12.b3.funcao modular 1
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Dallol, na Etiópia, tem a temperatura média anual mais alta, excedendo 46°C no mês mais quente. A Plateau Station, na Antártida, tem a menor média anual, abaixo de -56,7°C. O documento discute conceitos de módulo e função modular.
12.b3.funcao modular 1
- 2. Função Modular Profª Juliana Schivani Dallol tem temperatura média anual de 41 °C e o mês mais quente, tem média superior de 46,4 °C. É a cidade mais quente da Terra, localizada na Etiópia.
- 3. Função Modular Profª Juliana Schivani A menor média anual de temperatura ocorre na Plateau Station, na Antártida, onde é igual a –56,7°C.
- 4. Função Modular Profª Juliana Schivani Fuso horário
- 5. Função Modular Profª Juliana Schivani Fuso horário |-3| = 3 |5| = 5 3 + 5 = 8 horas para o leste (acréscimo)
- 6. Módulo ou valor absoluto de um número real É a distância desse número até a sua origem zero. Função Modular Profª Juliana Schivani |-8| = 8 |3| = 3 |-3| = 3 |x| = x , se x ≥ 0 - x , se x < 0
- 7. Algumas propriedades 2 = 4 𝑝𝑜𝑖𝑠 2 ∙ 2 = 4 | − 2| = 4 Função Modular Profª Juliana Schivani 𝑥2 = |𝑥| |x| ≥ 0 |x|² = |x²| = x² Ex.: |6|² = 6² = 36, |6²| = |36| = 36 |x ∙ y| = |x| ∙ |y| Ex.: |2 · 3| = |2| · |3| |6| = 2 · 3 = 6 |x + y| ≤ |x| + |y| Ex.: |1 + (-2)| ≤ |1| + |-2| |-1| = 1 ≤ 1 + 2 ⟹ 1 ≤ 3 |x – y| ≥ ||x| – |y|| Ex.: |1 – (-2)| ≥ ||1| - |-2|| |3| ≥ |1 – 2| ⟹ 3 ≥ 1
- 8. Função Modular Profª Juliana Schivani
- 9. Função Modular Profª Juliana Schivani f (x) = R$ 33,21 + 4,19x se 11m³ ≤ x ≤ 15m³ R$ 33,21 + 4,50(x – 15) se 16m³ ≤ x ≤ 20m³ R$ 33,21 + 5,42(x – 20) se x ≥ 21 m³ FUNÇÃO DEFINIDA POR MAIS DE UMA SENTENÇA
- 10. Função Modular A função modular é definida por duas sentenças, com base no conceito de módulo, ou seja: Função Modular Profª Juliana Schivani 𝑓 𝑥 = 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 −𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
- 11. Função Modular Profª Juliana Schivani f (x) = R$ 33,21 + 4,19x, se 11m³ ≤ x ≤ 15m³ R$ 33,21 + 4,50(x – 15), se 16m³ ≤ x ≤ 20m³ R$ 33,21 + 5,42(x – 20), se x ≥ 21 m³
- 12. Gráfico da função modular O gráfico da função modular f(x) = |x| é a união dos gráficos de cada sentença (x, se x ≥ 0 e – x, se x <0). Como o módulo de um número sempre é positivo, a Imagem dessa função será ℝ+ Função Modular Profª Juliana Schivani
- 13. Gráfico da função modular O gráfico da função g(x) = |x| ± k é congruente ao de f(x) = |x|, porém, transladado k unidades para cima (k>0) ou k unidades para baixo (k<0)
- 14. Gráfico da função modular O gráfico da função h(x) = |x ± k| é congruente ao de f(x) = |x|, porém, transladado k unidades para a esquerda (k>0) ou k unidades para a direita (k<0)
- 15. Gráfico da função modular O gráfico da função p(x) = |x ± k| ± m é congruente ao de f(x) = |x|, porém, transladado k unidades para a esquerda (k>0) ou k unidades para a direita (k<0) e m unidades para cima (m>0) ou para baixo (m<0). p(x) = |x + 1| + 2
- 16. Gráfico da função modular Como fica o gráfico da função f(x) = |x² - 4x + 3|? Perceba que toda função e está em módulo. Por definição, o resultado de um módulo é sempre um número positivo, logo, o gráfico desta função estará completamente no eixo x e y positivos.
- 17. Equação Modular |x| = k ⟹ x = k ou x = – k Em um determinando mês verificou que o número n de pessoas que compravam no supermercado Alagoas era dado pela lei n(x) = 20 ∙ |x – 25| + 300 em que x = 1, 2, 3, ..., 30 representa cada dia do mês. Em quais dias do mês, 400 pessoas compraram neste supermercado? n(x) = 20 ∙ |x – 25| + 300 400 = 20 ∙ |x – 25| + 300 |x – 25| = (400 – 300)/20 |x – 25| = 5 x – 25 = 5 x – 25 = – 5 x = 30º dia ou x = 20º dia
- 18. Inequação Modular Na reta real abaixo, observe quando a distância à origem é menor que 4 e quando a distância à origem é maior que 4:
- 19. Inequação Modular Seja a> 0:
- 20. Inequação Modular No ano passado, Vitor participou de um curso de Matemática em que, todo mês, foi submetido a uma avaliação. A função f(x) ilustrada na imagem, representa a nota obtida por Vitor no mês x (x = 1 corresponde ao mês de janeiro). Em que mês Vitor ficou acima de 5?
- 21. Inequação Modular f(x) > 5 |x – 6| > (5 – 3) ∙ 2 |x – 6| > 4 x – 6 > 4 ou x – 6 < - 4 x > 4 + 6 ou x < - 4 + 6 x > 10 ou x < 2 Ele tirou acima de 5 no mês de novembro (11), dezembro (12) ou janeiro (1).
Notas do Editor
- #5: Dentre outras funções, o meridiano de Greenwich serve para estabelecer fusos horários. Como a cada 24hs a Terra dá uma volta completa em torno do seu eixo, isto é, dá um giro de 360°, então cada fuso (faixa de 15° de deslocamento) permanece uma hora a mais para à direita (leste) e uma hora a menos para à esquerda (oeste).
- #6: Dentre outras funções, o meridiano de Greenwich serve para estabelecer fusos horários. Como a cada 24hs a Terra dá uma volta completa em torno do seu eixo, isto é, dá um giro de 360°, então cada fuso (faixa de 15° de deslocamento) permanece uma hora a mais para à direita (leste) e uma hora a menos para à esquerda (oeste).
- #8: CUIDADO! Errado dizer que (−𝑥)² = -x. O certo é 𝑥² = x (só vale para x positivo). x = 3 ⟹ 𝑥² = 3² = 9 = 3 = x Mas x = -4 ⟹ 𝑥² = (−4)² = 16 = 4 ≠ x
- #10: X – 15 e x – 20 porque o consumidor paga 4,19 pelos primeiros 15m³ usados e passa a pagar 4,50 por cada excedente aos 15, se ele usar 20, por exemplo, 20 – 15 = 5m³ excedentes.
- #18: Explicar que a igualdade provem do conceito de modulo. A solução teorica é: CASO 1 – supor x≥0 e tirar o que está dentro do modulo, resolvendo a equação. CASO 2 – supor x <0 e neste caso, o que está dentro do módulo é multiplicado por -1.