Mat aplicada cien_soc_programa

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
DEPARTAMENTO DO ENSINO SECUNDÁRIO

PROGRAMA DE MATEMÁTICA
APLICADA ÀS CIÊNCIAS SOCIAIS

10º e 11º ou 11º e 12º Anos
Curso Científico-Humanístico de Ciências Sociais e Humanas

10º, 11º e 12º Anos
Curso Tecnológico de Ordenamento do Território e Ambiente

Autores
Jaime Carvalho e Silva (Coordenador)
Maria Eugénia Graça Martins (Coordenadora)
Arsélio Almeida Martins
Luisa Canto e Castro de Loura

Homologação
16/05/2001

Departamento do Ensino Secund´rio
a

Matem´tica Aplicada as Ciˆncias Sociais
a
`
e
Curso Geral de Ciˆncias Sociais e Humanas
e
Curso Tecnol´gico de Ordenamento do Territ´rio
o
o

1

Introdu¸õ
ca

A disciplina de Matem´tica Aplicada as Ciˆncias Sociais destina-se aos Cursos Geral de Ciˆncias
a
`
e
e
Sociais e Humanas e Tecnol´gico de Ordenamento do Territ´rio. Para o Curso Geral trata-se de
o
o
uma disciplina bienal da componente de forma¸ao espec´
c˜
ıfica com uma carga hor´ria distribu´
a
ıda
por 3 aulas de 90 minutos por semana. Para o Curso Tecnol´gico ´ uma disciplina trienal da
o
e
componente de forma¸õ cient´
ca
ıfico-tecnol´gica com uma carga hor´ria semanal distribu´ por
o
a
ıda
2 aulas de 90 minutos.
Esta disciplina pretende desempenhar um papel incontorn´vel para os estudantes dos cursos
a
referidos, contribuindo para uma abordagem tõ completa quanto poss´ de situa¸˜es reais, ao
a
ıvel
co
desenvolver a capacidade de formular e resolver matematicamente problemas e ao desenvolver
a capacidade de comunica¸õ de ideias matem´ticas (os estudantes devem saber ler e escrever
ca
a
textos com conte´ do matem´tico descrevendo situa¸˜es concretas).
u
a
co
Mais do que pretender que os estudantes dominem quest˜es tćnicas e de pormenor, pretendeo
e
-se que os estudantes tenham experiˆncias matem´ticas significativas que lhes permitam saber
e
a
apreciar devidamente a importˆncia das abordagens matem´ticas nas suas futuras actividades.
a
a
Assim, este programa admite diferentes n´
ıveis de aprofundamento das diversas rubricas (podendo mesmo ficar-se por uma simples referˆncia) desde que tal se traduza em vantagem para o
e
trabalho dos estudantes de modo a garantir que tenham experiˆncias matem´ticas significativas.
e
a
Ao definir o curr´
ıculo de uma disciplina desta ´
ındole, tamb´m se tem em vista prop´sitos de
e
o
Educa¸õ para a cidadania e o papel importante assumido pela Escola, para esse fim.
ca
O contexto que se nos apresenta ´ privilegiado pois o objectivo aqui vai ser o de introduzir e
e
desenvolver alguns conceitos matem´ticos atrav´s de problemas da vida real, mais numa persa
e
pectiva de forma¸õ cultural do que de forma¸õ estritamente tćnica.
ca
ca
e
De entre in´meros assuntos interessantes que ligam a Matem´tica ` vida de todos os dias, foram
u
a
a
seleccionados alguns que sõ potencialmente mais aliciantes, nomeadamente:
a

a

Matem´tica Aplicada `s Ciˆncais Sociais
a
a
e

2

1. M´todos de apoio ` decisõ:
e
a
a
• Teoria matem´tica das elei¸˜es
a
co
• Teoria da partilha equilibrada
2. Modela¸õ matem´tica
ca
a
• Modelos de crescimento Populacional (linear e nõ linear)
a
• Modelos Financeiros
• Modelos de Grafos
3. Estat´
ıstica (e Probabilidades)
O primeiro tema deve a sua pertinˆncia ao facto de vivermos numa sociedade democr´tica e ese
a
tarmos constantemente a ser solicitados para tomar decis˜es, tanto na escolha dos pol´
o
ıticos que
nos governam (Teoria das elei¸˜es), como ao n´ da divisõ mais justa do poder em comiss˜es
co
ıvel
a
o
ou de alguns bens materiais, como por exemplo a partilha de uma heran¸a pelos herdeiros (Teoc
ria da partilha equilibrada). Al´m disso estas ´reas sõ temas muito importantes das Ciˆncias
e
a
a
e
Sociais e as ferramentas matem´ticas dõ contributos incontorn´veis para a tomada de decis˜es.
a
a
a
o
Com o segundo tema pretende-se mostrar como alguns modelos matem´ticos, ainda que simples,
a
podem ser uteis (o estat´
´
ıstico Georges Box afirmava que ”Todos os modelos sõ maus, alguns
a
modelos sõ uteis”) tanto para explicar o crescimento de popula¸˜es biol´gicas, como o crescia ´
co
o
´
mento das poupan¸as no banco. E importante, nomeadamente, tomar consciˆncia de como a
c
e
forma de utiliza¸õ dos recursos naturais, como florestas e popula¸õ de peixes, pode ser fundaca
ca
mental para evitar a sua extin¸õ. Os modelos de grafos introduzem outra forma de mobilizar a
ca
Matem´tica para outros fins e pensando de maneira nõ usual. E pretendem ser modelos uteis
a
a
´
para enfrentar problemas de gestõ e iniciar interven¸˜es sociais ao n´
a
co
ıvel da compreensõ dos
a
sistemas de distribui¸õ ou recolha (tanto no que se refere a distribui¸õ de bens alimentares,
ca
`
ca
de correio ou de recolha do lixo, como as decis˜es sobre localiza¸õ de servi¸os que care¸am de
`
o
ca
c
c
controladores, vendedores, etc).
Finalmente, um lugar de destaque ´ dado a Estat´
e
`
ıstica, que hoje em dia ocupa uma posi¸ao
c˜
´
marcante junto de todas as profiss˜es. E uma ciˆncia que fornece os instrumentos pr´prios para
o
e
o
melhor seleccionar e tratar a quantidade de informa¸õ que nos chega. Do mesmo modo que foi
ca
importante para os nossos pais aprender a ler as palavras, hoje em dia ´ imprescind´ aprene
ıvel
der a ”ler” os n´meros. A Sociedade est´ em mudan¸a, pelo que ´ necess´rio estarmos atentos
u
a
c
e
a
e sabermos acompanhar essa mudan¸a, pois s´ assim poderemos desempenhar o papel a que
c
o
formos solicitados.
Tentar-se-´ ainda mostrar como se podem tirar conclus˜es a partir do estudo dos dados, fazendo
a
o
assim uma introdu¸õ ` Inferˆncia Estat´
ca a
e
ıstica. Ser´ nesta fase que mostraremos toda a potencialia
dade da Estat´
ıstica, pois veremos como se podem tirar conclus˜es, partindo do particular para
o
o geral, ao mesmo tempo que se quantifica o erro cometido. Real¸aremos o papel desempenhado
c
pela Probabilidade, cujo conceito ser´ tamb´m trabalhado. Nos exemplos apresentados limitara
e
nos-emos ` constru¸õ de intervalos de confian¸a, recorrendo a exemplos simples, nomeadamente
a
ca
c

a

a
a
e

3

que tenham sido objecto de estudo na parte da Estat´
ıstica Descritiva, anteriormente dada. No
entanto, võ-nos permitir mostrar como se pode fechar o ciclo de um procedimento estat´
a
ıstico,
que se iniciou com o planeamento da experiˆncia e uma consequente recolha de dados, com o
e
objectivo de uma tomada de decis˜es.
o
H´ a consciˆncia de que muitas das rubricas do programa nõ sõ habituais em Portugal. Por
a
e
a a
isso e para que os professores possam ter uma ideia de como se pode concretizar a metodologia indispens´vel ao sucesso deste programa, ser´ conveniente elaborar alguns textos de apoio que nõ
a
a
a
serõ considerados obrigat´rios nem como fazendo parte do programa e nõ substituem a edi¸ao
a
o
a
c˜
das brochuras necess´rias para fornecer um s´lido enquadramento cient´
a
o
ıfico e metodol´gico.
o
Este programa encontrar´ certamente dificuldades pelo facto de se dirigir a um sector de estua
dantes que nõ tem sido suficientemente conquistado para a Matem´tica. Os temas propostos e
a
a
as metodologias preconizadas pretendem responder a este problema. Contudo, como os temas
nõ sõ habituais e como as metodologias envolvem problemas reais e projectos que intersectam
a a
naturalmente outras areas disciplinares, poderõ surgir novas dificuldades. Tem-se consciˆncia
´
a
e
de que a implementa¸õ deste programa s´ poder´ ser feita gradualmente, devendo os professores
ca
o
a
esfor¸ar-se por cumprir mais cabalmente os objectivos propostos de ano para ano. A satisfa¸ao
c
c˜
dos professores, ao conseguir que estes estudantes se apercebam como a Matem´tica ´ uma
a
e
ferramenta importante para a sua vida, ajudar´ certamente essa evolu¸õ.
a
ca

2

Apresenta¸õ do Programa
ca

2.1

Finalidades

Sõ finalidades da disciplina:
a
• Promover o aprofundamento de uma cultura cient´
ıfica, tćnica e human´
e
ıstica que constitua
suporte cognitivo e metodol´gico tanto para o prosseguimento de estudos como para a
o
inser¸õ na vida activa.
ca
• Desenvolver a capacidade de usar a Matem´tica como instrumento de interpreta¸õ e
a
ca
interven¸õ no real.
ca
• Desenvolver as capacidades de formular e resolver problemas simples em situa¸˜es do dia
co
a dia e no dom´
ınio das Ciˆncias Sociais.
e
• Desenvolver a capacidade de interpretar textos escritos em linguagem matem´tica, a caa
pacidade de comunicar e o esp´
ırito cr´
ıtico.
• Contribuir para formar uma atitude positiva face a ciˆncia e particularmente para com a
` e
Matem´tica.
a
• Promover a realiza¸õ pessoal mediante o desenvolvimento de atitudes de autonomia e
ca
solidariedade.

a

a
a
e

4

• Desenvolver capacidades de interven¸õ social pela compreensõ e discussõ de sistemas
ca
a
a
e instˆncias de decisõ que influenciam a vida dos cidadõs, participando desse modo na
a
a
a
forma¸õ para uma cidadania activa e participativa.
ca

2.2

Objectivos gerais e competˆncias a desenvolver:
e

Valores/Atitudes
Desenvolver a confian¸a
c
em si pr´prio:
o
Exprimir e fundamentaras suas
opini˜es.
o
Revelar esp´
ırito cr´
ıtico, de
rigor e de confian¸a nos seus
c
racioc´
ınios.
Abordar situa¸oes novas com
c˜
interesse, esp´
ırito de iniciativa e
criatividade.
Procurar a informa¸ao de que
c˜
necessita.

Desenvolver
culturais:

Capacidades/Aptid˜es
o
Desenvolver a capacidade
de utilizar a Matem´tica
a
na interpreta¸õ e interca
ven¸õ no real:
ca
Analisar situa¸˜es da vida
co
real identificando modelos matem´ticos que permitam a sua ina
terpreta¸õ e resolu¸õ.
ca
ca
Reconhecer o alcance e
limita¸˜es de um modelo
co
matem´tico.
a
Reconhecer que um mesmo
modelo matem´tico pode permia
tir analisar situa¸˜es diversas.
co
Seleccionar estrat´gias de rese
olu¸õ de problemas.
ca
Formular hip´teses e prever reo
sultados.
Interpretar e criticar resultados
no contexto do problema.
Compreender a aleatoriedade
presente em situa¸˜es do dia a
co
dia e em diferentes fen´menos.
o

Conhecimentos
Conhecer algums m´todos
e
de apoio ` decisõ:
a
a
Reconhecer diferen¸as entre dic
versos m´todos eleitorais.
e
Reconhecer que certos m´todos
e
eleitorais podem ser melhorados,
mas que h´ limites a essa melhoa
ria.
Conhecer alguns m´todos de die
visõ proporcional e interpretar
a
as suas consequˆncias.
e

interesses

Desenvolver o racioc´
ınio e
o pensamento cient´
ıfico:

Conhecer diferentes modelos matem´ticos:
a

Manifestar vontade de aprender
e gosto pela pesquisa.
Interessar-se por not´
ıcias e publica¸oes relativas ` Matem´tica
c˜
a
a
e a descobertas cient´
ıficas e tecnol´gicas.
o
Apreciar o contributo da
Matem´tica para a compreensõ
a
a
e resolu¸õ de problemas do
ca
Homem atrav´s do tempo.
e

Descobrir rela¸˜es entre conco
ceitos matem´ticos.
a
Formular generaliza¸˜es a parco
tir de experiˆncias.
e
Observar regularidades em conjuntos de dados.
Formular hip´teses sobre cono
juntos de dados.
Validar conjecturas.
Compreender a rela¸õ entre o
ca
avan¸o cient´
c
ıfico e o progresso da
humanidade

Conhecer modelos envolvendo
fun¸˜es lineares, exponenciais,
co
logar´
ıtmicas e log´
ısticas.
Explorar problemas concretos
envolvendo modelos financeiros.
Explorar problemas concretos
modelados com grafos.

a

Valores/Atitudes
Desenvolver h´bitos de
a
trabalho e persistˆncia:
e
Elaborar e apresentar os trabalhos de forma organizada e
cuidada.
Manifestar persistˆncia na
e
procura de solu¸˜es para uma
co
situa¸õ nova.
ca

Desenvolver o sentido da
responsabilidade:
Responsabilizar-se pelas suas
iniciativas e tarefas.
Avaliar situa¸˜es e tomar deco
cis˜es.
o

Desenvolver o esp´
ırito
de tolerˆncia e de coa
opera¸õ:
ca
Colaborar em trabalhos de
grupo, partilhando saberes e responsabilidades.
Respeitar a opiniõ dos outros
a
e aceitar as diferen¸as.
c
Intervir na dinamiza¸ao de acc˜
tividades e na resolu¸õ de probca
lemas da comunidade em que se
insere.

a
a
e

5

Capacidades/Aptid˜es
o
Desenvolver a capacidade
de comunicar e transmitir
a informa¸õ organizada:
ca

Conhecimentos
Ampliar os conhecimentos
de Estat´
ıstica e Probabilidades:

Comunicar
conceitos,
racioc´
ınios e ideias,
oralmente e por escrito, com clareza
e rigor.
Organizar a informa¸õ exca
tra´ de conjuntos de dados.
ıda
Interpretar
textos
de
Matem´tica.
a
Exprimir o mesmo conceito em
diversas formas ou linguagens.
Apresentar os textos de forma
clara e organizada.

Interpretar e comparar distribui¸˜es estat´
co
ısticas.
Resolver problemas de contagem.
Resolver problemas envolvendo
c´lculo de probabilidade.
a

Desenvolver as capacidades de utiliza¸õ das
ca
novas tecnologias: calculadora gr´ficas, computaa
dores e internet.

Conhecer aspectos da
Hist´ria da Matem´tica:
o
a

Tratar, explorar e transmitir
dados num´ricos e gr´ficos.
e
a
Desenvolver projectos que incluam pesquisa de informa¸õ.
ca
Analisar criticamente dados, informa¸õ e resultados obtidos.
ca

Conhecer
algumas
personalidades da Hist´ria da
o
Matem´tica, com particular
a
incidˆncia
e
na
Matem´tica
a
contemporˆnea.
a
Conhecer alguns factos marcantes da Hist´ria da Mao
tem´tica e relacion´-los com moa
a
mentos hist´ricos de relevˆncia
o
a
cultural ou social.

a

2.3

a
a
e

6

Visõ geral dos conte´dos/temas
a
u

A distribui¸õ das diferentes rubricas pelos diferentes anos de escolaridade, assim como o n´ mero
ca
u
de aulas recomendadas, ´ apresentada a seguir. Observe-se, no entanto, que, excepto a Teoria
e
Matem´tica das Elei¸˜es que funciona como m´dulo inicial, todas as outras rubricas podem ser
a
co
o
arrumadas de outro modo se o professor entender que, nas condi¸˜es em que trabalha, da´ advem
co
ı
maior proveito para os estudantes.

Curso Geral de Ciˆncias Sociais e Humanas
e
Distribui¸õ dos temas/conte´dos pelos anos de escolaridade
ca
u
10. Ano
11. Ano
1. M´todos de apoio ` Decisõ - 40 aulas
e
a
a
M´dulo inicial
o
Teoria matem´tica das elei¸˜es.
a
co
Teoria da partilha equilibrada.

2. Estat´
ıstica - 40 aulas
Interpreta¸õ de tabelas e gr´ficos atrav´s de
ca
a
e
exemplos.
Planeamento e aquisi¸õ de dados. Quest˜es
ca
o
´ticas relacionadas com as experimenta¸˜es. Exe
co
emplos.
Aplica¸õ e concretiza¸õ dos processos anteca
ca
riormente referidos, na elabora¸ao de alguns pec˜
quenos projectos com dados recolhidos na Escola,
com constru¸õ de tabelas e gr´ficos simples.
ca
a
Classifica¸õ de dados. Constru¸õ de tabelas
ca
ca
de frequˆncia. Representa¸˜es gr´ficas adequadas
e
co
a
para cada um dostipos de dados considerados.
C´lculo de estat´
a
ısticas. Vantagens, desvantagens e limita¸˜es das medidas consideradas.
co
Introdu¸õ gr´fica a an´lise de dados bivariaca
a
` a
dos. quantitativos
Modelos de regressõ linear.
a
Rela¸ao entre vari´veis qualitativas.
c˜
a

3. Modelos matem´ticos - 10 aulas
a
Modelos financeiros.

1. Modelos matem´ticos - 30 aulas
a
Modelos de grafos.
Modelos populacionais.

2. Modelos de Probabilidade - 35 aulas
Fen´menos aleat´rios.
o
o
Argumentos de simetria e Regra de Laplace.
Modelos de probabilidade em espa¸os finitos.
c
Vari´veis quantitativas. Fun¸õ massa de probaa
ca
bilidade.
`
Probabilidade condicional. Arvores de probabilidade. Acontecimentos independentes.
Probabilidade Total. Regra de Bayes.
Valor m´dio e variˆncia populacional.
e
a
Espa¸o de resultados infinitos. Modelos discrec
tos e modelos cont´
ınuos.
Exemplos de modelos cont´
ınuos.
Modelo Normal.

3. Introdu¸õ ` Inferˆncia Estat´
ca a
e
ıstica 25 aulas
Parˆmetro e estat´
a
ıstica.
Distribui¸õ de amostragem de uma estat´
ca
ıstica.
No¸õ de estimativa pontual. Estima¸õ de um
ca
ca
valor m´dio.
e
Importˆncia da amostragem aleat´ria, no cona
o
texto da Inferˆncia Estat´
e
ıstica. Utiliza¸õ do
ca
Teorema do Limite Central na obten¸õ da disca
tribui¸õ de amostragem da m´dia.
ca
e
Constru¸õ de estimativas intervalares ou inca
tervalos de confian¸a para o valor m´dio de uma
c
e
vari´vel.
a
Estimativa pontual da propor¸õ com que a
ca
popula¸õ verifica uma propriedade.
ca
Constru¸õ de intervalos de confian¸a para a
ca
c
propor¸õ.
ca
Interpreta¸õ do conceito de intervalo de conca
fian¸a.
c

a

a
a
e

7

Curso Tecnol´gico de Ordenamento do Territ´rio
o
o
Distribui¸õ dos temas/conte´dos pelos anos de escolaridade
ca
u
10. Ano
11. Ano
1. M´todos de apoio ` De- 1. Estat´
e
a
ıstica - 20 aulas
Classifica¸õ de dados. Consca
cisõ - 40 aulas
a

12. Ano
1. Modelos de Probabilidade - 35 aulas

M´dulo inicial
o
Teoria matem´tica das elei¸˜es.
a
co
Teoria da partilha equilibrada.

tru¸õ de tabelas de frequˆncia.
ca
e
Representa¸˜es gr´ficas adeco
a
quadas para cada um dos tipos
de dados considerados.
C´lculo de estat´
a
ısticas. Vantagens, desvantagens e limita¸˜es
co
das medidas consideradas.
Introdu¸õ gr´fica ` an´lise
ca
a
a
a
de dados bivariados.
Modelos de regressõ linear.
a
Rela¸õ entre vari´veis qualica
a
tativas.

Fen´menos aleat´rios.
o
o
Argumentos de simetria e Regra de Laplace.
Modelos de probabilidade em
espa¸os finitos. Vari´veis quantic
a
tativas. Fun¸õ massa de probaca
bilidade.
Probabilidade condicional.
´
Arvores de probabilidade. Acontecimentos independentes.
Probabilidade Total. Regra
de Bayes.
Valor m´dio e variˆncia popue
a
lacional.
Espa¸o de resultados infinic
tos. Modelos discretos e modelos
cont´
ınuos.
Exemplos de modelos cont´
ınuos.
Modelo Normal.

2. Estat´
ıstica - 20 aulas

2. Modelos matem´ticos a
40 aulas

2. Introdu¸õ ` Inferˆncia
ca a
e
Estat´
ıstica - 25 aulas

Interpreta¸õ de tabelas e
ca
gr´ficos atrav´s de exemplos.
a
e
Planeamento e aquisi¸õ de
ca
dados. Quest˜es ´ticas relacioo e
nadas com as experimenta¸˜es.
co
Exemplos.
Aplica¸ao e concretiza¸õ dos
c˜
ca
processos anteriormente referidos, na elabora¸õ de alguns
ca
pequenos projectos com dados
recolhidos na Escola, com constru¸õ de tabelas e gr´ficos simca
a
ples.

Modelos financeiros.
Modelos de grafos.
Modelos populacionais.

a
ıstica.
Distribui¸õ de amostragem
ca
de uma estat´
ıstica.
No¸õ de estimativa pontual.
ca
Estima¸õ de um valor m´dio.
ca
e
Importˆncia da amostragem
a
aleat´ria, no contexto da Ino
ferˆncia Estat´
e
ıstica. Utiliza¸õ
ca
do Teorema do Limite Central
na obten¸õ da distribui¸õ de
ca
ca
amostragem da m´dia.
e
Constru¸õ de estimativas inca
tervalares ou intervalos de confian¸a para o valor m´dio de uma
c
e
vari´vel.
a
Estimativa pontual da propor¸õ com que a popula¸õ verca
ca
ifica uma propriedade.
Constru¸õ de intervalos de
ca
confian¸a para a propor¸õ.
c
ca
Interpreta¸õ do conceito de
ca
intervalo de confian¸a.
c

a

a
a
e

8

A escolha dos temas propostos, como j´ se disse na introdu¸õ, teve em conta um dos objectivos
a
ca
priorit´rios da escola, que ´ o da educa¸õ para a cidadania. Esta educa¸õ subentende uma
a
e
ca
ca
melhor compreensõ do mundo que nos rodeia, pelo que ´ necess´rio dotar os jovens das ferraa
e
a
mentas necess´rias para mais rapidamente e em melhores condi¸˜es responderem `s in´meras
a
co
a
u
solicita¸˜es do meio em que se integram. Tamb´m se consideram recomenda¸˜es internacionais
co
e
co
que defendem insistentemente o desenvolvimento de temas de Matem´tica Discreta, particulara
mente para ´reas de Ciˆncias Sociais.
a
e
Os trˆs temas seleccionados encerram objectivos diversos, permitindo desenvolver capacidades
e
distintas e fazer aparecer diferentes conceitos matem´ticos.
a

2.4

Sugest˜es Metodol´gicas Gerais
o
o

Conv´m ter presente que, neste programa, sõ determinantes as capacidades de usar a matem´tica
e
a
a
em situa¸˜es reais, formular e resolver problemas e comunicar ideias matem´ticas. Menos imco
a
portantes sõ o conhecimento e a utiliza¸õ de rotinas e tćnicas de c´lculo e o dom´
a
ca
e
a
ınio dos
conceitos como objectos matem´ticos. Neste contexto, o maior ou menor aprofundamento de
a
cada rubrica depender´ das op¸˜es que o professor fizer tendo em conta as caracter´
a
co
ısticas dos
estudantes e os recursos dispon´
ıveis, analisando cuidadosamente quais as rubricas onde, nessas
condi¸˜es, poder´ desenvolver com os estudantes projectos mais significativos (no sentido de
co
a
ajudar os estudantes a desenvolver as capacidades j´ mencionadas).
a
Assume grande importˆncia a interpreta¸õ de problemas realistas e a investiga¸õ que se faz
a
ca
ca
´ importante o professor apnas fontes e nas instˆncias de decisõ para as diversas situa¸oes. E
a
a
c˜
resentar ou sugerir situa¸˜es que possam vir a ser objecto de estudo e em cada oportunidade
co
esclarecer a matem´tica necess´ria para as diversas situa¸˜es e para a comunica¸õ inteligente
a
a
co
ca
e justificada das decis˜es. As tćnicas matem´ticas a estudar sõ assim as necess´rias ao estudo
o
e
a
a
a
e interpreta¸õ das situa¸˜es propostas. Se ´ verdade que os estudantes devem usar correctaca
co
e
mente o vocabula´rio e simbologia espec´
a
ıficos da Matem´tica, tamb´m se deve ter em conta que
a
e
estes nõ sõ o centro da aprendizagem nem devem ser confundidos com rigores formais que a
a a
desvirtuem.
A abordagem dos temas de Estat´
ıstica, Probabilidades e Inferˆncia Estat´
e
ıstica aplicada as
`
Ciˆncias Sociais ´ feita neste programa de uma forma muito virada para os interesses e nee
e
´
cessidades dos estudantes dos Cursos em que esta disciplina se integra. E por isso que estes
temas sõ tratados com muitos exemplos e detalhe metodol´gico.
a
o
O estabelecimento de conex˜es entre os diferentes temas fornece oportunidades ao estudante
o
de observar como os assuntos se poderõ combinar para abordar problemas mais complexos e
a
permitir´ revisitar temas j´ estudados. Para dar aos estudantes uma visõ mais completa da
a
a
a
da Matem´tica, os professores poderõ estabelecer conex˜es com outros temas abordados no
a
a
o
3o ciclo, nomeadamente com a Geometria. As ferramentas pr´prias deste tema (material de
o
desenho, software de geometria dinˆmica, etc) poderõ entõ ser mobilizadas e poder´ ser dado
a
a
a
a
tempo aos estudantes para recordarem o seu uso.
Nõ h´ forma¸õ matem´tica equilibrada sem uma referˆncia ` Hist´ria da Matem´tica. Um
a a
ca
a
e
a
o
a
estudante precisa de saber que as descobertas matem´ticas se sucedem a um ritmo vertiginoso
a

a

a
a
e

9

e que, juntamente com todas as das outras areas do saber, tˆm contribu´ ao longo dos tem´
e
ıdo
pos para a compreensõ e resolu¸õ dos problemas do Homem. Como a maioria das rubricas
a
ca
deste programa est´ relacionada com matem´tica contemporˆnea, ´ natural que a maioria das
a
a
a
e
referˆncias inclua trabalhos matem´ticos mais recentes; nõ h´ qualquer inconveniente com esse
e
a
a a
facto, pelo contr´rio, tal mostra a vitalidade da Matem´tica. Assim, sempre que poss´
a
a
ıvel, devem ser usados exemplos hist´ricos interessantes (uso de estat´
o
ısticas pela enfermeira Florence
Nightingale, an´lises de Malthus sobre o crescimento populacional, casos c´lebres de utiliza¸ao
a
e
c˜
incorrecta da Estat´
ıstica, controv´rsias eleitorais, etc).
e
2.4.1

Avalia¸õ
ca

A natureza da disciplina e, em particular, o tipo de trabalho que se pretende desenvolver com
os estudantes implica decisivamente uma altera¸õ nos instrumentos de avalia¸õ. As provas
ca
ca
escritas (ou testes) tradicionais de questionamento sobre os conceitos matem´ticos em si mesmos
a
ou com exigˆncia de prova do manejo de tćnicas matem´ticas ou de manipula¸õ da simbologia
e
e
a
ca
matem´tica perdem sentido e oportunidade como instrumentos privilegiados para as tarefas
a
de avalia¸õ. A actividade dos estudantes e o aproveitamento que se pretende verificar sõ
ca
a
mais cabalmente medidos com a aprecia¸õ dos trabalhos de grupo e individuais realizados,
ca
sendo importante que assumam diversos formatos: composi¸˜es e notas de leitura, relat´rios de
co
o
actividades desenvolvidas, prepara¸õ de apresenta¸˜es e participa¸õ em debates com temas
ca
co
ca
seleccionados adequadamente ligados aos assuntos de ensino.

2.5

Recursos

A didćtica prevista para a Matem´tica Aplicada as Ciˆncias Sociais no ensino secund´rio
a
a
`
e
a
pressup˜e a possibilidade de uso de materiais e equipamentos diversificados:
o
• Meios audiovisuais (retroprojector, acetatos e canetas, diapositivos, v´
ıdeo, ...);
• Livros para consulta e manuais;
• Outros materiais escritos (folhas com dados estat´
ısticos, fichas de trabalho, fichas de
avalia¸õ, ...). Prevˆ-se a possibilidade de recorrer a fontes para fornecimento de dados
ca
e
estat´
ısticos (autarquias, clubes, hospitais, empresas, institutos, cooperativas,...);
• Calculadoras gr´ficas e computadores.
a
´
E considerado indispens´vel o uso de
a
• calculadoras gr´ficas que desempenham uma parte das fun¸oes antes apenas poss´
a
c˜
ıveis num
computador (para trabalho regular na sala de aula ou para demonstra¸˜es com todos os
co
estudantes, usando uma calculadora com ”view-screen”);
• uma sala de computadores com ”software” adequado para trabalho tõ regular quanto
a
poss´
ıvel;
• um computador ligado a um ”data-show” para demonstra¸oes, simula¸˜es ou trabalho na
c˜
co
sala de aula com todos os estudantes ao mesmo tempo.

a

a
a
e

10

Todas as Escolas Secund´rias devem estar equipadas com Laborat´rios de Matem´tica que
a
o
a
integrem estes recursos e outros que se venham a revelar necess´rios. Os recursos escolhidos
a
deverõ ter em vista tanto a sua utiliza¸õ na pr´pria sala do Laborat´rio de Matem´tica, como
a
ca
o
o
a
uma utiliza¸õ de recursos adequados em salas de aulas indiferenciadas.
ca
A modela¸õ matem´tica assume neste programa um papel importante; um modelo incluir´,
ca
a
a
normalmente, uma descri¸õ matem´tica, gr´fica ou verbal da realidade em estudo. Assim, o
ca
a
a
trabalho de modela¸õ matem´tica s´ ser´ plenamente atingido se for poss´ trabalhar na sala
ca
a
o
a
ıvel
de aula as diversas fases do processo de modela¸õ matem´tica, embora nõ seja exig´
ca
a
a
ıvel que
sejam todas tratadas simultaneamente em todas as ocasi˜es; em particular, recomenda-se a utio
liza¸õ de sensores de recolha de dados acoplados a calculadoras gr´ficas ou computadores para,
ca
a
nalgumas situa¸˜es, os estudantes tentarem identificar ”modelos matem´ticos que permitam a
co
a
sua interpreta¸õ” (por exemplo, para fazer trabalhos estat´
ca
ısticos).
O uso de tecnologia facilita ainda uma participa¸ao activa do estudante na sua aprendizagem
c˜
como j´ era preconizado por Sebastiõ e Silva, quando escrevia no ”Guia para a utiliza¸õ do
a
a
ca
Compˆndio de Matem´tica” que ”haveria muit´
e
a
ıssimo a lucrar em que o ensino fosse tanto quanto
poss´ laboratorial, isto ´, baseado no uso de computadores, existentes nas pr´prias escolas ou
ıvel
e
o
fora destas, em laborat´rios de c´lculo”. O estudante deve contudo ser confrontado, atrav´s de
o
a
e
exemplos concretos, com os limites da tecnologia.
Uso de calculadoras gr´ficas
a
O uso de calculadoras gr´ficas ´ obrigat´rio neste programa. Contudo, os estudantes precisam
a
e
o
de ter oportunidade de entender que aquilo que a calculadora apresenta no seu ćran pode
e
ser uma visõ distorcida da realidade; al´m do mais, o trabalho feito com a m´quina deve ser
a
e
a
sempre confrontado com outros conhecimentos, assim como o trabalho te´rico deve ser finalizado
o
´ importante que os estudantes descrevam os racioc´
com uma verifica¸õ com a m´quina. E
ca
a
ınios
utilizados e interpretem aquilo que se lhes apresenta de modo que nõ se limitem a ”copiar” o
a
que vêm.
e
´
E muito importante desenvolver a capacidade de lidar com elementos de que apenas uma parte
´
se pode determinar de forma exacta. E importante ir sempre treinando os estudantes na confronta¸õ dos resultados obtidos com os conhecimentos te´ricos; sem estes aspectos nõ se pode
ca
o
a
desenvolver a capacidade de resolver problemas de aplica¸˜es da matem´tica e a capacidade de
co
a
analisar modelos matem´ticos.
a
Uso de computadores
O computador, pelas suas potencialidades, nomeadamente nos dom´
ınios do tratamento dos dados
e da representa¸õ gr´fica de fun¸˜es e da simula¸õ, permite actividades nõ s´ de exploraca
a
co
ca
a o
ca
¸õ e pesquisa como de recupera¸õ e desenvolvimento, pelo que constitui um valioso apoio a
ca
estudantes e professores. Programas de C´lculo Num´rico e Estat´
a
e
ıstico, particularmente uma
Folha de C´lculo, de Gr´ficos e Simula¸õ, fornecem diferentes tipos de perspectivas tanto a
a
a
ca
professores como a estudantes.
Os estudantes devem ter oportunidade de trabalhar directamente com um computador, com a
frequˆncia poss´ de acordo com o material dispon´
e
ıvel
ıvel. O trabalho com computadores dever´
a
´
ainda ser explorado e desenvolvido na Area de Projecto e em actividades complementares, nõ
a
podendo, contudo, o trabalho com computadores ser remetido exclusivamente para fora do
trabalho regular da aula de Matem´tica.
a

a

a
a
e

11

Internet
Estando todas as Escolas Secund´rias ligadas ` Internet o professor nõ deve deixar de tirar
a
a
a
todo o partido deste novo meio de comunica¸õ. Na bibliografia final sõ indicados alguns
ca
a
s´
ıtios recomendados; esses s´
ıtios contˆm liga¸˜es para muitos outros s´
e
co
ıtios de interesse. Para o
trabalho com os estudantes apresenta-se como exemplo de trabalho proveitoso o de projectos
como ”Pergunta Agora” ou ”Investiga e Partilha” onde os estudantes podem colocar d´vidas
u
ou partilhar a resolu¸õ de problemas (os projectos podem ser acedidos a partir da p´gina da
ca
a
APM-Associa¸õ de Professores de Matem´tica).
ca
a
Como exemplo de um projecto de interesse geral para professores e estudantes e para divulga¸õ
ca
da matem´tica aponta-se o do projecto ”Atractor-Matem´tica Interactiva” que pode ser visto
a
a
em:
http:/www.fc.up.pt/atractor

3

Desenvolvimento dos temas e indica¸˜es metodol´gicas
co
o

Teoria Matem´tica das Elei¸˜es
a
co
Este tema funciona, neste programa, como m´dulo inicial. As tćnicas matem´ticas que
o
e
a
envolve (numa abordagem elementar, como tem de ser a de um programa desta ´
ındole) sõ todas
a
o e 3o ciclos. Assim, poder´ come¸ar a insistir-se num trabalho metodol´gico
leccionadas no 2
a
c
o
mais avan¸ado, que ´ a base fundamental para o sucesso de uma disciplina deste tipo.
c
e
Como este tema trata de um assunto correntemente abordado na comunica¸ao social, nõ ser´
c˜
a
a
dif´ encontrar exemplos concretos ou mesmo fazer simula¸˜es na sala de aula. O assunto em si
ıcil
co
est´ tamb´m claramente dentro dos interesses dos estudantes deste agrupamento e poder´ assim
a
e
a
constituir uma boa introdu¸õ ao estudo da Matem´tica para os estudantes de Ciˆncias Sociais
ca
a
e
e Humanas.
Podemos ainda apresentar as seguintes vantagens de um trabalho com este tema:
• aborda um assunto muito importante para qualquer regime pol´
ıtico democr´tico;
a
• ajuda a recordar tćnicas e conceitos matem´ticos j´ abordados no ensino b´sico, tais como
e
a
a
a
c´lculo, percentagens e desigualdades;
a
• alerta os estudantes para a importˆncia de modelos matem´ticos em ´reas fora das ciˆncias
a
a
a
e
e da engenharia;
• mostra as limita¸˜es de um modelo matem´tico;
co
a
• permite uma forma de trabalho em que o investigar situa¸oes, o recolher dados, o analisar
c˜
situa¸˜es e o escrever de pequenos relat´rios desempenham um papel preponderante.
co
o
Nesta ordem de ideias apresenta-se a seguir uma poss´ sequˆncia de trabalho:
ıvel
e
Estudo de algumas elei¸˜es.
co
Objectivos a atingir:
Perceber como se contabilizam os mandatos nalgumas elei¸˜es.
co

a

a
a
e

12

Perceber que os resultados podem ser diferentes se os m´todos de contabiliza¸õ dos mandatos
e
ca
forem diferentes.
Todo o trabalho ganha se for feito a partir de exemplos concretos que tanto podem vir de
vota¸oes feitas entre os pr´prios estudantes (cores, sabores, clubes, pa´
c˜
o
ıses, etc.), como podem
vir de dados de elei¸˜es j´ realizadas, com particular relevˆncia para as elei¸˜es nacionais,
co
a
a
co
regionais e locais portuguesas; devem contudo evitar-se exemplos demasiado recentes pass´
ıveis
de gerar efervescˆncia desnecess´ria na sala de aula. Devem tamb´m ser usados alguns exemplos
e
a
e
hist´ricos significativos, de diferentes ´pocas e pa´ que tenham usado diferentes sistemas de
o
e
ıses
vota¸õ.
ca
O professor deve usar a metodologia que achar mais adequada de modo a que os estudantes
participem activamente no estudo dos exemplos e modelos propostos.
Os estudantes devem recorrer ` tecnologia (calculadoras gr´ficas ou computadores) para simular
a
a
varia¸˜es das situa¸˜es estudadas e tentar retirar algumas conclus˜es, elaborando pequenos
co
co
o
relat´rios.
o
Como melhorar o sistema de vota¸õ.
ca
Estudar algumas situa¸˜es paradoxais.
co
Analisar algumas condi¸˜es para ter um sistema adequado.
co
Perceber que h´ limita¸˜es ` melhoria dos sistemas.
a
co a
A situa¸õ paradoxal mais interessante que se pode estudar ´ a do paradoxo de Condorcet que
ca
e
´ facilmente entendido atrav´s de um exemplo concreto.
e
e
Os diferentes sistemas de vota¸õ e m´todos de contabiliza¸õ de mandatos que poderõ ser
ca
e
ca
a
estudados sõ: por ordem de preferˆncia, maiorit´rio com duas ou mais voltas, proporcional
a
e
a
(com diferentes m´todos de traduzir a proporcionalidade), de aprova¸õ. Cada sistema estudado
e
ca
deve ser acompanhado de uma pequena an´lise das suas principais consequˆncias.
a
e
O terorema de Arrow, que mostra as limita¸˜es de um sistema matem´tico de vota¸õ e de
co
a
ca
contabiliza¸õ dos mandatos em elei¸˜es, pode ser trabalhado com diferentes n´
ca
co
ıveis de aprofundamento, podendo contudo fazer-se apenas uma breve referˆncia ` sua existˆncia. Esta ´ uma
e
a
e
e
boa oportunidade para fazer uma referˆncia hist´rica ao matem´tico Kenneth Arrow que foi
e
o
a
galardoado com o pr´mio Nobel da Economia em 1972.
e
Nõ se pretende desenvolver uma teoria matem´tica das elei¸˜es, mas tõ s´ alertar os estudantes
a
a
co
a o
para uma area de importˆncia fundamental na sociedade actual e como a matem´tica ´ uma
´
a
a
e
ferramenta incontorn´vel (embora de modo nenhum seja a unica ferramenta relevante).
a
´

Teoria da Partilha Equilibrada
Dificuldades da partilha.
Familiarizar os estudantes com as dificuldades de uma partilha equilibrada.

a

a
a
e

13

Para os estudantes entenderem melhor o problema poderõ trabalhar com diversas situa¸˜es
a
co
elementares (divisõ de um bolo, cria¸õ de uma comissõ representativa dos alunos do 10o, 11o
a
ca
a
¯
¯
e 12o anos numa escola secund´ria, heran¸a, etc.) propondo os m´todos de partilha que lhes
a
c
e
¯
parecerem mais adequados (havendo normalmente desacordo sobre o melhor m´todo).
e
Para os estudantes observarem melhor as dificuldades do problema poderõ ser propostos problea
mas cl´ssicos de divisõ (como o dos camelos de Malba Tahan); os estudantes poderõ tamb´m
a
a
a
e
discutir alguns casos concretos de heran¸as (com referˆncias socio-culturais `s regi˜es de inser¸õ)
c
e
a
o
ca
procurando compreender os procedimentos ancestrais das comunidades para a divisõ de bens.
a
Sobre estas quest˜es hist´ricas e da sua heran¸a cultural devem realizar trabalhos em que eso
o
c
clare¸am a matem´tica usada.
c
a
Partilhas no caso discreto.
Experimentar pelo menos um algoritmo usado numa situa¸õ real (actual ou hist´rica).
ca
o
Comparar a aplica¸õ de dois algoritmos que produzam resultados diferentes numa mesma
ca
situa¸õ.
ca
Para o caso discreto poderõ ser estudados os algoritmos usados no Congresso dos Estados
a
Unidos para determinar o n´mero de lugares de cada Estado (m´todos de Hamilton, de Jefferson,
u
e
de Webster, de Hill, etc), o algoritmo usado para determinar o n´mero de lugares nos parlamentos
u
de Portugal e de outros pa´ assim como no Parlamento Europeu.
ıses
Os estudantes poderõ experimentar quais as altera¸oes que o uso de um m´todo diferente traria.
a
c˜
e
Isso fornecer´ oportunidades para trabalhos individuais e de grupo que devem dar origem a
a
diferentes composi¸˜es, relat´rios ou investiga¸oes hist´ricas.
co
o
c˜
o
Partilhas no caso cont´
ınuo.
Experimentar pelo menos um algoritmo usado numa situa¸õ real (actual ou hist´rica).
ca
o
Comparar a aplica¸õ de dois algoritmos que produzam resultados diferentes numa mesma
ca
situa¸õ.
ca
Para o caso cont´
ınuo poderõ ser estudados os algoritmos da ”divisõ de Steinhaus - pelo ultimo
a
a
´
a escolher”, da ”divisõ de Banach e Knaster - ultimo a diminuir” ou da ”divisõ livre de inveja
a
´
a
de Taylor e Brams”.
Poder´ ser aproveitado algum dos algoritmos discutidos para fazer considera¸˜es hist´ricas (se
a
co
o
se tratar de um matem´tico contemporˆneo poder´ ser referida a sua forma¸õ, o seu trabalho
a
a
a
ca
actual, assim como outras ´reas de actua¸õ).
a
ca

a

a
a
e

14

Estat´
ıstica
Interpreta¸õ de tabelas e gr´ficos atrav´s de exemplos.
ca
a
e
Familiarizar os estudantes com a leitura e interpreta¸ao de informa¸õ transmitida atrav´s de
c˜
ca
e
tabelas e gr´ficos.
a
De forma a cimentar alguns dos conhecimentos adquiridos no Ensino B´sico, na introdu¸õ
a
ca
do tema Estat´
ıstica, propomos que se comece com a interpreta¸õ de tabelas e gr´ficos, j´ conca
a
a
stru´
ıdos, que sõ instrumentos privilegiados em qualquer procedimento estat´
a
ıstico. Pretendemos
chamar a aten¸õ para o quanto estes processos podem ser ricos na transmissõ de informa¸ao,
ca
a
c˜
mas tamb´m alertar para algumas representa¸oes que podem levar a interpreta¸˜es erradas. Os
e
c˜
co
exemplos devem ser sugestivos, ligados a actividades do mundo real.
Pretende-se que no fim deste m´dulo os estudantes estejam familiarizados com os diferentes
o
tipos de gr´ficos e tabelas, que sõ usados para reduzir a informa¸õ contida num conjunto de
a
a
ca
dados, sem terem a preocupa¸õ de quais as regras ou metodologias utilizadas na sua constru¸õ.
ca
ca
No texto de apoio que acompanha o programa sugerimos alguns exemplos que podem ajudar a
clarificar a metodologia proposta.
Planeamento e aquisi¸õ de dados. Quest˜es ´ticas relacionadas com as experica
o
e
menta¸˜es. Exemplos.
co
Apresentar as ideias b´sicas dos processos conducentes ` recolha de dados v´lidos.
a
a
a
Fazer sentir a necessidade de aleatoriezar os processos de recolha de dados.
Neste m´dulo, que consideramos de grande importˆncia, ´ que se tem a oportunidade de dar
o
a
e
a entender o que ´ a Estat´
e
ıstica, como ciˆncia. Em qualquer procedimento estat´
e
ıstico estõ,
a
de um modo geral, envolvidas duas fases importantes, nomeadamente a fase que diz respeito a
`
organiza¸õ dos dados – An´lise de dados, e a fase em que se procura retirar conclus˜es a partir
ca
a
o
dos dados, dando ainda informa¸õ de qual a confian¸a que devemos atribuir a essas conclus˜es
ca
c
o
– Inferˆncia Estat´
e
ıstica. Existe no entanto uma fase pioneira, que diz respeito a Produ¸õ ou
`
ca
Aquisi¸õ de Dados. Como ´ referido em Tannenbaum et al. (1997), p. 426,
ca
e
”Behind every statistical statement there is a story, and like any story it has a
beginning, a middle, an end, and a moral. In this first statistics chapter we begin
with the beginning, which is statistics typically means the process of gathering or
collecting data. Data are the raw material of which statistical information is made,
and in order to get good statistical information one needs good data”.
Aplica¸õ e concretiza¸õ dos processos anteriormente referidos, na elabora¸õ de
ca
ca
ca
alguns pequenos projectos com dados recolhidos na Escola, com constru¸õ de
ca
tabelas e gr´ficos simples.
a

a

a
a
e

15

Fazer sentir a necessidade de organizar os dados, de forma a fazer sobressair a informa¸õ neles
ca
contida.
Fazer sentir a necessidade de alguma metodologia na organiza¸õ dos dados.
ca
Neste m´dulo pretende-se que os estudantes elaborem pequenos estudos em que face a um detero
minado problema, identifiquem a Popula¸ao objectivo, seleccionem uma amostra representativa,
c˜
quando nõ for poss´ estudar a Popula¸õ toda e fa¸am a redu¸õ dos dados obtidos atrav´s
a
ıvel
ca
c
ca
e
de uma sondagem. Nesta fase ´ importante que o Professor dˆ a ajuda necess´ria, quando nõ
e
e
a
a
for imediata a forma de organizar os dados.
Os projectos efectuados devem estar relacionados com dados recolhidos na Escola ou no meio
que rodeia a escola, pois de um modo geral os estudantes ficam motivados por estes estudos, j´
a
que gostam de conhecer a realidade da sua Escola.
Classifica¸õ de dados. Constru¸õ de tabelas de frequˆncia. Representa¸˜es gr´fica
ca
e
co
a
cas adequadas para cada um dos tipos de dados considerados.
Habilitar na utiliza¸õ das ferramentas mais adequadas para o tratamento dos diferentes tipos
ca
de dados.
Ensinar a fazer uma leitura adequada dos gr´ficos.
a
Neste m´dulo procede-se ` organiza¸õ e redu¸õ dos dados obtidos atrav´s de sondagens ou
o
a
ca
ca
e
´ importante ter presente o tipo de dados objecto de estudo, pois nem sempre
experimenta¸˜es. E
co
se pode aplicar a mesma metodologia estat´
ıstica a todos os tipos de dados.
Nesta fase de organiza¸õ dos dados ´ essencial construirmos “bons” gr´ficos, para que tenha
ca
e
a
sentido a frase vulgarmente utilizada “um gr´fico vale mais do que mil palavras”.
a
C´lculo de estat´
a
ısticas. Vantagens, desvantagens e limita¸˜es das medidas consideco
radas.
Apresentar umas medidas, que tal como as representa¸˜es gr´ficas, permitem reduzir a inco
a
forma¸õ contida nos dados.
ca
Chamar a aten¸õ para as vantagens e para as situa¸˜es em que nõ se devem calcular.
ca
co
a
Al´m das representa¸˜es gr´ficas tamb´m se utilizam medidas calculadas a partir dos dados
e
co
a
e
– estat´
ısticas. Destas medidas destacam-se as medidas de localiza¸õ, nomeadamente as que
ca
localizam o centro da amostra, de que destacamos a m´dia e a mediana, e medidas de dispersõ,
e
a
que medem a variabilidade apresentada pelos dados, de que destacamos o desvio padrõ e a ama
plitude inter-quartil. Outras medidas de localiza¸õ a considerar sõ os quantis, nomeadamente
ca
a
os quartis e os percentis.
Deve-se observar que ao reduzir a informa¸ao contida nos dados sob a forma de alguns n´meros,
c˜
u
se est´ a proceder a uma redu¸õ dr´stica desses dados, pelo que as estat´
a
ca
a
ısticas consideradas
devem ser convenientemente escolhidas de modo a representarem o melhor poss´ os dados que
ıvel
pretendem sumariar.
Nesta seçõ, em que se refere a pouca utilidade do par (m´dia, desvio-padrõ), para caracterizar
ca
e
a
distribui¸˜es de dados fortemente enviesadas, pode-se falar de transforma¸˜es de dados que
co
co

a

a
a
e

16

permitem reduzir o enviesamento e conduzir a distribui¸˜es aproximadamente sim´tricas, onde
co
e
j´ tem sentido falar naquelas medidas que sõ as mais divulgadas e mais conhecidas.
a
a
Introdu¸õ gr´fica ` an´lise de dados bivariados.
ca
a
a
a
Apresentar um modo eficaz de visualizar a associa¸õ entre duas vari´veis.
ca
a
Saber interpretar o tipo e a for¸a com que duas vari´veis se associam.
c
a
Pode acontecer que sobre um indiv´
ıduo da popula¸õ a estudar se recolha informa¸ao sobre
ca
c˜
duas caracter´
ısticas ou vari´veis quantitativas, obtendo assim um conjunto de dados sobre a
a
forma de pares de dados. Normalmente o que se pretende neste caso ´ estudar a rela¸õ entre
e
ca
as duas vari´veis, que se sup˜e estarem relacionadas. O processo adequado para descrever esta
a
o
rela¸ao ´ come¸ar pela representa¸õ gr´fica conhecida por diagrama de pontos ou diagrama de
c˜ e
c
ca
a
dispersõ. O que se pretende retirar de uma representa¸õ deste tipo ´ a forma, direçõ e grau
a
ca
e
ca
de associa¸õ entre as vari´veis.
ca
a
Devem ser exemplificadas as diferentes situa¸˜es que podem surgir, reflectindo os diferentes tipos
co
e graus de associa¸õ que se pode verificar entre as vari´veis.
ca
a
Se se concluir que tem sentido falar numa associa¸õ entre as vari´veis, entõ passa-se a uma
ca
a
a
fase posterior, da constru¸õ de um modelo que permita conhecer como se reflectem numa das
ca
vari´veis as modifica¸˜es processadas na outra, o que conduzir´ aos modelos de regressõ, a
a
co
a
a
estudar a seguir.
Modelos de regressõ linear
a
Ensinar a sumariar a rela¸õ linear existente entre duas vari´veis, atrav´s de uma recta.
ca
a
e
Apresentar uma medida que al´m de indicar a for¸a com que duas vari´veis se associam
e
c
a
linearmente, tamb´m d´ indica¸õ da “bondade” do ajustamento linear.
e
a
ca
No m´dulo anterior em que se representaram graficamente conjuntos de pontos (xi , yi ) num
o
diagrama de pontos ou diagrama de dispersõ, verificou-se que para alguns conjuntos de pontos,
a
se verificava a existˆncia de uma certa associa¸õ linear traduzida pelo padrõ da nuvem de
e
ca
a
pontos, na forma de uma oval, mais ou menos alongada. Pretende-se, nestes casos, introduzir
um modelo matem´tico que traduza a rela¸ao entre os pontos, nomeadamente proceder a um
a
c˜
ajustamento de uma recta a esses conjunto de pontos.
Utilizar a recta de regressõ num dos seus objectivos fundamentais, isto ´ na predi¸õ de um
a
e
ca
valor para a vari´vel resposta, a partir de um valor dado para a vari´vel explicativa.
a
a
Devem ser referidas, nomeadamente dando exemplos, limita¸˜es da recta de regressõ, quando
co
a
existem outliers.
Posteriormente recomenda-se a defini¸õ do coeficiente de correla¸õ, como uma medida que
ca
ca
mede o maior ou menor grau de associa¸õ linear, com que as vari´veis de associam. Deve ser
ca
a
apresentada a f´rmula
o
r=

n
i=1 (xi
n
i=1 (xi

− x)(yi − y)

− x)2 ×

n
i=1 (yi

− y)2

a

a
a
e

17

que permite o seu c´lculo e que deve ser utilizada para justificar graficamente o maior ou menor
a
valor obtido para o coeficiente de correla¸õ, conforme o aspecto da nuvem de pontos.
ca
Devem ser referidas, nomeadamente dando exemplos, limita¸˜es do coeficiente de correla¸ao,
co
c˜
quando existem outliers.
Na interpreta¸õ do coeficiente de correla¸õ deve-se chamar a aten¸õ para o facto de que a
ca
ca
ca
existˆncia de correla¸õ elevada entre duas vari´veis nõ significa necessariamente uma rela¸õ
e
ca
a
a
ca
de causa-efeito.
Recomenda-se que se enuncie o resultado, que permite interpretar o coeficiente de correla¸õ no
ca
contexto da recta de regressõ.
a
Deve ser ainda chamada a aten¸õ para o perigo da utiliza¸õ da recta de regressõ para fazer
ca
ca
a
extrapola¸˜es.
co
Rela¸õ entre vari´veis qualitativas
ca
a
Apresentar um modo eficaz de organizar informa¸õ de tipo qualitativo.
ca
Chamar a aten¸õ para a utiliza¸ao incorrecta que, por vezes, se faz da leitura de percentagens
ca
c˜
a partir de tabelas.
No m´dulo anterior foram exploradas as rela¸˜es entre vari´veis de tipo quantitativo. Pretendeo
co
a
-se neste m´dulo estudar algumas formas de explorar as rela¸˜es entre vari´veis de tipo qualitao
co
a
tivo. Chama-se a aten¸õ para o facto de que as vari´veis envolvidas podem ser por inerˆncia
ca
a
e
de tipo qualitativo (sexo, estado civil, etc), enquanto que outras foram categorizadas por se ter
procedido a agrupamentos de vari´veis de tipo quantitativo (idade, altura, etc).
a
O instrumento b´sico para a an´lise de dados bivariados, de tipo qualitativo ´ a representa¸ao
a
a
e
c˜
dos dados em tabelas de contingˆncia, cuja an´lise se faz calculando percentagens adequadas.
e
a

Modelos Financeiros
Nõ se pretende que os estudantes realizem quaisquer actividades puramente matem´ticas ou de
a
a
matem´tica aplicada a economia ou finan¸a. O que se pretende ´ colocar os estudantes perante
a
`
c
e
preocupa¸˜es bem reais da vida humana e social, cujos modelos podem ser considerados modelos
co
financeiros simples.
´
E bom chamar a aten¸õ dos estudantes para o facto de se ir sempre lidar com modelos simplica
ficados e que nõ devem pensar que võ ficar a dominar completamente as situa¸˜es abordadas;
a
a
co
apenas võ ficar mais despertos para algumas das dificuldades envolvidas.
a
Sensibiliza¸õ para os problemas matem´ticos da ´rea financeira
ca
a
a
Familiarizar os estudantes com alguns problemas do dom´
ınio financeiro.
Recordar tćnicas e conceitos matem´ticos j´ abordados no ensino b´sico.
e
a
a
a
Os estudantes devem trabalhar duas ou trˆs pequenas situa¸˜es, com uma abordagem exploe
co
rat´ria, comparando a influˆncia de diversas das vari´veis em jogo.
o
e
a

a

a
a
e

18

As situa¸˜es escolhidas devem ser, ao mesmo tempo, acess´
co
ıveis e motivadores para os estudantes.
Exemplos: impostos e reformas; actividade banc´ria – poupan¸a e juros, diferentes tipos de
a
c
contas e de empr´stimos, investimentos; custo de vida, infla¸õ; planos, contratos e assinaturas
e
ca
de telem´veis; situa¸˜es de aluguer ou compra – vantagens e inconvenientes; seguros; etc.
o
co
A utiliza¸õ da calculadora e do computador (nomeadamente de folhas de c´lculo) ´ particularca
a
e
mente util na explora¸õ de situa¸˜es envolvendo v´rias vari´veis.
´
ca
co
a
a
Estudo detalhado de um modelo envolvendo juros
Identificar a matem´tica utilizada em situa¸oes realistas.
a
c˜
Desenvolver competˆncias sociais de interven¸õ - tomar conhecimento dos m´todos utilizados
e
ca
e
pelas institui¸˜es (p´blicas e privadas) que influenciam a vida dos cidadõs, ganhar capacidade
co
u
a
para construir e criticar op¸˜es e utilizar o conhecimento para decidir sobre op¸˜es individuais.
co
co
Desenvolver competˆncias de c´lculo e de seleçõ de ferramentas adequadas a cada problema:
e
a
ca
calculadora, computador e folha de c´lculo.
a
V´rios contextos acess´
a
ıveis e motivadores para os estudantes podem ser utilizados. Exemplos
de contextos: poupan¸a com vista a um gasto espec´
c
ıfico (despesas de f´rias, etc.) ou com vista
e
a uma utiliza¸õ gen´rica (conta poupan¸a habita¸õ, etc), diferentes tipos de empr´stimos,
ca
e
c
ca
e
dep´sitos em fundos de investimento; situa¸˜es de aluguer ou compra com empr´stimo – como
co
e
para¸õ entre diferentes modalidades; seguros de vida com investimento; etc.
ca
Uma actividade deste tipo levar´ de uma forma natural o estudante a resolver problemas, ina
vestigar, recolher dados e termos utilizados em diversas actividades humanas, analisar situa¸˜es
co
e a escrever pequenos relat´rios
o
Pretende-se que os estudantes trabalhem individualmente e em grupo em interaçõ com emca
presas e institui¸˜es instaladas na comunidade local, desde agˆncias banc´rias at´ empresas ou
co
e
a
e
delega¸˜es locais de empresas, procurando compreender situa¸oes e mecanismos que lhes sõ
co
c˜
a
aplic´veis.
a
O professor pode apresentar situa¸˜es ou problemas para os quais os estudantes devam fazer
co
simula¸˜es de acordo com as condi¸˜es iniciais e cen´rios poss´
co
co
a
ıveis de evolu¸õ do mercado (h´
ca
a
vantagem em considerar sempre dados oficiais), produzindo pareceres e propostas para apoiar
uma decisõ ou escolha.
a

Modelos de Grafos
Pretende-se que os estudantes interpretem algumas situa¸oes de sistemas de distribui¸õ e exc˜
ca
plorem diversas solu¸˜es para problemas que lhes sejam postos em cada situa¸ao. As situa¸oes a
co
c˜
c˜
escolher devem poder ser representadas na essˆncia por um sistema de pontos e de linhas unindo
e
alguns desses pontos.
Est´ fora de questõ uma introdu¸õ te´rica sistematizada da teoria de Grafos, mas alguns dos
a
a
ca
o
racioc´
ınios comuns aos teoremas e problemas dos circuitos de Euler e Hamilton nõ devem ser
a
evitados.
Defini¸˜es e nota¸˜es podem ser introduzidas ` medida que forem sendo necess´rias e uteis para
co
co
a
a
´
economia e clareza da linguagem e devem ser tanto quanto poss´ intelig´
ıvel
ıveis no ˆmbito das
a
situa¸˜es em estudo.
co

a

a
a
e

19

Os problemas hist´ricos podem ser apresentados nas aulas, mas podem servir para desenvolver
o
actividades de consulta e projectos.
Se os exemplos apresentados se referirem a situa¸˜es concretas nas comunidades, as propostas
co
de solu¸õ podem ser apresentadas aos respons´veis. Desse modo, desenvolvem-se competˆncias
ca
a
e
uteis para a interven¸õ c´
´
ca ıvica ao mesmo tempo que se desenvolvem competˆncias fundamentais
e
ao n´ da comunica¸õ envolvendo matem´tica.
ıvel
ca
a
Sistemas de distribui¸õ – postal, de limpeza de ruas e recolha de lixo, de patruca
lhamento e controle de equipamentos sociais
Desenvolver competˆncias para determinar o essencial de uma determinada situa¸õ de modo
e
ca
a desenhar esquemas apropriados a uma boa descri¸õ;
ca
Procurar modelos e esquemas que descrevam situa¸˜es realistas de pequenas distribui¸˜es;
co
co
Tomar conhecimento de m´todos matem´ticos pr´prios para encontrar solu¸˜es de problemas
e
a
o
co
de gestõ;
a
Encontrar estrat´gias passo a passo para encontrar poss´
e
ıveis solu¸˜es;
co
Descobrir resultados gerais na abordagem de uma situa¸õ.
ca
O professor pode apresentar situa¸˜es que sejam modeladas por grafos de arestas (sistemas de
co
distribui¸õ - carteiros, etc; patrulhamento e controle de equipamentos sociais - parc´metros,
ca
o
etc; sistemas de limpeza de ruas e de recolha de lixo, etc).
N´
ıveis crescentes de exigˆncia nos problemas apresentados podem servir para introduzir no¸oes
e
c˜
e tćnicas. Um problema de patrulhamento ou distribui¸õ postal pode ser proposto sobre
e
ca
um mapa desde encontrar quaisquer caminhos poss´
ıveis, passando por encontrar caminhos sem
repetir arestas, at´ ` necessidade de caminhos sem repeti¸˜es a come¸ar e a acabar num mesmo
ea
co
c
ponto.
As no¸˜es de v´rtice, aresta, caminho, circuito sõ ´bvias. Obrigat´rias sõ tamb´m as condi¸˜es
co
e
a o
o
a
e
co
para que um grafo admita circuitos de Euler e a procura de algoritmos para encontrar uma
solu¸õ com o m´
ca
ınimo de repeti¸˜es na falta de uma solu¸õ sem repeti¸˜es. Podem ser introco
ca
co
duzidos sentidos nas ruas (arestas) e a grafos orientados.
Planos de viagens, problemas de caixeiros viajantes, localiza¸õ de sedes ou grandes
ca
equipamentos que carecem de abastecimento a partir de v´rios pontos de uma regiõ
a
a
Para al´m de prosseguir os objectivos j´ definidos para a primeira parte do tema, h´ objectivos
e
a
a
espec´
ıficos, a saber,
Para cada modelo, procurar esquemas combinat´rios (´rvores) que permitam calcular pesos
o
a
totais de caminhos poss´
ıveis;
Encontrar algoritmos – decis˜es passo a passo para encontrar solu¸˜es satisfat´rias;
o
co
o
Discussõ sobre a utilidade e viabilidade econ´mica (e nõ s´) da procura das solu¸˜es ´ptimas.
a
o
a o
co o
Apresentam-se algumas situa¸˜es que sejam modeladas por grafos de v´rtices, em que o que
co
e
interessa ´ visitar todos os v´rtices de preferˆncia sem repeti¸˜es e com partida e chegada
e
e
e
co
do mesmo ponto, isto ´, afigura-se obrigat´ria uma abordagem dos circuitos hamiltonianos e
e
o
um exemplo para introdu¸õ do Problemas do Caixeiro Viajante. Tamb´m ´ absolutamente
ca
e e

a

a
a
e

20

necess´rio o trabalho com ”´rvores” que visa facilitar as somas de pesos atribu´
a
a
ıdos as arestas
`
de modo a ser poss´ comparar os pesos totais das v´rias solu¸˜es. A procura de algoritmos
ıvel
a
co
pr´prios para obter solu¸˜es aceit´veis ´ tamb´m um exerc´ de importante utilidade formativa.
o
co
a
e
e
ıcio
A atribui¸õ de pesos `s arestas deve ser acompanhada da discussõ dos seus diversos sentidos
ca
a
a
– maior n´mero de quil´metros, maior consumo de combust´
u
o
ıvel, mais polui¸õ, menos lucro,
ca
pre¸os mais altos – e isso deve ser discutido com situa¸˜es que envolvam a localiza¸õ dos
c
co
ca
grandes armazńs de uma cadeia de distribui¸õ comercial, utilizando uma frota de cami˜es
e
ca
o
num dado territ´rio, localiza¸õ de equipamentos sociais (unidades de tratamento de res´
o
ca
ıduos,
aterros sanit´rios, etc) introduzindo os factores das desloca¸˜es e da combustõ no tr´fego, etc
a
co
a
a

Modelos Populacionais
Modelos discretos.
Familiarizar os estudantes com modelos discretos de crescimento populacional.
Comparar o crescimento linear com o crescimento exponencial atrav´s do estudo de progress˜es
e
o
aritm´ticas e geom´tricas.
e
e
Se o trabalho for feito a partir de exemplos concretos (e recorrendo a dados da realidade portuguesa) ser´ mais fćil que os alunos participem activamente no estudo dos exemplos e modelos
a
a
propostos. Haver´ tamb´m vantagem em usar alguns exemplos hist´ricos significativos (Malthus
a
e
o
ser´ uma referˆncia incontorn´vel).
a
e
a
O professor pode apresentar situa¸˜es ou problemas com os quais os estudantes possam fazer
co
simula¸˜es de acordo com as condi¸˜es iniciais e cen´rios poss´
co
co
a
ıveis de evolu¸õ mundial (dados
ca
oficiais devem ser sempre preferidos), produzindo pareceres e propostas para apoiar uma decisõ
a
ou escolha.
Modelos cont´
ınuos.
Familiarizar os estudantes com modelos cont´
ınuos de crescimento populacional.
Comparar os crescimentos linear, exponencial, logar´
ıtmico e log´
ıstico.
As fun¸˜es exponencial, logar´
co
ıtmica e log´
ıstica devem ser introduzidas em situa¸˜es concreco
tas, sendo referidas apenas as propriedades bastantes para o respectivo trabalho alg´brico
e
(salientando-se, quando for o caso, a generaliza¸ao de situa¸˜es anteriormente encontradas –
c˜
co
por exemplo o estudo das progress˜es aritm´ticas e geom´tricas pode servir para introduzir a
o
e
e
fun¸ao logar´
c˜
ıtmica).
Neste tema, o aluno tomar´ contacto com v´rias fam´
a
a
ılias de fun¸˜es. Nõ se pretende um estudo
co
a
detalhado e exaustivo, mas apenas uma an´lise de comportamentos em contextos concretos
a
relativos a evolu¸õ de popula¸˜es.
`
ca
co
Os alunos devem recorrer ` tecnologia (calculadoras gr´ficas ou computadores) para estudar as
a
a
fam´
ılias de fun¸˜es que forem encontrando e simular varia¸˜es de dados nos modelos analisados.
co
co
Os alunos poderõ usar as diferentes regress˜es para obter modelos abstractos a partir de dados
a
o

a

a
a
e

21

´
recolhidos de fontes diversas. E essencial uma an´lise cr´
a
ıtica dos modelos escolhidos para cada
caso.
Se houver tempo poder´ ser feita uma pequena an´lise das vantagens e desvantagens do uso de
a
a
modelos discretos e de modelos cont´
ınuos.

Modelos de Probabilidade
Fen´menos aleat´rios
o
o
Dar a entender aos estudantes a diferen¸a entre fen´meno determin´
c
o
ıstico e fen´meno aleat´rio.
o
o
Alertar para as vantagens em encontrar modelos matem´ticos apropriados para este tipo de
a
fen´menos.
o
A existˆncia de fen´menos que, por raz˜es diversas, nõ sõ pass´
e
o
o
a a
ıveis de ser descritos por leis
determin´
ısticas ´ a grande motiva¸õ para o aparecimento de modelos de probabilidade.
e
ca
Neste m´dulo sugerimos que se comece por dar exemplos de fen´menos f´
o
o
ısicos determin´
ısticos
(queda de um grave, movimento de um pˆndulo,...) em contraponto com fen´menos que se podem
e
o
considerar aleat´rios devido ` grande complexidade das leis f´
o
a
ısicas subjacentes (movimento de
um dado ao ser lan¸ado, movimento das part´
c
ıculas numa nuvem de p´, temperatura m´xima
o
a
observada numa data futura,...).
Argumento de Simetria e Regra de Laplace.
Construir modelos de probabilidade para situa¸˜es simples em que se admita como razo´vel o
co
a
pressuposto de simetria ou equil´
ıbrio.
Calcular a probabilidade de alguns acontecimentos a partir dos modelos constru´
ıdos.
Construir modelos de probabilidade para situa¸oes um pouco mais complexas utilizando a regra
c˜
do produto.
Pretende-se que os estudantes sejam capazes de entender o argumento de simetria que est´ suba
jacente a atribui¸õ de probabilidades a cada um dos resultados de certas experiˆncias aleat´rias
`
ca
e
o
(em exemplos ligados aos chamados jogos de azar ´ quase sempre poss´ encontrar um espa¸o
e
ıvel
c
de resultados para cujos elementos, ` partida, nõ se tem razõ para admitir que nõ tenham
a
a
a
a
igual probabilidade de ocorrer). Estes modelos muito simples irõ permitir uma primeira abora
dagem ` no¸õ de acontecimento e a apresenta¸ao da Regra de Laplace. Experiˆncias um pouco
a ca
c˜
e
mais complexas poderõ ser modeladas recorrendo ` Regra do Produto.
a
a
Nõ se justifica, nesta disciplina, o estudo de modelos para situa¸˜es que obriguem a utilizar
a
co
tćnicas de contagem que envolvam c´lculo combinat´rio.
e
a
o
Este m´dulo deve ser finalizado com a apresenta¸õ e discussõ com os estudantes de alguns
o
ca
a
exemplos de fen´menos aleat´rios para os quais nõ fa¸a sentido utilizar argumentos de simetria.
o
o
a
c
Modelos de probabilidade em espa¸os finitos. Vari´veis quantitativas. Fun¸õ massa
c
a
ca
de probabilidade.

a

a
a
e

22

Apreender as propriedades b´sicas de uma fun¸ao massa de probabilidade.
a
c˜
Identificar acontecimentos em espa¸os finitos.
c
Saber calcular as probabilidades de alguns acontecimentos utilizando propriedades da probabilidade.
Neste m´dulo ir´ ser feita a apresenta¸õ formal de modelo de probabilidade no caso muito
o
a
ca
particular em que o espa¸o de resultados seja finito e contido no conjunto dos n´meros reais.
c
u
A fun¸õ massa de probabilidade ou distribui¸õ de probabilidade ´ aqui o elemento b´sico de
ca
ca
e
a
trabalho e o estudante dever´ compreender a sua utilidade e conhecer bem as suas propriedades.
a
Definindo acontecimento neste caso particular como sendo qualquer dos subconjuntos do espa¸o
c
de resultados o professor dever´ aproveitar a oportunidade para ilustrar atrav´s de exemplos
a
e
algumas das propriedades da probabilidade (probabilidade da uniõ, do complementar e da
a
diferen¸a).
c
´
Probabilidade condicional. Arvore de probabilidades. Acontecimentos independentes.
Fazer compreender a no¸õ de probabilidade condicional atrav´s de exemplos simples.
ca
e
Mostrar a utilidade das arvores de probabilidades como instrumento de organiza¸õ de in´
ca
forma¸õ quando se est´ perante uma cadeia de experiˆncias aleat´rias.
ca
a
e
o
Ilustrar a forma de c´lculo de probabilidades de acontecimentos utilizando uma ´rvore de
a
a
probabilidades.
Apresentar a defini¸õ de probabilidade condicional (tomando como base uma representa¸ao em
ca
c˜
diagrama de Venn de uma popula¸õ classificada de forma cruzada segundo diversas categorias).
ca
Utilizar a defini¸õ de probabilidade condicional para formalizar a no¸õ intuitiva de acontecica
ca
mentos independentes. Apresentar a defini¸õ de acontecimentos independentes.
ca
A no¸õ de probabilidade condicional ´, em geral, intuitiva para os estudantes quando ´ aplica
e
e
cada no c´lculo de probabilidades de cadeias de acontecimentos (ao retirar bolas de uma urna
a
sucessivamente, sem reposi¸õ, a composi¸ao da urna altera-se e a probabilidade de se retirar
ca
c˜
certo tipo de bola depende dos tipos que sa´
ıram nas extraç˜es anteriores). Deve-se pedir aos
co
estudantes que calculem a probabilidade de ocorrˆncia de cadeias simples de acontecimentos
e
aproveitando para lhes propˆr esquemas em ´rvore como forma de organiza¸õ da informa¸ao
o
a
ca
c˜
dispon´
ıvel.
A partir de informa¸õ registada numa tabela de contingˆncia os estudantes deverõ ser capazes
ca
e
a
de calcular correctamente probabilidades condicionais. A defini¸õ de probabilidade condicional
ca
poder´ entõ ser apresentada come¸ando por representar a informa¸õ da tabela num diagrama
a
a
c
ca
de Venn.
Probabilidade total. Regra de Bayes.
Introduzir os estudantes nas tćnicas Bayesianas, que se baseiam no seguinte princ´
e
ıpio: come¸ac
-se por atribuir uma probabilidade a um acontecimento, tendo em considera¸õ a informa¸õ
ca
ca
dispon´ – probabilidade a priori; posteriormente, mediante nova informa¸õ entretanto adquirida,
ıvel
ca

a

a
a
e

23

obt´m-se uma nova probabilidade para esse acontecimento – probabilidade a posteriori. Esta
e
pode ser entendida como uma correçõ da probabilidade anteriormente atribu´
ca
ıda.
Conhecendo as “probabilidades a priori” de um certo efeito A ser originado por cada uma de n
“causas” poss´
ıveis e mutuamente exclusivas e conhecendo o modelo de probabilidade para essas
“causas”, a regra de Bayes permite calcular a “probabilidade a posteriori” – ap´s a ocorrˆncia
o
e
de A – de ter sido uma determinada, a causa que originou A. Os estudantes deverõ analisar
a
e trabalhar muitos exemplos que lhes permitam nõ s´ clarificar a no¸õ de causa/efeito como
a o
ca
ilustrar a utilidade da regra de Bayes.
Valor m´dio e variˆncia populacional.
e
a
Fazer a distin¸õ entre valor m´dio (ou m´dia) populacional e m´dia amostral e tamb´m,
ca
e
e
e
e
de modo idˆntico, para a variˆncia e outras caracter´
e
a
ısticas j´ referidas no estudo descritivo de
a
amostras.
Alargar a no¸õ de popula¸õ como um conceito subjacente a um modelo de probabilidade.
ca
ca
Apresentar de forma justificada as f´rmulas de c´lculo do valor m´dio e da variˆncia para
o
a
e
a
modelos quantitativos de espa¸o de resultados finito.
c
Este ´ o m´dulo fundamental para a compreensõ dos t´picos que irõ ser tratados no cap´
e
o
a
o
a
ıtulo
da inferˆncia estat´
e
ıstica. Mais precisamente, no cap´
ıtulo da inferˆncia estat´
e
ıstica irõ ser dados
a
resultados que irõ permitir fazer certas afirma¸˜es (probabil´
a
co
ısticas) sobre caracter´
ısticas de
interesse numa popula¸õ tendo como base unicamente a informa¸õ constante numa pequena
ca
ca
parte dessa popula¸õ (amostra).
ca
Deve ficar claro para os estudantes que se utilizam termos an´logos (m´dia, variˆncia, quantis)
a
e
a
´
em trˆs contextos distintos: amostra, popula¸õ, modelo de probabilidade. E ainda de extrema
e
ca
importˆncia fazer compreender de que modo ´ poss´ alargar o conceito de popula¸õ de modo
a
e
ıvel
ca
a que se possa falar de popula¸õ subjacente a um modelo.
ca
Espa¸os de resultados infinitos. Modelos discretos e modelos cont´
c
ınuos. Exemplos.
Mostrar o interesse em adoptar modelos com suporte nõ finito em situa¸˜es onde o conjunto
a
co
de resultados poss´
ıveis nõ seja conhecido na sua totalidade ou seja demasiado extenso.
a
Calcular probabilidades de acontecimentos a partir de alguns modelos cont´
ınuos simples.
Atrav´s da discussõ de alguns exemplos comuns (no de filhos das fam´
e
a
ılias portuguesas, alturas
¯
de todos os rapazes da escola, tempo de dura¸õ de um equipamento, etc.) alertar para as
ca
vantagens de se escolher um modelo de suporte infinito.
Os estudantes deverõ comprender que qualquer fun¸õ cujo gr´fico nunca passe abaixo do
a
ca
a
eixo das abcissas, e tal que a ´rea compreendida entre o gr´fico e esse eixo seja igual a uma
a
a
unidade, identifica um modelo de probabilidade no conjunto dos n´meros reais. Deverõ ainda
u
a
ser capazes de associar a probabilidade de um intervalo a ´rea, determinada por esse intervalo,
à
entre o gr´fico e o eixo.
a
Modelo Normal.

a

a
a
e

24

Salientar a importˆncia deste modelo referindo o Teorema Limite Central.
a
Referir as principais caracter´
ısticas de um modelo Normal ou Gaussiano.
Calcular probabilidades com base nesta fam´ de modelos recorrendo ao uso de uma tabela
ılia
da fun¸õ de distribui¸õ de uma Normal Standard.
ca
ca
O modelo Normal ´ um dos modelos mais utilizados em Estat´
e
ıstica, devendo a sua relevˆncia a
a
um dos teoremas mais importantes da teoria da Probabilidade – o Teorema do Limite Central.
Efectivamente, como veremos no m´dulo da Inferˆncia Estat´
o
e
ıstica, este teorema ´ a base de
e
tćnicas de inferˆncia estat´
e
e
ıstica largamente utilizadas, pois permite considerar as distribui¸˜es
co
de amostragem, para a m´dia e a propor¸õ, como sendo aproximadamente normais.
e
ca
Para al´m disso muitas caracter´
e
ısticas de interesse ligadas a fen´menos naturais (altura de um
o
indiv´
ıduo, per´
ımetro do tronco de uma ´rvore, peso de um certo tipo de fruto, etc) podem
a
ser encaradas como resultantes do contributo (de forma aditiva) de muitas vari´veis. O TLC
a
justifica a utiliza¸õ do modelo Normal na modela¸õ deste tipo de grandezas.
ca
ca

Introdu¸õ ` Inferˆncia Estat´
ca a
e
ıstica
a
ıstica
Apresentar as ideias b´sicas de um tipo de racioc´
a
ınio com que os estudantes sõ confrontados
a
pela primeira vez, em que a partir das propriedades estudadas num conjunto de dados, se
procurarõ tirar conclus˜es para um conjunto de dados mais vasto.
a
o
Neste m´dulo deve-se come¸ar por recordar o que foi estudado no cap´
o
c
ıtulo da produ¸õ e
ca
aquisi¸õ de dados, objecto de estudos estat´
ca
ısticos. Deve ser recordado que nos processos utilizados para produzir dados, foi real¸ada a necessidade de que estes devem ser baseados em
c
m´todos probabil´
e
ısticos. Neste contexto destacam-se os m´todos de amostragem que conduzem
e
a
`s amostras aleat´rias, em que existe um mecanismo aleat´rio que faz com que um elemento
o
o
da popula¸õ fa¸a parte da amostra, assim como as experimenta¸˜es controladas, em que cada
ca
c
co
indiv´
ıduo ´ escolhido aleatoriamente para lhe ser atribu´ um tratamento. As raz˜es invocadas
e
ıdo
o
na altura prendem-se sobretudo com a recolha de amostras nõ enviesadas.
a
Neste m´dulo compreender-se-´ todo o alcance desta necessidade de aleatoriezar o processo de
o
a
recolha de dados, pois veremos que esse facto nos vai permitir utilizar a teoria das probabilidades
para descrever o comportamento do processo associado com a recolha e sumaria¸õ dos dados,
ca
um grande n´mero de vezes.
u
Um dos objectivos que se tem ao recolher uma amostra de uma Popula¸õ que se pretende esca
tudar ´ o de retirar conclus˜es sobre os parˆmetros (caracter´
e
o
a
ısticas num´ricas) dessa Popula¸õ.
e
ca
Assim, quando se pretende estimar (obter um valor aproximado) um determinado parˆmetro,
a
considera-se uma fun¸õ conveniente que s´ dependa dos elementos da amostra — estat´
ca
o
ıstica.
Deve-se chamar a aten¸õ para o facto de se utilizar um tipo de racioc´
ca
ınio indutivo, em que se
vai procurar tirar conclus˜es, indo do particular para o geral. Este tipo de racioc´ ´ contr´rio
o
ınio e
a
ao tipo de racioc´
ınio matem´tico, essencialmente dedutivo.
a

a

a
a
e

25

No¸õ de estimativa pontual. Estima¸õ de um valor m´dio e de uma propor¸õ.
ca
ca
e
ca
Distribui¸õ de amostragem.
ca
Apresentar as ideias b´sicas de um processo de inferˆncia estat´
a
e
ıstica, em que se usam estat´
ısticas
para tomar decis˜es acerca de parˆmetros.
o
a
`
A estat´
ıstica utilizada para estimar um determinado parˆmetro chamamos estimador do parˆmetro.
a
a
Quando se recolhe uma amostra, calcula-se a partir dos dados da amostra recolhida o valor do
estimador, que d´ uma estimativa do parˆmetro. Se se recolher outra amostra da mesma Popua
a
la¸õ e da mesma dimensõ, ´ natural obter uma estimativa para o parˆmetro, diferente da
ca
a e
a
primeira. Quantas amostras recolhermos, quantas as estimativas diferentes que podemos obter
´
para o parˆmetro. E importante chamar a aten¸õ para que nõ podemos dizer qual das estia
ca
a
mativas pontuais ´ melhor, j´ que nõ se conhece o valor do parˆmetro a estimar.
e
a
a
a
Esta variabilidade apresentada pelas estimativas, ´ inerente ` aleatoriedade da escolha da amostra
e
a
e uma questõ que se coloca ´ a de saber se o estimador que se est´ a considerar ´ um “bom”
a
e
a
e
estimador ou nõ, isto ´, se por um lado as estimativas que produz sõ pr´ximas umas das
a
e
a
o
outras, ou apresentam uma grande variabilidade, e se por outro lado, no caso de apresentarem
pequena variabilidade, se serõ aproximadas do parˆmetro que se pretende estimar.
a
a
A resposta a esta questõ ´ dada construindo a distribui¸õ de todos os valores apresentados pela
a e
ca
estat´
ıstica que se est´ a utilizar para estimar o parˆmetro, para todas as amostras poss´
a
a
ıveis, da
mesma dimensõ. A esta distribui¸õ d´-se o nome de distribui¸õ de amostragem da estat´
a
ca a
ca
ıstica.
Ao aleatoriezar o processo de seleçõ das amostras, faz com que se possa utilizar a distribui¸õ
ca
ca
de amostragem de uma estat´
ıstica para descrever o comportamento dessa estat´
ıstica, quando
se usa para estimar um determinado parˆmetro. Se a m´dia da distribui¸õ de amostragem
a
e
ca
da estat´
ıstica coincidir com o valor do parˆmetro a estimar, dizemos que o estimador ´ nõ
a
e a
enviesado. Quanto a variabilidade apresentada pela distribui¸õ de amostragem da estat´
`
ca
ıstica,
quanto menor ela for, mais perto do parˆmetro estõ as estimativas obtidas a partir da estat´
a
a
ıstica
considerada.
A compreensõ das diferen¸as entre parˆmetro e estat´
a
c
a
ıstica e do que ´ uma distribui¸õ de
e
ca
amostragem, ´ a base dos processos de Inferˆncia Estat´
e
e
ıstica. Os parˆmetros que se procurarõ
a
a
estimar sõ: o valor m´dio – medida de localiza¸õ do centro da distribui¸õ dos valores assumia
e
ca
ca
dos por uma dada vari´vel, cujo estimador ser´ a m´dia de uma amostra de observa¸˜es dessa
a
a
e
co
vari´vel; a propor¸õ ou frequˆncia relativa com que se verifica uma determinada caracter´
a
ca
e
ıstica
na Popula¸õ, cujo estimador ser´ a propor¸õ de vezes que essa caracter´
ca
a
ca
ıstica se verifica nos
elementos da amostra recolhida dessa Popula¸õ.
ca
Constru¸õ de estimativas intervalares ou intervalos de confian¸a para o valor m´dio
ca
c
e
e para a propor¸õ.
ca
Mostrar toda a potencialidade da Estat´
ıstica, que nos permite tirar conclus˜es e tomar decis˜es,
o
o
indo do particular para o geral, quantificando o erro cometido nessa tomada de decis˜es.
o

a

a
a
e

26

Sendo a no¸õ de distribui¸õ de amostragem a base da maior parte das tćnicas de inferˆncia
ca
ca
e
e
estat´
ıstica, ´ importante exemplificar o seu processo de constru¸õ, podendo para come¸ar,
e
ca
c
considerar um dos casos mais simples que ´ o de estimar um valor m´dio.
e
e
Nesta altura deve-se tamb´m chamar a aten¸õ e exemplificar o papel desempenhado pela die
ca
mensõ da amostra, para a precisõ dos resultados, na medida em que diminui a variabilidade
a
a
apresentada pela distribui¸õ de amostragem.
ca
Come¸a-se aqui a introduzir o conceito de confian¸a estat´
c
c
ıstica, como resultado do estudo da
distribui¸õ de amostragem.
ca
Uma vez trabalhado e entendido o conceito de distribui¸õ de amostragem, deve-se recordar
ca
um resultado te´rico, j´ enunciado no m´dulo da Probabilidade, com a maior relevˆncia para a
o
a
o
a
Estat´
ıstica, conhecido pelo Teorema do Limite Central. Este teorema legitima, de certa maneira,
a grande utiliza¸õ do modelo Normal como modelo de vari´veis que resultem de medi¸˜es de
ca
a
co
grandezas naturais como a altura, peso, etc, que se admitem serem o resultado de um grande
n´mero de contribui¸˜es cumulativas. Estando a m´dia e a propor¸õ neste caso, este resultado
u
co
e
ca
poupa o trabalho de estar a obter as suas distribui¸˜es de amostragem, desde que as amostras
co
tenham dimensõ suficientemente grande, e o processo utilizado para as recolher tenha sido
a
aleat´rio.
o
O processo da constru¸õ de distribui¸˜es de amostragem estende-se ` propor¸õ amostral,
ca
co
a
ca
estat´
ıstica utilizada para estimar o parˆmetro propor¸ao (probabilidade) de elementos da Popua
c˜
la¸õ que verificam uma determinada propriedade. O processo a seguir para o estudo da proca
por¸õ pode ser o de considerar esta como um caso particular de uma m´dia quando os elementos
ca
e
que tˆm a propriedade em estudo sõ representados por 1, enquanto que os outros sõ represene
a
a
tados por 0.
Finalmente introduzir-se-´ o conceito de intervalo de confian¸a tanto para o valor m´dio da
a
c
e
caracter´
ıstica em estudo da Popula¸õ, como para a propor¸õ com que uma determinada caca
ca
racter´
ıstica est´ presente nos elementos da Popula¸õ. Dever´ ser chamada a aten¸õ para a
a
ca
a
ca
interpreta¸õ correcta do que ´ que se entende por confian¸a, ao considerar um intervalo de
ca
e
c
confian¸a. Considera-se importante que os estudantes interpretem a amplitude do intervalo,
c
como a maior ou menor precisõ, isto ´, como a margem de erro dos resultados obtidos quando
a
e
se considera uma determinada confian¸a e uma determinada dimensõ para a amostra. Dever´
c
a
a
ser real¸ado o facto de a amplitude do intervalo de confian¸a depender da variabilidade da
c
c
estat´
ıstica utilizada.
O conceito de intervalo de confian¸a dever´ ser trabalhado de forma a que os estudantes fiquem
c
a
aptos a interpretar resultados veiculados pela comunica¸õ social tais como: “o resultado da
ca
sondagem ´ de 76uma margem de erro de 3 pontos percentuais”.
e
Os exemplos relacionados com as sondagens em tempo de campanhas eleitorais ou relativamente
a outros problemas tˆm muito interesse, pois muito facilmente se encontram exemplos na coe
munica¸õ social. Ali´s, deve ser incentivada a leitura dos jornais e a recolha de assuntos que
ca
a
enunciem resultados objecto de tratamento estat´
ıstico.
Deverõ tamb´m ser trabalhados v´rios exemplos que permitam descobrir o efeito de se utia
e
a
lizarem amostras de maior ou menor dimensõ na determina¸õ dos intervalos de confian¸a,
a
ca
c
quando a dimensõ da Popula¸õ ´ muito superior ` dimensõ das amostras com que se traa
ca e
a
a
balha. Sugere-se que se apresente a seguinte regra: Se a dimensõ da Popula¸õ for muito sua
ca
perior a dimensõ da amostra (por exemplo 100 vezes superior), a variabilidade da distribui¸õ
`
a
ca

a

a
a
e

27

de amostragem ´ a mesma para qualquer dimensõ da Popula¸õ. Esta regra traduz uma cae
a
ca
racter´
ıstica importante dos processos de amostragem, na medida em que traduz o facto de as
distribui¸˜es de amostragem nõ dependerem (muito) da dimensõ da Popula¸õ.
co
a
a
ca
Finalmente deve-se chamar a aten¸õ para o facto de que se as amostras recolhidas forem
ca
enviesadas, os intervalos de confian¸a tamb´m virõ enviesados, nõ tendo portanto qualquer
c
e
a
a
utilidade.

a

a
a
e

28

Bibliografia
Abrantes, P.; Leal,L. C.; Ponte, J.P. et al.(1996) Investigar para aprender matem´tica.
a
Grupo ”Matem´tica para todos-investiga¸˜es na sala de aula”, Lisboa: Associa¸õ de
a
co
ca
Professores de Matem´tica.
a
Abrantes,P.; Ponte, J.P. et al.(1999) Investiga¸˜es matem´ticas na aula e no curr´
co
a
ıculo.
Grupo ”Matem´tica para todos-investiga¸˜es na sala de aula”, Lisboa: Associa¸ao de
a
co
c˜
Professores de Matem´tica
a
Estes livros reńem um conjunto de artigos elaborados no ˆmbito do Projecto
u
a
”Matem´tica para Todos” ` volta da incorpora¸õ, nas aulas e nos curr´
a
a
ca
ıculos de matem´tica,
a
de actividades de natureza investigativa realizadas pelos estudantes. Segundo os organizadores dos volumes, ”as actividades de investiga¸õ podem ser inseridas, naturalmente,
ca
em qualquer parte do curr´
ıculo, representando na verdade um tipo de trabalho que tem
um carćter transversal na disciplina de Matem´tica”. De acordo com os organizadores
a
a
dos livros ”o trabalho realizado por este projecto confirma as potencialidades da actividade investigativa para a aprendizagem da Matem´tica e d´ muitas pistas sobre o modo
a
a
como ela se pode inserir nas actividades das escolas”.

Cara¸a, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matem´tica Col. Ciˆncia Aberta,
c
a
e
a ed., 1998). Lisboa: Gradiva
Vol. 98 (2¯
Neste livro, Bento de Jesus Cara¸a (1901-1948) mostra como a Matem´tica ´ ”um
c
a
e
organismo vivo, impregnado de condi¸õ humana, com as suas for¸as e as suas fraquezas
ca
c
e subordinado as grandes necessidades do homem na sua luta pelo entendimento e pela
`
liberta¸õ” ao pˆr em evidˆncia como os fundamentos da Matem´tica ”mergulham tanto
ca
o
e
a
como os de outro qualquer ramo da Ciˆncia, na vida real”. Trata-se sem d´vida de
e
u
um dos melhores livros de Matem´tica escritos em l´
a
ıngua portuguesa onde se pode
assistir maravilhado a evolu¸õ dos conceitos de n´mero, de fun¸õ e de continuidade,
`
ca
u
ca
atrav´s de numerosas discuss˜es, reflex˜es, notas hist´ricas e teoremas muitas vezes com
e
o
o
o
demonstra¸oes pouco vulgares.
c˜

COMAP.(1999) Geometry and its applications-Graph Models. COMAP, Lexington: COMAP
Este ´ um pequeno livro didćtico com uma introdu¸õ muito simples ` teoria de
e
a
ca
a
grafos. Espera-se que esteja brevemente dispon´ em l´
ıvel
ıngua portuguesa.

Crisler, N., Fischer, P., Froelich, G. (2000). Discrete Mathematics through Applications.
New York: W. H. Freeman and Co.
Este ´ um livro de texto para o ensino secund´rio que aborda temas como a teoe
a
ria das elei¸˜es, a partilha equilibrada, os grafos e as probabilidades, com a aborco
dagem metodol´gica preconizada neste programa, isto ´, a abordagem de problemas
o
e
matem´ticos atrav´s de aplica¸˜es concretas. Sõ particularmente relevantes os muitos
a
e
co
a
exerc´
ıcios propostos e as abundantes notas hist´ricas.
o

Departamento de Educa¸õ B´sica(1999). A Matem´tica na Educa¸õ B´sica. Lisboa:
ca
a
a
ca
a
ME–DEB.

a

a
a
e

29

Esta publica¸ao do Departamento de Educa¸õ B´sica constitui uma importante
c˜
ca
a
fonte de informa¸õ sobre a Matem´tica do ensino b´sico em Portugal absolutamente
ca
a
a
necess´ria para quem lecciona no ensino secund´rio.
a
a

Grupo de trabalho T3-Portugal APM (1999) Estat´
ıstica e Calculadoras Gr´ficas. Lisboa:
a
APM
Esta publica¸õ cont´m actividades sobre Estat´
ca
e
ıstica, redigidas tendo em vista uma
poss´
ıvel utiliza¸õ na sala de aula; cont´m ainda coment´rios sobre as actividades e
ca
e
a
propostas de resolu¸õ das mesmas.
ca

Grupo de trabalho T3-Portugal APM (1999). Modela¸ao no Ensino da Matem´tica c˜
a
Calculadora, CBL e CBR. Lisboa: APM.
Esta publica¸õ cont´m actividades de modela¸õ matem´tica para utiliza¸õ na
ca
e
ca
a
ca
sala de aula; umas actividades sõ facilmente realizadas com a ajuda de uma calcua
ladora gr´fica e as outras necessitam da utiliza¸õ de sensores para recolha de dados
a
ca
experimentais; sõ inclu´
a
ıdos coment´rios e resolu¸oes das actividades. Os conceitos
a
c˜
matem´ticos envolvidos nas actividades incluem fun¸˜es definidas por ramos, regressõ,
a
co
a
optimiza¸ao, fun¸˜es exponenciais e trigonom´tricas e fun¸õ quadr´tica. A publica¸õ
c˜
co
e
ca
a
ca
cont´m um texto introdut´rio sobre o processo de modela¸õ matem´tica e a liga¸õ
e
o
ca
a
ca
entre a modela¸õ matem´tica e a modela¸õ no ensino da matem´tica; o texto situa
ca
a
ca
a
ainda a modela¸õ matem´tica no contexto dos actuais programas do ensino secund´rio.
ca
a
a

Iman, R. e Conover, W. (1983). A Modern Approach to Statistics. John Wiley Sons.
Malkevitch, J. (1999). The mathematical theory of elections. COMAP, Lexington: COMAP
Este ´ um pequeno livro didćtico com uma introdu¸õ muito simples a teoria
e
a
ca
`
matem´tica das elei¸oes. Espera-se que esteja brevemente dispon´
a
c˜
ıvel em l´
ıngua portuguesa.

Mann, P. (1995). Introductory Statistics. John Wiley Sons.
Martins, M. E. G. (coord.), Monteiro, C., Viana, J. P. e Turkman, M. A. (1997). Eso
tat´
ıstica: Matem´tica – 10¯ ano de escolaridade. Lisboa: ME – DES.
a
Esta brochura, editada pelo Departamento do Ensino Secund´rio para apoiar o Ajusa
tamento dos Programas de Matem´tica (1997), cont´m numerosas sugest˜es relevantes
a
e
o
no dom´ da Estat´
ınio
ıstica para o programa de Matem´tica Aplicada `s Ciˆncias Sociais.
a
a
e

Martins, M. E. Gra¸a (1998). Introdu¸ao `s Probabilidades e a Estat´
c
c˜ a
`
ıstica. Sociedade
Portuguesa de Estat´
ıstica.
Martins, M. E. Gra¸a, Cerveira, A. (1998). Introdu¸õ `s Probabilidades e a Estat´
c
ca a
`
ıstica.
Universidade Aberta.
Mendenhall. W. Beaver, R. (1994) Introduction to Probability and Statistics. Duxbury
Press.
Moore, D. (1997). Statistics – Concepts and Controversies. Freeman.

a

a
a
e

30

Moore, D. (1995). The Basic Practice of Statistics. Freeman.
Moore, D., McCabe, G. (1993). Introduction to The Basic Practice of Statistics. Freeman.
Murteira, B. (1993). An´lise Explorat´ria de dados – Estat´
a
o
ıstica Descritiv. McGraw-Hill
de Portugal.
National Council of Teachers of Mathematics (1981). Teaching Statistics and Probability.
1981 Yearbook. Reston, EUA.
Parks, H.et al. (1997). Mathematics in Life, Society the World. Prentice-Hall, Inc.
Parzen, E. (1969). Modern Probability Theory and Its Applications. New York:Wiley.
Pisani, R. Purves, R., Adhikari, A. (1991). Statistics. W. W. Norton Company.
Ponte, J. P.(coord.), Boavida, A. M., Gra¸a, M. e Abrantes, P. (1997) Didćtica: Matem´tica
c
a
a
– ensino secund´rio. Lisboa: ME – DES.
a
a
e
o
para qualquer programa de Matem´tica, pelo que ´ de consulta indispens´vel.
a
e
a

Ponte, J.P.; Canavarro, A. P. (1997). Matem´tica e Novas Tecnologias (Universidade
a
Aberta, Vol 128). Lisboa: UA.
Este livro fornece uma excelente panorˆmica da utiliza¸ao das novas tecnologias
a
c˜
´
na Matem´tica e na aula de Matem´tica. E apresentada uma perspectiva hist´rica
a
a
o
da utiliza¸õ das tecnologias na matem´tica sendo discutidos bastantes exemplos em
ca
a
v´rias ´reas curriculares (n´meros, fun¸˜es, geometria, estat´
a
a
u
co
ıstica e probabilidades) e
analisados com algum detalhe v´rios tipos de programas de computador (jogos, folhas
a
´
de c´lculo, linguagem LOGO, programas de geometria dinˆmica). E certamente uma
a
a
obra de muito interesse para qualquer professor de Matem´tica pela ampla perspectiva
a
que oferece.

Ponte, J. P.(coord.), Brunheiro, L., Abrantes, P. e Bastos, R. (1998) Projectos Educativos:
Matem´tica – ensino secund´rio. Lisboa: ME – DES.
a
a
a
e
o
para qualquer programa de Matem´tica, pelo que ´ de consulta indispens´vel.
a
e
a

Rossman, A. (1996). Workshop Statistics: discovery with data. Springer-Verlag New York,
Inc.
Runyon, R. et al. (1996). Fundamentals of Behavioral Statistics. McGraw-Hill Companies,
Inc.
Sebastiõ e Silva, J.(1975-78). Compˆndio de Matem´tica (5 vols) Lisboa: MEC – GEP.
a
e
a

a

a
a
e

31

Os Compˆndios de Matem´tica de Sebastiõ e Silva sõ referˆncias obrigat´rias e
e
a
a
a
e
o
constituem um bom recurso para estudar qualquer dos assuntos que sõ abordados
a
no ensino secund´rio. Recomendam-se em particular os cap´
a
ıtulos de Probabilidades e
Estat´
ıstica.

Sebastiõ e Silva, J.(1975–77). Guia para a utiliza¸õ do Compˆndio de Matem´tica (3
a
ca
e
a
vols). Lisboa: MEC – GEP.
Este livro continua a ser um ponto de referˆncia de muitos aspectos deste programa
e
e constituem material base indispens´vel para o trabalho do professor, tanto em termos
a
cient´
ıficos como metodol´gicos. As ”Normas Gerais” contidas no 1o volume do Guia
o
¯
devem ser objecto de reflexõ por parte dos professores. Na primeira dessas Normas
a
pode ler-se: ”A moderniza¸õ do ensino da Matem´tica ter´ de ser feita nõ s´ quanto
ca
a
a
a o
a programas, mas tamb´m quanto a m´todos de ensino. O professor deve abandonar,
e
e
tanto quanto poss´
ıvel, o m´todo expositivo tradicional, em que o papel dos estudantes
e
´ quase cem por cento passivo, e procurar, pelo contr´rio, seguir o m´todo activo,
e
a
e
estabelecendo di´logo com os estudantes e estimulando a imagina¸õ destes, de modo a
a
ca
conduzi-los, sempre que poss´
ıvel, a redescoberta”.
`

Siegel, A. (1988). Statistics and Data Analysis. John Wiley Sons.
Steen, L.A.(coord). For all practical purposes – introduction to contemporary mathematics
COMAP(1999). New York: W.H.Freeman and co.
Este ´ um livro de texto testado com ˆxito em v´rios pa´
e
e
a
ıses, destinado a estudantes do ensino secund´rio que terminam aqui a sua forma¸ao matem´tica. Cont´m
a
c˜
a
e
explica¸˜es detalhadas (com numerosas referˆncias hist´ricas) e exerc´
co
e
o
ıcios relativos,
nomedamente, a elei¸˜es, partilha equilibrada, grafos e estat´
co
ıstica.

Stewart, Ian (1996). Os Problemas da Matem´tica. Ciˆncia Aberta, Vol. 72, 2a ed. Lisboa:
a
e
¯
Gradiva
O que ´ a Matem´tica? Segundo Ian Stewart a Matem´tica ´ sobre ideias nõ sobre
e
a
a
e
a
s´
ımbolos e contas que sõ apenas ferramentas do of´
a
ıcio. O objectivo da matem´tica
a
´ perceber como diferentes ideias se relacionam entre si, pondo de lado o acess´rio e
e
o
penetrando no amago do problema. A Matem´tica nõ se preocupa apenas com a
ˆ
a
a
obten¸õ da resposta certa, mas sobretudo com o perceber de como uma resposta ´
ca
e
de todo poss´
ıvel e porque tem determinada forma. Ainda segundo Ian Stewart h´,
a
pelo menos, cinco fontes distintas de ideias matem´ticas: n´mero, ordena¸õ, forma,
a
u
ca
movimento e acaso. Os problemas sõ a for¸a motriz da Matem´tica, sendo os exemplos
a
c
a
outra fonte importante de inspira¸õ da Matem´tica, conforme assinala o mesmo autor.
ca
a

Struik, D. Hist´ria Concisa das Matem´ticas. Lisboa: Gradiva.
o
a
Este livro ´ uma referˆncia cl´ssica na Hist´ria da Matem´tica, recomendando-se a
e
e
a
o
a
segunda edi¸ao por conter um anexo relativo ` Hist´ria da Matem´tia em Portugal.
c˜
a
o
a

Tannenbaum, P. et al. (1998). Excursions in Modern Mathematics. Prentice-Hall, Inc.
Thiessen, H. (1997). Measuring the Real World. John Wiley Sons.

a

a
a
e

32

Valadares, J.; Gra¸a, M. (1998) Avaliando ... para melhorar a aprendizagem Lisboa:
c
Pl´tano.
a
Este livro, de muito interesse para qualquer professor de Matem´tica, analisa divera
sos aspectos te´ricos e pr´ticos da avalia¸õ, sem esquecer uma perspectiva hist´rica.
o
a
ca
o
Cont´m numerosos exemplos de constru¸õ de variados tipos de itens de avalia¸õ (e nõ
e
ca
ca
a
s´ para a Matem´tica). Analisa com bastante pormenor as diferentes fases do processo
o
a
de avalia¸õ e as caracter´
ca
ısticas fundamentais dos instrumentos de avalia¸õ (como a
ca
validade e a fidelidade).

Vieira, A,; Veloso, E.; Lagarto, M. J. (org.).(1997) Relevˆncia da Hist´ria no Ensino da
a
o
Matem´tica. Hist´ria da Matem´tica - Cadernos do GTHEM - 1 APM. Lisboa: APM.
a
o
a
Este livro cont´m a tradu¸õ de trˆs textos essenciais para quem queira reflectir nas
e
ca
e
vantagens de uso da Hist´ria da Matem´tica na sala de aula: ”Porquˆ estudar Hist´ria
o
a
e
o
da Matem´tica” de Dirk Struik, ”A utiliza¸õ da Hist´ria em Educa¸õ Matem´tica”
a
ca
o
ca
a
de John Fauvel e ”Quer dar significado ao que ensina? Tente a Hist´ria da Matem´tica”
o
a
de Frank Swetz.

P´ginas na INTERNET
a
Associa¸õ de Professores de Matem´tica
ca
a
http://www.apm.pt/
Esta p´gina cont´m a indica¸õ dos projectos que APM desenvolve e liga¸˜es para
a
e
ca
co
outras p´ginas de interesse.
a

Centro de Competˆncia Nńio sćulo XXI ”Softciˆncias”
e
o
e
e
Mocho e Mocho S´bio
a
http://softciencias.ccg.pt/mocho/
Esta p´gina cont´m um ´
a
e
ındice de p´ginas sobre Matem´tica em l´
a
a
ıngua portuguesa; o
Mocho S´bio cont´m p´ginas especialmente recomendadas pela sua qualidade cient´
a
e
a
ıfica
e pedag´gica.
o

Financial Mathematics in Context - Teaching and Assessment
http://education.qld.gov.au/tal/kla/finance/teaching.htm
Peter Cooper
Esta p´gina cont´m v´rios documentos de apoio ao trabalho dos professores no
a
e
a
ensino elementar de v´rios t´picos de matem´tica financeira.
a
o
a

Inicia¸õ ` Teoria de Grafos
ca a
http://membros.aveiro-digital.net/adam/grafos/
Esta p´gina cont´m um texto introdut´rio e v´rios exerc´
a
e
o
a
ıcios que serviram de base
a dois cursos de forma¸ao via Internet do ex-projecto TRENDS.
c˜

a

a
a
e

Instituto Nacional de Estat´
ıstica e Escola Secund´ria Tomaz Pelayo
a
Projecto ALEA
http://alea-estp.ine.pt/
Esta p´gina cont´m documentos destinados a apoiar o ensino da Estat´
a
e
ıstica a n´
ıvel
do ensino secund´rio. Al´m de uma s´rie de p´ginas com esclarecimentos sobre temas
a
e
e
a
cient´
ıficos, tem p´ginas com temas de actualidade relacionados com a Estat´
a
ıstica, jogos
didćticos, um forum de discussõ e uma Galeria Virtual com trabalhos de escolas.
a
a

Prof. Miguel de Guzmń Oz´miz
a
a
http://www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/ guzman.htm
Esta p´gina ´ um manancial inesgot´vel de informa¸õ relacionada com a Matem´tica
a
e
a
ca
a
o seu ensino e a sua hist´ria.
o

Reajustamento do Programa de Matem´tica
a
http://www.terravista.pt/AguaAlto/5783
Esta p´gina da Internet ir´ contendo indica¸˜es de apoio a este programa, como
a
a
co
materiais de apoio e listas de endere¸os com interesse para professores e estudantes.
c

Sociedade Portuguesa de Matem´tica
a
http://www.spm.pt/˜spm
Estas p´ginas contˆm a indica¸õ dos projectos que a SPM desenvolve e liga¸oes
a
e
ca
c˜
para outras p´ginas de interesse.
a

33

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