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Inequações do 1º grau

A nalisando as condições de vida da popula-
ção brasileira, certamente encontraremos um verdadeiro desequilíbrio, tanto na
Introdução
área social como na área econômica. Esse desequilíbrio pode ser percebido
em situações como:
l Moradia: a cada dia, a população de rua vem aumentando nas grandes
cidades.
l Alimentação: 42,79% da população rural vive em situação de indigência.
l Salário: enquanto o salário de uns é baixíssimo, o salário de outros é
e x c e s -
sivamente alto.
Também podemos perceber esse desequilíbrio nas áreas de saúde, edu-
cação, saneamento básico etc.
Observe o gráfico abaixo. Ele representa o desequilíbrio na área da alimen-
tação:

A U L A Se usarmos a imagem de uma balança para “pesar” essas desigualdades,
ela estará permanentemente desequilibrada... Mas, até quando?

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Nossa aula Mas o que tudo isso tem a ver com a nossa aula de Matemática? Na aula de
hoje, vamos estudar inequações do 1º grau. E as inequações representam uma
desigualdade matemática.

EXEMPLO 1

O número de pessoas que entram no 1º grau é maior do que o número de
pessoas que terminam o 1º grau. Esse fato é comprovado em diversas pesquisas
realizadas.
Se representarmos por x o número de pessoas que entram no 1º grau e por
y o número de pessoas que terminam o 1º grau, poderemos escrever essa frase
em linguagem matemática, assim:

x>y onde o símbolo > indica é maior que.

A balança pode ser usada para mostrar esse desequilíbrio ou essa desigual-
dade na educação.

A inequação do 1º grau

Assim como a equação do 1º grau, a inequação também é uma frase
matemática, só que, em vez do sinal de = (igual), tem um desses sinais: >
(maior) ou < (menor) ou ³ (maior ou igual) ou £ (menor ou igual).

}
2x + 1 > 4x - 5 Estas frases matemáticas são
y-1<0 exemplos de inequações do 1º grau
2x ³ x + 1 com uma incógnita.
y + 4 £ 5 - 2y

}
x+y>5 A U L A
E estas são inequações do 1º grau
-y+x<3

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com duas incógnitas.
2x ³ 1 - y

Propriedades da inequação do 1º grau

Quando resolvemos uma equação do 1º grau, usamos recursos matemáti-
cos tais como: somar ou subtrair um mesmo valor aos dois membros da equação
e multiplicar ou dividir os dois membros por um mesmo valor, sem alterar a
equação. Será que esses recursos também são válidos na inequação do 1º
grau?
Vamos tomar a desigualdade 5 > 4, que é uma desigualdade verdadeira,
para verificar a validade desses recursos.

l Recurso: somar ou subtrair um mesmo valor aos dois membros.

5 > 4
somar 2
5+2 > 4+2
7 > 6 _ Continua sendo uma desigualdade verdadeira.

5 > 4
subtrair 1
5-1>4-1
4 > 3 _ Continua sendo uma desigualdade verdadeira.

Podemos concluir que esse recurso (somar ou subtrair um mesmo valor aos
dois membros) é v á l i d o também para resolver inequações do 1º grau.

l Recurso: multiplicar ou dividir por um mesmo valor os dois membros da
inequação:

Esse valor é um número positivo

5 > 4 x (+ 2)
5x2> 4x2
10 > 8

A U L A Esse valor é um número negativo.

67 5 > 4 _
(- 1) . 5 ? 4 . (- 1)
-5 < -4
x (- 1)

Observação: - 5 < - 4 só será uma desigualdade verdadeira se o símbolo
for invertido.

5>4
5:2>4:2
2,5 > 2

5 >4 : (- 2)
5 : (- 2) ? 4 : (- 2)
-5 -4
<
2 2
- 2,5 < - 2

Portanto, devemos ter cuidado ao utilizar esse recurso (multiplicar ou
dividir por um mesmo valor os dois membros) para resolver uma inequação do
1º grau: se esse valor for um número negativo, o sinal da desigualdade deve
ser invertido.

Como resolver uma inequação do 1º grau?

Vamos aplicar os recursos que acabamos de ver na resolução de uma
inequação do 1º grau.

EXEMPLO 2

Quais os valores de x que tornam a inequação - 2x + 5 > 0 verdadeira?

Inicialmente, resolvemos como se fosse uma equação do 1º grau:

- 2x + 5 > 0 como a operação inversa de somar 5 é subtrair 5,
+ 5 fica - 5.

- 2x > - 5 ¿ 2x < 5 multiplicando os dois lados por (- 1)

x<
-5
2
¿ e invertendo o sinal de desigualdade

x < 2,5

Observe que 2,5 não é solução da inequação, mas qualquer ponto menor A U L A
que 2,5 é solução.

Vamos verificar: 67
Para x = -1 _ -2 (-1) + 5 > 0 _2+5>0 _ 7>0 (verdadeiro)
Para x = 2 _ -2 (2) + 5 > 0 _ -4 + 5 > 0 _ 1>0 (verdadeiro)
Para x = 2,5 _ -2 (2,5) + 5 > 0 _ -5 + 5 > 0 _ 0>0 (falso)
Para x = 3 _ -2 (3) + 5 > 0 _ -6 + 5 > 0 _ -1 > 0 (falso)

Comprovamos, então, que somente os valores menores que 2,5 tornam a
inequação verdadeira.

O gráfico de inequação de 1º grau

Na Aula 66, você aprendeu a representar graficamente uma equação do 1º
grau com duas incógnitas. Agora vamos representar no plano cartesiano uma
inequação do 1º grau com duas incógnitas.

EXEMPLO 3

Represente no plano cartesiano a inequação x + 2y < 8
Vamos partir da equação x + 2y = 8
8-x
x y= (x ; y)
2
0 4 (0 ; 4)
2 3 (2 ; 3)

A região abaixo da reta representa os pontos em que x + 2y < 8. E a região
acima da reta representa os pontos em que x + 2y > 8.
Experimente! Pegue um ponto de cada uma das regiões indicadas e substi-
tua suas coordenadas na inequação x + 2y < 8. O que ocorre?

Exercícios
A U L A Exercício 1
Resolva as inequações:

67 a) x + 4 > 7 b) 2x - 10 £ 4

c) - 3x £ 15 d) 3x £ - 15
3x + 1 x x 4 - 2x
e) - <1 f) 2 + ³-2
2 3 5

Exercício 2
Represente na reta numérica as soluções das inequações do Exercício 1.

Exercício 3
A balança ao lado não está equilibrada. Escreva uma frase matemática que
represente esse desequilíbrio.

Exercício 4
Represente no plano cartesiano as inequações:
a) x + 2y > 8 b) 3x - y £ 0 c) x + y < 5

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