Mat exercicios resolvidos 005
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1) O documento apresenta um resumo teórico sobre funções exponenciais e logaritmos, incluindo propriedades das potências, funções exponenciais, gráficos, equações e inequações exponenciais e logaritmos. 2) São fornecidos exercícios sobre o assunto com dicas de resolução. 3) As resoluções dos exercícios aplicam as propriedades apresentadas no resumo teórico.
Mat exercicios resolvidos 005
- 1. Matemática Fascículo 01 Álvaro Zimmermann Aranha
- 2. Índice Função Exponencial e Logaritmos Resumo Teórico ..................................................................................................................................1 Exercícios............................................................................................................................................4 Dicas ..................................................................................................................................................5 Resoluções .........................................................................................................................................6
- 3. Função Exponencial e Logaritmos Resumo Teórico Potência Sendo a Î IR e n Î IN , temos: ìa 0 = 1 Def.: í n+ 1 îa = an × a Consequência: a n = a ×4× a 4 a 1a 2 K 3 n vezes Propriedades das Potências P1: a m × a n = a m+ n am P2: = am - n n a P3: (a m ) n = a m × n P4: (a × b)m = am × bm m æaö am P5: ç ÷ = è bø bm 1 Obs. 1: a -n = (a ¹ 0) an n m Obs. 2: am = a n (n Î IN* e am ³ 0) Função Exponencial É toda função da forma y = ax com a Î IR , a > 0 e a ¹ 1. 1
- 4. Gráficos da Função Exponencial 0 < a < 1 (função decrescente) a > 1 (função crescente) Equação Exponencial Propriedade: Se af(x) = ag(x) Û f(x) = g(x) Inequação Exponencial Se 0 < a < 1: af(x) < ag(x) Û f(x) > g (x) inverte o sentido (0 < base < 1) Se a > 1: af(x) < ag(x) Û f(x) < g(x) mantém o sentido (base > 1) Função Logarítmica Sendo x Î IR / x > 0 e a Î IR e 1 ¹ a > 0 então: loga x = y Û x = ay Obs.: Condição de Existência ìx > 0 Se y = loga x Þ C. E.í îa > 0 e a ¹ 1 Gráficos da Função Logarítmica 0 < a < 1 (função decrescente) a > 1 (função crescente) 2
- 5. Propriedade dos logaritmos P1: loga (b . c) = loga b + loga c b P2: loga æ ö = loga b – loga c ç ÷ èc ø P3: loga bn = n loga b 1 P4: logan b = loga b n logc a Fórmula de mudança de base: logb a = logc b Equação Logarítmica 1.o Tipo: loga f(x) = loga g(x) Û f(x) = g(x) 2.o Tipo: loga f(x) = a Û f(x) = aa (a Î IR) Obs.: Ao resolver as equações logarítmicas, é necessário verificar as condições de existência da equação inicial. Inequação Logarítmica 1.o Tipo: log < log Se 0 < a < 1 loga f(x) < loga g(x) Û f(x) > g(x) inverte o sentido (0 < base < 1) Se a > 1 loga f(x) < loga g(x) Û f(x) < g(x) mantém o sentido (base > 1) 2.o Tipo: log < a (a Î IR) Se 0 < a < 1 loga f(x) < a Û f(x) > aa inverte o sentido (0 < base < 1) Se a > 1 loga f(x) < a Û f(x) < aa mantém o sentido (base > 1) Obs.: Ao resolver as inequações logarítmicas, é necessário verificar as condições de existência da inequação inicial. 3
- 6. Exercícios 01. A figura ao lado mostra o gráfico da função logaritmo na base b. O valor de b é: 1 a. 4 b. 2 c. 3 d. 4 e. 10 02. O número x > 1 tal que logx2 = log4x é: 2 2 2 a. b. 2 c. 2 d. 2 2 e. 4 4 03. O número real x que satisfaz a equação log2 (12 – 2x) = 2x é a. log25 b. log2 3 c. 2 d. log2 5 e. log23 04. Em que base o logaritmo de um número natural n, n > 1, coincide com o próprio número n? 1 1 a. nn b. c. n2 d. n e. n n n 05. Considere a função f, definida por f(x)= logax. Se f(a) = b e f(a+2) = b + 1, os valores respectivos de a e b são: a. 2 e 1 b. 2 e 2 c. 3 e 1 d. 3 e 2 e. 4 e 1 06. O mais amplo domínio real da função dada por f(x) = log3 (2x - 1) é 1 a. ì x Î IR | x ¹ ü í ý î 2þ 1 b. ì x Î IR | x > ü í ý î 2þ 1 c. ì x Î IR | < x £ 1ü í ý î 2 þ d. { x Î IR | x ³ 1} e. { x Î IR | x ¹ 1} ì x + y = 2y ï 07. Se o par ordenado (a; b) é a solução do sistema í 2 , então a × b é igual a ïlog10 (3x + 4) = 1 + log10 (y - 1) î a. 2 b. 4 c. 6 d. 8 e. 9 4
- 7. Dicas 01. Observando o gráfico, vemos que para x = 0,25 temos y = –1. Substituindo x e y em y = logbx, obtemos b. 02. Resolver a equação na base 2, utilizando a propriedade de mudança de base: logc a logab = (b > 0, a > 0 e a ¹ 1, c > 0 e c ¹ 1) logc b 03. Devemos ter 12 – 2x > 0 (condição de existência). Para resolver a equação, use a definição de logaritmo (logab = c Û b = ac ) e substitua 2x por y. 04. É dado no enunciado que logxn = n (0 < x ¹ 1 e n > 1). Para obter a base x, aplique a definição de logaritmo. 05. Como f(x) = loga(x), f(a) = b e f(a + 2) = b + 1, trocando-se x por a e por a + 2, obtemos os valores de a e b. 06. 1. Para determinar o domínio de f(x) = log3 (2x - 1) ,devemos ter log3(2x – 1) ³ 0. 2. Para resolver a inequação logarítmica, basta notarmos que são equivalentes as inequações: logaf(x) ³ c Û logaf(x) ³ c × logaa Û Û logaf(x) ³ logaac Û f(x) ³ ac se a > 1 e c Î IR 07. 1. Obtenha uma relação entre x e y na 1.a equação do sistema, lembrando que a n = n a m (a Î IR * , m Î Z e n Î IN*) e ab = ac Û m + b = c (0 < a ¹ 1). 2. Na 2.a equação do sistema, use a propriedade do logaritmo do produto: loga(b × c) = logab + logac e a consequência da definição: logab = logac Û b = c (0 < a ¹ 1, b > 0 e c > 0). 3. Resolva o sistema obtido, equivalente ao sistema dado. 5
- 8. Resoluções 01. Alternativa d. Do gráfico, temos: x = 0,25 e y = – 1. 1 –1 1 Sendo y = logbx, vem: – 1 = logb0,25 Þ – 1 = logb Þb = Þb=4 4 4 02. Alternativa b. logx2 = log4x Aplicando a propriedade de mudança de base: logc b log2 2 log2 x logab = (b > 0, a > 0 e a ¹ 1, c > 0 e c ¹ 1) temos: = logc a log2 x log2 4 1 log2 x Como log22 = 1 e log24 = 2 vem: = log2 x 2 (log2 x) 2 = 2 ìlog2 x = 2 ï log2 x = ± 2 Þ íou ïlog2 x = - 2(não serve pois x > 1) î 2 De log2x = 2 obtemos, pela definição de logaritmo, que x = 2 03. Alternativa e. Devemos ter 12 – > 0 (condição de existência) log (12 – 2x) = 2x Û 22x = 12 – 2x Û 22x + 2x – 12 = 0 Û 2 Û (2x)2 + 2x – 12 = 0 Seja 2x = y y2 + y – 12 = 0 -1 ± 7 y= Þ y = – 4 ou y = 3 2 Se y = – 4 temos que 2x = – 4 (não convém, pois 2x > 0 para todo x real) Se y = 3 temos que 2x = 3, que satisfaz a condição 12 – 2x > 0. Sendo 2x = 3, conclui-se que x = log23 04. Alternativa e. Seja x a base procurada. É dado no enunciado que: logxn = n para 0 < x ¹ 1 e n > 1 1 1 1 Assim, logxn = n Û x n = n Û (x n ) n = (n) n Û x = n n 6
- 9. 05. Alternativa a. f(x) = loga(x) ì0 < a ¹ 1 ï condições de existência íe ïx > 0 î Se f(a) = b, temos que loga(a) = bb = 1 Se f(a + 2) = b + 1, temos que loga(a + 2) = 2a2 = a + 2 1± 3 a2 – a – 2 = 0 Þ a = Þ a = 2, a = – 1 (não serve) 2 Resposta: a = 2 e b = 1 06. Alternativa d. f(x) = log3 (2x - 1) Para que exista f(x) Î IR, devemos ter: log3(2x – 1) ³ 0 log3(2x – 1) ³ 0 × log33 Þ log3(2x – 1) ³ log33º log3(2x – 1) ³ log31 Þ 2x – 1 ³ 1 Þ 2x ³ 2 Þ x ³ 1 Então: D(f) = { x Î IR | x ³ 1} 07. Alternativa b. ì 2 x+y = 2 y ï í ïlog10 (3x + 4) = log10 10 + log10 (y – 1) ‚ î x+ y x+y 2 2 = 2y Û = y Û x + y = 2y Û x = y 2 ‚ log10(3x + 4) = log1010(y – 1) Û 3x + 4 = 10(y – 1) Û Û 3x + 4 = 10y – 10 Û 3x = 10y – 14 condição de existência: 10(y – 1) > 0 Þ y > 1 ìx = y Assim, o sistema dado é equivalente a: í î3x = 10y - 14 3x = 10x – 14 Þ – 7x = – 14 Þ x = 2 Como x = y temos que y = 2 (satisfaz a condição y > 1) Logo, a solução do sistema (a; b) é (2; 2) Então: a × b = 2 × 2 = 4 7