2. Módulo (ou valor absoluto)
de um número
O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, que se indica por
| x | é definido da seguinte maneira:
0
se
,
0
se
,
x
x
x
x
x
Então:
se x é positivo ou zero, | x | é igual ao próprio x.
Exemplos: | 2 | = 2 ; | 1/2 | = | 1/2 | ; | 15 | = 15
se x é negativo, | x | é igual a -x.
Exemplos: | -2 | = -(-2) = 2 ; | -20 | = -(-20) = 20
3. O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. O módulo de
um número real nunca é negativo.
Representando geometricamente, o módulo de um número real x é
igual a distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao
ponto 0 de origem. Assim:
->Se | x | < a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é menor que a,
isto é, x deve estar entre –a e a, ou seja, | x | < a -a < x < a.
-> Se | x | > a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é maior que a,
isto é, deve estar à direita de a ou à esquerda de –a na reta real, ou seja: | x | > a
x > a ou x < -a.
4. Equações modulares
Toda a equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros será
chamada equação modular.
Exemplos:
a)| x2
-5x | = 1
b) | x+8 | = | x2
-3 |
5. 2) ) Resolver a equação | x-6 | = | 3-2x |.
Resolução: Temos que analisar dois casos:
caso 1: x-6 = 3-2x
caso 2: x-6 = -(3-2x)
Resolvendo o caso 1:
x-6 = 3-2x => x+2x = 3+6 => 3x=9 => x=3
Resolvendo o caso 2:
x-6 = -(3-2x) => x-2x = -3+6 => -x=3 => x=-3
Resposta: S={-3,3}
1) Resolvendo o caso 1:
x2
-5x-6 = 0 => x’=6 e x’’=-1.
Resolvendo o caso 2:
x2
-5x+6 = 0 => x’=3 e x’’=2.
Resposta: S={-1,2,3,6}
Algumas equações modulares resolvidas:
1) Resolver a equação | x2
-5x | = 6.
Resolução: Temos que analisar dois casos:
caso 1: x2
-5x = 6
caso 2: x2
-5x = -6
6. Inequações Modulares
Chamamos de inequações modulares as inequações nos quais aparecem
módulos de expressões que contém a incógnita.
Algumas inequações modulares resolvidas:
1) Resolver a inequação | -2x+6 | < 2.
2
4
4
2
8
2
4
2
2
6
2
2
6
2
6
2
2
2
6
2
2
2
|
6
2x
-
|
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Resolução:
S = {x IR | 2<x<4}
7. 1) Dê o conjunto solução da inequação |x2
-2x+3| 4.
Resolução:
|x2
-2x+3| 4 => -4 x2
-2x+3 4.
Então temos duais inequações (que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo):
Eq.1: -4 x2
-2x+3
Eq.2: x2
-2x+3 4
Resolvendo a Eq.1:
-4 x2
-2x+3 => -4-3 x2
-2x => -7 x2
-2x => x2
-2x+7 0 => sem raízes reais
Resolvendo a Eq.2:
}
2
1
2
1
|
{
2
1
'
'
2
1
'
raízes
as
s
encontramo
Bhaskara
Aplicando
x
IR
x
S
x
x
x2
-2x+3 4 => x2
-2x-1 0
8. Função modular
Chamamos de função modular a função f(x)=|x| definida por:
Observe, então, que a função modular é uma função definida por duas sentenças.
0
se
,
0
se
,
)
(
x
x
x
x
x
f
Determinação do domínio
Vamos determinar o domínio de algumas funções utilizando inequações
modulares:
9. Exemplo 1: Determinar o domínio da função
3
|
|
1
)
(
x
x
f
Resolução:
}
3
ou
3
|
{
:
Resposta
3
ou
3
3
|
|
0
3
|
|
:
Então
.
0
3
|
|
se
IR
em
possível
é
só
3
|
|
1
que
Sabemos
x
x
IR
x
D
x
x
x
x
x
x
10. Exemplo 2: Determinar o domínio da função
Resolução:
|
1
|
2
)
(
x
x
f
}
3
1
|
{
:
Resposta
3
1
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
|
1
|
2
|
1
|
0
|
1
|
2
:
Então
.
0
|
1
|
2
se
IR
em
possível
é
só
|
1
|
2
que
Sabemos
x
IR
x
D
x
x
x
x
x
x
x
x
x
11. Gráfico
Vamos construir o gráfico da função f(x)=|x|:
x y=f(x)
-1 1
-2 2
0 0
1 1
2 2
Gráfico da função f(x)=|x|:
