Func log
- 1. SABER DIREITO www.itbsite.blogspot.com FUNÇÃO LOGARÍTMICA A função f:IR+IR definida por f(x)=logax, com a≠1 e a>0, é chamada função logarítmica de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR+ (reais positivos, maiores que zero) e o contradomínio é IR (reais). GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA Temos 2 casos a considerar: quando a>1; quando 0<a<1. Acompanhe nos exemplos seguintes, a construção do gráfico em cada caso: 1) y=log2x (nesse caso, a=2, logo a>1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo: x 1/4 1/2 1 2 4 y -2 -1 0 1 2 2) y=log(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo: x 1/4 1/2 1 2 4 y 2 1 0 -1 -2
- 2. SABER DIREITO www.itbsite.blogspot.com Nos dois exemplos, podemos observar que a) o gráfico nunca intercepta o eixo vertical; b) o gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da função é x=1; c) y assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é Im=IR. Além disso, podemos estabelecer o seguinte: a>1 0<a<1 f(x) é crescente e Im=IR f(x) é decrescente e Im=IR Para quaisquer x1 e x2 do domínio: Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2>x1 ⇒ y2>y1 (as desigualdades têm x2>x1 ⇒ y2<y1 (as desigualdades têm mesmo sentido) sentidos diferentes)
- 3. SABER DIREITO www.itbsite.blogspot.com EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos. Exemplos de equações logarítmicas: 1) log3x =5 (a solução é x=243) 2) log(x2-1) = log 3 (as soluções são x’=-2 e x’’=2) 3) log2(x+3) + log2(x-3) = log27 (a solução é x=4) 4) logx+1(x2-x)=2 (a solução é x=-1/3) Alguns exemplos resolvidos: 1) log3(x+5) = 2 Resolução: condição de existência: x+5>0 => x>-5 log3(x+5) = 2 => x+5 = 32 => x=9-5 => x=4 Como x=4 satisfaz a condição de existência, então o conjunto solução é S={4}. 2) log2(log4 x) = 1 Resolução: condição de existência: x>0 e log4x>0 log2(log4 x) = 1 ; sabemos que 1 = log2(2), então log2(log4x) = log2(2) => log4x = 2 => 42 = x => x=16 Como x=16 satisfaz as condições de existência, então o conjunto solução é S={16}. 3) Resolva o sistema: log x + log y = 7 3. log x − 2. log y = 1 Resolução: condições de existência: x>0 e y>0 Da primeira equação temos: log x+log y=7 => log y = 7-log x Substituindo log y na segunda equação temos: 3.log x – 2.(7-log x)=1 => 3.log x-14+2.log x = 1 => 5.log x = 15 =>
- 4. SABER DIREITO www.itbsite.blogspot.com => log x =3 => x=103 Substituindo x= 103 em log y = 7-log x temos: log y = 7- log 103 => log y = 7-3 => log y =4 => y=104. Como essas raízes satisfazem as condições de existência, então o conjunto solução é S={(103;104)}. INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Chamamos de inequações logarítmicas toda inequação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos. Exemplos de inequações logarítmicas: 1) log2x > 0 (a solução é x>1) 2) log4(x+3) ≤ 1 (a solução é –3<x≤1) Para resolver inequações logarítmicas, devemos realizar dois passos importantes: 1º) redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesma base; 2º) aplicação da propriedade: a>1 0<a<1 logam > logan ⇒ m>n>0 logam > logan ⇒ 0<m<n (as desigualdades têm mesmo sentido) (as desigualdades têm sentidos diferentes) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 1) log2(x+2) > log28 Resolução: Condições de existência: x+2>0, ou seja, x>-2 (S1) Como a base (2) é maior que 1, temos: x+2>8 e, daí, x>6 (S2) O conjunto solução é S= S1 ∩ S2 = {x ∈ IR| x>6}.
- 5. SABER DIREITO www.itbsite.blogspot.com Portanto a solução final é a intersecção de S1 e S2, como está representado logo abaixo no desenho: 2) log2(log3x) ≥ 0 Resolução: Condições de existência: x>0 e log3x>0 Como log21=0, a inequação pode ser escrita assim: log2(log3x) ≥ log21 Sendo a base (2) maior que 1, temos: log3x ≥ 1. Como log33 = 1, então, log3x ≥ log33 e, daí, x ≥ 3, porque a base (3) é maior que 1. As condições de existência estão satisfeitas, portanto S={x ∈ IR| x ≥ 3}.