Func mod
- 1. SABER DIREITO www.itbsite.blogspot.com FUNÇÃO MODULAR • Módulo (ou valor absoluto) de um número O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, que se indica por | x | é definido da seguinte maneira: x, se x ≥ 0 x = − x, se x < 0 Então: se x é positivo ou zero, | x | é igual ao próprio x. Exemplos: | 2 | = 2 ; | 1/2 | = | 1/2 | ; | 15 | = 15 se x é negativo, | x | é igual a -x. Exemplos: | -2 | = -(-2) = 2 ; | -20 | = -(-20) = 20 O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. O módulo de um número real nunca é negativo. Representando geometricamente, o módulo de um número real x é igual a distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto 0 de origem. Assim: • Se | x | < a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é menor que a, isto é, x deve estar entre –a e a, ou seja, | x | < a ⇔ -a < x < a. • Se | x | > a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é maior que a, isto é, deve estar à direita de a ou à esquerda de –a na reta real, ou seja: | x | > a ⇔ x > a ou x < -a. • Equações modulares Toda a equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros será chamada equação modular. Exemplos:
- 2. SABER DIREITO www.itbsite.blogspot.com a) | x2-5x | = 1 b) | x+8 | = | x2-3 | Algumas equações modulares resolvidas: 1) Resolver a equação | x2-5x | = 6. Resolução: Temos que analisar dois casos: caso 1: x2-5x = 6 caso 2: x2-5x = -6 Resolvendo o caso 1: x2-5x-6 = 0 => x’=6 e x’’=-1. Resolvendo o caso 2: x2-5x+6 = 0 => x’=3 e x’’=2. Resposta: S={-1,2,3,6} 2) Resolver a equação | x-6 | = | 3-2x |. Resolução: Temos que analisar dois casos: caso 1: x-6 = 3-2x caso 2: x-6 = -(3-2x) Resolvendo o caso 1: x-6 = 3-2x => x+2x = 3+6 => 3x=9 => x=3 Resolvendo o caso 2: x-6 = -(3-2x) => x-2x = -3+6 => -x=3 => x=-3 Resposta: S={-3,3} • Inequações modulares Chamamos de inequações modulares as inequações nos quais aparecem módulos de expressões que contém a incógnita. Algumas inequações modulares resolvidas: 1) Resolver a inequação | -2x+6 | < 2. Resolução: − 2 < −2 x + 6 2 x < 6 + 2 | - 2x + 6 | < 2 ⇒ − 2 < −2 x + 6 < 2 ⇒ ⇒ ⇒ − 2 x + 6 < 2 − 2 x < 4 2 x < 8 x < 4 ⇒ ⇒ 2 x > 4 x > 2
- 3. SABER DIREITO www.itbsite.blogspot.com S = {x ∈ IR | 2<x<4} 2) Dê o conjunto solução da inequação |x2-2x+3| ≤ 4. Resolução: |x2-2x+3| ≤ 4 => -4 ≤ x2-2x+3 ≤ 4. Então temos duais inequações (que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo): Eq.1: -4 ≤ x2-2x+3 Eq.2: x2-2x+3 ≤ 4 Resolvendo a Eq.1: -4 ≤ x2-2x+3 => -4-3 ≤ x2-2x => -7 ≤ x2-2x => x2-2x+7 ≥ 0 => sem raízes reais Resolvendo a Eq.2: x2-2x+3 ≤ 4 => x2-2x-1 ≤ 0 x' = 1 − 2 Aplicando Bhaskara encontramos as raízes x' ' = 1 + 2 S = {x ∈ IR | 1 − 2 ≤ x ≤ 1 + 2} • Módulo e raiz quadrada Consideremos os números reais x e y. Temos por definição, que x=y se e somente se, y2 = x e y≥0. Daí podemos concluir que x2 = x só é verdadeiro se x≥0. Se tivermos x<0, não podemos afirmar que x2 = x pois isso contradiz a definição. Por exemplo, se x=-3, teríamos: (−3) 2 = −3 o que é um absurdo, pois o primeiro membro é positivo e o segundo negativo. Usando a definição de módulo, podemos escrever: x 2 =| x | o que é verdadeiro para todo x real.
- 4. SABER DIREITO www.itbsite.blogspot.com Devemos proceder da mesma forma em relação a todas raízes de índice par: 4 x 4 =| x |, 6 x 6 =| x |, 2n x 2 n =| x |, com x ∈ IR e n ∈ IN * Com relação às raízes de índice ímpar, podemos escrever: 3 x 3 = x, 5 x 5 = x, 2 n +1 x 2 n +1 = x, com x ∈ IR e n ∈ IN • Função modular Chamamos de função modular a função f(x)=|x| definida por: x, se x ≥ 0 f ( x) = − x, se x < 0 Observe, então, que a função modular é uma função definida por duas sentenças. Determinação do domínio Vamos determinar o domínio de algumas funções utilizando inequações modulares: Exemplo 1: Determinar o domínio da função 1 f ( x) = | x | −3 Resolução: 1 Sabemos que só é possível em IR se | x | −3 ≠ 0. | x | −3 Então : | x | −3 ≠ 0 ⇒ | x |≠ 3 ⇒ x ≠ 3 ou x ≠ −3 Resposta : D = {x ∈ IR | x ≠ 3 ou x ≠ −3} Exemplo 2: Determinar o domínio da função f ( x ) = 2− | x − 1 | Resolução:
- 5. SABER DIREITO www.itbsite.blogspot.com Sabemos que 2− | x − 1 | só é possível em IR se 2− | x − 1 |≥ 0. Então : 2− | x − 1 |≥ 0 ⇒ − | x − 1 |≥ −2 ⇒ | x − 1 |≤ 2 ⇒ − 2 ≤ x − 1 ≤ 2 − 2 ≤ x −1 ≤ 2 ⇒ − 2 +1 ≤ x ≤ 2 +1 ⇒ −1 ≤ x ≤ 3 Resposta : D = {x ∈ IR | −1 ≤ x ≤ 3} Gráfico Vamos construir o gráfico da função f(x)=|x|: x y=f(x) -1 1 -2 2 0 0 1 1 2 2 Gráfico da função f(x)=|x|:
- 6. SABER DIREITO www.itbsite.blogspot.com Este documento foi feito por Juliano Niederauer, com o auxílio dos livros: - Matemática Fundamental – 2º grau – Volume único (Giovanni, Bonjorno, Giovanni Jr.) - Matemática – Volume único - Facchini