o ficheiro referente à sua ferramenta personalizada. Nota: Se abrir um ficheiro de extensão ‘.ggt’ no GeoGebra, isso não afecta a sua construção corrente. Apenas adiciona a nova ferramenta à barra de ferramentas corrente no GeoGebra. 5.4. Cores Dinâmicas No GeoGebra, pode alterar a cor dos objectos usando o separador ‘Cor’ do Diálogo de Propriedades. Porém, também pode fazer com que a cor de um objecto mude dinamicamente: Abra o Diálogo de Popriedades de um certo objecto cuja cor pretende alterar e clique no separador ‘Avançado’. Então, encontra uma secção chamada ‘Cores dinâmicas’ com três caixas de texto para as components da cor: ‘Vermelho’, ‘Verde’, and ‘Azul’. Nota: Em cada uma destas caixas pode inserir uma função de contradomínio [0, 1]. Exemplos: Crie três selectores a, b e c que variem no intervalo [0, 1]. Crie um polígono cuja cor deve ser influenciada pelos valores dos três selectores.
83 Abra o Diálogo de Popriedades para esse polígono e insira os nomes dos três selectores nas caixas de texto correspondents às três componentes da cor. Feche o Diálogo de Propriedades e altere os valores dos selectores para descobrir como cada componente da cor influencia a cor do polígono. Nota: Também pode animar os selectores com diferentes velocidades para ver a cor do polígono alterar-se automaticamente. 5.5. Interface JavaScript Nota: A interface JavaScript para o GeoGebra é interessante para utilizadores que tenham alguma experiência em editar HTML. Para reforçar as suas Folhas de Trabalho Dinâmicas e aumentar a sua interactividade, as apliquetas GeoGebra permitem uma Interface JavaScript. Por exemplo, pode criar um botão para gerar aleatoriamente novas configurações da sua construção. Por favor, veja o documento GeoGebra Applets and JavaScript (http://www.geogebra.org em ‘Help’) para exemplos e informação sobre a utilização de JavaScript com as apliquetas GeoGebra. 5.6. Atalhos de Teclado Tecla Descrição Ctrl (MacOS: Cmd) Ctrl-Shift (MacOS: Cmd-Shift) Alt (MacOS: Ctrl) A Seleccionar tudo Exibir / Esconder Zona agébrica alpha α B beta β C Copiar (só na folha de cálculo) Exportar ‘Cópia da zona gráfica para a área de transferência’ D delta δ E Properties Dialog Euler ℯ F Refresh views phi φ G gamma γ H I
Tecla Descrição 84 Ctrl (MacOS: Cmd) Ctrl-Shift (MacOS: Cmd-Shift) Alt (MacOS: Ctrl) J K L Seleccionar o layer actual lambda λ M mu μ N Nova janela O Abrir Símbolo para grau ° P Previsão da impressão Exportar ‘Zona gráfica como imagem (png, eps)…’ pi π Q Select descendants Select ancestors R S Gravar Exibir / Esconder Folha de cálculo sigma σ T Exportar zona gráfica como PSTricks theta θ U V Colar ( folha de cálculo) W Fechar (só no MacOS) Exportar ‘Folha de trabalho dinâmica como página Web (html)’ X Y Refazer Z Desfazer 0 Expoente 0 1 Expoente 1 2 Expoente 2 3 Expoente 3 4 Expoente 4 5 Expoente 5 6 Expoente 6 7 Expoente 7 8 Expoente 8 9 Expoente 9
Tecla Descrição 85 Ctrl (MacOS: Cmd) Ctrl-Shift (MacOS: Cmd-Shift) Alt (MacOS: Ctrl) - Diminui um número / ângulo seleccionado Reduzir menos-ou-mais + Aumenta um número / ângulo seleccionado Aumentar mais-ou-menos ± = Aumenta um número / ângulo seleccionado Aumentar diferente-de ≠ < menor-ou-igual ≤ , (vírgula) menor-ou-igual ≤ > maior-ou-igual ≥ . (ponto) maior-ou-igual ≥ * F1 Ajuda F2 Iniciar a edição do objecto seleccionado (Zona Algébrica) F3 Estabelece o foco na Entrada de Comandos F4 F9 Actualiza números aleatórios Enter Alterna o foco entre a Zona Gráfica e a Entrada de comandos Left-click
Tecla Descrição 86 Ctrl (MacOS: Cmd) Ctrl-Shift (MacOS: Cmd-Shift) Alt (MacOS: Ctrl) Clique com o botão direito do rato (MacOS: Ctrl-clique) na Zona Gráfica Clique: Abre o Menu de Contexto (num objecto) Diálogo de Propriedades da Zona Gráfica (no fundo da Zona Gráfica) Clique e arraste: Modo de arrastamento rápido (no objecto) Rectângulo de Zoom (no fundo da Zona Gráfica) Roda do rato Aumentar / Diminuir Aumentar / Diminuir (Apliqueta) Delete Apaga os objectos seleccionados Bacspace Apaga os objectos seleccionados
Tecla Descrição 87 Ctrl (MacOS: Cmd) Ctrl-Shift (MacOS: Cmd-Shift) Alt (MacOS: Ctrl) Seta ↑ Aumenta o número / ângulo seleccionado Move um ponto seleccionado para cima Vai para a expressão inserida previamente no histórico da Entrada de Comandos Vai uma linha para cima no Protocolo de Construção Multiplica a velocidade por 10 Multiplica a velocidade por 0.1 (pressionar apenas Shift) Multiplica a velocidade por 100 Seta → Aumenta o número / ângulo seleccionado Move um ponto seleccionado para a direita Vai uma linha para cima no Protocolo de Construção Multiplica a velocidade por 10 Multiplica a velocidade por 0.1 (pressionar apenas Shift) Multiplica a velocidade por 100 Seta ← Diminui o número / ângulo seleccionado Move um ponto seleccionado para a esquerda Vai uma linha para baixo no Protocolo de Construção Multiplica a velocidade por 10 Multiplica a velocidade por 0.1 (pressionar apenas Shift) Multiplica a velocidade por 100
Tecla Descrição 88 Ctrl (MacOS: Cmd) Ctrl-Shift (MacOS: Cmd-Shift) Alt (MacOS: Ctrl) Down arrow ↓ Diminui o número / ângulo seleccionado Move um ponto seleccionado para baixo Vai para entrada mais recente no histórico da Entrada de Comandos Vai uma linha para baixo no Protocolo de Construção Multiplica a velocidade por 10 Multiplica a velocidade por 0.1 (pressionar apenas Shift) Multiplica a velocidade por 100 Home/PgUp Vai para o primeiro item do Protocolo de Construção End/PgDn Vai para o último item do Protocolo de Construção Atalhos de teclado adicionais: Alt-Shift (MacOS: Ctrl-Shift): Letras gregas maiúsculas Folha de cálculo: Ctrl-Alt-C copia os valores (não as fórmulas) Nota: O símbolo para grau ° (Alt-O, MacOS: Ctrl-O) e o símbolo para a constante pi π (Alt-P, MacOS: Ctrl-P) tamém podem ser usados na janela de diálogo de um selector para o intervalo (min, max) e para o incremento. 5.7. Rótulos e Legendas Exibir e Esconder rótulos Pode exibir ou esconder os rótulos dos objectos na Zona Gráfica de três maneiras diferentes: Seleccione a ferramenta Exibir/Esconder rótulo e clique no objecto cujo rótulo deseja exibir ou esconder. Abra o Menu de Contexto para o objecto desejado e seleccione ‘Exibir rótulo’.
89 Abra o Diálogo de Popriedades para o objecto desejado e marque ou desmarque a caixa ‘Exibir rótulo’ no separador ‘Básico’. Nome e Valor No GeoGebra, cada objecto tem um único nome que pode ser usado para o rotular na Zona Gráfica. Além disso, um objecto também pode ser rotulado usando o seu valor ou o seu nome e valor conjuntamente. Pode escolher o modo de rotulagem no separador ‘Básico do Diálogo de Popriedades, seleccionando a correspondente opção ‘Nome’, ‘Valor’ ou ‘Nome e Valor’ na lista situada à direita da caixa ‘Exibir rótulo’. Nota: O valor de um ponto são as suas coordenadas e o valor de uma função é a sua expressão algébrica. Legenda Por vezes, poderá desejar atribuir o mesmo rótulo a vários objectos. Por exemplo, atribuir o rótulo ‘a’ aos quatro lados de um quadrado. Neste caso, o GeoGebra oferece legendas para todos os objectos, adicionalmente às três opções acima mencionadas. Pode especificar a legenda de um objecto no separador ‘Básico’ do Diálogo de Popriedades inserindo a legenda desejada no campo de texto ‘Legenda’. Depois, pode seleccionar a opção ‘Legenda’ na lista situada à direita da caixa ‘Exibir rótulo’. 5.8. Layers No GeoGebra, os layers (camadas) são usados para determinar qual é o objecto que deve ser seleccionado ou arrastado quando o utilizador clica sobre vários objectos. Por defeito, todos os objectos são desenhados no layer 0, que é basicamente o layer ‘de fundo’ da Zona Gráfica. Estão disponíveis 10 layers (números de 0 a 9) e os layers com números mais altos são desenhados em cima dos layers com números mais baixos. Usando o separador ‘Avançado’ do Diálogo de Popriedades, pode alterar o layer de um certo objecto (layers disponíveis de 0 a 9). Uma vez que altere o número do layer de pelo menos um objecto para um número diferente de 0 (e.g., layer 3), todos os novos objectos serão desenhados no layer com maior número que exista na construção. Nota: Depois de selecionar um objecto, pode seleccionar todos os objectos no mesmo layer no item ‘Seleccionar o layer actual’ (atalho de teclado: Ctrl-L) do menu Editar. Este item de menu só estará disponível se todos os objectos seleccionados estiverem no mesmo layer. Outras utilizações dos layers: Na exportação em formato SVG, os objectos são agrupados por layer.
90 Os layers podem ser controlados usando a Interface Javascript para apliquetas GeoGebra. 5.9. Redefinir A redefinição de objectos é uma ferramenta muito versátil para alterar a construção. Por favor, note que a redefinição de objectos pode também alterar a ordem dos passos da construção no Protocolo de Construção. No GeoGebra, um objecto pode ser redefinido de diferentes maneiras: • Seleccione a ferramenta Mover e faça um duplo clique sobre qualquer objecto na Zona Algébrica. o Para um objecto livre abre-se um campo de edição que lhe permite alterar directamente a respectiva representação algébrica. Bata a tecla Enter para aplicar as alterações que efectuadas. o Para um objecto dependente abre-se o diálogo Redefinir que lhe permite redefini-lo. • Seleccione a ferramenta Mover e faça um duplo clique sobre qualquer objecto na Zona Algébrica. Isto abre o diálogo Redefinir que lhe permite redefini-lo. • Alterar qualquer objecto inserindo o seu nome e uma nova definição na Entrada de Comandos. Abra o Diálogo de Popriedades e altere a definição de qualquer objecto mo separador ‘Básico’. Nota: Objectos fixos não podem ser redefinidos. Se quiser redefinir um objecto fixo tem que o libertar primeiro usando o Diálogo de Propriedades. Exemplos: Para colocar um ponto livre A numa recta h, necessita de abrir a janela de diálogo Redefinir para o ponto A, inserir Ponto[h] no campo de texto que aparece e depois clicar em ‘OK’. Para remover o ponto desta recta e torná-lo livre novamente, necessita de redefinir as suas coordenadas para valores livres, por exemplo (1, 2). Um outro exemplo é a conversão de uma recta h passando por dois pontos A e B num segmento. Abra o diálogo Redefinir para a recta h e insira Segmento[A, B] no campo de texto que aparece. Isto também funciona em sentido contrário, isto é, do segmento para a recta. 5.10. Traço e Locus Os objectos podem deixar um traço (ou rasto) na Zona Gráfica quando são movidos. Use o Menu de Contexto para escolher ‘Traço activado’. Então, modifique a sua construção de modo que o objecto cujo traço foi activado mude de posição e deixe um rasto.
Nota: Pode desactivar o traço de um objecto desmarcando ‘Traço activado’ no Menu de Contexto. O item de menu ‘Actualizar’ no menu Exibir limpa todos os traços. Também pode deixar o GeoGebra criar automaticamente o lugar geométrico (locus) de um ponto usando a ferramenta Locus com o rato ou inserido o comando Locus na Entrada de Comandos. Nota: O ponto cujo locus gostaria de criar depende do movimento de um outro ponto ao longo de uma linha (e.g., recta, segmento, circunferência, gráfico de função). Exemplo: 91 Crie um segmento s entre os pontos A = (-1, -1) e B = (1, -1). Colocando um ponto C no segmento s, o seu movimento fica restrito a s. Crie um ponto P que depende do ponto C (e.g., P = (x(C), x(C)^2)). Use a ferramenta ou o comando Locus para criar o lugar geométrico do ponto P que depende do ponto C: Usando a ferramenta Locus: Clique primeiro no ponto P e depois no ponto C. Usando o comando Locus: Insira Locus[P, C] na Entrada de Comandos e bata a tecla Enter. Nota: O locus criado neste exemplo é o gráfico de uma parábola no intervalo [-1, 1].
Índice A Abcissa .......................................................................... 36 Abrir, Menu ................................................................... 69 Activar traço ................................................................. 10 Actualizar, Menu ........................................................... 74 Adição ........................................................................... 36 Ajuda da Ferramenta ...................................................... 6 Ajuda para a síntaxe dos comandos ............................... 8 Ajuda para comandos ..................................................... 8 Ajuda para entrada de comandos ................................... 8 Ajuda, Barra de Ferramentas .......................................... 6 Ajuda, Entrada de Comandos ................................... 8, 32 Ajuda, Menu ........................................................... 77, 78 Ajuda, Síntaxe do comando ............................................ 8 Aleatório, Comando ...................................................... 45 AleatórioBinomial, Comando ........................................ 45 AleatórioInteiro, Comando ........................................... 45 AleatórioNormal, Comando .......................................... 45 AleatórioPoisson, Comando.......................................... 45 Algarismos significativos, Arredondar .......................... 75 Ampliar, Ferramenta ..................................................... 18 Ângulo ........................................................................... 33 Ângulo com amplitude fixa, Ferramenta ...................... 24 Ângulo reentrante ........................................................ 34 Ângulo, Comando ......................................................... 46 Ângulo, Ferramenta ...................................................... 24 Ângulo, Limites ............................................................. 34 Ângulo, Reentrante ....................................................... 34 Ângulos ......................................................................... 24 Ângulos, Comandos ...................................................... 46 Ângulos, Polígono ......................................................... 46 Animação ...................................................................... 79 Animação, Automática.................................................. 79 Animação, Ciclo ............................................................ 79 Animação, Manual ........................................................ 79 Animação, Pausa ........................................................... 79 Animação, Repetir ........................................................ 79 Animação, Teclas de movimento .................................. 79 Animação, Teclas Mais / Menos ................................... 79 Animação, Velocidade .................................................. 79 Animar .................................................................... 10, 79 Apagar ........................................................................... 10 Apagar traço ................................................................. 74 Apagar, Comando ......................................................... 41 Apagar, Ferramenta ...................................................... 17 Apagar, Menu ............................................................... 72 Arco circular dados o centro e dois pontos, Ferramenta ................................................................................. 23 Arco circuncircular dados três pontos, Ferramenta ...... 23 Arco, Comando ............................................................. 54 ArcoCircular, Comando ................................................. 55 ArcoCircuncircular, Comando ....................................... 55 92 Arcos ............................................................................. 23 Arcos, Comandos .......................................................... 54 Área entre os gráficos de duas funções ........................ 43 Área, Comando ............................................................. 42 Área, Ferramenta .......................................................... 24 Área, Integral definido ............................................ 42, 43 Arredondar ................................................................... 37 Arredondar, Algarismos significativos ........................... 75 Arredondar, Casas decimais .......................................... 75 Arredondar, Opções ...................................................... 75 Assímptota, Comando ................................................... 50 Atalhos de Teclado ........................................................ 83 B Baricentro, Comando .................................................... 46 Barra de comandos, Menu ............................................ 74 Barra de ferramentas, Personalizar .............................. 77 Barra de Ferramentas, Personalizar ................................ 9 Barra de Ferramentas, Restaurar padrão ..................... 10 Barra de Navegação ...................................................... 11 Barra de navegação para passos da construção, Menu 74 Bissectriz, Comando ...................................................... 49 Bissectriz, Ferramenta .................................................. 20 Bloco, Comando ............................................................ 68 Booleano ....................................................................... 25 Booleano, Exibir variável ............................................... 37 Booleano, Operações .................................................... 37 Booleano, Variáveis ...................................................... 37 Booleanos, Comandos .................................................. 41 C Caixa para exibir/esconder objectos, Ferramenta ........ 25 CaixaDeBigodes, Comando ........................................... 64 Canto, Comando ........................................................... 46 Captura de pontos, Opções .......................................... 74 Cartesianas, Coordenadas ............................................ 34 Casas decimais, Arredondar .......................................... 75 Centro, Comando .......................................................... 46 Circunferência dados o centro e o raio, Ferramenta .... 22 Circunferência dados o centro e um ponto, Ferramenta ................................................................................. 22 Circunferência definida por três pontos, Ferramenta ... 22 Circunferência, Comando ............................................. 51 CircunferênciaOsculadora, Comando ..................... 52, 54 CoeficienteBinomial, Comando .................................... 42 CoeficienteDeCorrelação, Comando ............................. 66 Coluna, Comando .......................................................... 68 Comando, Autocompletamento ................................... 41 Comandos ..................................................................... 40 Comandos de Média, Comandos .................................. 66 Comandos de Quartil, Comandos ................................. 67 Comandos de Regressão, Comandos ............................ 65
Comandos Gerais, Comandos ....................................... 41 Comandos Sigma, Comandos ........................................ 67 Compasso, Ferramenta ................................................. 22 Comprimento, Comando .................................. 44, 54, 60 ComprimentoDoEixoPrincipal, Comando ..................... 43 ComprimentoDoEixoSecundário, Comando ................. 43 ComprimentoDoSemiEixoMaior, Comando .................. 43 ComprimentoDoSemiEixoMenor, Comando ................ 43 Concatenar, Comando .................................................. 59 Configurações, Gravar .................................................. 13 Configurações, Modificar .............................................. 13 Configurações, Restaurar padrão ................................. 13 Cónica passando por cinco pontos, Ferramenta ........... 22 Cónica, Comando .......................................................... 51 Constante de Euler ....................................................... 33 Constante Pi .................................................................. 33 ContarSe, Comando ...................................................... 58 Continuidade,Opções ................................................... 75 Coordenadas ................................................................. 34 Coordenadas, Abcissa ................................................... 36 Coordenadas, Cartesianas ............................................ 34 Coordenadas, Ordenada ............................................... 36 Coordenadas, Polares ................................................... 34 Cópia da zona gráfica para a área de transferência , Menu ....................................................................... 72 Cópia da Zona Gráfica para a área de transferência, Exportar ................................................................... 14 Copiar estilo visual, Ferramenta ................................... 17 Copiar para a entrada de comandos ............................. 10 Cor ................................................................................ 11 Cor, Propriedades ......................................................... 10 Cores Dinâmicas............................................................ 82 Cores, Dinâmicas........................................................... 82 Co‐seno ......................................................................... 36 Covariância, Comando .................................................. 65 Criar nova ferramenta, Opções ..................................... 76 Curva, Comando ........................................................... 53 Curvas paramétricas, Comandos .................................. 54 Curvas Paramétricas, Comandos .................................. 53 Curvas, Comandos ........................................................ 54 Curvatura, Comando ............................................... 43, 54 D Declive, Ferramenta ...................................................... 25 Definição na Entrada de comandos .............................. 32 Definição, Objecto ........................................................ 32 Definido, Comando ....................................................... 42 Derivada de uma curva, Comando ................................ 54 Derivada, Comando ................................................ 52, 54 Desfazer, Menu ............................................................. 71 DesvioPadrão, Comando ............................................... 67 Determinante, Comando .............................................. 68 DiagramaDeBarras, Comando ....................................... 63 Diálogo de Propriedades ............................................... 10 Diálogo de Propriedades da Zona Gráfica ....................... 9 Diálogo de propriedades, Menu ................................... 73 Diametral, Comando ..................................................... 50 Direcção, Comando ....................................................... 48 Directriz, Comando ....................................................... 50 Distância, Comando ...................................................... 43 Distância, comprimento ou perímetro, Ferramenta ..... 24 Divisão .......................................................................... 36 93 Divisão horizontal, Menu .............................................. 73 E Editar, Menu ................................................................. 71 EixoMaior, Comando .................................................... 50 EixoMenor, Comando ................................................... 50 EixoPrincipal, Comando ................................................ 50 Eixos .............................................................................. 34 Eixos coordenados, Exibir / Esconder ............................. 9 Eixos coordenados, Menu ............................................. 73 Eixos coordenados, Personalizar ..................................... 9 Eixos, Comando ............................................................. 50 Eixos, EixoX e EixoY ....................................................... 35 Eixos, Exibir / Esconder ................................................... 9 Eixos, Menu................................................................... 73 Eixos, Personalizar .......................................................... 9 EixoSecundário, Comando ............................................ 50 EixoX ............................................................................. 35 EixoY ............................................................................. 35 Elemento, Comando ..................................................... 58 Elipse, Comando ........................................................... 51 Elipse, Ferramenta ........................................................ 22 Entrada de Comandos ................................................... 33 Entrada de Comandos, Mostrar entradas ..................... 32 Entrada Directa ............................................................. 33 Enviar traço para a folha de cálculo, Traço ................... 10 Espessura da linha, Espessura ....................................... 11 Estatística, Comandos ................................................... 63 Estilo da linha, Propriedades......................................... 10 Estilo das coordenadas, Opções.................................... 75 Estilo do ângulo recto, Opções ..................................... 75 Estilo do ponto, Opções ................................................ 75 Estilo visual, Copiar ....................................................... 17 ExcentricidadeLinear, Comando ................................... 44 Exibir / Esconder Objectos .............................................. 8 Exibir, Menu .................................................................. 73 Exibir/Esconder objectos, Ferramenta .......................... 18 Exibir/Esconder rótulo, Ferramenta ............................. 18 Expandir, Comando ....................................................... 52 Expandir, Polinómio ...................................................... 53 Exponenciação .............................................................. 36 Exportar cópia da zona gráfica para a área de transferência, Menu ................................................ 72 Exportar Cópia da Zona Gráfica para a área de transferência, Menu ................................................ 71 Exportar folha de trabalho dinâmico como página web, Menu ....................................................................... 70 Exportar folha de trabalho dinâmico, Menu ................. 70 Exportar imagem, Menu ............................................... 70 Exportar PGF/TikZ, Menu .............................................. 71 Exportar PSTricks, Menu ............................................... 71 Exportar zona gráfica como imagem, Menu ................. 70 Exportar zona gráfica como PGF/TikZ, Menu ................ 71 Exportar zona gráfica como PSTricks, Menu ................. 71 Exportar, Cópia da Zona Gráfica para a área de transferência............................................................ 14 Exportar, Folha de Trabalho Dinâmica .......................... 15 Exportar, Folha de Trabalho Interactiva........................ 15 Exportar, Menu ............................................................. 70 Exportar, Página Web Interactiva ................................. 15 Exportar, Protocolo de construção como página web .. 12 Exportar, Zona Gráfica .................................................. 14
Extremo, Comando ....................................................... 47 F Factorial ........................................................................ 36 Factorizar, Comando ..................................................... 52 Fechar, Menu ................................................................ 71 Ferramentas Criadas pelo Utilizador....................... 76, 81 Ferramentas de Construção .......................................... 16 Ferramentas Gerais, Ferramentas ................................ 17 Ferramentas, Criadas pelo Utilizador ...................... 76, 81 Ferramentas, Ferramentas Gerais ................................ 17 Ferramentas, Gerir ........................................................ 77 Ferramentas, Menu ...................................................... 76 Ficheiro, Menu .............................................................. 69 Focos, Comando ........................................................... 47 Folha de Cálculo .............................................................. 8 Folha de Cálculo, Comandos ......................................... 68 Folha de cálculo, Menu ................................................. 73 Folha de Trabalho Dinâmica, Exportar .......................... 15 Folha de Trabalho Interactiva, Exportar ....................... 15 Formatar, Copiar estilo visual, Ferramenta .................. 17 Fórmulas, LaTex ...................................................... 28, 56 FracçãoEmTexto, Comando .......................................... 56 Função exponential ...................................................... 36 Função Gamma ............................................................. 36 Função, Comando ......................................................... 53 Função, Exponencial ..................................................... 36 Função, Nome ............................................................... 31 Função, Restrita a um intervalo .................................... 36 Funções ......................................................................... 35 Funções Condicionais, Comando .................................. 52 Funções pré‐definidas ................................................... 36 Funções trigonométricas .............................................. 35 Funções trigonométricas, Arco‐co‐seno ....................... 36 Funções trigonométricas, Arco‐co‐seno hiperbólico .... 36 Funções trigonométricas, Arco‐seno ............................ 36 Funções trigonométricas, Arco‐seno hiperbólico ......... 36 Funções trigonométricas, Arco‐tangente ..................... 36 Funções trigonométricas, Arco‐tangente hiperbólico .. 37 Funções trigonométricas, Co‐seno ............................... 36 Funções trigonométricas, Co‐seno hiperbólico ............ 36 Funções trigonométricas, Seno .................................... 36 Funções trigonométricas, Seno hiperbólico ................. 36 Funções trigonométricas, Tangente ............................. 36 Funções trigonométricas, Tangente hiperbólica........... 36 Funções, Comandos ...................................................... 52 G Gerir as ferramentas, Opções ....................................... 77 Gerir, Ferramentas ........................................................ 77 Graus em radianos, Converter ...................................... 33 Gravar as configurações actuais, Opções...................... 76 Gravar como, Menu ...................................................... 69 Gravar configurações .................................................... 13 Gravar para a folha de cálculo, Ferramenta ................. 17 Gravar, Menu ................................................................ 69 H Hipérbole, Comando ..................................................... 51 Hipérbole, Ferramenta ................................................. 23 94 Histograma, Comando .................................................. 65 Histórico da Entrada de Comandos ............................... 32 Homotetia de centro num ponto por um factor, Ferramenta .............................................................. 26 Homotetia, Comando.................................................... 62 I Idioma, Opções ............................................................. 76 Imagem ......................................................................... 28 Imagem de Fundo ......................................................... 29 Imagem, Canto .............................................................. 46 Imagem, Especificar cantos ........................................... 29 Imagem, Fundo ............................................................. 29 Imagem, Inserir ............................................................. 28 Imagem, Posição ........................................................... 29 Imagem, Propriedades .................................................. 29 Imagem, Transparência................................................. 30 Imprimir ........................................................................ 13 Imprimir, Protocolo de Construção ............................... 13 Imprimir, Zona Gráfica .................................................. 13 Incremento, Animação manual ..................................... 80 Índices ..................................................................... 31, 41 Inserir imagem, Ferramenta ......................................... 28 Inserir texto, Ferramenta .............................................. 27 Inserir, Comando .......................................................... 59 Inserir, Imagem, Ferramenta ........................................ 28 Inserir, Texto ................................................................. 27 Integral, Comando .................................................. 43, 53 Integral, Definido .......................................................... 43 Integral, Indefinido ....................................................... 53 Inteiro, Comando .......................................................... 42 Intersecção, Comando .................................................. 59 Intersectar duas linhas, Ferramenta ............................. 19 Intersectar, Comando ................................................... 47 Inversa, Comando ......................................................... 68 InversaNormal, Comando ............................................. 66 Inversão numa circunferência, Ferramenta .................. 26 Items de Menu .............................................................. 69 Iteração, Comando........................................................ 43 J Janela, Menu ................................................................. 77 JavaScript ...................................................................... 83 Juntar, Comando ........................................................... 58 L LaTex, Comando ............................................................ 56 LaTex, Fórmulas ...................................................... 28, 56 Layers ............................................................................ 89 Legenda, Rótulo ............................................................ 89 Legendas ....................................................................... 88 LetraParaUnicode, Comando ........................................ 56 Limites, Função restrita a um intervalo ........................ 36 Limites, Valor do ângulo ............................................... 34 Limites, Valor do número .............................................. 34 Linha, Comando ............................................................ 68 Lista de comandos .......................................................... 7 Lista de comandos, Menu ............................................. 74 ListaDeIteração, Comando ............................................ 59 Listas ............................................................................. 38
Listas, Aplicar funções ................................................... 38 Listas, Aplicar operações aritméticas ............................ 38 Listas, Comandos .......................................................... 58 Listas, Comparar ........................................................... 38 Locus ....................................................................... 25, 90 Locus, Comando ............................................................ 58 Locus, Ferramenta ........................................................ 25 Logaritmo ...................................................................... 36 Lugares Geométricos .................................................... 25 Lugares Geométricos, Comandos ................................. 58 M Maior inteiro menor ou igual ........................................ 37 ManterSe, Comando ..................................................... 60 Matriz, Comandos ......................................................... 68 Matrizes ........................................................................ 39 Matrizes, Aplicar operações aritméticas ....................... 39 Máximo de uma lista, Comando ................................... 60 Máximo Divisor Comum, Comando .............................. 43 Máximo, Comando ....................................................... 44 MDC, Comando ............................................................. 43 Média, Comandos ......................................................... 66 Mediana, Comando ...................................................... 66 Mediatriz, Comando ..................................................... 50 Mediatriz, Ferramenta .................................................. 21 MédiaX, Comando ........................................................ 66 MédiaY, Comando ........................................................ 66 Menor inteiro maior ou igual ........................................ 37 Menu de Contexto ........................................................ 10 Mínimo de uma lista, Comando .................................... 60 Mínimo Múltiplo Comum, Comando ............................ 44 Mínimo, Comando ........................................................ 44 MMC, Comando ............................................................ 44 Moda, Comando ........................................................... 66 Modificar as Configurações .......................................... 13 Mover a folha de desenho, Ferramenta ....................... 17 Mover, Ferramenta ....................................................... 17 Movimentos .................................................................. 62 Multiplicação ................................................................ 36 N Nome da célula ............................................................... 8 Nome na Entrada de Comandos ................................... 32 Nome, Comando ........................................................... 56 Nome, Função ............................................................... 31 Nome, Objecto .............................................................. 32 Nome, Ponto ........................................................... 31, 34 Nome, Recta ........................................................... 31, 34 Nome, Secção cónica .............................................. 31, 35 Nome, Vector .......................................................... 31, 34 Nomear Objectos .......................................................... 31 NomeDaColuna, Comando ........................................... 68 Normal, Comando ......................................................... 66 Nova janela, Menu .................................................. 69, 77 Novo ponto, Ferramenta .............................................. 18 Novo, Menu .................................................................. 69 Número ......................................................................... 33 Número aleatório entre 0 e 1 ....................................... 36 Número, Limites ........................................................... 34 Números ....................................................................... 24 Números Complexos ..................................................... 40 95 Números, Comandos .................................................... 42 O Object auxiliar ................................................................. 7 Objecto auxiliar ............................................................... 8 Objecto dependente ....................................................... 7 Objecto livre .................................................................... 7 Objecto, Comando ........................................................ 56 Objecto, Definição ........................................................ 32 Objecto, Nome ........................................................ 31, 32 Objecto, Valor ............................................................... 32 Objectos auxiliares, Menu ............................................ 73 Objectos, Exibir / Esconder ............................................. 8 Objectos, Modificar ...................................................... 32 Opções, Captura de pontos .......................................... 74 Opções, Continuidade ................................................... 75 Opções, Criar nova ferramenta ..................................... 76 Opções, Estilo das coordenadas.................................... 75 Opções, Estilo do ângulo recto ..................................... 75 Opções, Estilo do ponto ................................................ 75 Opções, Gerir as ferramentas ....................................... 77 Opções, Gravar as configurações actuais ...................... 76 Opções, Idioma ............................................................. 76 Opções, Menu ............................................................... 74 Opções, Personalizar a barra de ferramentas ............... 77 Opções, Restaurar as configurações padrão ................. 76 Opções, Rotular ............................................................ 75 Opções, Tamanho da caixa para exibir/esconder objectos ................................................................... 75 Opções, Tamanho da fonte ........................................... 76 Opções, Unidade angular .............................................. 75 Opções, Zona gráfica ..................................................... 76 Opções,Arredondar ....................................................... 75 Operações aritméticas .................................................. 36 Operações com Listas ................................................... 38 Operações com matrizes .............................................. 39 Operações com números complexos ............................ 40 Ordenada ...................................................................... 36 Ordenar, Comando ....................................................... 61 P Página Web Interactiva, Exportar ................................. 15 Parábola, Comando ....................................................... 52 Parábola, Ferramenta ................................................... 23 Parâmetro, Comando .................................................... 45 Parênteses .................................................................... 36 ParteDaLista, Comando ................................................ 61 PassoDaConstrução, Comando ..................................... 41 PassoEixo, Comando ..................................................... 42 Pausa na animação ....................................................... 79 Perímetro, Comando............................................... 42, 45 Perpendicular, Comando .............................................. 50 Personalizar a barra de ferramentas ............................... 9 Personalizar a barra de ferramentas, Opções ............... 77 Personalizar a interface do utilizador ............................. 8 Personalizar a Zona Gráfica ............................................. 9 Polar, Comando ............................................................ 50 Polares, Coordenadas ................................................... 34 Polígono regula, Ferramenta ........................................ 20 Polígono regular, Ferramenta ....................................... 20 Polígono, Ângulos ......................................................... 46
Polígono, Comando ....................................................... 49 Polígono, Ferramenta ................................................... 20 Polígonos ...................................................................... 20 Polígonos, Comandos ................................................... 49 Polinómio, Comando .................................................... 53 PolinómioDeTaylor, Comando ...................................... 53 Ponto ............................................................................ 34 Ponto de quebra ........................................................... 12 Ponto médio ou centro, Ferramenta ............................ 19 Ponto, Comando ........................................................... 47 Ponto, Nome ........................................................... 31, 34 PontoDeInflexão, Comando .......................................... 47 PontoMédio, Comando ................................................. 47 Pontos ........................................................................... 18 Pontos, Comandos ........................................................ 46 Preenchimento ............................................................. 11 Previsão da impressão, Menu ....................................... 70 Primeiros, Comando ..................................................... 59 Produto escalar ............................................................. 36 Produto, Comando ........................................................ 60 Propriedades ................................................................. 10 Protocolo ...................................................................... 11 Protocolo de Construção .............................................. 11 Protocolo de construção como página web, Exportar .. 12 Protocolo de Construção, Colunas .......................... 12, 13 Protocolo de construção, Exportar ............................... 12 Protocolo de Construção, Imprimir .............................. 13 Protocolo de Construção, Inserir novo passo ............... 12 Protocolo de construção, Menu ................................... 74 Protocolo de Construção, Mudar a ordem dos passos . 12 Protocolo de Construção, Ponto de quebra ................. 12 Protocolo, Exportar ....................................................... 12 Q Quadriculado, Exibir / Esconder ..................................... 9 Quadriculado, Menu ..................................................... 73 Quadriculado, Personalizar ............................................. 9 Quantidades estatísticas, Comandos ............................ 67 Quartil1, Comando ....................................................... 67 Quartil3, Comando ....................................................... 67 Quociente, Comando .................................................... 43 R Radianos em graus, Converter ...................................... 33 Raio, Comando .............................................................. 45 Raiz cúbica .................................................................... 36 Raiz quadrada ............................................................... 36 Raiz, Comando .............................................................. 48 Random numbers, New ................................................ 74 RazãoAfim, Comando ................................................... 42 RazãoDupla, Comando .................................................. 42 Recalcular todos os objectos, Menu ............................. 74 Recta ............................................................................. 34 Recta de regressão, Ferramenta ................................... 21 Recta definida por dois pontos, Ferramenta ................ 21 Recta paralela, Ferramenta .......................................... 21 Recta perpendicular, Ferramenta ................................. 21 Recta polar ou diametral, Ferramenta .......................... 21 Recta, Comando ............................................................ 50 Recta, Estilo .................................................................. 11 Recta, Nome ........................................................... 31, 34 96 Rectângulo de Exportação ............................................ 14 Rectângulo de Selecção ................................................ 16 Rectângulo de Zoom ....................................................... 9 Rectas............................................................................ 20 Rectas, Comandos ......................................................... 49 Redefinir ....................................................................... 90 Redefinir um objecto fixo ............................................. 90 Reduzir, Ferramenta ..................................................... 18 Refazer, Menu ............................................................... 71 Reflexão num ponto, Ferramenta ................................. 26 Reflexão numa recta, Ferramenta ................................ 26 Reflexão, Comando ....................................................... 62 RegressãoLinear, Comando .......................................... 65 Relação, Comando ........................................................ 41 Relação, Ferramenta ..................................................... 18 RemoverIndefinidos, Comando .................................... 60 Renomear ..................................................................... 10 Renomear, Opção rápida .............................................. 17 Restaurar a barra de ferramentas padrão .................... 10 Restaurar as configurações padrão ............................... 13 Restaurar as configurações padrão, Opções ................. 76 Resto da divisão inteira ................................................. 44 Resto, Comando ............................................................ 44 Reunião, Comando ........................................................ 61 Reverter, Comando ....................................................... 60 Rodar em torno de um ponto com uma amplitude, Ferramenta .............................................................. 26 Rodar em torno de um ponto, ferramenta ................... 18 Rotação, Comando ........................................................ 62 Rotular, Opções ............................................................ 75 Rótulo, Legenda ............................................................ 89 Rótulos .......................................................................... 88 Rótulos, Exibir e Esconder ............................................. 88 Rótulos, Nome e valor .................................................. 89 S Se, Comando ........................................................... 41, 52 Secção cónica, Nome .............................................. 31, 35 Secções Cónicas ...................................................... 22, 35 Secções Cónicas, Comandos ......................................... 51 Sector circular dados o centro e dois pontos, Ferramenta ................................................................................. 23 Sector circuncircular dados três pontos, Ferramenta ... 23 Sector, Comando .......................................................... 55 SectorCircular, Comando .............................................. 55 SectorCircuncircular, Comando .................................... 55 Sectores ........................................................................ 23 Sectores, Comandos ..................................................... 54 Segment definido por dois pontos, Ferramenta ........... 19 Segmento dados um ponto e um comprimento, Ferramenta .............................................................. 20 Segmento, Comando .................................................... 49 Segmentos .................................................................... 19 Segmentos, Comandos ................................................. 49 Seleccionar ascendentes, Menu ................................... 72 Seleccionar descendentes, Menu ................................. 72 Seleccionar o layer actual, Menu .................................. 72 Seleccionar tudo, Menu ................................................ 72 Selector ......................................................................... 34 Selector, Ferramenta .................................................... 24 Semicircunferência dados dois pontos, Ferramenta ..... 23 Semicircunferência, Comando ...................................... 55
Semirecta definida por dois pontos, Ferramenta ......... 20 Semirecta, Comando ..................................................... 49 Semirectas .................................................................... 20 Semirectas, Comandos ................................................. 49 Separador decimal ........................................................ 33 Sequência, Comando .................................................... 60 Sequências, Comandos ................................................. 58 Sigma XY, Comando ...................................................... 67 Sigma YY, Comando ...................................................... 67 SigmaXX, Comando ....................................................... 67 Símbolo do grau ............................................................ 25 Símbolo Pi ..................................................................... 25 Simplificar, Comando .................................................... 53 Simplificar, Polinómio ................................................... 53 Sinal .............................................................................. 36 Sine ............................................................................... 36 Slope, Comando ............................................................ 45 Soma, Comando ............................................................ 61 SomaInferior, Comando ................................................ 44 SomaSuperior, Comando .............................................. 45 SomaTrapezoidal, Comando ......................................... 45 Subtracção .................................................................... 36 T Tabela, Comando .......................................................... 56 Tamanho ....................................................................... 11 Tamanho da caixa para exibir/esconder objectos, Opções ..................................................................... 75 Tamanho da fonte, Aumentar ...................................... 13 Tamanho da fonte, Opções ........................................... 76 Tangente ....................................................................... 36 Tangente, Comando................................................ 51, 54 Tangentes, Ferramenta ................................................. 21 Teclas de Movimento ................................................... 34 Teclas de movimento, Animação .................................. 79 Teclas Mais / Memos, Animação .................................. 79 Texto ............................................................................. 27 Texto Dinâmico ............................................................. 27 Texto Estático ............................................................... 27 Texto Misto ................................................................... 27 Texto, Comando ............................................................ 57 Texto, Comandos .......................................................... 56 Texto, Dinâmico ............................................................ 27 Texto, Etático ................................................................ 27 Texto, Misto .................................................................. 27 TextoParaUnicode, Comando ....................................... 57 Traço ............................................................................. 90 Traço, Apagar ................................................................ 74 97 Transformaçõe Geométricas ......................................... 26 Transformações ............................................................ 62 Transformações ............................................................ 26 Transformações Geométricas ....................................... 62 Translação por um vector, Ferramenta ........................ 26 Translação, Comando ................................................... 63 Transparência, Imagem ................................................ 30 Transposta, Comando ................................................... 68 U Últimos, Comando ........................................................ 60 UnicodeParaLetra, Comando ........................................ 58 UnicodeParaTexto, Comando ....................................... 58 Unidade angular, Opções .............................................. 75 V Valor absoluto ............................................................... 36 Valor na Entrada de Comandos .................................... 32 Valor, Objecto ............................................................... 32 Valores, Modificar ......................................................... 32 Variância, Comando ...................................................... 68 Vector ........................................................................... 34 Vector aplicado num ponto, Ferramenta ...................... 19 Vector definido por dois pontos, Ferramenta ............... 19 Vector, Comando .......................................................... 49 Vector, Nome .......................................................... 31, 34 VectorCurvatura, Comando .................................... 48, 54 Vectores ........................................................................ 19 Vectores, Comandos ..................................................... 48 VectorPerpendicular, Comando .................................... 48 VectorPerpendicularUnitário, Comando ....................... 48 VectorUnitário, Comando ............................................. 49 Vértice, Comando ......................................................... 48 Visibilidade Condicional ................................................ 80 Visibilidade, Condicional ............................................... 80 Visibilidade, Propriedades ............................................ 10 Z Zona algébrica ............................................................... 73 Zona Algébrica ................................................................ 7 Zona Gráfica .............................................................. 6, 16 Zona Gráfica, Exportar .................................................. 14 Zona Gráfica, Imprimir .................................................. 13 Zona gráfica, Opções ..................................................... 76 Zoom ............................................................................... 9

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Manual geogebra 3.2

  • 1. Ajuda GeoGebra Manual Oficial da Versão 3.2 Markus Hohenwarter e Judith Hohenwarter www.geogebra.org
  • 2. Ajuda GeoGebra 3.2 Autores Markus Hohenwarter, markus@geogebra.org Judith Hohenwarter, judith@geogebra.org Última modificação: 2009-03-24 Tradução e adaptação para português de Portugal António Ribeiro, pontopi@gmail.com Última modificação: 2009-05-04 GeoGebra Online Website: http://www.geogebra.org Help Search: http://www.geogebra.org/help/search.html 2
  • 3. Conteúdos 1. O QUE É O GEOGEBRA? .......................................................................................................... 6 1.1. Múltiplas Vistas para Objectos Matemáticos ................................................................................... 6 3 1.1.1. Zona Gráfica ......................................................................................................................................... 6 1.1.2. Zona Algébrica ..................................................................................................................................... 7 1.1.3. Folha de Cálculo ................................................................................................................................... 8 1.2. O GeoGebra como Ferramenta para Ensinar e Aprender Matemática .............................................. 8 1.2.1. Personalizar a Interface do Utilizador ................................................................................................. 8 1.2.2. Modificar Propriedades dos Objectos ............................................................................................... 10 1.2.3. Usar o Menu de Contexto ................................................................................................................. 10 1.3. O GeoGebra como Ferramenta de Apresentação ........................................................................... 11 1.3.1. Usar a Barra de Navegação ................................................................................................................ 11 1.3.2. Usar o Protocolo de construção ........................................................................................................ 11 1.3.3. Modificar as Configurações do GeoGebra ......................................................................................... 13 1.4. O GeoGebra como Ferramenta de Autor ....................................................................................... 13 1.4.1. Opções de Impressão ........................................................................................................................ 13 1.4.2. Criar Imagens da Zona gráfica ........................................................................................................... 14 1.4.3. Criar Páginas Web Interactivas .......................................................................................................... 15 2. ENTRADA GEOMÉTRICA ..................................................................................................... 16 2.1. Notas Gerais ................................................................................................................................. 16 2.2. Ferramentas de Construção .......................................................................................................... 16 2.2.1. Ferramentas Gerais ........................................................................................................................... 17 2.2.2. Pontos ................................................................................................................................................ 18 2.2.3. Vectores ............................................................................................................................................. 19 2.2.4. Segmentos ......................................................................................................................................... 19 2.2.5. Semirectas ......................................................................................................................................... 20 2.2.6. Polígonos ........................................................................................................................................... 20 2.2.7. Rectas ................................................................................................................................................ 20 2.2.8. Secções Cónicas ................................................................................................................................. 22 2.2.9. Arcos e Sectores ................................................................................................................................ 23 2.2.10. Números e Ângulos ....................................................................................................................... 24 2.2.11. Booleano ....................................................................................................................................... 25 2.2.12. Lugares Geométricos .................................................................................................................... 25 2.2.13. Transformações Geométricas ....................................................................................................... 26 2.2.14. Texto ............................................................................................................................................. 27 2.2.15. Imagens ......................................................................................................................................... 28 3. ENTRADA ALGÉBRICA ......................................................................................................... 31 3.1. Notas Gerais ................................................................................................................................. 31 3.2. Entrada Directa ............................................................................................................................. 33 3.2.1. Números e Ângulos ........................................................................................................................... 33
  • 4. 4 3.2.2. Pontos e Vectores .............................................................................................................................. 34 3.2.3. Rectas e Eixos .................................................................................................................................... 34 3.2.4. Secções Cónicas ................................................................................................................................. 35 3.2.5. Funções de x ...................................................................................................................................... 35 3.2.6. Funções e Operações Pré‐definidas .................................................................................................. 36 3.2.7. Operações e Variáveis Booleanas ...................................................................................................... 37 3.2.8. Listas de Objectos e Operações com Listas ....................................................................................... 38 3.2.9. Matrizes e Operações com Matrizes ................................................................................................. 39 3.2.10. Números Complexos e Operações ................................................................................................ 40 3.3. Comandos .................................................................................................................................... 40 3.3.1. Comandos Gerais ............................................................................................................................... 41 3.3.2. Comandos Booleanos ........................................................................................................................ 41 3.3.3. Números ............................................................................................................................................ 42 3.3.4. Ângulos .............................................................................................................................................. 46 3.3.5. Pontos ................................................................................................................................................ 46 3.3.6. Vectores ............................................................................................................................................. 48 3.3.7. Segmentos ......................................................................................................................................... 49 3.3.8. Semirectas ......................................................................................................................................... 49 3.3.9. Polígonos ........................................................................................................................................... 49 3.3.10. Rectas ............................................................................................................................................ 49 3.3.11. Secções Cónicas ............................................................................................................................ 51 3.3.12. Funções ......................................................................................................................................... 52 3.3.13. Curvas Paramétricas ..................................................................................................................... 53 3.3.14. Arcos e Sectores ............................................................................................................................ 54 3.3.15. Texto ............................................................................................................................................. 56 3.3.16. Lugares Geométricos .................................................................................................................... 58 3.3.17. Listas e Sequências ....................................................................................................................... 58 3.3.18. Transformações Geométricas ....................................................................................................... 62 3.3.19. Comandos de Estatística ............................................................................................................... 63 3.3.20. Comandos de Folha de Cálculo ..................................................................................................... 68 3.3.21. Comandos de Matriz ..................................................................................................................... 68 4. ITEMS DE MENU .................................................................................................................... 69 4.1. Menu Ficheiro .............................................................................................................................. 69 4.2. Menu Editar ................................................................................................................................. 71 4.3. Menu Exibir .................................................................................................................................. 73 4.4. Menu Opções ............................................................................................................................... 74 4.5. Menu Ferramentas ....................................................................................................................... 76 4.6. Menu Janela ................................................................................................................................. 77 4.7. Menu Ajuda .................................................................................................................................. 77 5. RECURSOS ESPECIAIS DO GEOGEBRA ............................................................................ 79 5.1. Animação ..................................................................................................................................... 79 5.1.1. Animação Automática ....................................................................................................................... 79 5.1.2. Animação Manual .............................................................................................................................. 79 5.2. Visibilidade Condicional ................................................................................................................ 80
  • 5. 5.3. Ferramentas Criadas pelo Utilizador ............................................................................................. 81 5.4. Cores Dinâmicas ........................................................................................................................... 82 5.5. Interface JavaScript ...................................................................................................................... 83 5.6. Atalhos de Teclado ....................................................................................................................... 83 5.7. Rótulos e Legendas ....................................................................................................................... 88 5.8. Layers ........................................................................................................................................... 89 5.9. Redefinir ...................................................................................................................................... 90 5.10. Traço e Locus ................................................................................................................................ 90 ÍNDICE ............................................................................................................................................... 92 5
  • 6. 1. O que é o GeoGebra? O GeoGebra é um software de matemática dinâmica que junta geometria, álgebra e cálculo. É desenvolvido para aprender e ensinar matemática nas escolas por Markus Hohenwarter e uma equipa internacional de programadores. 1.1. Múltiplas Vistas para Objectos Matemáticos O GeoGebra fornece três diferentes vistas dos objectos matemáticos: a Zona Gráfica, a Zona Algébrica, ou numérica, e a Folha de Cálculo. Elas permitem mostrar os objectos matemáticos em três diferentes representaçãoes: graficamente (e.g., pontos, gráficos de funções), algebricamente (e.g., coordenadas de pontos, equações) e nas células da folha de cálculo. Assim, todas as representações do mesmo objecto estão ligadas dinamicamente e adaptam-se automaticamente às mudanças realizadas em qualquer delas, independentemente da forma como esses objectos foram inicialmente criados. 1.1.1. Zona Gráfica Usando as ferramentas disponíveis na Barra de Ferramentas, pode realizar construções geométricas na Zona Gráfica com o rato. Seleccione qualquer ferramenta na Barra de Ferramentas e leia a Ajuda da Ferramenta (a seguir à barra de ferramentas) para ver como usar a ferramenta seleccionada. Cada objecto criado na Zona Gráfica tem também uma representação na Zona Algébrica. 6
  • 7. Nota: Pode mover objectos na Zona Gráfica arrastando-os com o rato. Ao mesmo tempo, as suas representações algébricas são actualizadas automaticamente na Zona Algébrica. Cada ícone na barra de ferramentas representa uma caixa de ferramentas que contém um conjunto de ferramentas similares. Para abrir uma caixa de ferramentas, tem que clicar na pequena flecha situada no canto inferior direito do respectivo ícone. Sugestão: As ferramentas estão organizadas segundo a natureza dos objectos resultantes. Encontrará ferramentas que criam diferentes tipos de pontos na Caixa de Ferramentas de Ponto (ícone ) e ferramentas que lhe permitem aplicar transformações geométricas na Caixa de Ferramentas de Transformação (ícone ). 1.1.2. Zona Algébrica Usando a Entrada de Comandos pode inserir directamente expressões algébricas no GeoGebra. Após ter batido a tecla Enter, a expressão algébrica digitada aparece na Zona Algébrica e a respectiva representação gráfica aparece na Zona Gráfica. Por exemplo, inserindo f(x) = x^2 aparece a função f na Zona Algébrica e o respectivo gráfico na Zona Gráfica. Na Zona Algébrica, os objectos matemáticos são organizados em duas classes: objectos livres e objectos dependentes. Se criar um novo objecto sem que para tal use qualquer objecto existente, ele é classificado como objecto livre. Se, pelo contrário, o seu novo objecto for criado com recurso a objectos já existentes, ele é classificado como objecto dependente. Sugestão: Se quiser esconder a representação algébrica de um objecto na Zona Algébrica pode especificá-lo como um Objecto Auxiliar. Para isso, comece por clicar com o botão direito do rato (MacOS: Ctrl-clique) na representação algébrica do objecto e seleccione ‘Propriedades’ no Menu de Contexto que aparece. Depois, no separador ‘Básico’ do Diálogo de Propriedades pode especificar o objecto como ‘Objecto auxiliar’. Por defeito, os objectos auxiliares não são mostrados na Zona Algébrica, mas pode mudar esta configuração seleccionando o item ‘Objectos auxiliares’ no menu Exibir. Note que também pode modificar objectos na Zona Algébrica. Para isso, comece por assegurar-se que tem a ferramenta Mover activada antes de fazer duplo clique com o botão esquerdo do rato sobre um objecto livre na Zona Algébrica. Depois, na caixa de texto que aparece, pode editar directamente a representação algébrica do objecto. Finalmente, após ter batido a tecla Enter, a representação gráfica do objecto será adaptada automaticamente às alterações que efectuou. Se fizer duplo clique com o botão esquerdo do rato sobre um objecto dependente na Zona Algébrica, aparece uma janela de diálogo que lhe permite redefinir o objecto. O GeoGebra também oferece uma vasta gama de comandos que podem ser inseridos no Campo de Entrada. Pode abrir a lista de comandos no lado direito da Barra de Comandos, clicando no botão ‘Comando’. Depois de seleccionar um comando nesta lista (ou digitar o seu nome directamente no Campo de Entrada), 7
  • 8. pode pressionar a tecla F1 para obter informação sobre a síntaxe e os argumentos requeridos para aplicar o correspondente comando. 1.1.3. Folha de Cálculo Na Folha de Cálculo do GeoGebra, cada célula tem um nome específico que permite identificá-la directamente. Por exemplo, a célula na coluna A e linha 1 é nomeada A1. Nota: O nome de uma célula pode ser usado em expressões e em comandos para identificar o conteúdo da célula correspondente. Nas células da folha de cálculo pode inserir não só números mas também todo o tipo de objectos matemáticos suportados pelo GeoGebra (eg., coordenadas de pontos, funções, comandos). Se possível, o GeoGebra mostra imediatamente na Zona Gráfica a representação gráfica do objecto inserido numa célula. O objecto toma o nome da célula usada para o criar (e.g., A5, C1). Nota: Por defeito, os objectos na folha de cálculo são classificados como Objectos Auxiliares na Zona Algébrica. Pode exibir ou esconder estes Objectos Auxiliares marcando ou desmarcando o item ‘Objectos Auxiliares’ no menu Exibir. 1.2. O GeoGebra como Ferramenta para Ensinar e 8 Aprender Matemática 1.2.1. Personalizar a Interface do Utilizador A interface do utilizador do GeoGebra pode ser personalizada usando o menu Exibir. Por exemplo, pode esconder diferentes partes da interface (e.g., Zona Algébrica, Folha de Cálculo, Barra de Comandos) desmarcando o correspondente item no menu Exibir. Exibir e Esconder Objectos Pode exibir ou esconder objectos na Zona Gráfica de várias maneiras. • Pode usar a ferramenta Exibir/Esconder objectos para exibir ou esconder objectos. • Abra o Menu de Contexto e seleccione o item Exibir objecto para alterar o estado de visibilidade do objecto seleccionado. • Na Zona Algébrica, o ícone à esquerda de cada objecto mostra o seu estado de visibilidade corrente ( ‘cisível’ ou ‘escondido’). Pode clicar directamente no pequeno ícone para alterar o estado de visibilidade do respective objecto. • Também pode usar a ferramenta Caixa para exibir/esconder objectos para exibir ou esconder um ou mais objectos.
  • 9. Personalizar a Zona Gráfica Para ajustar a parte visível da Zona Gráfica, pode arrastar o respectivo fundo usando a ferramenta Mover a folha de desenho e os seguintes tipos de zoom: 9 Pode usar as ferramentas Ampliar e Reduzir para fazer zoom na Zona Gráfica. Nota: A posição do clique determina o centro do zoom. Pode usar a roda do rato para fazer zoom na Zona Gráfica. Pode usar atalhos de teclado para ampliar (Ctrl +) e para reduzir (Ctrl -). Depois de clicar com o botão direito do rato (MacOS: Ctrl - clique) num local vazio da Zona Gráfica, aparece o Menu de Contexto que lhe permite fazer ‘Zoom’. Pode especificar um Rectângulo de Zoom clicando no botão direito do rato (MacOS: Cmd - clique) num local vazio da Zona Gráfica e arrastando o rato para o canto oposto do desejado Rectângulo de Zoom. Liberte o botão do rato para terminar o Rectângulo de Zoom, o qual se ajustará automaticamente para preencher todo o espaço na Zona Gráfica. Também pode exibir ou esconder os eixos coordenados e o quadriculado na Zona Gráfica usando o menu Exibir. Nota: Uma outra maneira de exibir ou esconder os eixos coordenados ou o quadriculado consiste em clicar com o botão direito do rato (MacOS: Ctrl-clique) no fundo da Zona Gráfica e seleccionar os correspondentes items ‘Eixos coordenados’ ou ‘Quadriculado’ no Menu de Contexto que aparece. Personalizar os Eixos Coordenados e o Quadriculado Os eixos coordenados e o quadriculado podem ser personalizados usando o Diálogo de Propriedades da Zona Gráfica. Depois de clicar com o botão direito do rato (MacOS: Ctrl-clique) no fundo da Zona Gráfica, pode abrir esta janela de diálogo seleccionando ‘Propriedades’ no Menu de Contexto da Zona Gráfica. No separador ’Eixos coordenados’, pode, por exemplo, alterar o estilo da linha e as unidades dos eixos coordenados, e estabelecer a distância das graduações para um certo valor. Note que pode personalizar cada um dos eixos individualmente, clicando no separador ‘EixoX’ ou ‘EixoY’. Além disso, pode também alterar a razão entre os eixos e exibir ou esconder cada eixo individualmente. No separador ‘Quadriculado’, pode, por exemplo, alterar a cor e o estilo das linhas do quadriculado, e estabelecer a distância entre estas linhas. Também pode escolher o quadriculado ‘Isométrico’. Nota: Para alterar a relação de escala entre os eixos pode simplesmente pressionar e segurar a tecla Shift (ou Ctrl) enquanto arrasta um dos eixos. Nota: O Diálogo de Propriedades da Zona Gráfica é diferente do Diálogo de Popriedades dos objectos. Personalizar a Barra de Ferramentas A barra de ferramentas pode ser personalizada seleccionando ‘Personalizar a barra de ferramentas …’ no menu Ferramentas. Seleccione a ferramenta ou a caixa
  • 10. de ferramentas que pretende remover da barra de ferramentas, na lista do lado esquerdo da janela de diálogo que aparece, e clique no botão ‘Remover >’. Nota: Pode restaurar a barra de ferramentas padrão clicando no botão ‘Restaurar a barra de ferramentas padrão’ que está situado no canto inferior esquerdo da janela de diálogo. 1.2.2. Modificar Propriedades dos Objectos O Diálogo de Propriedades permite-lhe modificar propriedades de objectos (e.g., cor, estilo da linha, visibilidade). Há várias maneiras de abrir o Diálogo de Propriedades: 10 • Clique com o botão direito do rato (MacOS: Ctrl - clique) num objecto e seleccione ‘Propriedades…’ no Menu de Contexto que aparece. • Seleccione o item ‘Propriedades’ no menu Editar. • Seleccione a ferramenta Mover e faça um duplo clique num objecto situado na Zona Gráfica. Na janela de diálogo Redefinir que aparece, clique no botão ‘Propriedades …’ No Diálogo de Propriedades, os objectos são organizados por tipos (e.g., pontos, rectas, circunferências) na lista do lado esquerdo, o que facilita o manuseamento de um largo número de objectos. Seleccione um ou mais objectos desta lista para modificar as respectivas propriedades. Nota: Clicando num cabeçalho da lista de objectos (e.g., ‘Ponto’) pode seleccionar todos os objectos desse tipo e então modificar, em simultâneo, as propriedades de todos esses objectos. Pode modificar as propriedades de objectos seleccionados usando os separadores no lado direito (e.g., ‘Básico’, ‘Cor’, ‘Estilo’, ‘Avançado’). Nota: O conjunto de separadores que aparecem no lado direito do Diálogo de Propriedades depende dos objectos seleccionados na lista do lado esquerdo. Feche o Diálogo de Propriedades quando terminar as modificações nas propriedades dos objectos. 1.2.3. Usar o Menu de Contexto O Menu de Contexto permite uma maneira rápida de alterar o comportamento ou as propriedades avançadas de um objecto. Clique com o botão direito do rato (MacOS: Ctrl-clique) num objecto para abrir o respectivo Menu de Contexto. Por exemplo, isto permite-lhe alterar a notação algébrica dos objectos (e.g., coordenadas polares ou cartesianas, equação implícita ou explícita) e aceder directamente a recursos como Renomear, Apagar, Activar traço, Animar, ou Copiar para a entrada de comandos. Nota: Se abrir o Menu de Contexto para um ponto na Zona Gráfica, isso dá-lhe a opção ‘Enviar traço para a folha de cálculo’ (apenas se a Folha de Cálculo
  • 11. estiver activada). Uma vez seleccionada, esta opção permite-lhe gravar as coordenadas de um ponto na Folha de Cálculo se ele for movido. Seleccionando Propriedades… no Menu de Contexto abre o Diálogo de Popriedades, no qual pode alterar as propriedades de todos os objectos em uso (e.g., cor, tamanho, espessura da linha, estilo da linha, preenchimento). 1.3. O GeoGebra como Ferramenta de Apresentação 1.3.1. Usar a Barra de Navegação O GeoGebra oferece uma Barra de Navegação que lhe permite navegar através dos passos da construção de um ficheiro GeoGebra já preparado. Seleccione o item ‘Barra de navegação para passos da construção’ no menu Exibir para mostrar a Barra de Navegação situada na base da Zona Gráfica. A Barra de Navegação fornece um conjunto de botões de navegação e mostra o número dos passos da construção (e.g., 2 / 7 significa que está a mostrar o segundo de um total de sete passos da construção): 11 botão : ‘vai para o primeiro passo’ botão : ‘vai para o passo anterior’ botão : ‘vai para o passo seguinte’ botão : ‘vai para o passo final’ botão : ‘Reproduzir’: ‘reproduz automaticamente todos os passos da construção’ Nota: Pode alterar a velocidade desta reprodução automática usando a caixa de texto situada à direita do botão ‘Reproduzir’. botão ‘Pausa’: ‘pára automaticamente a reprodução’ Nota: Este botão só aparece depois de clicar no botão’Reproduzir’. botão : Este botão abre o Protocolo de Construção. 1.3.2. Usar o Protocolo de construção Pode aceder o Protocolo de Construção interactivo seleccionando o item ‘Protocolo de construção’ no menu Exibir. É uma tabela que mostra todos os passos da construção. O Protocolo de Construção permite-lhe refazer passo a passo uma construção já preparada, usando a Barra de Navegação situada na base da Zona Gráfica. Navegar e Modificar o Protocolo de Construção Pode usar o teclado para navegar no Protocolo de Construção: Use a seta ↑ ‘para cima’ do teclado para regredir um passo da construção. Use a seta ↓ ‘para baixo’ do teclado para avançar um passo da construção. Use a tecla Home para regressar ao início do protocolo da construção e a tecla End se quiser ir para o fim do protocolo da construção.
  • 12. 12 Use a tecla Delete para apagar um passo da construção seleccionado. Nota: Isto pode afectar outros objectos que dependem do objecto/passo da construção seleccionado. Também pode usar o rato para navegar no Protocolo de Construção: Faça um clique duplo numa linha para seleccionar um passo da construção. Faça um clique duplo no cabeçalho de qualquer coluna se quiser ir para o início do Protocolo de construção. Arraste e largue uma linha para mover um passo da construção para uma outra posição no Protocolo de Construção. Nota: Isto nem sempre é possível devido às dependências entre os diferentes objectos. Clique com o botão direito numa linha para abrir o Menu de Contexto do objecto referente ao passo da construção seleccionado. Nota: Pode inserir passos da construção em qualquer posição do Protocolo de Construção: Seleccione o passo da construção anterior ao novo passo que deseja inserir (eg., se quiser que o novo passo seja o quinto deve seleccionar o quarto). Deixe a janela do Protocolo de Construção aberta enquanto cria o novo objecto. Este novo passo da construção é inserido imediatamente na posição escolhida no Protocolo de Construção. Usando a coluna Ponto de quebra no menu Exibir da janela do Protocolo de Construção, pode definir certos passos da construção como ‘Pontos de quebra’. Isto permite-lhe agrupar vários objectos no mesmo passo. Quando navega através da sua construção usando a Barra de Navegação, os objectos assim agrupados são mostrados ao mesmo tempo. Nota: Pode activar ou desactivar as diferentes colunas do Protocolo de Construção usando o menu Exibir na janela do Protocolo de Construção. Exportar o Ptotocolo de Construção como Página Web O GeoGebra permite-lhe exportar o Protocolo de Construção como página web. Primeiro, abra o Protocolo de Construção usando o menu Exibir. Depois, abra o menu Ficheiro que aparece na janela do Protocolo de Construção e seleccione o item ‘Exportar como página web’ . Na janela de exportação do Protocolo de Construção pode inserir ‘Título’, ‘Autor’, e ‘Data’ da construção e escolher se quer ou não incluir a imagem da Zona Gráfica e da Zona Algébrica. Além disso, também pode escolher exportar o ‘Protocolo de construção colorido’. Isto significa que os objectos no protocolo de construção apresentam exactamente a cores dos correspondentes objectos na construção. Nota: O ficheiro HTML exportado pode ser aberto por qualquer browser (e.g. Firefox, Internet Explorer) e editado por muitos sistemas de processamento de texto (e.g. OpenOffice Writer).
  • 13. 1.3.3. Modificar as Configurações do GeoGebra O GeoGebra permite-lhe alterar e gravar as suas configurações favoritas usando o menu Opções. Por exemplo, pode alterar a ‘Unidade angular’ de ‘Grau’ para ‘Radiano’, ou alterar o ‘Estilo dos pontos’, ‘Estilo do ângulo recto’ e ‘Tamanho da caixa para xibir / esconder objectos’. Além disso, também pode alterar o modo como as coordenadas (‘Coordenadas’) são mostradas no ecran e quais os objectos que são rotulados (‘Rotular’). Por favor veja a secção sobre o Menu Opções para mais informações. Pode gravar as suas configurações preferidas seleccionando o item ‘Gravar as configurações actuais’ no menu Opções. Depois de as ter gravado, o GeoGebra lembrar-se-á delas e usa-las-á em cada novo ficheiro que criar. Nota: Pode restaurar as configurações padrão seleccionando ‘Restaurar as configurações padrão’ no menu Opções. Nota: Se usar o GeoGebra como ferramenta de apresentação, deve aumentar o tamanho das fontes (menu Opções) de modo que a sua audiência possa facilmente ler textos e rótulos dos objectos. 1.4. O GeoGebra como Ferramenta de Autor 1.4.1. Opções de Impressão Imprimir a Zona Gráfica O GeoGebra permite-lhe imprimir a Zona Gráfica das suas construções. Pode encontrar o correspondente item ‘Previsão da impressão’ ino menu Ficheiro. Na janela de diálogo Previsão da impressão pode especificar ‘Título’, ‘Autor’ e ‘Data’ para a construção. Além disso, pode configurar a ‘Escala’ da impressão (em cm) e alterar a orientação do papel usado (retrato ou paisagem). Nota: Para actualizar a previsão da impressão depois de ter feito alterações no texto, é necessário pressionar a tecla Enter. Imprimir o Protocolo de Construção Se quiser imprimir o Protocolo de Construção deve abrir primeiro a janela do Protocolo de Construção usando o menu Exibir. Então pode abrir a janela da Previsão da impressão do protocolo de construção no menu Ficheiro desta nova janela. Também aqui, pode inserir ‘Título’, ‘Autor’ e ‘Data’ ou alterar a ‘Escala’ e a orientação do papel antes de imprimir o Protocolo de Construção. Nota: Usando o menu Exibir na janela do Protocolo de Construção, pode activar ou desactivar as diferentes colunas: ‘Nome’, ‘Definição’, ‘Comando’, ‘Álgebra’ e ‘Ponto de quebra’. 13
  • 14. 1.4.2. Criar Imagens da Zona gráfica Gravar a Zona Gráfica como Imagem Pode gravar a Zona Gráfica das suas construções como imagem. Nota: A totalidade da Zona Gráfica será gravada como imagem. Se a sua construção não usa todo o espaço disponível, pode: 14 Usar as ferramentas Mover a folha de desenho, Ampliar, Reduzir para posicionar a sua construção no canto superior esquerdo da Zona Gráfica. Depois, pode reduzir o tamanho da janela do GeoGebra arrastando um dos seus cantos com o rato. Pode usar o Rectângulo de Selecção para especificar que parte da Zona Gráfica deve ser exportada e gravada como imagem. Pode criar pontos chamados Export_1 e Export_2, que são usados para definir diagonalmente cantos opostos do Rectângulo de Exportação. Nota: Os pontos Export1 e Export2 devem estar situados na área visível da Zona Gráfica. No menu Ficheiro, seleccione o item ‘Exportar’ antes de clicar no item ‘Zona Gráfica como Imagem’. Na janela de diálogo que aparece, pode especificar o ‘Formato’, a ‘Escala’ (em cm) e a ‘Resolução’ (em dpi) da imagem que pretende exportar. Nota: O tamanho real da imagem exportada é mostrado na janela de exportação, nas unidades centímetro e pixel. Por favor procure mais informação sobre os diferentes ficheiros de imagem na secção Exportar zona gráfica como imagem. Cópia da Zona Gráfica para a Área de Transferência Existem diferentes maneiras de copiar a Zona Gráfica para a área de transferência do computador: No menu Editar, pode seleccionar o item ‘Cópia da zona gráfica para a área de transferência’. No menu Ficheiro, é necessário seleccionar o item ‘Exportar’ antes de clicar no item ‘Cópia da zona gráfica para a área de transferência’. Na janela de diálogo ‘Exportar zona gráfica como imagem’ (menu Ficheiro – Exportar – Zona gráfica como imagem (png, eps) …) pode clicar no botão ‘Área de transferência’. A imagem da Zona Gráfica copiada para a área de transferência tem o formato PNG (veja PNG). Esta imagem pode ser colada noutros documentos (e.g. documento word). Nota: Para exportar uma imagem da sua construção numa certa escala (em cm) use o item ‘Zona gráfica como imagem’ no menu Ficheiro, Exportar (veja Exportar zona gráfica como imagem).
  • 15. 1.4.3. Criar Páginas Web Interactivas O GeoGebra permite-lhe criar páginas web interactivas, ditas Folhas de Trabalho Dinâmicas, a partir dos ficheiros GeoGebra. No menu Ficheiro, seleccione o item ‘Exportar’ e depois o item ‘Folha de trabalho dinâmica como página Web (html)’. Isto abre a janela de diálogo da Folha de trabalho dinâmica: 15 No topo da janela de exportação pode inserir ‘Título’, ‘Autor’, e ‘Data’ da sua Folha de trabalho dinâmica. O separador ‘Geral’ permite-lhe adicionar algum texto antes e depois da construção dinâmica (e.g., uma descrição da construção e algumas tarefas). Pode também determinar se a própria construção deve aparecer no momento de abertura da página web ou se deve ser aberta clicando num botão. O separador ‘Avançado’ permite-lhe alterar a funcionalidade da construção dinâmica (e.g., exibir o ícone para refazer a construção, pode abrir a janela da aplicação clicando duas vezes na zona gráfica) bem como alterar a interface do utilizador mostrada na apliqueta interactiva (e.g., exibir a barra de ferramentas, modificar a altura e a largura). Nota: Se o tamanho da sua apliqueta é demasiado grande para caber num ecran com resolução padrão (1024 x 768), pode querer redimensioná-la antes de a exportar como Folha de trabalho dinâmica. Nota: Vários ficheiros são criados quando exporta a sua Folha de trabalho dinâmica: • Ficheiro html (e.g. circunferência.html) – este ficheiro inclui a própria folha de trabalho • Ficheiro GGB (e.g. circunferência.ggb) – este ficheiro inclui a sua construção GeoGebra • geogebra.jar (vários ficheiros) – estes ficheiros incluem o GeoGebra e tornam a sua folha de trabalho interactiva Todos estes ficheiros (e.g. circunferência.html, circunferência.ggb e os ficheiros geogebra.jar) têm que estar numa mesma pasta (directório) para que a construção dinâmica funcione. O ficheiro HTML exportado (e.g. circunferência.html) pode ser visto com qualquer browser (e.g. Mozilla, Internet Explorer, Safari). Para que a construção dinâmica funcione, o seu computador tem que ter o Java instalado e activado. Pode obter o Java em http://java.com/pt_BR/download/index.jsp sem qualquer encargo. Se quiser usar a sua Folha de trabalho dinâmica num computador da sua escola, pergunte ao administrador da rede local se tem o Java instalado nos computadores dessa rede. Nota: Pode editar o texto da sua Folha de trabalho dinâmica com muitos processadores de texto (e.g. FrontPage, OpenOffice Writer), abrindo o ficheiro HTML exportado.
  • 16. 2. Entrada Geométrica 2.1. Notas Gerais A Zona Gráfica mostra a representação gráfica dos objectos matemáticos (e.g., pontos, vectores, segmentos, polígonos, funções, curvas, rectas, secções cónicas). Sempre que o cursor do rato é colocado sobre um tal objecto, ele é realçado e aparece um texto que o descreve. Existem várias ferramentas/modos para dizer ao GeoGebra como deve reagir ao clique do rato na Zona Gráfica (veja a secção Ferramentas de Construção). Por exemplo, clicando na Zona Gráfica pode criar um novo ponto (veja a ferramenta Novo Ponto), intersectar duas linhas (veja a ferramenta Intersectar duas linhas), ou criar uma circunferência (veja a ferramenta Circunferência dados o centro e um ponto). 2.2. Ferramentas de Construção As seguintes ferramentas/modos de construção podem ser activadas clicando nos botões da Barra de Ferramentas. Pode clicar na pequena flecha situada no canto inferior direito de um ícone para abrir um menu (‘Caixa de Ferramentas’) que contém ferramentas do mesmo tipo. Nota: Com a maior parte das ferramentas pode facilmente criar novos pontos clicando em espaços vazios da Zona Gráfica. Seleccionar Objectos Para ‘seleccionar um objecto’ deve clicar nele com o rato após ter seleccionado a ferramenta Mover. Se quiser seleccionar vários objectos ao mesmo tempo, deve definir um Rectângulo de Selecção: Seleccione a ferramenta Mover e clique na posição do primeiro canto do desejado Rectângulo de Selecção. Mantenha o botão esquerdo do rato pressionado e mova o ponteiro para a posição do canto diagonalmente oposto do desejado Rectângulo de Selecção. Após ter libertado o botão do rato, todos os objectos dentro do Rectângulo de Selecção ficam seleccionados. Nota: Para seleccionar um conjunto de dois ou mais objectos, mantenha a tecla Ctrl (MacOS: Cmd) pressionada enquanto clica nesses objectos. 16
  • 17. Renomeação Rápida de Objectos Para renomear rapidamente um objecto clique nele com o botão direito do rato e abra o respectivo diálogo Renomear. Então, reescreva o nome de tal objecto e clique no botão ‘OK’. 2.2.1. Ferramentas Gerais 17 Copiar estilo visual Esta ferramenta permite-lhe copiar propriedades visuais (e.g. cor, tamanho, estilo da linha) de um objecto para outros. Para o fazer, primeiro seleccione o objecto cujas propriedades pretende copiar. Depois, clique nos objectoss que herdarão essas propriedades. Apagar Clique em qualquer objecto que queira apagar. Nota: Pode usar o botão ‘Desfazer’ se apagar acidentalmente o ojecto errado. Mover Arraste e largue objectos livres com o rato. Se seleccionar um objecto clicando nele no modo Mover, pode: • Apagar o objecto pressionando a tecla Delete • Mover o objecto usando as setas do teclado (veja Animação Manual) Nota: Pode activar a ferramenta Mover pressionando a tecla Esc. Mover a folha de desenho Arraste e largue a folha de desenho na Zona Gráfica para mover a área visível da folha de desenho. Nota: Também pode mover a folha de desenho mantendo pressionada a tecla Shift (ou Ctrl, no MS Windows) e arrastando-a com o rato em qualquer modo. Nota: Neste modo também pode alterar a relação de escala entre os eixos coordenados, arrastando cada um deles com o rato. Gravar para a folha de cálculo Esta ferramenta permite-lhe mover um objecto e gravar uma sequência dos seus valores na Folha de Cálculo. Esta ferramenta funciona para números, pontos e vectores. Nota: Por defeito, o GeoGebra usa as primeiras duas colunas vazias na Folha de Cálculo para gravar os valores dos objectos seleccionados.
  • 18. 18 Relação entre dois objectos Seleccione dois objectos para obter informação sobre a sua relação numa janela que se abre (veja também o comando Relação). Rodar em torno de um ponto Seleccione primeiro o ponto que é o centro da rotação. Depois, pode rodar objectos livres em torno desse centro arrastando-os com o rato. Exibir / Esconder rótulo Clique num objecto para exibir ou esconder o respectivo rótulo. Exibir / Esconder objectos Seleccione os objectos que quer exibir ou esconder depois de activar esta ferramenta. Então, mude para uma qualquer outra ferramenta para aplicar as alterações na visibilidade desses objectos. Nota: Quando activa esta ferramenta, todos os objectos que podem ser escondidos são realçados. Desta maneira, pode facilmente exibir/esconder outra vez os objectos desactivando a sua selecção antes de mudar para outra ferramenta. Ampliar Clique em qualquer lugar da Zona Gráfica para ampliar a sua construção (veja também Personalizar a Zona Gráfica) Reduzir Clique em qualquer lugar da Zona Gráfica para reduzir a sua construção (veja também Personalizar a Zona Gráfica) 2.2.2. Pontos Novo ponto Clique na Zona Gráfica para criar um novo ponto. Nota: As coordenadas do ponto são fixadas quando o botão do rato é libertado. Clicando num segmento, recta, polígono, cónica, gráfico de função ou curva, pode criar um ponto nesse objecto (veja também o comando Ponto).
  • 19. Nota: Clicando na intersecção de duas linha cria um ponto de intersecção (veja também o comando Intersectar). 19 Ponto médio ou centro Pode clicar em dois pontos ou num segmento para obter o respectivo ponto médio. Também pode clicar numa secção cónica (eg., circunferência) para criar o respectivo centro. Intersectar duas linhas Os pontos de intersecção de duas linhas podem ser criados de duas maneiras: • Se seleccionar duas linhas, todos os pontos de intersecção são criados (se possível). • Se clicar directamente sobre uma intersecção de duas linhas, apenas um ponto de intersecção é criado. Nota: Para segmentos, semirectas ou arcos, pode especificar se pretende ou não ‘Permitir pontos de intersecção exteriores’ no separador ‘Básico’ do Diálogo de Popriedades. Isto pode ser usado para obter pontos de intersecção situados na extensão de tais linhas. Por exemplo, a extensão de um segmento ou semirecta é uma recta. 2.2.3. Vectores Vector definido por dois pontos Seleccione o ponto origem e depois o ponto extremidade do vector. Vector aplicado num ponto Seleccione um ponto A e um vector v para criar um novo ponto B = A + v bem como o vector de A para B. 2.2.4. Segmentos Segmento definido por dois pontos Seleccione dois pontos A e B para criar um segmento entre A e B. O comprimento do segmento aparece na Zona Algébrica.
  • 20. 20 Segmento dados um ponto e o comprimento Clique num ponto A que é o extremo inicial do segmento. Especifique o comprimento desejado no campo de texto da janela de diálogo que aparece. Nota: Esta ferramenta cria um segmento com comprimento a e ponto final B, o qual pode ser rodado em torno do ponto inicial A usando a ferramenta Mover. 2.2.5. Semirectas Semirecta definida por dois pontos Seleccione um ponto A e depois um ponto B para criar a semirecta de origem A passando por B. A equação da recta correspondente aparece na Zona Algébrica. 2.2.6. Polígonos Polígono Seleccione sucessivamente pelo menos três pontos, os quais serão os vértices do polígono. Depois, clique outra vez no primeiro ponto para fechar o polígono. A área do polígono é mostrada na Zona Algébrica. Polígono regular Seleccione dois pontos A e B e especifique o número n de vértices no campo de texto da janela de diálogo que aparece. Isto dá-lhe um polígono regular com n vértices (incluindo A e B). 2.2.7. Rectas Bissectriz Uma bissectriz pode ser definida de duas maneiras: • Seleccionando três pontos A, B e C produz a bissectriz do ângulo que tem vértice B. • Seleccionando duas rectas (semirectas ou segmentos de recta) produz as bissectrizes dos dois ângulos formados por tal par de objectos ou respectivos prolongamentos. Nota: Qualquer bissectriz tem vector director com comprimento 1.
  • 21. 21 Recta de regressão Pode criar a recta de regressão de um conjunto de pontos usando duas maneiras diferentes: • Crie um Rectângulo de Selecção que contém todos os pontos do conjunto. • Seleccione uma lista de pontos para criar a correspondente recta de regressão. Recta definida por dois pontos Seleccionando dois pontos A e B cria a recta que passa por A e B. O vector director desta recta é (B - A). Recta paralela Seleccionando uma recta g e um ponto A define a recta que passa por A paralelamente a g. A direcção de tal paralela é a direcção da recta g. Mediatriz Clique num segmento s ou em dois pontos A e B para criar a mediatriz. Nota: A direcção da mediatriz é equivalente ao vector perpendicular a s ou AB (veja também o comando Vector Perpendicular). Recta perpendicular Seleccionando uma recta g e um ponto A cria a recta passando por A perpendicularmente à recta g. Nota: A direcção da perpendicular criada é equivalente ao vector perpendicular à recta g (veja também o comando Vector Perpendicular). Recta polar ou diametral Esta ferramenta cria a recta polar ou a recta diametral de uma cónica: • Cria a polar seleccionando um ponto e uma cónica. • Cria a diametral seleccionando uma recta (ou um vector) e uma cónica. Tangentes As tangentes a uma cónica podem ser produzidas de duas maneiras: • Seleccionando um ponto A e uma cónica c produz todas as tangentes a c que passam e A. • Seleccionando uma recta g e uma cónica c produz todas as tangents a c que são paraelas à recta g.
  • 22. 22 • Seleccionando um ponto A e uma função f produz a recta tangente ao gráfico de f no ponto (x(A), f(x(A)). Nota: x(A) representa a abscissa do ponto A. Se o ponto A pretencer ao gráfico de f então a tangente passa por A. 2.2.8. Secções Cónicas Circunferência dados o centro e o raio Seleccione o centro M e insira a medida do raio no campo de texto da janela que aparece. Circunferência dados o centro e um ponto Seleccionando um ponto M e um ponto P define a circunferência de centro M passando por P. Nota: O raio de tal circunferência é a distância MP. Circunferência definida por três pontos Seleccionando três pontos A, B e C define a circunferência que passa nestes três pontos. Nota: Se os três pontos pertencerem a uma recta, a circunferência degenera nessa recta. Compasso Seleccione um segmento ou dois pontos para especificar o raio. Depois, clique num ponto que será o centro da circunferência. Cónica passando por cinco pontos Seleccionando cinco pontos produz a secção cónica que passa nesses pontos. Nota: Se quatro desses pontos estiverem numa recta, a cónica não é definida. Elipse Seleccione dois pontos que serão os focos da elipse. Depois, especifique um terceiro ponto que pertence à elipse.
  • 23. 23 Hipérbole Seleccione dois pontos que serão os focos da hipérbole. Depois, especifique um terceiro ponto que pretence à hipérbole. Parábola Seleccione um ponto e uma recta, a qual será a directriz da parábola. 2.2.9. Arcos e Sectores Nota: O valor algébrico de um arco é o seu comprimento. O valor algébrico de um sector é a sua area. Arco circular dados o centro e dois pontos Primeiro, seleccione o centro M do arco circular. Depois, seleccione o ponto inicial A do arco e, finalmente, seleccione um ponto B que especifica o comprimento do arco. Nota: O ponto A pertence sempre ao arco circular mas o ponto B pode não pertencer a esse arco. Sector circular dados o centro e dois pontos Primeiro, seleccione o centro M do sector circular. Depois, seleccione o ponto inicial A do sector e, finalmente, seleccione um ponto B que especifica o comprimento do arco do sector. Nota: O ponto A pretence sempre ao arco do sector mas o ponto B pode não pertencer a esse arco. Arco circuncircular dados três pontos Seleccionando três pontos A, B e C cria um arco passando por esses pontos. O ponto A é o ponto inicial do arco, B pretence ao arco e C é o ponto final do arco. Sector circuncircular dados três pontos Seleccionando três pontos A, B e C cria um sector circular passando por esses pontos. O ponto A é o ponto inicial do arco do sector, B pretence ao arco e C é o ponto final do arco. Semicircunferência dados dois pontos Seleccione dois pontos A eB para criar uma semicircunferência de extremos A e B.
  • 24. 2.2.10. Números e Ângulos 24 Ângulo Esta ferramenta cria: • Um ângulo entre três pontos cujo vértice é o segundo ponto seleccionado. • Um ângulo entre dois segmentos. • Um ângulo entre duas rectas. • Um ângulo entre dois vectores. • Todos os ângulos de um polígono. Nota: Se o polígono for criado seleccionando os seus vértices com orientação anti-horária, a ferramenta Ângulo produz os ângulos internos do polígono, senão produz os correspondentes complementos para 360 graus. Nota: Por defeito, os ângulos são criados com orientação anti-horária. Portanto, a ordem pela qual são seleccionados os objectos que definem os ângulos é relevante para esta ferramenta. Se quiser limitar a amplitude dos ângulos a 180°, desmarque ‘Permitir ângulos reentrantes’ no separador ‘Básico’ do respectivo Diálogo de Popriedades. Ângulo com amplitude fixa Seleccione dois pontos A e B e especifique a medida da amplitude do ângulo no campo de texto da janela que aparece. Esta ferramenta cria um ponto C e um ângulo α, onde α é o ângulo ABC. Área Esta ferramenta fornece o valor numérico da área de um polígono, de um círculo ou de uma elipse e mostra um texto dinâmico na Zona Gráfica. Distância, comprimento ou perímetro Esta ferramenta fornece a distância entre dois pontos, duas rectas ou entre um ponto e uma recta e mostra um texto dinâmico na Zona Gráfica. Também fornece o comprimento de um segmento, o perímetro de um polígono e o perímetro de uma circunferência ou de uma elipse. Selector Nota: No GeoGebra, um selector é a representação gráfica de um número livre ou de um ângulo livre. Pode criar um selector para qualquer número livre ou ângulo livre criados anteriormente exibindo esse objecto (veja Menu de Contexto; veja a ferramenta Exibir/Esconder objectos).
  • 25. Clique em qualquer espaço livre da Zona Gráfica para criar um selector para um número ou ângulo. A janela que aparece permite-lhe especificar o ‘Nome’, ‘Intervalo’ [min, max] e ‘Incremento’ do número ou do ângulo, bem como o ‘Alinhamento’ e ‘Largura’ do selector (em pixeis). A posição de um selector pode ser absoluta (significa que o selector não é afectado pelo zoom, ficando sempre visível na Zona Gráfica) ou relativa ao sistema coordenado (veja o Diálogo de Propriedades do correspondente número ou ângulo). Nota: Na janela de diálogo de Selector pode inserir o símbolo ° do grau ou pi (π) para o intervalo e para o incremento, usando os seguintes atalhos de teclado: 25 Alt-O (MacOS: Ctrl-O) para o símbolo ° do grau Alt-P (MacOS: Ctrl-P) para o símbolo π Declive Esta ferramenta dá-lhe o declive m de uma recta e mostra na Zona Gráfica um triângulo rectângulo em que a razão entre a medida do cateto vertical e a medida do cateto horizontal é o valor absoluto de m. 2.2.11. Booleano Caixa para exibir/esconder objectos Clicando na Zona Gráfica cria uma caixa booleana (veja Operações e Variáveis Booleanas) que lhe permite exibir ou esconder um ou mais objectos. Na janela de diálogo que aparece pode especificar quais os objectos que são afectados por essa caixa. Nota: pode seleccionar estes objectos da lista providenciada na janela de diálogo ou seleccioná-los com o rato tanto na Zona Gráfica como na Zona Algébrica. 2.2.12. Lugares Geométricos Locus Seleccione um ponto B que depende de um outro ponto A e cujo locus deve ser desenhado. Então, clique no ponto A para criar o locus (ou lugar geométrico) do ponto B. Nota: O ponto A tem que estar numa linha (recta, segmento, circunferência, etc). Exemplo: • Escreva f(x) = x^2 – 2 x – 1 na Entrada de Comandos. • Coloque um novo ponto A no eixo das abcissas (veja a ferramenta Novo Ponto; veja o comando Ponto). • Crie o ponto B = (x(A), f'(x(A))) que depende do ponto A. • Seleccione a ferramenta Locus e clique sucessivamente em B e em A.
  • 26. 26 • Arraste o ponto A ao longo do eixo das abscissas para ver o ponto B a descrever o locus. 2.2.13. Transformações Geométricas As seguintes transformações geométricas funcionam para pontos, linhas rectas, cónicas, polígonos e imagens. Homotetia de centro num ponto por um factor Seleccione o objecto da homotetia. Depois, clique num ponto para especificar o centro da homotetia e, finalmente, insira a razão da homotetia na janela de diálogo que aparece. Reflexão numa recta Seleccione o objecto que pretende reflectir. Depois, clique numa recta (semirecta ou segmento de recta) para especificar o espelho/recta de reflexão. Reflexão num ponto Seleccione o objecto que pretende reflectir. Depois, clique num ponto para especificar o espelho/ponto de reflexão. Inversão numa circunferência Esta ferramenta permite-lhe inverter um ponto numa circunferência. Seleccione o ponto que pretende inverter. Depois, clique numa circunferência para especificar a circunferência de inversão (veja também o comando Reflexão). Rodar em torno de um ponto com uma amplitude Seleccione o objecto que pretende rodar. Depois, clique num ponto para especificar o centro da rotação e, finalmente, insira a amplitude do ângulo da rotação na janela de diálogo que aparece. Translação por um vector Seleccione o objecto que pretende transladar. Depois, clique no vector que define a translação.
  • 27. 2.2.14. Texto 27 Inserir texto Com esta ferramenta pode criar na Zona Gráfica textos estáticos ou dinâmicos e fórmulas em LaTeX. Primeiro, especifique a localização do texto usando uma das seguintes maneiras: • Clique num lugar vazio da Zona Gráfica para criar um novo texto nesse lugar. • Clique num ponto para criar um novo texto que fica anexado a esse ponto. Depois, aparece uma janela de diálogo onde pode inserir o texto pretendido. Nota: Pode especificar a posição de um texto como absoluta no ecran ou relativa ao sistema coordenado usando o separador ‘Básico’ do Diálogo de Propriedades. Texto Estático não depende de quaisquer objectos matemáticos e não é afectado pelas alterações na construção. Texto Dinâmico contém valores de objectos que são automaticamente adaptados às alterações provocadas nesses objectos. Texto Misto é uma combinação de texto estático e texto dinâmico. Para criar um texto dinâmico pode inserir a parte estática do texto usando o teclado (e.g., Ponto A =). Então, clique no objecto cujo valor pretende mostrar no texto. Nota: O GeoGebra adiciona automaticamente a síntaxe ("Ponto A = " + A ) necessária para criar um texto Misto: aspas na parte estática do texto e o símbolo mais (+) para ligar as diferentes partes do texto. Inserção Descrição Isto é um texto estático Texto estático "Ponto A = " + A Texto misto (duas partes) usando o valor do ponto A "a = " + a + "cm" Texto misto (três partes) usando o valor do número a Nota: Se um objecto com nome xx já existe e quiser criar um texto estático usando esse nome deve inseri-lo entre aspas: ("xx"). De outro modo, o GeoGebra criará automaticamente um texto dinâmico que lhe dá o valor do objecto xx em vez do nome. Contudo, pode escrever sem aspas qualquer texto que não coincida com o nome de nenhum objecto. Nota: Num texto misto, a parte estática tem que estar entre aspas. As diferentes partes de um texto (e.g., partes dinâmica e estática) têm que ser ligadas usando o símbolo mais (+).
  • 28. Fórmulas LaTeX No GeoGebra também pode escrever fórmulas em LaTex. Para fazer isso, active a caixa ‘Fórmula LaTeX’ na janela de diálogo da ferramenta Inserir Texto e insira a sua fórmula usando síntaxe LaTeX. Nota: Para criar um texto estático ou um texto que contém uma formula LaTeX deve inserir a parte estática do texto e depois adicionar a fórmula LaTeX entre um par de símbolos ‘dollar’ ($). Exemplo: O comprimento da diagonal é $sqrt{ 2 }$. No menu situado à direita da caixa ‘Fórmula LaTeX’ pode seleccionar a síntaxe para os símbolos mais comuns nas fórmulas. Assim, insere o correspondente código LaTeX no campo de texto e coloca o cursor do rato entre um par de chavetas. Se quiser criar um texto dinâmico dentro da fórmula, clique num objecto e o GeoGebra insere o respectivo nome, bem como a síntaxe para o texto misto. Alguns comandos LaTeX importantes são explicados na tabela seguinte. Por favor consulte qualquer documentação LaTeX para mais informações. 28 LaTeX Resultado a cdot b a ⋅b a frac{a}{b} b sqrt{x} x sqrt[n]{x} n x vec{v} overline{AB} AB x^{2} x 2 a_{1} 1 a sinalpha + cosbeta sinα + cosβ int_{a}^{b} x dx ∫b a xdx sum_{i=1}^{n} i^2 Σ = n i i 1 2 2.2.15. Imagens Inserir imagem Esta ferramenta permite-lhe inserir uma imagem na Zona Gráfica: Primeiro, especifique a localização da imagem usando uma das seguintes maneiras: • Clique na Zona Gráfica para especificar a posição do canto inferior esquerdo da imagem. • Clique num ponto para o definir como canto inferior esquerdo da imagem. Então, aparece um diálogo para abertura de ficheiro que lhe permite seleccionar qualquer ficheiro de imagem que exista no seu computador.
  • 29. Nota: Após ter seleccionado a ferramenta Inserir imagem, pode usar o atalho de teclado Alt-clique para colar uma imagem directamente da área de transferência para a Zona Gráfica. Propriedades das Imagens Posição A posição de uma imagem pode ser absoluta no ecran ou relativa ao sistema coordenado. Pode especificar isto no separador ‘Básico’ do Diálogo de Popriedades da imagem. Pode especificar até três pontos para os cantos da imagem no separador ‘Posição’ do Diálogo de Popriedades. Isto dá-lhe flexibilidade para alterar a escala, rodar e até distorcer imagens. 29 • ‘Canto 1’: posição do canto inferior esquerdo da imagem • ‘Canto 2’: posição do canto inferior direito da imagem Nota: Este canto controla a largura da imagem e só pode ser estabelecido se o ‘Canto 1’ já o estiver. • ‘Canto 4’: posição do canto superior esquerdo da imagem Nota: Este canto controla a altura da imagem e só pode ser estabelecido se o ‘Canto 1’ já o estiver. Nota: Veja também o comando Canto. Exemplo: Crie três pontos A, B e C para explorar os efeitos dos pontos de canto. • Estabeleça, respectivamente, os pontos A e B como primeiro e segundo cantos de uma imagem escolhida por si. Arrastando os pontos A e B no modo Mover pode explorar a influência que eles têm. • Estabeleça, respectivamente, os pontos A e C como primeiro e quarto cantos e veja agora como o arrastamento destes influencia a imagem. • Finalmente, pode definir todos os três cantos e ver como o arrastamento destes distorce a imagem. Exemplo: Já viu como influenciar a posição e o tamanho de uma imagem. Se quiser anexar a imagem a um ponto A e definir a sua largura como 5 unidades e a sua altura como 7 unidades, deve fazer o seguinte: • Defina o ‘Canto 1’ como sendo A • Defina o ‘Canto 2’ como sendo A + (5, 0) • Defina o ‘Canto 4’ como sendo A + (0, 7) Nota: Se arrastar o ponto A no modo Mover, o tamanho da imagem não se altera. Imagem de Fundo Pode especificar uma imagem como sendo ‘Imagem de Fundo’ no separador ‘Básico’ do Diálogo de Popriedades. Uma imagem de fundo fica por detrás dos eixos coordenados e não pode ser seleccionada com o rato. Nota: Se tiver uma imagem definida como imagem de fundo e quiser alterar essa configuração, abra o Diálogo de Propriedades seleccionando ‘Propriedades …’ no menu Editar.
  • 30. Transparência Uma imagem pode ser tornada transparente para ver outros objectos ou os eixos coordenados que estão por de trás dela. Pode estabelecer a transparência de uma imagem especificando um valor para o ‘Preenchimento’ entre 0 % e100 % no separador ‘Estilo’ do Diálogo de Popriedades. 30
  • 31. 3. Entrada Algébrica 3.1. Notas Gerais A representação algébrica dos objectos matemáticos (eg., valores, coordenadas ou equações) é mostrada na Zona Algébrica. Pode criar e modificar objectos usando a Entrada de Comandos situada na base do ecran do GeoGebra (veja as secções Entrada Directa e Comandos). Nota: Pressione sempre a tecla Enter após ter inserido a definição de um objecto na Entrada de Comandos. Nota: Pressionando a tecla Enter em qualquer altura muda o foco da Zona Gráfica para a Entrada de Comandos. Isto permite-lhe inserir expressões e comandos na Entrada de Comandos sem ter que primeiro clicar nesta com o rato. Nomear Objectos Nota: Se não pretender nomear um objecto manualmente, o GeoGebra atribui os nomes de novos objectos por ordem alfabética. Pode atribuir um certo nome a um objecto quando o cria usando a Entrada de Comandos: 31 Pontos: No GeoGebra, os pontos são sempre nomeados usando letras maiúsculas. Insira o nome (e.g., A, P) e o sinal de igualdade antes das coordenadas. Exemplos: C = (2, 4), P = (1; 180°), Complexo = 2 + i Vectores: Para fazer a distinção entre pontos e vectores, os vectors são designados por letras minúsculas. Mais uma vez, insira o nome (e.g., v, u) e o sinal de igualdade antes das coordenadas do vector. Exemplos: v = (1, 3), u = (3; 90°), complexo = 1 – 2i Rectas, circunferências e secções cónicas: Qualquer destes objectos pode ser nomeado inserindo o nome e dois pontos antes da respectiva equação. Exemplos: g: y = x + 3, c: (x-1)^2 + (y – 2)^2 = 4, hyp: x^2 – y^2 = 2 Funções: Pode nomear uma função inserindo, por exemplo, f(x) = ou g(x)= antes da sua expressão algébrica. Exemplos: h(x) = 2 x + 4, q(x)= x^2, trig(x) = sin(x) Nota: Se não quiser atribuir manualmente um nome a um objecto, o GeoGebra atribui os nomes dos novos objectos por ordem alfabética. Nota: Pode criar índices nos nomes dos objectos usando um underscore. Por exemplo, A1 é inserido como A_1 e SAB é inserido como S_{AB}.
  • 32. Modificar Valores Existem duas maneiras de manipular o valor de um objecto livre: 32 • Modificar o valor do objecto inserindo o seu nome e o novo valor na Entrada de Comandos (veja Entrada Directa). Exemplo: Se quiser alterar o valor de um número existente a = 3, insira a = 5 na Entrada de Comandos e depois pressione a tecla Enter. • Editar a representação algébrica: Active a ferramenta Mover e faça um duplo clique sobre o objecto na Zona Algébrica. Isto abre uma caixa de texto na qual pode editar o valor do objecto. Pressione a tecla Enter para aplicar as alterações efectuadas. Nota: O valor de um objecto livre pode ser alterado directamente mas o valor de um objecto dependente só pode ser influenciado alterando os objectos seus ‘parentes’ ou redefinindo esse objecto dependente. Mostrar Histórico da Entrada de Comandos Se quiser ver, passo a passo, os comandos inseridos anteriormente, coloque o cursor na Entrada de Comandos e use as teclas ↑ ‘para cima’ e ↓ ‘para baixo’. Nota: Clique no pequeno botão situado à esquerda da Entrada de Comandos para ver a ajuda relativa à Entrada de Comandos. Inserir o Nome, o Valor ou a Definição de um Objecto na Entrada de Comandos Inserir o nome de um objecto na Entrada de Comandos: Active a ferramenta Mover e seleccione o objecto cujo nome quer inserir na Entrada de Comandos. Depois pressione a tecla F5. Nota: O nome do objecto é anexado à expressão escrita na Entrada de Comandos antes de ter pressionado a tecla F5. Inserir o valor de um objecto na Entrada de Comandos: Existem duas maneiras de inserir o valor de um objecto (e.g., (1, 3), 3x – 5y = 12) na Entrada de Comandos. • Clique com o botão direito do rato (MacOS: Ctrl-clique) no objecto e seleccione o item ‘Copiar para a entrada de comandos’ no Menu de Contexto que aparece. • Active a ferramenta Mover e seleccione o objecto cujo valor quer inserir na Entrada de Comandos. Então, pressione a tecla F4. Nota: O valor do objecto é anexado à expressão escrita na Entrada de Comandos antes de ter pressionado a tecla F4. Inserir a definição de um objecto na Entrada de Comandos: Existem duas maneiras de inserir a definição de um objecto (e.g., A = (4, 2), c = Circunferência[A, B]) na Entrada de Comandos. • Fazendo Alt clique no objecto, insere a respectiva definição e apaga tudo o que esteja escrito na Entrada de Comandos. • Active a ferramenta Mover e seleccione o objecto cuja definição pretende inserir na Entrada de Comandos. Então, pressione a tecla F3.
  • 33. 33 Nota: A definição do objecto é anexada à expressão escrita na Entrada de Comandos antes de ter pressionado a tecla F3. 3.2. Entrada Directa O GeoGebra pode trabalhar com números, ângulos, pontos, vectores, segmentos, rectas, secções cónicas, funções, curvas paramétricas, etc. Pode inserir estes objectos na Entrada de Comandos usando as suas coordenadas ou equações e pressionando a tecla Enter. 3.2.1. Números e Ângulos Números Pode criar números usando a Entrada de Comandos. Se inserir um número (e.g., 3), o GeoGebra atribui uma letra minúscula como nome desse número. Se quiser dar ao número um nome específico, pode inserir tal nome seguido do sinal de igualdade e do número (e.g., pode criar o número decimal r inserindo r = 5.32). Nota: No GeoGebra, números e ângulos usam o ponto como separador decimal. Também pode usar a costante π e a constante de Euler, e, para expressões e cálculos, seleccionando-as no menu situado à direita da Entrada de Comandos ou usando atalhos de teclado. Nota: Se a letra ‘e’ ainda não estiver a ser usada como nome de um objecto existente, o GeoGebra reconhece-a como a constante de Euler se a quiser usar numa nova expressão. Ângulos Os ângulos são inseridos em graus (°) ou radianos (rad). A constante π útil se estiver a usar o radiano como unidade de medida e pode ser inserida como pi. Nota: Pode inserir o símbolo do grau (°) ou o símbolo π usando os seguintes atalhos de teclado: Alt-O (MacOS: Ctrl-O) para o símbolo de grau (°) Alt-P (MacOS: Ctrl-P) para o símbolo π Exemplo: Pode inserir um ângulo α em graus (e.g., α = 60°) ou em radianos (e.g., α = pi/3). Nota: O GeoGebra efectua todos os cálculos internos em radianos. Para tais cálculos, o símbolo ° nada significa mas a constante π/180 é usada para converter graus em radianos. Exemplo: Se a = 30 for um número, então α = a° converte a no ângulo α = 30°, não alterando o valor numérico. Se inserir b = α / °, o ângulo α é convertido no número b = 30, mais uma vez sem alteração do valor numérico.
  • 34. Selectores e Teclas de Movimento Números e ângulos livres podem ser mostrados como selectores na Zona Gráfica (veja a ferramenta Selector). Usando as teclas de movimento (setas) ou as teclas + e -, pode alterar o valor de um número ou de um ângulo na Zona Algébrica ou na Zona Gráfica (veja Animação Manual). Limites do Intervalo de Variação Números e ângulos livres podem ser limitados a um intervalo [min, max] usando o separador ‘Selector’ do Diálogo de Popriedades (veja também a ferramenta Selector). Nota: Se um ângulo for dependente pode especificar a possibilidade de ele ser ou não reentrante no separador ‘Básico’ do Diálogo de Popriedades. 3.2.2. Pontos e Vectores Pontos e vectores podem ser inseridos em coordenadas cartesianas ou polares (veja a secção Números e Ângulos). Note: As letras maiúsculas denotam pontos ao passo que as minúsculas denotam vectores. Exemplos: 34 • Para inserir um ponto P ou um vector v em coordenadas cartesianas escreva P = (1, 0) ou v = (0, 5). • Para usar coordenadas polares escreva P = (1; 0°) or v = (5; 90°). Nota: É necessário usar o ‘ponto e vírgula’ para separar as duas coordenadas polares. Além disso, se não inserir o símbolo do grau, o GeoGebra trata o ângulo como se ele tivesse sido inserido em radianos. 3.2.3. Rectas e Eixos Rectas Pode inserir uma recta na forma de uma equação linear em x e y ou na forma paramétrica. Em ambos os casos, as variáveis definidas previamente (e.g. números, pontos, vectores) podem ser usadas nas equações. Nota: Pode escrever o nome da recta no início da inserção, seguido por dois pontos Exemplos: • Escreva g: 3x + 4y = 2 para inserir a recta g como equação linear. • Defina um parâmetro t (e.g., t = 3) antes de inserir a recta g na forma paramétrica usando g: X = (-5, 5) + t (4, -3). • Defina primeiro os parâmetros m = 2 and b = -1. Então, pode inserir a equação g: y = m*x + b para obter a recta g na forma reduzida.
  • 35. Eixos Os dois eixos coordenados estão disponíveis nos comandos usando os nomes EixoX e EixoY. Exemplo: O comando Perpendicular[A, EixoX] constrói a perpendicular ao eixo das abscissas passando pelo ponto A. 3.2.4. Secções Cónicas Pode inserir uma secção cónica na forma de uma equação quadrática em x e y. Variáveis definidas previamente (e.g. números, pontos, vectores) podem ser usadas na equação de uma cónica. Nota: O nome de uma secção cónica pode ser escrito no início da inserção, seguido por dois pontos. Exemplos: 35 • Elipse el: el: 9 x^2 + 16 y^2 = 144 • Hipérbole hyp: hip: 9 x^2 – 16 y^2 = 144 • Parábola par: par: y^2 = 4 x • Circunferência k1: k1: x^2 + y^2 = 25 • Circunferência k2: k2: (x–5)^2 + (y+2)^2 = 25 Nota: Se definir previamente dois parâmetros a = 4 e b = 3, pode inserir uma elipse na forma el: b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2. 3.2.5. Funções de x Para inserir uma função pode usar variáveis previamente definidas (e.g. números, pontos, vectores) e outras funções. Exemplos: • Função f f(x) = 3 x^3 – x^2 • Função g g(x) = tan(f(x)) • Função sem nome sin(3 x) + tan(x) Todas as funções internas (e.g. sin, cos, tan) são descritas na secção Funções e Operações Pré-definidas. No GeoGebra também pode usar comandos para obter, por exemplo, o Integral e a Derivada de uma função. Nota: Também pode usar os comandos f'(x) or f''(x), … para obter as 1ª, 2ª, … derivadas de uma função f(x) previamente definida. Exemplo: Defina a função f como f(x) = 3 x^3 – x^2. Então, pode inserir g(x) = cos(f' (x + 2)) para obter a função g.
  • 36. Além disso, uma função pode ser transladada por um vector (veja o comando Translação) e uma função livre (não dependente de outros objectos) pode ser movida com o rato usando a ferramenta Mover. Função Restrita a um Intervalo Para restringir uma função a um intervalo [a, b], pode usar o comando Função. 3.2.6. Funções e Operações Pré-definidas Para inserir números, coordenadas ou equações, (veja a secção Entrada Directa) também pode usar as funções e operações pré-definidas constantes na tabela seguinte. Note: As funções pré-definidas têm que ser inseridas usando parênteses curvos. Não pode deixar espaços entre a função e os parênteses. 36 Operação Inserir Adição + Subtracção - Multiplicação * ou espaço Produto escalar * ou espaço Divisão / Exponenciação ^ ou 2 Factorial ! Função Gamma gamma( ) Parênteses ( ) Abcissa x( ) Ordenada y( ) Valor absoluto abs( ) Sinal sgn( ) Raiz quadrada sqrt( ) Raiz cúbica cbrt( ) Número aleatório entre 0 e 1 random( ) Função exponential exp( ) ou ℯx Logaritmo (base e) ln( ) ou log( ) Logaritmo (base 2) ld( ) Logaritmo (base 10) lg( ) Co-seno cos( ) Seno sin( ) Tangente tan( ) Arco-co-seno acos( ) Arco-seno asin( ) Arco-tangente atan( ) Co-seno hiperbólico cosh( ) Seno hiperbólico sinh( ) Tangente hiperbólica tanh( ) Arco-co-seno hiperbólico acosh( ) Arco-seno hiperbólico asinh( )
  • 37. 37 Operação Inserir Arco-tangente hiperbólico atanh( ) Maior inteiro menor ou igual floor( ) Menor inteiro maior ou igual ceil( ) Arredondar round( ) Exemplos: No GeoGebra, também pode efectuar cálculos com pontos e vectores: • Pode criar o ponto médio M de dois pontos A e B inserindo M = (A + B) / 2 na Entrada de Comandos. • Pode calcular o comprimento c de um vector v usando c = sqrt(v * v) 3.2.7. Operações e Variáveis Booleanas Pode usar as variáveis booleanas ‘true’ (verdadeiro) ou ‘false’ (falso). Por exemplo, escreva a = true ou b = false na Entrada de Comandos e depois pressione a tecla Enter. Caixa para Exibir/Esconder Objectos e Teclas de Movimento Variáveis booleanas livres podem ser mostradas na Zona Gráfica como caixas para exibir/esconder objectos (veja a ferramenta Caixa para Exibir/Esconder objectos). Usando as teclas de movimento (setas) também pode alterar o valor de uma variável booleana na Zona Algébrica (veja Animação Manual). Nota: Também pode usar variáveis booleanas como números (valor 0 ou 1). Isto permite-lhe usar uma caixa para exibir/esconder objectos como interruptor de um selector animado, iniciando ou parando a animação. Se, por exemplo, o booleano se chamar b, nas propriedades do selector insira b no campo Velocidade. Neste caso, o botão de animação só é mostrado na Zona Gráfica se existir também um selector animado com velocidade estática (i.é. não dinâmica). Operações Booleanas Pode usar as seguintes operações boleanas no GeoGebra, copiando-as da lista abaixo para a Entrada de Comandos ou inserindo-as directamente com o teclado: Lista Teclado Exemplo Objectos Igual ؟ == a ≟ b ou a == b números, pontos, rectas, cónicas a, b Diferente ≠ != a ≠ b ou a != b números, pontos, rectas, cónicas a, b Menor < < a < b números a, b Maior > > a > b números a, b Menor ou igual ≤ <= a ≤ b ou a <= b números a, b Maior ou igual ≥ >= a ≥ b ou a >= b números a, b E ר && a ∧ b booleanos a, b Ou ש || a ∨ b booleanos a, b
  • 38. 38 Lista Teclado Exemplo Objectos Não ¬ ! ¬a ou !a booleano a Paralela צ a ∥ b rectas a, b Perpendicular ٣ a ⊥ b rectas a, b 3.2.8. Listas de Objectos e Operações com Listas Usando chavetas pode criar uma lista de vários objectos (e.g. pontos, segmentos, circunferências). Exemplos: • L = {A, B, C} dá-lhe a lista constituída pelos pontos A, B e C definidos previamente. • L = {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} dá-lhe a lista constituida pelos mesmos três pontos mas agora expressos pelas respectivas coordenadas cartesianas. Nota: Por defeito, os elementos desta lista não são mostrados na Zona Gráfica. Comparar Listas de Objectos Pode comparar duas listas de objectos: • lista1 == lista2: Verifica se as duas listas são iguais e retorna true (verdadeiro) ou false (falso) como resultado. • lista1 != lista2: Verifica se as duas listas são diferentes e retorna true (verdadeiro) ou false (falso) como resultado. Aplicar Operações e Funções a Listas Nota: Se aplicar operações e funções pré-definidas a listas, obterá como resultado uma nova lista. Exemplos de Adição e Subtracção: Lista1 + Lista2: Adiciona os correspondentes elementos das duas listas. Nota: As duas listas devem ter o mesmo comprimento, isto é, o mesmo número de elementos. Lista + Número: Adiciona o número a cada elemento da lista. Lista1 – Lista2: Subtrai os elementos da segunda lista dos correspondentes elementos da primeira lista. Nota: As listas devem ter o mesmo comprimento. Lista – Número: Subtrai o número de cada elemento da lista. Exemplos de Multiplicação e Divisão: Lista1 * Lista2: Multiplica os correspondents elementos das duas listas. Nota: As listas devem ter o mesmo comprimento.
  • 39. 39 Nota: Se duas listas tiverem matrizes compatíveis é usada a multiplicação de matrizes. Lista * Número: Multiplica cada elemento da lista pelo número. Lista1 / Lista2: Divide cada elemento da primeira lista pelo correspondente elemento da segunda lista. Nota: As listas devem ter o mesmo comprimento. Lista / Número: Divide cada elemento da lista pelo número. Number / Lista: Divide o número por cada element da lista. Outros exemplos: Lista^2: Eleva ao quadrado cada elemento da lista. sin(Lista): Aplica a função seno a cada element da lista. 3.2.9. Matrizes e Operações com Matrizes O GeoGebra também suporta matrizes. Uma matriz é representada como uma lista de listas, sendo que cada uma destas últimas representa uma linha da matriz. Exemplo: A lista {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}} representa a matrix . Operações com Matrizes Exemplos de adição e subtracção: Matriz + Matriz: Adiciona os correspondentes elementos de duas matrizes compatíveis. Matriz – Matriz: Subtrai os correspondentes elementos de duas matrizes compatíveis. Exemplos de Multiplicação: Matriz * Número: Multiplica cada elemento da matriz por um dado número. Matriz * Matriz: Usa a habitual multiplicação de matrizes para calcular a matriz produto. Nota: As linhas da primeira matriz e as colunas da segunda matriz devem ter o mesmo número de elementos. Exemplo: {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}} * {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}} dá-lhe a matriz {{9, 12, 15}, {19, 26, 33}, {29, 40, 51}}. 2x2 Matriz * Ponto (ou Vector): Multiplica a matriz pelo ponto/vector e dá-lhe um ponto como resultado. Exemplo: {{1, 2}, {3, 4}} * (3, 4) dá-he o ponto A = (11, 25). 3x3 Matriz * Ponto (ou Vector): Multiplica a matriz pelo ponto/vector e dá-lhe um ponto como resultado. Exemplo: {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {0, 0, 1}} * (1, 2) dá-lhe o ponto A = (8, 20). Nota: Este é um caso especial para transformações afins onde são usadas coordenadas homogéneas: (x, y, 1) para um ponto e (x, y, 0) para um vector. Portanto, este exemplo é equivalente a: {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {0, 0, 1}} * {1, 2, 1}.
  • 40. Outros exemplos: (veja a secção Comandos de Matriz): 40 Determinante[Matriz]: Calcula o determinante da matriz dada. Inversa[Matriz]: Inverte a matriz dada. Transposta[Matriz]: Transpõe a matriz dada. 3.2.10. Números Complexos e Operações O GeoGebra não suporta números complexos directamente, mas pode usar pontos para simular operações com números complexos. Exemplo: Se inserir 3+4i na Entrada de Comandos, obtém o ponto (3, 4) na Zona Gráfica. As coordenadas deste ponto são mostradas na Zona Algébrica como 3+4i. Nota: Pode representar qualquer ponto como número complexo na Zona Algébrica. Abra o Diálogo de Propriedades para o ponto e, no separador ‘Álgebra’, seleccione ‘Número complexo’ na lista de formatos de Coordenadas. Se a unidade imaginária i ainda não estiver definida, ela será reconhecida como o par ordenado i = (0, 1) ou o número complexo 0 + 1i. Portanto, pode usar a letra i para inserir números complexos na Entrada de Comandos (e.g., q = 3 + 4i). Exemplos de adição e subtracção: • (2 + 1i) + (1 – 2i) dá-lhe o número complexo 3 – 1i. • (2 + 1i) - (1 – 2i) e dá-lhe o número complexo 1 + 3i. Exemplos de multiplicação e divisão: • (2 + 1i) * (1 – 2i) dá-lhe o número complexo 4 – 3i. • (2 + 1i) / (1 – 2i) e dá-lhe o número complexo 0 + 1i. Nota: Se A e B são dois pontos, A/B faz a divisão complexa. Nota: A multiplicação usual (2, 1)*(1, -2)dá-lhe o produto escalar dos dois vectores. Outros exemplos: O GeoGebra também reconhece expressões envolvendo números reais e números complexos. • 3 + (4 + 5i) dá o número complexo 7 + 5i. • 3 - (4 + 5i) dá o número complexo -1 - 5i. • 3 / (0 + 1i) dá o número complexo 0 - 3i. • 3 * (1 + 2i) dá o número complexo 3 + 6i. 3.3. Comandos Usando comandos pode criar novos objectos ou modificar objectos já existentes. Nota: O resultado de um comando pode ser nomeado inserindo um rótulo seguido do símbolo de igualdade, “=”. No exemplo abaixo, o novo ponto é nomeado S.
  • 41. Exemplo: Para obter o ponto de intersecão de duas rectas g e h pode inserir S = Intersectar[g, h] (veja o comando Intersectar). Nota: Também pode usar um índice no nome de um objecto: A1 é inserido como A_1 enquanto que SAB é criado usando s_{AB}. Autocompletamento de Comandos Quando insere um comando na Entrada de Comandos do GeoGebra, o software tenta completar automaticamente o comando. Isto significa que depois de escrever as primeiras duas letras do comando na Entrada de Comandos, o GeoGebra sugere o primeiro comando de uma lista alfabética que começa com essas letras. 41 Para aceitar a sugestão e posicionar o cursor dentro dos parênteses rectos, bata a tecla Enter. Se o comando sugerido automaticamente não for aquele que deseja, continue a escrever e o GeoGebra adaptará as sugestões às letras que escrever. 3.3.1. Comandos Gerais PassoDaConstrução PassoDaConstrução[]: Retorna o corrente passo do Protocolo de Construção como um número PassoDaConstrução[Objecto]: Retorna o passo do Protocolo de Construção para o objecto dado como um número Apagar Apagar[Objecto]: Apaga o objecto e todos os objectos que dele dependem Relação Relação[Objecto a, Objecto b]: Mostra uma caixa de mensagem que lhe dá informação sobre a relação entre os objectos a e b. Nota: Este comando permite-lhe saber se dois objectos são iguais, se um ponto está numa recta ou numa cónica, ou se uma recta é tangente ou secante a uma cónica. 3.3.2. Comandos Booleanos Se Se[Condição, Objecto]: Fornece uma cópia do objecto se o valor da condição é true, ou um objecto indefinido se o valor da condição é false. Se[Condição, Objecto a, Objecto b]: Fornece uma cópia do objecto a se o valor da condição é true, ou uma cópia do objecto b se o valor da condição é false.
  • 42. Definido Definido[Objecto]: Retorna true ou false, conforme o objecto é ou não definido. Inteiro Inteiro[Número]: Retorna true ou false conforme o número é ou não inteiro. 3.3.3. Números RazãoAfim RazãoAfim[Ponto A, Ponto B, Ponto C]: Retorna a razão afim λ de três 42 pontos colineares A, B e C, onde C = A + λ * AB Área Área[Ponto A, Ponto B, Ponto C, ...]: Fornece a área do polígono definido pelos pontos A, B, C, … Área[Cónica c]: Fornece a área da secção cónica c (circunferência ou elipse) Nota: Para calcular a área entre os gráficos de duas funções deve usar o comando Integral. PassoEixo PassoEixoX[]: Retorna o tamanho corrente do passo para o eixo das abcissas PassoEixoY[]: Retorna o tamanho corrente do passo para o eixo das ordenadas Nota: Juntamente com os comandos Canto e Sequência, os comandos PassoEixo permitem-lhe criar eixos personalizados (veja também a secção Personalizar os eixos Coordenados e o Quadriculado). CoeficienteBinomial CoeficienteBinomial[Número n, Número r]: Calcula o coeficiente binomial, isto é, o número de combinações com r elementos tomados de um conjunto com n elementos. Perímetro Perímetro[Cónica]: Retorna o perímetro de uma secção cónica Nota: Isto só faz sentido se a cónica for uma circunferência ou uma elipse. RazãoDupla RazãoDupla[Ponto A, Ponto B, Ponto C, Ponto D]: Calcula a razão cruzada λ de quarto pontos colineares A, B, C e D, onde λ = RazãoAfim[B, C, D] / RazãoAfim[A, C, D]
  • 43. Curvatura Curvatura[Ponto, Função]: Calcula a curvatura do gráfico de uma função no 43 ponto dado Curvatura[Ponto, Curva]: Calcula a curvatura de uma curva no ponto dado Distância Distância[Ponto A, Ponto B]: Fornece a distância entre dois pontos A e B Distância[Ponto, Recta]: Fornece a distância entre o ponto e a recta Distância[Recta g, Recta h]: Fornece a distância entre g e h. Nota: A distância entre rectas concorrentes é nula. Este comando tem interesse apenas para rectas paralelas. ComprimentoDoSemiEixoMaior ComprimentoDoSemiEixoMaior[Cónica]: Retorna o comprimento do semi-eixo maior de uma secção cónica. ComprimentoDoSemiEixoMenor ComprimentoDoSemiEixoMenor[Cónica]: Retorna o comprimento do semi-eixo menor de uma secção cónica MDC MDC[Número a, Número b]: Calcula o máximo divisor comum dos números a e b MDC[Lista de números]: Calcula o máximo divisor comum da lista de números Quociente Quociente[Inteiro a, Inteiro b]: Calcula o quociente inteiro da divisão do número inteiro a pelo número inteiro b Integral Integral[Função, Número a, Número b]: Retorna o integral definido de uma função no intervalo [a , b]. Nota: Este comando também desenha a área entre o gráfico da função e o eixo das abcissas. Integral[Função f, Função g, Número a, Número b]: Fornece o integral definido da diferença f(x) - g(x) no intervalo [a, b]. Nota: Este comando também desenha a área entre os gráficos das duas funções f e g. Nota: Veja Integral Indefinido Iteração Iteração[Função, Número x0, Número n]: Itera a função n vezes usando o valor inicial x0 dado.
  • 44. 44 Exemplo: Após definir f(x) = x^2 , o comando Iteração[f, 3, 2] dá o resultado (32)2 = 81. MMC MMC[Número a, Número b]: Calcula o mínimo múltiplo comum de dois números a e b MMC[Lista de números]: Calcula o mínimo múltiplo comum dos elementos da lista Comprimento Comprimento[Vector]: Fornece o comprimento do vector dado Comprimento[Ponto A]: Fornece o comprimento do vector posição do ponto A Comprimento[Função, Número x1, Número x2]: Fornece o comprimento do gráfico da função no intervalo [x1, x2] Comprimento[Função f, Ponto A, Ponto B]: Fornece o comprimento do gráfico da função entre os pontos A e B Nota: Se os pontos A e B dados não pertencerem ao gráfico da função, este comando fornece o comprimento do gráfico da função entre os pontos C e D, onde C = (x(A), f(x(A)) e D = (x(B), f(x(B)) Comprimento[Curva, Número t1, Número t2]: Fornece o comprimento da curva entre os valores dos parâmetros t1 e t2 Comprimento[Curva c, Ponto A, Ponto B]: Fornece o comprimento da curva c entre os pontos A e B pertencentes à curva Comprimento[Lista]: Fornece o comprimento da lista, isto é, o número de elementos da lista. ExcentricidadeLinear ExcentricidadeLinear[Cónica]: Calcula a excentridade linear da secção cónica Nota: A excentridade linear é a distância entre o centro da cónica e o seu foco, ou um dos seus dois focos. SomaInferior SomaInferior[Função, Número a, Número b, Número n]: Fornece a soma inferior da função dada no intervalo [a, b] com n rectângulos Nota: Este comando também desenha os n rectângulos. Mínimo e Máximo Mínimo[Número a, Número b]: Fornece o mínimo dos dois números a e b Máximo[Número a, Número b]: Fornece o máximo dos dois números a e b Resto Resto[Inteiro a, Inteiro b]: Fornece o resto quando o inteiro a é dividido pelo inteiro b
  • 45. Parâmetro Parâmetro[Parábola]: Retorna o parâmetro da parábola, isto é, a distância entre 45 o foco e a directriz Perímetro Perímetro[Polígono]: Retorna o perímetro do polígono Raio Raio[Circunferência]: Retorna o raio da circunferência Comandos Aleatórios AleatórioInteiro[inteiro min, inteiro max]: Gera um número inteiro aleatório entre os números inteiros min e max (incusive) AleatórioBinomial[Número n de tentativas, Probabilidade p]: Gera um número aleatório de uma distribuição binomial com n tentativas e probabilidade p AleatórioNormal[Média, Desvio padrão]: Gera um número aleatório de uma distribuição normal com uma dada média e um dado desvio padrão AleatórioPoisson[Média]: Gera um número aleatório de uma distribuição de Poisson com uma dada média Declive Declive[Recta]: Retorna o declive de uma dada recta Nota: Este comando também desenha o triângulo rectângulo no qual a razão entre a medida do cateto vertical e a medida do cateto horizontal é o valor absoluto do declive. O tamanho deste triângulo pode ser alterado no separador ‘Estilo’ do Diálogo de Popriedades, mantendo-se a proporção entre as medidas dos catetos SomaTrapezoidal SomaTrapezoidal[Função, Número a, Número b, Número n de trapézios]: Calcula a soma trapezoidal da função no intervalo [a, b] usando n trapézios. Nota: Este comando também desenha os n trapézios. SomaSuperior SomaSuperior[Função, Número a, Número b, Número n]: Calcula a soma superior da função no intervalo [a, b] usando n rectângulos. Nota: Este comando também desenha os n rectângulos.
  • 46. 3.3.4. Ângulos Ângulo Ângulo[Vector v1, Vector v2]: Retorna o ângulo entre dois vectores v1 e v2 46 (entre 0° e 360°), de v1 para v2, no sentido directo (anti-horário) Ângulo[Recta g, Recta h]: Retorna o ângulo entre os vectores directores das duas rectas g e h (entre 0° e 360°) Ângulo[Ponto A, Ponto B, Ponto C]: Retorna o ângulo entre os dois vectores B-A e C-B (entre 0° and 360°), de B-A para C-B, no sentido directo, sendo B o seu vértice. Ângulo[Ponto A, Ponto B, Ângulo α]: Retorna o ângulo com amplitude α e vértice B, desenhado a partir de A no sentido directo. Nota: O ponto Rotação[A, α, B] também é criado. Ângulo[Cónica c]: Retorna o ângulo entre o vector u = (1,0) e o vector v director do eixo principal de c, de u para v, no sentido directo (veja o comando Eixos) Ângulo[Vector]: Retorna o ângulo entre o vector (1,0) e o vector dado Ângulo[Ponto]: Retorna o ângulo entre o vector (1,0) e o vector posição do ponto dado Ângulo[Número]: Converte o número dado no ângulo que tem esse número como medida em radianos (resultado entre 0 e 2pi) Ângulo[Polígono]: Cria todos os ângulos de um polígono, no sentido positivo. Nota: Se o polígono for criado com orientação anti-horária, obtém os ângulos internos. Se o polígono for criado com orientação horária, obtém os complementos para 360°, a não ser que nas propriedades dos ângulos tenha desmarcado a caixa ‘Permitir ângulos reentrantes’. 3.3.5. Pontos Centro Centro[Cónica]: Retorna o centro da cónica Nota: Isto não faz sentido se a cónica for uma parábola. Baricentro Baricentro[Polígono]: Retorna o baricentro do polígono Canto Canto[Número n do Canto]: Cria um ponto no canto número n da Zona Gráfica (n = 1, 2, 3, 4), o qual nunca é visível no ecran Canto[Imagem, Número n do Canto]: Cria um ponto no canto número n da imagem (n = 1, 2, 3, 4) Canto[Texto, Número n do Canto]: Cria um ponto no canto número n do texto (n = 1, 2, 3, 4) Nota: A numeração dos cantos é feita em sentido anti-horário e começa no canto inferior esquerdo.
  • 47. Extremo Extremo[Polinomial]: Fornece todos os extremos locais da função polinomial 47 na forma de pontos no respectivo gráfico. Focos Focos[Cónica]: Fornece todos os focos da secção cónica PontoDeInflexão PontoDeInflexão[Polinomial]: Fornece todos os pontos de inflexão da função polinomial na forma de pontos no respectivo gráfico. Intersectar Intersectar[Recta g, Recta h]: Fornece o ponto de intersecção das rectas g e h Intersectar[Recta, Cónica]: Fornece todos os pontos de intersecção da recta com a secção cónica (no máximo, 2) Intersectar[Recta, Cónica, Número n]: Fornece o n-ésimo ponto de intersecção da recta com a cónica (n =1 ou n = 2) Intersectar[Cónica c1, Cónica c2]: Fornece todos os pontos de intersecção das duas cónicas c1 e c2 (no máximo, 4) Intersectar[Cónica c1, Cónica c2, Número n]: Fornece o n-ésimo ponto de intersecção das duas cónicas c1 e c2 Intersectar[Polinomial f1, Polinomial f2]: Fornece todos os pontos de intersecção dos gráficos das funções polinomiais f1 e f2 Intersectar[Polinomial f1, Polinomial f2, Número n]: Dá o n-ésimo ponto de intersecção dos gráficos das funções polinomiais f1 e f2 Intersectar[Polinomial, Recta]: Fornece todos os pontos de intersecção da recta com o gráfico da função polinomial Intersectar[Polinomial, Recta, Número n]: Fornece o n-ésimo ponto de intersecção da recta com o gráfico da função polinomial Intersectar[Função f, Função g, Ponto A]: Dá o ponto de intersecção das funções f e g usando o método de Newton com ponto inicial A Intersectar[Function, Recta, Ponto A]: Calcula o ponto de intersecção da recta com a função, usando o método de Newton com ponto inicial A Nota: Veja também a ferramenta Intersectar duas linhas PontoMédio PontoMédio[Ponto A, Ponto B]: Retorna o ponto médio dos pontos A e B PontoMédio[Segmento]: Retorna o ponto médio do segmento Ponto Ponto[Recta]: Retorna um ponto na recta Ponto[Cónica]: Retorna um ponto na cónica
  • 48. Ponto[Função]: Retorna um ponto no gráfico da função Ponto[Polígono]: Retorna um ponto na fronteira do polígono Ponto[Vector ]: Retorna um ponto no vector Ponto[Ponto A, Vector v]: Cria um novo ponto, adicionando v a A Raiz Raiz[Polinomial]: Fornece todos os zeros da função polinomial como pontos do 48 seu gráfico Raiz[Função, Número a]: Fornece um zero da função usando o método de Newton com valor inicial a Raiz[Função, Número a, Número b]: Fornece um zero da função no intervalol [a, b] (método regula falsi) Vértice Vértice[Cónica]: Retorna todos os vertices da cónica 3.3.6. Vectores VectorCurvatura VectorCurvatura[Ponto, Função]: Fornece o vector curvatura da função no ponto dado VectorCurvatura[Ponto, Curva]: Fornece o vector curvatura da curva no ponto dado Direcção Direcção[Recta]: Fornece um vector director da recta Nota: Uma recta de equação ax + by = c tem vector director (b, - a). VectorPerpendicular VectorPerpendicular[Recta]: Retorna um vector perpendicular à recta. Nota: Uma recta de equação ax + by = c tem vector perpendicular (a, b). VectorPerpendicular[Vector v]: Retorna um vector perpendicular ao vector dado. Nota: O vector com coordenadas (a, b) tem vector perpendicular (- b, a). VectorPerpendicularUnitário VectorPerpendicularUnitário[Recta]: Retorna um vector perpendicular à recta, com comprimento 1 VectorPerpendicular[Vector]: Retorna um vector perpendicular ao vector dado, com comprimento 1
  • 49. VectorUnitário VectorUnitário[Recta]: Dá um vector director da recta, com comprimento 1 VectorUnitário[Vector]: Fornece um vector com comprimento 1 que tem a 49 mesma direcção e a mesma orientação do vector dado Vector Vector[Ponto A, Ponto B]: Cria o vector de A para B Vector[Ponto]: Retorna o vector posição do ponto dado 3.3.7. Segmentos Segmento Segmento[Ponto A, Ponto B]: Cria o segmento entre dois pontos A e B Segmento[Ponto A, Número c]: Cria o segmento de comprimento c a partir do ponto A Nota: O outro extremo do segmento também é criado. 3.3.8. Semirectas Semirecta Semirecta[Ponto A, Ponto B]: Cria a semirecta de origem A passando por B Semirecta[Ponto A, Vector v]: Cria a semirecta de origem A e que tem a direcção e a orientação do vector v 3.3.9. Polígonos Polígono Polígono[Ponto A, Ponto B, Ponto C,...]: Retorna o polígono com vértices A, B, C,… Polígono[Ponto A, Ponto B, Número n]: Cria o polígono regular com n vértice, sendo [A, B] um dos lados 3.3.10. Rectas Bissectriz Bissectriz[Ponto A, Ponto B, Ponto C]: Retorna oa bissectriz do ângulo definido pelos pontos A, B e C Nota: O ponto B é o vértice deste ângulo. Bissectriz[Recta g, Recta h]: Retorna ambas as bissectrizes dos ângulos definidos pelas rectas (ou apenas uma, se as rectas forem paralelas)
  • 50. Assímptota Assímptota[Hipérbole]: Fornece ambas as assímptotas da hipérbole Eixos Eixos[Cónica]: Retorna o eixo principal e eixo secundário da cónica Diametral Diametral[Recta, Cónica]: Retorna a recta diametral conjugada da recta dada 50 relativamente à cónica Diametral[Vector, Cónica]: Retorna a recta diametral conjugada do vector dado relativamente à cónica Directriz Directriz[Parábola]: Fornece a recta directriz da parábola EixoMaior EixoMaior[Cónica]: Retorna o eixo maior da cónica EixoMenor EixoMenor[Cónica]: Fornece o eixo menor da cónica Recta Recta[Ponto A, Ponto B]: Cria a recta passando pelos pontos A e B Recta[Point, Recta]: Cria a recta que passa pelo ponto dado paralelamente à recta dada Recta[Ponto, Vector v]: Cria a recta que passa pelo ponto dado e tem a direcção do vector v Perpendicular Perpendicular[Ponto, Recta]: Cria a recta que passa pelo ponto dado perpendicularmente à recta dada Perpendicular[Ponto, Vector]: Cria a recta que passa pelo ponto dado perpendicularmente ao vector dado Mediatriz Mediatriz[Ponto A, Ponto B]: Fornece a mediatriz do segmento [A, B] Mediatriz[Segmento]: Fornece a mediatriz do segmento dado Polar Polar[Ponto, Cónica]: Cria a recta polar do ponto dado relativa à cónica dada
  • 51. Tangente Tangente[Ponto, Cónica]: Cria todas as tangentes à secção cónica que 51 passam pelo ponto dado Tangente[Recta, Cónica]: Cria todas as tangentes à secção cónica que são paralelas à recta dada Tangente[Número a, Função f]: Cria a tangente ao gráfico da função f no ponto (a, f(a)) Tangente[Ponto A, Função]: Cria a tangente ao gráfico da função no ponto do gráfico que tem abcissa x = x(A) Nota: x(A) é a abcissa do ponto A. Tangente[Ponto, Curva]: Cria a tangente à curva no ponto dado 3.3.11. Secções Cónicas Circunferência Circunferência[Ponto M, Número r]: Fornece a circunferência de centro M e raio r Circunferência[Ponto M, Segmento]: Fornece a circunferência de centro M cujo raio mede o comprimento do segmento dado Circunferência[Ponto M, Ponto A]: Fornece a circunferência de centro M passando no ponto A Circunferência[Ponto A, Ponto B, Ponto C]: Fornece a circunferência que passa pelos pontos A, B e C Cónica Cónica[Ponto A, Ponto B, Ponto C, Ponto D, Ponto E]: Retorna a cónica que passa nos cinco pontos A, B, C, D e E Nota: Se quatro dos pontos forem colineares, a cónica não é definida. Elipse Elipse[Ponto F, Ponto G, Número a]: Cria a elipse de focos F e G em que o comprimento do eixo principal mede a Nota: Condiçaõ: 2a > Distância[F, G]. Elipse[Ponto F, Ponto G, Segmento]: Cria a elipse de focos F e G em que o comprimento do eixo principal iguala o comprimento do segmento dado Elipse[Ponto A, Ponto B, Ponto C]: Cria a elipse de focus A e B passando por C Hipérbole Hipérbole[Ponto F, Ponto G, Número a]: Cria a hipérbole de focos F e G em que o comprimento do eixo principal mede a Nota: Condição: 0 < 2a < Distância[F, G] Hipérbole[Ponto F, Ponto G, Segmento]: Cria a hipérbole de focos F e G em que o comprimento do eixo principal iguala o comprimento do segmento dado
  • 52. Hipérbole[Ponto A, Ponto B, Ponto C]: Cria a hipérbole de focos A e B 52 passando por C CircunferênciaOsculadora CircunferênciaOsculadora[Ponto, Função]: Fornece a circunferência osculadora do gráfico da função no ponto dado CircunferênciaOsculadora[Ponto, Curva]: Fornece a circunferência osculadora da curva no ponto dado Parábola Parábola[Ponto F, Recta g]: Retorna a parábola de foco F e directriz g 3.3.12. Funções Funções Condicionais Pode usar o comando boleano Se para criar uma função condicional. Nota: Pode usar derivadas e integrais de tais funções e intersectar essas funções como se fossem “normais”. Exemplos: • f(x) = Se[x < 3, sin(x), x^2] proporciona-lhe a função que iguala sin(x) para x < 3 e x2 para x ≥ 3. • a ؟ 3 ˄ b ≥ 0 testa se “a iguala 3 e b é maior ou igual a 0”. Nota: Os símbolos para declarações condicionais (e.g., ؟, ˄, ≥) podem ser encontrados no menu imediatamente à direita da Entrada de Comandos. Derivada Derivada[Função]: Retorna a primeira derivada da função dada Derivada[Função, Número n]: Retorna a na derivada da função dada Nota: Pode usar f'(x) ou Derivada[f], bem assim como f''(x) em vez de Derivada[f, 2] e assim sucessivamente. Expandir Expandir[Polinomial]: Expande uma expressão factorizada. Exemplo: Expandir[(x + 3)(x - 4)] dá-lhe f(x) = x2 - x – 12 Factorizar Factorizar[Polinomial]: Factoriaza a expressão de uma função polinomial Exemplo: Factorizar[x^2 + x - 6] dá-lhe f(x) = (x-2)(x+3)
  • 53. Função Função[Função, Número a, Número b]: Fornece o gráfico que é igual ao de f 53 no intervalo [a, b] e não definido fora de [a, b]. Nota: Este comando só deve ser usado para mostrar funções num certo intervalo. Exemplo: f(x) = Função[x^2, -1, 1] fornece o gráfico da função x2 no intervalo [-1, 1]. Se, após ter definido a função f, inserir g(x) = 2 f(x) , obterá a função g(x) = 2 x2, mas esta não é restrita ao intervalo [-1, 1]. Integral Integral[Função]: fornece o integral indefinido da função dada Nota: Veja Integral Definido Polinómio Polinómio[Polinomial]: Fornece a expressão expandida de uma função polinomial dada. Exemplo: Polinómio[(x - 3)^2] fornece x2 - 6x + 9 Polinómio[Lista de n pontos]: Cria o polinómio interpolador de grau n-1 que passa nesses n pontos. Simplificar Simplificar[Função]: Simplifica os termos de uma dada função, se tal for possível. Exemplos: Simplificar[x + x + x] dá-lhe a função f(x) = 3x Simplificar[sin(x) / cos(x)] dá-he a função f(x) = tan(x) Simplificar[-2 sin(x) cos(x)] dá-lhe a função f(x) = sin(-2 x) PolinómioDeTaylor PolinómioDeTaylor[Função, Número a, Número n]: Cria a expansão em série de poténcias para a função dada, em torno de x = a, até à ordem n 3.3.13. Curvas Paramétricas Curva Curva[Expressão e1, Expressão e2, Parâmetro t, Número a, Número b]: Fornece a curva paramétrica formada pelos pontos cujas coordenadas cartesianas são as expressões e1 e e2, as quais dependem do parâmetro t que varia no intervalo [a, b] Exemplo: c = Curva[2 cos(t), 2 sin(t), t, 0, 2 pi]dá a circunferência de raio 2 em torno da origem.
  • 54. Nota: As curvas paramétricas podem ser usadas em expressões aritméticas como se fossem funções. Exemplo: Inserindo c(3), retorna o ponto da curva c que corresponde ao caso em que o parâmetro toma o valor 3. Nota: Com o rato pode colocar um ponto sobre a curva, usando a ferramenta Novo Ponto ou o comando Ponto. Uma vez que os extremos a e b do intervalo onde varia o parâmetro t são dinâmicos, pode usar selectores para esses extremos a e b (veja a ferramenta Selector). Comandos para curvas paramétricas Curvatura[Ponto, Curva]: Calcula a curvatura da curva no ponto dado VectorCurvatura[Ponto, Curva]: Fornece o vector curvatura da curva no 54 ponto dado Derivada[Curva]: Retorna a primeira derivada da curva Derivada[Curva, Número n]: Retorna a nª derivada da curva Comprimento[Curva, Número t1, Número t2]: Fornece o comprimento da curva entre os valores paramétricos t1 e t2 Comprimento[Curva c, Ponto A, Ponto B]: Fornece o comprimento da curva c entre dois pontos A e B que pertencem à curva CircunferênciaOsculadora[Ponto, Curva]: Fornece a circunferência osculadora no ponto dado Tangente[Ponto, Curva]: Cria a tangente à curva no ponto dado Derivada Derivada[Curva]: Fornece a primeira derivada da curva dada 3.3.14. Arcos e Sectores Nota: O valor algébrico de um arco é o seu comprimento e o valor algébrico de um sector é a sua área. Arco Arco[Cónica, Ponto A, Ponto B]: Retorna o arco da cónica entre os pontos A e B Nota: Isto só funciona para circunferências e elipses. Arco[Cónica, Número t1, Número t2]: Retorna um arco da cónica entre os valores paramétricos t1 e t2. Nota: Internamente, são usadas as seguintes formas paramétricas: o Circunferência: (r cos(t), r sin(t)), onde r é o raio da circunferência o Elipse: (a cos(t), b sin(t)), onde a e b são os comprimentos do eixo principal e do eixo secundário, respectivamente
  • 55. ArcoCircular ArcoCircular[Ponto M, Ponto A, Ponto B]: Cria um arco na circunferência 55 de centro M que passa por A. O ponto A é um dos extremos do arco. O outro extremo é a intersecção da circunferência com a semirecta de origem M que passa em B. Nota: O ponto B pode não pertencer ao arco. SectorCircular SectorCircular[Ponto M, Ponto A, Ponto B]: Cria um sector no círculo de centro M cuja circunferência passa por A. O ponto A é um dos extremos do arco do sector. O outro extremo é a intersecção da circunferência com a semirecta de origem M que passa em B Nota: O ponto B pode não pertencer ao arco do sector. ArcoCircuncircular ArcoCircuncircular[Ponto A, Ponto B, Ponto C]: Cria um arco na circunferência definida pelos pontos A, B, e C. Mais precisamente, cria o arco de extremos A e C que passa p B. SectorCircuncircular SectorCircuncircular[Ponto A, Ponto B, Ponto C]: Cria um sector no círcuncírculo definido pelos pontos A, B, e C. O arco deste sector tem extremos A e C e passa em B. Sector Sector[Cónica, Ponto A, Ponto B]: Fornece um sector definido pelos pontos A e B da cónica e o centro da dita Nota: Isto funciona apenas para circunferências e elipses. Sector[Cónica, Número t1, Número t2]: Fornece um sector definido pelos pontos P1 e P2 da cónica e o centro da dita, onde P1 e P2 são os pontos que correspondem, respectivamente, aos valores paramétricos t1 e t2 e a cónica tem uma das seguintes formas paramétricas: • Circunferência: (r cos(t), r sin(t)) , onde r é o raio da circunferência • Elipse: (a cos(t), b sin(t)) , onde a e b são, respectivamente, os comprimentos do eixo principal e secundário da cónica Semicircunferência Semicircunferência[Ponto A, Ponto B]: Cria a semicircunferência de diâmetro AB tal que, sendo M o ponto médio deste diâmetro, o ângulo AMB tem orientação horária
  • 56. 3.3.15. Texto FracçãoEmTexto FracçãoEmTexto[Number]: Converte um número decimal numa fracção, a qual é 56 mostrada na Zona Gráfica na forma de um texto em LaTeX. Exemplo: Sendo a: y = 1.5 x + 2 uma recta, então FracçãoEmTexto[Declive[a]] dá-lhe a fracção 3/2 como texto. LaTex LaTex[Objecto]: Retorna a fórmula para o objecto, na forma de texto em LaTeX Exemplo: Se a = 2 e f(x) = a x2, então LaTex[f] retorna 2 x2 (texto LaTeX) LaTex[Objecto, Booleano]: Retorna a fórmula para o objecto na forma de texto em LaTeX. O booleano determina se as variáveis são substituídas pelos valores (true) ou se os nomes das variáveis são mostrados no texto (false). Exemplos: Se a = 2 e f(x) = a x2, então LaTex[f, true] retorna 2 x2 (texto LaTeX) LaTex[f, false] retorna a x2 (texto LaTeX) LetraParaUnicode LetraParaUnicode["Letra"]: Transforma uma letra no seu número Unicode Nota: A letra tem que estar entre aspas. Exemplo: LetraParaUnicode["a"] retorna o número 97 Nome Nome[Objecto]: Retorna o nome do objecto como texto na Zona Gráfica Nota: Use este comando em textos dinâmicos para objectos que necessitam de ser renomeados. O comando Nome é o oposto do comando Objecto. Objecto Objecto[Nome do objecto como texto]: Retorna o objecto cujo nome é dado como texto (estático e/ou dinâmico). O resultado é sempre um objecto dependente. Nota: O comando Objecto é o oposto do comando Nome. Exemplo: Se os pontos A1, A2, ... , A20 existem e o selector n tem o valor 2, então Objecto["A" + n] dá-lhe uma cópia do ponto A2. Tabela Tabela[Lista 1, Lista 2, Lista 3,...]: Cria uma tabela em forma de texto, sendo cada linha formada pelos elementos de uma das listas dadas Nota: Por defeito, cada lista é apresentada numa nova coluna da tabela. Exemplos: • Tabela[{x^2, 4}, {x^3, 8}, {x^4, 16}] cria uma tabela na forma de um texto com três linhas e duas colunas. Todos os items da tabela são alinhados à esquerda.
  • 57. 57 • Tabela[Sequência[i^2, i, 1, 10]] cria uma tabela na forma de um texto com uma linha. Todos os items são alinhados à esquerda Tabela[Lista 1, Lista 2, ... Lista n, "Alinhamento do texto"]: Cria uma tabela na forma de um texto contendo todos os elementos das listas. A opção “Alinhamento do texto” controla a orientação e o alinhamento do texto. Nota: Os possíveis valores para a orientação e para o alinhamento do texto são "vl", "vc", "vr", "v", "h", "hl", "hc", "hr". Por defeito, o GeoGebra considera "hl". "v" = vertical, i.e. as listas são colunas "h" = horizontal, i.e. as listas são linhas "l" = alinhado à esquerda (left) "r" = a linhado à direita (right) "c" = centrado Exemplos: Tabela[{1,2,3,4},{1,4,9,16},"v"] cria um texto com duas colunas e quatro linhas cujos elementos são alinhados à esquerda. Tabela[{1,2,3,4},{1,4,9,16},"h"] cria um texto com duas linhas e quatro colunas cujos elementos são alinhados à esquerda. Tabela[{11.2,123.1,32423.9,"234.0"},"r"] cria um texto com uma linha cujos elementos são alinhados à direita. Texto Texto[Objecto]: Retorna a fórmula de um objecto como texto. Nota: por defeito, as variáveis são substituídas pelos valores atribuídos. Exemplo: Se a = 2 e c = a2, então Texto[c] retorna o texto "4". Texto[Objecto, Booleano]: Retorna a fórmula de um objecto como texto. O boleano determina se as variáveis são substituídas pelos valores atribuídos (true) ou se os nomes das variáveis são mostrados no texto (false). Exemplo: Se a = 2 e c = a2, então Texto[c, true] retorna o texto "4". Texto[c, false] retorna o texto "a2" Texto[Objecto, Ponto]: Retorna a fórmula do objecto como texto na posição do ponto dado. Exemplo: Texto["olá", (2, 3)] coloca o texto na posição (2, 3). Texto[Objecto, Ponto, Booleano]: Retorna a fórmula do objecto como texto na posição do ponto dado. O boleano determina se as variáveis são substituídas pelos valores atribuídos (true) ou se os nomes das variáveis são mostrados no texto (false). TextoParaUnicode TextoParaUnicode["Texto"]: Transforma o texto numa lista de números Unicode, um para cada caracter. Exemplos: TextoParaUnicode["Algum texto"] dá-lhe a lista dos números Unicode {65, 108, 109, 103, 117, 109, 32, 116, 101, 120, 116, 111}.
  • 58. 58 Se texto1 é "Olá", então TextoParaUnicode[texto1] dá-lhe a lista {79, 108, 225}. UnicodeParaLetra UnicodeParaLetra[Inteiro]: Converte cada número inteiro Unicode numa letra que é mostrada como texto na Zona Gráfica. Exemplo: UnicodeParaLetra[97] dá-lhe o texto "a". UnicodeParaTexto UnicodeParaTexto[Lista de Inteiros]: Converte uma lista de números inteiros Unicode num texto. Exemplo: UnicodeParaTexto[{79, 108, 225}] dá-lhe o texto "Olá". 3.3.16. Lugares Geométricos Locus Locus[Ponto Q, Ponto P]: Retorna o lugar geométrico do ponto Q que depende do ponto P. Nota: O ponto P tem que pertencer a uma linha (e.g. recta, segmento, circunferência, curva). 3.3.17. Listas e Sequências Juntar Juntar[Lista, Objecto]: Junta o objecto à lista Exemplo: Juntar[{1, 2, 3}, (5, 5)] dá-lhe {1, 2, 3, (5, 5)} Juntar[Objecto, Lista]: Junta a lista ao objecto Exemplo: Juntar[(5, 5), {1, 2, 3}] dá-lhe {(5, 5), 1, 2, 3} ContarSe ContarSe[Condição, Lista]: Conta o número de elementos da lista que satisfazem a condição Exemplos: ContarSe[x < 3, {1, 2, 3, 4, 5}] dá-lhe o número 2 ContarSe[x<3, A1:A10], onde A1:A10 é um bloco de células na folha de cálculo, conta todas as células cujos valores são inferiores a 3. Elemento Elemento[Lista, Número n]: Fornece o n-ésimo elemento da lista Nota: A lista deve conter elementos de um único tipo (e.g., só números ou só pontos).
  • 59. Primeiros Primeiros[Lista]: Retorna o primeiro elemento da lista Primeiros[Lista, Número n de elementos]: Retorna uma nova lista que contém apenas os primeiros n elementos da lista dada. Inserir Inserir[Objecto, Lista, Posição]: Insere o objecto na lista, colocando-o 59 na posição dada. Exemplo: Inserir[x^2, {1, 2, 3, 4, 5}, 3] coloca x2 na Terceira posição e dá-lhe a nova lista {1, 2, x2, 3, 4, 5} Nota: Se a posição for um número negativo, então é contada da direita para a esquerda. Exemplo: Inserir[(1, 2), {1, 2, 3, 4, 5}, -1] coloca o ponto no fim da lista e dá-lhe a nova lista {1, 2, 3, 4, 5, (1, 2)} Inserir[Lista1, Lista2, Posição]: Insere todos os elementos da lista1 na lista2, na posição dada. Exemplo: Inserir[{11, 12}, {1, 2, 3, 4, 5}, 3] coloca os elementos da lista1 na terceira posição (e seguintes posições) da lista2 e fornece a nova lista {1, 2, 11, 12, 3, 4, 5} Nota: Se a posição for um número negativo, então é contada da direita para esquerda. Exemplo: Inserir[{11, 12}, {1, 2, 3, 4, 5}, -2] coloca os elementos da lista1 na penúltima posição da lista2 e fornece a nova lista {1, 2, 3, 4, 11, 12, 5}. Intersecção Intersecção[Lista1, Lista2]: Fornece uma nova lista contendo todos os elementos que pertencem a ambas as listas dadas ListaDeIteração ListaDeIteração[Função, Número x0, Número n]: Dá-lhe a lista de comprimento n+1 cujos elementos são os iterados da função dada, com valor inicial x0. Exemplo: Após ter definido a função f(x) = x^2 o comando L = ListaDeIteração[f, 3, 2] dá-lhe a lista L = {3, 32, (32)2} = {3, 9, 81} Concatenar Concatenar[Lista1, Lista2, ...]: Junta duas ou mais listas. Nota: A lista resultante contém todos os elementos das listas iniciais mesmo se eles forem iguais. Os elementos da nova lista não são reordenados. Exemplos: Concatenar[{5, 4, 3}, {1, 2, 3}] cria a lista {5, 4, 3, 1, 2, 3} Concatenar[Lista de listas]: Junta as sub-listas numa só lista. Nota: A nova lista contém todos os elementos das listas iniciais mesmo se eles forem iguais. Os elementos da nova lista não são reordenados.
  • 60. 60 Exemplos: Concatenar[{{1, 2}}] cria a lista {1, 2} Concatenar[{{1, 2, 3}, {3, 4}, {8, 7}}] cria a lista {1, 2, 3, 3, 4, 8, 7} ManterSe ManterSe[Condição, Lista]: Cria uma nova lista que contém apenas os elementos da lista inicial que satisfazem a condição dada Exemplo: ManterSe[x<3, {1, 2, 3, 4, 1, 5, 6}] retorna a nova lista {1, 2, 1} Últimos Últimos[Lista]: Retorna o último elemento da lista dada. Últimos[Lista, Número n de elementos]: Retorna uma nova lista que contém apenas os últimos n elementos da lista dada Comprimento Comprimento[Lista]: Fornece o comprimento da lista dada, isto é, o número de elementos dessa lista. Mínimo Mínimo[Lista]: Retorna o mínimo dos elementos da lista dada Máximo Máximo[Lista]: Retorna o máximo dos elementos da lista Produto Produto[Lista de números]: Calcula o produto de todos os números da lista RemoverIndefinidos RemoverIndefinidos[Lista]: Remove os objectos indefinidos da lista. Exemplo: RemoverIndefinidos[Sequência[(-1)^i, i, 1, 3, 0.5]] remove o segundo e o quarto elementos da sequência porque estes têm expoente não inteiro e portanto são indefinidos. Reverter Reverter[Lista]: Inverte a posição dos elementos da lista Exemplo: Reverter[{3, 5, 1, 2, 5}] dá a lista [{5, 2, 1, 5, 3}. Sequência Sequência[Expressão, Variável i, Número a, Número b]: Dá a lista dos objectos criados usando a expressão e o índice i que varia de a até b.
  • 61. 61 Exemplo: L = Sequência[(2, i), i, 1, 5] cria a lista dos pontos cuja ordenada varia de 1 até 5 Sequência[Expressão, Variável i, Número a, Número b, Número s]: Fornece a lista de objectos criados usando a expressão dada e o índice i que varia desde a até b com incremento s. Exemplo: L = Sequência[(2, i), i, 1, 5, 0.5] cria a lista dos pontos cuja ordenada varia de 1 até 5 com incremento 0.5. Nota: Dado que os parâmetros a e b são dinâmicos, pode usar qualquer um deles como selector. Ordenar Ordenar[Lista]: Ordena uma lista de números, textos ou pontos. Nota: Uma lista de pontos é ordenada de acordo com as abcissas. Exemplos: Ordenar[{3, 2, 1}] dá a lista {1, 2, 3}. Ordenar[{"pêras", "maçãs", "figos"}] dá os elementos da lista segundo a ordem alfabética: {"figos", "maçãs", "pêras"} Ordenar[{(3, 7), (2, 5), (4, 1)}] dá {(2, 5), (3, 7), (4, 1)}. Soma Soma[Lista]: Calcula a soma de todos os elementos da lista. Nota: Este comando funciona para números, pontos, vectores, textos e funções. Exemplos: Soma[{1, 2, 3}] dá o número a = 6. Soma[{x^2, x^3}] dá a função f(x)=x2 + x3. Soma[Sequência[i,i,1,100]] dá o número a = 5050. Soma[{(1, 2), (7, 3)}] dá o ponto A = (8, 5). Soma[{(1, 2), 3}] dá o ponto B = (4, 2). Soma[{"a","b","c"}] dá o texto "abc". Soma[Lista, Número n de elementos]: Calcula a soma dos primeiros n elementos da lista. Nota: Este comando funciona para números, pontos, vectores, textos e funções. Exemplo: Soma[{1, 2, 3, 4, 5, 6}, 4] dá o número a = 10. ParteDaLista ParteDaLista[Lista, Posição inicial m, Posição final n]: Retorna a lista dos elementos que na lista dada estão situados entre as posições m e n, inclusive Exemplo: ParteDaLista[{7, 5, 1, 6}, 2, 3] dá a lista {5, 1} Reunião Reunião[Lista1, Lista2]: Junta as duas listas e remove os elementos que são repetições de outros.
  • 62. 3.3.18. Transformações Geométricas Homotetia Homotetia[Ponto A, Número r, Ponto S]: Dá o transformado do ponto A na 62 homotetia de centro S e razão r Homotetia[Recta, Número r, Ponto S]: Dá a transformada da recta na homotetia de centro S e razão r Homotetia[Cónica, Número r, Ponto S]: Dá a transformada da cónica na homotetia de centro S e razão r Homotetia[Polígono, Número r, Ponto S]: Dá o transformado do polígono na homotetia de centro S e razão r Nota: Também são criados novos vértices e segmentos. Homotetia[Imagem, Número r, Ponto S]: Dá a transformada da imagem na homotetia de centro S e razão r Nota: Veja também a ferramenta Homotetia de centro num ponto por um factor Reflexão Reflexão[Ponto A, Ponto B]: Reflecte o ponto A no ponto B Reflexão[Recta, Ponto]: Reflecte a recta no ponto Reflexão[Cónica, Ponto]: Reflecte a cónica no ponto Reflexão[Polígono, Ponto]: Reflecte o polígono no ponto Nota: Também são criados novos vértices e segmentos. Reflexão[Imagem, Ponto]: Reflecte a imagem no ponto Reflexão[Ponto, Recta]: Reflecte o ponto na recta Reflexão[Recta g, Recta h]: Reflecte a recta g na recta h Reflexão[Cónica, Recta]: Reflecte a cónica na recta Reflexão[Polígono, Recta]: Reflecte o polígono na recta Nota: Também são criados novos vértices e segmentos. Reflexão[Imagem, Recta]: Reflecte a imagem na recta Reflexão[Ponto, Circunferência]: Inverte o ponto na circunferência Nota: Veja também as ferramentas Reflecção num ponto; Reflecção numa recta; Inversão numa circunferência Rotação Rotação[Ponto, Ângulo]: Roda o ponto pelo ângulo dado em torno da origem dos eixos coordenados Rotação[Vector, Ângulo]: Roda o vector pelo ângulo dado em torno da origem do vector Rotação[Recta, Ângulo]: Roda a recta pelo ângulo dado em torno da origem dos eixos coordenados Rotação[Cónica, Ângulo]: Roda a cónica pelo ângulo dado em torno da origem dos eixos coordenados
  • 63. Rotação[Polígono, Ângulo]: Roda o polígono pelo ângulo dado em torno da 63 origem dos eixos coordenados Nota: Também são criados novos vértices e segmentos. Rotação[Imagem, Ângulo]: Roda a imagem pelo ângulo dado em torno da origem dos eixos coordenados Rotação[Ponto A, Ângulo, Ponto B]: Roda o ponto A pelo ângulo dado em torno do ponto B Rotação[Recta, Ângulo, Ponto]: Roda a recta pelo ângulo dado em torno do ponto Rotação[Vector, Ângulo, Ponto]: Roda o vector pelo ângulo dado em torno do ponto Rotação[Cónica, Ângulo, Ponto]: Roda a cónica pelo ângulo dado em torno do ponto Rotação[Polígono, Ângulo, Ponto]: Roda o polígono pelo ângulo dado em torno do ponto Nota: Também são criados novos vértices e segmentos. Rotação[Imagem, Ângulo, Ponto]: Roda a imagem pelo ângulo dado em torno do ponto Nota: Veja também a ferramenta Rodar em torno de um ponto com uma amplitude Translação Translação[Ponto, Vector ]: Translada o ponto pelo vector Translação[Recta, Vector]: Translada a recta pelo vector Translação[Cónica, Vector]: Translada a cónica pelo vector Translação[Função, Vector]: Translada a função pelo vector Translação[Polígono, Vector]: Translada o polígono pelo vector Nota: Também são criados novos vértices e segmentos. Translação[Imagem, Vector]: Translada a imagem pelo vector Translação[Vector v, Ponto]: Cria o representante do vector v aplicado no ponto dado Nota: Veja também a ferramenta Translação por um vector 3.3.19. Comandos de Estatística DiagramaDeBarras DiagramaDeBarras[Valor a, Valor b, Lista das alturas]: Cria um diagrama de barras sobre o intervalo [a, b]. O número de barras é determinado pelo comprimento da lista cujos elementos são as alturas das barras Exemplo: DiagramaDeBarras[10, 20, {4,1,3,5,2} ] dá o diagrama de barras sobre o intervalo [10, 20], com cinco barras cujas alturas são as especificadas na lista.
  • 64. DiagramaDeBarras[Valor a, Valor b, Expressão e1, Variável k, 64 Desde c, Até d]: Cria um diagrama de barras sobre o intervalo [a, b] dado. As alturas das barras são calculadas usando a expressão e1 cuja variável k percorre o intervalo [c, d] Exemplo: Se p = 0.1, q = 0.9, e n = 10 são números, então DiagramaDeBarras[ -0.5, n + 0.5, CoeficienteBinomial[n,k]*p^k*q^(n-k), k, 0, n ] dá um diagrama de barras no intervalo [-0.5, 10.5]. As alturas das barras dependem das probabilidades calculadas usando a expressão dada. DiagramaDeBarras[Valor a, Valor b, Expressão e1, Variável k, Desde c, Até d, Incremento s]: Cria um diagrama de barras sobre o intervalo [a, b]. As alturas das barras são calculadas usando a expressão e1 cuja variável k percorre o intervalo [c, d] com o incremento s dado DiagramaDeBarras[Lista de dados não classificados, Largura das barras]: Cria um diagrama de barras usando uma lista de dados não classificados. A largura das barras é a especificada Exemplo: DiagramaDeBarras[{1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,5,5,5,5}, 1] DiagramaDeBarras[Lista de dados classificados, Lista de frequências]: Cria um diagram de barras usando uma lista de dados classificados e outra lista com as correspondentes frequências Nota: Os dados classificados têm que crescer em progressão aritmética. Exemplos: DiagramaDeBarras[{10,11,12,13,14}, {5,8,12,0,1}] DiagramaDeBarras[{5, 6, 7, 8, 9}, {1, 0, 12, 43, 3}] DiagramaDeBarras[{0.3, 0.4, 0.5, 0.6}, {12, 33, 13, 4}] DiagramaDeBarras[Lista de dados classificados , Lista de frequências, Largura das barras w]: Dá o diagrama de barras usando a lista de dados classificados e as correspondentes frequências. As barras possuem a largura w especificada Nota: Os dados classificados têm que crescer em progressão aritmética Exemplos: DiagramaDeBarras[{10,11,12,13,14}, {5,8,12,0,1}, 0.5] deixa lacunas entre as barras DiagramaDeBarras[{10,11,12,13,14}, {5,8,12,0,1}, 0] produz um diagrama em que as barras são linhas CaixaDeBigodes CaixaDeBigodes[y_deslocamento, y_escala, Lista de dados não classificados]: Cria um diagrama de extremos e quartis, vulgo caixa de bigodes, usando uma lista de dados não classificados. A posição vertical do diagrama é controlada pela variável y_deslocamento. A altura do diagrama é influenciada pelo factor y_escala Exemplo: CaixaDeBigodes[0, 1, {2,2,3,4,5,5,6,7,7,8,8,8,9}] CaixaDeBigodes[y_deslocamento, y_escala, Mínimo, Quartil1, Mediana, Quartil3, Máximo]: Cria a caixa de bigodes no intervalo [Mínimo, Máximo], tendo em conta os dados estatísticos especificados
  • 65. Covariância Covariância[Lista1 de números, Lista2 de números]: Calcula a 65 covariância usando os elementos de ambas as listas dadas Covariância[Lista de pontos]: Calcula a covariância usanddo as coordenadas dos pontos dados na lista RegressãoLinear RegressãoLinear[Lista de pontos]: Calcula a recta de regressão de y em x para os pontos dados na lista RegressãoLinearX[Lista de pontos]: Calcula a recta de regressão de x em y para os pontos dados na lista Outros Comandos de Regressão RegressãoExponencial[Lista de pontos]: Calcula a curva de regressão exponencial na forma a e^(b x) RegressãoLogarítmica[Lista de pontos]: Calcula a curva de regressão logarítmica na forma a+b ln(x) RegressãoLogística[Lista de pontos]: Calcula a curva de regressão na forma a/(1+b x^(-kx)). Nota: O primeiro e o último ponto da lista devem de estar muito próximos da curva. A lista deve ter pelo menos três pontos, preferivelmente mais. RegressãoPolinomial[Lista de pontos, Grau n do polinómio]: Calcula a regressão polinomial de grau n RegressãoPotência[Lista de pontos]: Calcula a curva de regressão na forma a xb. Nota: Todos os pontos usados têm que estar no primeiro quadrante do sistema coordenado. RegressãoSeno[Lista de pontos]: Calcula a curva de regressão na forma a + b sin(cx+d). Nota: A lista deve conter pelo menos quarto pontos, preferivelmente mais, e também deve conter pelo menos dois pontos de extremo (máximo ou mínimo). Os primeiros dois pontos de extremo local não devem ser muito diferentes dos pontos de extremo absoluto da curva. Histograma Histograma[Lista dos limites das classes, Lista das alturas]: Cria um histograma em que as alturas das barras são as frequências das classes. Os limites das classes determinam a largura e a posição de cada barra do histograma. Exemplo: Histograma[{0, 1, 2, 3, 4, 5}, {2, 6, 8, 3, 1}] cria um histograma de 5 barras com as alturas especificadas. A primeira barra é posicionada sobre o intervalo [0, 1], a segunda é posicionada sobre o intervalo [1, 2], e assim sucessivamente. Histograma[Lista dos limites das classes, Lista de dados não classificados]: Cria um histograma usando uma lista de dados não classificados. Os limites das classes determinam a largura e a posição de
  • 66. 66 cada barra. Também determinam quantos dados ficam em cada classe. Exemplo: Histograma[{1, 2, 3, 4},{1.0, 1.1, 1.1, 1.2, 1.7, 2.2, 2.5, 4.0}] cria um histograma de 3 barras: a primeira com altura 5, a segunda com altura 2 e a terceira com altura 1. InversaNormal InversaNormal[Média, Desvio padrão, Probabilidade]: Calcula a função inversa Φ-1(probabilidade) * (desvio padrão) + (média) onde Φ-1 é a inversa da função densidade de probabilidade Φ para a N(0,1) Nota: Retorna a abcissa x que corresponde à probabilidade dada, isto é, corresponde á área situada sob a curva de distribuição normal, à esquerda de x. Comandos de Média Média[Lista de números]: Calcula a média dos números da lista dada MédiaX[Lista de pontos]: Calcula a média das abscissas dos pontos da lista MédiaY[Lista de pontos]: Calcula a média das ordenadas dos pontos da lista Mediana Mediana[Lista de números]: Determina a mediana dos números da lista Moda Moda[Lista de números]: Determina a(s) moda(s) dos números da lista. Exemplos: Moda[{1,2,3,4}] retorna a lista vazia {} Moda[{1,1,1,2,3,4}] retorna a lista {1} Moda[{1,1,2,2,3,3,4}] retorna a lista {1, 2, 3} Normal Normal[Média, Desvio padrão, Valor da variável]: Calcula a função Φ((x - média) / (desvio padrão)) onde Φ (x) é a função densidade de probabilidade da normal N(0,1) . Nota: Retorna a probabilidade para um dado valor da variável, digamos x, isto é, retorna o valor da área sob a curva de distribuição normal, à esquerda de x. CoeficienteDeCorrelação CoeficienteDeCorrelação[Lista de abcissas, Lista de ordenadas]: Calcula o coeficiente de correlação linear (coeficiente de Pearson) usando as coordenadas dadas nas listas. CoeficienteDeCorrelação[Lista de pontos]: Calcula o coeficiente de correlação linear usando as coordenadas dos pontos dados na lista.
  • 67. Comandos de Quartil Quartil1[Lista de números]: Determina o primeiro quartil dos números da lista dada Quartil3[Lista de números]: Determina o terceiro quartil dos números da lista dada DesvioPadrão DesvioPadrão[Lista de números]: Calcula o desvio padrão dos números da 67 lista dada Comandos Sigma SigmaXX[Lista de números]: Calcula a soma dos quadrados dos números da lista Exemplo: Para determinar a variância dos números da lista pode usar SigmaXX[lista]/Comprimento[lista] - Média[lista]^2. SigmaXX[Lista de pontos]: Calcula a soma dos quadrados das abscissas dos pontos dados na lista SigmaXY[Lista de abcissas x, Lista de ordenadas y]: Calcula a soma dos produtos xi*yi, onde xi e yi são números na mesma posição i das respectivas listas SigmaXY[Lista de pontos]: Calcula a soma dos produtos xi *yi, em que xi e yi são as coordenadas dos pontos dados na lista. Exemplo: Pode determinar a covariância de uma lista de pontos usando SigmaXY[lista]/Comprimento[lista] - MédiaX[lista] * MédiaY[lista]. SigmaYY[Lista de pontos]: Calcula a soma dos quadrados das ordenadas dos pontos dados na lista Quantidades estatísticas SXX[Lista de números, Lista de números]: Calcula a estatística Σ(x2) - Σ(x) * Σ(x)/n SXX[Lista de pontos]: Calcula a estatística Σ(x2) - Σ(x) * Σ(x)/n SXY[List de números, Lista de números]: Calcula a estatística Σ(xy) - Σ(x) * Σ(y)/n SXY[Lista de pontos]: Calcula a estatística Σ(xy) - Σ(x) * Σ(y)/n. SYY[Lista de números, Lista de números]: Calcula a estatística Σ(y2) - Σ(y) * Σ(y)/n SYY[Lista de pontos]: Calcula a estatística Σ(y2) - Σ(y) * Σ(y)/n. Nota: Estas quantidades são simplesmente formas não normalizadas da variância e da covariância de X e Y dadas por SXX = N var(X), SYY = N var(Y) e SXY = N cov(X,Y) Exemplo: pode determinar o coeficiente de correlação para uma lista de pontos usando SXY[lista] / sqrt(SXX[lista] SYY[lista]).
  • 68. Variância Variância[Lista de números]: Calcula a variância dos números da lista dada 3.3.20. Comandos de Folha de Cálculo Bloco Bloco[Célula inicial, Célula final]: Cria uma lista contendo os valores 68 das células de um bloco rectangular em que a célula inicial é o canto superior esquerdo do rectângulo e a célula final é o canto inferior direito Exemplos: Bloco[A1, A3] dá a lista {A1, A2, A3} Bloco[A1, C2] dá a lista {A1, A2, B1, B2, C1, C2} Coluna Coluna[Célula]: Retorna a coluna da célula como número (começando em 1) Exemplo: Coluna[B3] dá o número a = 2 pois a coluna B é a segunda coluna da folha de cálculo. NomeDaColuna NomeDaColuna[Célula]: Retorna o nome da coluna como texto Exemplo: NomeDaColuna[A1] dá o texto “A” na Zona Gráfica. Linha Linha[Célula]: Dá o número da linha da célula (começa em 1) Exemplo: Se a célula B3 não for vazia, então Linha[B3] dá o número a = 3. 3.3.21. Comandos de Matriz Determinante Determinante[Matriz]: Retorna o determinante da matriz Exemplo: Determinante[{{1, 2}, {3, 4}}] dá o número c = -2. Inversa Inversa[Matriz]: Inverte a matriz dada Exemplo: Inversa[{{1, 2}, {3, 4}}] dá a matriz inversa {{-2, 1}, {1.5, -0.5}}. Transposta Transposta[Matriz]: Transpõe a matriz dada. Exemplo: Transposta[{{1, 2}, {3, 4}}] dá a matriz {{1, 3}, {2, 4}}.
  • 69. 4. Items de Menu 4.1. Menu Ficheiro Nova janela Atalho de teclado: Ctrl-N (MacOS: Cmd-N) Este item de menu abre uma nova janela GeoGebra que usa as configurações padrão da interface do GeoGebra. Nota: Se alterar e gravar alguma dessas configurações, a nova janela GeoGebra que abrir vai usar as suas configurações favoritas. Novo Este item de menu abre um novo ficheiro (mais precisamente, uma interface nova e vazia) na mesma janela GeoGebra. É-lhe perguntado se deseja gravar a construção existente antes de abrir a nova interface. Nota: A nova interface adopta as configurações usadas na construção precedente. Por exemplo, se os eixos coordenados estiverem invisíveis antes de seleccionar o item ‘Novo’, os eixos também estarão escondidos na nova interface. Abrir… Atalho de teclado: Ctrl-O (MacOS: Cmd-O) Este item de menu permite-lhe abrir um ficheiro GeoGebra (extensão .ggb) que está gravado no seu computador. Nota: Para abrir um ficheiro GeoGebra também pode arrastá-lo com o rato para a janela do GeoGebra e depois largá-lo. Gravar Atalho de teclado: Ctrl-S (MacOS: Cmd-S) Este item de menu permite-lhe gravar uma construção corrente como um ficheiro GeoGebra (extensão .ggb) no seu computador. Nota: Se o ficheiro já estiver gravado, este item de menu substitui o ‘antigo’ ficheiro usando o mesmo nome. Gravar como … Este item de menu permite-lhe gravar uma construção corrente como um ficheiro GeoGebra (extensão .ggb). Ser-lhe-á pedido para inserir um novo nome para o seu ficheiro GeoGebra antes de ele ser gravado no seu computador. 69
  • 70. Previsão da impressão … Atalho de teclado: Ctrl-P (MacOS: Cmd-P) Este item de menu abre a janela Pevisão da impressão para a Zona Gráfica. Pode especificar ‘Título’, ‘Autor’, ‘Data’ e ‘Escala’ (em cm) para a saída da impressão. Nota: Após efectuar uma alteração, pressione a tecla Enter para actualizar a previsão da saída da impressão. Exportar - Folha de trabalho dinâmico como página web (html) … Atalho de teclado: Ctrl-Shift-W (MacOS: Cmd-Shift-W) Este item de menu permite-lhe exportar a sua construção corrente como página web para assim criar o que se costuma designar por ‘Folha de trabalho dinâmica’, ‘Applet’, ‘Mathlet’, … Por favor veja a secção Criar Páginas Web Interactivas para mais informações. Exportar - Zona gráfica como imagem (png, eps) … Atalho de teclado: Ctrl-Shift-P (MacOS: Cmd-Shift-P) Este item de menu permite-lhe gravar a Zona Gráfica como um ficheiro de imagem no seu computador. Na janela de diálogo que aparece, pode seleccionar o ‘Formato’ para o ficheiro de imagem e alterar a ‘Escala’ (em cm) e a ‘Resolução’ (em dpi) da imagem. Nota: Quando exporta a Zona Gráfica como imagem pode escolher os seguintes formatos: 70 PNG – Portable Network Graphics: este é um formato gráfico baseado no pixel. Quanto maior for a resolução (dpi), melhor será a qualidade (300 dpi costuma ser suficiente). As imagens em formato PNG não devem ser posteriormente redimensionadas para evitar perda de qualidade. Os ficheiros de formato PNG estão bem adaptados para usar em páginas web (html) e em documentos de texto. Nota: Sempre que quiser inserir uma imagem de format PNG num documento de texto (menu Inserir, Imagem a partir de um ficheiro) certifique-se de que o tamanho está definido em 100 %. Caso contrário, a escala escolhida (em cm) deve ser alterada. EPS – Encapsulated Postscript: Este é um format gráfico do tipo vectorial. As imagens em formato EPS podem ser redimensionadas sem qualquer perda de qualidade. Os ficheiros de formato EPS estão bem adaptados para usar com programas gráficos vectoriais (e.g., Corel Draw) e sistemas profissionais de processamento de texto (e.g., LaTeX). A resolução de uma imagem de formato EPS é sempre 72 dpi. Este valor só é usado para calcular o verdadeiro tamanho (em cm) da imagem, não afecta a sua qualidade. Nota: O efeito de transparência relativamente ao preenchimento de polígonos ou de cónicas não é possível com EPS.
  • 71. 71 PDF – Portable Document Format (veja EPS acima) Nota: Se exportar a Zona Gráfica em formato SVG ou PDF, tem a opção de exportar o texo como editável ou como imagem. Isto armazena o texto quer como texto (permitindo depois editá-lo, por exemplo com o InkScape) ou como curvas de Bezier (isto garante que o texto tem o mesmo aspecto mesmo se as fontes correctas não estiverem instaladas no computador). SVG – Scaleable Vector Graphic (Veja EPS acima) EMF – Enhanced Meta Format (Veja EPS acima) Exportar - Cópia da zona gráfica para a área de transferência Atalho de teclado: Ctrl-Shift-C (MacOS: Cmd-Shift-C) Este item de menu copia a Zona Gráfica para a área de transferência do seu computador, permitindo-lhe posteriormente colar esta imagem num outro documento (e.g., documento word). Exportar - Zona gráfica como PSTricks … Atalho de teclado: Ctrl-Shift-T (MacOS: Cmd-Shift-T) Este item de menu permite-lhe gravar a Zona Gráfica como ficheiro de imagem PSTricks, que é um formato de imagem LaTeX. Exportar - Zona gráfica como PGF/TikZ … Este item de menu permite-lhe gravar a Zona Gráfica como um ficheiro de imagem PGF/TikZ, que é um formato de imagem LaTeX. Fechar Atalho de teclado: Alt-F4 (MacOS: Cmd-W) Este item de menu fecha a janela GeoGebra. Se não tiver gravado a sua construção antes de seleccionar ‘Fechar’, ser-lhe-á perguntado se quer gravar as alterações efectuadas. 4.2. Menu Editar Desfazer Atalho de teclado: Ctrl-Z (MacOS: Cmd-Z) Este item de menu permite-lhe desfazer as suas actividades passo a passo. Nota: Também pode usar o botão ‘Desfazer’ à direita da barra de ferramentas. Refazer Atalho de teclado: Ctrl-Y (MacOS: Cmd-Shift-Z)
  • 72. Este item de menu permite-lhe refazer as suas actividades passo a passo. Nota: Também pode usar o botão ‘Refazer’ à direita da barra de ferramentas. Cópia da zona gráfica para a área de transferência Atalho de teclado: Ctrl-Shift-C (MacOS: Cmd-Shift-C) Este item de menu permite-lhe copiar a Zona Gráfica para a área de transferência do seu computador, permitindo-lhe posteriormente colar esta imagem num outro documento (e.g., documento word). Apagar Atalho de teclado: Delete Este item de menu permite-lhe apagar os objectos seleccionados e todos os que seles dependem. Nota: Seleccione previamente os objectos que pretende apagar (e.g., use um rectângulo de selecção). Seleccionar tudo Atalho de teclado: Ctrl-A (MacOS: Cmd-A) Este item de menu permite-lhe seleccionar todos os objectos usados na sua construção. Seleccionar o layer actual Atalho de teclado: Ctrl-L (MacOS: Cmd-L) Este item de menu permite-lhe seleccionar todos os objectos que estão no mesmo layer que o objecto seleccionado. Nota: Antes de usar este item de menu, deve seleccionar um objecto que está no layer desejado. Seleccionar descendentes Atalho de teclado: Ctrl-Shift-Q (MacOS: Cmd-Shift-Q) Este item de menu permite-lhe seleccionar todos os objectos que dependem de do objecto seleccionado. Nota: É necessário seleccionar o objecto ‘pai’ antes de usar este item de menu. Seleccionar ascendentes Atalho de teclado: Ctrl-Q Este item de menu permite-lhe seleccionar todos os objectos que são ascendentes do objecto seleccionado, isto é, todos os objectos dos quais depende o objecto seleccionado. 72
  • 73. Nota: É necessário seleccionar o objecto dependente antes de usar este item de menu. Propriedades … Atalho de teclado: Ctrl-E (MacOS: Cmd-E) Este item de menu abre o Diálogo de Popriedades que lhe permite modificar as propriedades de todos os objectos usados no ficheiro GeoGebra. 4.3. Menu Exibir Eixos coordenados Este item de menu permite-lhe exibir ou esconder os eixos coordenados na Zona Gráfica. Nota: Pode usar o diálogo de propriedades para a Zona Gráfica para personalizar os eixos coordenados. Quadriculado Este item de menu permite-lhe exibir ou esconder o quadriculado na Zona Gráfica. Nota: Pode usar o diálogo de propriedades para a Zona Gráfica para personalizar o quadriculado. Zona algébrica Atalho de teclado: Ctrl-Shift-A (MacOS: Cmd-Shift-A) Este item de menu permite-lhe exibir ou esconder a Zona Algébrica. Folha de cálculo Atalho de teclado: Ctrl-Shift-S (MacOS: Cmd-Shift-S) Este item de menu permite-lhe exibir ou esconder a Folha de Cálculo. Objectos auxiliares Este item de menu permite-lhe exibir ou esconder os Objectos Auxiliares na Zona Algébrica. Divisão horizontal Este item de menu permite-lhe dividir a janela do GeoGebra quer verticalmente quer horizontalmente em duas zonas diferentes. 73
  • 74. Barra de comandos Este item de menu permite-lhe exibir ou esconder a Barra de Comandos situada na base da janela do GeoGebra. Lista de comandos Este item de menu permite-lhe exibir ou esconder a lista de comandos situada no lado direito da Barra de Comandos que se encontra na base da janela doGeoGebra. Protocolo de construção… Este item de menu permite-lhe abrir o Protocolo de Construção numa nova janela. Barra de navegação para passos da construção Este item de menu permite-lhe exibir ou esconder a Barra de Navegação situada na base da Zona Gráfica. Actualizar Atalho de teclado: Ctrl-F (MacOS: Cmd-F) Este item de menu permite-lhe refrescar todas as vistas no ecran. Nota: Pode usar este item para apagar qualquer traço (ou rasto) de pontos ou de rectas na Zona Gráfica. Recalcular todos os objectos Atalho de teclado: F9 Este item de menu recalcula todos os objectos usados no seu ficheiro GeoGebra. Nota: Pode usar este item de menu para criar novos números aleatórios, se os estiver a usar no seu ficheiro GeoGebra. 4.4. Menu Opções As opções globais podem ser alteradas no item de menu Opções. Nota: Para alterar as configurações de um objecto, por favor use o Menu de Contexto e o Diálogo de Popriedades. Captura de pontos Este item de menu decide se a Captura de pontos está ‘Activada’ ou ‘Desactivada’ ou se os pontos são capturados pelo quadriculado ‘Activada (Quadriculado)’. Nota: A opção ‘Automático’ torna a captura de pontos ‘Activada’ quando o quadriculado ou o sistema de eixos coordenados são exibidos e torna essa captura ‘Desactivada’ se eles estão escondidos. 74
  • 75. Unidade angular Este item de menu determina se a unidade de medida angular mostrada é o ‘Grau’ (°) ou ‘Radiano’ (rad). Nota: Pode inserir um ângulo de ambas as maneiras (grau ou radiano), embora o GeoGebra use o radiano para efectuar os cálculos internos. Arredondar Este item de menu permite-lhe especificar o número de casas decimais ou de algarismos significativos visíveis no ecran. Continuidade O GeoGebra permite-lhe que a continuidade heurística seja ‘Activada’ ou ‘Desactivada’ no menu Opções. O software usa uma aproximação heuristica para que, no movimento, os pontos de intersecção (e.g., recta-cónica, cónica-cónica) se mantenham próximos das suas anteriores posições, evitando saltos (descontinuidades). Nota: Por defeito, esta eurística está desactivada. Para as ferramentas criadas pelo utilizador a continuidade está sempre desactivada. Estilo do ponto Este item de menu determina se, por defeito, os pontos serão mostrados na forma de ● ponto, ○ circunferência ou x cruz. Tamanho da caixa para exibir/esconder objectos Este item de menu permite-lhe especificar o tamanho das caixas para exibir/esconder objectos, podendo escolher entre ‘Regular’ ou ‘Grande’. Nota: Se estiver a usar o GeoGebra como ferramenta de apresentação ou estiver a trabalhar num num quadro branco interactivo, a escolha do tamanho ‘Grande’ facilita o uso destas caixas. Estilo do ângulo recto Determina se os ângulos rectos são simbolizados por um quadrado □, um ponto • ou sem estilo, tal como os outros ângulos. Coordenadas Este item de menu determina se as coordenadas dos pontos são representadas na forma ‘A = (x, y)’ ou ‘A(x | y)’. Rotular Pode especificar se os rótulos dos objectos que venham a ser criados devem ser mostrados ou não. Pode escolher entre as especificações ‘Todos os objectos novos’, ‘Nenhum objecto novo’, ‘Apenas pontos novos’ e ‘Automático’. 75
  • 76. Nota: A escolha ‘Automático’ mostra os rótulos dos objectos na Zona Algébrica, se esta for exibida. Tamanho da fonte Este item de menu determina o tamanho da fonte para rótulos e para textos (pt). Nota: Se estiver a usar o GeoGebra como ferramenta de apreseentação, o incremento do tamanho da fonte torna mais fácil para a sua audiência ler os textos, rótulos e expressões algébricas que porventura esteja a utilizar. Idioma O GeoGebra está traduzido em muitas línguas e permite-lhe alterar o idioma em uso. Isto afecta todas as expressões que inserir (incluindo o nome dos comandos), e todas a expressões visíveis (e.g., nomes dos menus, definições dos objectos). Nota: Não importa o idioma seleccionado, o ícone globo leva-o de volta ao menu de idiomas. A designação dos idiomas é sempre mostrada em Inglês. Zona gráfica … Este item de menu abre um diálogo onde as propriedades da Zona Gráfica (e.g. eixos coordenados, quadriculado, cor de fundo) podem ser especificadas. Nota: Também pode abrir este diálogo clicando com o botão direito do rato (MacOS: Ctrl-click) no fundo da Zona Gráfica. Gravar as configurações actuais Se, no menu Opções, escolher Gravar as configurações actuais, o GeoGebra recordar-se-á das suas configurações preferidas (e.g., especificações referentes ao menu Opções, à Barra de Ferramentas ou à Zona Gráfica). Restaurar as configurações padrão Pode restaurar as configurações padrão do GeoGebra usando este item de menu. 4.5. Menu Ferramentas Criar nova ferramenta … Com base numa construção existente, pode criar as suas próprias ferramentas no GeoGebra. Depois de preparar a construção da sua ferramenta, escolha Criar nova ferramenta no menu Ferramentas. No diálogo que aparece, pode especificar os objectos iniciais e os objectos finais da sua ferramenta; pode também escolher o nome da ferramenta e do respectivo comando; pode ainda escolher o ícone que aparecerá na barra de ferramentas e descrever a ajuda para o utilizador da ferramenta. Nota: A sua ferramenta pode ser usada com o rato ou como comando. Todas as ferramentas são automaticamente gravadas no seu ficheiro de construção ‘GGB’. 76
  • 77. Gerir as ferramentas … Usando o menu Gerir as ferramentas (menu Ferramentas) pode apagar uma ferramenta ou modificar o seu nome e o seu ícone. Também pode gravar as ferramentas da sua autoria para um Ficheiro de Ferramentas GeoGebra (‘GGT’). Este ficheiro pode ser usado mais tarde (menu Ficheiro, Abrir) para abrir as suas ferramentas numa outra construção. Nota: Abrindo um ficheiro ‘GGT’ não altera a sua construção corrente, mas se abrir um ficheiro ‘GGB’ isso pode acontecer. Personalizar a barra de ferramentas … Pode personalizar a barra de ferramentas seleccionando o item Personalizar a barra de ferramentas no menu Ferramentas. Isto é especialmente útil para criar páginas web interactivas quando quer restringir as ferramentas visíveis na barra de ferramentas. Nota: A configuração corrente da barra de ferramentas é gravada com a sua construção no respectivo ficheiro ‘GGB’. 4.6. Menu Janela Nova janela Atalho de teclado: Ctrl-N (MacOS: Cmd-N) Este item de menu abre uma nova janela GeoGebra que usa as configurações padrão da interface GeoGebra. Nota: Se alterar e gravar alguma destas configurações a nova janela GeoGebra será aberta usando as novas configurações. Lista das janelas GeoGebra abertas Se tiver mais que uma janela GeoGebra aberta, este item de menu permite-lhe alternar entre elas. Nota: Isto pode ser útil quando está a usar o GeoGebra como ferramenta de apresentação e precisa de ter vários ficheiros GeoGebra abertos ao mesmo tempo, alternando entre eles. 4.7. Menu Ajuda Ajuda Este item de menu dá-lhe acesso à versão html do documento Ajuda GeoGebra. Dependendo de como tenha instalado o GeoGebra no seu computador, pode necessitar de acesso Internet para obter o documento de ajuda: 77 Se tiver feito download a partir da página web e instalado o GeoGebra usando o ficheiro de instalação, a versão html de Ajuda GeoGebra é localmente gravada no seu computador.
  • 78. 78 Se usar o GeoGebraWebstart para instalar o GeoGebra no seu computador, necessita de ter acesso Internet para usar este documento de ajuda. Se não tiver acesso Internet, obterá uma mensagem de erro. Nota: Na página http://www.geogebra.org/help está disponível online a versão html do documento Ajuda GeoGebra e também uma versão em pdf desse documento. www.geogebra.org Se tiver acesso Internet, este item de menu abre a página GeoGebra no se browser (http://www.geogebra.org). GeoGebra Forum Se tiver acesso Internet, este item de menu abre o Forum de Utilizadores GeoGebra online no seu browser (http://www.geogebra.org/forum). Nota: Neste forum pode perguntar e responder sobre questões relativas ao GeoGebra. GeogebraWiki Se tiver acesso Internet, este item de menu abre a página GeoGebraWiki no seu browser (http://www.geogebra.org/wiki). Nota: A GeoGebraWiki fornece um conjunto de materiais educativos livres criados com GeoGebra por utilizadores de todo o mundo. Sobre / Licença Este item de menu abre uma janela que contém informações sobre as licenças do GeoGebra e nomeia as pessoas que suportam o projecto GeoGebra contribuindo de diversas maneiras (e.g., progração, tradução).
  • 79. 5. Recursos Especiais do GeoGebra 5.1. Animação 5.1.1. Animação Automática O GeoGebra permite animar um ou mais números e/ou ângulos ao mesmo tempo se eles forem mostrados como selectores na Zona Gráfica. Se quiser animar um número ou um ângulo no GeoGebra, deve clicar com o botão direito do rato (MacOS: Ctrl-clique) nele e seleccionar ‘Animar’ no separador ‘Básico’ do Menu de Contexto que aparece. Para deter a nimação, necessita de desmarcar ‘Animar’ no mesmo Menu de Contexto. Nota: Após ter animado um número ou um ângulo, aparece um botão no canto inferior esquerdo da Zona gráfica. Este botão permite parar ou continuar uma animação. No separador ‘Selector’ do Diálogo de Propriedades pode alterar o comportamento da animação. Pode controlar a ‘Velocidade’ da animação. Nota: A velocidade 1 significa que a animação leva cerca de 10 segundos a percorrer uma vez o intervalo de variação do selector. Pode também contolar o modo como o ciclo da animação é repetido: 79 <=> Alternado: O ciclo da animação alterna entre ‘Decrescente’ e ‘Crescente’. => Crescente: O valor do selector é sempre crescente. Após atingir o valor máximo do selector, ele salta para o valor mínimo e a sua animação continua. <= Decrescente: O valor do selector é sempre decrescente. Após atingir o valor mínimo do selector, ele salta para o valor máximo e a sua animação continua. Nota: Enquanto a animação automatica está activada, o GeoGebra continua inteiramente funcional. Isto permite-lhe fazer alterações na sua construção enquanto a animação está a decorrer. 5.1.2. Animação Manual Para alterar continuamente um número ou um ângulo de forma manual, seleccione a ferramenta Mover. Depois, clique no número ou no ângulo e pressione a tecla + ou a tecla – ou as teclas de movimento (setas). A manutenção da pressão sobre uma destas teclas permite-lhe produzir animações manuais.
  • 80. Exemplo: Se as coordenadas de um ponto dependerem de um parâmetro k como em P = (2 k, k), o ponto move-se ao longo de uma recta quando k varia continuamente. Nota: Pode ajustar o incremento do selector no separador ‘Selector’ do Diálogo de Popriedades desse objecto. Atalhos de Teclado: 80 • Shift + seta fornece o incremento de 0.1 unidades • Ctrl + seta fornece o incremento de 10 unidades • Alt + seta fornece o incremento de 100 unidades Nota: Um ponto numa recta também pode movido ao longo dessa recta usando as teclas + ou –. 5.2. Visibilidade Condicional Para além de simplesmente exibir ou esconder objectos, também pode fazer com que o seu estado de visibilidade dependa de uma certa condição. Por exemplo, pode gostar que um objecto apareça no ecran apenas depois de activar uma caixa para exibir/esconder objectos posicionada na Zona Gráfica ou se um selector adquirir um certo valor. Exibir ou Esconder Objectos Condicionalmente Pode utilizar a ferramenta Caixa para Exibir/Esconder objectos para criar uma caixa que controla a visibilidade de um ou mais objectos. Em alternativa, pode criar uma variável booleana (e.g., b = true) usando a Entrada de Comandos e torná-la visível como uma caixa de controlo na Zona Gráfica mudando o seu estado de visibilidade (e.g., use a ferramenta Exibir/Esconder objectos ou o Menu de Contexto). Para utilizar esta variável booleana como condição para a visibilidade de certos objectos, é necessário seguir os passos descritos abaixo. Alterar a Visibilidade dos Objectos No separador ‘Avançado’ do Diálogo de Popriedades, pode inserir uma condição para a visibilidade de um ojecto. Nota: Para criar declarações condicionais, pode seleccionar os operadores lógicos (e.g., ≠, ≥, ˄, ǁ) que estão no menu à direita do campo onde insere as condições. Exemplos: Se a for um selector, então a declaração a < 2 significa que o objecto correspondente só sera mostrado na Zona Gráfica quando o valor do selector for menor que 2. Se b for uma variável booleana, pode usar b como uma declaração condicional. O objeto correspondente será exibido se o valor de b for true e será escondido se o valor de b for false.
  • 81. 81 Se g e h forem duas rectas e quiser que um texto seja mostrado se elas forem paralelas, então pode usar g ǁ h como declaração condicional para exibir/esconder esse texto. 5.3. Ferramentas Criadas pelo Utilizador O GeoGebra permite-lhe criar as suas próprias ferrramentas baseadas numa construção existente. Uma vez criadas, pode servir-se delas com o rato ou então inserir o comando correspondente na Entrada de Comandos. Todas as ferramentas são automaticamente gravadas no seu ficheiro GeoGebra. Criar uma ferramenta Primeiro, crie a construção que a sua ferramenta deve ser capaz de recriar mais tarde. No menu Ferramentas, clique em ‘Criar nova ferramenta’ para abrir a caixa de diálogo correspondente. Agora necessita de preencher os três separadores ‘Objectos finais’, ‘Objectos iniciais’, e ‘Nome e Ícone’ para criar a sua ferramenta personalizada. Exemplo: Criar uma ferramenta que lhe permitirá construer um quadrado sempre que clicar em dois pontos existents ou em dois lugares vazios na Zona Gráfica. • Construa um quadrado começando com dois pontos A e B. Construa os outros dois vértices e ligue-os com a ferramenta Polígono para obter o quadrado polígono1. • Seleccione ‘Criar nova ferramenta’ no menu Ferramentas. • Especifique os ‘Objectos finais’: Clique no quadrado ou seleccione-o na lista de objectos. Especifique também os lados do quadrado como Objectos finais. • Especifique os ‘Objectos iniciais’: O GeoGebra especifica automaticamente os Objectos iniciais para si (neste exemplo: pontos A e B). Pode também modificar a selecção dos objectos iniciais usando a lista dos objectos ou clicando sobre eles na própria construção. • Especifique o ‘Nome da ferramenta’ e o ‘Nome do comando’ para a sua nova ferramenta. Nota: O nome da ferramenta será visível na Barra de Ferramentas do GeoGebra, ao passo que o nome do comando será visível na Lista de Comandos e poderá ser usado na Entrada de Comandos. • Pode também inserir uma descrição da sua ferramenta para ser mostrada como Ajuda da Ferramenta à direita da Barra de Ferramentas. • Também pode escolher no seu computador uma imagem que sirva de ícone para identificar a ferramenta. O GeoGebra redimensiona automaticamente essa imagem de modo a que ela se ajuste ao tamanho do botão na barra de ferramentas. Gravar uma ferramenta Pode gravar as ferramentas que criou para que possa usá-las noutras construções GeoGebra. No menu Ferramentas, seleccione ‘Gerir ferramentas’. Então, seleccione
  • 82. na lista que aparece a ferramenta que quer gravar. Clique no botão ‘Gravar como…’ para gravar a ferramenta no seu computador. Nota: As ferramentas criadas pelo utilizador são gravadas como ficheiros de extensão ‘.ggt’ ao passo que os habituais ficheiros GeoGebra usam a extensão ‘.ggb’. Aceder a uma ferramenta Se abrir uma nova interface GeoGebra usando o item ‘Novo’ no menu Ficheiro, depois de criar uma ferramenta, essa ferramenta fará parte da barra de ferramentas do GeoGebra. Mas se abrir uma nova janela do GeoGebra (item ‘Nova Janela’ no menu Ficheiro) ou abrir o GeoGebra num outro dia, a sua ferramenta já não fará parte da barra de ferramentas. Existem diferentes maneiras de garantir que as ferramentas criadas pelo utilizador são mostradas na barra de ferramentas de uma nova janela do GeoGebra: 82 Após ter criado uma nova ferramenta pode gravar as novas configurações usando o item ‘Gravar as configurações actuais’ no menu Opções. A partir deste momento a sua ferramenta personalizada fará parte da barra de ferramentas do GeoGebra. Nota: Pode remover a ferramenta personalizada da barra de ferramentas no item ‘Personalizar a barra de ferramentas’ do menu Ferramentas: seleccione a ferramenta na lista de ferramentas apresentada no lado esquerdo da janela de diálogo que aparece e clique no botão ‘Remover >’. Não se esqueça de gravar as suas configurações depois desta remoção. Depois de gravar uma ferramenta no seu computador (como ficheiro ‘.ggt’), pode importá-la para uma nova janela GeoGebra em qualquer altura. Basta seleccionar o item ‘Abrir’ do menu Ficheiro e abrir o ficheiro referente à sua ferramenta personalizada. Nota: Se abrir um ficheiro de extensão ‘.ggt’ no GeoGebra, isso não afecta a sua construção corrente. Apenas adiciona a nova ferramenta à barra de ferramentas corrente no GeoGebra. 5.4. Cores Dinâmicas No GeoGebra, pode alterar a cor dos objectos usando o separador ‘Cor’ do Diálogo de Propriedades. Porém, também pode fazer com que a cor de um objecto mude dinamicamente: Abra o Diálogo de Popriedades de um certo objecto cuja cor pretende alterar e clique no separador ‘Avançado’. Então, encontra uma secção chamada ‘Cores dinâmicas’ com três caixas de texto para as components da cor: ‘Vermelho’, ‘Verde’, and ‘Azul’. Nota: Em cada uma destas caixas pode inserir uma função de contradomínio [0, 1]. Exemplos: Crie três selectores a, b e c que variem no intervalo [0, 1]. Crie um polígono cuja cor deve ser influenciada pelos valores dos três selectores.
  • 83. 83 Abra o Diálogo de Popriedades para esse polígono e insira os nomes dos três selectores nas caixas de texto correspondents às três componentes da cor. Feche o Diálogo de Propriedades e altere os valores dos selectores para descobrir como cada componente da cor influencia a cor do polígono. Nota: Também pode animar os selectores com diferentes velocidades para ver a cor do polígono alterar-se automaticamente. 5.5. Interface JavaScript Nota: A interface JavaScript para o GeoGebra é interessante para utilizadores que tenham alguma experiência em editar HTML. Para reforçar as suas Folhas de Trabalho Dinâmicas e aumentar a sua interactividade, as apliquetas GeoGebra permitem uma Interface JavaScript. Por exemplo, pode criar um botão para gerar aleatoriamente novas configurações da sua construção. Por favor, veja o documento GeoGebra Applets and JavaScript (http://www.geogebra.org em ‘Help’) para exemplos e informação sobre a utilização de JavaScript com as apliquetas GeoGebra. 5.6. Atalhos de Teclado Tecla Descrição Ctrl (MacOS: Cmd) Ctrl-Shift (MacOS: Cmd-Shift) Alt (MacOS: Ctrl) A Seleccionar tudo Exibir / Esconder Zona agébrica alpha α B beta β C Copiar (só na folha de cálculo) Exportar ‘Cópia da zona gráfica para a área de transferência’ D delta δ E Properties Dialog Euler ℯ F Refresh views phi φ G gamma γ H I
  • 84. Tecla Descrição 84 Ctrl (MacOS: Cmd) Ctrl-Shift (MacOS: Cmd-Shift) Alt (MacOS: Ctrl) J K L Seleccionar o layer actual lambda λ M mu μ N Nova janela O Abrir Símbolo para grau ° P Previsão da impressão Exportar ‘Zona gráfica como imagem (png, eps)…’ pi π Q Select descendants Select ancestors R S Gravar Exibir / Esconder Folha de cálculo sigma σ T Exportar zona gráfica como PSTricks theta θ U V Colar ( folha de cálculo) W Fechar (só no MacOS) Exportar ‘Folha de trabalho dinâmica como página Web (html)’ X Y Refazer Z Desfazer 0 Expoente 0 1 Expoente 1 2 Expoente 2 3 Expoente 3 4 Expoente 4 5 Expoente 5 6 Expoente 6 7 Expoente 7 8 Expoente 8 9 Expoente 9
  • 85. Tecla Descrição 85 Ctrl (MacOS: Cmd) Ctrl-Shift (MacOS: Cmd-Shift) Alt (MacOS: Ctrl) - Diminui um número / ângulo seleccionado Reduzir menos-ou-mais + Aumenta um número / ângulo seleccionado Aumentar mais-ou-menos ± = Aumenta um número / ângulo seleccionado Aumentar diferente-de ≠ < menor-ou-igual ≤ , (vírgula) menor-ou-igual ≤ > maior-ou-igual ≥ . (ponto) maior-ou-igual ≥ * F1 Ajuda F2 Iniciar a edição do objecto seleccionado (Zona Algébrica) F3 Estabelece o foco na Entrada de Comandos F4 F9 Actualiza números aleatórios Enter Alterna o foco entre a Zona Gráfica e a Entrada de comandos Left-click
  • 86. Tecla Descrição 86 Ctrl (MacOS: Cmd) Ctrl-Shift (MacOS: Cmd-Shift) Alt (MacOS: Ctrl) Clique com o botão direito do rato (MacOS: Ctrl-clique) na Zona Gráfica Clique: Abre o Menu de Contexto (num objecto) Diálogo de Propriedades da Zona Gráfica (no fundo da Zona Gráfica) Clique e arraste: Modo de arrastamento rápido (no objecto) Rectângulo de Zoom (no fundo da Zona Gráfica) Roda do rato Aumentar / Diminuir Aumentar / Diminuir (Apliqueta) Delete Apaga os objectos seleccionados Bacspace Apaga os objectos seleccionados
  • 87. Tecla Descrição 87 Ctrl (MacOS: Cmd) Ctrl-Shift (MacOS: Cmd-Shift) Alt (MacOS: Ctrl) Seta ↑ Aumenta o número / ângulo seleccionado Move um ponto seleccionado para cima Vai para a expressão inserida previamente no histórico da Entrada de Comandos Vai uma linha para cima no Protocolo de Construção Multiplica a velocidade por 10 Multiplica a velocidade por 0.1 (pressionar apenas Shift) Multiplica a velocidade por 100 Seta → Aumenta o número / ângulo seleccionado Move um ponto seleccionado para a direita Vai uma linha para cima no Protocolo de Construção Multiplica a velocidade por 10 Multiplica a velocidade por 0.1 (pressionar apenas Shift) Multiplica a velocidade por 100 Seta ← Diminui o número / ângulo seleccionado Move um ponto seleccionado para a esquerda Vai uma linha para baixo no Protocolo de Construção Multiplica a velocidade por 10 Multiplica a velocidade por 0.1 (pressionar apenas Shift) Multiplica a velocidade por 100
  • 88. Tecla Descrição 88 Ctrl (MacOS: Cmd) Ctrl-Shift (MacOS: Cmd-Shift) Alt (MacOS: Ctrl) Down arrow ↓ Diminui o número / ângulo seleccionado Move um ponto seleccionado para baixo Vai para entrada mais recente no histórico da Entrada de Comandos Vai uma linha para baixo no Protocolo de Construção Multiplica a velocidade por 10 Multiplica a velocidade por 0.1 (pressionar apenas Shift) Multiplica a velocidade por 100 Home/PgUp Vai para o primeiro item do Protocolo de Construção End/PgDn Vai para o último item do Protocolo de Construção Atalhos de teclado adicionais: Alt-Shift (MacOS: Ctrl-Shift): Letras gregas maiúsculas Folha de cálculo: Ctrl-Alt-C copia os valores (não as fórmulas) Nota: O símbolo para grau ° (Alt-O, MacOS: Ctrl-O) e o símbolo para a constante pi π (Alt-P, MacOS: Ctrl-P) tamém podem ser usados na janela de diálogo de um selector para o intervalo (min, max) e para o incremento. 5.7. Rótulos e Legendas Exibir e Esconder rótulos Pode exibir ou esconder os rótulos dos objectos na Zona Gráfica de três maneiras diferentes: Seleccione a ferramenta Exibir/Esconder rótulo e clique no objecto cujo rótulo deseja exibir ou esconder. Abra o Menu de Contexto para o objecto desejado e seleccione ‘Exibir rótulo’.
  • 89. 89 Abra o Diálogo de Popriedades para o objecto desejado e marque ou desmarque a caixa ‘Exibir rótulo’ no separador ‘Básico’. Nome e Valor No GeoGebra, cada objecto tem um único nome que pode ser usado para o rotular na Zona Gráfica. Além disso, um objecto também pode ser rotulado usando o seu valor ou o seu nome e valor conjuntamente. Pode escolher o modo de rotulagem no separador ‘Básico do Diálogo de Popriedades, seleccionando a correspondente opção ‘Nome’, ‘Valor’ ou ‘Nome e Valor’ na lista situada à direita da caixa ‘Exibir rótulo’. Nota: O valor de um ponto são as suas coordenadas e o valor de uma função é a sua expressão algébrica. Legenda Por vezes, poderá desejar atribuir o mesmo rótulo a vários objectos. Por exemplo, atribuir o rótulo ‘a’ aos quatro lados de um quadrado. Neste caso, o GeoGebra oferece legendas para todos os objectos, adicionalmente às três opções acima mencionadas. Pode especificar a legenda de um objecto no separador ‘Básico’ do Diálogo de Popriedades inserindo a legenda desejada no campo de texto ‘Legenda’. Depois, pode seleccionar a opção ‘Legenda’ na lista situada à direita da caixa ‘Exibir rótulo’. 5.8. Layers No GeoGebra, os layers (camadas) são usados para determinar qual é o objecto que deve ser seleccionado ou arrastado quando o utilizador clica sobre vários objectos. Por defeito, todos os objectos são desenhados no layer 0, que é basicamente o layer ‘de fundo’ da Zona Gráfica. Estão disponíveis 10 layers (números de 0 a 9) e os layers com números mais altos são desenhados em cima dos layers com números mais baixos. Usando o separador ‘Avançado’ do Diálogo de Popriedades, pode alterar o layer de um certo objecto (layers disponíveis de 0 a 9). Uma vez que altere o número do layer de pelo menos um objecto para um número diferente de 0 (e.g., layer 3), todos os novos objectos serão desenhados no layer com maior número que exista na construção. Nota: Depois de selecionar um objecto, pode seleccionar todos os objectos no mesmo layer no item ‘Seleccionar o layer actual’ (atalho de teclado: Ctrl-L) do menu Editar. Este item de menu só estará disponível se todos os objectos seleccionados estiverem no mesmo layer. Outras utilizações dos layers: Na exportação em formato SVG, os objectos são agrupados por layer.
  • 90. 90 Os layers podem ser controlados usando a Interface Javascript para apliquetas GeoGebra. 5.9. Redefinir A redefinição de objectos é uma ferramenta muito versátil para alterar a construção. Por favor, note que a redefinição de objectos pode também alterar a ordem dos passos da construção no Protocolo de Construção. No GeoGebra, um objecto pode ser redefinido de diferentes maneiras: • Seleccione a ferramenta Mover e faça um duplo clique sobre qualquer objecto na Zona Algébrica. o Para um objecto livre abre-se um campo de edição que lhe permite alterar directamente a respectiva representação algébrica. Bata a tecla Enter para aplicar as alterações que efectuadas. o Para um objecto dependente abre-se o diálogo Redefinir que lhe permite redefini-lo. • Seleccione a ferramenta Mover e faça um duplo clique sobre qualquer objecto na Zona Algébrica. Isto abre o diálogo Redefinir que lhe permite redefini-lo. • Alterar qualquer objecto inserindo o seu nome e uma nova definição na Entrada de Comandos. Abra o Diálogo de Popriedades e altere a definição de qualquer objecto mo separador ‘Básico’. Nota: Objectos fixos não podem ser redefinidos. Se quiser redefinir um objecto fixo tem que o libertar primeiro usando o Diálogo de Propriedades. Exemplos: Para colocar um ponto livre A numa recta h, necessita de abrir a janela de diálogo Redefinir para o ponto A, inserir Ponto[h] no campo de texto que aparece e depois clicar em ‘OK’. Para remover o ponto desta recta e torná-lo livre novamente, necessita de redefinir as suas coordenadas para valores livres, por exemplo (1, 2). Um outro exemplo é a conversão de uma recta h passando por dois pontos A e B num segmento. Abra o diálogo Redefinir para a recta h e insira Segmento[A, B] no campo de texto que aparece. Isto também funciona em sentido contrário, isto é, do segmento para a recta. 5.10. Traço e Locus Os objectos podem deixar um traço (ou rasto) na Zona Gráfica quando são movidos. Use o Menu de Contexto para escolher ‘Traço activado’. Então, modifique a sua construção de modo que o objecto cujo traço foi activado mude de posição e deixe um rasto.
  • 91. Nota: Pode desactivar o traço de um objecto desmarcando ‘Traço activado’ no Menu de Contexto. O item de menu ‘Actualizar’ no menu Exibir limpa todos os traços. Também pode deixar o GeoGebra criar automaticamente o lugar geométrico (locus) de um ponto usando a ferramenta Locus com o rato ou inserido o comando Locus na Entrada de Comandos. Nota: O ponto cujo locus gostaria de criar depende do movimento de um outro ponto ao longo de uma linha (e.g., recta, segmento, circunferência, gráfico de função). Exemplo: 91 Crie um segmento s entre os pontos A = (-1, -1) e B = (1, -1). Colocando um ponto C no segmento s, o seu movimento fica restrito a s. Crie um ponto P que depende do ponto C (e.g., P = (x(C), x(C)^2)). Use a ferramenta ou o comando Locus para criar o lugar geométrico do ponto P que depende do ponto C: Usando a ferramenta Locus: Clique primeiro no ponto P e depois no ponto C. Usando o comando Locus: Insira Locus[P, C] na Entrada de Comandos e bata a tecla Enter. Nota: O locus criado neste exemplo é o gráfico de uma parábola no intervalo [-1, 1].
  • 92. Índice A Abcissa .......................................................................... 36 Abrir, Menu ................................................................... 69 Activar traço ................................................................. 10 Actualizar, Menu ........................................................... 74 Adição ........................................................................... 36 Ajuda da Ferramenta ...................................................... 6 Ajuda para a síntaxe dos comandos ............................... 8 Ajuda para comandos ..................................................... 8 Ajuda para entrada de comandos ................................... 8 Ajuda, Barra de Ferramentas .......................................... 6 Ajuda, Entrada de Comandos ................................... 8, 32 Ajuda, Menu ........................................................... 77, 78 Ajuda, Síntaxe do comando ............................................ 8 Aleatório, Comando ...................................................... 45 AleatórioBinomial, Comando ........................................ 45 AleatórioInteiro, Comando ........................................... 45 AleatórioNormal, Comando .......................................... 45 AleatórioPoisson, Comando.......................................... 45 Algarismos significativos, Arredondar .......................... 75 Ampliar, Ferramenta ..................................................... 18 Ângulo ........................................................................... 33 Ângulo com amplitude fixa, Ferramenta ...................... 24 Ângulo reentrante ........................................................ 34 Ângulo, Comando ......................................................... 46 Ângulo, Ferramenta ...................................................... 24 Ângulo, Limites ............................................................. 34 Ângulo, Reentrante ....................................................... 34 Ângulos ......................................................................... 24 Ângulos, Comandos ...................................................... 46 Ângulos, Polígono ......................................................... 46 Animação ...................................................................... 79 Animação, Automática.................................................. 79 Animação, Ciclo ............................................................ 79 Animação, Manual ........................................................ 79 Animação, Pausa ........................................................... 79 Animação, Repetir ........................................................ 79 Animação, Teclas de movimento .................................. 79 Animação, Teclas Mais / Menos ................................... 79 Animação, Velocidade .................................................. 79 Animar .................................................................... 10, 79 Apagar ........................................................................... 10 Apagar traço ................................................................. 74 Apagar, Comando ......................................................... 41 Apagar, Ferramenta ...................................................... 17 Apagar, Menu ............................................................... 72 Arco circular dados o centro e dois pontos, Ferramenta ................................................................................. 23 Arco circuncircular dados três pontos, Ferramenta ...... 23 Arco, Comando ............................................................. 54 ArcoCircular, Comando ................................................. 55 ArcoCircuncircular, Comando ....................................... 55 92 Arcos ............................................................................. 23 Arcos, Comandos .......................................................... 54 Área entre os gráficos de duas funções ........................ 43 Área, Comando ............................................................. 42 Área, Ferramenta .......................................................... 24 Área, Integral definido ............................................ 42, 43 Arredondar ................................................................... 37 Arredondar, Algarismos significativos ........................... 75 Arredondar, Casas decimais .......................................... 75 Arredondar, Opções ...................................................... 75 Assímptota, Comando ................................................... 50 Atalhos de Teclado ........................................................ 83 B Baricentro, Comando .................................................... 46 Barra de comandos, Menu ............................................ 74 Barra de ferramentas, Personalizar .............................. 77 Barra de Ferramentas, Personalizar ................................ 9 Barra de Ferramentas, Restaurar padrão ..................... 10 Barra de Navegação ...................................................... 11 Barra de navegação para passos da construção, Menu 74 Bissectriz, Comando ...................................................... 49 Bissectriz, Ferramenta .................................................. 20 Bloco, Comando ............................................................ 68 Booleano ....................................................................... 25 Booleano, Exibir variável ............................................... 37 Booleano, Operações .................................................... 37 Booleano, Variáveis ...................................................... 37 Booleanos, Comandos .................................................. 41 C Caixa para exibir/esconder objectos, Ferramenta ........ 25 CaixaDeBigodes, Comando ........................................... 64 Canto, Comando ........................................................... 46 Captura de pontos, Opções .......................................... 74 Cartesianas, Coordenadas ............................................ 34 Casas decimais, Arredondar .......................................... 75 Centro, Comando .......................................................... 46 Circunferência dados o centro e o raio, Ferramenta .... 22 Circunferência dados o centro e um ponto, Ferramenta ................................................................................. 22 Circunferência definida por três pontos, Ferramenta ... 22 Circunferência, Comando ............................................. 51 CircunferênciaOsculadora, Comando ..................... 52, 54 CoeficienteBinomial, Comando .................................... 42 CoeficienteDeCorrelação, Comando ............................. 66 Coluna, Comando .......................................................... 68 Comando, Autocompletamento ................................... 41 Comandos ..................................................................... 40 Comandos de Média, Comandos .................................. 66 Comandos de Quartil, Comandos ................................. 67 Comandos de Regressão, Comandos ............................ 65
  • 93. Comandos Gerais, Comandos ....................................... 41 Comandos Sigma, Comandos ........................................ 67 Compasso, Ferramenta ................................................. 22 Comprimento, Comando .................................. 44, 54, 60 ComprimentoDoEixoPrincipal, Comando ..................... 43 ComprimentoDoEixoSecundário, Comando ................. 43 ComprimentoDoSemiEixoMaior, Comando .................. 43 ComprimentoDoSemiEixoMenor, Comando ................ 43 Concatenar, Comando .................................................. 59 Configurações, Gravar .................................................. 13 Configurações, Modificar .............................................. 13 Configurações, Restaurar padrão ................................. 13 Cónica passando por cinco pontos, Ferramenta ........... 22 Cónica, Comando .......................................................... 51 Constante de Euler ....................................................... 33 Constante Pi .................................................................. 33 ContarSe, Comando ...................................................... 58 Continuidade,Opções ................................................... 75 Coordenadas ................................................................. 34 Coordenadas, Abcissa ................................................... 36 Coordenadas, Cartesianas ............................................ 34 Coordenadas, Ordenada ............................................... 36 Coordenadas, Polares ................................................... 34 Cópia da zona gráfica para a área de transferência , Menu ....................................................................... 72 Cópia da Zona Gráfica para a área de transferência, Exportar ................................................................... 14 Copiar estilo visual, Ferramenta ................................... 17 Copiar para a entrada de comandos ............................. 10 Cor ................................................................................ 11 Cor, Propriedades ......................................................... 10 Cores Dinâmicas............................................................ 82 Cores, Dinâmicas........................................................... 82 Co‐seno ......................................................................... 36 Covariância, Comando .................................................. 65 Criar nova ferramenta, Opções ..................................... 76 Curva, Comando ........................................................... 53 Curvas paramétricas, Comandos .................................. 54 Curvas Paramétricas, Comandos .................................. 53 Curvas, Comandos ........................................................ 54 Curvatura, Comando ............................................... 43, 54 D Declive, Ferramenta ...................................................... 25 Definição na Entrada de comandos .............................. 32 Definição, Objecto ........................................................ 32 Definido, Comando ....................................................... 42 Derivada de uma curva, Comando ................................ 54 Derivada, Comando ................................................ 52, 54 Desfazer, Menu ............................................................. 71 DesvioPadrão, Comando ............................................... 67 Determinante, Comando .............................................. 68 DiagramaDeBarras, Comando ....................................... 63 Diálogo de Propriedades ............................................... 10 Diálogo de Propriedades da Zona Gráfica ....................... 9 Diálogo de propriedades, Menu ................................... 73 Diametral, Comando ..................................................... 50 Direcção, Comando ....................................................... 48 Directriz, Comando ....................................................... 50 Distância, Comando ...................................................... 43 Distância, comprimento ou perímetro, Ferramenta ..... 24 Divisão .......................................................................... 36 93 Divisão horizontal, Menu .............................................. 73 E Editar, Menu ................................................................. 71 EixoMaior, Comando .................................................... 50 EixoMenor, Comando ................................................... 50 EixoPrincipal, Comando ................................................ 50 Eixos .............................................................................. 34 Eixos coordenados, Exibir / Esconder ............................. 9 Eixos coordenados, Menu ............................................. 73 Eixos coordenados, Personalizar ..................................... 9 Eixos, Comando ............................................................. 50 Eixos, EixoX e EixoY ....................................................... 35 Eixos, Exibir / Esconder ................................................... 9 Eixos, Menu................................................................... 73 Eixos, Personalizar .......................................................... 9 EixoSecundário, Comando ............................................ 50 EixoX ............................................................................. 35 EixoY ............................................................................. 35 Elemento, Comando ..................................................... 58 Elipse, Comando ........................................................... 51 Elipse, Ferramenta ........................................................ 22 Entrada de Comandos ................................................... 33 Entrada de Comandos, Mostrar entradas ..................... 32 Entrada Directa ............................................................. 33 Enviar traço para a folha de cálculo, Traço ................... 10 Espessura da linha, Espessura ....................................... 11 Estatística, Comandos ................................................... 63 Estilo da linha, Propriedades......................................... 10 Estilo das coordenadas, Opções.................................... 75 Estilo do ângulo recto, Opções ..................................... 75 Estilo do ponto, Opções ................................................ 75 Estilo visual, Copiar ....................................................... 17 ExcentricidadeLinear, Comando ................................... 44 Exibir / Esconder Objectos .............................................. 8 Exibir, Menu .................................................................. 73 Exibir/Esconder objectos, Ferramenta .......................... 18 Exibir/Esconder rótulo, Ferramenta ............................. 18 Expandir, Comando ....................................................... 52 Expandir, Polinómio ...................................................... 53 Exponenciação .............................................................. 36 Exportar cópia da zona gráfica para a área de transferência, Menu ................................................ 72 Exportar Cópia da Zona Gráfica para a área de transferência, Menu ................................................ 71 Exportar folha de trabalho dinâmico como página web, Menu ....................................................................... 70 Exportar folha de trabalho dinâmico, Menu ................. 70 Exportar imagem, Menu ............................................... 70 Exportar PGF/TikZ, Menu .............................................. 71 Exportar PSTricks, Menu ............................................... 71 Exportar zona gráfica como imagem, Menu ................. 70 Exportar zona gráfica como PGF/TikZ, Menu ................ 71 Exportar zona gráfica como PSTricks, Menu ................. 71 Exportar, Cópia da Zona Gráfica para a área de transferência............................................................ 14 Exportar, Folha de Trabalho Dinâmica .......................... 15 Exportar, Folha de Trabalho Interactiva........................ 15 Exportar, Menu ............................................................. 70 Exportar, Página Web Interactiva ................................. 15 Exportar, Protocolo de construção como página web .. 12 Exportar, Zona Gráfica .................................................. 14
  • 94. Extremo, Comando ....................................................... 47 F Factorial ........................................................................ 36 Factorizar, Comando ..................................................... 52 Fechar, Menu ................................................................ 71 Ferramentas Criadas pelo Utilizador....................... 76, 81 Ferramentas de Construção .......................................... 16 Ferramentas Gerais, Ferramentas ................................ 17 Ferramentas, Criadas pelo Utilizador ...................... 76, 81 Ferramentas, Ferramentas Gerais ................................ 17 Ferramentas, Gerir ........................................................ 77 Ferramentas, Menu ...................................................... 76 Ficheiro, Menu .............................................................. 69 Focos, Comando ........................................................... 47 Folha de Cálculo .............................................................. 8 Folha de Cálculo, Comandos ......................................... 68 Folha de cálculo, Menu ................................................. 73 Folha de Trabalho Dinâmica, Exportar .......................... 15 Folha de Trabalho Interactiva, Exportar ....................... 15 Formatar, Copiar estilo visual, Ferramenta .................. 17 Fórmulas, LaTex ...................................................... 28, 56 FracçãoEmTexto, Comando .......................................... 56 Função exponential ...................................................... 36 Função Gamma ............................................................. 36 Função, Comando ......................................................... 53 Função, Exponencial ..................................................... 36 Função, Nome ............................................................... 31 Função, Restrita a um intervalo .................................... 36 Funções ......................................................................... 35 Funções Condicionais, Comando .................................. 52 Funções pré‐definidas ................................................... 36 Funções trigonométricas .............................................. 35 Funções trigonométricas, Arco‐co‐seno ....................... 36 Funções trigonométricas, Arco‐co‐seno hiperbólico .... 36 Funções trigonométricas, Arco‐seno ............................ 36 Funções trigonométricas, Arco‐seno hiperbólico ......... 36 Funções trigonométricas, Arco‐tangente ..................... 36 Funções trigonométricas, Arco‐tangente hiperbólico .. 37 Funções trigonométricas, Co‐seno ............................... 36 Funções trigonométricas, Co‐seno hiperbólico ............ 36 Funções trigonométricas, Seno .................................... 36 Funções trigonométricas, Seno hiperbólico ................. 36 Funções trigonométricas, Tangente ............................. 36 Funções trigonométricas, Tangente hiperbólica........... 36 Funções, Comandos ...................................................... 52 G Gerir as ferramentas, Opções ....................................... 77 Gerir, Ferramentas ........................................................ 77 Graus em radianos, Converter ...................................... 33 Gravar as configurações actuais, Opções...................... 76 Gravar como, Menu ...................................................... 69 Gravar configurações .................................................... 13 Gravar para a folha de cálculo, Ferramenta ................. 17 Gravar, Menu ................................................................ 69 H Hipérbole, Comando ..................................................... 51 Hipérbole, Ferramenta ................................................. 23 94 Histograma, Comando .................................................. 65 Histórico da Entrada de Comandos ............................... 32 Homotetia de centro num ponto por um factor, Ferramenta .............................................................. 26 Homotetia, Comando.................................................... 62 I Idioma, Opções ............................................................. 76 Imagem ......................................................................... 28 Imagem de Fundo ......................................................... 29 Imagem, Canto .............................................................. 46 Imagem, Especificar cantos ........................................... 29 Imagem, Fundo ............................................................. 29 Imagem, Inserir ............................................................. 28 Imagem, Posição ........................................................... 29 Imagem, Propriedades .................................................. 29 Imagem, Transparência................................................. 30 Imprimir ........................................................................ 13 Imprimir, Protocolo de Construção ............................... 13 Imprimir, Zona Gráfica .................................................. 13 Incremento, Animação manual ..................................... 80 Índices ..................................................................... 31, 41 Inserir imagem, Ferramenta ......................................... 28 Inserir texto, Ferramenta .............................................. 27 Inserir, Comando .......................................................... 59 Inserir, Imagem, Ferramenta ........................................ 28 Inserir, Texto ................................................................. 27 Integral, Comando .................................................. 43, 53 Integral, Definido .......................................................... 43 Integral, Indefinido ....................................................... 53 Inteiro, Comando .......................................................... 42 Intersecção, Comando .................................................. 59 Intersectar duas linhas, Ferramenta ............................. 19 Intersectar, Comando ................................................... 47 Inversa, Comando ......................................................... 68 InversaNormal, Comando ............................................. 66 Inversão numa circunferência, Ferramenta .................. 26 Items de Menu .............................................................. 69 Iteração, Comando........................................................ 43 J Janela, Menu ................................................................. 77 JavaScript ...................................................................... 83 Juntar, Comando ........................................................... 58 L LaTex, Comando ............................................................ 56 LaTex, Fórmulas ...................................................... 28, 56 Layers ............................................................................ 89 Legenda, Rótulo ............................................................ 89 Legendas ....................................................................... 88 LetraParaUnicode, Comando ........................................ 56 Limites, Função restrita a um intervalo ........................ 36 Limites, Valor do ângulo ............................................... 34 Limites, Valor do número .............................................. 34 Linha, Comando ............................................................ 68 Lista de comandos .......................................................... 7 Lista de comandos, Menu ............................................. 74 ListaDeIteração, Comando ............................................ 59 Listas ............................................................................. 38
  • 95. Listas, Aplicar funções ................................................... 38 Listas, Aplicar operações aritméticas ............................ 38 Listas, Comandos .......................................................... 58 Listas, Comparar ........................................................... 38 Locus ....................................................................... 25, 90 Locus, Comando ............................................................ 58 Locus, Ferramenta ........................................................ 25 Logaritmo ...................................................................... 36 Lugares Geométricos .................................................... 25 Lugares Geométricos, Comandos ................................. 58 M Maior inteiro menor ou igual ........................................ 37 ManterSe, Comando ..................................................... 60 Matriz, Comandos ......................................................... 68 Matrizes ........................................................................ 39 Matrizes, Aplicar operações aritméticas ....................... 39 Máximo de uma lista, Comando ................................... 60 Máximo Divisor Comum, Comando .............................. 43 Máximo, Comando ....................................................... 44 MDC, Comando ............................................................. 43 Média, Comandos ......................................................... 66 Mediana, Comando ...................................................... 66 Mediatriz, Comando ..................................................... 50 Mediatriz, Ferramenta .................................................. 21 MédiaX, Comando ........................................................ 66 MédiaY, Comando ........................................................ 66 Menor inteiro maior ou igual ........................................ 37 Menu de Contexto ........................................................ 10 Mínimo de uma lista, Comando .................................... 60 Mínimo Múltiplo Comum, Comando ............................ 44 Mínimo, Comando ........................................................ 44 MMC, Comando ............................................................ 44 Moda, Comando ........................................................... 66 Modificar as Configurações .......................................... 13 Mover a folha de desenho, Ferramenta ....................... 17 Mover, Ferramenta ....................................................... 17 Movimentos .................................................................. 62 Multiplicação ................................................................ 36 N Nome da célula ............................................................... 8 Nome na Entrada de Comandos ................................... 32 Nome, Comando ........................................................... 56 Nome, Função ............................................................... 31 Nome, Objecto .............................................................. 32 Nome, Ponto ........................................................... 31, 34 Nome, Recta ........................................................... 31, 34 Nome, Secção cónica .............................................. 31, 35 Nome, Vector .......................................................... 31, 34 Nomear Objectos .......................................................... 31 NomeDaColuna, Comando ........................................... 68 Normal, Comando ......................................................... 66 Nova janela, Menu .................................................. 69, 77 Novo ponto, Ferramenta .............................................. 18 Novo, Menu .................................................................. 69 Número ......................................................................... 33 Número aleatório entre 0 e 1 ....................................... 36 Número, Limites ........................................................... 34 Números ....................................................................... 24 Números Complexos ..................................................... 40 95 Números, Comandos .................................................... 42 O Object auxiliar ................................................................. 7 Objecto auxiliar ............................................................... 8 Objecto dependente ....................................................... 7 Objecto livre .................................................................... 7 Objecto, Comando ........................................................ 56 Objecto, Definição ........................................................ 32 Objecto, Nome ........................................................ 31, 32 Objecto, Valor ............................................................... 32 Objectos auxiliares, Menu ............................................ 73 Objectos, Exibir / Esconder ............................................. 8 Objectos, Modificar ...................................................... 32 Opções, Captura de pontos .......................................... 74 Opções, Continuidade ................................................... 75 Opções, Criar nova ferramenta ..................................... 76 Opções, Estilo das coordenadas.................................... 75 Opções, Estilo do ângulo recto ..................................... 75 Opções, Estilo do ponto ................................................ 75 Opções, Gerir as ferramentas ....................................... 77 Opções, Gravar as configurações actuais ...................... 76 Opções, Idioma ............................................................. 76 Opções, Menu ............................................................... 74 Opções, Personalizar a barra de ferramentas ............... 77 Opções, Restaurar as configurações padrão ................. 76 Opções, Rotular ............................................................ 75 Opções, Tamanho da caixa para exibir/esconder objectos ................................................................... 75 Opções, Tamanho da fonte ........................................... 76 Opções, Unidade angular .............................................. 75 Opções, Zona gráfica ..................................................... 76 Opções,Arredondar ....................................................... 75 Operações aritméticas .................................................. 36 Operações com Listas ................................................... 38 Operações com matrizes .............................................. 39 Operações com números complexos ............................ 40 Ordenada ...................................................................... 36 Ordenar, Comando ....................................................... 61 P Página Web Interactiva, Exportar ................................. 15 Parábola, Comando ....................................................... 52 Parábola, Ferramenta ................................................... 23 Parâmetro, Comando .................................................... 45 Parênteses .................................................................... 36 ParteDaLista, Comando ................................................ 61 PassoDaConstrução, Comando ..................................... 41 PassoEixo, Comando ..................................................... 42 Pausa na animação ....................................................... 79 Perímetro, Comando............................................... 42, 45 Perpendicular, Comando .............................................. 50 Personalizar a barra de ferramentas ............................... 9 Personalizar a barra de ferramentas, Opções ............... 77 Personalizar a interface do utilizador ............................. 8 Personalizar a Zona Gráfica ............................................. 9 Polar, Comando ............................................................ 50 Polares, Coordenadas ................................................... 34 Polígono regula, Ferramenta ........................................ 20 Polígono regular, Ferramenta ....................................... 20 Polígono, Ângulos ......................................................... 46
  • 96. Polígono, Comando ....................................................... 49 Polígono, Ferramenta ................................................... 20 Polígonos ...................................................................... 20 Polígonos, Comandos ................................................... 49 Polinómio, Comando .................................................... 53 PolinómioDeTaylor, Comando ...................................... 53 Ponto ............................................................................ 34 Ponto de quebra ........................................................... 12 Ponto médio ou centro, Ferramenta ............................ 19 Ponto, Comando ........................................................... 47 Ponto, Nome ........................................................... 31, 34 PontoDeInflexão, Comando .......................................... 47 PontoMédio, Comando ................................................. 47 Pontos ........................................................................... 18 Pontos, Comandos ........................................................ 46 Preenchimento ............................................................. 11 Previsão da impressão, Menu ....................................... 70 Primeiros, Comando ..................................................... 59 Produto escalar ............................................................. 36 Produto, Comando ........................................................ 60 Propriedades ................................................................. 10 Protocolo ...................................................................... 11 Protocolo de Construção .............................................. 11 Protocolo de construção como página web, Exportar .. 12 Protocolo de Construção, Colunas .......................... 12, 13 Protocolo de construção, Exportar ............................... 12 Protocolo de Construção, Imprimir .............................. 13 Protocolo de Construção, Inserir novo passo ............... 12 Protocolo de construção, Menu ................................... 74 Protocolo de Construção, Mudar a ordem dos passos . 12 Protocolo de Construção, Ponto de quebra ................. 12 Protocolo, Exportar ....................................................... 12 Q Quadriculado, Exibir / Esconder ..................................... 9 Quadriculado, Menu ..................................................... 73 Quadriculado, Personalizar ............................................. 9 Quantidades estatísticas, Comandos ............................ 67 Quartil1, Comando ....................................................... 67 Quartil3, Comando ....................................................... 67 Quociente, Comando .................................................... 43 R Radianos em graus, Converter ...................................... 33 Raio, Comando .............................................................. 45 Raiz cúbica .................................................................... 36 Raiz quadrada ............................................................... 36 Raiz, Comando .............................................................. 48 Random numbers, New ................................................ 74 RazãoAfim, Comando ................................................... 42 RazãoDupla, Comando .................................................. 42 Recalcular todos os objectos, Menu ............................. 74 Recta ............................................................................. 34 Recta de regressão, Ferramenta ................................... 21 Recta definida por dois pontos, Ferramenta ................ 21 Recta paralela, Ferramenta .......................................... 21 Recta perpendicular, Ferramenta ................................. 21 Recta polar ou diametral, Ferramenta .......................... 21 Recta, Comando ............................................................ 50 Recta, Estilo .................................................................. 11 Recta, Nome ........................................................... 31, 34 96 Rectângulo de Exportação ............................................ 14 Rectângulo de Selecção ................................................ 16 Rectângulo de Zoom ....................................................... 9 Rectas............................................................................ 20 Rectas, Comandos ......................................................... 49 Redefinir ....................................................................... 90 Redefinir um objecto fixo ............................................. 90 Reduzir, Ferramenta ..................................................... 18 Refazer, Menu ............................................................... 71 Reflexão num ponto, Ferramenta ................................. 26 Reflexão numa recta, Ferramenta ................................ 26 Reflexão, Comando ....................................................... 62 RegressãoLinear, Comando .......................................... 65 Relação, Comando ........................................................ 41 Relação, Ferramenta ..................................................... 18 RemoverIndefinidos, Comando .................................... 60 Renomear ..................................................................... 10 Renomear, Opção rápida .............................................. 17 Restaurar a barra de ferramentas padrão .................... 10 Restaurar as configurações padrão ............................... 13 Restaurar as configurações padrão, Opções ................. 76 Resto da divisão inteira ................................................. 44 Resto, Comando ............................................................ 44 Reunião, Comando ........................................................ 61 Reverter, Comando ....................................................... 60 Rodar em torno de um ponto com uma amplitude, Ferramenta .............................................................. 26 Rodar em torno de um ponto, ferramenta ................... 18 Rotação, Comando ........................................................ 62 Rotular, Opções ............................................................ 75 Rótulo, Legenda ............................................................ 89 Rótulos .......................................................................... 88 Rótulos, Exibir e Esconder ............................................. 88 Rótulos, Nome e valor .................................................. 89 S Se, Comando ........................................................... 41, 52 Secção cónica, Nome .............................................. 31, 35 Secções Cónicas ...................................................... 22, 35 Secções Cónicas, Comandos ......................................... 51 Sector circular dados o centro e dois pontos, Ferramenta ................................................................................. 23 Sector circuncircular dados três pontos, Ferramenta ... 23 Sector, Comando .......................................................... 55 SectorCircular, Comando .............................................. 55 SectorCircuncircular, Comando .................................... 55 Sectores ........................................................................ 23 Sectores, Comandos ..................................................... 54 Segment definido por dois pontos, Ferramenta ........... 19 Segmento dados um ponto e um comprimento, Ferramenta .............................................................. 20 Segmento, Comando .................................................... 49 Segmentos .................................................................... 19 Segmentos, Comandos ................................................. 49 Seleccionar ascendentes, Menu ................................... 72 Seleccionar descendentes, Menu ................................. 72 Seleccionar o layer actual, Menu .................................. 72 Seleccionar tudo, Menu ................................................ 72 Selector ......................................................................... 34 Selector, Ferramenta .................................................... 24 Semicircunferência dados dois pontos, Ferramenta ..... 23 Semicircunferência, Comando ...................................... 55
  • 97. Semirecta definida por dois pontos, Ferramenta ......... 20 Semirecta, Comando ..................................................... 49 Semirectas .................................................................... 20 Semirectas, Comandos ................................................. 49 Separador decimal ........................................................ 33 Sequência, Comando .................................................... 60 Sequências, Comandos ................................................. 58 Sigma XY, Comando ...................................................... 67 Sigma YY, Comando ...................................................... 67 SigmaXX, Comando ....................................................... 67 Símbolo do grau ............................................................ 25 Símbolo Pi ..................................................................... 25 Simplificar, Comando .................................................... 53 Simplificar, Polinómio ................................................... 53 Sinal .............................................................................. 36 Sine ............................................................................... 36 Slope, Comando ............................................................ 45 Soma, Comando ............................................................ 61 SomaInferior, Comando ................................................ 44 SomaSuperior, Comando .............................................. 45 SomaTrapezoidal, Comando ......................................... 45 Subtracção .................................................................... 36 T Tabela, Comando .......................................................... 56 Tamanho ....................................................................... 11 Tamanho da caixa para exibir/esconder objectos, Opções ..................................................................... 75 Tamanho da fonte, Aumentar ...................................... 13 Tamanho da fonte, Opções ........................................... 76 Tangente ....................................................................... 36 Tangente, Comando................................................ 51, 54 Tangentes, Ferramenta ................................................. 21 Teclas de Movimento ................................................... 34 Teclas de movimento, Animação .................................. 79 Teclas Mais / Memos, Animação .................................. 79 Texto ............................................................................. 27 Texto Dinâmico ............................................................. 27 Texto Estático ............................................................... 27 Texto Misto ................................................................... 27 Texto, Comando ............................................................ 57 Texto, Comandos .......................................................... 56 Texto, Dinâmico ............................................................ 27 Texto, Etático ................................................................ 27 Texto, Misto .................................................................. 27 TextoParaUnicode, Comando ....................................... 57 Traço ............................................................................. 90 Traço, Apagar ................................................................ 74 97 Transformaçõe Geométricas ......................................... 26 Transformações ............................................................ 62 Transformações ............................................................ 26 Transformações Geométricas ....................................... 62 Translação por um vector, Ferramenta ........................ 26 Translação, Comando ................................................... 63 Transparência, Imagem ................................................ 30 Transposta, Comando ................................................... 68 U Últimos, Comando ........................................................ 60 UnicodeParaLetra, Comando ........................................ 58 UnicodeParaTexto, Comando ....................................... 58 Unidade angular, Opções .............................................. 75 V Valor absoluto ............................................................... 36 Valor na Entrada de Comandos .................................... 32 Valor, Objecto ............................................................... 32 Valores, Modificar ......................................................... 32 Variância, Comando ...................................................... 68 Vector ........................................................................... 34 Vector aplicado num ponto, Ferramenta ...................... 19 Vector definido por dois pontos, Ferramenta ............... 19 Vector, Comando .......................................................... 49 Vector, Nome .......................................................... 31, 34 VectorCurvatura, Comando .................................... 48, 54 Vectores ........................................................................ 19 Vectores, Comandos ..................................................... 48 VectorPerpendicular, Comando .................................... 48 VectorPerpendicularUnitário, Comando ....................... 48 VectorUnitário, Comando ............................................. 49 Vértice, Comando ......................................................... 48 Visibilidade Condicional ................................................ 80 Visibilidade, Condicional ............................................... 80 Visibilidade, Propriedades ............................................ 10 Z Zona algébrica ............................................................... 73 Zona Algébrica ................................................................ 7 Zona Gráfica .............................................................. 6, 16 Zona Gráfica, Exportar .................................................. 14 Zona Gráfica, Imprimir .................................................. 13 Zona gráfica, Opções ..................................................... 76 Zoom ............................................................................... 9