![bench Compara as operações em MATLAB realizadas pelo seu
computador em relação a outros .
CAPÍTULO 2
2.1 Gerando um vetor
A tabela 2.1 apresenta algumas maneiras de construir um vetor.
Tabela 2.1 Vetores
Vetor X Descrição
x = primeiro : último Cria um vetor x começando com o valor primeiro,
incrementando-se de 1 em 1 até atingir o valor
último, ou valor mais próximo possível de último.
x = primeiro : increm : último Cria um vetor x começando com o valor primeiro,
incrementando-se do valor de increm. até atingir o
valor último, ou valor mais próximo possível de
último..
x = linspace(primeiro, último, n) Cria um vetor x começando com o valor primeiro
e terminando no valor último, contendo n
elementos linearmente espaçados.
x = logspace(primeiro, último, n) Cria um vetor x começando com o valor 10primeiro
e
terminando no valor 10último
, contendo n elementos
logaritmicamente espaçados.
x = [1 2 3] Cria um vetor linha x com os elementos
especificados.
A seguir apresentam-se alguns exemplos:
a) >> x=1:5
x = 1 2 3 4 5
b) >> x=1:6.3
x = 1 2 3 4 5 6](https://image.slidesharecdn.com/tutorialmatlab1-190828030854/85/Tutorial-matlab-10-320.jpg)
![c) >> x=1:0.1:1.5
x = 1.0000 1.1000 1.2000 1.3000 1.4000 1.5000
d) >> z=linspace(1,2,6)
z = 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000
e) >> z=logspace(0,2,5)
z =1.0000 3.1623 10.0000 31.6228 100.0000
f) >> x=[1 2 3]
x = 1 2 3
No último exemplo foi criado um vetor linha, pode-se criar um vetor coluna
separando os elementos por ponto e vírgula ( ; ). Veja no exemplo a seguir:
>> x=[1;2;3]
x = 1
2
3
Esses vetores coluna podem também ser criados a partir dos comandos utilizados
anteriormente para criar os vetores linha, acompanhados do símbolo ( ' ), que é o
operador de transposição. Exemplo:
>> y=(1:0.5:2)'
y = 1.0000
1.5000
2.0000
2.2 Gerando uma Matriz
Os elementos de cada linha da matriz são separados por espaços em branco ou
vírgulas e as colunas separadas por ponto e vírgula, colocando-se colchetes em volta do
grupo de elementos que formam a matriz. Veja o exemplo:](https://image.slidesharecdn.com/tutorialmatlab1-190828030854/85/Tutorial-matlab-11-320.jpg)
![>> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
A = 1 2 3
4 5 6
7 8 9
As linhas das matrizes também podem ser definidas através dos comandos
utilizados anteriormente para se definir vetores linha. Por exemplo:
>> A=[1:3;linspace(4,6,3);7:1:9]
A = 1 2 3
4 5 6
7 8 9
2.3 Endereçamento de vetores e matrizes
No MATLAB, cada um dos elementos de um vetor pode ser acessado através de
seu índice que identifica cada uma das colunas. Por exemplo:
x(:) – refere-se a todos os elementos do vetor x.
x(m:n) – refere-se aos elementos m até n do vetor x.
Por exemplo:
x=[2 5 -8 7 6 -4 1]
y=x(2:5)
y = 5 -8 7 6
A tabela 2.2 apresenta como usar o endereçamento em matrizes.
Tabela 2.2 Endereçamento de matrizes
Comando Descrição
A(:,n) Refere-se aos elementos de todas as linhas da coluna n da matriz A.
A(n, :) Refere-se aos elementos de todas as colunas da linha n da matriz A.](https://image.slidesharecdn.com/tutorialmatlab1-190828030854/85/Tutorial-matlab-12-320.jpg)
![A(:, m:n) Refere-se aos elementos de todas as linhas entre as colunas m e n da
matriz A.
A(m:n, :) Refere-se aos elementos de todas as colunas entre as linhas m e n da
matriz A.
A(m:n, p:q) Refere-se aos elementos entre as linhas m e n e colunas p e q da
matriz A.
2.4 Operações com Vetores
Sejam os vetores a = [a1 a2 ... an], b = [b1 b2 ... bn] e c um escalar. A tabela 2.3
apresenta as operações básicas entre vetores. Tais operações só são possíveis quando
estes tiverem o mesmo tamanho e orientação (linha ou coluna).
Tabela 2.3 Operações com vetores
Operação Expressão Resultado
Adição escalar ca + [ ]cacaca n +++ ...21
Adição vetorial ba + [ ]bababa n +++ ...2211
Multiplicação escalar ca* [ ]cacaca n *...** 21
Multiplicação vetorial ba *. [ ]bababa n *...** 2211
Divisão ba /. [ ]bababa n /...// 2211
Potenciação ca.^ [ ]cacaca n ^...^^ 21
ac.^ [ ]nacacac ^...^^ 21
ba.^ [ ]nn bababa ^...^^ 2211
2.5 Operações com Matrizes
2.5.1 Transposta
O caractere apóstrofo, " ' " , indica a transposta de uma matriz. Veja o exemplo
abaixo:
>> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]](https://image.slidesharecdn.com/tutorialmatlab1-190828030854/85/Tutorial-matlab-13-320.jpg)
![F = 7.0000 16.0000 25.0000
16.0000 38.5000 61.0000
25.0000 61.0000 97.0000
Além da multiplicação matricial e escalar, podemos ter a multiplicação elemento
por elemento de matrizes de mesma dimensão. Esse tipo de operação é feita utilizando-
se um ponto ( . ) antes do operador de multiplicação ( * ). Ou seja, se A e B são matrizes
definidas por A=[ a11 a12 ... a1n ; a21 a22 ... a2n ; ... ; am1 am2 ... amn] e B=[ b11 b12 ...
b1n ; b21 b22 ... b2n ; ... ; bm1 bm2 ... bmn ], então A.*B =aij*bij.
>> A.*B
ans = 1 8 21
8 25 48
21 48 81
2.5.4 Divisão
Existem dois símbolos para divisão de matrizes no MATLAB “ / ” que
representa a divisão matricial a direita e “ ” que representa a divisão matricial a
esquerda. Se A é uma matriz quadrada não singular, então AB e B/A correspondem
respectivamente à multiplicação à esquerda e à direita da matriz B pela inversa da
matriz A, ou seja, inv(A)*B e B*inv(A).
Assim como na multiplicação, também existe a divisão elemento por elemento
de matrizes, definida de forma similar. Por exemplo, A./B = aij/bij e A.B = aijbij.
2.5.5 Potenciação
A expressão An
representa a matriz A elevada a n-ésima potência, onde A é uma
matriz quadrada e n um escalar. Se n é um inteiro maior do que um, a exponenciação é
computada como múltiplas multiplicações. Por exemplo:
>> A^3
ans = 468 576 684
1062 1305 1548
1656 2034 2412](https://image.slidesharecdn.com/tutorialmatlab1-190828030854/85/Tutorial-matlab-15-320.jpg)
![No caso da exponenciação elemento a elemento, tem-se: A.^B = aij
bij
, onde A e
B possuem a mesma dimensão. Da mesma forma, a exponencial de uma matriz por em
escalar c é dada por: A.^c = aij
c
.
2.6 Álgebra Linear
2.6.1 Determinante
Seja A uma matriz. O comando det(A) retorna o determinante da matriz A. Por
exemplo:
>> A=[1 2;3 4]
A = 1 2
3 4
>> det(A)
ans = -2
2.6.2 Matriz Inversa
A matriz B é a inversa de A, quando as duas matrizes são multiplicadas e o
produto é a matriz identidade. O comando inv(A) retorna a matriz inversa da matriz A.
>> B=inv(A)
B = -2.0000 1.0000
1.5000 -0.5000
2.6.3 Auto vetores e Auto valores
O MATLAB determina os autovalores e autovetores da matriz A. O comando
eig(A) calcula um vetor coluna contendo os autovalores de A. O comando [Q,d] =
eig(A) calcula uma matriz quadrada Q contendo os autovetores de A como colunas e
uma matriz quadrada d contendo os autovalores de A na diagonal.
Exemplo:
>> eig(A)
ans = -0.3723
5.3723
>> [Q,d]=eig(A)](https://image.slidesharecdn.com/tutorialmatlab1-190828030854/85/Tutorial-matlab-16-320.jpg)
![Q = -0.8246 -0.4160
0.5658 -0.9094
d = -0.3723 0
0 5.3723
2.6.4 Fatoração triangular superior-inferior (LU)
A fatoração triangular expressa uma matriz quadrada como produto de duas
matrizes triangulares, sendo uma matriz triangular inferior e outra matriz triangular
superior. O comando [L,U] = lu(A) expressa uma matriz triangular inferior L e uma
matriz triangular superior U, tal que o produto de L por U é igual a matriz A.
>> [L,U]=lu(A)
L = 0.3333 1.0000
1.0000 0
U = 3.0000 4.0000
0 0.6667
2.6.5 Fatoração QR
O método de fatoração QR da matriz A expressa um par de matrizes Q e R tais
que Q é ortogonal e R é triangular superior. O produto de Q por R é igual a matriz A. O
comando [Q,R] = qr(A) encontra tais matrizes Q e R.
>> [Q,R]=qr(A)
Q = -0.3162 -0.9487
-0.9487 0.3162
R = -3.1623 -4.4272
0 -0.6325
Se a matriz A é m x n, então Q será m x m e R será m x n.](https://image.slidesharecdn.com/tutorialmatlab1-190828030854/85/Tutorial-matlab-17-320.jpg)
![2.6.6 Decomposição em valores singulares (SVD)
A decomposição em valores singulares decompõe a matriz A em um produto de
três matrizes tal que A= USV, onde U e V são matrizes ortogonais e S é uma matriz
diagonal. Os valores da diagonal da matriz S são chamados valores singulares. Para
este tipo de fatoração utiliza-se o comando [U,S,V] = svd(A).
>> [U,S,V]=svd(A)
U = -0.4046 -0.9145
-0.9145 0.4046
S = 5.4650 0
0 0.3660
V = -0.5760 0.8174
-0.8174 -0.5760
O comando svd(A) retorna os elementos da diagonal de S, que são os valores
singulares de A.
2.7 Funções de gerenciamento de matrizes e vetores
Algumas funções para gerenciamento de manipulações de matrizes são descritas
na tabela 2.4.
Tabela 2.4 Funções de gerenciamento
Função Descrição Exemplo
length(A) Retorna o número de elementos de
um vetor A.
>> A = [1 3 6 0]
>>length(A)
ans = 4](https://image.slidesharecdn.com/tutorialmatlab1-190828030854/85/Tutorial-matlab-18-320.jpg)
![size(A) Retorna um vetor linha [m,n], onde
m e n é o tamanho m x n de A.
>> A = [1 2 3 4; 5 6 7 8]
A = 1 2 3 4
5 6 7 8
>>size(A)
ans = 2 4
reshape(A,m,n) Rearranja a matriz A que têm r
linhas e s colunas para ter m linhas
e n colunas.
>> A=[3 1 4; 9 0 7]
A = 3 1 4
9 0 7
>>B = reshape(A,3,2)
B = 3 0
9 4
1 7
diag(v) Quando v é um vetor, cria uma
matriz quadrada com os elementos
de v na diagonal principal.
>> v = [3 2 1];
>>A = diag(v)
A = 3 0 0
0 2 0
0 0 1
diag(A) Quando A é uma matriz, cria um
vetor com os elementos da diagonal
de A.
>> A = [1 8 3; 4 2 6;7 8 3]
A = 1 8 3
4 2 6
7 8 3
>> vec = diag(A)
vec = 1
2
3
2.8 Análise de Dados de Vetores e Matrizes
A tabela 2.5 apresenta algumas funções de análise de matrizes e vetores.
Tabela 2.5 Análise de dados
Função Descrição Exemplo](https://image.slidesharecdn.com/tutorialmatlab1-190828030854/85/Tutorial-matlab-19-320.jpg)
![mean(v) Se v é um vetor, retorna o valor
médio dos elementos de v.
>> v=[1 5 6 8 48 56 2 0];
>> mean(s)
ans = 15.7500
C = max(A) Se A é um vetor, C é o valor do
maior elemento. Se a A é uma
matriz, C é um vetor linha
contendo o maior elemento de cada
coluna de A.
>> A=[4 6 9 4 15 2 0];
>> C=max(A)
C = 15
[d,n] = max(A) Se A é um vetor, d é o maior
elemento de A, n é a posição do
elemento (a primeira, se tiver
diversos valores máximos).
>> [d,n]=max(A)
d = 15
n = 5
min(A)
[d,n] = min(A)
O mesmo de max(A), só que
min(A) retorna o menor elemento.
>> A=[ 2 7 8 0 4];
>> min(A)
ans = 2
sum(A) Se A é um vetor, retorna a soma
dos elementos do vetor.
>> A=[ 2 3 9 5 4];
>> sum(A)
ans = 23
sort(A) Se A é um vetor, coloca os
elementos em ordem crescente.
>> A=[ 2 5 1 10 3];
>> sort(A)
ans = 1 2 3 5 10
median(A) Se A é um vetor, coloca os
elementos em ordem crescente e
retorna um valor mediano desses
elementos.
>> A=[-1 0 2 8 9 13];
>> median(A)
ans = 5
std(A) Se A é um vetor, retorna o desvio
padrão dos elementos de A.
>> A=[-1 0 2 3];
>> std(A)
ans =1.8257
dot(A) Calcula o produto escalar de dois
vetores a e b.
>> a= [5 6 7];
b= [4 3 2];
>> dot(a,b)
ans = 52](https://image.slidesharecdn.com/tutorialmatlab1-190828030854/85/Tutorial-matlab-20-320.jpg)
![cross(a,b) Calcula o produto cruzado de dois
vetores a e b. Os dois vetores
devem ter 3 elementos.
>> a= [5 6 7];
>> b= [4 3 2];
>> cross(a,b)
ans = -9 18 -9
2.9 Gerando Números Randômicos
Cria uma matriz de elementos pseudo-aleatórios com distribuição uniforme entre
0 e 1, dados os números de linhas e colunas. Alguns comandos são apresentados na
tabela 2.6.
Tabela 2.6 Números randômicos
Comando Descrição Exemplo
rand (1,n) Gera um vetor linha de n
elementos, com números
randômicos entre 0 e 1.
>> a = rand(1,3)
a =
0.8147 0.9058 0.1270
rand(n) Gera uma matriz n x n, com
números randômicos entre 0 e 1.
>> b= rand(3)
b =
0.9134 0.2785 0.9649
0.6324 0.5469 0.1576
0.0975 0.9575 0.9706
rand(m,n) Gera uma matriz m x n, com
números randômicos entre 0 e 1.
>> c=rand(2,3)
c =
0.9572 0.8003 0.4218
0.4854 0.1419 0.9157
randperm(n) Gera um vetor linha com n
elementos que são permutações
randômicas dos inteiros de 1 até n.
>> randperm(5)
ans =
4 3 1 5 2
2.10 Funções Polinomiais](https://image.slidesharecdn.com/tutorialmatlab1-190828030854/85/Tutorial-matlab-21-320.jpg)
![Um polinômio 01
2
2
1
1 ....)( axaxaxaxaxf n
n
n
n +++++= −
− é interpretado no
MATLAB como um vetor, começando com o termo de maior grau,
[ ]0121 ... aaaaa nn − .
Por exemplo:
3753)( 34
+++= xxxxf
>> f=[3 5 0 7 3]
f = 3 5 0 7 3
Assim, listam-se na tabela 2.7 algumas funções que trabalham com polinômios.
Tabela 2.7 Funções polinomiais
Função Descrição Exemplo 65)( 2
++= xxxf ,
42)( += xxg
roots Retorna um vetor linha com as
raízes do polinômio de entrada.
>> f=[1 5 6];
>> roots(f)
ans = -3.0000
-2.0000
polyval Retorna o valor ou a imagem de
um polinômio, dados
respectivamente o polinômio e o
valor de sua variável
independente.
>> polyval(f,2)
ans = 20
Ou seja, 1(2)2
+ 5(2) + 6 = 20
poly Cria um polinômio a partir de um
vetor de entrada contendo suas
raízes.
>> poly([-3 -2])
ans = 1 5 6
conv Multiplica, de forma distributiva,
dois polinômios. (mas não dois
vetores)
>> conv(f,g)
ans =2 14 32 24
deconv Divide dois polinômios. >> deconv(f,g)
ans = 0.5000 1.5000](https://image.slidesharecdn.com/tutorialmatlab1-190828030854/85/Tutorial-matlab-22-320.jpg)
![>>legend('sen(t)',linear aprox', 'aprox 4º ordem')
b) comando hold
>> plot(t,y1, 'linewidth',2)
>> hold on
>> plot(t,y2,'-')
>> plot(t,y3,'o')
>> axis([0 5 -1 5])
>> xlabel('t')
>> ylabel('sen(t) aproximação')
>>legend('sen(t)',linear aprox', 'aprox 4º ordem')
>> hold off](https://image.slidesharecdn.com/tutorialmatlab1-190828030854/85/Tutorial-matlab-28-320.jpg)
![c) comando line
>> plot(t,y1,'linewidth',2)
>> line(t, y2, 'linestyle', '-')
>> line(t, y3, 'marker', 'o')
>> axis([0 5 -1 5])
>> xlabel('t')
>> ylabel('sin(t) approximation')
>> legend('sin(t)', 'linear approx', '7th order approx')
3.1.2 Gráficos tridimensionais
A tabela 3.3 apresenta alguns comandos para plotar gráficos tridimensionais e de
contorno.
Tabela 3.3 Comandos de gráficos 3D
Comando Descrição
plot3 Plota um gráfico no espaço 3D
fill3 Desenha um polígono 3D
comet3 Plota um 3D uma trajetória de cometa
contour Plota um gráfico de contorno 2D
contour3 Plota um gráfico de contorno 3D](https://image.slidesharecdn.com/tutorialmatlab1-190828030854/85/Tutorial-matlab-29-320.jpg)
![>> [X,Y]=meshgrid(-2:0.2:2,-2:0.2:2);
>> Z = X .* exp(-X.^2 - Y.^2);
>> mesh(X,Y,Z)
3.1.3 Anotações em gráficos
A tabela 3.4 apresenta comandos de fácil utilização para adicionar informações
em um gráfico.
Tabela 3.4 Comandos de anotações
Comando Descriçao Exemplo
title Adiciona um título ao gráfico Title(‘título’)
xlabel Título no eixo x Xlabel(‘nome em x’)
ylabel Título no eixo y Xlabel(‘nome em y’)
zlabel Título no eixo z Xlabel(‘nome em z’)
text Inserir anotação no gráfico
gtext Inserir anotação com o mouse
grid Inserir linhas de grade](https://image.slidesharecdn.com/tutorialmatlab1-190828030854/85/Tutorial-matlab-31-320.jpg)
![CAPÍTULO 4
4.1 Exemplos
1) Gere o gráfico da função )()( 7.0
xsenexy x
ω−
= para srad /15=ω e 150 ≤≤ x .
Solução:
>> x=[0:0.01:15];
>> w=15;
>> y=exp(-0.7*x).*sin(w*x);
>> plot(x,y)
>> title('y(x)=e^–^0^.^7^xsinomegax')
>> xlabel('x')
>> ylabel('y')
2) Uma expressão analítica para a resposta amortecida de um sistema de um grau de
liberdade dadas as condições iniciais de deslocamento e velocidade é dada por:
)cos()( φωζω
−= −
tCetx d
tn
onde C e φ representam a amplitude e o ângulo de fase da resposta do sistema,
respectivamente e são dados por:](https://image.slidesharecdn.com/tutorialmatlab1-190828030854/85/Tutorial-matlab-32-320.jpg)
![2
002
0 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
+=
d
n vx
xC
ω
ζω
, ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
= −
0
001
tan
x
vx
d
n
ω
ζω
φ e nd ωζω 2
1−=
Plote a resposta do sistema usando o MATLAB para srad /5=ω , 05,0=ζ , 1,0=ζ e
2,0=ζ sabendo que as condições iniciais são 0)0( =x e scmvx /60)0( 0 == .
Solução:
wn=5; % Frequência natural
zeta=[0.05;0.1;0.2]; % razão de amortecimento
x0=0; % delocamneto inicial
v0=60; % velocidade inicial
t0=0; % tempo inicial
deltat=0.01; % intervalo no tempo
tf=6; % tempo final
t=[t0:deltat:tf];
for i=1:length(zeta)
wd=sqrt(1-zeta(i)^2)*wn;
x=exp(-
zeta(i)*wn*t).*(((zeta(i)*wn*x0+v0)/wd)*sin(wd*t)+x0*cos(wd
*t));
plot(t,x,'r')
hold on
end
title('Resposta com condições iniciais')
xlabel('t(s)')
ylabel('x(t)')
legend('zeta 0,05','zeta 0,1','zeta 0,2')
grid](https://image.slidesharecdn.com/tutorialmatlab1-190828030854/85/Tutorial-matlab-33-320.jpg)
![3) Resolva o sistema de equações de Lorenz
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+−=
−−=
+−=
xyz
dt
dz
xzyx
dt
dy
yx
dt
dx
β
ρ
σσ
onde 10=σ , 3/8=β e 28=ρ . As condições iniciais são 8)0( −=x , 8)0( =y e
27)0( =z .
Solução:
Neste caso criamos um arquivo .m
function exemplo= lorenz(t,x);
sigma=10;
beta=8/3;
ro=28;
exemplo=[-sigma*x(1)+sigma*x(2);ro*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);-
beta*x(3)+x(1)*x(2)];
A seguir podemos digitar os seguintes comandos na janela de comando:](https://image.slidesharecdn.com/tutorialmatlab1-190828030854/85/Tutorial-matlab-34-320.jpg)
![>> tspan=[0.0 20.0];
>> x0=[-8 8 27];
>> [t,x]=ode45(@Lorenz,tspan,x0);
>> plot(x(:,1),x(:,3))
>> xlabel('x')
>> ylabel('y')
Podemos também plotar a resposta no tempo:
>> subplot(3,1,1)
>> plot(t,x(:,1))
>> xlabel('t')
>> ylabel('x')
>> subplot(3,1,2)
>> plot(t,x(:,2))
>> xlabel('t')
>> ylabel('y')
>> subplot(3,1,3)
>> plot(t,x(:,3))
>> xlabel('t')
>> ylabel('z')](https://image.slidesharecdn.com/tutorialmatlab1-190828030854/85/Tutorial-matlab-35-320.jpg)
![( ) 2/1
222
21
1
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
nn
iG
ω
ω
ζ
ω
ω
ω
A magnitude de )( ωiX é dado por: ( ) ( )AiGiX
n
ω
ω
ζω
ω
2/12
2
1
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
onde ( ) ti
Aty ω
Re=
( ) ( ) ti
eiXtx ω
ω=
O ângulo de fase é dado por: ( )
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= −
22
3
1
2
1
2
tan
nn
n
ω
ζω
ω
ω
ω
ω
ζ
ωφ
A razão de frequência é:
n
r
ω
ω
=
A magnitude da resposta adimensional é:
( )
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
= 22
2
2
1
2
1
nn
n
A
iX
ω
ζω
ω
ω
ω
ζω
ω
zeta= [0.05; 0.1; 0.15; 0.25; 0.5; 1.25; 1.5]; % damping
factors
r= [0:0.01:3]; %frequency ratio
for k=1: length (zeta)
G(k,:)=sqrt((1+(2*zeta(k)*r).^2)./((1-
r.^2).^2+(2*zeta(k)*r).^2));
phi(k,:)=atan2(2*zeta(k)*r.^3,1-
r.^2+(2*zeta(k)*r).^2);
end
figure (1)
plot(r, G,'linewidth',1.5)
xlabel ('omega/omega_n')
ylabel ('|x (iomega)|/A')
grid](https://image.slidesharecdn.com/tutorialmatlab1-190828030854/85/Tutorial-matlab-37-320.jpg)
![legend('zeta_1=0.05','zeta_2=0.1','zeta_3=0.15','zeta_4
=0.25','zeta_5=0.5','zeta_6=1.25','zeta_7=1.5')
figure (2)
plot(r, phi,'linewidth',1.5)
xlabel ('omega/omega_n')
ylabel ('phi (omega)')
grid
ha=gca;
set (ha,'ytick',[0:pi/2:pi])
set(ha,'yticklabel',{[];'pi/2';'p'})
legend('zeta_1=0.05','zeta_2=0.1','zeta_3=0.15','zeta_4
=0.25','zeta_5=0.5','zeta_6=1.25','zeta_7=1.5')](https://image.slidesharecdn.com/tutorialmatlab1-190828030854/85/Tutorial-matlab-38-320.jpg)
![%Parâmetros
%Massa
m1=2;
m2=2;
m3=2;
%Rigidez
k1=600;
k2=1200;
k3=2400;
%Matriz massa
m=[m3 0 0;0 m2 0;0 0 m1];
%Matriz Rigidez
k=[k2+k3 -k2 0;-k2 k1+k2 -k1;0 -k1 k1];
A=inv(m)*k
%Autovalores de A => frequências naturais
%Autovetores de A => Modos de vibrar
[Fi,lamb]=eig(A)
Fi =
0.1706 -0.4317 -0.8857
0.4732 -0.7526 0.4579
0.8643 0.4973 -0.0759
lamb =
1.0e+003 *
0.1357 0 0
0 0.7540 0
0 0 2.1102
wn=sqrt(lamb) %Frequência natural em rad/s
wn =
11.6511 0 0
0 27.4598 0
0 0 45.9370
fn=wn/(2*pi) %Frequência natural em Hz
fn =
1.8543 0 0
0 4.3704 0
0 0 7.3111](https://image.slidesharecdn.com/tutorialmatlab1-190828030854/85/Tutorial-matlab-40-320.jpg)
Tutorial matlab
- 1. UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA TUTORIAL MATLAB CONCEITOS BÁSICOS Autor: Prof. Paulo S. Varoto São Carlos 2013
- 2. CAPÍTULO 1 1.1Introdução 1.1.1 Iniciando o MATLAB Um duplo clique no ícone MATLAB irá inicializar o programa. Assim, aparecerá na tela uma janela de comandos e o “prompt” padrão (EDU>> ou >>) é exibido na tela. Espera-se do usuário um comando, o qual deve ser finalizado teclando- se Enter. 1.1.2 Janelas Exibidas A janela principal do MATLAB chama-se Command Window (Janela de Comando), onde os dados e instruções são digitados no “prompt”. Quando se deseja implementar algum programa, projeto ou trabalho, utiliza-se o M-File Editor. Neste editor, cria-se um arquivo texto “.m” com os comandos desejados. Além dessas duas janela principais, existe a Graphics Window utilizada para exibir os gráficos. 1.1.3 Entrando com comandos Cada comando tem de ser seguido por um <cr> (tecla enter) para que o comando possa ser executado. Para executar um arquivo “.m” basta digitar o nome do arquivo, sem sua extensão, na janela de comandos. 1.1.4 Expo MATLAB Para ver a demonstração de algumas capacidades do MATLAB, entre com o comando “demo” na janela de comandos. Isto iniciará o MATLAB EXPO, o qual é um ambiente de demonstração gráfica que mostra alguns dos diferentes tipos de operações que podem ser realizados com MATLAB. 1.1.5 Abortar Para abortar um comando em MATLAB, mantenha pressionada a tecla Ctrl e pressione a tecla c. 1.1.6 Comando clc O comando clc limpa a janela de comandos e coloca o cursor na posição inicial.
- 3. 1.1.7 Ajuda do MATLAB Através do comando “help”, o usuário pode consultar a ajuda do MATLAB. Para isso, deve-se digitar help e o nome da função desejada na janela de comandos, onde aparecerá um pequeno resumo da função seguido de uma descrição mais detalhada da mesma. 1.1.8 Declarações e Variáveis Para criar e/ou armazenar informações em variáveis definidas pelo usuário, basta digitar o nome da variável, seguido do sinal de igual “=”, e da expressão desejada. 1.1.9 Saindo do MATLAB Os comandos quit e exit são usados para encerrar o MATLAB. 1.2 Operações aritméticas A tabela 1.1 apresenta os símbolos utilizados para as operações aritméticas básicas. Tabela 1.1 Operações básicas Operação Aritmética Símbolo Exemplo Adição + 10+5 = 15 Subtração - 10-5 = 5 Multiplicação * 10*5 = 50 Divisão a direita / 10/5 = 2 Divisão a esquerda 105 = 1/2 Exponenciação ^ 10^5 = 100000 1.3 Formato de visualização dos números O MATLAB possui diversas formas de apresentar um número. Estes formatos podem ser encontrados no “help”, digitando na janela de comandos: help format. Alguns desses formatos são apresentados na tabela 1.2.
- 4. Tabela 1.2 Formato de exibição Comando Formato Exemplo 2 Format short 4 dígitos decimais. 1.4142 Format long 14 dígitos decimais. 1.41421356237310 Format short e Notação exponencial com 4 dígitos decimais. 1.4142e+000 Format long e Notação exponencial com 15 dígitos decimais. 1.414213562373095e+000 Format short g O melhor entre “short” e “short e”. 1.4142 Format long g O melhor entre “long” e “long e”. 1.4142135623731 Format bank 2 dígitos decimais representando moeda. 1.41 Format compact Elimina linhas em branco para permitir que mais linhas com informações possam ser exibidas. Format loose Adiciona linhas (Oposto de “format compact”). 1.4 Funções matemáticas O MATLAB possui uma gama de funções matemáticas que estão disponíveis ao usuário, como por exemplo, funções trigonométricas, logarítmicas, elementares, etc. Algumas dessas funções são apresentadas nas tabelas abaixo. Tabela 1.3 Funções Trigonométricas Função Descrição sin(x) Calcula o seno de x, onde o x está em radianos. cos(x) Calcula o cosseno de x, onde o x está em radianos. tan(x) Calcula a tangente de x, onde o x está em radianos. cot(x) Calcula a cotangente de x, onde o x está em radianos. sec(x) Calcula a secante de x, onde o x está em radianos. csc(x) Calcula a cossecante de x, onde o x está em radianos. asin(x) Calcula o arco cujo seno é x, onde x deve estar entre -1 e 1.
- 5. acos(x) Calcula o arco cujo cosseno é x, onde x deve estar entre -1 e 1. atan(x) Calcula o arco cuja tangente é x. atang2(y,x) Calcula o arco cuja tangente é y/x. sinh(x) Calcula o seno hiperbólico de x. cosh(x) Calcula o cosseno hiperbólico de x. tanh(x) Calcula a tangente hiperbólica de x. asinh(x) Calcula o arco cujo seno hiperbólico é x. acosh(x) Calcula o arco cujo cosseno hiperbólico é x. atanh(x) Calcula o arco cuja tangente hiperbólica é x. Tabela 1.4 Funções Elementares Função Descrição abs(x) Calcula o valor absoluto de x. sqrt(x) Calcula a raiz quadrada de x. round(x) Arredonda o valor de x para o inteiro mais próximo. fix(x) Arredonda o valor de x para o inteiro mais próximo do zero. floor(x) Arredonda o valor de x para o inteiro em direção -∞. ceil(x) Arredonda o valor de x para o inteiro em direção +∞. sign(x) Retorna −1, 𝑠𝑒 𝑥 < 0 0, 𝑠𝑒 𝑥 = 0 1, 𝑠𝑒 𝑥 > 0 rem(x,y) Retorna o resto da divisão de x por y. gcd(x,y) Calcula o máximo divisor comum de x e y. lcm(x,y) Calcula o mínimo múltiplo comum de x e y. exp(x) Calcula o valor de x e , onde 718282,2≅e . log(x) Calcula o logaritmo de x na base e. log10(x) Calcula o logaritmo de x na base 10. Tabela 1.5 Funções de números complexos Função Descrição
- 6. conj(x) Calcula o complexo conjugado do número complexo x. Se biax += então conj(x) será bia − . real(x) Retorna a parte de real do número complexo x. imag(x) Retorna a parte imaginária do número complexo x. abs(x) Calcula o valor absoluto em magnitude do número complexo x. angle(x) Calcula o ângulo usando o valor atan2(imag(x),real(x)). As operações com os números complexos são apresentadas na tabela 1.6. Seja ibac 111 += e ibac 222 += . Tabela 1.6 Operações com números complexos Operação Resultado 21 cc + ( ) ( )2121 bbiaa +++ 21 cc − ( ) ( )2121 bbiaa −+− 21.cc ( ) ( )12212121 babaibbaa ++− 2 1 c c 2 2 2 2 2112 2 2 2 2 2121 ba baba ba bbaa + − + + + 1c = abs(c1) 2 1 2 1 ba + 1.5 Variáveis no MATLAB Uma variável é formada por uma letra ou uma combinação de caracteres. Os nomes das variáveis devem ser formados por uma única palavra, conforme descrito na tabela 1.7 Tabela 1.7 Regras de construção de variável Regra de construção das variáveis Exemplo Variáveis com letras minúsculas e maiúsculas são diferentes. XX, Xx, xX e xx
- 7. Variáveis podem ser construídas com até 63 caracteres (MATLAB 7). As variáveis devem começar com uma letra que pode ser seguida de letras, números ou subscrito _. Var_2 x34 a_b O MATLAB possui alguns nomes que são utilizados para variáveis predefinidas. Estes são apresentados na tabela 1.8. Tabela 1.8 Variáveis predefinidas Variáveis predefinidas Descrição ans Variável usada para exibir os resultados. pi Número 3,14159. eps Menor número tal que, quando adicionado a 1, cria um número maior que 1 no computador. inf Representa o infinito, por exemplo, ocorre nas divisões por zero. i ou j Unidade imaginária 1− . NaN ou nan Significa que não é um número, por exemplo, na divisão 0/0. clock Representa o tempo corrente num vetor de seis elementos contendo ano, mês, dia, hora, minuto e segundo. date Representa a data atual no seguinte formato: 06-Sep- 2011. 1.6 Comandos de gerenciamento O MATLAB possui comandos que podem ser utilizados para eliminar variáveis ou para obter informações sobre variáveis que foram criadas. Para isso a tecla Enter deve ser pressionada após digitar o comando na janela de comandos. Alguns desses comandos são descrito na tabela 1.9.
- 8. Tabela 1.9 Comandos de gerenciamento Comando Descrição clear Remove todas as variáveis da memória. clear x, y, z Remove somente as variáveis x, y e z da memória. who Lista as variáveis correntes armazenadas na área de trabalho. whos Mostra uma lista de variáveis correntes armazenadas com informações detalhadas de seus tamanhos. 1.7 Comentários e pontuação Tabela 1.10 Comentário e Pontuação Símbolo Função , Separar comandos em uma mesma linha. ; SE um ponto e vírgula é digitado ao final de um comando, a impressão na tela é suprimida, mas a tarefa é realizada. % Todo e qualquer caractere depois do símbolo % é tomado como comentário. . . . Para continuar uma expressão matemática na próxima linha utiliza- se um espaço em branco e três pontos, ao final das linhas incompletas. 1.8 Comandos gerais As tabelas 1.11 até 1.14 mostram comandos gerais de ajuda, da área de trabalho e de diretórios. Tabela 1.11 Help Online Comando Descrição help Lista todos os tópicos que a ajuda está disponível. helpwin Abre a janela de ajuda interativa. helpdesk Abre o navegador web de ajuda.
- 9. help topic Fornece ajuda sobre o tópico em questão. lookfor string Lista os tópicos de ajuda contendo a expressão. Tabela 1.12 Informações da área de trabalho Comando Descrição what Lista os arquivos “.m”, “.mat” e “mex” do diretório. clear all Limpa todas as variáveis e funções da área de trabalho. mlock fun Trava a função fun e assim o comando clear não pode removê- la. munlock fun Destrava a função fun e assim o comando clear pode removê-la. home Tem a mesma função de clc. clf Limpa a janela de figuras. Tabela 1.13 Informações de Diretório Comando Descrição pwd Mostra o atual diretório de trabalho. cd Muda de diretório de trabalho. dir Lista o conteúdo do diretório atual. ls O mesmo que dir. path Obtém ou define um caminho de pesquisa do MATLAB. editpath Modifica o caminho de pesquisa do MATLAB. copyfile Copia um arquivo. mkdir Cria um diretório. Tabela 1.14 Informações Gerais Comando Descrição computer Mostra o tipo de computador que você está usando. more Controla a saída paginada de acordo com o tamanho da tela. ver Mostra a licença e informações sobre a versão do MATLAB instalado no computador.
- 10. bench Compara as operações em MATLAB realizadas pelo seu computador em relação a outros . CAPÍTULO 2 2.1 Gerando um vetor A tabela 2.1 apresenta algumas maneiras de construir um vetor. Tabela 2.1 Vetores Vetor X Descrição x = primeiro : último Cria um vetor x começando com o valor primeiro, incrementando-se de 1 em 1 até atingir o valor último, ou valor mais próximo possível de último. x = primeiro : increm : último Cria um vetor x começando com o valor primeiro, incrementando-se do valor de increm. até atingir o valor último, ou valor mais próximo possível de último.. x = linspace(primeiro, último, n) Cria um vetor x começando com o valor primeiro e terminando no valor último, contendo n elementos linearmente espaçados. x = logspace(primeiro, último, n) Cria um vetor x começando com o valor 10primeiro e terminando no valor 10último , contendo n elementos logaritmicamente espaçados. x = [1 2 3] Cria um vetor linha x com os elementos especificados. A seguir apresentam-se alguns exemplos: a) >> x=1:5 x = 1 2 3 4 5 b) >> x=1:6.3 x = 1 2 3 4 5 6
- 11. c) >> x=1:0.1:1.5 x = 1.0000 1.1000 1.2000 1.3000 1.4000 1.5000 d) >> z=linspace(1,2,6) z = 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000 e) >> z=logspace(0,2,5) z =1.0000 3.1623 10.0000 31.6228 100.0000 f) >> x=[1 2 3] x = 1 2 3 No último exemplo foi criado um vetor linha, pode-se criar um vetor coluna separando os elementos por ponto e vírgula ( ; ). Veja no exemplo a seguir: >> x=[1;2;3] x = 1 2 3 Esses vetores coluna podem também ser criados a partir dos comandos utilizados anteriormente para criar os vetores linha, acompanhados do símbolo ( ' ), que é o operador de transposição. Exemplo: >> y=(1:0.5:2)' y = 1.0000 1.5000 2.0000 2.2 Gerando uma Matriz Os elementos de cada linha da matriz são separados por espaços em branco ou vírgulas e as colunas separadas por ponto e vírgula, colocando-se colchetes em volta do grupo de elementos que formam a matriz. Veja o exemplo:
- 12. >> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 As linhas das matrizes também podem ser definidas através dos comandos utilizados anteriormente para se definir vetores linha. Por exemplo: >> A=[1:3;linspace(4,6,3);7:1:9] A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2.3 Endereçamento de vetores e matrizes No MATLAB, cada um dos elementos de um vetor pode ser acessado através de seu índice que identifica cada uma das colunas. Por exemplo: x(:) – refere-se a todos os elementos do vetor x. x(m:n) – refere-se aos elementos m até n do vetor x. Por exemplo: x=[2 5 -8 7 6 -4 1] y=x(2:5) y = 5 -8 7 6 A tabela 2.2 apresenta como usar o endereçamento em matrizes. Tabela 2.2 Endereçamento de matrizes Comando Descrição A(:,n) Refere-se aos elementos de todas as linhas da coluna n da matriz A. A(n, :) Refere-se aos elementos de todas as colunas da linha n da matriz A.
- 13. A(:, m:n) Refere-se aos elementos de todas as linhas entre as colunas m e n da matriz A. A(m:n, :) Refere-se aos elementos de todas as colunas entre as linhas m e n da matriz A. A(m:n, p:q) Refere-se aos elementos entre as linhas m e n e colunas p e q da matriz A. 2.4 Operações com Vetores Sejam os vetores a = [a1 a2 ... an], b = [b1 b2 ... bn] e c um escalar. A tabela 2.3 apresenta as operações básicas entre vetores. Tais operações só são possíveis quando estes tiverem o mesmo tamanho e orientação (linha ou coluna). Tabela 2.3 Operações com vetores Operação Expressão Resultado Adição escalar ca + [ ]cacaca n +++ ...21 Adição vetorial ba + [ ]bababa n +++ ...2211 Multiplicação escalar ca* [ ]cacaca n *...** 21 Multiplicação vetorial ba *. [ ]bababa n *...** 2211 Divisão ba /. [ ]bababa n /...// 2211 Potenciação ca.^ [ ]cacaca n ^...^^ 21 ac.^ [ ]nacacac ^...^^ 21 ba.^ [ ]nn bababa ^...^^ 2211 2.5 Operações com Matrizes 2.5.1 Transposta O caractere apóstrofo, " ' " , indica a transposta de uma matriz. Veja o exemplo abaixo: >> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
- 14. A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 >> B=A' B = 1 4 7 2 5 8 3 6 9 2.5.2 Adição e Subtração A adição (+) e subtração (-) de matrizes são realizadas elemento a elemento, por isso só são realizadas se as matrizes tiverem a mesma dimensão. Exemplos: >> C=A+B C = 2 6 10 6 10 14 10 14 18 >> D=A-B D = 0 -2 -4 2 0 -2 4 2 0 2.5.3 Multiplicação A multiplicação de matrizes é indicada por "*". A multiplicação A*B é definida somente se o número de linhas de A for igual ao número de colunas de B. >> E=A*B E = 14 32 50 32 77 122 50 122 194 Pode-se também multiplicar matrizes por escalares, como no exemplo abaixo: >> F=0.5*E
- 15. F = 7.0000 16.0000 25.0000 16.0000 38.5000 61.0000 25.0000 61.0000 97.0000 Além da multiplicação matricial e escalar, podemos ter a multiplicação elemento por elemento de matrizes de mesma dimensão. Esse tipo de operação é feita utilizando- se um ponto ( . ) antes do operador de multiplicação ( * ). Ou seja, se A e B são matrizes definidas por A=[ a11 a12 ... a1n ; a21 a22 ... a2n ; ... ; am1 am2 ... amn] e B=[ b11 b12 ... b1n ; b21 b22 ... b2n ; ... ; bm1 bm2 ... bmn ], então A.*B =aij*bij. >> A.*B ans = 1 8 21 8 25 48 21 48 81 2.5.4 Divisão Existem dois símbolos para divisão de matrizes no MATLAB “ / ” que representa a divisão matricial a direita e “ ” que representa a divisão matricial a esquerda. Se A é uma matriz quadrada não singular, então AB e B/A correspondem respectivamente à multiplicação à esquerda e à direita da matriz B pela inversa da matriz A, ou seja, inv(A)*B e B*inv(A). Assim como na multiplicação, também existe a divisão elemento por elemento de matrizes, definida de forma similar. Por exemplo, A./B = aij/bij e A.B = aijbij. 2.5.5 Potenciação A expressão An representa a matriz A elevada a n-ésima potência, onde A é uma matriz quadrada e n um escalar. Se n é um inteiro maior do que um, a exponenciação é computada como múltiplas multiplicações. Por exemplo: >> A^3 ans = 468 576 684 1062 1305 1548 1656 2034 2412
- 16. No caso da exponenciação elemento a elemento, tem-se: A.^B = aij bij , onde A e B possuem a mesma dimensão. Da mesma forma, a exponencial de uma matriz por em escalar c é dada por: A.^c = aij c . 2.6 Álgebra Linear 2.6.1 Determinante Seja A uma matriz. O comando det(A) retorna o determinante da matriz A. Por exemplo: >> A=[1 2;3 4] A = 1 2 3 4 >> det(A) ans = -2 2.6.2 Matriz Inversa A matriz B é a inversa de A, quando as duas matrizes são multiplicadas e o produto é a matriz identidade. O comando inv(A) retorna a matriz inversa da matriz A. >> B=inv(A) B = -2.0000 1.0000 1.5000 -0.5000 2.6.3 Auto vetores e Auto valores O MATLAB determina os autovalores e autovetores da matriz A. O comando eig(A) calcula um vetor coluna contendo os autovalores de A. O comando [Q,d] = eig(A) calcula uma matriz quadrada Q contendo os autovetores de A como colunas e uma matriz quadrada d contendo os autovalores de A na diagonal. Exemplo: >> eig(A) ans = -0.3723 5.3723 >> [Q,d]=eig(A)
- 17. Q = -0.8246 -0.4160 0.5658 -0.9094 d = -0.3723 0 0 5.3723 2.6.4 Fatoração triangular superior-inferior (LU) A fatoração triangular expressa uma matriz quadrada como produto de duas matrizes triangulares, sendo uma matriz triangular inferior e outra matriz triangular superior. O comando [L,U] = lu(A) expressa uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular superior U, tal que o produto de L por U é igual a matriz A. >> [L,U]=lu(A) L = 0.3333 1.0000 1.0000 0 U = 3.0000 4.0000 0 0.6667 2.6.5 Fatoração QR O método de fatoração QR da matriz A expressa um par de matrizes Q e R tais que Q é ortogonal e R é triangular superior. O produto de Q por R é igual a matriz A. O comando [Q,R] = qr(A) encontra tais matrizes Q e R. >> [Q,R]=qr(A) Q = -0.3162 -0.9487 -0.9487 0.3162 R = -3.1623 -4.4272 0 -0.6325 Se a matriz A é m x n, então Q será m x m e R será m x n.
- 18. 2.6.6 Decomposição em valores singulares (SVD) A decomposição em valores singulares decompõe a matriz A em um produto de três matrizes tal que A= USV, onde U e V são matrizes ortogonais e S é uma matriz diagonal. Os valores da diagonal da matriz S são chamados valores singulares. Para este tipo de fatoração utiliza-se o comando [U,S,V] = svd(A). >> [U,S,V]=svd(A) U = -0.4046 -0.9145 -0.9145 0.4046 S = 5.4650 0 0 0.3660 V = -0.5760 0.8174 -0.8174 -0.5760 O comando svd(A) retorna os elementos da diagonal de S, que são os valores singulares de A. 2.7 Funções de gerenciamento de matrizes e vetores Algumas funções para gerenciamento de manipulações de matrizes são descritas na tabela 2.4. Tabela 2.4 Funções de gerenciamento Função Descrição Exemplo length(A) Retorna o número de elementos de um vetor A. >> A = [1 3 6 0] >>length(A) ans = 4
- 19. size(A) Retorna um vetor linha [m,n], onde m e n é o tamanho m x n de A. >> A = [1 2 3 4; 5 6 7 8] A = 1 2 3 4 5 6 7 8 >>size(A) ans = 2 4 reshape(A,m,n) Rearranja a matriz A que têm r linhas e s colunas para ter m linhas e n colunas. >> A=[3 1 4; 9 0 7] A = 3 1 4 9 0 7 >>B = reshape(A,3,2) B = 3 0 9 4 1 7 diag(v) Quando v é um vetor, cria uma matriz quadrada com os elementos de v na diagonal principal. >> v = [3 2 1]; >>A = diag(v) A = 3 0 0 0 2 0 0 0 1 diag(A) Quando A é uma matriz, cria um vetor com os elementos da diagonal de A. >> A = [1 8 3; 4 2 6;7 8 3] A = 1 8 3 4 2 6 7 8 3 >> vec = diag(A) vec = 1 2 3 2.8 Análise de Dados de Vetores e Matrizes A tabela 2.5 apresenta algumas funções de análise de matrizes e vetores. Tabela 2.5 Análise de dados Função Descrição Exemplo
- 20. mean(v) Se v é um vetor, retorna o valor médio dos elementos de v. >> v=[1 5 6 8 48 56 2 0]; >> mean(s) ans = 15.7500 C = max(A) Se A é um vetor, C é o valor do maior elemento. Se a A é uma matriz, C é um vetor linha contendo o maior elemento de cada coluna de A. >> A=[4 6 9 4 15 2 0]; >> C=max(A) C = 15 [d,n] = max(A) Se A é um vetor, d é o maior elemento de A, n é a posição do elemento (a primeira, se tiver diversos valores máximos). >> [d,n]=max(A) d = 15 n = 5 min(A) [d,n] = min(A) O mesmo de max(A), só que min(A) retorna o menor elemento. >> A=[ 2 7 8 0 4]; >> min(A) ans = 2 sum(A) Se A é um vetor, retorna a soma dos elementos do vetor. >> A=[ 2 3 9 5 4]; >> sum(A) ans = 23 sort(A) Se A é um vetor, coloca os elementos em ordem crescente. >> A=[ 2 5 1 10 3]; >> sort(A) ans = 1 2 3 5 10 median(A) Se A é um vetor, coloca os elementos em ordem crescente e retorna um valor mediano desses elementos. >> A=[-1 0 2 8 9 13]; >> median(A) ans = 5 std(A) Se A é um vetor, retorna o desvio padrão dos elementos de A. >> A=[-1 0 2 3]; >> std(A) ans =1.8257 dot(A) Calcula o produto escalar de dois vetores a e b. >> a= [5 6 7]; b= [4 3 2]; >> dot(a,b) ans = 52
- 21. cross(a,b) Calcula o produto cruzado de dois vetores a e b. Os dois vetores devem ter 3 elementos. >> a= [5 6 7]; >> b= [4 3 2]; >> cross(a,b) ans = -9 18 -9 2.9 Gerando Números Randômicos Cria uma matriz de elementos pseudo-aleatórios com distribuição uniforme entre 0 e 1, dados os números de linhas e colunas. Alguns comandos são apresentados na tabela 2.6. Tabela 2.6 Números randômicos Comando Descrição Exemplo rand (1,n) Gera um vetor linha de n elementos, com números randômicos entre 0 e 1. >> a = rand(1,3) a = 0.8147 0.9058 0.1270 rand(n) Gera uma matriz n x n, com números randômicos entre 0 e 1. >> b= rand(3) b = 0.9134 0.2785 0.9649 0.6324 0.5469 0.1576 0.0975 0.9575 0.9706 rand(m,n) Gera uma matriz m x n, com números randômicos entre 0 e 1. >> c=rand(2,3) c = 0.9572 0.8003 0.4218 0.4854 0.1419 0.9157 randperm(n) Gera um vetor linha com n elementos que são permutações randômicas dos inteiros de 1 até n. >> randperm(5) ans = 4 3 1 5 2 2.10 Funções Polinomiais
- 22. Um polinômio 01 2 2 1 1 ....)( axaxaxaxaxf n n n n +++++= − − é interpretado no MATLAB como um vetor, começando com o termo de maior grau, [ ]0121 ... aaaaa nn − . Por exemplo: 3753)( 34 +++= xxxxf >> f=[3 5 0 7 3] f = 3 5 0 7 3 Assim, listam-se na tabela 2.7 algumas funções que trabalham com polinômios. Tabela 2.7 Funções polinomiais Função Descrição Exemplo 65)( 2 ++= xxxf , 42)( += xxg roots Retorna um vetor linha com as raízes do polinômio de entrada. >> f=[1 5 6]; >> roots(f) ans = -3.0000 -2.0000 polyval Retorna o valor ou a imagem de um polinômio, dados respectivamente o polinômio e o valor de sua variável independente. >> polyval(f,2) ans = 20 Ou seja, 1(2)2 + 5(2) + 6 = 20 poly Cria um polinômio a partir de um vetor de entrada contendo suas raízes. >> poly([-3 -2]) ans = 1 5 6 conv Multiplica, de forma distributiva, dois polinômios. (mas não dois vetores) >> conv(f,g) ans =2 14 32 24 deconv Divide dois polinômios. >> deconv(f,g) ans = 0.5000 1.5000
- 23. 2.11 Expressões Simbólica No MATLAB, é possível manipularmos expressões que além de números e variáveis numéricas, contêm também variáveis simbólicas. Para definir as variáveis simbólicas, utiliza-se o comando syms. Por exemplo: >> syms x Uma vez definido que a variável x é uma variável simbólica, podemos definir expressões que envolvem esta variável. Por exemplo: >> syms x >> f= 3*x^2+5*x-3; >> g=2*x+1; >> f+g ans = 3*x^2+7*x-2 >> f-g ans = 3*x^2+3*x-4 >> f*g ans =(3*x^2+5*x-3)*(2*x+1) Aqui pode-se usar o comando expand para obter o resultado da expressão. >> expand(ans) ans =6*x^3+13*x^2-x-3 >> f/g ans =(3*x^2+5*x-3)/(2*x+1) >> expand(ans) ans = 3/(2*x+1)*x^2+5/(2*x+1)*x-3/(2*x+1)
- 24. O MATLAB pode realizar operações mais avançadas sobre expressões simbólicas. A função compose calcula a composição das funções f(x) e g(x) em f(g(x)), a função finverse encontra a inversa funcional de uma expressão e a função subs substitui uma variável por um número (ou por outra variável) em uma expressão. A tabela 2.8 resume algumas das manipulações com expressões algébricas. Tabela 2.8 Manipulações Simbólicas Função Descrição Exemplo diff(f) Calcula a derivada de f >> f=3*x^2+5*x-3; >> diff(f) ans =6*x+5 int(f) Calcula a integral indefinida de f. >> int(f) ans = x^3+5/2*x^2-3*x compose (f,g) Determina a composta f(g(x)). >> compose(f,g) ans =3*(2*x+1)^2+10*x+2 expand(expres) Expande uma expressão. >> h=(x-1)^2; >> expand(h) ans =x^2-2*x+1 finverse(g) Determina a função inversa de g. >> finverse(g) ans = -1/2+1/2*x pretty(expres) Escreve uma expressão expres de forma mais bonita. >> pretty(g) 2 x + 1 simple(expres) Procura encontrar uma forma mais simples de escrever uma expressão. simplify (expres) Simplifica a expressão.
- 25. solve (expres) Acha a(s) solução(es) da equação expres = 0. >> syms a b c x >> solve(a*x^2+b*x+c) ans= -1/2*(b-(b^2-4*a*c)^(1/2))/a -1/2*(b+(b^2-4*a*c)^(1/2))/a subs(expres, x,a) Substitui na expressão a variável x por a. >> subs(f,x,2) ans = 19 Outras funções utilizando manipulações simbólicas podem ser encontradas digitando help symbolic na janela de comandos. CAPÍTULO 3 3.1 Gráficos O MATLAB é um software muito eficiente na criação e manipulação de gráficos, apresentando diversas funções que auxiliam essas operações. Podem ser confeccionados gráficos bidimensionais, tridimensionais, malhas e superfícies. 3.1.1 Gráficos bidimensionais O comando básico para plotar um gráfico bidimensional simples é: plot(valores de x, valores de y, opção de estilo) Os valores de x e de y são vetores contendo as coordenadas x-y de pontos do gráfico. As opções de estilo são as especificações de cor, estilo de linha e marcador de pontos. A tabela 3.1 apresenta estes estilos. Tabela 3.1 Cor, estilo de linha e opções de marcadores Opção de cor Estilo de linha Opção de marcador
- 26. y amarelo - linha sólida + cruz m magenta - - linha tracejada o círculo c azul claro : linha pontilhada * asterístico r vermelho -. linha tracejada e pontilhada x xis g verde . ponto b azul ^ triângulo para cima w branco s quadrado k preto d losango Existem várias funções especializadas em plotar gráficos bidimensionais no MATLAB. A tabela 3.2 apresenta algumas delas: Tabela 3.2 Comandos de gráficos Função Descrição area Cria um gráfico com área preenchida bar Cria um gráfico de barras barh Cria um gráfico de barras horizontais comet Faz um plano de animação bidimensional compass Cria um gráfico de setas para números complexos contour Cria um gráfico de contorno contourf Cria um gráfico de contorno preenchido errorbar Cria um gráfico e coloca barras de erros feather Cria um gráfico de setas fill Desenha polígonos da cor especificada fplot Plota funções de uma única variável hist Faz histogramas loglog Cria gráfico com escala logarítmica nas coordenadas x-y pareto Cria gráfico de barras em ordem decrescente pcolor Faz um gráfico pseudo colorido de matriz
- 27. pie Cria um gráfico de pizza plotyy Faz gráfico com dois eixos y plotmatrix Faz gráfico de dispersão de uma matriz polar Plota curvas em coordenadas polares quiver Plota campo de vetores rose Faz histogramas angulares scatter Cria gráficos de dispersão semilogx Cria um gráfico com escala logarítmica no eixo x semilogy Cria um gráfico com escala logarítmica no eixo y stairs Cria um gráfico em forma de escada stem Cria um gráfico de linhas verticais No MATLAB existem três maneiras de criar gráficos em sobreposições: o comando plot, o comando hold e o comando line. Por exemplo: Plotar y1 = sen(t); y2 = t e π20; !7!5!3 753 3 ≤≤++−= t ttt ty a) Comando plot >> plot(t, y1, t, y2, '-', t, y3, 'o') >> xlabel('t') >> ylabel('sen(t) aproximação')
- 28. >>legend('sen(t)',linear aprox', 'aprox 4º ordem') b) comando hold >> plot(t,y1, 'linewidth',2) >> hold on >> plot(t,y2,'-') >> plot(t,y3,'o') >> axis([0 5 -1 5]) >> xlabel('t') >> ylabel('sen(t) aproximação') >>legend('sen(t)',linear aprox', 'aprox 4º ordem') >> hold off
- 29. c) comando line >> plot(t,y1,'linewidth',2) >> line(t, y2, 'linestyle', '-') >> line(t, y3, 'marker', 'o') >> axis([0 5 -1 5]) >> xlabel('t') >> ylabel('sin(t) approximation') >> legend('sin(t)', 'linear approx', '7th order approx') 3.1.2 Gráficos tridimensionais A tabela 3.3 apresenta alguns comandos para plotar gráficos tridimensionais e de contorno. Tabela 3.3 Comandos de gráficos 3D Comando Descrição plot3 Plota um gráfico no espaço 3D fill3 Desenha um polígono 3D comet3 Plota um 3D uma trajetória de cometa contour Plota um gráfico de contorno 2D contour3 Plota um gráfico de contorno 3D
- 30. clabel Plota gráfico de contorno com valores quiver Plota gradiente mesh Plota malha 3D meshc Combinação de mesh e contour surf Plota superfície 3D surfc Combinação de surf e contour surfil Plota superfície 3D com iluminação slice Plota visualização volumétrica cylinder Gera um cilindro sphere Gera uma esfera Exemplos de gráficos tridimensionais a) Usando o comando plot3 >> x=0:0.01:10*pi; >> plot3(x,cos(x),sin(x)) >> xlabel('x') >> ylabel('cos(x)') >> zlabel('sen(x)') b) Usando o comando mesh
- 31. >> [X,Y]=meshgrid(-2:0.2:2,-2:0.2:2); >> Z = X .* exp(-X.^2 - Y.^2); >> mesh(X,Y,Z) 3.1.3 Anotações em gráficos A tabela 3.4 apresenta comandos de fácil utilização para adicionar informações em um gráfico. Tabela 3.4 Comandos de anotações Comando Descriçao Exemplo title Adiciona um título ao gráfico Title(‘título’) xlabel Título no eixo x Xlabel(‘nome em x’) ylabel Título no eixo y Xlabel(‘nome em y’) zlabel Título no eixo z Xlabel(‘nome em z’) text Inserir anotação no gráfico gtext Inserir anotação com o mouse grid Inserir linhas de grade
- 32. CAPÍTULO 4 4.1 Exemplos 1) Gere o gráfico da função )()( 7.0 xsenexy x ω− = para srad /15=ω e 150 ≤≤ x . Solução: >> x=[0:0.01:15]; >> w=15; >> y=exp(-0.7*x).*sin(w*x); >> plot(x,y) >> title('y(x)=e^–^0^.^7^xsinomegax') >> xlabel('x') >> ylabel('y') 2) Uma expressão analítica para a resposta amortecida de um sistema de um grau de liberdade dadas as condições iniciais de deslocamento e velocidade é dada por: )cos()( φωζω −= − tCetx d tn onde C e φ representam a amplitude e o ângulo de fase da resposta do sistema, respectivamente e são dados por:
- 33. 2 002 0 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + += d n vx xC ω ζω , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = − 0 001 tan x vx d n ω ζω φ e nd ωζω 2 1−= Plote a resposta do sistema usando o MATLAB para srad /5=ω , 05,0=ζ , 1,0=ζ e 2,0=ζ sabendo que as condições iniciais são 0)0( =x e scmvx /60)0( 0 == . Solução: wn=5; % Frequência natural zeta=[0.05;0.1;0.2]; % razão de amortecimento x0=0; % delocamneto inicial v0=60; % velocidade inicial t0=0; % tempo inicial deltat=0.01; % intervalo no tempo tf=6; % tempo final t=[t0:deltat:tf]; for i=1:length(zeta) wd=sqrt(1-zeta(i)^2)*wn; x=exp(- zeta(i)*wn*t).*(((zeta(i)*wn*x0+v0)/wd)*sin(wd*t)+x0*cos(wd *t)); plot(t,x,'r') hold on end title('Resposta com condições iniciais') xlabel('t(s)') ylabel('x(t)') legend('zeta 0,05','zeta 0,1','zeta 0,2') grid
- 34. 3) Resolva o sistema de equações de Lorenz ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +−= −−= +−= xyz dt dz xzyx dt dy yx dt dx β ρ σσ onde 10=σ , 3/8=β e 28=ρ . As condições iniciais são 8)0( −=x , 8)0( =y e 27)0( =z . Solução: Neste caso criamos um arquivo .m function exemplo= lorenz(t,x); sigma=10; beta=8/3; ro=28; exemplo=[-sigma*x(1)+sigma*x(2);ro*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);- beta*x(3)+x(1)*x(2)]; A seguir podemos digitar os seguintes comandos na janela de comando:
- 35. >> tspan=[0.0 20.0]; >> x0=[-8 8 27]; >> [t,x]=ode45(@Lorenz,tspan,x0); >> plot(x(:,1),x(:,3)) >> xlabel('x') >> ylabel('y') Podemos também plotar a resposta no tempo: >> subplot(3,1,1) >> plot(t,x(:,1)) >> xlabel('t') >> ylabel('x') >> subplot(3,1,2) >> plot(t,x(:,2)) >> xlabel('t') >> ylabel('y') >> subplot(3,1,3) >> plot(t,x(:,3)) >> xlabel('t') >> ylabel('z')
- 36. 4) Obtenha 5 termos do desenvolvimento em série de Taylor da função )cos()( xxf = . Solução: >> syms x >> taylor(cos(x),5) ans = 1-1/2*x^2+1/24*x^4 5) Plote no MATLAB a magnitude da resposta adimensional e o ângulo de fase para o sistema com movimento harmônico da base mostrado na figura abaixo: Solução: A magnitude da resposta em frequência é dada por:
- 37. ( ) 2/1 222 21 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = nn iG ω ω ζ ω ω ω A magnitude de )( ωiX é dado por: ( ) ( )AiGiX n ω ω ζω ω 2/12 2 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ += onde ( ) ti Aty ω Re= ( ) ( ) ti eiXtx ω ω= O ângulo de fase é dado por: ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − 22 3 1 2 1 2 tan nn n ω ζω ω ω ω ω ζ ωφ A razão de frequência é: n r ω ω = A magnitude da resposta adimensional é: ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = 22 2 2 1 2 1 nn n A iX ω ζω ω ω ω ζω ω zeta= [0.05; 0.1; 0.15; 0.25; 0.5; 1.25; 1.5]; % damping factors r= [0:0.01:3]; %frequency ratio for k=1: length (zeta) G(k,:)=sqrt((1+(2*zeta(k)*r).^2)./((1- r.^2).^2+(2*zeta(k)*r).^2)); phi(k,:)=atan2(2*zeta(k)*r.^3,1- r.^2+(2*zeta(k)*r).^2); end figure (1) plot(r, G,'linewidth',1.5) xlabel ('omega/omega_n') ylabel ('|x (iomega)|/A') grid
- 38. legend('zeta_1=0.05','zeta_2=0.1','zeta_3=0.15','zeta_4 =0.25','zeta_5=0.5','zeta_6=1.25','zeta_7=1.5') figure (2) plot(r, phi,'linewidth',1.5) xlabel ('omega/omega_n') ylabel ('phi (omega)') grid ha=gca; set (ha,'ytick',[0:pi/2:pi]) set(ha,'yticklabel',{[];'pi/2';'p'}) legend('zeta_1=0.05','zeta_2=0.1','zeta_3=0.15','zeta_4 =0.25','zeta_5=0.5','zeta_6=1.25','zeta_7=1.5')
- 39. 6) Uma viga em balanço tem seu modelo dinâmico aproximado com 3 graus de liberdade correspondentes aos deslocamentos verticais w, conforme mostrado abaixo. No modelo de 3 graus de liberdade mostrado, os deslocamentos verticais w1, w2 e w3 são os deslocamentos absolutos das massas m1, m2 e m3, respectivamente. Este sistema possui os seguintes parâmetros físicos: massas m1=m2=m3= 2 kg e rigidez k1 = 600 N/m, k2 = 1200 N/m e k3 = 2400 N/m. Com a ajuda do MATLAB obtenha: as frequências naturais, os modos de vibrar correspondentes, a matriz modal, a matriz de massa modal e a matriz de rigidez modal. Solução: k3 v3 m3 c3 k2 v2 m2 c2 k1 v1 m1 c1
- 40. %Parâmetros %Massa m1=2; m2=2; m3=2; %Rigidez k1=600; k2=1200; k3=2400; %Matriz massa m=[m3 0 0;0 m2 0;0 0 m1]; %Matriz Rigidez k=[k2+k3 -k2 0;-k2 k1+k2 -k1;0 -k1 k1]; A=inv(m)*k %Autovalores de A => frequências naturais %Autovetores de A => Modos de vibrar [Fi,lamb]=eig(A) Fi = 0.1706 -0.4317 -0.8857 0.4732 -0.7526 0.4579 0.8643 0.4973 -0.0759 lamb = 1.0e+003 * 0.1357 0 0 0 0.7540 0 0 0 2.1102 wn=sqrt(lamb) %Frequência natural em rad/s wn = 11.6511 0 0 0 27.4598 0 0 0 45.9370 fn=wn/(2*pi) %Frequência natural em Hz fn = 1.8543 0 0 0 4.3704 0 0 0 7.3111
- 41. w1=wn(1,1) w2=wn(2,2) w3=wn(3,3) w1 = 11.6511 %Primeira frequência natural w2 = 27.4598%Segunda frequência natural w3 = 45.9370%Terceira frequência natural %Massa modal Mr=Fi'*m*Fi Mr = 2.0000 0 -0.0000 0 2.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 2.0000 %Rigidez modal Kr=Fi'*k*Fi Kr = 1.0e+003 * 0.2715 -0.0000 0.0000 0 1.5081 0.0000 0 0.0000 4.2204 i=1:3; Fi1=Fi(i,1) %Primeiro modo Fi2=Fi(i,2) %Segundo modo Fi3=Fi(i,3) %Terceiro modo Fi1 = 0.1706 0.4732 0.8643 Fi2 = -0.4317 -0.7526 0.4973