Exercicios resolvidos bb matematica

Concurso Público Banco do Brasil

INTRODUÇÃO

Temos seis conjuntos numéricos existentes, os naturais, inteiros, racionais,
irracionais, reais e complexos. Estudaremos, nesta primeira parte, somente os cinco
primeiros.

O conjunto dos números naturais são os primeiros a serem estudados. São os inteiros e
positivos.

O conjunto dos números inteiros são aqueles que envolvem os naturais e os negativos.

O conjunto dos racionais são todos aqueles que podem ser escritos na forma de frações,
já os irracionais não podem ser escritos na forma de fração.

Os reais vão englobar todos os anteriores.

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NÚMEROS NATURAIS
Começando pelo zero e acrescentando uma unidade, vamos escrevendo o
conjunto dos números naturais, representados pela letra IN:

IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

A reticências significa que o conjunto não tem fim, pois um número natural
sempre possui um sucessor e a partir do zero um sucessor.

Exemplos:
v o sucessor de 10 é 11 e o antecessor de 10 é 9.
v o ano que sucede 2003 é 2004 e 2002 antecede 2003.
v Generalizando: o sucessor de n é n + 1 e o antecessor de n é n - 1.

Exercícios Resolvidos
1) Um número natural e seu sucessor chamam-se consecutivos. Escreva todos os
pares de números consecutivos entre esses números:
2 - 10 - 9 - 101 - 0 - 1 - 256 - 702 - 500 - 255
Resolução:
0 e 1; 1 e 2; 9 e 10; 255 e 256

2) Hudson disse: "Reinivaldo tem 45 anos. Thaís é mais velha que Reinivaldo. As
idades de Reinivaldo e Thaís são números consecutivos. A minha idade é um
número que é o sucessor do sucessor da idade de Thaís ". Quantos anos Hudson
tem?

Resolução:
Como Thaís é mais velha que Reinivaldo e as suas idades são números consecutivos, então se
Reinivaldo tem 45 anos, Thaís tem 46 anos. Como a idade de Hudson é o sucessor do sucessor
de 46, então esta idade será 48 anos.

3) Escreva todos os números naturais que são maiores que 3 e menores que 7.

Resolução:
Seja o conjunto: A = {x ∈ IN / 3 < x < 7}, por uma propriedade específica o enunciado
do exercício ficará escrito desta forma, ilustrando todos os elementos fica assim:
A = {4, 5, 6}

ADIÇÃO
Um automóvel segue de João Pessoa com destino a Maceió. Seu condutor deseja
passar por Recife, sabendo-se que a distância de João Pessoa até Recife é de 120
km e que Recife está a 285 km de Maceió, quantos quilômetros o automóvel irá


percorrer até chegar em Maceió? Esta é uma pergunta relativamente fácil de
responder, basta somar as distâncias: 285 + 120 = 405 km.
Adição é uma operação que tem por fim reunir em um só número, todas as
unidades de dois, ou mais, números dados.
O resultado da operação chama-se soma ou total, e os números que se
somam, parcelas ou termos.

Propriedades
Fechamento - A soma de dois números naturais é sempre um número natural. Ex:
8 + 6 = 14

Elemento Neutro - Adicionando-se o número 0 (zero) a um número natural, o
resultado é o próprio número natural, isto é, o 0 (zero) não influi na adição. Ex: 3 +
0=3

Comutativa - A ordem das parcelas não altera a soma.

Ex: 3 + 5 + 8 = 16 ou 5 + 8 + 3 = 16

Associativa - A soma de vários números não se altera se substituirmos algumas
de suas parcelas pela soma efetuada. Os sinais empregados para associações
são denominados:

( ) parênteses [ ] colchetes { } chaves

Exemplos:
8 + 3 + 5 = (8 + 3) + 5 = 11 + 5 = 16
13 + 5 + 2 + 7 = (13 + 5) + (2 + 7) = 18 + 9 = 27

De um modo geral a + (b + c) = (a + b) + c

Nota:
Estudando-se as línguas, verificamos a importância da colocação das vírgulas
para entendermos o significado das sentenças.

Exemplo:

1) "Tio Sérgio, André vai ao teatro."
2)"Tio, Sérgio André vai ao teatro."

Podemos verificar que essas duas sentenças apresentam significados diferentes,
pelo fato da vírgula ter sido deslocada.

Nas expressões e sentenças matemáticas, os sinais de associação (parênteses,
colchetes e chaves) podem funcionar como verdadeiras vírgulas. Resolvem-se os
sinais na seqüência:

( ) parênteses [ ] colchetes{ } chaves


Exemplo:

A expressão (10 - 5) + 2 = 5 + 2 = 7 e 10 - (5 + 2) = 10 - 7 = 3, são diferentes, daí a
importância da associação.

Dissociativa - Em toda soma pode-se substituir uma parcela por outra cuja soma
seja igual a ela. Esta propriedade é de sentido contrário da anterior.

Exemplo:

9 + 3 + 8 = (5 + 4) + 3 + 8 (Neste caso o número 9 foi dissociado em dois outros 5 e
4).
De uma maneira geral (a + b) + c = a + b + c.
Observe que o zero como parcela não altera a soma e pode ser retirado.

Exemplo:
20 + 7 + 0 + 3 = 20 + 7 + 3

SUBTRAÇÃO
Fabiano fez um depósito de R$ 1 200,00 na sua conta bancária. Quando retirou um
extrato, observou que seu novo saldo era de R$ 2 137,00. Quanto Fabiano tinha
em sua conta antes do depósito?
Para saber, efetuamos uma subtração:
2 137 minuendo
1 200 subtraendo

resto ou
R$ 937,00 diferença

Denomina-se subtração a diferença entre dois números, dados numa certa
ordem, um terceiro número que, somado ao segundo, reproduz o primeiro. A
subtração é uma operação inversa da adição.
O primeiro número recebe o nome de minuendo e o segundo de
subtraendo, e são chamados termos da subtração. A diferença é chamada de
resto.

Propriedades
Fechamento:- Não é válida para a subtração, pois no campo dos números
naturais, não existe a diferença entre dois números quando o primeiro é menor
que o segundo. Ex: 3 - 5
Comutativa: Não é válida para a subtração, pois 9-0 ≠0-9

Associativa: Não é válida para a subtração, pois (15 - 8) - 3 = 7 - 3 = 4 e 15 - (8
- 3) = 15 - 5 = 10


Somando-se ou subtraindo-se um mesmo número aos termos de uma subtração,
a diferença não se altera.

Exemplo: seja a diferença 15 - 8 = 7, somando-se 4 aos seus dois termos, teremos
(15 + 4) - (8 + 4) = 19 - 12 = 7

MULTIPLICAÇÃO
Multiplicar é somar parcelas iguais.

Exemplo: 5 + 5 + 5 = 15

Nesta adição a parcela que se repete (5) é denominada multiplicando e o
número de vezes que o multiplicamos (3) é chamado multiplicador e o resultado
é chamado de produto.

Então:
5 multiplicando
×3 multiplicador

15 produto

Multiplicação é a operação que tem por fim dados dois números, um
denominado multiplicando e outro multiplicador, formar um terceiro somando o
primeiro tantas vezes quando forem as unidades do segundo. O multiplicando e o
multiplicador são chamados de fatores.

Propriedades
1) Fechamento - O produto de dois números naturais é sempre um número
natural.
Ex: 5 x 2 = 10

2) Elemento Neutro - O número 1 (um) é denominado de elemento neutro da
multiplicação porque não afeta o produto.
Ex: 10 x 1 = 10

3) Comutativa - A ordem dos fatores não altera o produto.
Ex: 5 x 4 = 20 ou 4 x 5 = 20

4) Distributiva em relação à soma e a diferença - Para se multiplicar uma soma ou
uma diferença indicada por um número, multiplica-se cada uma das suas parcelas
ou termos por esse número, e em seguida somam-se ou subtraem-se os
resultados.

Exemplo:
1º) (4 + 5) x 3 = 4 x 3 + 5 x 3 = 27


2º) (7 - 4) x 5 = 7 x 5 - 5 x 4 = 15

Essa propriedade é chamada distributiva porque o multiplicador se distribui por
todos os termos.

Para multiplicar uma soma por outra, pode-se multiplicar cada parcela da primeira
pelas parcelas da segunda e somar os produtos obtidos.

Exemplo:
(6+ 3) x (2 + 5) = 6 x 2 + 6 x 5 + 3 x 2 + 3 x 5 = 63

DIVISÃO
Divisão Exata
Divisão exata é a operação que tem por fim, dados dois números, numa
certa ordem, determinar um terceiro que, multiplicado pelo segundo, reproduza o
primeiro. A indicação dessa operação é feita com os sinais:ou ÷ que se lê:
dividido por. O primeiro número chama-se dividendo, o segundo divisor e o
resultado da operação, quociente.

Exemplo:
15 : 3 = 5, pois 5 x 3 = 15
Onde 15 é o dividendo, 3 é o divisor e 5 é o quociente.

Divisão Aproximada
No caso de se querer dividir, por exemplo, 53 por 6, observa-se que não se
encontra um número inteiro que, multiplicado por 6, reproduza 53, pois 8 ´ 6 = 48 é
menor que 53 e 9 ´ 6 = 54 é maior que 53.
O número 8, que é o maior número que multiplicado por 6 não ultrapassa o
dividendo 53, é denominado quociente aproximado a menos de uma unidade por
falta, porque o erro que se comete, quando se toma o número 8 para o quociente,
é menor que uma unidade. Temos, assim, a seguinte definição: chama-se resto de
uma divisão aproximada a diferença entre o dividendo e o produto do quociente
aproximado pelo divisor. A indicação dessa divisão é feita assim:

DIVIDENDO = DIVISOR × QUOCIENTE + RESTO

Exemplo:


⇒ 53 = 6 × 8 + 5

NÚMEROS INTEIROS (Z)
Em tempos remotos, com o desenvolvimento do comércio, um comerciante desejando
ilustrar a venda de 3 kg de um total de 10 kg de trigo existente num saco, escreve no saco: "-
3", a partir daí um novo conjunto numérico passa a existir, o Conjunto dos Números
Inteiros, hoje, representamos pela letra Z.

Z = {..., -3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...}

A reticências, no início ou no fim, significa que o conjunto não tem começo nem fim.
Concluímos, então, que todos os números inteiros possuem um antecessor e um sucessor.
Com a relação às operações que serão possíveis de se efetuar, ilustraremos exemplos da
adição e multiplicação.

ADIÇÃO

v Sinais Iguais: Somam-se os números prevalecendo o sinal.

Exemplos:
(+2) + (+3) = +5
(-2) + (-3) = - 5

v Sinais Diferentes: Subtraem-se os números prevalecendo o sinal do maior número em
módulo.

Exemplos:
(-2) + (+3) = +1
(+2) + (-3) = -1



1) Calcule a soma algébrica: -150 - 200 + 100 + 300

Resolução:

-150 - 200 + 100 + 300
-350 + 100 + 300
-250 + 300
50

2) Alexandre tinha 20 figurinhas para jogar bafo. Jogou com Marcelo e perdeu 7
figurinhas, jogou com Jorge e ganhou 2, ao jogar com Gregório ganhou 3 e perdeu 8 e com
Hudson ganhou 1 e perdeu 11. Com quantas figurinhas ficou Alexandre no final do jogo?

Resolução:

Representando em soma algébrica:
20 - 7 + 2 + 3 - 8 + 1 - 11 = 0

Resposta: Nenhuma.

MULTIPLICAÇÃO

Na multiplicação de números inteiros vamos, sempre, considerar a seguinte regra:
(+) . (+) = (+)
(+) . (-) = (-)
(-) . (+) = (-)
(-) . (-) = (+)
Exemplos:
v (+2) × (+3) = (+6)
v (+2) × (- 3) = (- 6)
v (-2) × (+ 3) = (- 6)
v (-2) × (- 3) = (+ 6)

Exercício Resolvido
1) Calcule o valor da expressão abaixo:
{(16 - 4) + [3.(-2) - 7.1]}.[-12 - (-4).2.2] + (-7).2 - 3 . (-1)

Resolução:

{(16 - 4) + [3.(-2) - 7.1]}.[-12 - (-4).2.2] + (-7).2 - 3 . (-1)
{12 + [-6 - 7]} .[-12 -(-16)] + (-14) - (-3)
{12 + [-13]} . [-12 + 16] - 14 + 3
{12 - 13} . 4 - 14 + 3
{-1}.4 - 14 + 3


-4 - 14 + 3
-18 + 3
-15

NÚMEROS RACIONAIS (Q) - FRAÇÕES
São aqueles constituído pelos números inteiros e pelas frações positivas e
a
negativas. Número racional é todo número indicado pela expressão b , com b ≠ 0
e é representado pela letra Q.

Atenção:

I) Todo número natural é um racional.

II) Todo número inteiro relativo é racional.

FRAÇÕES
Número fracionário ou fração é o número que representa uma ou mais
partes da unidade que foi dividida em partes iguais.

Exemplos:

v 1 hora = 60 minutos
v ¼ hora = 15 minutos
2
3


⇒ Representação

Uma fração é representada por meio de dois números inteiros, obedecendo
uma certa ordem, sendo o segundo diferente de zero, chamados respectivamente
de numerador e denominador, e que constituem os termos da fração.

O denominador indica em quantas partes foi dividida a unidade, e o
numerador, quantas partes foram tomadas.
As frações podem ser decimais e ordinárias.

FRAÇÕES DECIMAIS
Quando o denominador é representado por uma potência de 10, ou seja,
10, 100, 1000, etc.

Exemplo:

FRAÇÕES ORDINÁRIAS
São todas as outras frações:

TIPOS DE FRAÇÕES
a) Frações Próprias: O numerador é menor que o denominador. Nesse caso a
fração é menor que a unidade.

Exemplo:


b) Frações Impróprias: O numerador se apresenta maior que o denominador.
Nesse caso a fração é maior que a unidade.

Exemplo:

c) Frações Aparentes: São frações impróprias que tem o numerador divisível pelo
denominador e que são chamadas de frações aparentes. Porque são iguais aos
números internos que se obtém dividindo o numerador pelo denominador.

Exemplo:

d) Frações Irredutíveis: São frações reduzidas à sua forma mais simples, isto é,
não podem mais ser simplificadas, pois seus dois termos são números primos
entre si, e por esta razão não têm mais nenhum divisor comum.

Exemplo:

24 2
Simplificando-se , temos (fração irredutível)
36 3

REDUÇÕE DE FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR
1) Reduzem-se as frações à forma irredutível
2) Determina-se o M.M.C. dos denominadores dessas frações
3) Divide-se o mmc pelo denominador e multiplica-se pelo numerador o resultado
da divisão.

Exemplo:


1-)
3 1
=
6 2

2-)
mmc (2, 5, 7) = 70

3-)
2 1 28
, , 4 ⇒ , , ⇒ , 35 , 40
5 2 7 70 70 70 70 70 70

PROPRIEDADE DAS FRAÇÕES

1) Se multiplicarmos ou dividirmos o numerador de uma fração por um certo
número diferente de zero, o valor de fração fica multiplicado ou dividido por
esse número.

Exemplo:
3 6
Seja a fração 10 . Se multiplicarmos o numerador por 2, obteremos a fração 10 ,
3 6
que é duas vezes maior que 10 , pois se em 10 tomamos 6 das 10 divisões da
3
unidade, em 10 tomamos apenas três.

Ilustração:

3 6
Observando a ilustração, verificamos que 10 é duas vezes menor que 10 .


2) Se multiplicarmos ou dividirmos o denominador de uma fração por um número
diferente de zero, o valor da fração fica dividido ou multiplicado por esse
número.

Exemplo:
2 2
Seja a fração 5 . Multiplicando o denominador por 2, obtemos a fração 10 , que é
2 2
duas vezes menor que 5 , pois em 5 dividimos a unidade em 5 partes iguais e das
2
cinco tomamos duas, enquanto que em 10 , a mesma unidade foi dividida em 10
partes iguais e tomadas apenas duas em dez.

Ilustrações:

2
Comparando-se as ilustrações, podemos verificar que 5 é duas vezes maior que
2
10 .

3) Multiplicando-se ambos os termos de uma fração por um número diferente de
zero, o valor da fração não se altera.

Exemplo:

2 2 ⋅2 4
⇒ ⇒
5 5 ⋅2 10

2 4
Logo: =
5 10

Ilustrações:


NÚMEROS MISTOS
Número misto é aquele formado por um número inteiro e uma fração.
Para transformarmos um número misto em uma fração, basta multiplicar o
denominador da fração imprópria pelo número inteiro e somamos o resultado
obtido com o numerador.

Exemplo:

4 42 + 4 46
6 = =
7 7 7

COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES
Podemos comparar duas ou mais frações para sabermos qual é a maior e qual
a menor. Para isto, devemos conhecer os critérios de comparação:
1) Quando várias frações têm o mesmo denominador, a maior é a que tem maior
numerador.

Exemplo:
4 3 1
> >
10 10 10
2) Quando várias frações têm o mesmo numerador, a maior é a que tem menor
denominador.

Exemplo:


4 4 4
> >
5 7 10
3) Quando as frações têm numeradores e denominadores diferentes a
comparação é feita reduzindo-as ao mesmo denominador ou ao mesmo
numerador.

Exemplo:

2 1 4 28 35 40
< < ⇒ < <
5 2 7 70 70 70

1) Coloque as seguintes frações em ordem crescente, empregando o sinal <.
4 7 2 1 6
, , , ,
5 10 5 2 3

Resolução:

Vamos reduzir as frações ao mesmo denominador, e paratanto o mmc
(2, 3, 5, 10) = 30:

4
, 7 , 2, 1, 6 ⇒ , , , , ⇒
5 10 5 2 3 30 30 30 30 30
24 21 12 15 60
⇒ , , , ,
30 30 30 30 30
Logo:
12 15 21 24 60 2 1
< < < < ⇒ < <7 <4 <6
30 30 30 30 30 5 2 10 5 3

FRAÇÕES EQUIVALENTES
São frações que representam a mesma parte do inteiro, ou seja, são
frações de mesmo valor.

1 3 2
= =
2 6 4
Na figura acima temos: logo são frações equivalentes.


SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES
Significa obter uma outra fração equivalente na qual o numerador e o
denominador são números primos entre si. Para simplificar uma fração basta
dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número.

36 36 ÷ 4 9 9 ÷3 3
1
O
. M odo: ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
48 48 ÷ 4 12 12 ÷ 3 4
3
4 está na sua forma irredutível.

2O. Modo:
Um outro processo para simplificar frações é achar o M.D.C. (máximo divisor
comum) entre o mdc (48,36) = 12

36 ÷ 12 3
⇒
48 ÷ 12 4

3
1) Obter 3 frações equivalentes a 5 .

Resolução:
3
Basta tomar os termos da fração 5 multiplicá-lo por um mesmo número diferente
de zero:
3 ×3 9 3 ×7 21 3 × 12 36
= = =
5 × 3 15 5 × 7 35 5 × 12 60

ADIÇÃO DE FRAÇÕES
Temos dois casos à considerar:

v Caso 1:
Denominadores Iguais

"Somam-se os numeradores e conserva-se o denominador comum".

Exemplo:

11 9 2 11 + 9 + 2 22
+ + = =
5 5 5 5 5


v Caso 2:
Denominadores Diferentes

"Reduzem-se as frações ao mesmo denominador comum e aplica-se a regra
anterior ".

Exemplo:

4 7 2 1 6 24 21 12 15 60
+ + + + ⇒ + + + + ⇒
5 10 5 2 3 30 30 30 30 30
24 + 21 + 12 + 15 + 60
⇒ = 132
30 30
Podemos simplificar a resposta, deixando a fração na sua forma irredutível:
132 ÷ 6 22
=
30 ÷ 6 5

Nota:
Em caso da adição de frações envolver números mistos, transformamos os
números mistos em frações impróprias.

SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES
Para a subtração, irão valer as mesmas regras da adição
(Caso 1 e Caso 2).

MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES
Ao efetuar o produto entre duas ou mais frações, não importando se os
numeradores e denominadores são iguais ou diferentes, vamos sempre:

Multiplicar os numeradores entre si, assim como os denominadores.

Exemplos:

3 6 3 × 6 18
Þ × = =
5 7 5 × 7 35
4 7 2 4 × 7 × 2 56 56 ÷2 28
Þ × × = = = =
5 10 5 5 × 10 × 5 250 250 ÷ 2 125

Nota:

Neste último exemplo as simplificações poderiam ter sido feitas durante o
produto, observe:


4 7 2 2 7 2 28
× × = × × =
5 10 5 5 5 5 125
, simplificamos o 4 com o 10 no primeiro membro.

DIVISÃO DE FRAÇÕES
Na divisão de duas frações, vamos sempre:

Conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda.

Exemplo:

3 6 3 7 1 7 1× 7 7
Þ ÷ = × = × = =
5 7 5 6 5 2 5×2 10

EXPRESSÕES ARITMÉTICAS FRACIONÁRIAS

O cálculo de expressões aritméticas fracionárias, que são conjuntos de
frações ligadas por sinais de operações é feito na segunda ordem:

1º) As multiplicações e divisões

2º) As adições e subtrações, respeitadas as ordens dos parênteses, colchetes e
chaves.

Exemplo:
Vamos resolver a seguinte expressão:

9 1  2  11 11 4 1 5
 − 2 +  ÷  ÷ + ⋅ ÷ =
2 4  5   3 7 3 2 6
9 1  10 + 2  11 7 4 5
= −   ÷  × + ÷ =
2 4  5   3 11 6 6
 9  1 12 7 4 6 9 3  7 4
= − × ÷ 3 + 6 × 5  = 2 − 5  ÷ 3 + 5  =
 2 4 5 
      
45 − 6  35 + 12  39 47 39 15
=  ÷  15  = ÷ = × =
 10    10 15 10 47
39 3 39 3 117
= × = × =
2 47 2 47 94

NÚMEROS REAIS (IR)


A união de todos os conjuntos vistos até agora dará origem ao conjunto dos
números reais, representado pela letra IR.

Observe o diagrama:

v Observação ⇒ "Números Irracionais"

A parte que está em forma de "telhado", ou seja, IR - Q representa o
conjunto dos números irracionais, e estes por sua vez são aqueles que não
podem ser escritos na forma de fração:

Exemplos:

2, 3,π etc.

EXERCÍCIOS
P1) Que restos pode dar na divisão por 5, um número que não seja divisível por 5
?

P2) Qual o menor número que se deve somar a 4831 para que resulte um número
divisível por 3 ?

divisível por 5 ?

P4) Numa caixa existem menos de 60 bolinhas. Se elas forem contadas de 9 em 9
não sobra nenhuma e se forem contadas de 11 em 11 sobra uma. Quantas são as
bolinhas?

P5) O conjunto A é formado por todos os divisores de 10 ou 15 ; então podemos
afirmar que o conjunto A tem :
a) 5 elementos b) 6 elementos


c) 7 elementos d) 8 elementos

P6) Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 1080 para se obter um
número divisível por 252?


P8) Assinalar a alternativa correta.
a) O número 1 é múltiplo de todos os números primos
b) Todo número primo é divisível por 1
c) Às vezes um número primo não tem divisor
d) Dois números primos entre si não tem nenhum divisor

P9) Assinalar a alternativa falsa:
a) O zero tem infinitos divisores
b) Há números que tem somente dois divisores: são os primos;
c) O número 1 tem apenas um divisor: ele mesmo;
d) O maior divisor de um número é ele próprio e o menor é zero.

P10) Para se saber se um número natural é primo não:
a) Multiplica-se esse número pelos sucessivos números primos;
b) Divide-se esse número pelos sucessivos números primos;
c) Soma-se esse número aos sucessivos números primos;
d) Diminuí-se esse número dos sucessivos números primos.

P11) Determinar o número de divisores de 270.

P12) Calcule o valor das expressões abaixo:
a) (12 - 6) + (14 - 10) x 2 - (3 + 7)
b) 103 - [ 23 + (29 - 3 x 5) ] + 14 x 2
c) 22 - { 14 + [ 2 x 10 - (2 x 7 - 3) - (2 + 4) ] } + 7
d) [ 60 - (31 - 6) x 2 + 15] ¸ [ 3 + (12 - 5 x 2) ]
e) [150 ¸ (20 - 3 x 5) + 15 x (9 + 4 x 5 x 5) ] ¸ 5 + 12 x 2
f) ( 4 + 3 x 15) x ( 16 - 22 ¸ 11) - 4 x [16 - (8 + 4 x 1) ¸ 4] ¸ 13

P13) Calcular os dois menores números pelos quais devemos dividir 180 e 204, a
fim de que os quocientes sejam iguais.
a) 15 e 17 b) 16 e 18
c) 14 e 18 d) 12 e16

P14) Deseja-se dividir três peças de fazenda que medem, respectivamente, 90, 108
e 144 metros, em partes iguais e do máximo tamanho possível.
Determinar então, o número das partes de cada peça e os comprimentos de
cada uma.
9, 8, 6 partes de 18 metros


e) e) e)

P15) Quer-se circundar de árvores, plantadas à máxima distância comum, um
terreno de forma quadrilátera. Quantas árvores são necessárias, se os lados do
terreno tem 3150,1980, 1512 e 1890 metros?
a) 562 árvores b) 528 árvores
c) 474 árvores d) 436 árvores

P16) Numa república, o Presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo, os
senadores 6 anos e os deputados 3 anos. Em 1929 houve eleições para os três
cargos, em que ano deverão ser realizadas novamente eleições para esses
cargos?

P17) Duas rodas de engrenagens tem 14 e 21 dentes respectivamente. Cada roda
tem um dente esmagador. Se em um instante estão em contato os dois dentes
esmagadores, depois de quantas voltas repete-se novamente o encontro?

P18) Dois ciclistas percorrem uma pista circular no mesmo sentido. O primeiro
percorre em 36 segundos, e o segundo em 30 segundos. Tendo os ciclistas
partido juntos, pergunta-se; depois de quanto tempo se encontrarão novamente
no ponto de partida e quantas voltas darão cada um?

P19) Uma engrenagem com dois discos dentados tem respectivamente 60 e 75
dentes, sendo que os dentes são todos numerados. Se num determinado
momento o dento nº 10 de cada roda estão juntos, após quantas voltas da maior,
estes dentes estarão juntos novamente?

P20) Sabendo-se que o M.M.C. entre dois números é o produto deles, podemos
afirmar que:
a) os números são primos
b) eles são divisíveis entre si
c) os números são primos entre si
d) os números são ímpares

P21) Da estação rodoviária de São Paulo partem para Santos, ônibus a cada 8
minutos; para Campinas a cada 20 minutos e para Taubaté a cada 30 minutos. Às
7 horas da manhã partiram três ônibus para essas cidades. Pergunta-se: a que
horas do dia, até às 18 horas haverá partidas simultâneas?

P22) No aeroporto de Santos Dumont partem aviões para São Paulo a cada 20
minutos, para o Sul do país a cada 40 minutos e para Brasília a cada 100 minutos;
às 8 horas da manhã á um embarque simultâneo para partida. Quais são as outras
horas, quando os embarques coincidem até as 18 horas.

P23) Para ladrilhar 5/7 de um pátio empregando-se 46.360 ladrilhos. Quantos
ladrilhos iguais serão necessários para ladrilhar 3/8 do mesmo pátio?

P24) A soma de dois números é 120. O menor é 2/3 do maior. Quais são os
números?


P25) Sueli trabalha após as aulas numa loja de fazendas. Uma tarde recebeu uma
peça de linho de 45 metros para vender. Nesta mesma tarde vendeu 3/5 da peça,
depois 1/3 do que sobrou. Quantos metros restaram por vender?

P26) Uma senhora repartiu R$273,00 entre seus três filhos. O primeiro recebeu 3/4
do que tocou ao segundo e este, 2/3 do que tocou ao terceiro. Quanto recebeu
cada um ?

P27) Um negociante vendeu uma peça de fazenda a três fregueses. O primeiro
comprou 1/3 da peça e mais 10 metros. O segundo comprou 1/5 da peça e mais 12
metros e o terceiro comprou os 20 metros restantes. Quantos metros tinha a peça
?

P28) Dois amigos desejam comprar um terreno. Um deles tem 1/5 do valor e outro,
1/7. Juntando ao que possuem R$276.000,00, poderiam comprar o terreno. Qual o
preço do terreno ?

P29) Paulo gastou 1/3 da quantia que possuía e, em seguida, 3/5 do resto. Ficou
com R$80,00. Quanto possuía?

P30) Qual é o número que multiplicado por 1/5 dá 7 3/4?

P31) Um alpinista percorre 2/7 de uma montanha e em seguida mais 3/5 do
restante. Quanto falta para atingir o cume?

P32) Qual é o número que aumenta 1/8 de seu valor quando se acrescentam 3
unidades?

P33) Um trem percorre 1/6 do caminho entre duas cidades em 1 hora e 30
minutos. Quanto tempo leva de uma cidade a outra uma viagem de trem?

P34) Lia comeu 21/42 de uma maçã e Léa comeu 37/74 dessa mesma maçã. Qual
das duas comeu mais e quanto sobrou?

P35) Dividindo os 2/5 de certo número por 2/7 dá para quociente 49. Qual é esse
número?

P36) Um pacote com 27 balas é dividido igualmente entre três meninos. Quantas
balas couberam a cada um, se o primeiro deu 1/3 do que recebeu ao segundo e o
segundo deu ½ do que possuía ao terceiro?

P37) Uma herança de R$70.000,00 é distribuída entre três herdeiros. O primeiro
recebe ½, o segundo 1/5 e o terceiro o restante. Qual recebeu a maior quantia?

P38) Uma torneira leva sete horas para encher um tanque. Em quanto tempo
enche 3/7 desse tanque?


P39) R$120,00 são distribuídos entre cinco pobres. O primeiro recebe ½, o
segundo 1/5 do que recebeu o primeiro e os restantes recebem partes iguais.
Quanto recebeu cada pobre?

P40) Em um combate morrem 2/9 de um exército, em novo combate morrem mais
1/7 do que restou e ainda sobram 30.000 homens. Quantos soldados estavam
lutando?

P41) 2/5 dos 3/7 de um pomar são laranjeiras; 4/5 dos ¾ são pereiras; há ainda
mais 24 árvores diversas. Quantas árvores há no pomar?

P42) Um corredor depois de ter decorrido os 3/7 de uma estrada faz mais cinco
quilômetros e assim corre 2/3 do percurso que deve fazer. Quanto percorreu o
corredor e qual o total do percurso, em quilômetros?

P43) Efetuar as adições:
1º) 12,1 + 0,0039 + 1,98
2º) 432,391 + 0,01 + 8 + 22,39

P44) Efetuar as subtrações:
1º) 6,03 - 2,9456
2º) 1 - 0,34781

P45) Efetuar as multiplicações
1º) 4,31 x 0,012
2º) 1,2 x 0,021 x 4

P46) Calcular os seguintes quocientes aproximados por falta.
1º) 56 por 17 a menos de 0,01
2º) 3,9 por 2,5 a menos de 0,1

P47) Em uma prova de 40 questões, Luciana acertou 34. Nestas condições:
Escreva a representação decimal do número de acertos;
Transformar numa fração decimal;
Escreva em % o número de acertos de Luciana.
d) d) d)
P48) Calcular o valor da seguinte expressão numérica lembrando a ordem das
operações: 0,5 + ( 0,05 ¸ 0,005).

P49) Quando o professor pediu a Toninho que escrevesse a fração decimal que
81
representa o número 0,081 na forma de fração decimal, Toninho escreveu 10 ; Ele
acertou ou errou a resposta.

P50) Dentre os números 2,3; 2,03; 2,030; 2,003 e 2,0300, quais tem o mesmo valor
?


P51) É correto afirmar que dividir 804 por 4 e multiplicar o resultado por 3 dá o
mesmo resultado que multiplicar 804 por 0,75?

P52) Um número x é dado por x = 7,344 ¸ 2,4. Calcule o valor de 4 - x .

P53) Uma indústria A, vende suco de laranja em embalagem de 1,5 litro que custa
R$ 7,50. Uma indústria B vende o mesmo suco em embalagem de 0,8 litro que
custa R$ 5,40. Qual das duas vende o suco mais barato?

P54)Em certo dia, no final do expediente para o público, a fila única de clientes de
um banco, tem um comprimento de 9 metros em média, e a distância entre duas
pessoas na fila é 0,45m.
Responder:
a) Quantas pessoas estão na fila?
b) Se cada pessoa, leva em média 4 minutos para ser atendida, em quanto tempo
serão atendidas todas as pessoas que estão na fila?

GABARITO - CONJUNTOS NUMÉRICOS

P1) 1,2,3,4

P2) 2

P3) 2

P4) 45

P5) B

P6) 7

P7) 10

P8) B

P9) D

P10) B

P11) 16

P12) a) 4 b) 94 c) 12 d) 5 e) 357
f) 682

P13) A

P14) B


P15) C

P16) 1941

P17) Duas voltas da menor ou três voltas da menor

P18) Os ciclistas se encontraram depois de 180 segundos

P19) Após 4 voltas

P20) C

P21) 9h; 11h; 13h; 15h; 17h

P22) 11h e 20min; 11h e 40min; 18h

P23) 24.339

P24) 72 e 48

P25) 12 metros

P26) R$63,00 ; R$84,00 ; R$126,00

P27) 90 metros

P28) R$420.000,00

P29) R$300,00

P30) 155/4

P31) 2/7

P32) 24

P33) 9 h

P34) Cada comeu ½ e não sobrou nada

P35) 35

P36) 6,6,15

P37) R$35.000,00

P38) 3horas

P39) 1º- R$60,00 , 2º- R$12,00 ,
3º 4º e 5º R$16,00


P40) 45.000

P41) 105

P42) 14 quilômetros e 21 quilômetros

P43) 1º) 14,0839; 2º) 462,791

P44) 1º) 3,0844; 2º) 0,65219;

P45) 1º) 0,05172; 2º) 0,1008;

P46) 1º) 3,29; 2º) 1,5; 3º) 0,714;

85
P47) a) 0,85 b) 100 c) 85%

P48) 0,05

P49) Errou, a resposta é 81/1000

P50) 2,03; 2,030 e 2,0300

P51) Nos dois casos é correto afirmar, pois o resultado é 603

P52) 13,6256

P53) a indústria A

P54) a) 20 pessoas b) 80 minutos.

NÚMEROS DECIMAIS
Os números decimais fazem parte do conjunto dos números racionais, e
no entanto, estes números merecem uma atenção especial, que aparecem muito
em nosso cotidiano, além de se relacionar com muitas questões de provas de
concursos públicos.

ADIÇÃO


Escrevem-se os números decimais uns sobre os outros de modo que as
vírgulas se correspondam; somam-se os números como se fossem inteiros, e,
coloca-se a vírgula na soma, em correspondência com as parcelas.

Exemplo:

13,8 + 0,052 + 2,9 =

13,8 13,800
0,052 ou 0,052
2,9 2,900

16,752 16,752

SUBTRAÇÃO

Escreve-se o subtraendo sob o número de modo que as vírgulas se
correspondam. Subtraem-se os números como se fossem inteiros, e coloca-se a
vírgula no resultado em correspondência com os dois termos.

Exemplo:
5,08 - 3,4852 =

5,0800
−3,4852

1,5948

MULTIPLICAÇÃO

Para se efetuar o produto entre números na forma decimal, deve-se multiplicar
normalmente, como se fossem números inteiros e após conta-se a quantidade de
casas decimais que cada um dos fatores apresenta somando em seguida e
transferindo para o resultado do produto.

Exemplo:

1,23 × 0,4 = 0,492; 12,345 × 5,75 = 70,98375

DIVISÃO


Reduzem-se o dividendo e o divisor ao mesmo número de casas decimais,
desprezam-se as vírgulas de ambos, e efetua-se a divisão como se fossem
inteiros. Obtido o quociente, coloca-se ao mesmo tempo, uma vírgula a sua direita
e um zero a sua esquerda do resto, a fim de continuar a divisão.
Os demais algarismos do quociente serão sempre obtidos colocando-se
um zero a direita de cada resto.

Exemplo:
72,2379 ÷ 5,873

Igualando-se as casas decimais do dividendo e do divisor temos:

EXPRESSÕES ARITMÉTICAS
É um conjunto de números reunidos entre si por sinais de operações.
A partir do estudo da adição e subtração, já podemos começar a resolver
expressões aritméticas, envolvendo adições e subtrações.
O cálculo dessas expressões é feito na ordem em que é indicada, devendo
observar-se que são feitas inicialmente as operações indicadas entre parênteses,
em seguida as indicadas entre colchetes e finalmente as indicadas entre chaves.

Exemplos:

1) Calcular o valor da expressão aritmética
35 - [4 + (5 - 3)]
efetuando-se as operações indicadas dentro dos parênteses obtemos
35 - [4 + 2]
efetuando-se as operações indicadas dentro dos colchetes temos
35 - 6 = 29

86 - {26 - [8 - (2 + 5)]}
efetuando-se as operações indicadas nos parênteses obtemos
86 - {26 - [8 - 7]}
efetuando-se as operações indicadas nos colchetes temos
86 - {26 - 1}
efetuando as operações indicadas entre as chaves vem que
86 - 25 = 61

53 - {[48 + (7 - 3)] - [(27 - 2) - (7 + 8 + 10)]}


53 - {[ 48 + 4 ] - [ 25 - 25]}
53 - {52 - 0}
53 - 52 = 1

O cálculo das expressões aritméticas que contém as 4 operações (adição,
subtração, multiplicação e divisão) deve obedecer a seguinte ordem:
Inicialmente as multiplicações e divisões e em seguida, as adições e
subtrações, respeitando-se a ordem de se iniciar com os parênteses mais
internos, a seguir os colchetes e finalmente as chaves.

Exemplo:
54 - 3 x [ (7 + 6 : 2) - (4 x 3 - 5) ]
efetuando-se inicialmente as multiplicações e divisões que estão indicadas nos
parênteses temos:
54 - 3 x [ 10 - 7 ]
efetuando-se os colchetes vem que
54 - 3 ´ [ 3 ]
54 - 9 = 45

1) Resolva a seguinte expressão aritmética
{[( 8 x 4 + 3) : 7 + ( 3 + 15 : 5) x 3] x 2 - (19 - 7) : 6} x 2 + 12

Resolução:
{ [ ( 32 + 3) : 7 + (3 + 3) x 3 ] x 2 - 12 : 6} x 2 + 12
{ [ 35 : 7 + 6 x 3 ] x 2 - 2 } x 2 + 12
{ [ 5 + 18 ] x 2 - 2 } x 2 + 12
{ 23 x 2 - 2} x 2 + 12
{ 46 - 2 } x 2 + 12
44 x 2 + 12
88 + 12
100

DIVISIBILIDADE
Existem algumas regras que podem nos auxiliar a identificar se um número é ou não
divisível por outro.
Por exemplo, sabemos que 16 é divisível por 2, ou que 27 é divisível por 3, e no entanto será
que 762 é divisível por 2? E por 3?


Todo número que é par é divisível por 2.
Exemplos: 762, 1 572, 3 366 etc.

Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado for um número divisível por
3, então o número inicial o será também.

Exemplos:
v 762, pois 7 + 6 + 2 = 15
v 3 573, pois 3 + 5 + 7 + 3 = 18
v 53 628, pois 5 + 3 + 6 + 2 + 8 = 24

Observe os dois últimos algarismos se for dois zeros ou se terminar numa dezena divisível
por 4 o número será divisível por 4.

Exemplos:
v 764, pois 64 é divisível por 4.
v 1 572, pois 72 é divisível por 4.
v 3 300, pois o número termina em dois zeros.

Observe o último algarismo se for zero ou cinco o número será divisível por 5.


Exemplos:
760, 1 575, 3 320.

Todo número que é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo, será também, divisível por 6.

Exemplos:
762, 1 572, 33 291.

Seguindo um algoritmo apresentado por um professor, vamos seguir 3 passos:
1O. Separe a casa das unidades do número;
2O. Multiplique esse algarismo separado (da direita) por 2;
3O. Subtraia esse resultado do número à esquerda se esse resultado for divisível por 7,
então o número original também o será.

Exemplos:

v 378 é divisível por 7, pois

Passo1: 37 ........ 8
Passo 2: 8 × 2 = 16
Passo 3: 37 − 16 = 21

Como 21 é divisível por 7, então 378 também o é.

v 4 809 é divisível por 7, pois

Passo1: 480 ........ 9
Passo 2: 9 × 2 = 18
Passo 3: 480 − 18 = 462

Repetindo os passos para o número encontrado:

Passo1: 46 ........ 2
Passo 2: 2 × 2 = 4
Passo 3: 46 − 4 = 42


Como 42 é divisível por 7, então 4 809 também o é.

Observe os três últimos algarismos, se for três zeros ou uma centena divisível por 8 então o
número original também será.

Exemplos:
1 416, 33 296, 57 800, 43 000.

Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado for um número divisível por
9, então o número inicial o será também.

Exemplos:
v 3 573, pois 3 + 5 + 7 + 3 = 18
v 53 928, pois 5 + 3 + 9 + 2 + 8 = 27
v 945 675, pois 9 + 4 + 5 + 6 + 7 + 5 = 36

Observe o último algarismo se for zero o número será divisível por 10.

Exemplos:
760, 3 320, 13 240.


Um número será divisível por 11, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem
par e a soma dos algarismos de ordem ímpar tiver como resultado um número divisível por
11.

Exemplos:
v 2 937, pois:
soma dos algarismos de ordem par: 9 + 7 = 16
soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 3 = 5
fazendo a diferença: 16 - 5 = 11

v 28 017, pois:
soma dos algarismos de ordem par: 8 + 1 = 9
soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 0 + 7 = 9
fazendo a diferença: 9 - 9 = 0

MÚLTIPLOS E DIVISORES

⇒ Múltiplo: é o resultado da multiplicação de um número natural por outro natural.

Exemplos:
v 24 é múltiplo de 3, pois 3 x 8 = 24.
v 20 é múltiplo de 5, pois 5 x 4 = 20 e é múltiplo de 2, pois 2 x 0 = 0

⇒ Divisor: se um número x é divisível por y, então y será um divisor de x.

Exemplos:
v 8 é divisor de 864, pois 864 é divisível por 8.
v 21 é divisor de 105, pois 105 é divisível por 21.

NÚMEROS PRIMOS
Todo número que apresenta dois divisores naturais, sendo eles: o próprio número e a
unidade; ele será considerado um número primo, são eles:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...

RECONHECENDO UM NÚMERO PRIMO:

Dividimos o número, de maneira sucessiva, pelos números que formam a série dos
números primos, até encontramos um coeficiente igual ou menor ao divisor. Caso nenhuma
dessas divisões seja exata, então o número é primo.


Nota: utilizando-se os critérios de divisibilidade, poderemos evitar algumas dessas divisões.

Exemplo:
Vamos verificar se o número 193 é primo. Utilizando os critérios da divisibilidade,
podemos verificar que 193 não é divisível por 2, 3, 5, 7.
Então, dividindo:

193 11 193 13 193 17
83 17 63 14 23 11
6 11 6
Quociente menor que o divisor ⇒ 11 < 17, e não houve divisão exata, então o número 193 é
primo.

DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

Quando um número não é primo, pode ser decomposto num produto de fatores
primos.
A fatoração consiste, portanto, em encontrar todos os fatores primos divisores de
um número natural.

⇒ Regra: dividimos o número pelo seu menor divisor primo, excetuando-se a
unidade, a seguir, dividimos o quociente pelo menor divisor comum e assim sucessivamente
até encontrarmos o quociente 1. O número dado será igual ao produto de todos os divisores
encontrados que serão números primos.

Exemplo:

QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO
Podemos determinar o total de divisores de um número, mesmo não se
conhecendo todos os divisores.

⇒ Regra: O número total de divisores de um número é igual ao produto dos
expoentes dos seus fatores primos aumentados (cada expoente) de uma unidade.

Exemplo:


Vamos determinar o total de divisores de 80.
Fatorando-se o número 80 encontraremos: 80 = 24 × 51

Aumentando-se os expoentes em 1 unidade:
v 4 +1 =5
v 1 +1 =2
Efetuando-se o produto dos expoentes aumentados
5 × 2 = 10
Portanto, o número de divisores de 80 é 10.

Nota:
Ao determinarmos a quantidade de divisores estamos encontrando apenas os
divisores positivos desse número.

MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)
Denomina-se máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais não
nulos, ao maior número natural que divide a todos simultaneamente.

Exemplo: O máximo divisor comum entre 6, 18 e 30 é o número 6, pois este divide ao
mesmo tempo o 6, o 18 e o 30 e, além disso, é o maior dos divisores simultâneos dos números
dados.

MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

Decompõe-se os números em fatores primo e em seguida escolhe-se os fatores primos
comuns com os menores expoentes e em seguida efetua-se o produto destes expoentes.

Exemplo:
1-) Encontrar o MDC entre os números 60 e 280

Escolhemos agora os fatores primos comuns aos dois números que decompomos, com os
menores expoentes. Os fatores comuns aos dois números são 2 e 5, e estes fatores com seus
menores expoentes são :
22 × 5 = 4 × 5 = 20


Logo o M.D.C. entre 60 e 280 é 20 e se escreve da seguinte forma:
MDC (60, 280) = 20

2-) Determinar o M.D.C. entre 480 e 188

O único fator primo comum entre 480 e 188 é 2, e como deve ser escolhido aquele que tiver
o menor expoente, então temos 22 = 4
mdc (480, 188) = 4

MÉTODO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS
(MÉTODO DE EUCLIDES)

Vamos encontrar o máximo divisor comum entre 60 e 280.

1O. Passo: Utilize o dispositivo abaixo colocando o maior número na primeira lacuna (do
meio) e o menor na segunda lacuna (do meio):

2O. Passo: Divida 280 por 60 colocando o quociente na lacuna de cima do 60 e o resto na
lacuna abaixo do 280:


3O. Passo: O resto da divisão vai para a lacuna do meio do lado direito de 60 e repete-se os
passos 1, 2 e 3 até encontrarmos resto zero.

4O. Passo: O último divisor encontrado será o mdc.

mdc (60, 280) = 20

Nota:
"Números Primos entre Si"
Dois ou mais números são considerados primos entre si se e somente o Máximo Divisor
Comum entre esses números for igual a 1.

Exemplo:
21 e 16, pois mdc (21, 16) = 1

1) Determinar os dois menores números pelos quais devemos dividir 144 e 160, a fim de
obtermos quocientes iguais.

Resolução:
Determinamos o M.D.C. entre 144 e 160


mdc (144, 160) = 24 = 16

Então:
144 ÷ 16 = 9
O maior divisor de 144 é 16 e o menor quociente 9,
Vem que 160 ÷ 16 = 10 onde 16 é também o maior divisor de 160 e 10 o menor quociente.
Logo os números procurados são 9 e 10,
pois 144 ÷ 9 = 16 e 160 ÷ 10 = 16.

2) Um terreno de forma retangular tem as seguintes dimensões, 24 metros de frente e 56
metros de fundo. Qual deve ser o comprimento de um cordel que sirva para medir
exatamente as duas dimensões?

Resolução:

Então:
mdc ( 56, 24) = 8

Resposta:
O comprimento do maior cordel que pode ser utilizado para medir as dimensões do terreno
deve ser de 8 metros de comprimento, pois, 8 é o maior dos divisores comuns entre 56 e 24.

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C)
"Mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais não nulos é o menor dos
múltiplos, não nulo, comum a esses números."

Sejam dois conjuntos, um constituído pelos múltiplos de 6 e outro constituído pelos
múltiplos de 9.

v M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...}
v M(9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, ...}

Observando-se os dois conjuntos de múltiplos de 6 e 9, verificamos que existem
números que aparecem em ambos, isto é, são comuns aos dois conjuntos, como os números
18 e 36, isto é:

M(6) ∩ M(9) = {0, 18, 36, ...}


Isto significa que 18 e 36 são múltiplos comuns de 6 e 9, isto é, estes números são
divisíveis ao mesmo tempo por 6 e por 9.
Logo teremos como Mínimo Múltiplo Comum entre 6 e 9 o número 18, isto é:

mmc (6, 9) = 18

MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números, obtém-se decompondo
simultaneamente este números e efetuando-se o produto dos fatores primos comuns e não
comuns escolhidos com seus maiores expoentes.

Exemplo:
Determinar o M.M.C. dos números 70, 140, 180.
Fatorando os números:

70 2 140 2 180 2
35 5 70 2 90 2
7 7 35 5 45 3
1 7 7 15 3
1 5 5
1

Então temos:
70 = 2 x 5 x 7
140 = 22 x 5 x 7
180 = 22 x 32 x 5

Os fatores primos comuns, isto é, que aparecem nas três fatorações são 2e 5.O número 7
não é fator primo comum porque só aparece na fatoração dos números 70 e 140. O número
3 também não é fator primo comum porque só aparece na fatoração do número 180. Logo:

v fatores primos comuns escolhidos com os maiores expoentes: 22 e 5.

v Fatores primos não comuns escolhidos com os maiores expoentes: 32 e 7.

mmc (70, 140,180) = 22 x 5 x 32 x 7 = 1260

MÉTODO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA


Então:

mmc (70, 140, 180) = 22 x 32 x 5 x 7 = 1260

RELAÇÃO ENTRE O MMC E O MDC
O produto de dois números dados é igual ao produto do M.D.C. desses números.

mmc (a, b) × mdc (a,b) = a x b

Exemplo:

Sejam os números 18 e 80
Temos pela regra que: 18 x 80 = mmc (18, 80) × mdc (18, 80)
O produto é 18 × 80 = 1440.

Vamos agora determinar o M.M.C. desses dois números.

80, 18 2
40, 9 2
20, 9 2
10, 9 2
5, 9 3
5, 3 3
5, 1 5
1, 1

mmc (80, 18) = 24 x 32 x 5 = 720

Logo:
mdc(80, 18) = 1440 ÷ mmc(18, 80) = 1440 ÷ 720 = 2


EXERCÍCIO RESOLVIDO
Para identificarmos se um problema deve ser resolvido através do M.M.C. temos
algumas indicações importantes.
I - Diante de um problema, verificar se trata de fatos repetitivos, significa que estes fatos são
múltiplos;
II - Os acontecimentos deverão ser simultâneos, isto é, comuns;
III - Ao buscarmos a primeira coincidência, estamos buscando o M.M.C.

Exemplo:

Três viajantes passam por determinado local respectivamente a cada 15, 20 e 25 dias.
Sabendo-se que hoje os três se encontram, quando acontecerá o novo encontro?

Resolução:
v Existe a idéia de repetição: "Sabendo-se que hoje os três se encontraram, quando
ocorrerá o novo encontro?"
⇒ Múltiplo
v "Encontrar-se-ão num determinado dia"
⇒ Comum
v "Quando acontecerá o novo encontro"
⇒ Mínimo

Portanto

15, 20, 25 2
15, 10, 25 2
15, 5, 25 3
5, 5, 25 5
1, 1, 5 5
1, 1 1

300

Resposta:
O primeiro encontro ocorrerá dentro de 300 dias.

SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS


MEDIDAS DE COMPRIMENTO

A medida básica de comprimento é o metro cujo símbolo é m.

O metro é um padrão adequado para medir a largura de uma rua, o comprimento
de um terreno, a altura de uma sala.

Para medir grandes distâncias, há unidades derivadas de metro e que são maiores
que ele, como por exemplo medir a extensão de uma estrada.

Há também unidades derivadas do metro e que servem para medir pequenos
comprimentos, como por exemplo o comprimento de um prego.

Observe a tabela que representa os múltiplos e submúltiplos do metro.

Nome Símbolo Relação
Múltiplos do Metro decâmetro dam 10 m
hectômetro hm 100 m
quilômetro km 1000 m
Submúltiplos do Metro decímetro dm 0,1 m
centímetro cm 0,01 m
milímetro mm 0,001 m

Nota:
Os múltiplos e os submúltiplos do metro são obtidos a partir do metro, realizando
sucessivas multiplicações ou divisões por 10.


MUDANÇA DE UNIDADE

Para transformar a unidade de uma medida, em geral, utilizaremos a escada de unidades
abaixo representada:

Por exemplo, se quisermos passar uma unidade de metros para centímetros, vamos
multiplicar o número por 100, pois estaremos descendo dois degraus.
Por outro lado, se fôssemos subir dois degraus esta escada (metros pra hectômetro
por exemplo), iríamos dividir o número por 100. Analogamente, de acordo com a
quantidade de degraus é que vamos escolher o fator múltiplo de dez.

Exemplo1:

Vamos reduzir 424,286 hectômetros pra metros.
v hm → m ⇒ × 100 (Desce 2 degrau)
424,286 ×100 = 42428,6 m

Exemplo2:

Reduzindo 5645,8 decímetros para quilômetros.
v dm → km ⇒ ÷ 10.000 (Sobe 4 degraus)
5645,8 ¸10.000 = 0,56458 km

OUTRAS UNIDADES DE MEDIDAS
RELACIONADAS AO METRO

v Polegada = 2,54 cm
v Pé = 30,48 cm
v Milha = 1609 metros


EXERCÍCIOS - MEDIDAS DE COMPRIMENTO

P 1) Reduzir 28,569 hm a metros.

P 2) Exprimir 456,835 cm em quilômetros.

P 3) Quantos metros existem em 8 dm?

P 4) Quanto dista, em quilômetros, a terra da lua; sabendo-se que essa distância equivale,
em média, a 60 raios terrestres? (Nota: o raio da terra mede 6.370.000 m).

P 5) Um viajante percorreu em 7 horas, 33.600 metros. Quantos quilômetros ele fez, em
média, por hora?

P 6) O passo de um homem mede cerca de 0,80m. Quanto tempo empregará esse homem
para percorrer 4.240 km de uma estrada, sabendo-se que anda à razão de 100 passos por
minuto?

P 7) Uma senhora comprou 20 metros de fazenda à razão de R$ 84,00 o metro. Se esta
fazenda foi medida com uma régua que era 1 cm mais curta que o metro verdadeiro;
pergunta-se:
1º) Quanto de fazenda a senhora recebeu?
2º) Quanto pagou a mais?

P 8) Numa construção, chama-se pé direito a distância do chão ao teto. Nos prédios de
apartamentos, o pé direito mínimo é de 2,70 m. Qual a altura aproximada de um prédio de
15 andares?

P 9) As telas dos aparelhos de televisão costumam ser medidas, em diagonal por polegadas.
Considerando-se a polegada igual a 2,5 cm. Quantos cm tem a diagonal de um aparelho de
16 polegadas?

P 10) De acordo com a Bíblia, a arca de Noé tinha 300 cúbitos de comprimento, 50 cúbitos de
largura e 30 cúbitos de altura. Considerando-se 1 cúbito = 0,5 m. Calcule as dimensões da
arca de Noé.

P 11) Em um mapa cada cm corresponde a 25 km no real. Sabendo-se que a distância real
de São Paulo a Curitiba é de aproximadamente 400 km, essa distância corresponde a
quantos cm no mapa?

P 12) A figura a seguir mostra parte de um mapa onde estão localizadas as cidades A, B, C<
D e as distâncias (em km) entre elas. Um automóvel percorria uma menor distância saindo
de A, passando por B e chegando a D ou saindo de A, passando por C e chegando a D?


P 13) Com 32,40 m de arame, Roberto quer formar 20 pedaços de mesmo comprimento.
Qual deverá ser o comprimento de cada pedaço?

P 14) Uma cidade A está ligada a uma cidade B por uma estrada que tem 52,5 km de
comprimento. Por sua vez a cidade B está ligada a cidade C por uma estrada cujo
comprimento é igual a 2/3 da distância de A até B. Quantos quilômetros percorrerá um
veículo que sai de A, passa por B e atinge C?

P 15) Um carpinteiro está colocando rodapé no contorno de uma sala que tem 7,40m de
comprimento por 4,15m de largura. Esta sala tem três portas, duas delas com 90 cm de vão
cada uma e a outra com 130 cm de vão. Considerando-se que ele não vai colocar rodapé no
vão da porta, podemos dizer que ele vai usar de rodapé:
a) 16m
b) 17m
c) 18 m
d) 19 m
e) 20 m

GABARITO - MEDIDAS DE COMPRIMENTO

P1) 2856,9

P2) 0,00456835

P3) 0,80

P4) 382.200 km

P5) 4,8 km/h

P6) 53.000 minutos

P7) Recebeu 19,80 m e pagou a mais 16,80

P8) 40,50 m

P9) 40 cm

P10) 150 m de comprimento, 25 m de largura e 15 m de altura


P11) 16 cm

P12) Passando por C

P13) 1,62 m

P14) 87,5 km

P15) E

MEDIDAS DE SUPERFÍCIE

"Superfície é a região do plano determinada por segmentos de reta ou por linhas curvas.
Medir uma superfície é compará-la com outra tomada como unidade".

Para medirmos as superfícies, utilizamos as unidades da área do sistema métrico
internacional, cuja unidade básica é o metro quadrado (m2 ) e que corresponde a um
quadrado de 1 metro de lado.

Neste sistema, cada unidade de área é cem vezes maior que a unidade imediatamente
inferior.
O metro quadrado foi criado para medir grandes superfícies, como por exemplo, a
superfície de uma fazenda.
Para medir grandes superfícies foram criadas unidades maiores que o metro
quadrado, bem como, foram criadas unidades menores que o metro quadrado para medir
pequenas superfícies.

Múltiplos do Metro Quadrado
Decâmetro Quadrado (dam2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 dam de
lado, eqüivalendo a 100 m2.

Hectômetro Quadrado (hm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 hm de
lado, eqüivalendo a 10.000 m2.


Quilômetro Quadrado (km2 ) - que corresponde a uma região quadrada de 1 km de
lado, eqüivalendo a 1.000.000 m2.

Submúltiplos do Metro Quadrado
Decímetro Quadrado (dm2 ) - que corresponde a uma região quadrada de 1 dm de
lado, equivalendo a 0,01 m2 .

Centímetro Quadrado (cm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 cm de
lado, equivalendo a 0,0001 m2.

Milímetro Quadrado (mm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 mm de
lado, equivalendo a 0,000001 m2

QUADRO DAS UNIDADES DAS MEDIDAS DE SUPERFÍCIE

As unidades de superfície variam de 100 em 100, assim, qualquer unidade é sempre
100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior e 100 vezes menor que a unidade
imediatamente superior.

MUDANÇA DE UNIDADE

Para transformar a unidade de uma medida, em geral, utilizaremos a escada de
unidades abaixo representada:


Por exemplo, se quisermos passar uma unidade de metros quadrados para
centímetros quadrados, vamos multiplicar o número por 10.000, pois estaremos descendo
dois degraus. Por outro lado, se fôssemos subir dois degraus desta escada (metros
quadrados pra decâmetros quadrados por exemplo), iríamos dividir o número por 10.000.
Analogamente, de acordo com a quantidade de degraus é que vamos escolher o fator
múltiplo de cem.

MEDIDAS AGRÁRIAS
São medidas utilizadas na agricultura para medir campos, fazendas, etc.
As unidades são o hm2, o dam2 e o m2 que recebem designações especiais.
A unidade fundamental de medida é o ARE, cujo símbolo é a, eqüivale a 1 dam2 ou
seja 100 m2.
O are possui apenas um múltiplo e um submúltiplo:
v O múltiplo do are é o hectare que vale 100 ares ou 1 hectômetro quadrado. Seu símbolo é
ha.
v O submúltiplo do are é o centiare, cujo símbolo é ca e cujo valor corresponde a 0,01 are e
equivale a 1m2.

Múltiplo hectare ha Hectômetro quadrado 10.000 m2
are a Decâmetro quadrado 100 m2
Sub-múltiplo centiare ca Metro quadrado 1 m2

Observação:

Existem unidades não legais que pertencem ao sistema métrico decimal.

v Alqueire Paulista = 24.200 m2
v Alqueire Mineiro = 48.400 m2


EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS AGRÁRIAS

P 1) Uma fazenda tem 6 há de área. Qual sua área em m2?

P 2) Uma reserva florestal tem 122.800m2 de área. Qual a área dessa reserva em ha?

P 3) Uma plantação de café tem uma área de 406 ha. Qual a área dessa plantação em km2?

P 4) Uma gleba de terra tem uma área de 5/8 ha. 60% da área dessa gleba foi reservada para
pasto. Quantos m2 de pasto foram formados nessa gleba?

P 5) Roberto comprou 6 alqueires paulistas de terra, Quantos m2 ele comprou?

P 6) Numa fazenda de criação de gados para engorda, foram formados 50 alqueires
(mineiros) de pasto de excelente qualidade. Quantos m2 de pasto foram formados nessa
fazenda?

P 7) Uma plantação de cana de açúcar cobre uma extensão de 42 ha. Qual é, em m2, a
superfície ocupada pela plantação?

GABARITO - MEDIDAS AGRÁRIAS

P1) 60.000 m2

P2) 12,28 ha

P3) 4,06 km2

P4) 3750 m2

P5) 145.20 m2

P6) 2.420.000 m2

P7) 420.000 m2

MEDIDAS DE CAPACIDADE


" Capacidade é o volume de líquido que um sólido pode conter em seu interior".

Assim, quando dizemos que no interior de uma garrafa de água mineral cabe meio
litro, estamos medindo a quantidade de líquido que a garrafa pode conter.

Como a capacidade é um volume, podemos utilizar as unidades de volume para
medir os líquidos. Mas para este fim, utilizamos uma outra unidade de medida chamada
litros, que se abrevia por l.O litro corresponde à capacidade de um cubo com 1 dm de
aresta, ou seja, corresponde ao volume de um decímetro cúbico.

Exemplo:

O hidrômetro de uma casa registrou no mês que passou, um consumo de
25m 3 de água. Quantos litros de água foram consumidos nessa casa?

•25m3 = (25 x 1000)dm3 = 25.000dm3 = 25.000l

MUDANÇA DE UNIDADE

Como os múltiplos e submúltiplos do litro variam de 10 em 10, pode-se concluir que
as mudanças de unidades são feitas como nas medidas de comprimento, ou seja, deslocando-
se a vírgula de uma em uma casa decimal para a esquerda ou para a direita ou ainda, como
foi dito, utilizando a escada de transformações representada abaixo:


EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE CAPACIDADE

P 1) Expressar 2l em ml.

P 2) Sabendo-se que 1dm3 = 1l, expressar 250 l em cm3.

P 3) Na leitura de um hidrômetro de uma casa, verificou-se que o consumo do último
mês foi de 36m3, quantos litros de água foram consumidos?

P 4) Uma indústria farmacêutica fabrica 1400 litros de uma vacina que deve ser
colocada em ampolas de 35cm3 cada uma. Quantas ampolas serão obtidas com esta
quantidade de vacina?

P 5) O volume interno de uma carreta de caminhão-tanque é de 85m3. Quantos litros
de combustível essa carreta pode transportar quando totalmente cheia?

P 6) Um reservatório, cujo volume é de 10m3, estava totalmente cheio quando deles
foram retirados 2.200 l. Numa segunda vez foi retirado 1/3 da quantidade de água
que restou. Nessas condições, quantos litros ainda restam no reservatório?

P 7) O volume máximo interno de uma ampola de injeção é de 12cm3. Qual é a
capacidade máxima em ml desta ampola?

P 8) Qual é a capacidade, em litros, de uma caixa d´água cujo volume interno é de
0,24m3?

GABARITO - MEDIDAS DE CAPACIDADE

P1) 2000ml

P2) 250000 cm3

P3) 36.000 litros

P4) 40.000 ampolas

P5) 85.000l de combustível

P6) 5200 litros


MEDIDAS DE MASSA

"Massa de um corpo qualquer é a quantidade de matéria que esse corpo contém".

O sistema métrico decimal é utilizado, para estabelecer as unidades que servem para
medir a massa de um corpo.
A unidade padrão para medir a massa de um corpo é a massa de um decímetro
cúbico de água, a uma temperatura de 4ºC. Entretanto, por ser mais prático, foi utilizado
como unidade principal o grama (abrevia-se g) e que se constitui numa massa igual a
milésima parte do quilograma ou seja,
1g = 0,001kg ou 1kg = 1000g.

RELAÇÃO IMPORTANTE

Volume Capacidade Massa
1 dm3 = 1 litro = 1 kg

Exemplo:
Um recipiente, totalmente cheio contém um volume de 5m3 de água pura. Qual é o
peso (massa) da água contida neste recipiente?
v 5m3 = 5.000 dm3 = 5000 kg
Logo, o peso dessa água contida nesse recipiente é de 5.000 kg

OUTRAS UNIDADES DE MEDIDAS RELACIONADAS AO GRAMA

v Tonelada (T) = 1.000 kg
v Megaton = 1.000 toneladas
v Quilate = 0,2 g (unidade para medida de pedras e metais preciosos)


EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE MASSA

P 1) Com uma certa quantidade de papel, foram feitos 25.000 blocos, todos com o mesmo
número de páginas. Se cada bloco tem 0,75 kg, quantos quilogramas de papel foram usados
para fazer esses blocos?

P 2) Uma laje é formada por 40 blocos de concreto. Cada bloco de concreto tem 1 1/4 T. de
massa. Qual a massa da laje toda?

P 3) Um litro de uma certa substância corresponde a uma massa de 2.5 kg. Quantos kg há
em 6 m3 dessa substância?

P 4) Um comprimido contém 3,5 mg de vitamina x. Uma pessoa toma três desses
comprimidos por dia. Quantos miligramas de vitamina x essa pessoa vai ingerir após 1 mês
de 30 dias?

P 5) Um recipiente contém água pura. A massa dessa água é de 18.000 kg. Qual é em m3 o
volume interno desse recipiente?

P 6) Um volume de 0,01 m3 corresponde a quantos decímetros cúbicos?

P 7) Um reservatório tem um volume de 81 m3 e está totalmente cheio d´água. Uma válvula
colocada nesse reservatório deixa passar 1500l de água a cada 15 minutos. Esta válvula
ficou aberta durante um certo tempo e depois foi fechada. Verificou-se que havia, ainda
27m3 de água no reservatório. Durante quanto tempo esta válvula permaneceu aberta?
a) 8 horas
b) 9 horas
c) 12 horas
d) 18 horas
e) 36 horas

GABARITO - MEDIDAS DE MASSA

P1) 18.750 kg
P2) 50 T
P3) 15.000 kg
P4) 315 mg
P5) 18 m3
P6) 10 dm3
P7) B


MEDIDAS DE TEMPO

A unidade fundamental do tempo é o segundo. As unidades secundárias, que se
apresentam somente como múltiplos, constam no quadro:

NOMES Símbolos Valores em
segundos
Segundo s ou seg 1
Minuto min 60
Hora h 3.600
Dia d 86.400

Outras unidades, usadas na prática, são:
v Semana (se) 7 dias
v Mês (me) 30, 31 ou 29 ou 28 dias
v Ano (a) 360, 365 ou 366 dias

O ano compõe-se de 12 meses. O ano comercial tem 360 dias, o ano civil tem 365 dias e
ano bissexto 366 dias.
Os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias; os
meses de abril, junho, setembro e novembro têm 30 dias. O mês de fevereiro tem 28 dias nos
anos comuns (civil) e 29 dias nos anos bissextos.
Todo ano que for divisível por 4, são bissextos. Assim, por exemplo:
1940, 1952, 1964 são bissextos
1910, 1953, 1965 não são bissextos

Nomenclaturas:

v 02 anos chama-se biênio
v 03 anos chama-se triênio
v 04 anos chama-se quadriênio
v 05 anos chama-se quinquênio ou lustro
v 10 anos chama-se decênio ou década
v 100 anos chama-se século
v 1000 anos chama-se milênio
v 02 meses chama-se bimestre
v 03 meses chama-se trimestre
v 06 meses chama-se semestre

A representação do número complexo que indica unidade de tempo, é feita
escrevendo-se em ordem decrescente o valor, s números correspondentes às diversas
unidades acompanhados dos respectivos símbolos.

Exemplo:

v 9a 4 me 18 d 15 h 23 min 17 seg


MUDANÇA DE UNIDADES

Podem ocorrer dois casos:

Caso 1: Transformação de número complexo em unidades inferiores também chamadas de
medidas simples ou número incomplexo.

Exemplo:
Verificar quantos minutos há em 3d 8h 13min?
v Como 1 dia tem 24 horas → 24 h x 3 = 72 h
v Temos + 8 h. Estas 72 h + 8 h dá 80 h.
v Como a hora vale 60 min. → 80 h x 60 min = 4800 min.
v Somando-se ainda mais 13 min. → 4813 min.

Caso2: Transformação de um número expresso em medidas simples ou unidades inferiores
ou em números incomplexos.

Exemplo:
Transformar 4813 min. em número não decimal, é o mesmo que determinar quantos
dias, horas e minutos há em 4813 min. Neste caso efetuamos as operações inversas do
problema anterior.

v 4813 ¸ 60 = 80 h e 13 min
v 80h ¸ 24 = 3 d e 8 h

Logo, 4813 minutos é o mesmo que 3 dias 8horas e 13 minutos.

EXERCÍCIOS - MEDIDAS DE TEMPO

P 1) Dizer: a) Quantos minutos há numa semana?
b) Quantas horas há em duas semanas?

P 2) Converter: a) 2d 12 h 15 min em minutos.
b) 4 a 8 me 12 d em dias.

P 3) Efetuar a operação: 13 d 55 h 42 min + 8 d 34 h 39 min.

P 4) Exprimir quantos meses e dias contém a fração 5/8 do ano.

P 5) Numa certa fábrica um operário trabalhou 2 a 10 me 15 d e outro durante 11 me 29 d.
Qual é a diferença entre os tempos de trabalho dos dois operários?


P 6) As 9 h da manhã acertou-se um relógio que atrasa 6 min em 24 h. Que horas serão, na
verdade, quando o relógio marcar 5 h da tarde?

GABARITO - MEDIDAS DE TEMPO

P1) a) 10.080 min b) 336 h

P2) a) 3.615 min b) 1.712 dias

P3) 242 d 18 h 21 min

P4) 7 me e 20 d

P5) 1 a 10me 14d

P6) 4 h 58 min

INTRODUÇÃO
Antes de iniciarmos o estudo de perímetros de figuras planas, vamos
revisar alguns conceitos básicos da Geometria Plana.

ÂNGULOS
"Ângulo é a união de duas semi-retas de mesma origem".

ˆ
Ângulo: A O B

BISSETRIZ
"É uma semi-reta de origem no vértice do ângulo, que o divide em 2 ângulos
congruentes".


ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
"São ângulos cujos lados de um, são semi-retas opostas aos lados do outro,
como ilustra a figura".

TEOREMA: a = b
ˆ ˆ

CLASSIFICAÇÕES


ÂNGULOS ADJACENTES

TRIÂNGULOS
"Os Triângulos são Polígonos de três lados".

CLASSIFICAÇÕES - QUANTO AOS LADOS


CLASSIFICAÇÕES - QUANTO AOS ÂNGULOS


QUADRILÁTEROS
"Os Quadriláteros são Polígonos de quatro lados".

TRAPÉZIO
"Quadrilátero com dois lados paralelos e ângulos consecutivos (agudo e obtuso)
suplementares".

Trapézio ABCD:

v AD // BC
v A + B = 180O
ˆ ˆ
ˆ ˆ
v C + D = 180º

PARALELOGRAMO

"Quadrilátero com lados dois a dois paralelos, ângulos opostos iguais e
consecutivos suplementares".

Paralelogramo ABCD:

v AB // CD e AC // BD
v A + B = 180 O
ˆ ˆ
ˆ ˆ
v C + D = 180º
ˆ ˆ ˆ ˆ
v A= D e C= B

LOSANGO


"Quadrilátero com lados dois a dois paralelos e iguais, ângulos opostos iguais e
ângulos consecutivos suplementares".

Losango ABCD:

v AB // CD e AC // BD
v AB =BC = CD = AD
v A + B = 180O
ˆ ˆ
ˆ ˆ
v C + D = 180º
ˆ ˆ ˆ ˆ
v A= C e D = B

RETÂNGULO

"Quadrilátero com lados dois a dois paralelos ângulos internos de medida igual a
90O".

Retângulo ABCD:

v AB // CD e
v AD // BC
v A = B = C = D =90O
ˆ ˆ ˆ ˆ

QUADRADO
"Quadrilátero com lados dois a dois paralelos e iguais, ângulos internos de
medida igual a 90 O".

Quadrado ABCD:


v AB // CD e AD // BC
v AB = BC = CD = AD
v A = B = C = D = 90O
ˆ ˆ ˆ ˆ

POLÍGONOS DIVERSOS
Além dos triângulos e quadriláteros, temos polígonos de lados maiores que 4,
que é o caso do Pentágono (5 lados), Hexágono (6 lados), e assim
sucessivamente. Observe a tabela abaixo, referente aos nomes dos polígonos:

Nomenclatura

Número de lados
3 Triângulo
4 Quadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
11 Undecágono
12 Dodecágono
20 Icoságono

Exemplos:

v Pentágono


v Hexágono

Notas:

v "Polígonos Regulares"

Os polígonos são ditos regulares quando seus lados e ângulos são iguais entre
si. Por exemplo, um polígono regular de três lados é triângulo eqüilátero, ou de
quatro lados, o quadrado.

v Perímetro dos Polígonos

Para a obtenção do perímetro de qualquer figura plana é necessário apenas, soma
os lados da figura em questão.

EXERCÍCIOS / FIGURAS PLANAS
P 1) Um terreno é retangular. As medidas dos seus lados são 58 m e 22,5 m. Se esse terreno
precisa ser murado em todo o seu contorno, determine:
a) Quantos metros de muro devem ser construídos?
b) Quantos tijolos serão usados na construção do muro, se para cada m de muro são usados
45 tijolos?

P 2) Um jardim é quadrado e cada um de seus lados mede 62,5m nestas condições:
a) Se Manoel der 3 voltas completas em torno do jardim, quantos m ele andará?
b) Se Helena andar a metade da medida do contorno desse jardim, quantos m ela andará?

P 3) Um jardim é retangular. O maior lado desse jardim mede 150 m e o lado menor mede
3/5 do maior. Nestas condições.
a) Quanto mede o menor lado do jardim?
b) Qual a medida do contorno desse jardim?

P 4) Raul tem 100 m de tela de arame para fazer uma cerca. Nessas condições:


a) Ele poderia fazer uma cerca de 23 m de lado?
b) Ele poderia fazer uma cerca retangular de 32 m de comprimento por 12 m de largura?
c) Quais as medidas de uma cerca retangular que ele poderia fazer usando toda a tela que
tem?

P 5) Usando um pedaço de barbante, Helena mediu o contorno de uma mesa quadrada e
encontrou ao todo 8 pedaços. Se esse pedaço de barbante mede 24 polegadas, calcule:
a) Quantas polegadas mede o contorno da mesa?
b) Quantos cm mede o contorno dessa mesa, se uma polegada mede 2,5 cm.

P 6) Um hexágono regular tem 6 lados, todos com a mesma medida. Se o perímetro desse
hexágono é 51 cm, quanto mede cada lado desse hexágono?

GABARITO - PERÍMETROS

P1) a) 161 m b) 7245 tijolos

P2) a) 750 m b) 125 m

P3) a) 90 m b) 480 m c) 2400 m

P4) a) sim b) sim

P5) a) 192 polegadas b) 480 cm

P6) 8,5 cm

ÁREAS DE POLÍGONOS
Quando medimos superfícies tais como um terreno, ou piso de uma sala,
ou ainda uma parede, obtemos um número, que é a sua área.

"Área é um número real, maior ou igual a zero, que representa a medida de uma
superfície."

Obteremos, portanto, as relações que vão nos auxiliar a encontrar as áreas
dos polígonos mais comuns.

RETÂNGULO (SR)

A área de uma região retangular de altura h e base b é dada por b × h unidades de
área, ou seja:


SR = b × h

QUADRADO (SQ)

A área de uma região quadrada de lado a é dada por (a × a
= a2 ) unidades de área, ou seja:

SQ = a × a = a 2

PARALELOGRAMO (S P

Vamos recortar o triângulo ADH e coloca-lo no espaço existente no lado
BC:


Como as duas áreas são iguais, podemos dizer que a área da região limitada por
um paralelogramo é dada multiplicando-se o comprimento (ou base) b pela
largura (ou altura) h, ou seja:

SP = b × h

TRIÂNGULO (S∆ )
Para chegarmos na fórmula para cálculo da área limitada por um triângulo vamos
primeiramente dividir um retângulo por uma das diagonais, encontrando assim
dois triângulos retângulos congruentes:

Observando a figura acima, concluímos que a área de um triângulo pode
ser obtida pela metade da área de um retângulo:

SR b×h
S∆ = =
2 2

b ×h
SD =
2

LOSANGO (S L)


Seja o Losango MNPQ abaixo de diagonal maior D e diagonal menor d.

Para deduzirmos qual a fórmula para cálculo da sua área vamos separa-lo em
dois outros triângulos (∆MNP e ∆MQP) de base D e altura d/2 congruentes entre
si:

d
.D
d.D d.D
Logo: SL = 2 × S1 = 2 x 2 =2× =
2 4 2

d.D
SL =
2

TRAPÉZIO (S T )
Seja o Trapézio abaixo de base menor b, base maior B e altura h.

Para deduzirmos a fórmula para o cálculo da área limitada por um trapézio,
vamos inverter sua posição e "encaixar" num segundo trapézio idêntico ao
primeiro, observe:


Desta forma, encontramos um paralelogramo, e para calcular a área de um
paralelogramo basta multiplicar a sua base pela sua altura, logo:

SP base × altura
SP = 2 × ST ⇒ ST = ⇒ ST =
2 2

(B + b).h
ST =
2

CÍRCULO

A área de um círculo de raio r é dada por:

S = π . r2

SETOR CIRCULAR

Se α é dado em graus, a área do setor circular pode ser calculada por:


á
πr 2
SSC = 360 °

COROA CIRCULAR

A área da Coroa Circular pode ser calculada pela diferença da área do círculo
maior pela área do círculo menor.

SCC = π (R2 − r2)

Observação:

"Comprimento da Circunferência"

O comprimento de uma circunferência é calculado a partir da fórmula:

C = 2.π.R

Não confunda circunferência com o círculo: para você enxergar a diferença basta
você imaginar uma pizza, a sua borda será a circunferência e o todo o seu recheio
será o círculo.

EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE SUPERFÍCIE (ÁREAS)

P1) Uma parede tem 27m 2 de área. Sabendo-se que já foram pintados 15m 2 dessa
parede, quantos m 2 de parede ainda resta pintar?

P2) Em um terreno de 5.000m 2, 42% da área foi reservada ara construções,
ficando o restante como área livre. Quantos metros quadrados restaram de área
livre?

P3) Uma parede dever ser revestida com azulejos. A parede tem 20m2 de área e
cada azulejo tem 0,04m2 de área. Quantos azulejos devem ser comprados para
revestir totalmente essa parede?


P4) Uma região retangular tem 6 m de comprimento por 4 de largura, uma região
quadrada tem 5m de lado. Qual das duas regiões tem a maior área?

P5) Consideremos uma região retangular que tem 27m de comprimento e 8 de
largura. Essa região foi dividia em duas outras regiões A e B, de forma que a área
da região A corresponde a 1/3 da área da região que foi dividida. Calcule a área de
cada região.

P6) Uma região circular tem 5m de raio. Essa região foi dividida em duas outras, A
e B, de modo que a área da região B corresponde a 40% da área da região
original. Calcule a área de cada uma dessas regiões.

P7) Foram confeccionadas 1.500 flâmulas triangulares. Cada flâmula tem 0,40m de
base de 0,15m de altura. Quantos metros quadrados foram usados na confecção
dessas flâmulas?

P8) Uma peça de madeira tem a fórmula de losango. A diagonal maior mede 50cm
e a diagonal menor 20cm. Qual a área desse losango?

P9) Calcular a base de um paralelogramo cuja a área é de 8,8336dm 2 e a altura
1,52dm.

P10) A área de um losango mede 2,565 dm 2 e uma das suas diagonais tem 2,7dm.
Quanto mede a outra diagonal?

P11) A base maior de um trapézio mede 2,4m e a menor é igual a 1/3 da maior.
Qual é a sua área em m2. Sabendo-se que a altura mede 8,5dm?

P12) O comprimento de uma circunferência é 25,12cm. Qual é a área da
circunferência?

P13) A medida do raio de uma circunferência é igual a metade da medida do
diâmetro dessa circunferência. Esta afirmação é falsa ou verdadeira?

P14) A roda de um automóvel tem 0,6 m de diâmetro. Quando a roda desse
automóvel der 5.000 voltas completas, de quantos metros será a distância
percorrida pelo automóvel?

P15) Uma circunferência tem 80 cm de raio. Se eu dividi-la por pontos em 4 partes
de mesmo comprimento, qual será o comprimento de cada uma dessas 4 partes?

P16) Determinar o valor do raio de uma circunferência cujo comprimento é 12,56
dm.

P17) Cada uma das rodas, de 0,30 m de raio, de um automóvel, deu 4.500 voltas
percorrendo um certo trajeto. Quantos quilômetros percorreu este automóvel?


GABARITO - MEDIDAS DE SUPERFÍCIE (ÁREAS)

P1) 12m2

P2) 2900 m2

P3) 500 azulejos

P4) A quadrada pois 25 m2 > 24 m2

P5) 144 m2 para B e 72 m2 para A

P6) A região A = 47,10m2 e a região B = 31,40m2.

P7) 45 m2

P8) 500 cm2

P9) 5,8116 dm

P10) 1,9 dm

P11) 1,36 m2

P12) 50,21 cm2

P13) Verdadeiro

P14) 9425 m

P15) 125,66 cm

P16) 2 dm de raio

P17) 8,478 km

VOLUME DOS SÓLIDOS


"As abelhas em virtude de uma certa intuição geométrica sabem, que o hexágono é maior que
o quadrado e o triângulo e conterá mais mel com o mesmo gasto de material..."

Papus de Alexandria

As abelhas, na realidade, não fazem hexágonos em suas colméias como disse o Matemático
Papus de Alexandria, elas constroem Prismas Hexagonais.

Os prismas são figuras geométricas consideradas sólidos geométricos, assim como as
Pirâmides, Cilindros, Cones, Esferas.

Nesta parte de nossos estudos daremos uma atenção especial para os sólidos
geométricos. Até agora, quando estudamos quadrados, triângulos; falávamos apenas das
áreas ou perímetros dessas figuras, e agora poderemos calcular o volume desses sólidos.

PRISMAS
Observe os Prismas abaixo:

Observe agora apenas o Prisma Hexagonal:


Você deve ter observado que de acordo com a base de um prisma é o
como ele será chamado, se a base for um hexágono, um Prisma Hexagonal; se for
um quadrado, um Prisma Quadrangular etc. O mesmo ocorrerá com as Pirâmides.
Em todo sólido nós teremos as arestas, faces e vértices. A aresta nada
mais é do que uma intersecção entre as faces. Os vértices, a intersecção entre as
arestas, e assim por diante.
Para o cálculo do volume de um prisma basta multiplicarmos a área da
base pela altura.
Estudaremos a princípio, os prismas mais comuns, o Paralelepípedo e o
Cubo que são particularidades de Prismas Quadrangulares.

CUBO

v VOLUME: V = a3

v ÁREA TOTAL: AT = 6a2

v DIAGONAL: D = a 3

PARALELEPÍPEDO

v VOLUME: V = a.b.c


v ÁREA TOTAL: AT = 2(a.b + b.c + a.c)

v DIAGONAL: D = a 2 +b 2 +c 2

1) Calcule a área total e a medida da diagonal de um cubo cujo volume é 125 m3.

Resolução:
V = 125 ⇒ a3 = 125 ⇒ a = 125 ⇒ a = 5 m
3

AT = 6a2 ⇒ AT = 6´5 2 ⇒ AT = 6 × 25 ⇒ AT = 150 m2

D =a 3⇒ D=5 3m

PIRÂMIDES
Para estudarmos as Pirâmides, vamos partir de um prisma:

Observe que a pirâmide se encaixa perfeitamente dentro de um prisma
(desde que suas dimensões, como a base, altura e propriedades sejam as
mesmas, no nosso caso um prisma quadrangular e uma pirâmide quadrangular).
Se pudéssemos completar um prisma com areia, e após completar uma pirâmide
concluiríamos que com o volume de areia contido no prisma poderíamos encher
três vezes a pirâmide, daí o volume desse prisma seria o triplo do volume da
mesma pirâmide.
Na realidade é isso que acontece, o volume do prisma quadrangular da figura
acima é numericamente igual ao triplo do volume da pirâmide, portanto o volume
de uma pirâmide pode ser pegando o volume de um prisma e dividindo por três.
Podemos ainda identificar outros elementos da pirâmide, observe a figura
abaixo:


Ab ⋅H
v VOLUME: V = 3

v ÁREA TOTAL: AT = AL + A b

v RELAÇÃO: ap2 = ab2 + H2

Onde:
ap ⇒ apótema da pirâmide;
ab ⇒ apótema da base;
H ⇒ altura da pirâmide.

R2) Calcule o volume e a área lateral de uma pirâmide regular, sabendo que seu
apótema mede 5 cm e a sua base é um quadrado sujo lado mede 8 cm.

Resolução:

Para encontrarmos o volume dessa pirâmide precisamos saber a sua altura:
8
ap2 = a b2 + H2 ⇒ 52 = ( 2 )2 + H2 ⇒ H2 = 25 − 16
H2 = 9 ⇒ H = 3 cm

Logo:

A b ⋅H 8 2 ⋅3
V = ⇒ V= ⇒ V = 64 cm3
3 3

Para se chegar na área lateral devemos saber quantas são as faces laterais e qual
a área de uma face. Como a base é um quadrado de lado 8cm e cada face de uma
pirâmide é um triângulo, fica ilustrada uma face lateral da seguinte forma:


apótema da
pirâmide

ap = 5cm

.
8⋅5
b = 8cm AF = = 20 cm2
2

AL = 4 × 20 = 80 cm 2

CILINDROS

Encontramos vários tipos de cilindros no nosso dia a dia:

Para se calcular o volume de um cilindro, faremos analogamente ao prisma (Ab × H),
somente com a ressalva de que a base de um cilindro será um círculo. Na figuras
representadas abaixo temos a planificação de um cilindro (Figura 4) onde podemos
perceber que para o cálculo de sua área lateral vamos considerar o retângulo formado com
a base sendo numericamente igual ao comprimento da circunferência.


v VOLUME: VC = Ab × H

v ÁREA LATERAL: AL = 2πr × H

v ÁREA TOTAL: AT = AL + 2Ab

1) Calcule o volume de um cilindro reto de altura 10 cm, sabendo que sua área lateral é 60p
cm2 .

Resolução:
AL = 2πr × H ⇒ 60π = 2πr × 10 ⇒ r = 3cm
V = Ab × H = πr2 × H = 9π × 10 = 90π cm3
V = 90p cm3

2) Calcule o volume de um cilindro eqüilátero, sabendo que a área de sua secção meridiana
é 64 m2.

Resolução:
Um cilindro eqüilátero é aquele que possui a altura igual ao diâmetro da base:

Cilindro Eqüilátero: H = d Secção Meridiana


ASM = 64 ⇒ H × d = 64 ⇒ d2 = 64 ⇒ H = d = 8 m
V = Ab × H = πr2 × H = π 42 × 8 = 128π m3
V = 128π m3

ESFERA

Considere um semicírculo, fixo num eixo, rotacionando o mesmo em torno do
eixo, este semicírculo gera uma esfera:

4
ðR3
v VOLUME: V = 3

v ÁREA ESFERA: A = 4πR2



1 ) Uma esfera tem raio 15 cm.

Calcule:
a) seu volume;
b) sua área;
c) a área da secção feita a 9cm do centro.

Resolução:

a) Volume:

4 4
V= π R 3 = π 15 3 ⇒ V = 4 500π cm 3
3 3

b) Área:

A = 4 π R2 = 4 π 152 ⇒ A = 900π cm2

c) Secção:

Cálculo do raio da secção:

152 = 92 + r2 ⇒ r 2 = 144
r = 12cm


Logo a área da secção:

As = π r2 = 144π cm2
Α s = 144π cm2

CONES
Um cone pode ser obtido através da rotação de um triângulo retângulo em torno
de um eixo (e). Na figura temos que a hipotenusa (g) do triângulo será a geratriz
do cone.

A relação que existe entre um cone e um cilindro é a mesma existente entre
uma pirâmide e um prisma, observe:

Podemos concluir então que volume de um cone será obtido dividindo o volume
de um cilindro, de mesma base e mesma altura, por três.


Ab ⋅H
v VOLUME: V = 3

v ÁREA LATERAL: A L = π r g

v ÁREA TOTAL: AT = AL + A b

v RELAÇÃO: g2 = H2 + r2

Onde:
g ⇒ geratriz do cone;
r ⇒ raio da base
H ⇒ altura do cone.


1) Os catetos de um triângulo retângulo medem 8 cm e 15 cm. Calcule o volume e
a área total do cone de revolução gerado pela rotação completa desse triângulo
em torno de um eixo que contém seu cateto maior.

Resolução:


O triângulo retângulo considerado, ao dar uma volta completa,
gera no espaço um cone de raio
r = 8cm e altura H = 15cm . Sendo g a medida da geratriz desse
cone, por Pitágoras:
g2 = 82 + 152 ⇒ g2 = 64 + 225 ⇒ g = 17 cm

Volume:

Ab ⋅H π ⋅r 2 ⋅H 64 ⋅ ⋅
15 π
V= = = = 320π cm3
3 3 3
Área Total:

AT = AL + Ab = π r g + π r 2 = π .8 .17 + π . 82 = 200π cm2

EXERCÍCIOS SOBRE VOLUMES
P1) Sendo 5cm a medida de uma aresta de um cubo, obtenha:
a) a medida de uma diagonal de uma face de um cubo.
b) a medida de uma diagonal desse cubo.
c) sua área total.
d) seu volume.

P2) Se a diagonal de uma face de um cubo mede 5 2 , então o volume desse cubo
é:
a) 600 3
b) 625
c) 225
d) 125
e) 100 3

P3) Um paralelepípedo reto retângulo tem arestas medindo 5, 4 e k. Se a sua
diagonal mede 3 10 , o valor de k é:
a) 3
b) 7
c) 9
d) 10
e) 20


P4) Se a soma das medidas de todas as arestas de um cubo é 60cm, então o
volume desse cubo, em centímetros cúbicos, é:
a) 125
b) 100
c) 75
d) 60
e) 25

P5) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10cm e
6cm, são levados juntos à fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como
um paralelepípedo reto de arestas 8cm, 8cm e x cm. O valor de x é:
a) 16
b) 17
c) 18
d) 19
e) 20

P6) A água de um reservatório na forma de um paralelepípedo reto retângulo de
comprimento 30m e largura 20m atingia a altura de 10m. Com a falta de chuvas e
o calor, 1800 metros cúbicos da água do reservatório evaporaram. A água
restante no reservatório atingiu a altura de:
a) 2 m
b) 3 m
c) 7 m
d) 8 m
e) 9 m

P7) Dado um prisma regular triangular (base é um polígono regular) de aresta da
base medindo 4cm e altura 6cm, calcule:

a) a área de uma base.

b) a área de uma face lateral.


c) a área lateral.

d) a área total.

e) o volume.

P8) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8cm e a
aresta da base 2 3 cm . O volume dessa pirâmide em cm 3, é:
a) 24 3
b) 36 3
c) 48 3
d) 72 3
e) 144 3

P9) Um imperador de uma antiga civilização mandou construir uma pirâmide que
seria usada como seu túmulo. As características dessa pirâmide são:
1O. Sua base é um quadrado com 100m de lado.
2O. Sua altura é de 100m.
Para construir cada parte da pirâmide equivalente a 1000 m 3, os escravos,
utilizados como mão-de-obra, gastavam, em média, 54 dias. Mantida essa média,
o tempo necessário para a construção da pirâmide, medido em anos de 360 dias,
foi de:
a) 40 anos
b) 50 anos
c) 60 anos
d) 90 anos
e) 150 anos

P10) Qual é a altura de uma pirâmide quadrangular que tem as oito arestas iguais
a 2?

P11) Na figura seguinte, o ponto V é o centro de uma face do cubo. Sabendo que
o volume da pirâmide VABCD é 6m3, o volume do cubo, em m3, é:


a) 9
b) 12
c) 15
d) 18
e) 21

P12) Num cilindro de revolução, o raio da base mede 8cm e a altura mede 10cm.
Calcule desse cilindro:
a) a área da base.
b) a área lateral.
c) a área total.
d) a área de uma secção meridiana.
e) o volume.

P13) Um tanque de petróleo tem a forma de um cilindro circular reto, cujo volume
é dado por: V = p R2 h. Sabendo-se que o raio da base e a altura medem 10 m,
podemos afirmar que: o volume exato desse cilindro (em m 3) é:
a) 1 000p b) 100p c) (1 000p)/3
d) (100p)/3 e) 200p

P14) O volume de um cilindro circular reto é 36 6 p cm3. Se a altura desse
cilindro mede 6 6 cm, então a área total desse cilindro, em cm2, é:
a) 72p
b) 84p
c) 92p
d) 94p
e) 96p

P15) Na figura, a base do cone reto está inscrita na face do cubo. Supondo p = 3,
se a área total do cubo é 54, então o volume do cone é:

81 27
a) 2 b) 2

9 27
c) 4 d) 4


81
e) 4

P16) Uma esfera tem raio medindo 15cm. Calcule:
a) a área de sua superfície esférica.
b) o volume dessa esfera.
c) a área de uma secção feita nessa esfera por um plano que dista 9 cm do seu
centro.

P17) Bolas de tênis, normalmente são vendidas em embalagens cilíndricas
contendo três unidades que tangenciam as paredes internas da embalagem.
Numa dessas embalagens, se o volume não ocupado pelas bolas é 2p, o volume
da embalagem é:

a) 6π
b) 8π
c) 10π
d) 12π
e) 4π

P18) Considere uma laranja como sendo uma esfera de 3cm de raio. Se a
dividirmos em doze gomos congruentes, então o volume de cada em gomo, em
cm3, será:

8
a) πb) 2πc) 3 π

49
d) 3πe) 6 π

P19) Um tijolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo. Esse tijolo tem 22cm
de comprimento, 10 cm de largura e 7cm de altura. Qual é o volume de argila
usado na fabricação desse tijolo?

P20) Um cubo tem 3cm de aresta. Um segundo cubo tem uma aresta que é igual
ao triplo da aresta do primeiro. Calcule o volume de cada cubo e verifique quantas
vezes o volume do segundo cubo é maior que o volume do primeiro.


P21) Uma piscina, em forma de paralelepípedo retângulo, tem 10m de
comprimento, 5m de largura e 1,75m de profundidade internamente. Quantos m3
de água são necessários para encher totalmente essa piscina?

P22) Uma parede é feita de blocos. Cada bloco tem 0,4m de comprimento, 0,15m
de largura e 0,25m de altura. Sabendo-se que foram usados 200 desses blocos
para a construção dessa parede, qual é o volume da parede em m3?

P23) Um bloco de pedra cúbico tem 2m de aresta. Qual é o peso desse bloco, se
cada m3 pesa 1/2 tonelada?

P24) Deseja-se cimentar um quintal retangular que tem 12m de comprimento por 7
de largura. Com uma mistura de areia e cimento que tem 3cm de espessura. Qual
é em m3, o volume da mistura usada nesse revestimento?

P25) Um paralelepípedo retângulo tem 4 m de comprimento, 3m de largura e 2m
de altura. Um cubo tem 3m de aresta. Qual deles tem o volume maior?

P26) A carroceria de um caminhão tem as seguintes medidas internas: 4m de
comprimento, 2,5m de largura e 0,5m de altura. Essa carroceria está
transportando uma quantidade de areia que corresponde a 3/5 do seu volume.
Quantos m3 de areia estão sendo transportados pelo caminhão:?

P27) Expresse em dm 3:
1
a) 0,08m 3 b) 13600 cm 3 c) 2 m3

P28) Um volume de 2.500.000 cm 3 corresponde a quantos metros cúbicos?

P29) O volume de 0,7m 3 de uma solução líquida deve ser distribuído em ampolas
cujo volume máximo é de 250 cm 3. Quantas ampolas serão usadas?

P30) Uma caixa d´água está totalmente cheia e contém 2m3 de água. Um registro
colocado nessa caixa, deixa escolar 0,25m 3 de água a cada 20 minutos, quando
está aberto. Se o registro ficar aberto durante uma hora, quantos metros cúbicos
de água restarão na caixa após seu fechamento?

P31) Um sólido tem 1,2m3 de volume. Um segundo sólido tem um volume que
corresponde a 5/8 do sólido dado. Qual o volume do segundo sólido?

P32) A leitura de um hidrômetro feita em 01/4/98 assinalou 1936m3. Um mês após,
a leitura do mesmo hidrômetro assinalou 2014m3. Qual foi, em m3, o consumo
nesse período?


P33) O volume inicial de um tanque é 1m3 de ar. Cada golpe de uma bomba de
vácuo extrai 100dm 3 de ar desse tanque. Após o 7º golpe da bomba, quantos m3
de gás permanecem no tanque?

GABARITO - VOLUMES

P1)
a) 5 2 cm b) 5 3 cm
c) 150 cm2 d) 125 cm 3

P2) D

P3) B

P4) A

P5) D

P6) C

P7)
a) 4 3 cm2 b) 24 cm2
c) 72 cm 2 d) 8( 3 + 9) cm2
e) 24 3 cm3

P8) C

P9) B

P10) 1 =1

P11) D

P12)
a) 64p cm2 b) 160p cm2
c) 288p cm2 d) 80p cm2
e) 640p cm3

P13) A

P14) B

P15) D

P16)
a) 900p cm2 b) 4500p cm3
c) 144p cm2


P17) A

P18) D

P19) 1540 cm3

P20) 27cm3, 729cm 3, 27vezes

P21) 87,50 m3

P22) 3 m 3

P23) 4 toneladas

P24) 2,52 m 3

P25) o cubo pois 27m 3 > 24 m3

P26) 3 m 3

P27)
a) 80 dm 3 b) 13,6 dm3 c) 500 dm3

P28) 2,5 m3

P29) 2800 ampolas

P30) 1,25 m 3

P31) 0,75 m 3

P32) 78 m3

P33) 0,3 m3

RAZÃO
v Grandeza: é tudo aquilo que pode ser medido.
v Razão: é a relação entre duas grandezas.

DEFINIÇÃO


"Chama-se razão de duas grandezas da mesma espécie, ao quociente da divisão
dos números que medem essas grandezas numa mesma unidade. Este quociente
é obtido, dividindo-se o primeiro número pelo segundo".

Conforme a definição, para determinarmos a razão entre duas grandezas é
necessário que sejam da mesma espécie, e medidas com a mesma unidade.
a
A razão é representada sob a forma b ou a : b (que se lê "a está para b"), sendo a
e b dois números racionais, com b ≠ 0.

Exemplo 1:
Num exame há 1200 candidatos disputando 400 vagas. Se compararmos esses
dois números através de uma divisão, obtemos:

1200
v =3
400
Dizemos que há 3 candidatos para cada vaga ou que a razão entre o número de
candidatos e o número de vagas é de 3 para 1.
400 1
v =
1200 3

Dizemos que para cada vaga há 3 candidatos ou que a razão entre o número de
vagas e o número de candidatos é de 1 para 3.

Quando comparamos dois números através de uma divisão, o resultado
obtido chama-se razão entre esses números.

Exemplo 2:
Admite-se como ideal, numa cidade, a existência de 1 médico para cada 5000
habitantes. Nessas condições, quantos médicos deverá ter uma cidade com
50.000 habitantes?
De acordo com o problema, a razão entre o número de médicos e o número de
1
habitantes é 5000 .

Número de habitantes Número de médicos
5.000 1
10.000 2
15.000 3
...... ......
50.000 10

A cidade deverá ter 10 médicos.

1 10
Verificamos que as razões destacadas, 5000 e 50000 são iguais.


1) Achar a razão entre dois segmentos de 1dm e 25cm respectivamente.

Resolução:
Como é necessário medir as duas grandezas com a mesma unidade,
vamos reduzir as duas medidas a cm, para obter a
10 cm 2
Logo, s im p lif ic a n d o -s e ⇒ ou 2 : 5
25 cm 5
razão.
Assim: 1 dm = 10cm

2) Em uma competição esportiva participam 500 atletas, sendo 100 moças e 400
rapazes.
a) Qual a razão do número de moças para o número de rapazes?
b) Qual a razão do número de rapazes para o número de moças?

Resolução:
a) Dividindo-se o número de moças pelo número de rapazes, encontramos a
100 1
=
razão: 400 4

400 4
b) = =4
100 1

1 5
3) Determinar a razão entre 2 e 6

Resolução:
1
2 = 1 × 6 = 6 = 3
5 2 5 10 5
6

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS RAZÕES
"Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo
número, diferente de zero, obtém-se um razão equivalente a uma razão dada".

3 ×3 9
Exemplo: =
5 × 3 15

RAZÕES ESPECIAIS


VELOCIDADE MÉDIA

"Denomina-se velocidade média a razão entre a distância percorrida e o
tempo gasto para percorrê-la".

Distância Percorrida
Velocidade Média =
Tempo Gasto

Exemplo:
Vamos determinar a velocidade média de um trem que percorreu a distância de
453km em 6 horas:

d 453
Vm = = = 75,5 km/h
t 6
Resposta:
A velocidade média do trem foi de 75,5 km/h

ESCALA

"Denomina-se escala de um desenho a razão entre o comprimento
considerado no desenho e o correspondente comprimento real, medido com a
mesma unidade".

Compriment o Desenho
Escala =
Compriment o Real

As escalas têm grande aplicação nos esboços de objetos (móveis,
automóveis, etc), nas plantas de casas e terrenos, nos mapas e cartas
cartográficas.

Exemplo1:
Em um mapa a distância entre duas cidades é de 3 cm. Sabendo-se que a
distância real entre as cidades é de 300 km, qual a escala utilizada no mapa?

Resolução:
v Comprimento do desenho: 3 cm
v Comprimento real: 300 km = (300 x 100.000) cm = 30.000.000 cm

Desenho 3 1
Escala = = =
Real 30000000 10000000
Resposta:
A escala utilizada foi de 1:10.000.000

Exemplo2:


Ao desenhar a sua sala de aula, Paula traçou um segmento de 12 cm, que
corresponde ao comprimento total da sala. Sabendo-se que a escala utilizada foi
de 1:60, qual o comprimento real da sala?

De senh o 1 12
Escala = ⇒ = ⇒ x = 720 cm
Re al 60 x
Logo, o comprimento de 12 cm no desenho corresponde a um comprimento de
720 cm ou 7,2 m do real.

Resposta:
O comprimento real desta sala é 7,2m.

EXERCÍCIOS - RAZÕES

P 1) A soma de dois números é 54 e a razão 7/11. Calcular os dois números.

P 2) A diferença entre dois números é 15 e a razão 8/5. Calcular os dois números.

P 3) Num ginásio há ao todo 540 alunos distribuídos em classes. A cada classe de 45 meninos
corresponde uma classe de 30 meninas. Calcular o número de meninas do ginásio.

P 4) A razão entre a base e a altura de um triângulo é de 5 para 2, e a área do triângulo é de
45m2 . Calcular a base e a altura.

P 5) Uma barra feita com uma liga de ouro/cobre tem a massa de 513g. Achar a massa de
cada metal sabendo que estão na razão de 11 para 8.

P 6) Um trapézio é isósceles. A base menor está para a base maior na razão 2:5. Determine a
área, sabendo que:
1º) A altura do trapézio vale 12cm.
2º) A altura está para a base maior na razão 4:5.

P 7) Qual a razão entre as áreas de dois círculos se o raio de um deles é o quádruplo do raio
do outro.

P 8) Numa prova de matemática, um aluno acertou 12 questões sobre 20 que foram dadas.
Qual a razão entre o número de questões que ele acertou para o número de questões da
prova?

P 9) Uma mercadoria acondicionada numa embalagem de papelão, possui 200g de peso
líquido e 250g de peso bruto. Qual a razão entre o peso líquido e o peso bruto?

P 10) Um retângulo A tem 10cm e 15cm de dimensões, enquanto as dimensões de um
retângulo B são 10cm e 20cm. Qual a razão entre a área do retângulo A e a área do
retângulo B?


P 11) A razão entre a altura de Tarcísio e sua sombra, em determinada hora do dia é de 3
para 2. Se a sombra mede 1,2m, qual a altura de Tarcísio?

P 12) A razão entre a velocidade de 2 móveis, A e B é de 3/8. Encontre a velocidade do móvel
A, quando a velocidade do móvel B for igual a 20m/s

P 13) A razão entre as massas de enxofre e de ferro que se combinam para formar o sulfeto
de ferro é de 4,7. Calcular:
a) A massa de ferro que deve combinar com 32 gramas de enxofre para formar o sulfeto de
ferro.
b) A massa de enxofre que se deve combinar com 1,12g de ferro para formar o sulfeto de
ferro.

P 14) Para pintar uma parede, um pintor deve misturar tinta branca com tinta cinza na
razão de 5 para 3. Se ele precisar de 25 litros dessa misturam, quantos litros de cada cor irá
utilizar?

P 15) Qual é a escala de um desenho em que um comprimento de 3m está representado por
um comprimento de 5cm?

P 16) A largura de um automóvel é 2 metros, uma miniatura desse automóvel foi construída
de modo que essa largura fosse representada por 5cm. Qual foi a escala usada para
construir a miniatura?

P 17) Em um mapa, a distância entre duas cidades é de 3cm. Sabendo-se que a distância real
entre as cidades é de 300km. Qual a escala utilizada no mapa?

P 18) A distância entre São Paulo e Rio de Janeiro é de aproximadamente 408km. Qual é a
escala de um mapa onde esta distância está representada por 20,4cm?

P 19) Numa escala de 1:50, qual o comprimento real em metros, correspondente a 8cm.

P 20) Uma fotografia aérea mostra parte de uma região cuja área é 480m2 (área da parte
fotografada). Sabendo que a foto tem 8cm por 15cm, qual foi a escala da foto.

GABARITO - RAZÕES

P1) 21 e 33
P2) 40 e 25
P3) 216
P4) 15m e 6 m
P5) 297g e 216g
P6) 126 cm2
1
P7) 16
3
P8) 5


4
P9) 5
3
P10) 4
P11) 1,80
P12) 7,5 m/s
P13)a) 56,00g b) 0,64g
P14) 15 litros de tinta branca e 9 litros de tinta cinza
P15) 1:60
P16) 1:40
P17) 1:10.000.000
P18) 1:2.000.000
P19) 1:3000
P20) 1:200

PROPORÇÃO
INTRODUÇÃO

Um posto de gasolina oferece um desconto de 1 real para cada 10 litros
completos de gasolina. Se uma pessoa colocar 50 litros de gasolina no carro, que
desconto irá obter?

Com os dados do problema, podemos montar uma tabela:

Litros Descontos (em R$)
10 1
20 2
30 3
40 4
50 5

O desconto será de R$ 5,00
Nesta tabela podemos destacar:

1
vRazão entre desconto e litros: 10

5
vRazão entre desconto e litros: 50 .


1 5
V erificam o s que as razõ es e s ão igu ais (o u equivalentes).
10 50

DEFINIÇÃO DE PROPORÇÃO

"Proporção é a igualdade entre duas razões, ou seja, quando duas razões
apresentam o mesmo quociente, sendo, portanto iguais".

Quatro números racionais a, b, c, d, diferentes de zero, nessa ordem, formam uma
proporção quando a razão do primeiro número para o segundo é igual a razão do
terceiro para o quarto.

a c
=
b d

Ou, ainda, podemos escrever:
a: b=c: d

que se lê:

"a está para b assim como c está para d"

Os quatro termos que formam a proporção são denominados termos da
proporção. O primeiro e o quarto termo são chamados extremos da proporção. O
segundo e o terceiro são chamados meios.

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES

"Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos".
a c
= ⇒ a.d = b.c
b d

Exemplo:

6 5
v = ⇒ 6 x 15 = 5 x 18 ⇒ 90 = 90
18 15

RECÍPROCA DA PROPRIEDADE FUNDAMENTAL
"Quando o produto de dois números é igual ao produto de dois outros, os quatro
números formam uma proporção".

Observação:


Para verificar se quatro números formam uma proporção, efetuamos o produto do
número maior pelo menor e verificamos se esse produto é igual aos outro dois.
Assim, os quatro números 4,10,16 e 40 formam uma proporção, pois os produtos
4 ´ 40 e 10 ´ 16, tem como resultado 160.

QUARTA PROPORCIONAL

"Chama-se Quarta Proporcional a três números dados, um quarto número que
forma com os mesmos uma proporção".

Exemplo:

Vamos encontrar a quarta proporcional aos números 16, 12 e 48.
Representando por x o termo procurado, veremos que o problema admite
três soluções, correspondentes às proporções, pois a posição do número x é
arbitrária.

12 16
I-) = ⇒ x1 = 64
48 x1

12 x 2
II-) = ⇒ x2 = 36
16 48

12 48
III-) = ⇒ x3 = 4
x3 16

Só há três soluções porque em cada solução o produto de um dos números
dados por x é igual ao produto dos outros dois. Em geral, considera-se a solução
obtida, conservando na proporção a ordem dos números dados, e considerando
como incógnita o último termo.

PROPORÇÃO CONTÍNUA
"Proporção contínua é aquela em que os meios e os extremos são iguais".

4 6
Exemplo: = (os meios são iguais)
6 9
Na proporção contínua, o termo igual é denominado média proporcional ou
geométrica, e qualquer um dos outros termos (4 ou 9) é denominado terceira
proporcional. No exemplo acima, 4 é a terceira proporcional entre 9 e 6, sendo 9 a
terceira proporcional entre 4 e 6.

1) Achar a terceira proporcional a 5,6 e 0,84.


Resolução:
Observando que, se a média não for previamente fixada, haverá duas
soluções:

5,6 0,84
1 O. Modo: = ⇒ 5,6x = (0,84)2 ⇒ x = 0,126
0,84 x

0,84 5,6
2O .Modo: = ⇒ 0,84x = (5,6)2 ⇒ x = 37,33
5,6 x

Se, contudo, a média for previamente fixada, só haverá uma das resoluções.

2) Achar a terceira proporcional a 3 e 9, sendo 9 a média.

Resolução:

3 9
= ⇒ 3x = 81 ⇒ x = 27
9 x

PROPRIEDADES GERAIS DAS PROPORÇÕES
PROPRIEDADE 1

"Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o primeiro
termo, assim como a soma dos dois últimos termos está para o terceiro termo".

a c a +b c +d
= ⇒ =
b d a c

PROPRIEDADE 2

"Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o segundo
termo, assim como a soma dos dois últimos está para o quarto termo".

a c a +b c +d
= ⇒ =
b d b d

PROPRIEDADE 3

"Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro
termo, assim como a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro
termo".


a c a −b c − d
= ⇒ =
b d a c

PROPRIEDADE 4
"Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o segundo
termo, assim como a diferença dos dois últimos termos está para o quarto termo".
a c a −b c − d
= ⇒ =
b d b d

PROPRIEDADE 5

"Numa proporção, a somados antecedentes está para a soma dos conseqüentes,
assim como cada antecedente está para seu conseqüente".

a c a +c a a +c c
= ⇒ = e =
b d b +d b b +d d

PROPRIEDADE 6

"Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos
conseqüentes, assim como cada antecedente está para seu conseqüente".

a c ⇒ a −c a a −c c
= = e =
b d b −d b b −d d

PROPRIEDADE 7

"Em toda proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos
conseqüentes assim como o quadrado de qualquer antecedente está para o
quadrado do respectivo conseqüente".

a c a ⋅c a 2 a ⋅c c 2
= ⇒ = e =
b d b ⋅d b 2 b ⋅d d 2


1o Exercício
A diferença entre os antecedentes de uma proporção é 10 e os conseqüentes 9 e
7. Achar os antecedentes.

Resolução:
Representando por a e b os antecedentes, formamos a
a b
=
proporção: 9 7 aplicando-se a propriedade relativa à diferença, vem que:


a −b a 10 a
= ⇒ = ⇒ 2a = 90 ⇒ a = 45
9 −7 9 2 9

logo, b = 35

Resposta:
Os antecedentes são, respectivamente 45 e 35.

2o Exercício

x + y = 20

Resolver o sistema x y
3 = 7

Resolução:
Aplicando-se a propriedade relativa à soma, vem:

x+y x 20 x
= ⇒ = ⇒ x=6
3+7 3 10 3
logo, y = 14

Resposta:
Os antecedentes procurados são respectivamente 6 e 14.

PROPORÇÃO PROLONGADA

Proporção prolongada é a sucessão de três ou mais razões iguais.

2 6 8
Exemplo: = =
4 12 16

PROPRIEDADE DAS PROPORÇÕES PROLONGADAS

"Numa proporção prolongada, a soma dos antecedentes está para a soma dos
conseqüentes, assim como qualquer antecedente está para seu conseqüente".

2 6 8 2+6+8
Exemplo: = = =
4 12 16 4 + 12 + 16



a b c
= =
1) Achar a, b, c na seguinte proporção 3 4 6 sabendo-se que a soma é a + b +
c = 26.

Resolução:
Aplicando-se a propriedade das proporções prolongadas temos:

a b c a + b + c 26
= = = = =2
3 4 6 3 + 4 + 6 13

Logo,

a
v =2⇒ a=6
3
b
v =2⇒ b=8
4
c
v = 2 ⇒ c = 12
6

NÚMEROS PROPORCIONAIS

NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

"Duas seqüências A e B de números reais, não nulos, são diretamente
proporcionais se, e somente se, a razão dos termos correspondentes são todas
iguais entre si".

Exemplo:

Sejam as seqüências: (2, 5, 6, 9) e (8, 20, 24, 36). Essas seqüências são
diretamente proporcionais porque:

2 5 6 9
= = = =k
8 20 24 36

1
O v alo r co m u m d as r az õ e s é k = , u m a co n st an te nã o nu la.
4

"K é denominado fator constante ou coeficiente de proporcionalidade".

1) Dada as seqüências proporcionais (3, 5, 7, y) e (6, 10, x, 8). Determine o
coeficiente de proporcionalidade e os valores de x e y.


Resolução:

3 5 7 y 1 1
Como: = = = = , logo o coeficiente de proporcionalidade é .
6 10 x 8 2 2

Então:
7 1
v = ⇒ x = 14
x 2

y 1
v = ⇒ 2y = 8 ⇒ y = 4
8 2

Resposta:
1
O valor de x é 14 e o valor de y é 4. O coeficiente de proporcionalidade é 2 .

NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

"Duas seqüências A e B de números reais são inversamente proporcionais,
quando o produto entre qualquer termo da primeira seqüência e seu
correspondente na segunda, é sempre uma constante k não nula".

Exemplo:

Sejam as seqüências: (20, 25, 40, 50) e (10, 8, 5, 4). Essas seqüências
apresentam números inversamente proporcionais porque o produto dos termos
correspondentes é sempre 200.
Observe: 20 ´ 10 = 200; 25 ´ 8 = 200; 40 ´ 5 = 200; 50 ´ 4 = 200.
O produto k = 200 denomina-se coeficiente de proporcionalidade.
Podemos escrever esses produtos, também, da seguinte forma:

20 25 40 50
= = = =k
1 1 1 1
10 8 5 4

1 1 1 1
, , ,
Logo 20, 25, 40, 50 são diretamente proporcionais aos números: 10 8 5 4

DIVISÃO PROPORCIONAL

DIVISÃO ENTRE AS PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Exemplo:


Vamos dividir o número 32 em parcelas que sejam diretamente proporcionais aos
números 3, 5, 8.

Resolução:
O problema consiste em encontrar três parcelas cuja soma seja 32, e que
sejam proporcionais aos números 3, 5, 8.
Chamamos essas parcelas de x, y e z temos:

x y z
x + y + z = 32 e = =
3 5 8

Pela propriedade da proporção:
x y z x + y + z 32
= = = = =2
3 5 8 3 + 5 + 8 16

substituindo os valores:
x
v =2⇒ x =6
3
y
v = 2 ⇒ y = 10
5
z
v = 2 ⇒ z = 16
8

2 3
1) Dividir 153 em partes diretamente proporcionais aos números 3 e 4.

Resolução:
Neste caso, o número 153 deve ser dividido em duas parcelas, x e y:
x y x+y 153 153 153 ⋅12
= = = = = = 9 × 12 ⇒ k = 108
2 3 2 3 8 + 9 17 17
+
3 4 3 4 12 12
Uma vez que encontramos o coeficiente de proporcionalidade:
x 2
= 108 ⇒ x = .108 ⇒ x = 72
2 3
3
y 3
v = 108 ⇒ y = 108 ⇒ y = 81
3 4
4

Resposta:
Os números procurados são 72 e 81.


DIVISÃO ENTRE AS PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Exemplo:
Vamos dividir o número 273 em partes inversamente proporcionais a
1 1 2
, e .
3 4 7
O problema consiste em encontrar três parcelas cuja soma seja 273, e que
1 1 2
, , .
sejam inversamente proporcionais aos números 3 4 7
Chamamos essas parcelas de x, y e z temos:

x y z
x + y + z = 273 e = =
3 4 7
2
note que invertemos os número, no denominador das razões. Pela propriedade da
proporção:
x y z x+y+z 273 273 273 ⋅2
= = = = = = ⇒ K = 26
3 4 7 7 14 + 7 21 21
3+4+
2 2 2 2

Substituindo os valores:

x
v = 26 ⇒ x = 78
3
y
v = 26 ⇒ y = 104
4
z 7
v = 26 ⇒ z = . 26 ⇒ z =
7 2
2
91
EXERCÍCIOS - PROPORÇÕES

x y
=
P1) Calcular x e y, na proporção 4 5 , sabendo que x + y = 45.

x y
=
P2) Calcular x e y, na proporção 5 3 , sabendo que x - y = 14.

x y z
= =
P3) Calcular x, y e z na proporção 2 3 4 sabendo que 2x + 3y + 4z = 58.


P4) Calcular x, y e z sabendo que 2xy = 3xz = 4yz e que x + y + z = 18.

P5) Determinar o coeficiente de proporcionalidade entre os seguintes grupos de
2 5 8 1
, , ,
números proporcionais: 14 35 56 7

P6) Verificar se as seguintes seqüências (45, 60, 75) e (3, 4, 5) são proporcionais.

P7) Achar x nas sucessões proporcionais (2, 8, 3) e (4, 16, x).

P8) A grandeza x é diretamente proporcional a y. Quando a grandeza y tem o valor
8, x tem o valor 40. Determinar o valor da grandeza x, quando y vale 10.

P9) Em 18 gramas de água, há 2 de hidrogênio e 16 de oxigênio; em 45 gramas de
água há 5 de hidrogênio e 40 de oxigênio. Verificar se há proporcionalidade entre
as massas de água e hidrogênio, água e oxigênio, hidrogênio e oxigênio. Em caso
afirmativo determinar os coeficientes de proporcionalidade.

P10) Dividir 180 em três partes, diretamente proporcionais a 3, 4 e 5.

P11) Três sócios querem dividir um lucro de R$ 13.500,00. Sabendo que
participaram da sociedade durante 3, 5 e 7 meses. Qual a parcela de lucro de cada
um?

P12) Um prêmio de R$ 152.000,00 será distribuído aos cinco participantes de um
jogo de futebol de salão, de forma inversamente proporcional às faltas cometidas
por cada jogador. Quanto caberá a cada um, se as faltas foram 1, 2, 2, 3 e 5?

P13) Distribuir o lucro de R$ 28.200,00 entre dois sócios de uma firma, sabendo
que o primeiro aplicou R$ 80.000,00 na sociedade durante 9 meses e que o
segundo aplicou R$ 20.000,00 durante 11 meses.

P14) Um comerciante deseja premiar, no primeiro dia útil de cada mês, os três
primeiros fregueses que chegarem ao seu estabelecimento com a quantia de R$
1 2
2 ,1
507.000,00 divididas em partes inversamente proporcionais a 4 3 e 1,2.
Nessas condições, qual o prêmio de menor valor a ser pago?

P15) Uma pessoa deseja repartir 135 balas para duas crianças, em partes que
sejam ao mesmo tempo diretamente proporcionais a 2/3 e 4/7 e inversamente
proporcionais a 4/3 e 2/21. Quantas balas cada criança receberá?

P16) Um pai distribuiu 284 bombons entre os filhos Hudson, Larissa e Carol, em
partes diretamente proporcionais à nota de Matemática e inversamente
proporcional a idade dos filhos. Calcule o número de bombons recebidos de
acordo com os dados:
Hudson: 10 anos e nota 7;


Larissa: 12 anos e nota 5;
Carol: 8 anos e nota 10.

GABARITO - PROPORÇÕES

P1) x = 20; y = 25

P2) x = 35; y = 21

P3) x = 4; y = 6; z = 8

P4) x = 8; y = 6; z = 4
1
P5) k =
7

P6) Sim, k = 15

P7) x = 6

P8) x = 50
2
P9) Sim, k =
5

P10) 45, 60, 75

P11) Sócio1: R$ 2.700,00; Sócio2: R$ 4.500,00; Sócio 3: R$6.300,00

P12) R$ 60.000,00; R$ 30.000,00; R$ 30.000,00; R$ 20.000,00; R$12.000,00

P13) R$ 21.600,00; R$6.600,00

P14) R$ 120.000,00

P15) 27 e 108

P16) Hudson: 84; Larissa: 50; Carol: 150.

SEQÜÊNCIA NUMÉRICA

Chama-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto
ordenado de números reais ou complexos. Assim, por exemplo, o
conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma seqüência cujo
primeiro termo é 3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e
assim sucessivamente.


Uma seqüência pode ser finita ou infinita.
O exemplo dado acima é de uma seqüência finita.
Já a seqüência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita.
Uma seqüência numérica pode ser representada genericamente na
forma:
(a1, a2, a3, ... , a k, ... , an, ...) onde a1 é o primeiro termo, a2 é o
segundo termo, ... , ak é o k-ésimo termo, ... , an é o n-ésimo termo.
(Neste caso, k < n).
Por exemplo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos
dizer que a3 = 18, a5 = 162, etc.
São de particular interesse, as seqüências cujos termos obedecem
a uma lei de formação, ou seja é possível escrever uma relação
matemática entre eles.
Assim, na seqüência Y acima, podemos observar que cada termo a
partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por 3.
A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona
entre si os termos da seqüência, é denominada termo geral.
Considere por exemplo a seqüência S cujo termo geral seja dado
por an = 3n + 5, onde n é um número natural não nulo.
Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo an (n -
ésimo termo) correspondente.
Assim por exemplo, para n = 20, teremos an = 3.20 + 5 = 65, e
portanto o vigésimo termo dessa seqüência (a 20) é igual a 65.
Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a
seqüência S que seria:
S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).

Dado o termo geral de uma seqüência, é sempre fácil determiná-la.
Seja por exemplo a seqüência de termo geral a n = n2 + 4n + 10, para n inteiro e
positivo.

Nestas condições, podemos concluir que a seqüência poderá ser escrita como:
(15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ).

Por exemplo:

a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.

PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)


Chama-se Progressão Aritmética - PA - à toda seqüência numérica
cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado
com um valor constante denominado razão.

Observe as seqüências numéricas abaixo:

I. (2, 4, 6, 8, ...)

II. (11, 31, 51, 71, ...)

III. (9, 6, 3, 0, ...)

IV. (3, 3, 3, 3, ...)

9 11
V. (4, 2 , 5, 2 , ...)

Note que de um número para outro está sendo somada uma constante,
podendo ser:

Um número positivo ⇒ Seqüências I e II
2 +2 =4
4 +2 =6

ou

11 + 20 = 31
31 + 20 = 51

Um número negativo ⇒ Seqüência III
9 + (-3) = 6
6 + (-3) = 3

O número Zero (elemento neutro da adição)
⇒ Seqüência IV
3 +0 =3
3 +0 =3

Uma fração ⇒ Seqüência V

As cinco seqüências numéricas são exemplos de Progressões Aritméticas
(P.A.) e a constante que em cada caso foi adicionada a um termo, é chamada de
razão (r) da progressão.


Definição: "Progressão Aritmética (P.A.) é uma seqüência numérica em que cada
termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado com um número fixo,
chamado razão da progressão. "

CLASSIFICAÇÕES

De acordo com a razão de uma P.A. podemos classifica-la da seguinte
forma:

a) se r > 0 (razão positiva) ⇒ P.A. crescente
Casos: I, II e V

b) se r < 0 (razão negativa) ⇒ P.A. decrescente
Caso: III

c) se r = 0 (razão nula) ⇒ P.A. constante
Casos: IV

TERMO GERAL

Seja a P.A. representada na forma matemática:

P.A.: (a 1 , a 2, a 3 , a 4 , ..., a n )

Encontraremos uma relação que nos auxiliará a obter um termo qualquer da P.A.
conhecendo-se apenas, o primeiro termo (a1) e a razão (r).

Da P.A. acima de razão "r" temos:

a2 = a1 + r
a3 = a2 + r ⇒ a3 = a1 + 2r
a4 = a3 + r ⇒ a4 = a1 + 3r
a5 = a4 + r ⇒ a5 = a1 + 4r
. .
. .
. .
an = an-1 + r ⇒ an = a1 + (n - 1) × r

PROPRIEDADES IMPORTANTES


Seja a P.A.:

TERMOS EQÜIDISTANTES

A soma dos termos eqüidistantes de uma P.A. é sempre constante:

TERMOS CONSECUTIVOS

Um termo é sempre obtido pela média aritmética dos "vizinhos", ou dos
eqüidistantes.


1) Encontre o 21º termo da P.A. (22, 27, 32, ...).

Resolução:

Sabemos que a 1 = 22 e r = 27 - 22 = 5

Utilizando a relação do termo geral escrevemos:
a21 = a1 + (21 - 1) r ⇒ a21 = 22 + 20 . 5
a21 = 122

2) Numa P.A. de razão 4, o quinto termo é 97. Qual a ordem do termo que é igual a
141?

Resolução:

Sabemos que a 5 = 97 e r = 4
a5= a1 + (5 - 1)r ⇒ 97 = a1 + 4 . 4 ⇔ a1 = 81⇒
an = a1 + (n - 1)r ⇒ 141 = 81 + (n - 1) . 4
n = 16

3) Sabendo que a seqüência (3y, y + 1, 5, ...) é uma P.A. Encontre a sua razão e o
primeiro termo dessa progressão.


Resolução:

Utilizando a propriedade de três termos consecutivos obtemos a seguinte
relação:

3y + 5
y+1= ⇒ 2(y+1) = 3y + 5
2

Resolvendo a equação do primeiro grau obtemos
y = -3

Logo a P.A. fica escrita (-9, -2, 5, ...)
e portanto a1 = -9 e r = -2 - (-9) = 7

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A.
Imagine se quiséssemos somar os cem primeiros números naturais, ou seja,
obteríamos a seguinte soma:

Seria a soma dos 100 primeiros termos da seguinte P.A.:

e portanto se somarmos seus termos eqüidistantes obteremos somas constantes,
fazendo uso desta propriedade poderemos escrever a soma dos 100 primeiros
termos da seguinte forma:

Observando que para somar todos esses termos foi necessário somar o
primeiro termo com o último, multiplicar pelo número de termos e dividir por dois.
Chegamos, portanto na relação da soma dos "n" primeiros termos de progressão
aritmética:



1) Determine a soma dos 20 primeiros termos da progressão aritmética (2, 5, 8, ...).

Resolução:

Temos a1 = 2 e r = 3
precisamos obter o a 20 ⇒ a20 = a1 + (20 - 1) . r
a20 = 2 + 19 . 3 ⇒ a20 = 59

Portanto
(2 + 59).20
S20 = ⇒ S20 = 61 . 10
2
S20 = 610

2) Um torneio de futebol é disputado em nove semanas. Na 1ª semana, há dois
jogos; na 2ª semana, cinco; na 3ª oito; e assim por diante. Quantos jogos, ao
todo, são disputados nesse torneio?

Resolução:

Observando a seqüência de jogos disputados durante as nove semanas
encontramos a seguinte P.A. de nove termos:
(2, 5, 8, ..., a9)
e portanto para sabermos quantos jogos serão realizados, no total, devemos
somar todos os termos, ou seja, todos os jogos disputados em cada semana:
a9 = a1 + 8.r ⇒ a9 = 2 + 8 . 3 ⇒ a9 = 26
()Τϕ .9/Φ6 14.813 /Φ6 1 0 0 1
a + a9 ()Τϕ.9 Τφ 14.906
2 + 26 Τφ 1 0 360.89 Τµ ()
154.5 0 1 244.5 360.89 Τµ
S9 = 1 ⇒ S9 = ⇒ S9 = 14 . 9
2 2
S9 = 126

Contudo serão realizados 126 jogos, nestas nove semanas de jogo.

EXERCÍCIOS - P.A.
P1) O trigésimo primeiro termo de uma P.A. de 1º termo igual a 2 e razão 3 é:

a) 63
b) 65
c) 92
d) 95
e) 102

P2) Sendo 47 o 17º termo de uma P.A. e 2,75 a razão, o valor do primeiro termo é:


a) -1
b) 1
c) 2
d) 0
e) 3

P3) Interpolando-se 7 termos aritméticos entre os números 10 e 98, obtém-se uma
progressão aritmética cujo quinto termo vale:

a) 45
b) 52
c) 54
d) 55
e)57

P4) Se os ângulos internos de um triângulo estão em P.A. e o menor deles é a
metade do maior, então o maior mede:

a) 60º
b) 80º
c) 70º
d) 50º
e) 40º

P5) Uma montadora de automóveis produz uma quantidade fixa de 5000 carros ao
mês e outra, no mesmo tempo, produz 600, para atender ao mercado interno. Em
janeiro de 1995 ambas as montadoras farão um contrato de exportação.
Mensalmente, a primeira e a segunda montadoras deverão aumentar ,
respectivamente, em 100 e 200 unidades. O número de meses necessários para
que as montadoras produzam a mesma quantidade de carros é:

a) 44
b) 45
c) 48
d) 50
e) 54

P6) Sabendo que a seqüência (1 - 3x, x - 2, 2x + 1, ...) é uma P.A., então o décimo
termo da P.A. (5 - 3x, x + 7, ...) é:

a) 2
b) 6
c) 5
d) 4
e) 3

P7) A soma dos vinte primeiros termos da P.A. (-13, -7, -1, ...) é:

a) 400
b) 480


c) 880
d) 800
e) 580

P8) O oitavo termo de uma P.A. é 89 e a sua razão vale 11. Determine a soma:

a) de seus oito primeiros termos;
b) de seus quinze primeiros termos.

P9) Um cinema possui 20 poltronas na primeira fila, 24 poltronas na segunda fila,
28 na terceira fila, 32 na quarta fila e as demais se compõem na mesma
seqüência. Quantas filas são necessárias para a casa ter 800 lugares?

P10) Um agricultor colhe laranjas durante doze dias da seguinte maneira: no 1º
dia, são colhidas dez dúzias; no 2º, 16 dúzias; no 3º, 22 dúzias; e assim por diante.
Quantas laranjas ele colherá ao final dos doze dias?

P11) Verificou-se que o número de pessoas que comparecia a determinado evento
aumentava, diariamente, segundo uma P.A. de razão 15. Sabe-se que no 1º dia
compareceram 56 pessoas e que o espetáculo foi visto, ao todo, por 707 pessoas.
Durante quantos dias o espetáculo ficou em cartas? (Dado: 94249 = 307.)

P12) Um estacionamento adota a seguinte regra de pagamento:
1ª hora: R$ 4,00
2ª hora: R$ 3,50
A partir daí, o preço das horas varia segundo uma P.A. de razão igual a -R$ 0,30

a) Qual o valor a ser cobrado na 8ª hora de permanência de um carro neste
estacionamento?
b) Quanto pagará um proprietário de um veículo estacionado por oito horas?

P13) A soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 100 e 200 é:

a) 5000
b) 3950
c) 4000
d) 4950
e) 4500

GABARITO - P.A.

P1) C
P2) E
P3) C
P4) B
P5) A
P6) D
P7) C


P8) a) 404 b) 1335
P9) 16 filas
P10) 6192 laranjas
P11) 7 dias
P12) a) R$ 1,40 b) R$ 21,15
P13) D

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
(P.G.)
Observe as seqüências numéricas abaixo:

I. (2 , 4 , 8 , 1 6 , ...)
II. (11 , 3 3 , 9 9 , 2 9 7 , ...)
1
III. (9, 3 , 1 , , ...)
3

IV . (3, 3 , 3 , 3 , ...)
V . (4, -8 , 1 6 , -3 2 , ...)

Note que de um número para outro está sendo multiplicada uma constante,
podendo ser:

Um número positivo ⇒ Seqüências I e II
2 ×2 =4
4 ×2 =8
ou
11 × 3 = 33
33 × 3 = 99

Uma fração ⇒ Seqüência III
1
9x 3 =3
1
3 x3 =1

O número 1 (elemento neutro da multiplicação) ⇒ Seqüência IV
3x 1=3
3x 1=3

Um número negativo ⇒ Seqüência V
4 x (-2) = -8
(-8) x (-2) = 16


As cinco seqüências numéricas são exemplos de Progressões Geométricas (P.G.)
e a constante que em cada caso foi multiplicada a um termo, é chamada de razão
(q) da progressão.

Definição: "Progressão Geométrica (P.G.) é uma seqüência numérica em que cada
termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo,
chamado razão da progressão. "

CLASSIFICAÇÕES
De acordo com a razão de uma P.A. podemos classifica-la da seguinte
forma:
a) se a1 > 0 e q > 1 (primeiro termo e razão positiva) ⇒ P.G. crescente
Casos: I e II
b) se a1 > 0 e 0 < q < 1 (primeiro termo positivo e razão entre 0 e 1) ⇒ P.G.
decrescente
Caso: III
c) se q = 1 (razão igual a 1) ⇒ P.G. constante
Casos: IV
d) se a1 ≠ 0 e q < 0 ⇒ P.G. alternante
Caso: V

TERMO GERAL

Seja a P.G. representada na forma matemática:

P .G . : ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ..., a n )

Encontraremos uma relação que nos auxiliará a obter um termo qualquer da P.G.
conhecendo-se apenas, o primeiro termo (a1) e a razão (q).

Da P.G. acima de razão "q" temos:

a2 = a1 × q
a3 = a2 × q ⇒ a 3 = a 1 × q2
a4 = a3 × q ⇒ a 4 = a 1 × q3
a5 = a4 × q ⇒ a 5 = a 1 × q4
. .
. .
. .
an = a n -1 × q ⇒ a n = a 1 × q (n - 1 )

PROPRIEDADES IMPORTANTES


Seja a P.G.:
(1, 3 , 9, 2 7, 8 1, 2 43 , 72 9)

TERMOS EQÜIDISTANTES

A produto dos termos eqüidistantes de uma P.G. é sempre constante:
2
1 × 7 2 9 = 3 × 2 4 3 = 9 × 8 1 = 2 7 × 2 7 = 2 7

TERMOS CONSECUTIVOS
Um termo é sempre obtido pela média geométrica dos "vizinhos", ou dos
eqüidistantes.

32 = 1 × 9 ; 272 = 9 × 81 ; 92 = 3 × 27

1) Calcule o quinto termo da P.G. (2, 6, 18, ...).

Resolução:

Sabemos que a 1 = 2 e q = 6 ÷ 2 = 3
Utilizando a relação do termo geral escrevemos:
a5 = a1 × q(5 - 1) ⇒ a5 = 2 × 34
a5 = 162

2) Sabendo que a seqüência (3, y + 2, 5y - 2, ...) é uma P.G. Encontre a sua razão e
o primeiro termo dessa progressão.

Resolução:

Utilizando a propriedade de três termos consecutivos obtemos a seguinte
relação:
(y + 2)2 = 3 .(5y - 2)
y2 + 4y + 4 = 15y - 6
y2 - 11y + 10 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau obtemos:


y = 10
a 1 = 3
P .G .: (3 , 1 2 , 4 8 , ...) 
q = 4
ou

y = 1
a 1 = 3
P .G .: (3 , 3 , 3 , ...) 
q =1

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G.
Para o cálculo da soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica,
usa-se a fórmula abaixo:

a 1 ⋅(1 − q n ) a 1 ⋅(q n - 1)
Sn = ou Sn =
1−q q-1


1) Determine a soma dos 8 primeiros termos da progressão geométrica (1, 3, 9,
...).

Resolução:

Temos a1 = 1 e q = 3
Portanto

S8 = 1 ⋅( 38 − 1)
( 3 − 1)
⇒ S8 = 6561 − 1
2

S 8 = 3 280
2) Determine a soma dos oito primeiros termos da P.G. (-1, 2, -4, 8, ...)

Resolução:

Da P.G. acima temos: a1 = -1 e q = 2 ÷ (-1) = -2
Utilizando a fórmula para o cálculo dos cem primeiros termos da P.G.:

− 1 ⋅ ()Τϕ1] /Φ6
S8 = [ −2 −
⇒ S8 = −− 3Τφ
15.25 255 1 0 0 1 257 192.89 Τµ
8

( −2 − 1)

S8 = 85


EXERCÍCIOS - P.G.

2 4
P1) Qual é o quinto termo da P.G. ( 9 , 3 , 8, ...)?
1
P2) O 4º. termo de uma P.G. é 250 e o 1º. termo é igual a 4. Qual é a razão dessa
P.G.?
2 2
P3) O 9º. termo de uma P.G. é 8 e a sua razão é 2 . Determine:
a) O primeiro termo;
b) o quarto termo.

P4) Qual é o décimo termo da P.G.: (20, 10, 5, ...)?

P5) Numa pequena cidade, um boato é espalhado da seguinte maneira: no 1º. dia,
5 pessoas ficam sabendo; no 2º., 15; no 3º., 45; e assim por diante. Quantas
pessoas ficam sabendo do boato no 10º. dia?

P6) Num cassino, são disputadas dez rodadas em uma noite. Na 1ª. rodada, o
valor do prêmio é R$2000,00. Caso os valores dos prêmios aumentem segundo
uma P.G., qual é o valor do prêmio na última rodada, se na 5ª. rodada ele for de
R$10 125,00?

P7) Calcule o valor de x, de modo que a seqüência (x - 4, 2x - 4, 4x + 4) seja uma
P.G.

P8) Calcule a soma dos sete primeiros termos da P.G. (4, -12, 36, ...).

P9) Numa P.G. de termos positivos, o 1º. termo é igual a 5 e o 7º. é 320. Calcule a
soma dos dez primeiros termos dessa P.G.

P10) Um indivíduo contraiu uma dívida e precisou pagá-la em oito prestações
assim determinadas: 1º. R$60,00; 2ª. R$90,00; 3ª. R$135,00; e assim por diante.
Qual o valor total da dívida?

P11) Numa cidade, 3100 jovens alistaram-se para o serviço militar. A junta militar
da cidade convocou, para exame médico, 3 jovens no primeiro dia, 6 no 2º. dia, 12
no 3º., e assim por diante. Quantos jovens ainda devem ser convocados para o
exame após o 10º. dia de convocações?

GABARITO - P.G.

P1) 288

1
P2) q = 10


P3) a) 2 2 b) 1

5
P4) 128

P5) 98 415

P6) R$ 76 886,72

P7) 8

P8) 2 188

P9) 5 115

P10) R$ 2 956,00, aproximadamente

P11) 31

SISTEMAS LINEARES
É um conjunto de m equações lineares de n incógnitas (x1, x2, x3, ... , xn ) do tipo:
a11 x1 + a12x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22x2 + a23 x3 + ... + a2n xn = b2
a31 x1 + a32x2 + a33 x3 + ... + a3n xn = b3
.................................................................
.................................................................
a m1 x1 + a m2 x2 + am3x3 + ... + a mn xn = bn

Exemplo:

3x + 2y - 5z = -8
4x - 3y + 2z = 4
7x + 2y - 3z = 2
0x + 0y + z = 3

Temos acima um sistema de 4 equações e 3 incógnitas (ou variáveis).

Os termos a11, a12, ... , a1n, ... , am1, am2, ..., amn são denominados coeficientes
e b1, b2, ... , bn são os termos independentes.


A ênupla (a 1, a 2 , a 3 , ... , a n ) será solução do sistema linear se e somente se
satisfizer simultaneamente a todas as m equações.

Exemplo:
O termo ordenado (2, 3, 1) é solução do sistema:

x + y + 2z = 7
3x + 2y - z = 11
x + 2z = 4
3x - y - z = 2
pois todas as equações são satisfeitas para x=2, y=3 e z=1.

Notas:
1 - Dois sistemas lineares são EQUIVALENTES quando possuem as mesmas
soluções.

Exemplo:

S1: 2x + 3y = 12
3x - 2y = 5

S2 : 5x - 2y = 11
6x + y = 20

Os sistemas lineares são equivalentes, pois ambos admitem o par ordenado (3,
como solução. Verifique!

2 - Se um sistema de equações possuir pelo menos uma solução, dizemos que ele
é POSSÍVEL ou COMPATÍVEL.

3 - Se um sistema de equações não possuir solução, dizemos que ele é
IMPOSSÍVEL ou INCOMPATÍVEL.

4 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui apenas uma solução,
dizemos que ele é DETERMINADO.

5 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui mais de uma solução,
dizemos que ele é INDETERMINADO.

6 - Se os termos independentes de todas as equações de um sistema linear forem
todos nulos, ou seja
b1 = b2 = b3 = ... = bn = 0, dizemos que temos um sistema linear HOMOGÊNEO.

Exemplo:

x + y + 2z = 0
2x - 3y + 5z = 0
5x - 2y + z = 0



1 -Se os sistemas
S1: x+y=1
x - 2y = -5

S2: ax - by = 5
ay - bx = -1
são equivalentes, então o valor de a2 + b2 é igual a:

a) 1
b) 4
c) 5
d) 9
e) 10

Resolução:

Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos
resolver o sistema S1 :
x +y =1
x - 2y = - 5

Subtraindo membro a membro, vem: x - x + y - (- 2y) = 1 - (- 5). Logo, 3y = 6 y = 2.

Portanto, como x+y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 x = -1.

O conjunto solução é portanto S = {(-1, 2)}.

Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do
sistema S2. Logo, substituindo em S2 os valores de x e y encontrados para o
sistema S1, vem:

a(-1) - b(2) = 5 ⇒ - a - 2b = 5
a(2) - b (-1) = -1 ⇒ 2 a + b = -1

Multiplicando ambos os membros da primeira equação (em azul) por 2, fica:
-2 a - 4b = 10

Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação (em
vermelho),
fica: -3b = 9 b = - 3

Substituindo o valor encontrado para b na equação acima, teremos:
2 a + (-3) = -1 a = 1.

Portanto, a2 + b2 = 12 + (-3)2 = 1 + 9 = 10.


Portanto a alternativa correta é a letra E.

2 - Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo,

2x - my = 10
3x + 5y = 8, seja impossível.

Resolução:

Teremos, expressando x em função de m, na primeira equação:
x = (10 + my) / 2

Substituindo o valor de x na segunda equação, vem:
3[(10+my) / 2] + 5y = 8

Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem:
3(10+my) + 10y = 16
30 + 3my + 10y = 16
(3m + 10)y = -14
y = -14 / (3m + 10)

Ora, para que não exista o valor de y e, em conseqüência não exista o valor de x,
deveremos ter o denominador igual a zero, já que , como sabemos, NÃO EXISTE
DIVISÃO POR ZERO.

Portanto, 3m + 10 = 0 , de onde conclui-se m = -10/3, para que o sistema seja
impossível, ou seja, não possua solução.

Agora, resolva e classifique os seguintes sistemas:

a) 2x + 5y .- ..z = 10
.............3y + 2z = ..9
.....................3z = 15

b) 3x - 4y = 13
.....6x - 8y = 26

c) 2x + 5y = 6
....8x + 20y = 18

Resposta:
a) sistema possível e determinado. S = {(25/3, -1/3, 5)}
b) sistema possível e indeterminado. Possui um número infinito de soluções.
c) sistema impossível. Não admite soluções

Método de eliminação de Gauss ou método do escalonamento
Karl Friedrich Gauss - astrônomo, matemático e físico alemão - 1777/1855.


O método de eliminação de Gauss para solução de sistemas de equações
lineares, também conhecido como escalonamento, baseia-se em três
transformações elementares, a saber:

T1 - um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de
duas equações quaisquer do sistema.

Exemplo:

Os sistemas de equações lineares

2x + 3y = 10
5x - 2y = 6
5x - 2y = 6
2x + 3y = 10
são obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto solução.

Observe que apenas mudamos a ordem de apresentação das equações.

T2 - um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os
membros de qualquer uma das equações do sistema, por um número real não
nulo.

Exemplo:
Os sistemas de equações lineares

3x + 2y - z = 5
2x + y + z = 7
x - 2y + 3z = 1
3x + 2y - z = 5
2x + y + z = 7
3x - 6y + 9z = 3
são obviamente equivalentes, pois a terceira equação foi multiplicada membro a
membro por 3.

T3- um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma
equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta
equação, com outra na qual foi aplicada a transformação T2.

Exemplo:
Os sistemas

15x - 3y = 22
5x + 2y = 32
15x - 3y = 22
...... - 9y = - 74
são obviamente equivalentes (ou seja, possuem o mesmo conjunto solução), pois
a segunda equação foi substituída pela adição da primeira equação, com a
segunda multiplicada por ( -3 ).


Vamos resolver, a título de exemplo, um sistema de equações lineares, pelo
método de Gauss ou escalonamento.

Seja o sistema de equações lineares:
. x + 3y - 2z = 3 .Equação 1
2x . - .y + z = 12 Equação 2
4x + 3y - 5z = 6 .Equação 3

Resolução:

1 - Aplicando a transformação T1, permutando as posições das equações 1 e 2,
vem:
2x .-...y + z = 12
x ..+ 3y - 2z = 3
4x + 3y - 5z = 6

2 - Multiplicando ambos os membros da equação 2, por (- 2) - uso da
transformação T2 - somando o resultado obtido com a equação 1 e substituindo a
equação 2 pelo resultado obtido - uso da transformação T3 - vem:

2x - ..y + z = 12
.....- 7y + 5z = 6
4x + 3y - 5z = 6

3 - Multiplicando ambos os membros da equação 1 por (-2), somando o resultado
obtido com a equação 3 e substituindo a equação 3 pela nova equação obtida,
vem:

2x - ..y + ..z = ...12
.....- 7y + 5z = ....6
........5y - 7z = - 18

4 - Multiplicando a segunda equação acima por 5 e a terceira por 7, vem:

2x -.....y + ....z =....12
.....- 35y +25z =... 30
.......35y - 49z = -126

5 - Somando a segunda equação acima com a terceira, e substituindo a terceira
pelo resultado obtido, vem:

2x - .....y + ....z = ..12
.....- 35y + 25z = ..30
...............- 24z = - 96

6 - Do sistema acima, tiramos imediatamente que: z = (-96) / (-24) = 4, ou seja, z =
4.

Como conhecemos agora o valor de z, fica fácil achar os valores das outras
incógnitas:


Teremos: - 35y + 25(4) = 30 y = 2.

Analogamente, substituindo os valores conhecidos de y e z na primeira equação
acima, fica:

2x - 2 + 4 = 12 x = 5.

Portanto, x = 5, y = 2 e z = 4, constitui a solução do sistema dado. Podemos então
escrever que o conjunto solução S do sistema dado, é o conjunto unitário
formado por um terno ordenado (5,2,4) :

S = { (5, 2, 4) }

Verificação:
Substituindo os valores de x, y e z no sistema original, teremos:

5 + 3(2) - 2(4) = 3
2(5) - (2) + (4) = 12
4(5) + 3(2) - 5(4) = 6
o que comprova que o terno ordenado (5,4,3) é solução do sistema dado.

Sobre a técnica de escalonamento utilizada para resolver o sistema dado,
podemos observar que o nosso objetivo era escrever o sistema na forma

ax + by + cz = k1
dy + ez = k 2
fz = k3
de modo a possibilitar achar o valor de z facilmente ( z = k3 / f ) e daí, por
substituição, determinar y e x. Este é o caminho comum para qualquer sistema.

É importante ressaltar que se em z = k 3 / f , tivermos:

a) f ¹ 0 , o sistema é possível e determinado.

b) f = 0 e k3 ¹ 0 , o sistema é impossível, ou seja, não possui solução, ou podemos

c) dizer também que o conjunto solução é vazio, ou seja: S = f .

d) f = 0 e k3 = 0 , o sistema é possível e indeterminado, isto é, possui um número
infinito de soluções.

Não podemos escrever uma regra geral para o escalonamento de um sistema de
equações lineares, a não ser recomendar a correta e oportuna aplicação das
transformações T1, T2 e T3 mostradas anteriormente.

Podemos entretanto observar que o método de escalonamento consiste
basicamente em eliminar a primeira incógnita a partir da segunda equação,


eliminar a segunda incógnita em todas as equações a partir da terceira e assim
sucessivamente, utilizando-se das transformações T1, T2 e T3 vistas acima.

A prática, entretanto, será o fator determinante para a obtenção dos bons e
esperados resultados.

Agora, resolva os seguintes sistemas lineares, usando a técnica de
escalonamento:

Sistema I : Resp: S = { (3, 5) }
4x - 2y = 2
2x + 3y = 21

Sistema II : Resp: S = { (-1, 2, 4) }
2 a + 5b + .3c = ...20
5 a + 3b - 10c = - 39
...a + ..b + ....c = .....5

Sistema III : Resp: S = { (2, 3, 5) }
..x + .y .- ..z = ...0
..x - 2y + 5z = 21
4x + .y + 4z = 31

Regra de Cramer para a solução de um sistema de equações
lineares com n equações e n incógnitas.
Gabriel Cramer - matemático suíço - 1704/1752.

Consideremos um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas,
na sua forma genérica:

a11x1 + a12x2 + a13x 3 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x 3 + ... + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x 3 + ... + a3nxn = b3
....................................................= ...
....................................................= ...
an1x1 + an2 x2 + a n3x3 + ... + annxn = b n

onde os coeficientes a11 , a12, ..., a nn são números reais ou complexos, os termos
independentes b1, b2, ... , bn , são números reais ou complexos e x1, x2, ... , x n
são as incógnitas do sistema nxn.

Seja D o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.


Seja D x i o determinante da matriz que se obtém do sistema dado, substituindo a
coluna dos coeficientes da incógnita x i ( i = 1, 2, 3, ... , n), pelos termos
independentes b1, b2, ... , bn.

A regra de Cramer diz que:

Os valores das incógnitas de um sistema linear de n equações e n incógnitas são
dados por frações cujo denominador é o determinante D dos coeficientes das
incógnitas e o numerador é o determinante D x i, ou seja:
xi = D x i / D

Exemplo:

Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer:

x + 3y - 2z = 3
2x - y + z = 12
4x + 3y - 5z = 6

Teremos:


Portanto, pela regra de Cramer, teremos:

x1 = D x1 / D = 120 / 24 = 5
x2 = D x2 / D = 48 / 24 = 2
x3 = D x3 / D = 96 / 24 = 4

Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = { (5, 2, 4) }.

Agora, resolva este:

2 x + 5y + 3z = 20
5 x + 3y - 10z = - 39
x +y +z =5

Resp: S = { (-1, 2, 4) }

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES- 1º e 2º GRAUS

EQUAÇÃO DO 1º. GRAU

Observe as sentenças abaixo:
1º) 2 x 3 + 5 = 11
2º) 2 x 4 + 5 = 11


3º) 2 x x + 5 = 11

A sentença 1 é verdadeira pois verificamos a igualdade
A 2 é uma sentença falsa pois 2 x 4 + 5 = 13.
Com relação a sentença 3 ela será uma sentença aberta pois não sabemos que valor que o
x poderá assumir; que inclusive essa sentença é um caso particular de equação do 1O.
grau.

RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO 1O . GRAU

Exemplo1:
Resolva, em IR, a equação 2(x - 3) = x - 3.

Resolução :
Aplicando a propriedade distributiva no primeiro membro da igualdade temos:
2x - 6 = x - 3 ⇒ 2x - x = 6 - 3 ⇒ x = 3

Resolvendo
x x 5 x − 2x −60
− = −6 ⇒ = ⇒ 5x − 2x = −60 ⇒ 3x = −60 ⇒ x = −20
2 5 10 10

Resposta: O número real é o - 20.

02) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são
esses?

Resolução:
x + (x + 1) + (x + 2) = 393
3x + 3 = 393
3x = 390
x = 130
Então, os números procurados são: 130, 131 e 132.

03) Resolva as equações a seguir:

a)18x - 43 = 65

b) 23x - 16 = 14 - 17x

c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20

d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12

e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4

f) 4x (x + 6) - x2 = 5x2

Resolução:

(a)
18x = 65 + 43
18x = 108
x = 108/18
x=6
(b)
23x = 14 - 17x + 16
23x + 17x = 30
40x = 30
x = 30/40 = 3/4
(c)
10y - 5 - 5y = 6y - 6 -20
5y - 6y = -26 + 5
-y = -21
y = 21
(d)


x² + 4x + x² + 2x = 2x² + 12
2x² + 6x = 2x² + 12
Diminuindo 2x² em ambos os lados:
6x = 12
x = 12/6 = 2

(e)
[2(x - 5) + 4(1 - 2x)] / 20 = 5 (3 - x) / 20
2x - 10 + 4 - 8x = 15 - 5x
-6x - 6 = 15 - 5x
-6x + 5x = 15 + 6
-x = 21
x = -21

(f)
4x² + 24x - x² = 5x²
4x² - x² - 5x² = -24x
-2x² = -24x
Dividindo por x em ambos os lados:
-2x = - 24
x = 24/2 = 12

04) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam
iguais.

Resolução:
(3a + 6) / 8 = (2a + 10) / 6
6 (3a + 6) = 8 (2a + 10)
18a + 36 = 16a + 80
2a = 44
a = 44/2 = 22

05) Resolver as seguintes equações (na incógnita x):

a) 5/x - 2 = 1/4 (x 0)

b) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc

Resolução:

(a)
(20 - 8x) / 4x = x/4x
20 - 8x = x
-8x = x - 20
-8x - x = -20
-9x = -20
x = 20/9

(b)


3bx = 7bx + 3bc - 6bc
3bx - 7bx = -3bc
-4bx = -3 bc
x = (3bc/4b)
x = 3c/4

INEQUAÇÃO DO 1º. GRAU

A resolução de inequações do 1º. grau é análoga a resoluções de equações do 1º. grau,
observe:

Inequação: 4(x + 1) − 5 ≤ 2x + 6

4(x + 1) − 5 ≤ 2x + 6
4x + 4 − 5 ≤ 2x + 6
4x − 2x ≤ 6 − 4 + 5
2x ≤ 7
7
x≤
2
7
S = {x ∈ IR / x ≤ }
2


x +1
R3) Obtenha o conjunto domínio da função representada por f(x) = 1 − 2x .

Resolução :
Para obter o domínio de uma função basta verificar quando ela vai existir, ou seja, neste
caso, temos uma raiz quadrada, então devemos impor que o radicando seja não negativo,
isto é:

x +1
≥0
1 − 2x

Obtemos uma inequação do tipo quociente, para a resolução da mesma devemos estudar
o sinal do numerador e denominador:

Estudo do sinal do numerador

x + 1 = 0 ⇒ x = −1


+
_ −1

Estudo do sinal do denominador

1
1 − 2x = 0 ⇒ 2x = 1 ⇒ x =
2

+
1 _
2

O próximo passo é estudar o sinal do quociente entre as duas funções e paratanto
faremos uso do "quadro de sinais":

Quadro de Sinais

1
−1 2
f(x ) = x + 1

g (x ) = 1 – 2 x

f(x)
g(x)

Assim o domínio da função é:

1
D = { x ∈ IR / −1 ≤ x < }
2

EXERCÍCIOS - FUNÇÃO DO 1O.GRAU

P1) Uma empresa aérea vai vender passagem para um grupo de 100 pessoas. A empresa
cobrará do grupo 2 000 dólares por cada passageiro embarcado, mais 400 dólares por
cada passageiro que não embarcar. Pergunta-se:


a) Qual a relação entre a quantidade de dinheiro arrecadado pela empresa e número de
passageiros embarcados?
b) Quanto arrecadará a empresa se só viajarem 50 passageiros?
c) Quantos passageiros viajarão se a empresa só conseguir arrecadar 96 000 dólares?

P2) Um padeiro fabrica 300 pães por hora. Considerando esse dado, pede-se:
a) a função que representa o número de pães fabricados (p) em função do tempo (t);
b) quantos pães são fabricados em 3 horas e 30 minutos?

P3) Um motorista de táxi, em uma determinada localidade, cobra uma quantia mínima fixa
de cada passageiro, independentemente da distância a ser percorrida, mais uma certa
quantia, também fixa, por quilômetro rodado. Um passageiro foi transportado por 30km e
pagou R$32,00. Um outro passageiro foi transportado por 25km e pagou R$27,00. Calcule
o valor de reais cobrado por quilômetro rodado.

P4) Uma função f afim é tal que f(-1) = 3 e f(1) = 1. Determine o valor de f(3).

P5) Resolva, em IR, as seguintes inequações:
a) 3x - 4 ≤ x + 5 b) 19 - 17x < -4 + x
c) 5 - 3x > 7 - 11x d) 3 - x ≤ -1 + x

P6) Resolva, em IR, as inequações:

2x + 1 3x − 2 3 − 4x
a) >0 b) <0 c) ≥0
x +2 3 − 2x 5x + 1

P7) O gráfico abaixo representa a de IR em IR dada por f(x) = ax + b (a, b ∈ IR). De acordo
com o gráfico, conclui-se que

y

x

a) a < 0 e b >0
b) a < 0 e b <0
c) a > 0 e b >0
d) a > 0 e b <0
e) a > 0 e b =0

P8) O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos pontos (-1, 3) e (2, 7). O valor de m é:


4 5
a) b) c) 1 d) 2 e) 3
3 3

P9) Numa escola é adotado o seguinte critério: a nota da primeira prova é multiplicada por
1, a nota da segunda prova é multiplicada por 2 e a nota da terceira prova é multiplicada
por 3. Os resultados, após somados, são divididos por 6. Se a média obtida por este
critério for maior ou igual a 6,5 o aluno é dispensado das atividades de recuperação.
Suponha que um aluno tenha tirado 6,3 na primeira prova e 4,5 na segunda prova. Quanto
precisará tirar na terceira prova para ser dispensado da recuperação?

GABARITO - FUNÇÃO DO 1O .GRAU

P1)
a) Sendo x a quantidade de passageiros embarcados e Q a quantidade de dinheiro
arrecadado, temos Q = 1600x + 40 000.
b) 120 000 dólares
c) 35 passageiros

P2)
a) p = 300 t
b) 1050 pães

P3) R$ 1,00

P4) -1

P5)
9 23
a) S = {x ∈ IR | x ≤ 2 } b) S = {x ∈ IR | x > 18 }
1
c) S = {x ∈ IR |x > 4 } d) S = {x ∈ IR |x ≥ 2}

P6)
1
−
a) S = {x ∈ IR | x < - 2 ou x > 2}
2 3
b) S = {x ∈ IR | x < 3 ou x > 2 }

1 3
−
c) S = {x ∈ IR | 5 <x≤ 4}

P7) A

P8) A

P9) No mínimo 7,9

EQUAÇÃO DO 2O. GRAU


Definição: "É toda sentença aberta, em x, redutível ao tipo ax2 + bx + c = 0,
com a ∈ IR*, b ∈ IR e c ∈ IR."

RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO 2º. GRAU

1O. CASO ⇒ b = 0 e c ≠ 0

Exemplo1: 2x2 - 8 = 0
Resolução análoga à resolução de uma equação do 1O . grau, observe:
2x2 − 8 = 0 ⇒ 2x2 = 8 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = ± 4 ⇒ x = ± 2

S = {2; -2}

2O. CASO ⇒ b ≠ 0 e c = 0

Exemplo2: x2 - 4x = 0
Utilizando a fatoração:
 x =0
x2 − 4x = 0 ⇒ x(x − 4) = 0 
 ou ⇒ x = 0 ou x = 4
x − 4 = 0

S = {0; 4}

CASO GERAL - "FÓRMULA DE BHASKARA"

−b± Ä
x= ⇒ ∆ = b 2 − 4.a.c
2 ⋅a

Exemplo3: x2 - 5x + 6 = 0
Para a resolução desta equação utilizaremos a fórmula de Bhaskara e paratanto vamos
retirar os coeficientes da equação:
a =1
x − 5x + 6 =
2
0 b = −5

c = 6


substituindo...


∆= b 2 – 4ac⇒ ∆= (−5) 2 − 4.1.6⇒ ∆ = 25 − 24 ⇒ ∆ = 1
− ()Τϕ 1
− 5 ± /Φ6 13.188 Τφ 1 0 0 1 227 693.89 Τµ ()
x = −b ± ∆ ⇒ x =
2 ⋅a 2 ⋅1
 5 +1 6
x = = =3
5 ±1 
x=  2 2 ⇒ S = {2; 3}
2 x = 5 − 1 = 4 = 2
 2 2

Observação:
Sendo S o conjunto-solução de uma equação do 2O. grau do tipo ax2 + bx + c = 0, conclui-
se que:
− b + ∆ − b − ∆ 
v ∆>0⇒ S= 
 ;



 2a 2a 

⇒ Duas raízes reais e distintas
− b 
v ∆=0⇒ S=  
 2a 
⇒ Uma raiz real ou duas raízes idênticas
v ∆<0⇒ S=∅
⇒ Não há solução real


R1) Do quadrado de um número real vamos subtrair o quádruplo do mesmo número. O resultado
encontrado é 60. Qual é esse número?

Resolução :
quadrado do número: x2
quádruplo do número: 4x
Equação: x2 − 4x = 60
Normalizada: x2 − 4x − 60 = 0
Resolvendo com o auxílio da fórmula de Bhaskara, obteremos como solução 10 e −6, logo o
número real descrito poderá ser o 10 ou o −6.

R2) Determine os valores de m para que a função quadrática f(x) = x2 + (3m + 2)x + (m2 + m +
2) tenha um zero real duplo.

Resolução :
Ter um zero real duplo significa que a equação tenha duas raízes reais e idênticas, ou seja, ∆ =
0, logo:
b2 - 4ac = 0 ⇒ (3m + 2)2 − 4.1.(m2 + m +2) = 0
Desenvolvendo o quadrado perfeito e aplicando a propriedade distributiva
9m2 + 12m + 4 − 4m2 − 4m − 8 = 0
5m2 + 8m − 4 = 0
com o auxílio da fórmula de Bhaskara


2
m = −2 ou m =
5

INEQUAÇÕES DO 2O . GRAU
Vamos aplicar o estudo do sinal de uma função quadrática na resolução de
inequações.
Utilizaremos como exemplo o item a do exercício R1:
y = x2 − 3x − 10
Uma inequação que podemos formar:
x2 − 3x − 10 > 0
Para a resolução desta inequação basta considerarmos o estudo do sinal para a y > 0, ou
seja:
S = {x ∈ IR / x < −2 ou x > 5}
Geometricamente:

+ +
−2 _ _ 5

Observações:
v Se tivéssemos uma inequação do tipo x2 − 3x − 10 ≥ 0, a solução seria S = {x ∈ IR / x ≤ −2
ou x ≥ 5} e o esboço ficaria da seguinte forma:

+ +
−2 _ _ 5

Agora os valores −2 e 5 pertencem à solução da inequação e por isso representamos no
eixo com uma "bolinha" fechada diferentemente da inequação anterior.
v Não há necessidade do eixo y na representação do esboço.

EXERCÍCIOS - FUNÇÃO DO 2O. GRAU

P1) Considere a função y = −x2 + 2x + 3.
a) Determine o ponto onde a parábola que representa a função corta o eixo dos y.
b) Verifique se a parábola que representa a função corta o eixo dos x; em caso afirmativo,
determine as coordenadas dos pontos onde isso acontece.
c) Determine as coordenadas do vértice da parábola que representa a função.
d) Desenhe o gráfico da função.


P2) A soma de dois números é 207. O maior deles supera o menor em 33 unidades. Quais
são os dois números?

P3) A soma de um número real com o seu quadrado dá 30. Qual é esse número?

P4) Do quadrado de um número real vamos subtrair o quádruplo do mesmo número. O
resultado encontrado é 60. Qual é esse número?

P5) Sabe-se que Junior tem 5 anos a mais que Hudson e que o quadrado da idade de
Junior está para o quadrado da idade da idade de Hudson assim como 9 está para 4. Qual
é a idade de Junior e qual a idade de Hudson?

P6) A diferença entre o quadrado e o triplo de um número real é igual a 4. Qual é esse
número?

P7) O produto de um número inteiro positivo pelo seu consecutivo é 20. Qual é esse
número?

P8) A medida da base de um triângulo é de x cm. A altura mede (x + 2) cm. Ache essas
medidas, sabendo que a área desse triângulo é igual a 12 cm2 .

P9) A classe de Flávio Betiol vai fazer uma excursão ao Rio de Janeiro, para comemorar a
formatura da 8ª série. A despesa total seria de R$3.600,00. Como 6 alunos não poderão ir
ao passeio, a parte de cada um aumentou em R$ 20,00. Quantos alunos estudam na classe
de Flávio Betiol?

P10) O quadrado de um número estritamente positivo adicionado com o seu dobro é igual
ao quadrado do seu triplo. Qual é esse número?

P11) A metade de um número positivo somado com o dobro do seu quadrado é igual ao
quádruplo do número. Qual é o número?

P12) O quadrado da idade de Reinivaldo menos o quíntuplo de sua idade é igual a 104.
Qual é a idade de Reinivaldo?

P13) Subtraímos 3 do quadrado de um número. Em seguida, calculamos a soma de 7 com
o triplo desse mesmo número. Nos dois casos, obtemos o mesmo resultado. Qual é esse
número, se ele é um número natural?

P14) Resolva, em IR, as inequações:
a) x2 − 3x + 2 > 0
b)−x2 + x + 6 > 0
c) x2 − 4 = 0
d)−3x2 − 8x + 3 ≤ 0
e)−2x2 + 3x > 0
f) x2 + 10x > 0

GABARITO - FUNÇÃO DO 2O .GRAU


P1) a) y = 3 b) x1 = −1 ou x2 = 3
c) xv = 1 e yv = 4 d) Gráfico: a < 0 e ∆ > 0

P2) O número menor é 87, o maior é 120.

P3) O número procurado é 5 ou - 6

P4) O número procurado é 10 ou - 6

P5) -2 não convém pois pede-se idades ⇒
Hudson = 10 anos e Junior = 15 anos

P6) 4 ou -1

P7) 4

P8) base = 4cm e altura = 6cm

P9) 36 alunos

P10) 1

P11) 7/4

P12) 13 anos

P13) 5

P 1 4 ) a) S = { x ∈ IR / x < 1 o u x > 2 }
b ) S = { x ∈ I R / −2 < x < 3 }
c) S = { x ∈ IR / x < − 2 o u x > 2 }
1
d ) S = { x ∈ IR / x ≤ − 3 o u x ≥ }
3

e) S = { x ∈ IR / 0 < x < 3 }
2
f) S = { x ∈ I R / x < −1 0 o u x > 0 }

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Regra:
a x1 = a x2 ⇔ x 1 = x 2


Exemplo1: Vamos resolver a seguinte equação exponencial:

2x = 128 ⇒ fatorando o segundo membro ⇒ 2x = 27

x x 7
2a.) 1  > 1
  ⇒   >  ⇒ x<7
1
 
1
 
2  128 2  2 

c) S = {x ∈ IR / x < 4} d) S = { x ∈ IR / x ≤ −3}

8
e) S = {x ∈ IR / x ≤ −6} f) S = {x ∈ IR / x ≤− }
3
3
g) S = {x ∈ IR / x ≥ }
2

FUNÇÕES
INTRODUÇÃO
Uma determinada gráfica imprime apostilas para concursos públicos. O
custo de cada apostila varia em função da quantidade de páginas a serem
impressas. Vamos supor que cada página tenha o custo de R$ 0,07 e para cada
apostila confeccionada ainda há um custo fixo de R$ 5,00 relacionado com a
capa, plastificação etc. Observe a tabela abaixo que relaciona o preço de cada
apostila montada em função da quantidade de páginas impressas:

Páginas Preço
50 R$ 8,50
70 R$ 9,90
100 R$ 12,00
200 R$ 19,00

É impossível até estabelecermos uma fórmula que relacione a quantidade de
páginas impressas (x) e o preço (y) de cada apostila:

y = 0,07x + 5

Este é um exemplo de função, observe que para cada valor de x encontramos
um único valor de y, podemos dizer então que y é função de x, isto é, y está em
função de x, e outra forma de escrevermos a mesma fórmula é:

f(x) = 0,07x + 5

Se uma pessoa interessada em editar suas apostilas nesta gráfica quisesse saber
o quanto deveria desembolsar para confeccionar uma apostila com 300 páginas,
ela poderia simplesmente substituir x = 300, na expressão acima:

f(300) = 0,07 .300 + 5 = 21 + 5 = 26

Logo, o valor que iria desembolsar seria de R$ 26,00 por apostila impressa.

DEFINIÇÃO


Seja f uma relação entre dois conjuntos A e B, diz-se que f é uma função de A em
B e indica-se por f: A → B, se e somente se para cada elemento de x ∈ A exista
um único elemento y ∈ B.

f

x1 y1

A B
O conjunto A é chamado de domínio da função e o conjunto B é chamado de
contra-domínio e os elementos de B que estão relacionados com os de A fazem
parte do conjunto imagem da função.

RECONHECENDO UMA FUNÇÃO

PELOS DIAGRAMAS

Exemplo1:

Observe as relações abaixo entre os conjuntos A e B dizendo em cada item se
são ou não função, em caso afirmativo, encontre o seu domínio (Df), contra-
domínio (CDf) e conjunto imagem (Imf ) das funções identificadas.

a)

A B

0• •0
•5
• 10
1• • 20

Esta relação é uma função, pois cada elemento de A está
relacionado com apenas um de B.

v Df = {0, 1}
v CDf = {0, 5, 10, 20}
v Imf = {0, 5}

b)


A B
•0
0• •2
1• •4
2• •6
3• •8
•10
Esta relação não é uma função, pois existe um elemento de
A que não se relaciona com nenhum de B.

c)
A B
•1
-1 • •2
-2 • •3
2• •6
1• •7
•8
Esta relação é uma função, pois cada elemento de A está
relacionado com apenas um de B, e não existe nenhuma
elemento de A sobrando.

v Df = {-1, -2, 2, 1}
v CDf = {1, 2, 3, 6, 7}
v Im f = {1, 7}

d)
A B
•-1
0•
•0
2•
•1

Esta relação não é uma função, pois existe um elemento de
A que se relaciona com dois de B.

Observação:
Repare que podemos ter um elemento do contra-domínio relacionado com dois
do domínio, e ainda, pode haver sobras de elementos no contra-domínio.


PELOS GRÁFICOS

Exemplo2:
Identifique quais dos gráficos abaixo representam funções, em caso
afirmativo determine o Domínio e a Imagem de cada uma das funções
identificadas.

a)
y

6

−3 0 3 x

−5
Este gráfico representa uma função, as retas verticais
pontilhadas "cortam" o gráfico em apenas um ponto.
Logo, cada elemento x estará relacionado com apenas um y.

v Df = {x ∈ IR / −3 ≤ x ≤ 3} ⇒ Eixo x
v Imf = {y ∈ IR / −5 ≤ y ≤ 6} ⇒ Eixo y

b)
y

4

−1 0 7 x
−3

Este gráfico não representa uma função, pois observe que as retas
pontilhadas "cortam" em mais de um ponto o gráfico.

c)
y
1
−2 3

x
−6 8

−7

Este gráfico representa uma função, as retas verticais pontilhadas "cortam" o
gráfico em apenas um ponto.
Logo, cada elemento x estará relacionado com apenas um y.
v Df = {x ∈ IR / -2 < x ≤ 8} ⇒ Eixo x
v Imf = {y ∈ IR / −7 ≤ y ≤ 1} ⇒ Eixo y



1 ) Se f(x) = 2x + 3x2 - 7x, encontre o valor de:

f(0) - f(1) + f(2)
Resolução:

v f(0) = 20 + 3(0)2 - 7(0) = 1
v f(1) = 21 + 3. (1)2 - 7.(1) = 2 + 3 - 7 = -2
v f(2) = 22 + 3.22 - 7.2 = 4 + 12 - 14 = 2

Logo: f(0) - f(1) + f(2) = 1 - (-2) + 2 = 5

2 ) Um pedreiro vai ladrilhar uma sala de 3m ´ 3m com ladrilhos quadrados, todos
iguais entre si. Se ele pode escolher ladrilhos com lados iguais a 10cm, 12cm,
15cm, 20cm, 25cm e 30cm, qual é o número de ladrilhos que usará em cada caso?

Resolução:
Para sabermos a quantidade de ladrilhos que serão utilizados, basta dividir a área
total da sala pela área de um ladrilho, portanto podemos chegar na seguinte
função que relaciona a quantidade de ladrilhos (y) em função da dimensão (x) de
cada ladrilho:

ST 3 ⋅3 9 9
y= = 2 = 2 ⇒ y= 2
SL x x x

É importante ressaltar que a área de cada ladrilho deve estar em m 2, isto é, a
dimensão x deve ser dada em metros.
Observe a tabela que relaciona cada ladrilho com a quantidade necessária para cobrir a sala:

x (m) 0,10 0,12 0,15 0,20 0,25 0,30
Y 900 625 400 225 144 100

EXERCÍCIOS - FUNÇÕES
P1) A tabela abaixo indica o custo de produção de certo número de peças de
automóvel:

Peças custos
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
6 36


Observando a tabela responda:

a) Qual é o custo da produção de 3 peças?
b) Qual é o número de peças produzidas com R$ 25,00?
c) Qual a lei que representa o custo c da produção em função do número de
peças n?
d) Com relação ao item anterior, qual o número máximo de peças produzidas com
R$ 1 000,00?

P2) O número y de pessoas (em milhares) que tomam conhecimento do resultado

de um jogo de futebol, após x horas em sua realização, é dado por y = 10 x .
Responda:
a) Quantas pessoas já sabem o resultado do jogo após 4 horas?
b) Quantas pessoas já sabem o resultado do jogo em 1 dia?
c) Após quantas horas de sua realização, 30 mil pessoas tomam conhecimento do
resultado do jogo?

P3) A velocidade média de um automóvel em uma estrada é de 90km/h.
Responda:
a) Qual é a distância percorrida pelo automóvel em 1hora? E em 2 horas?
b) Em quanto tempo o automóvel percorre a distância de 360 km?
c) Qual é a expressão matemática que relaciona a distância percorrida (d) em
função do tempo (t)? (d em quilômetros e t em horas)

P4) Um professor propõe à sua turma de 40 alunos um exercício-desafio,
comprometendo-se a dividir um prêmio de R$ 120,00 entre os acertadores. Sejam
x o número de acertadores (x = 1, 2, 3, .., 40) e y a quantia recebida por cada
acertador (em reais). Responda:
a) y é função de x? Por quê?
b) Quais os valores de y para x = 2, x = 8, x = 20 e x = 25?
c) Qual é o valor máximo que y assume?
d) Qual é a lei de correspondência entre x e y?

P5) Qual é a notação de cada uma das seguintes funções de IR em IR?
a) f associa cada número real ao seu dobro.
b) g associa cada número real ao seu quadrado.
c) h associa cada número real ao seu triplo menos 1.

P6) Qual é a notação de cada uma das seguintes funções?
a) f é a função de IR* em IR* que associa cada número real ao seu inverso.
b) g é a função de IN em IN que associa cada número natural ao quadrado de seu
sucessor.

P7) Sendo f uma função de Z em Z definida por f(x) = 2x + 3. Calcule:
a) f(0) b) f(1) c) f(-2)

P8) Seja f: IR → IR definida por f(x) = x2 - 5x + 4. Calcule:
a) f(1) b) f(2) c) f(-1)


P9) Seja f: IR → IR definida por f(x) = x2 - 3x + 4. Calcule:
1 
a) f   b) f( 3 ) c) f(1 − 2 ) d) f(2p)
2 

P10) Os diagramas de flechas dados representam relações binárias. Pede-se, para
cada uma:
a) dizer se é ou não uma função;
b) em caso afirmativo, determinar o domínio, o contradomínio e o conjunto-
imagem da mesma.

I-)

1• •5
2• •6
3• •7
4• •8

II-)

1• •9
3• • 10
• 11
4• • 12

III-)

1• •1
2• •4 •5
•2
3• •3

IV-)

1• •1
2•
3• •2

V-)


1•
2• •0
3•

VI-)

•1
1• •2

•3

P 11) Observe os gráficos abaixo:

y y

x x

y y

x x

y

x

Podemos afirmar que:
a) todos os gráficos representam funções;
b) os gráficos I, III e IV representam funções;
c) apenas o gráfico V não representa uma função;
d) os gráficos I, II, III e IV representam funções;
e) apenas o gráfico II não representa função.

P12) As funções f e g são dadas por:


3 4
v f(x) = x − 1 e g(x) = x + a
5 3

1 1 
Sabe-se que f(0)− g(0) = .O valor de f(3) − 3.g  é:
3 5 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

P13) A função y = f(x) é representada graficamente por:

y
4

2

−2 0 2 4 x

Através da análise do gráfico, encontre:
a) Domínio da função (Df );
b) Imagem da função (Imf );
c) f(3);
d) o valor de x tal que a função seja nula.

P14) Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x + 1) = f(x) + f(1) qualquer
que seja o valor da variável x. Sabendo-se que f(2) = 1, pode-se concluir que f(3) é
igual a:

1 1 3 5
a) b) c) d) 2 e)
4 2 2 2

GABARITO - FUNÇÕES

P1) a) R$ 9,00 b) 5 c) c = n2 d) 31

P2) a) 20 mil b) 48 989 c) 9 horas

P3) a) 90 km; 180 km b) 4 horas c) d = 90t

P4) a) Sim, pois a cada valor de x corresponde um único valor de y.
b) x = 2 → y = 60, x = 8 → y = 15, x = 20 → y = 6
x = 20 → y = 6 e x = 25 → y = 4,8


120
c) 120 d) y =
x

P5) a) f: IR → IR
f(x) = 2x
b) g: IR → IR
g(x) = x2
a) h: IR → IR
h(x) = 3x − 1
P6) a) f: IR* → IR
1
f(x) =
x
b) g: IN → IN
g(x) = (x + 1)2
P7) a) 3 b) 5 c) −1

P8) a) 0 b) −2 c) 10
P9)
11
a) b) 7 − 3 3 c) 2 + 4
4
d) 4p2 − 6p + 4

P10) I-) Não é função II-) Não é função
III-) é função: Df = {1, 2, 3}
CDf = {1, 2, 3, 4, 5}
Imf = {1, 2, 3}
IV-) é função: Df = {1, 2, 3}, CDf = {1, 2},
Imf = {1, 2}
V-) é função: Df = {1, 2, 3}, CDf = {0}
Imf = {0}
VI) Não é função.

P11) B

P12) E

P13) a) Df = {x ∈ IR / −2 < x ≤ 4}
b) Imf = {y ∈ IR / 0 < x < 4}
c) f(3) = 4
d) x = 0

P14) C


FUNÇÃO DO 1o . GRAU
INTRODUÇÃO

Larissa toma um táxi comum que cobra R$ 2,60 pela bandeirada e R$ 0,65 por
quilômetro rodado. Ela quer ir à casa do namorado que fica a 10 km de onde ela
está. Quanto Larissa vai gastar de táxi?
Ela terá que pagar 10 × R$ 0,65 pela distância percorrida e mais R$ 2,60 pela
bandeirada, ou seja 6,50 + 2,60 = R$ 9,10.
Se a casa de seu namorado ficasse a 17 km dali, o preço da corrida (em reais)
seria:
0,65 × 17 + 2,60 = 13,65

Enfim, para cada distância x percorrida pelo táxi há um certo preço
p(x) em função de x:

p(x) = 0,65x + 2,60

que é um caso particular de função polinomial do 1º. grau, ou função afim.

DEFINIÇÃO

"Toda função polinomial representada pela fórmula matemática
f(x) = a.x + b ou y = a.x + b, com a ∈ IR, b ∈ IR e a ≠ 0, definida para todo real, é
denominada função do 1º grau."

Na sentença matemática y = a.x + b, as letras x e y representam as
variáveis, enquanto a e b são denominadas coeficientes.

Assim são funções do 1º grau:
f(x) = 2.x +3 (a = 2 e b = 3)
y = -3.x (a = -3 e b = 0)

Observações:

1º.) No caso de a ≠ 0 e b ≠ 0, a função polinomial do 1º grau recebe o nome de
função afim.
2º.) No caso de a ≠ 0 e b = 0, a função polinomial do 1º grau recebe o nome de
função linear.



1) Dada a função f(x) = ax + b sendo f(1) = 3 e f(2) = 9, qual o valor de f(0)?

Resolução:

f(1) = 3 ⇒ a.(1) + b = 3
f(2) = 9 ⇒ a.(2) + b = 9

Chegamos no sistema de duas equações e duas incógnitas:
a +b =3
⇒  , resolvendo o sistema obtemos
2 a + b = 9
a = 6 e b = - 3, logo:
f(x) = 6x - 3 ⇒ f(0) = 6.(0) - 3 ⇒ f(0) = - 3

GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1O. GRAU

Seja a função do 1 O. grau f(x) = ax + b, o gráfico desta função é uma reta:

Nota:

v "Denomina-se zero ou raiz da função f(x) = ax + b o valor de x que anula a
função, isto é, torna f(x) = 0."
v O ponto onde o gráfico "corta" o eixo y será sempre (0, b), onde b é o
coeficiente da função.

ANÁLISE DOS GRÁFICOS:
v Gráfico 1: Gráfico de uma função crescente onde teremos o coeficiente a > 0.

v Gráfico 2: Gráfico de uma função decrescente onde teremos o coeficiente a <
0.

Exemplo1:

Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 9:


Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e liga-los com o
auxílio de uma régua. (Ou ainda, podemos observar que precisamos obter a raiz
da função e o coeficiente b

Raiz:
9
3x − 9 = 0 ⇒ 3x = 9 ⇒ x =
⇒ x=3
3
Logo, já sabemos que o ponto (3, 0) é o ponto de intersecção do gráfico com o
eixo x.

Coeficiente b:

Da lei de formação da função ⇒ b = -9
Logo, sabemos que o ponto (0, -9), nos dará a intersecção do gráfico com o eixo
y.

Gráfico:

Exemplo2:

Vamos construir o gráfico da função y = -2x + 4:
Analogamente ao exemplo 1, obteremos a raiz da função e seu coeficiente b.

Raiz:

-2x + 4 = 0 ⇒ -2x = - 4 ⇒ x = 2

Coeficiente b:

Da lei de formação ⇒ b = 4


SINAL DA FUNÇÃO DO 1O . GRAU

Estudar o sinal de uma função qualquer é determinar para quais valores de x a
função é positiva, ou seja, y > 0; para quais valores de x a função é zero, ou seja,
y = 0; e, para quais valores de x a função é negativa, ou seja, y < 0.
Considere a função f(x) = ax + b, ou seja, y = ax + b; vamos estudar o sinal da
função.
b
Vimos que a função se anula para x = − , há dois casos a considerar
.
a

1O. Caso) a > 0 ⇒ Função Crescente

y

y>0
_ +
x
y<0 −
b
a

b
v y>0⇒ x> −
a
b
v y<0⇒ x< −
a

2O. Caso) a < 0 ⇒ Função Decrescente

b
v y>0⇒ x<−
a
b
v y<0⇒ x>−
a


FUNÇÃO DO 2O. GRAU

INTRODUÇÃO

Uma empresa de táxis fez uma análise de custos operacionais e chegou à
seguinte conclusão:
Para cada automóvel, ela tem:
a) um ganho fixo de R$ 8,00 na bandeirada.
b) um ganho calculado como o quadrado da distância percorrida (em km).
c) uma despesa de R$ 6,00 por quilômetro rodado, relativa a combustível,
manutenção, taxas e impostos, salários, etc.

1) Vamos escrever a função que relaciona o lucro dessa empresa com a distância
percorrida, para cada automóvel. Chamemos de x a distância percorrida e de y o
lucro total da empresa para cada automóvel:

y = 8 + x2 - 6x ⇒ y = x2 -6x + 8

2) Analisando essa função, descobriu-se que, dependendo da distância
percorrida, o táxi poderia dar lucro ou prejuízo, observe a tabela abaixo:

Tabela
x y
0 8
1 3
2 0
3 -1
4 0
5 3
6 8

Notas:
Observe que quando o táxi percorre 2km e 4km, não há prejuízo e nem lucro.
Se o táxi percorre 3km, há um prejuízo de R$1,00.
Os maiores lucros, de acordo com os dados da tabela, são obtidos se o táxi não
andar (em caso do passageiro só pagar a bandeirada), ou se o táxi percorrer 6km.

3) Para uma melhor visualização do lucro da empresa variando de acordo com a
distância percorrida foi feito o gráfico abaixo representando a distância
percorrida no eixo x (em km) e no eixo y o lucro obtido (em reais).


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x

Notas:
De acordo com o gráfico podemos observar que:

v Para distâncias percorridas menores que 2km ou maiores que 4km o táxi dá
realmente lucro:
x < 2 ou x > 4
v Para distâncias percorridas entre 2km e 4km o táxi dá prejuízo:
2 <x <4
v Se o táxi percorrer 2km ou 4km o táxi não dará nem lucro nem prejuízo:
x = 2km ou x = 4km
v A função representada pelo gráfico é uma função do 2 O. grau e o gráfico
ilustrado é uma parábola.

DEFINIÇÃO

denomina-se função do 2º grau ou função quadrática".

GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2O. GRAU

Para toda função do 2 O. grau temos o gráfico sendo uma parábola, assim como
na função do 1 O. grau. Entretanto aqui, os pontos mais importantes serão:
⇒ intersecção com o eixo y: (0; c) o coeficiente c nos "diz" onde o gráfico "corta" o
eixo y.


⇒ zeros (ou raízes) da função: (x1; 0) e (x 2; 0) onde o gráfico se intercepta o eixo x;
para a obtenção das raízes da função devemos resolver uma equação do 2O. grau
obtida através da própria função.
⇒ vértice da parábola: (xv , yv ) são os pontos de máximo ou de mínimo da função.

VÉRTICE DA PARÁBOLA
Para o cálculo das coordenadas do vértice da parábola utilizaremos as
fórmulas a seguir:
V(xv , yv)

−b −Ä
xv = yv =
2a 4a

Em geral, a parábola poderá estar em posições distintas no que se refere
aos eixos coordenados, observe a tabela a seguir:


∆>0 ∆=0 ∆<0

a>0

a<0

Observações:

De acordo com o coeficiente a e o discriminante ∆ numa função do 2O. grau,
podemos tirar algumas conclusões a respeito da posição da parábola:

v A parábola poderá ter a concavidade voltada para cima (a > 0) ou para baixo (a <
0).
v O gráfico poderá interceptar o eixo x em dois pontos ( ∆ > 0 - duas raízes
distintas), ou em um único ponto (∆ = 0 - uma única raiz) ou ainda não
interceptar o eixo x (∆ > 0 - a função não possui raízes reais).

Exemplo1:

Façamos o esboço do gráfico da função y = 2x 2 - 5x + 2:

Características:

⇒ concavidade voltada para cima: a = 2 > 0
⇒ zeros (ou raízes): 2x 2 - 5x + 2 = 0
Resolvendo a equação, obtemos:
1
x1 = 2 ou x2 = 2
 b Ä  5 − 9 
⇒ vértice da parábola V = − ,−  =  , 
 2a 4a  4 8 
⇒ intersecção com o eixo y: (0, c) = (0, 2)

Gráfico:


Exemplo 2:

Façamos agora, o esboço do gráfico da função y = x 2 - 2x + 1:

Características:

⇒ concavidade voltada para cima: a = 1 > 0
⇒ zeros (ou raízes): x2 - 2x + 1 = 0
Resolvendo a equação, obtemos:
x1 = x2 = 1 (raiz dupla)
 b Ä
⇒ vértice da parábola : V = − ,  = (1,0)
 2a 4a 
⇒ intersecção como eixo y : (0, c) = (0,1)

Gráfico:

Exemplo3:

Façamos por fim, o esboço do gráfico da função y = -x2 - x - 3:

Características:

⇒ concavidade voltada para baixo: a = −1 < 0

⇒ zeros (ou raízes): x2 − 2x + 1 = 0


não existe x ∈ IR, pois ∆ < 0

 b Ä   1 11 
⇒ vértice da parábola : V = - ,-  = - , - 
 2a 4a   2 4 
⇒ intersecçã o como eixo y : (0, c) = (0,- 3)

Gráfico:

SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Considere a função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c, vamos determinar
para quais valores de x temos a função positiva (y > 0), função negativa (y < 0) ou
a função nula (y = 0).

Na tabela a seguir temos as posições relativas e os sinais de acordo com
os eixos coordenados, o discriminante (D) e o coeficiente a.


∆>0 ∆=0 ∆<0

a>0
+ + + + + +
_ +

_ _ _
_ _
a<0 +
_ _


R1) Estude o sinal das funções abaixo:
a) y = x2 - 3x - 10.
b) y = -x2 + 6x - 9
c) y = x2 + 7x + 13

Resolução:

a)
1O.) Raízes: x2 - 3x - 10 = 0 ⇒ x1 = -2 ou x2 = 5

2O.) Esboço:


3O.) Estudo do Sinal:
y > 0 ⇒ x < -2 ou x > 5
y = 0 ⇒ x = - 2 ou x = 5
y < 0 ⇒ -2 < x < 5

b)
1O.) Raízes: -x2 + 6x - 9 = 0 ⇒ x1 = x2 = 3

2O.) Esboço:

y > 0 ⇒ não existe x ∈ IR
y=0⇒ x=3
y < 0 ⇒ x < 3 ou x > 3

c)
1O.) Raízes: x2 + 7x + 13 = 0 ⇒ ∆ < 0 (não existe x real)

2O.) Esboço:

y > 0 ⇒ ∀ x ∈ IR
y = 0 ⇒ não existe x real
y < 0 ⇒ não existe x ∈ IR


FUNÇÃO EXPONENCIAL

INTRODUÇÃO
Imagine que exista um micróbio que a cada minuto ele se duplicada. Podemos então
formar a seguinte seqüência numérica relativamente a quantidade desses seres em cada
minuto:
(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...)
Podemos ainda, escrever esta seqüência na forma de potência:
(20, 21 , 22, 23, 24, 25, 26, ...)
Se chamarmos os minutos de x e a quantidade de elementos de y. Concluímos que
y está em função de x e encontraremos a seguinte função:
y = f(x) = 2x
Para encontrar qual a quantidade existente de elementos após o término do 10O . minuto,
basta encontrarmos o valor de y, quando x = 10.
f(10) = 210 = 1024

DEFINIÇÃO

'Chama-se função exponencial qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma
f(x) = ax, onde a é um número real dado, a > 0 e a ¹ 1".

GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
Vamos construir o gráfico relativo ao desenvolvimento do micróbio descrito
acima:

y

16

8

4

2
1
1 2 3 4 x (min)

Como não há tempo negativo, o gráfico existirá apenas para x ≥ 0.

Exemplo:


Vamos construir num mesmo sistema cartesiano os gráficos das funções
x
f(x) = 3x e g(x) =   .
1
 
3 
.
x f(x) g(x)
-3 1/27 27
-2 1/9 9
-1 1/3 3
0 1 1
1 3 1/3
2 9 1/9
3 27 1/27

x
1 
g(x) =   y f(x) = 3x
3 

0
x
Observações:
v A função f é uma função crescente, pois conforme os valores de x crescem o
mesmo acontece com os valores de y.
v A função g é uma função decrescente, pois conforme os valores de x crescem, os
valores de y diminuem.
v f(x) = ax ⇒ crescente, pois a = 3 > 1

v g(x) = ax ⇒ decrescente, pois 0 < a = 1 < 1
3

LOGARITMOS

Vimos que para resolver equações exponenciais, devemos ter dos dois lados da
igualdade bases iguais nas potências. Entretanto equações exponenciais do tipo 2x = 6,
se torna impossível de resolve-las utilizando os artifícios estudados até aqui.

Querendo resolver a equação 2x = 6, não conseguiremos reduzir todas as potências à
mesma base. Neste caso, como 4 < 6 < 8, então 4 < 2x < 8, ou seja, 22 < 2x < 23 e apenas
podemos garantir que 2 < x < 3. Para resolver equações exponenciais onde é impossível
reduzir as duas potências à mesma base, estudaremos agora os logaritmos.

DEFINIÇÃO


Chama-se logaritmo de a na base b, e se indica por logba, o expoente x ao qual se deve
elevar b para se obter a, observe:

logba = x ⇔ b x = a

onde:
a ⇒ logaritmando e a > 0
b ⇒ base do logaritmo e b > 0 e b ≠ 1
x ⇒ logaritmo

Exemplos:

v log24 = x ⇒ 2x = 4 ⇒ 2x = 22 ⇒ x = 2

1
cologaN = loga = - logaN
N

ANTILOGARITMO

Da nomenclatura apresentada loga N = α decorre que N (logaritmando) é o antilogaritmo de
α na base a.

loga N = α ⇔ antilog aα = N

R1) Calcule o valor de y = log44 + log71 + 2.log10.
Resolução:
log44 = 1
log71 = 0
log10 = log1010 = 1
Logo: y = 1 + 0 + 2.1 = 3

PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
Observe a igualdade:
log28 + log24 = log232
Podemos escrever log232 como sendo log2(8×4), logo:
log28 + log24 = log2(8 × 4)
Isto não é uma mera coincidência e sim, uma das propriedades operatórias dos
logaritmos.

LOGARITMO DO PRODUTO
loga(x . y) = loga x + log ay

LOGARITMO DO QUOCIENTE
x
loga( ) = logax + logay
y

LOGARITMO DA POTÊNCIA
loga xn = n . loga x



R2) Sabendo-se que log 2 = 0,3010, log 3 = 0,4771 e log 5 = 0,6990, determine:
a) log 30 b) log 25 c) log 2,5 d) log cos 45º
Resolução:
log 30 = log(5 . 6)
= log 5 + log 6
= 0,6990 + log(2 . 3)
= 0,6990 + log 2 + log 3
= 0,6990 + 0,3010 + 0,4771
= 1,4771

b) log 25 = log 52
= 2 . log 5
= 2 . 0,6990
= 1,3980

c) log 2,5 = log ( 5 )
2
= log 5 – log 2
= 0,6990 – 0,3010
= 0,3980

2
d) log cos45º = log
2
= log √2 – log 2
= log 21/2 – 0,3010
= ½ . log 2 – 0,3010
= ½ . 0,3010 – 0,3010
= - 0,1505
ou ainda:
2
log = log (21/2 . 2-1)
2
= log (21/2 – 1)
= log 2-1/2
= - ½ . log 2
= - ½ . 0,3010
= - 0,1505

MUDANÇA DE BASE:
Há situações em que podemos nos deparar com sistemas de logaritmos com
bases distintas e para aplicarmos as propriedades operatórias dos logaritmos devemos
ter logaritmos com bases iguais.
A fórmula abaixo nos auxiliará a converter a base do logaritmo em uma base mais
conveniente.


log c a
logb a =
log c b

R3) Se log2 = 0,3 e log3 = 0,48, qual é o valor de log23?
Resolução:
Temos o log2 e o log3, que aparecem todos na base dez, pede-se o log de 3 na base 2,
portanto devemos converter log23 para um log na base dez:

log3
log 23 = = 0,48 = 1,6
log2 0,3

R4) Qual é o valor de y = log 32 . log4 3 . log54 . log65?

Resolução:
log3 3 log3 4 log3 5
y = log32 . . .
log3 4 log3 5 log3 6
cancelando os logs obteremos:
1 1
y = log32 . ⇒ y = log32 .
log 3 6 log 3 2 + log 3 3
log 3 2 log3 2
y= ou y = 1 +
log3 2 + log3 3 log3 3

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

DEFINIÇÃO

"Chama-se função logarítmica qualquer função f de IR *+ em IR dada por uma lei da forma
f(x) = logax,, onde a é um número real dado, a > 0 e a ¹ 1".

GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA

1-) Vamos construir o gráfico da função y = log2x, definida para x > 0:

x y = log2x
1 −3
8
¼ −2
½ −1
1 0


2 1
4 2
8 3

y

2

1

1 2 4
0 x

2-) Vamos construir agora, o gráfico da função y = log 1 x , definida para x > 0:
2

x log 1 x
y= 2

8 −3
4 −2
2 −1
1 0
½ 1
¼ 2
3

y

2

1
1 2 4
x
0

−1

Observações: A função f(x) = logax será:
v Crescente quando a > 1 ⇒ Gráfico 1
v Decrescente quando 0 < a < 1 ⇒ Gráfico 2

EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS


Regra:
loga x 1 = loga x 2 ⇔ x 1 = x 2

Exemplo1: Vamos resolver a seguinte equação logarítmica:
log2 (2x − 5) = log23
Observe que temos no logaritmando do primeiro membro uma expressão 2x − 5 e de
acordo com a condição de existência de um logaritmo devemos sempre no logaritmando
um número positivo, portanto:
C.E.: 2x − 5 > 0
Uma vez que tenhamos encontrada a C.E. resolveremos a equação pela regra descrita
acima (a regra somente é válida quando as bases dos dois logaritmos forem iguais).
log2 (2x − 5) = log23 ⇒ 2x − 5 = 3 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 4
Substituindo na C.E.:
2.4−5= 8−5 =3> 0
S = {4}

R4) Resolva a equação log 2(x − 3) + log2(x + 3) = 4.

Resolução:

x −3 >0 ⇒ x >3

1O.Passo) C.E. ⇒ x + 3 > 0 ⇒ x > −3
, como todo número que é maior que 3, é também
maior que −3, concluímos da Condição de Existência: x > 3.

2O.Passo) Regra ⇒ para aplicarmos a regra prática para a resolução de equações
logarítmicas devemos ter apenas um logaritmo, portanto se faz necessário a aplicação da
propriedade:
log2 (x − 3) + log2(x + 3) = 4 ⇒ log2 [(x − 3).(x + 3)] = 4
⇒ log2(x2 − 9) = 4

A partir daqui podemos utilizar a definição para a resolução da equação:
log2 (x2 − 9) = 4 ⇒ x2 − 9 = 24 ⇒ x2 = 16 + 9 ⇒ x2 = 25
x =±5
Da C.E. ⇒ x = 5 > 3
Logo: S = {5}

INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Regra:

 a > 1 ⇒ x1 > x 2
log a x 1 > log a x 2 ⇔ 
0 < a < 1 ⇒ x 1 < x 2

Exemplo: Vamos resolver a inequação:
log3 (2x − 5) < log3x


 5
1O.Passo) C.E. ⇒ 2x − 5 > 0 ⇒ x > 3


 x >0

d) log 5(2x − 3) = 2
e) log2(x2 + x − 4) = 3

P9) Resolva as seguintes equações:
a) log2(x + 4) + log2(x − 3) = log218
b) 2 log x = log 2 + log(x + 4)

GABARIT O - LOGARITMOS

P1) a) 2 b) 7 c) 4d) 3 e) 4 f)− 5 g) − 3
3 2 2
3 1
P2) a) A = b) B = − c) C = 0
2 2

P3) B
1
P4) a) a + b b) 2a c) a + 1 d) a e) −a f) 1 − a
2
g) 1 − a + b

P5) 5

3
P6)
2
1 - 2a
P7)
a+b

P8) a) S = {2} b) S = {4} c) S = {−1} d) S = {14}
e) S = {−4; 3}

P9) a) S = {5} b) S = {4}

PROBABILIDADE
INTRODUÇÃO

Em um jogo, dois dados são lançados simultaneamente, somando-se, em
seguida, os pontos obtidos na face superior de cada um deles. Ganha quem
acertar a soma desses pontos.

Antes de apostar, vamos analisar todos os possíveis resultados que podem
ocorrer em cada soma. Indicando os números da face superior dos dados pelo
par ordenado (a, b), onde a é o número do primeiro dado e b o número do
segundo, temos as seguintes situações possíveis:

a + b = 2, no caso (1, 1);
a + b = 3, nos casos (1, 2) e (2, 1);


a+b = 4, nos casos (1, 3), (2, 2) e (3,1);
a+b = 5, nos casos (1,4), (2,3), (3, 2) e (4, 1)
a+b = 6, nos casos (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4,2) e (5, 1);
a+b = 7, nos casos (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4,3), (5, 2) e (6, 1);
a+b = 8, nos casos (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) e (6, 2);
a+b = 9, nos casos (3, 6), (4, 5), (5, 4) e (6,3);
a+b = 10, nos casos (4, 6), (5, 5) e (6, 4);
a+b = 11, nos casos (5, 6) e (6,5);
a+b = 12, no caso (6, 6).

É evidente que, antes de lançar os dois dados, não podemos prever o
resultado "soma dos pontos obtidos"; porém, nossa chance de vencer será
maior se apostarmos em a + b = 7, pois essa soma pode ocorre de seis maneiras
diferentes.
Situações como essa, onde podemos estimar as chances de ocorrer um
determinado evento, são estudas pela teoria das probabilidades. Essa teoria,
criada a partir dos "jogos de azar", é hoje um instrumento muito valioso e
utilizado por profissionais de diversas áreas, tais como economistas,
administradores e biólogos.

ESPAÇO AMOSTRAL
Um experimento que pode apresentar resultados diferentes, quando repetido nas
mesmas condições, é chamado experimento aleatório.
Chamamos Espaço Amostral ao conjunto de todos os resultados possíveis de
um experimento aleatório. Dizemos que um espaço amostral é equiprovável
quando seus elementos têm a mesma chance de ocorrer.
No exemplo acima temos, como espaço amostral 36 possibilidades, para a
ocorrência de quaisquer eventos.

No exemplo de uma moeda lançando-se para cima, a leitura da face superior pode
apresentar o resultado "cara" (K) ou "coroa" (C). Trata-se de um experimento
aleatório, tendo cada resultado a mesma chance de ocorrer.
Neste caso, indicando o espaço amostral por S1 e por n(S1) o número de seus
elementos, temos:

S1 = {K, C} e n(S1) = 2

Se a moeda fosse lançada duas vezes, teríamos os seguintes resultados: (K, K),
(K, C), (C, K), (C, C).

Neste caso, indicando o espaço amostral por S2 e por n(S2) o número de seus
elementos, temos:

S2 = {(K, K), (K, C), (C, K), (C, C)} e n(S2) = 4

EVENTOS


Chama-se evento a qualquer subconjunto de um espaço amostral. Considerando
o lançamento de um dado e a leitura dos pontos da face superior, temos o espaço
amostral:

S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(S) = 6

Um exemplo que podemos elucidar de evento é "ocorrência de número par".
Indicando esse evento por A, temos:

A = {2, 4, 6} e n(A) = 3

PROBABILIDADE DE OCORRER UM EVENTO

Ainda levando-se em consideração o exemplo acima, "ocorrência de número par",
no lançamento de um dado, teremos:

n( A ) 3 1
P( A ) = = =
n( S ) 6 2

Concluí-se que a probabilidade de o evento "ocorrência de número par" ocorrer é
50% ou ½. Isto quer dizer que ao lançarmos um dado ao acaso teremos 50% de
chance de obter um número par, na face do dado.

Voltando ao nosso primeiro exemplo, onde num jogo, ganha quem conseguir a
soma das faces. Vimos que a probabilidade de ocorrer o número 7 era maior, pois
tínhamos diversas maneiras de ocorrer. Chamaremos o evento "ocorrência da
soma 7" entre os dois dados, de E:

n(E) = 6;
n(S) = 36.

n(E ) 6 1
portanto: P(E ) = = = , temos então que 16,7% é a probabilidade do evento ocorrer.
n( S ) 36 6

R1) Qual a probabilidade do número da placa de um carro ser um número par?

Resolução:
Para o número da placa de uma carro ser um número par, devemos ter um
número par no algarismo das unidades, logo o espaço amostral (S) e o evento (E)
serão:

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ⇒ n(S) = 10
E = {2, 4, 6, 8, 0} ⇒ n(E) = 5


Portanto a Probabilidade de ocorrer o referido evento será:
n(E ) 5 1
P( E ) = = =
n(S ) 10 2
Resposta: 50% ou ½

R2) O número da chapa de um carro é par. A probabilidade de o algarismo das
unidades ser zero é:
1 1 4 5 1
a) b) c) d) e)
10 2 9 9 5

Resolução:
Se a placa de um carro é um número par, então, independente do numero de
algarismos que tenha a placa o algarismo das unidades será, necessariamente,
um número par.
O espaço amostral, neste caso:

S = {2, 4, 6, 8, 0} ⇒ n(S) = 5

O evento é "ocorrência do zero", logo só podemos ter ocupando o último
algarismo o número zero:

E = {0} ⇒ n(E) = 1
n(E ) 1
P(E ) = =
n( S ) 5
1
Res pos ta: 20% ou
5

PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS
Consideremos dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral S.

Da teoria dos conjuntos temos:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

Dividindo os dois membros dessa igualdade por n(S), temos:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

A probabilidade da união de dois eventos A e B é igual à soma das probabilidades
desses eventos, menos a probabilidade da intersecção de A com B."

Observação: se A e B forem disjuntos, isto é:

se A ∩ B = Æ, então P(A ∪ B) = P(A) + P(B).


Neste caso, ainda, os eventos são ditos Eventos Independentes.


R3) No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter o número 3 ou
um número ímpar?

Resolução:

Espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(S) = 6

evento "número 3" é: A = {3}e n(A) = 1

evento "número ímpar" é: B = {1,3,5} e n(B) = 3

A ∩ B = {3} ∩ {1,3,5} = {3}, então n(A∩ B) = 1

Logo:

P(A ∪ B) = 1/6 + 3/6 - 1/6 = ½

Resposta: 50% ou ½

Observação:

A soma da probabilidade de ocorrer um evento A com a probabilidade de não
ocorrer o evento A é igual a 1:

p(A) + p( A ) = 1
1
Assim, se a probabilidade de ocorrer um evento A for 0,25 ( ), a probabilidade de não ocorrer o
4
3
evento A é 0,75 ( ).
4

EXERCÍCIOS
P1) Joga-se um dado "honesto" de seis faces, numeradas de 1 a 6, lê-se o número
da face voltada para cima. Calcular a probabilidade de se obter:
a) o número 2 b) o número 6

c) um número par d) um número ímpar

e) um número primo


P2) Considere todos os números de cinco algarismos distintos obtidos através
dos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8. Escolhendo-se um desses números, ao acaso, qual a
probabilidade de ele ser um número ímpar?

P3) Qual a probabilidade de uma bola branca aparecer ao retirar-se uma única
bola de uma urna contendo 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis?

P4) Considere todos os anagramas da palavra LONDRINA que começam e
terminam pela letra N. Qual a probabilidade de se escolher ao acaso um desses
anagramas e ele ter as vogais juntas?

P5) A probabilidade de ocorrerem duas caras ou duas coroas no lançamento de
duas moedas é:

1 3 1
a) b) c) 1 d) 2 e)
4 4 2

P6) Em uma indústria com 4.000 operários, 2.100 têm mais de 20 anos, 1.200 são
especializados e 800 têm mais de 20 anos e são especializados. Se um dos
operários é escolhido aleatoriamente, a probabilidade de ele ter no máximo 20
anos e ser especializado é:

1 2 3 27 7
a) b) c) d) e)
10 5 8 85 18

P7) Um prêmio vai ser sorteado entre as 50 pessoas presentes em uma sala. Se
40% delas usam óculos, 12 mulheres não usam óculos e 12 homens os usam, a
probabilidade de ser premiado um homem que não usa óculos é:

4 6 8 9 2
a) b) c) d) e)
25 25 25 25 5

P8) Dois jogadores A e B vão lançar um par de dados. Eles combinam que, se a
soma dos números dos dados for 5, A ganha, e se essa soma for 8, B é quem
ganha. Os dados são lançados. Sabe-se que A não ganhou. Qual a probabilidade
de B ter ganho?

10 4 5 5
a) b) c) d )
36 32 36 35


e) não se pode calcular sem saber os números sorteados.

P9) Se dois prêmios iguais forem sorteados entre 5 pessoas, sendo duas
brasileiras e três argentinas, qual será a probabilidade de:

a) serem premiadas as duas brasileiras?
b) ser premiada pelo menos uma argentina?
c) serem premiadas duas argentinas?

P10) Numa caixa existem 5 balas de hortelã e 3 balas de mel. Retirando-se
sucessivamente e sem reposição duas dessas balas, qual a probabilidade de que
as duas sejam de hortelã?

GABARITO

1 1 1 1 1
P 1) a) b) c) d) e)
6 6 2 2 2

2 1 1
P 2) P 3) P 4)
5 3 5

P 5) E P 6) A P 7) D

P 8) B

1 9 3 9
P 9) a) b) c) P 10)
10 10 10 16

NOÇÕES DE ESTATÍSTICA

INTRODUÇÃO

Em anos de eleições é inevitável nos depararmos com pesquisas eleitorais, como por
exemplo, quem está em primeiro lugar nas pesquisas, ou em segundo, mas será que todos os
eleitores foram consultados? Com certeza não, pois há métodos mais convenientes, como
por exemplo, considera-se uma amostra dos eleitores e a partir desta amostra se conclui
para o restante dos eleitores.

Em março de 1983, o deputado federal Dante de Oliveira, atendendo a uma forte pressão do
povo brasileiro, apresentou uma proposta de emenda à Constituição, que pretendia


restabelecer as eleições diretas para a Presidência da República. A expectativa em torno
dessa votação deu origem à maior manifestação popular já conhecida neste país, que ficou
conhecida como "Diretas já".

Em abril de 1984, cerca de 500 mil pessoas estavam na Praça da Candelária, no Rio de
Janeiro e mais 1 milhão no Vale do Anhangabaú em São Paulo. A relação desse
acontecimento com a Matemática, é a forma como foram contadas as pessoas nestes lugares.
Conta-se a quantidade de pessoas em um certo local, e divide-se pela área ocupada por essas
pessoas, em seguida, multiplica-se pela área total ocupada, obtendo assim o valor estimado
que é bem próximo do total.

ROL

As notas de 20 alunos de uma turma de oitava série estão abaixo relacionadas:

5,9 - 5,8 - 3,4 - 7,4 - 4,0 - 7,3 - 7,1 - 8,1 - 3,7 - 7,9 - 7,6 - 7,7 - 5,6 - 3,2 - 6,7 - 7,4 - 8,7 - 2,1 - 9,6
- 1,3
Para encontrarmos o Rol desta distribuição de valores basta colocarmos os valores em
ordem crescente ou decrescente:

v 1,3 - 2,1 - 3,2 - 3,4 - 3,7 - 4,0 - 5,6 - 5,6 - 5,6 - 6,7 - 7,1 - 7,3 - 7,4 - 7,4 - 7,6 - 7,7 - 7,7 - 8,1 -
8,7 - 9,6

v 9,6 - 8,7 - 8,1 - 7,7 - 7,7 - 7,6 - 7,4 - 7,4 - 7,3 - 7,1 - 6,7 - 5,6 - 5,6 - 5,6 - 4,0 - 3,7 - 3,4 - 3,2 -
2,1 - 1,3

CLASSES

Qualquer intervalo real que contenha um rol é chamado de classe. Considerando a relação
de notas especificadas acima podemos estabelecer as seguintes classes de intervalos:

v o intervalo [1, 2[ contém a nota 1,3
v o intervalo [2, 1[ contém a nota 2,1
v o intervalo [2, 3[ contém as notas 3,2; 3,4; 3,7

E assim sucessivamente.

Observação:
A amplitude é a diferença entre o maior e o menor elemento de uma distribuição, intervalo
ou classe.


Exemplos:

v 9,6 - 1,3 = 8,5 é amplitude da distribuição das notas.

v A amplitude da classe [7, 8[ é 7,7 - 7,1 = 0,6.

DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS

FREQÜÊNCIA ABSOLUTA (fi )

É a quantidade de vezes que um determinado valor aparece numa classe. Observe a
tabela abaixo, referente à distribuição das notas:

CLASSES Freqüência Absoluta (f i)
[1, 2[ 1
[2, 3[ 1
[3, 4[ 3
[4, 5[ 1
[5, 6[ 3
[6, 7[ 1
[7, 8[ 7
[8, 9[ 2
[9, 10[ 1
TOTAL 20

Da tabela podemos concluir que, por exemplo, 7 alunos tiraram notas entre 7,0 e
8,0.

FREQÜÊNCIA ABSOLUTA ACUMULADA (fa )
A distribuição de freqüências absolutas pode ser completada com mais uma coluna,
chamada freqüências absolutas acumuladas (fa ), cujos valores são obtidos adicionando a
cada freqüência absoluta os valores das freqüências anteriores.

CLASSES Freqüência Absoluta (fi ) Freqüência Absoluta Acumulada (fa)
[1, 2[ 1 1
[2, 3[ 1 2
[3, 4[ 3 5
[4, 5[ 1 6
[5, 6[ 3 9


[6, 7[ 1 10
[7, 8[ 7 17
[8, 9[ 2 19
[9, 10[ 1 20
TOTAL(n) 20 ℵℵℵℵℵ ℵℵ ℵℵ ℵℵ ℵℵ

FREQÜÊNCIA RELATIVA (f %)

FREQÜÊNCIA RELATIVA ACUMULADA (fa%)

A freqüência relativa é obtida através do quociente:

onde f i representa a freqüência absoluta de um dado valor ou classe, e n representa a soma
de todos as freqüências absolutas.
A freqüência relativa acumulada é obtida de modo análogo à freqüência absoluta
acumulada, mas agora utilizando a freqüência relativa.
Acrescentando mais duas colunas na tabela:

CLASSES F.A. (fi ) F.A.Al. (fa) F. R. (f%) F. R. A. (fa%)
[1, 2[ 1 1 5% 5%
[2, 3[ 1 2 5% 10%
[3, 4[ 3 5 15% 25%
[4, 5[ 1 6 5% 30%
[5, 6[ 3 9 15% 45%
[6, 7[ 1 10 5% 50%
[7, 8[ 7 17 35% 85%
[8, 9[ 2 19 10% 95%
[9, 10[ 1 20 5% 100%
TOTAL(n) 20 ℵℵℵℵℵ 100% ℵℵℵ ℵℵ

•F.A. (fi) = Freqüência Absoluta
•F.A.A. (fa)= Freqüência Absoluta Acumulada
•F. R. (f%) = Freqüência Relativa
•F. R. A. (fa%) = Freqüência RelativaAcumulada
Nota:
Esta tabela é chamada de Tabela de Distribuição de Freqüência.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA


A tabela de distribuição de freqüência do exemplo anterior pode ser representada
graficamente:

GRÁFICO DE LINHA

FREQÜÊNCIA
Número de
Alunos

CLASSES

[1,2] [2,3] [3,4] [4,5] [5,6] [6,7] [7,8] [8,9] [9,10] NOTAS

Para a construção deste gráfico, marcam-se os pontos determinados pelas
classes e as correspondentes freqüências, ligando-os, a seguir, por seguimentos
de reta.

GRÁFICO DE BARRAS

Vamos agora construir um diagrama de barras verticais, e paratanto, basta dispor
as freqüências num eixo vertical:


FREQÜÊNCIA
Número de
Alunos

CLASSES
[1,2] [2,3] [3,4] [4,5] [5,6] [6,7] [7,8] [8,9] [9,10] NOTAS

GRÁFICO DE SETORES

Para a construção deste gráfico vamos dividir um círculo em setores com
ângulos proporcionais às freqüências. No nosso caso já temos a freqüência
relativa:

[1, 2[ ⇒ 5% de 360 O = 0,05 ´ 360 O = 18 O
[2, 3[ ⇒ 5% de 360 O = 0,05 ´ 360 O = 18O
[3, 4[ ⇒ 15% de 360 O = 0,15 ´ 360 O = 54 O
[4, 5[ ⇒ 5% de 360 O = 0,05 ´ 360 O = 18 O
[5, 6[ ⇒ 15% de 360 O = 0,15 ´ 360 O = 54 O
[6, 7[ ⇒ 5% de 360 O = 0,05 ´ 360 O = 18 O
[7, 8[ ⇒ 35% de 360 O = 0,35 ´ 360 O = 126O
[8, 9[ ⇒ 10% de 360 O = 0,10 ´ 360 O = 36 O
[9, 10[ ⇒ 5% de 360 O = 0,05 ´ 360 O = 18 O


5% 5% 5%

5%

35% 5%

10%

15%
15%

HISTOGRAMA

Freqüência
(Número de alunos)

Classes
Notas

MEDIDAS DE POSIÇÃO
MÉDIA ARITMÉTICA ( x )

Para encontrar a média aritmética entre valores, basta somar todos eles e
dividir pela quantidade que aparecem. Matematicamente:

ou usando símbolos:


MODA (Mo)
Considere a distribuição abaixo referente às idades de 11 pessoas integrantes de
um movimento popular:

16 - 19 - 18 - 14 - 19 - 16 - 14 - 14 - 15 - 20 - 14
Repare que a idade de maior freqüência é 18 anos, portanto dizemos que a moda
desta amostra é 14 anos.
Mo = 14 anos

Exemplos:
v 3 - 7 - 4 - 6 - 9 - 6 - 4 - 2 - 1 - 4 ⇒ Mo = 4

v 5 - 3 - 2 - 8 - 8 - 9 - 5 - 1 - 5 - 8 ⇒ Mo = 8
Mo' = 5
Esta amostra é considerada bimodal por apresentar duas modas.
v 1 - 9 - 8 - 6 - 4 - 3 - 2 - 7 - 5 ⇒ Esta amostra não apresenta moda, repare que
todos os elementos apresentam a mesma freqüência.

MEDIANA (Md)
Considerando ainda, o mesmo exemplo anterior e dispondo as idades em rol
temos:
14 - 14 - 14 - 14 -15 - 16 - 16 - 18 - 19 - 19 - 20
O termo central desse rol é chamado mediana da amostra:
Md = 16 anos

Exemplo:

v Dispondo em rol as estaturas de seis atletas de um colégio temos:
1,68 - 1,68 - 1,70 - 1,72 - 1,72 - 1,74
Agora temos dois termos centrais, pois é uma distribuição com um número par de
elementos, toda vez que isso ocorrer, a mediana será a média aritmética dos dois
termos:

Md = 1,71m
Observação:

O rol pode ser disposto na sua forma crescente ou decrescente, pois o(s)


termo(s) central(is) será(ão) o(s) mesmo(s) nos dois casos.

MEDIDAS DE DISPERSÃO
Observe as notas de três turmas de um curso de espanhol e suas respectivas
médias:
v Turma A: 5 - 5 - 5 - 5 - 5 ⇒ x A = 5

v Turma B: 4 - 6 - 5 - 6 - 4 ⇒ x B = 5

v Turma C: 1 - 2 - 5 - 9 - 8 ⇒ x C = 5

Se fôssemos nos basear apenas nas médias aritméticas de todas as
turmas, diríamos que todas apresentam desempenho igual, no entanto
observamos pelas notas dos integrantes que isso não é verdade, daí vem a
necessidade de se definir uma nova medida que avalie o grau de variabilidade da
turma, de tal forma que a análise dos dados não fique comprometida.

DESVIO ABSOLUTO MÉDIO (Dam)
Nas notas acima podemos encontrar qual o desvio de cada turma, paratanto basta
efetuar a diferença entre uma nota e a média, nessa ordem. O módulo dessa
diferença é chamado desvio absoluto. Logo, a média aritmética desses desvios
absolutos é chamada Desvio Absoluto Médio:

O desvio absoluto médio mede o afastamento médio de cada turma com relação a
média. Assim, temos que a turma C apresenta uma variação muito grande da
média, a turma B um afastamento moderado e A não apresenta afastamento.
Matematicamente:


VARIÂNCIA (S 2)
A variância também pode apresentar esse grau de variabilidade entre os
elementos de uma distribuição. Define-se essa medida como a média aritmética
entre os quadrados dos desvios dos elementos da amostra:

Em símbolos:

DESVIO PADRÃO (S)
Muitas vezes as amostras estão relacionadas com unidades de medidas
que ao serem interpretadas, poderá causar algumas dificuldades, como por
exemplo se os elementos da amostra representam as estaturas em metros, a
variância representará um valor em m2 (unidade de área); e portanto como a
unidade não tem a ver com as medidas dos elementos da amostra, não será
conveniente utilizar a variância. Por dificuldades como essa é que foi definido o
desvio padrão que nada mais é que a raiz quadrada da variância.

A⇒ σ= 0=0

0,8
B⇒ σ= ≅ 0,89
C ⇒ σ = 10 ≅ 3,16


Observação:

Apresentamos três formas distintas de se analisar as dispersões entre as
amostras, em cada caso analisaremos da forma que mais convir.

EXERCÍCIOS
P1) Que restos pode dar na divisão por 5, um número que não seja divisível por 5
?

divisível por 3 ?

divisível por 5 ?

P4) Numa caixa existem menos de 60 bolinhas. Se elas forem contadas de 9 em 9
não sobra nenhuma e se forem contadas de 11 em 11 sobra uma. Quantas são as
bolinhas?

P5) O conjunto A é formado por todos os divisores de 10 ou 15 ; então podemos
afirmar que o conjunto A tem :
a) 5 elementos b) 6 elementos
c) 7 elementos d) 8 elementos



P8) Assinalar a alternativa correta.
a) O número 1 é múltiplo de todos os números primos
b) Todo número primo é divisível por 1
c) Às vezes um número primo não tem divisor
d) Dois números primos entre si não tem nenhum divisor

P9) Assinalar a alternativa falsa:
a) O zero tem infinitos divisores
b) Há números que tem somente dois divisores: são os primos;
c) O número 1 tem apenas um divisor: ele mesmo;
d) O maior divisor de um número é ele próprio e o menor é zero.

P10) Para se saber se um número natural é primo não:


a) Multiplica-se esse número pelos sucessivos números primos;
b) Divide-se esse número pelos sucessivos números primos;
c) Soma-se esse número aos sucessivos números primos;
d) Diminuí-se esse número dos sucessivos números primos.

P11) Determinar o número de divisores de 270.

P12) Calcule o valor das expressões abaixo:
a) (12 - 6) + (14 - 10) x 2 - (3 + 7)
b) 103 - [ 23 + (29 - 3 x 5) ] + 14 x 2
c) 22 - { 14 + [ 2 x 10 - (2 x 7 - 3) - (2 + 4) ] } + 7
d) [ 60 - (31 - 6) x 2 + 15] ¸ [ 3 + (12 - 5 x 2) ]
e) [150 ¸ (20 - 3 x 5) + 15 x (9 + 4 x 5 x 5) ] ¸ 5 + 12 x 2
f) ( 4 + 3 x 15) x ( 16 - 22 ¸ 11) - 4 x [16 - (8 + 4 x 1) ¸ 4] ¸ 13

P13) Calcular os dois menores números pelos quais devemos dividir 180 e 204, a
fim de que os quocientes sejam iguais.
a) 15 e 17 b) 16 e 18
c) 14 e 18 d) 12 e16

P14) Deseja-se dividir três peças de fazenda que medem, respectivamente, 90, 108
e 144 metros, em partes iguais e do máximo tamanho possível.
Determinar então, o número das partes de cada peça e os comprimentos de
cada uma.
e) e) e)

P15) Quer-se circundar de árvores, plantadas à máxima distância comum, um
terreno de forma quadrilátera. Quantas árvores são necessárias, se os lados do
terreno tem 3150,1980, 1512 e 1890 metros?
a) 562 árvores b) 528 árvores
c) 474 árvores d) 436 árvores

P16) Numa república, o Presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo, os
senadores 6 anos e os deputados 3 anos. Em 1929 houve eleições para os três
cargos, em que ano deverão ser realizadas novamente eleições para esses
cargos?

P17) Duas rodas de engrenagens tem 14 e 21 dentes respectivamente. Cada roda
tem um dente esmagador. Se em um instante estão em contato os dois dentes
esmagadores, depois de quantas voltas repete-se novamente o encontro?

P18) Dois ciclistas percorrem uma pista circular no mesmo sentido. O primeiro
percorre em 36 segundos, e o segundo em 30 segundos. Tendo os ciclistas
partido juntos, pergunta-se; depois de quanto tempo se encontrarão novamente
no ponto de partida e quantas voltas darão cada um?


P19) Uma engrenagem com dois discos dentados tem respectivamente 60 e 75
dentes, sendo que os dentes são todos numerados. Se num determinado
momento o dento nº 10 de cada roda estão juntos, após quantas voltas da maior,
estes dentes estarão juntos novamente?

P20) Sabendo-se que o M.M.C. entre dois números é o produto deles, podemos
afirmar que:
a) os números são primos
b) eles são divisíveis entre si
c) os números são primos entre si
d) os números são ímpares

P21) Da estação rodoviária de São Paulo partem para Santos, ônibus a cada 8
minutos; para Campinas a cada 20 minutos e para Taubaté a cada 30 minutos. Às
7 horas da manhã partiram três ônibus para essas cidades. Pergunta-se: a que
horas do dia, até às 18 horas haverá partidas simultâneas?

P22) No aeroporto de Santos Dumont partem aviões para São Paulo a cada 20
minutos, para o Sul do país a cada 40 minutos e para Brasília a cada 100 minutos;
às 8 horas da manhã á um embarque simultâneo para partida. Quais são as outras
horas, quando os embarques coincidem até as 18 horas.

P23) Para ladrilhar 5/7 de um pátio empregando-se 46.360 ladrilhos. Quantos
ladrilhos iguais serão necessários para ladrilhar 3/8 do mesmo pátio?

P24) A soma de dois números é 120. O menor é 2/3 do maior. Quais são os
números?

P25) Sueli trabalha após as aulas numa loja de fazendas. Uma tarde recebeu uma
peça de linho de 45 metros para vender. Nesta mesma tarde vendeu 3/5 da peça,
depois 1/3 do que sobrou. Quantos metros restaram por vender?

P26) Uma senhora repartiu R$273,00 entre seus três filhos. O primeiro recebeu 3/4
do que tocou ao segundo e este, 2/3 do que tocou ao terceiro. Quanto recebeu
cada um ?

P27) Um negociante vendeu uma peça de fazenda a três fregueses. O primeiro
comprou 1/3 da peça e mais 10 metros. O segundo comprou 1/5 da peça e mais 12
metros e o terceiro comprou os 20 metros restantes. Quantos metros tinha a peça
?

P28) Dois amigos desejam comprar um terreno. Um deles tem 1/5 do valor e outro,
1/7. Juntando ao que possuem R$276.000,00, poderiam comprar o terreno. Qual o
preço do terreno ?

P29) Paulo gastou 1/3 da quantia que possuía e, em seguida, 3/5 do resto. Ficou
com R$80,00. Quanto possuía?


P30) Qual é o número que multiplicado por 1/5 dá 7 3/4?

P31) Um alpinista percorre 2/7 de uma montanha e em seguida mais 3/5 do
restante. Quanto falta para atingir o cume?

P32) Qual é o número que aumenta 1/8 de seu valor quando se acrescentam 3
unidades?

P33) Um trem percorre 1/6 do caminho entre duas cidades em 1 hora e 30
minutos. Quanto tempo leva de uma cidade a outra uma viagem de trem?

P34) Lia comeu 21/42 de uma maçã e Léa comeu 37/74 dessa mesma maçã. Qual
das duas comeu mais e quanto sobrou?

P35) Dividindo os 2/5 de certo número por 2/7 dá para quociente 49. Qual é esse
número?

P36) Um pacote com 27 balas é dividido igualmente entre três meninos. Quantas
balas couberam a cada um, se o primeiro deu 1/3 do que recebeu ao segundo e o
segundo deu ½ do que possuía ao terceiro?

P37) Uma herança de R$70.000,00 é distribuída entre três herdeiros. O primeiro
recebe ½, o segundo 1/5 e o terceiro o restante. Qual recebeu a maior quantia?

P38) Uma torneira leva sete horas para encher um tanque. Em quanto tempo
enche 3/7 desse tanque?

P39) R$120,00 são distribuídos entre cinco pobres. O primeiro recebe ½, o
segundo 1/5 do que recebeu o primeiro e os restantes recebem partes iguais.
Quanto recebeu cada pobre?

P40) Em um combate morrem 2/9 de um exército, em novo combate morrem mais
1/7 do que restou e ainda sobram 30.000 homens. Quantos soldados estavam
lutando?

P41) 2/5 dos 3/7 de um pomar são laranjeiras; 4/5 dos ¾ são pereiras; há ainda
mais 24 árvores diversas. Quantas árvores há no pomar?

P42) Um corredor depois de ter decorrido os 3/7 de uma estrada faz mais cinco
quilômetros e assim corre 2/3 do percurso que deve fazer. Quanto percorreu o
corredor e qual o total do percurso, em quilômetros?

P43) Efetuar as adições:
1º) 12,1 + 0,0039 + 1,98
2º) 432,391 + 0,01 + 8 + 22,39

P44) Efetuar as subtrações:
1º) 6,03 - 2,9456


2º) 1 - 0,34781

P45) Efetuar as multiplicações
1º) 4,31 x 0,012
2º) 1,2 x 0,021 x 4

P46) Calcular os seguintes quocientes aproximados por falta.
2º) 3,9 por 2,5 a menos de 0,1

P47) Em uma prova de 40 questões, Luciana acertou 34. Nestas condições:
Escreva a representação decimal do número de acertos;
Transformar numa fração decimal;
Escreva em % o número de acertos de Luciana.
d) d) d)
P48) Calcular o valor da seguinte expressão numérica lembrando a ordem das
operações: 0,5 + ( 0,05 ¸ 0,005).

P49) Quando o professor pediu a Toninho que escrevesse a fração decimal que
81
representa o número 0,081 na forma de fração decimal, Toninho escreveu 10 ; Ele
acertou ou errou a resposta.

P50) Dentre os números 2,3; 2,03; 2,030; 2,003 e 2,0300, quais tem o mesmo valor
?

P51) É correto afirmar que dividir 804 por 4 e multiplicar o resultado por 3 dá o
mesmo resultado que multiplicar 804 por 0,75?

P52) Um número x é dado por x = 7,344 ¸ 2,4. Calcule o valor de 4 - x .

P53) Uma indústria A, vende suco de laranja em embalagem de 1,5 litro que custa
R$ 7,50. Uma indústria B vende o mesmo suco em embalagem de 0,8 litro que
custa R$ 5,40. Qual das duas vende o suco mais barato?

P54)Em certo dia, no final do expediente para o público, a fila única de clientes de
um banco, tem um comprimento de 9 metros em média, e a distância entre duas
pessoas na fila é 0,45m.
Responder:
a) Quantas pessoas estão na fila?
b) Se cada pessoa, leva em média 4 minutos para ser atendida, em quanto tempo
serão atendidas todas as pessoas que estão na fila?

GABARITO - CONJUNTOS NUMÉRICOS


P1) 1,2,3,4

P2) 2

P3) 2

P4) 45

P5) B

P6) 7

P7) 10

P8) B

P9) D

P10) B

P11) 16

P12) a) 4 b) 94 c) 12 d) 5 e) 357
f) 682

P13) A

P14) B

P15) C

P16) 1941

P17) Duas voltas da menor ou três voltas da menor

P18) Os ciclistas se encontraram depois de 180 segundos

P19) Após 4 voltas

P20) C

P21) 9h; 11h; 13h; 15h; 17h

P22) 11h e 20min; 11h e 40min; 18h

P23) 24.339

P24) 72 e 48

P25) 12 metros


P26) R$63,00 ; R$84,00 ; R$126,00

P27) 90 metros

P28) R$420.000,00

P29) R$300,00

P30) 155/4

P31) 2/7

P32) 24

P33) 9 h

P34) Cada comeu ½ e não sobrou nada

P35) 35

P36) 6,6,15

P37) R$35.000,00

P38) 3horas

P39) 1º- R$60,00 , 2º- R$12,00 ,
3º 4º e 5º R$16,00

P40) 45.000

P41) 105

P42) 14 quilômetros e 21 quilômetros

P43) 1º) 14,0839; 2º) 462,791

P44) 1º) 3,0844; 2º) 0,65219;

P45) 1º) 0,05172; 2º) 0,1008;

P46) 1º) 3,29; 2º) 1,5; 3º) 0,714;

85
P47) a) 0,85 b) 100 c) 85%

P48) 0,05

P49) Errou, a resposta é 81/1000


P50) 2,03; 2,030 e 2,0300

P51) Nos dois casos é correto afirmar, pois o resultado é 603

P52) 13,6256

P53) a indústria A

P54) a) 20 pessoas b) 80 minutos.

GABARITO - ESTATÍSTICA

P1)
Conjunto A - a) 8 b) 6 c) 2,4 d) 8 e) 2,8 aprox.
Conjunto B - a) 8 b) 7 c) 2,4 d) 8 e) 2,8 aprox.

P2)
a) Conjunto A X = 9 DP » 1,51
Conjunto B X = 11 DP » 1,53
Conjunto C X = 7 DP » 0,75
b) O Conjunto B tem a maior dispersão porque tem o maior desvio padrão

P3) Máquina 1, pois tem a melhor média e o menor desvio

P4) Turma A. Desvio menor significa que, de modo geral, as notas estão
mais próximas da média.

P5) Uma distribuição possível é:

Classe (m) fi f%
[1,69; 1,76[ 3 18,75%
[1,76; 1,83[ 5 31,25%
[1,83; 1,92[ 5 31,25%
[1,92; 1,93[ 3 18,75%

P6)Gráfico de Barras Verticais


Freqüência

450

250

150
100
50

1 2 3 4 5 Numeração

Gráfico de Linha

Freqüência

450

250

150
100
50

1 2 3 4 5 Numeração

Gráfico de Setores

5 1
5% 2
10%
15%

4 3
45% 25%

P7) I-) D II-) A

P8) a) 7 alunos b) 20 alunos c) 25%

P9) a) 700 garrafas b) aproximadamente 57,14%

P10) C

P11) D


P12) 20,2 anos

P13) 8

P14) a) 1 520 candidatos
b) não, pois a nota média, nessa questão, é:
x = 2,30 e portanto, x > 2.

P15) a) Mo = 2 b) Md = 2

P16) 180 mulheres e 40 homens.

P17) a) x = 6,6 b) Md = 7 c) Mo = 7

P18) a) Jogador A: x A =20, jogador B: x B = 20;
b) jogador A: σ A = 1,2, jogador B: σB = 6,5
c) Você decide! Observe, porém, que, apesar de os jogadores
possuírem a mesma média de pontos por jogo, o desvio-padrão do jogador
A é menor do que o do jogador B. Isso quer dizer que, em muito mais
jogos, o jogador A esteve mais próximo da média do que o jogador B, isto
é, A foi mais regular do que B.

REGRA DE TRÊS
É uma técnica de cálculo por meio da qual são solucionados problemas sobre
grandezas proporcionais.
Estes problemas são de dois tipos:

1) Regra de Três Simples: quando se referem a duas grandezas diretamente ou
inversamente proporcionais.

2) Regra de Três Composta: quando se referem a mais de duas grandezas
diretamente ou inversamente proporcionais.

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Consideremos a seguinte situação:


Sobre uma mola são colocados corpos de massa diferentes. A seguir,
medindo o comprimento da mola, que se modifica com a massa do corpo
colocado sobre ela, pode-se organizar a seguinte tabela:

Massa do corpo (em kg) Comprimento da mola (em cm)
10 50
20 100
30 150

Pela tabela pode-se notar que:
v Se a massa do corpo duplica, o comprimento da mola também duplica.
v Se a massa do corpo triplica, o comprimento da mola também triplica.

Usando os números que expressam as grandezas, temos:

1-) Quando a massa do corpo passa de 10kg para 20kg, dizemos que a massa
varia na
10 1
razão = . Enquanto isso, o comprimento da mola passa de 50cm para 100cm, ou seja, o
20 2
50 1
comprimento varia na razão de = .
100 2

2-) Quando a massa do corpo passa de 10kg para 30kg, dizemos que a massa
varia na
10 1
razão = . Enquanto isso o comprimento da mola passa de 50cm para 150cm, ou seja, o
30 3
50 1
comprimento varia na razão de =
150 3
Note que a massa do corpo e o comprimento da mola variam sempre na
mesma razão; dizemos, então, que a massa do corpo é uma grandeza
DIRETAMENTE PROPORCIONAL ao comprimento da mola.

"Quando duas grandezas variam sempre na mesma razão, dizemos que essas
grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, quando a razão entre os
valores da primeira é igual a razão da segunda".

Veja outros exemplos de grandezas diretamente proporcionais:

v Quando vamos pintar uma parede, a quantidade de tinta que usamos é
diretamente proporcional à área a ser pintada duplicando-se a área, gasta-se o
dobro de tinta; triplicando-se a área, gasta-se o triplo de tinta.
v Quando compramos laranjas na feira, o preço que pagamos é diretamente
proporcional à quantidade de laranjas que compramos; duplicando-se a
quantidade de laranjas, o preço também duplica; triplicando-se a quantidade
de laranjas, o preço também triplica.


GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Consideremos a seguinte situação:

A professora de Português da 6ª série tem 48 livros para distribuir entre seus
melhores alunos. Vamos observar que:
v Se ela escolher apenas os dois melhores alunos, cada um receberá 24 livros.
v Se ela escolher os quatro melhores alunos, cada um receberá 12 livros.
v Se ela escolher os seis melhores alunos, cada um receberá 8 livros.

Vamos colocar esses dados no quadro seguinte:

Número de alunos Número de livros
escolhidos distribuído a cada aluna
2 24
4 12
6 8

Pela tabela podemos notar que:

v Se o número de alunos duplica, o número de livros cai pela metade.
v Se o número de alunos triplica, o número de livros cai para a terça parte.

Usando os números que expressam as grandezas, temos:

1-) Quando o número de alunos passa de 2 para 4, dizemos que o número de
2
alunos varia na razão: 4 . Enquanto isso, o número de livros passa de 24 para 12,
24
variando na razão: 12 .

Note que essas razões não são iguais, elas são inversas, ou seja:
2 1 24 2
= e =
4 2 12 1

Nessas condições, o número de alunos escolhidos e o número de livros
distribuídos variam sempre na razão inversa; dizemos então que o número de
alunos escolhidos é INVERSAMENTE PROPORCIONAL ao número de livros
distribuídos.

"Quando duas grandezas variam sempre uma na razão inversa da outra, dizemos
que essas grandezas são inversamente proporcionais, ou seja, quando a razão
entre os valores da primeira é igual ao inverso da razão entre os valores da
segunda".

Veja outros exemplos de grandezas inversamente proporcionais:


v Quando vamos fazer uma construção, o tempo que se gasta nessa
construção é inversamente proporcional ao número de operários que se
contrata; duplicando-se o número de operários o tempo cai pela metade.
v Quando fazemos uma viagem, o tempo que se leva é inversamente
proporcional à velocidade do veículo usado: dobrando-se a velocidade do
veículo, o tempo gasto na viagem cai pela metade.

REGRA DE TRÊS SIMPLES

Consideremos as seguintes situações:

1º) Um carro faz 180km com 15 litros de álcool. Quantos litros de álcool este carro
gastaria para percorrer 210km?

O problema envolve duas grandezas: distância e litros de álcool.
Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido.

Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as
grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha.

Distância Litros de álcool
180 15
210 x

Na coluna "litros de álcool" vamos colocar uma flecha apontada para o x.

Distância Litros de álcool
180 15
210 x

Observe que aumentando a distância, aumenta também o consumo de álcool.
Então, as grandezas distância e litros de álcool, são diretamente proporcionais.
No esquema que estamos montando, indicamos isso colocando uma flecha no
mesmo sentido da anterior.

Distância Litros de
álcool
180 15
210 x

180 15 6 15
= ⇒ = ⇒ 6x = 105 ⇒ x = 17,5 l
210 x 7 x


Resposta: O carro gastaria 17,5 litros de álcool.

2º) Um avião voando à velocidade de 800km por hora vai de São Paulo a Belo
Horizonte em 42 minutos. Se voar a 600km, por hora em quanto tempo fará a
mesma viagem?

As duas grandezas são: velocidade do avião e tempo de vôo.

Observemos que, se a velocidade do avião aumenta, o tempo de vôo diminui, logo
a velocidade e o tempo são grandezas inversamente proporcionais.

Chamando de x o tempo necessário para voar de São Paulo à Belo Horizonte a
600km por hora, temos:

Tempo de vôo Velocidade
42 800
X 600

42 600 42 3
= ⇒ = ⇒ 3x = 168 ⇒ x = 56 minutos
x 800 x 4

Resposta:

O avião vai de São Paulo a Belo Horizonte em 56 minutos, voando a 600km/h.

REGRA DE TRÊS COMPOSTA
A regra de três composta se refere a problemas que envolvem mais de
duas grandezas. A grandeza cujo valor procuramos pode ser diretamente ou
inversamente proporcional a todas as outras, ou até mesmo diretamente
proporcional a umas e inversamente proporcional a outras.

1O) Em quatro dias oito máquinas produziram 160 peças. Em quanto tempo 6
máquinas iguais às primeiras produzirão 360 dessas peças?

Resolução:

Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as grandezas de mesma espécie
em uma só coluna, e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem
em uma mesma linha.
Na coluna "dias" coloquemos uma flexa apontada para x.

Máquinas Peças Dias
8 160 4
6 360 x


Comparemos cada grandeza com aquela onde está o x.

As grandezas, peças e dias são diretamente proporcionais. No nosso
esquema isso será indicado colocando-se na coluna "peças" uma flecha no
mesmo sentido da flecha da coluna "dias".

8 160 4
6 360 x

As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais (quanto
maior o número de máquinas, menos dias para se efetuar o trabalho). No nosso
esquema isso será indicado colocando-se na coluna "máquinas" uma flecha no
sentido contrario na coluna "dias"

8 160 4
6 360 x

4
Agora vamos montar a proporção, igualando a razão que contém o x, que é x ,
como o produto das outras razões, obtidas segundo orientação das flechas:

4 160 8 4 4 3 4 1 1 4 1
= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒
x 360 6 x 9 4 x 3 1 x 3
⇒ x = 12

Resposta: 12 dias.

2º) Trabalhando durante 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças
desse mesmo tipo serão produzidas por 7 operários trabalhando durante 9 dias?

Resolução:
Inicialmente vamos organizar os dados no seguinte quadro, indicando o
número de peças pedido pela letra x.

Operários Dias Peças
5 6 400
7 9 x
A B C

v Fixando a grandeza A, vamos relacionar as grandezas B e C, se aumentarmos o
número de dias, o número de peças também aumentará; logo, as grandezas B e
C são diretamente proporcionais.

v Fixando a grandeza B, vamos relacionar as grandezas A e C, se aumentarmos o
número de operários, o número de peças também aumentará, logo, as
grandezas A e C são diretamente proporcionais.


Então, a grandeza C é diretamente proporcional às grandezas A e B; logo
seus valores são diretamente proporcionais aos produtos dos valores das
grandezas A e B, ou seja:
400 5 6 400 5 2 400 10
= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒
x 7 9 x 7 3 x 21

40 1
⇒ = ⇒ x = 40 . 21 ⇒ x = 840
x 21
Resposta:
Produzirão 840 peças.

EXERCÍCIOS
P1) Um automóvel gasta 10 litros de gasolina para percorrer 65km. Quantos litros
gastará num percurso de 910km?

P2) Qual o tempo gasto por 12 homens para executar um trabalho que 8 homens
nas mesmas condições executam em 9 dias?

P3) Um fonte dá 38 litros de água em 5 minutos; quantos litros dará em uma hora
e meia?

P4) Para tecer 19m de um tecido com 50cm de largura são gastos 38kg de lã.
Quantos metros serão tecidos com 93kg da mesma lã, sendo a largura de 60cm?

P5) Numa transmissão de correia, a polia maior tem 30cm de diâmetro e a menor
18cm. Qual o número de rotações por minuto da menor polia, se a maior dá 45 no
mesmo tempo?

P6) Com 9 há de gasto podem ser mantidas 20 cabeças de gado. Quantos há
serão necessários para manter 360 cabeças?

P7) Uma máquina, que funciona 4 horas por dia durante 6 dias produz 2000
unidades. Quantas horas deverá funcionar por dia para produzir 20.000 unidades
em 30 dias?

P8) Um automóvel, com a velocidade de 80km por hora, percorreu certa distância
em 6 horas. Que tempo gastará para percorrer a mesma distância se reduzir a
velocidade para 50km por hora?

P9) Um automóvel percorreu certa distância em 4h, com a velocidade de 60km por
hora. Qual o tempo que gastará para percorrer a mesma distância com a
velocidade de 90km por hora?


P10) Se três homens podem arar um campo de 8 há em 5 dias, trabalhando 8
horas diárias, em quantos dias 8 homens poderão arar 192 há trabalhando 12
horas diárias?

P11) Com 16 máquinas de costura aprontaram-se 720 uniformes em 8 dias de
trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionarem 2160
uniformes em 24 dias?

P12) Se 54 operários trabalhando 5 horas por dia levaram 45 dias para construir
uma praça de forma retangular de 225m de comprimento por 150m de largura,
quantos operários serão necessários para construir em 18 dias, trabalhando 12
horas por dia, outra praça retangular de 195m de comprimento por 120m de
largura?

P13) Para construir um canal de 104m de comprimento por 5m de profundidade e
7m de largura, 100 operários, trabalhando 7 horas por dia, levaram 2 meses e
meio. Aumentando de 40 o número de operários e fazendo-os trabalhar 10 horas
por dia, pergunta-se: em quanto tempo os operários construíram um segundo
canal, com o mesmo comprimento do primeiro, porém de profundidade e largura
duplas da do primeiro?

P14) Se com 1000 litros de água se rega um campo de 450 há durante 20 dias,
qual é a quantidade de água necessária para se regar outro campo de 200 há
durante 30 dias?

P15) Para o piso de uma sala empregam-se 750 tacos de madeira de 5cm de
comprimento por 3cm de largura. Quantos tacos de 40cm de comprimento por
7,5cm de largura são necessários para um piso cuja superfície é dupla da
anterior?

P16) Se 10 operários, trabalhando 8 horas diárias, levantam em 5 1/2 dias uma
parede de 22m de comprimento por 0,45 de espessura em quanto tempo 16
operários, trabalhando também 8 horas por dia, levantam outra parede de 18m de
comprimento, 0,30 de espessura e de altura duas vezes maior que a primeira?

P17) Um bloco de mármore de 3m de comprimento, 1,50m de largura e 0,60 de
altura pesa 4350kg. Quanto pesará um bloco do mesmo mármore cujas
dimensões são: comprimento 2,20 largura 0,75m e altura 1,20?

P18) Um navio tem viveres para 20 dias de viagem. Porém um imprevisto deixou-o
ancorado em alto mar durante 10 dias, onde o comandante do navio foi avisado
da previsão do atraso. Em quanto se deve reduzir a ração diária da tripulação,
para que não faltasse comida até o fim da viagem?

P19) Uma pessoa calculou que o dinheiro que dispunha seria suficiente para
passar 20 dias na Europa. Ao chegar, resolveu prolongar sua viagem por mais 4
dias. A quanto teve de reduzir o sue gasto diário médio?


P20) Alguns operários devem terminar certo serviço em 36 dias, trabalhando 8
horas por dia. O encarregado, após 20 dias, verifica que só 0,4 da obra estava
pronta. Para entregar o serviço na data fixada; quantas horas por dia devem os
operários trabalhar nos dias restantes?

GABARITO - REGRA DE TRÊS

P1) 140 litros

P2) 6 dias

P3) 684 litros

P4) 38,75 metros

P5) 75 rotações

P6) 162 há

P7) 8 horas por dia

P8) 9 horas e 36min

P9) 2 h e 45min

P10) 30 dias

P11) 12 máquinas

P12) 39 operários

P13) 5 meses

P14) 666,666 litros

P15) 75 tacos

P16) 3,15 dias

P17) 3190 kg

1
P18) 3

1
P19) 6

P20) 15 horas


PORCENTAGEM (%)
"Porcentagem é uma fração decimal, cujo denominador é cem, a expressão x %, é
chamada de
x
taxa percentual e representa a razão ".
100

Exemplos:

OPERAÇÕES COM PORCENTAGEM
Podemos, por exemplo, operar números na forma de porcentagem, observe:

Exemplo:

Efetue:

64 8 4
v 64% = = = = 0,8 = 80%
100 10 5
2 2
 10   1  1
(10%) =   =  =
2
v = 1%
100  10  100
5 15 1 3 3
v 5% × 15% = × = × = = 0,75%
100 100 20 20 400

TRANSFORMAÇÕES
Muitas vezes teremos que transformar números decimais, ou frações, para a
forma de porcentagem, ou mesmo teremos que fazer o contrário, transformar
porcentagens em números decimais ou frações.

DECIMAIS → PORCENTAGEM


"Para converter números decimais em porcentagem, basta multiplicar o número
por 100".

Exemplos:
Vamos converter os números abaixo para a forma de porcentagem:
v 0,57 ×100 = 57%
v 0,007 ×100 = 0,7%
v 1,405 ×100 = 140,5%

FRAÇÕES → PORCENTAGEM

"Para converter frações para porcentagens, em geral, vamos transformar as
frações em números decimais, em seguida multiplicá-los por 100".

Exemplos:

7
v =0,466...=46,666% aproximadamente 46,7%
15
3
v = 0,75 = 75%
4

CÁLCULOS EM PORCENTAGEM
Existem problemas onde precisamos encontrar a porcentagem de um valor
específico, ou mesmo a porcentagem de um determinado número de elementos
em um conjunto, ou população:

Exemplo1:
Em uma empresa trabalham 60 pessoas, sendo 15 mulheres. Vamos
determinar qual a porcentagem de homens, existente nesta empresa.
Observe que de 60 pessoas, 15 são mulheres e 45 são homens, logo, em
45
sabemos que 60 dos funcionários da empresa são homens.
3
Simplificando a fração encontrada obtemos 4 , então teremos 75% dos
funcionários como sendo homens e o restante (25%) sendo mulheres.

Exemplo2:
Vamos determinar quanto é 23% de R$ 500,00. Paratanto, vamos calcular
de duas formas distintas, a primeira utilizando uma regra de três, e a outra,
utilizando a relação "fração → todo", utilizada na resolução de problemas que
envolvem frações.

1O.Modo: "Regra de Três"

% R$
23 x


100 500

Como as grandezas são diretamente proporcionais a equação fica assim:

23 x
v = ⇒ 100x = 23 . 500 ⇒ x = 23 . 5 ⇒ x = 115
100 500

Logo, 23% de R$ 500,00 é igual a R$ 115,00.

2O.Modo: "Fração → Todo"
23
v 23% de 500 = . 500 = 23 . 5 = 115
100
Logo, 23% de R$ 500,00 é igual a R$ 115,00.


R1) Ao receber uma dívida de R$ 1.500,00, uma pessoa favorece o devedor com
um abatimento de 7% sobre o total. Quanto recebeu?

Resolução:
Uma pessoa deve receber R$ 1.500,00, e no entanto, essa pessoa, concede um
abatimento de 7% sobre esse valor, portanto, ela recebeu 93% do valor total (R$
1.500,00).
93
v 93% de 1.500 = × 1.500 = 93 . 15 = 1.395
100
Logo a pessoa recebeu R$ 1.395,00.

R2) Uma pessoa ao comprar uma geladeira, conseguiu um abatimento de 5%
sobre o valor de venda estipulado, e assim foi beneficiado com um desconto de
R$ 36,00. Qual era o preço da geladeira?

Resolução:

1O.Modo: "Regra de Três"

% R$
5 36
100 x

Como as grandezas são diretamente proporcionais a equação fica assim:

5 36
v = ⇒ 5x = 36 . 100 ⇒ x = 36 . 20 = 720
100 x
Portanto, o preço da geladeira era de R$ 720,00.


2O.Modo: "Fração → Todo"

Sabemos, do enunciado, que 5% de um valor qualquer (aquele que temos que
descobrir) é igual a R$ 36,00, logo:
5
v 5% de x = 36 ⇒ . x = 36 ⇒ 5x = 36 . 100 ⇒ x = 720
100
Portanto, o preço da geladeira era de R$ 720,00.

R3) Uma coleção de livros foi vendida por R$ 150,00. Com um lucro de R$ 12,00.
Qual foi a porcentagem do lucro?

Resolução:

"Fração → Todo":
x
x% de 150 = 12 ⇒ . 150 = 12 ⇒ x = 8%
100
"Regra de Três"

% R$
X 12
100 150
x 12
= ⇒ 150x = 1200 ⇒ x = 8%
100 150

AUMENTOS E DESCONTOS
Uma determinada loja de roupas dá as seguintes opções de compra de uma calça
jeans, cujo preço é de R$ 40,00:
v 1a.Opção de Pagamento ⇒ pagamento à vista com um desconto de 5%.
v 2a.Opção de Pagamento Þ pagamento a prazo com um aumento de 5%.

Qual será o novo preço da calça, nos dois casos considerados?

Uma forma de encontrarmos estes dois valores é determinando quanto é
5% de R$ 40,00. Na opção de pagamento à vista, subtrairíamos do valor da calça,
e na segunda opção, somaríamos os 5% no valor da calça, obtendo assim, nos
dois casos, os seus respectivos valores.

Entretanto, em geral, utilizaremos um Fator de Multiplicação, para o caso de haver
um desconto ou um aumento.

DESCONTOS

"Um desconto de x % em cima de um valor V é dado por: (0,a) × V, onde
a = (100 - x)".


Exemplos (Tabela):

Descontos (%) Fator de Multiplicação
25 0,75
30 0,70
70 0,30
5 0,95

Observe que:

v 75 = (100 − 25)
v 70 = (100 − 30)
v 30 = (100 − 70)
v 95 = (100 − 5)

Voltando ao nosso exemplo inicial, o preço pago pela calça, no pagamento à
vista será:
v 0,95 × 40 = R$ 38,00

AUMENTOS
"Um aumento de x % em cima de um valor V é dado por: (1,x) × V".

Exemplos (Tabela):

Aumentos (%) Fator de Multiplicação
25 1,25
30 1,30
70 1,70
5 1,05

Voltando ao nosso exemplo inicial, o preço pago pela calça, no pagamento a
prazo será:
v 1,05 × 40 = R$ 42,00


1) Uma adega vende certa quantidade de garrafas de vinho a R$ 580,00, obtendo
um lucro de 25% sobre o preço da compra. Determinar o preço da compra e o
lucro obtido.

Resolução:
Como se trata de um lucro, nos deparamos com um problema de aumento. Pelo
enunciado R$ 580,00 é o preço de venda e o lucro de 25 % (ou o aumento) é dado


em cima de um valor de compra desconhecido, vamos escrever uma equação que
nos relacione esses valores em linguagem matemática:

Preço de Compra: C

Logo:
v 1,25 × C = 580 ⇒ C = 464

Portanto o preço de compra é R$ 464,00 e o lucro obtido é igual a 580 - 464 = R$
116,00.

2) Um número diminuído de seus 18% vale 656. Qual o número?

Resolução:
Houve uma diminuição, portanto é o mesmo que dizer que houve um desconto, e
este foi de 18%, logo o fator de multiplicação é 0,82. Escrevendo a equação
matemática vem:

Número: x
v 0,82 .x = 656 ⇒ x = 800

Portanto o número é 800.

EXERCÍCIOS - PORCENTAGEM

P1) Qual o número cujos 18% valem 108?

P2) Qual o número cujos 43% valem 374,1?

P3) Uma pessoa compra um terreno por R$ 17,500,00 e vende-o com um lucro de
R$ 3.500,00. Qual a porcentagem do lucro?

P4) Qual o número que aumentado de seus 20% da a soma de 432?

P5) Escrever a razão 3/8 na forma de porcentagem.

P6) Um desconto de R$ 7.000,00 sobre um preço de R$ 25.000,00,
representa quantos por cento de desconto?

P7) Um lucro de R$ 12.000,00 sobre um preço de R$ 150.000,00,
representa quantos por cento desse preço?

P8) Exprimir 51% na forma decimal.

P9) Em um jogo de basquete, um jogador cobrou 20 lances livres, dos quais
acertou 65%. Quantos lances livres acertou?


P10) Durante o ano de 1992, uma equipe de basquete disputou 75 jogos, dos
quais venceu 63. Qual a porcentagem correspondente aos jogos vencidos?

P11) Comprei 60 figurinhas e aproveitei apenas 45 em meu álbum. As restantes
eram repetidas. Qual foi a porcentagem de figurinhas repetidas?

P12) Em um colégio, 1400 alunos estudam no período da manhã. Esse número
representa 56% do número de alunos que estudam no colégio. Quantos alunos
estudam ao todo nesse colégio?

P13) Na compra de um objeto, obtive um desconto de 15%. Paguei, então, R$
7.650,00 pelo objeto. Nessas condições qual era o preço original desse objeto?

P14) Um representante comercial recebe de comissão 4% pelas vendas que
realiza. Em um mês recebeu de comissão R$ 580,00. Quanto vendeu nesse mês?

P15) Em uma fábrica 28% dos operários são mulheres, e os homens são 216.
Quantos são no total os operários dessa fábrica?

P16) Um comerciante compra 310 toneladas de minério à R$ 450,00 a tonelada.
Vende 1/5 com lucro de 25%; 2/5 com lucro de 15% e o resto com um lucro de
10%. Quanto recebe ao todo e qual é o seu lucro?

P17) Um agente de motores adquire os mesmos por R$ 18.000,00 e paga
uma taxa alfandegária de 15%. Devendo dar ao vendedor uma comissão de 10%.
Por quanto deve vender para pagar 30% sobre o mesmo preço?

P18) Uma pessoa compra uma propriedade por R$ 300.000,00. Paga de
taxas, comissões e escritura R$ 72.000,00. Por quanto deve revendê-la para obter
um lucro de 12%?

P19) Um número diminuído de seus 27% vale 365. Qual é o número?

P20) Uma pessoa ganha em uma transação 3/5 da quantia empregada. De quantos
por cento foi o lucro?

P21) A porcentagem de 36% sobre um valor, que fração é desse mesmo valor?

P22) Uma betoneira depois de trabalhar na construção de um edifício, sofre uma
depreciação
de 27% sobre seu valor e, é então avaliada em
R$ 36.500,00. Qual o valor primitivo?

P23) Com uma lata de tinta é possível pintar 50m2 de parede. Para pintar uma
parede de 72m 2 gastam-se uma lata e mais uma parte de uma Segunda. Qual a
porcentagem que corresponde a parte que se gasta da segunda lata?


P24) Sabendo-se que uma substância chamada óxido de magnésio contém 24g de
magnésio. Sendo assim, qual a porcentagem de magnésio existente em 40g de
óxido de magnésio?

P25) A área de um terreno A é 930m 2, enquanto a área do terreno B é 1500 m 2.
Nessas condições a área do terreno A representa quantos por cento da área do
terreno B?

GABARITO - PORCENTAGEM

P1) 600

P2) 870

P3) 20%

P) 360

P5) 37,5

P6) 28%

P7) 8%

P8) 0,51

P9) 13

P10) 84%

P11) 25%

P12) 2.500

P13) 9.000

P14) 14.500

P15) 300

P16) Recebe R$ 160.580,00 e lucra R$ 21.080,00

P17) R$ 29.250,00

P18) R$ 416.640,00

P19) 500

P20) 60%


9
P21)
25

P22) R$ 50.000,00

P23) 44%

P24) 60%

P25) 62%

JUROS
"Juro é a remuneração do capital empregado. É a compensação em dinheiro que
se recebe quando se emprega uma determinada quantia por um determinado
tempo".

Quando aplicamos um capital durante um certo período de tempo,
esperamos obter um rendimento. Após esse período, o capital se transformará em
um valor capitalizado, chamado montante.

"Montante é o capital aplicado acrescido do rendimento obtido durante o período
da aplicação. É também chamado valor futuro, valor de resgate ou valor
capitalizado".
Sejam:
v C = Capital aplicado ou principal
v t = Tempo de aplicação
v i = Taxa porcentual
v J = Juro produzido ou rendimento
v M = Montante

Observação:

O tempo de aplicação deve estar coerente com a taxa, isto é, se um estiver
expresso em anos o outro deve estar também, e assim sucessivamente.

JUROS SIMPLES
"No juro simples a taxa será incidente apenas no valor inicial".

Exemplo:


Empregando R$ 5.000,00 a uma taxa de 10% a.m. a juros simples, qual será o
valor resgatado após 3 meses?

Repare que:

v C = 5.000
v t = 3 meses
v i = 10%
v J =?
v M=?

O que se pede no problema é o montante (M), vamos então, estabelecer
uma seqüência de rendimentos durante os meses, sabendo que se a aplicação
está relacionada com o juros simples devemos empregar a taxa apenas ao valor
inicial

(Capital = 5.000):
10% de 5000 = 500

Logo, a seqüência:
(5000; 5000 + 500, 5500 + 500, 6000 + 500, ...)
(5000; 5500; 6000; 6500; ...)
Pela seqüência podemos concluir que após os três meses de aplicação
termos um montante de R$ 6.500,00, tendo rendido R$ 1.500,00 de juros.

Imagine agora se fôssemos calcular o montante obtido após 30 meses. Seria
inviável utilizar uma seqüência para a obtenção do montante, portanto
utilizaremos para cálculo do Juros Simples, a seguinte fórmula.

Nota:
Para a obtenção do montante basta somar o juros obtido com o capital
empregado.

C⋅ ⋅
i t
J=
100 e M = J + C

Vamos calcular novamente o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00 a uma
taxa de 10% a.m. durante 3 meses:
5000 ⋅ ⋅3 150000
10
v J = = = 1500
100 100
v M = 1500 + 5000 = 6500

Observações:

v Para o nosso estudo, designaremos m (minúsculo) e d (minúsculo) para
referirmo-nos ao tempo em meses e a dias, respectivamente.
v Vamos considerar o ano com 360 dias (ano comercial).



R1) Seja um capital de R$ 800.000,00, investido durante 4 meses e a taxa de juros
simples de 120% a.a.. Calcule:
a) O juro obtido.
b) O montante.

Resolução:
a) Dados:

v C = 800.000
v t = 4 meses
v i = 120 % a.a.

Observe que a taxa está em anos e o tempo em meses, portanto devemos
converter um deles, é mais conveniente, em geral, transformar o tempo de acordo
com a taxa e paratanto podemos utilizar uma regra de três:

Ano Meses
1 12
x 4

Como são grandezas diretamente proporcionais, o cálculo será imediato.
Repare que não haveria necessidade da regra de três, uma vez que quatro meses
4 1
é uma parte do ano e essa parte nada mais é que 12 que é o mesmo que 3 .

Logo:

1
v t=
3

Substituindo na fórmula:

C ⋅ ⋅ 800000 ⋅ ⋅ 3
i t 120 1
J= = = 320.000
100 100

M = J + C = 320.000 + 800.000 = 1.120.000

JUROS COMPOSTOS
"No Juro Composto, os juros gerados são calculados em cima do valor inicial de
cada período, sendo incorporado ao montante de cada período".

Exemplo:


Empregando R$ 5.000,00 a uma taxa de 10% a.m. a juros compostos, qual será o
valor resgatado após 3 meses?

Repare que:

v C = 5.000
v t = 3 meses
v i = 10%
v J=?
v M=?

Analogamente aos juros simples vamos estabelecer uma seqüência de
rendimentos durante os meses, como o juros será calculado em cima do valor
inicial de cada período, vamos utilizar um fator de multiplicação para o
rendimento de 10% ⇒ 1,10

A seqüência:
(5000; 1,10 . 5000, 1,10 . 5500, 1,10 . 6050, ...)
(5000; 5500; 6050; 6655; ...)
Pela seqüência podemos concluir que após os três meses de aplicação
termos um montante de R$ 6.655,00, tendo rendido R$ 1.655,00 de juros.

Em geral, utilizaremos a fórmula:

Mt = C .(1 + i)t

Vamos calcular novamente o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00 a
uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses:

M 3 = 5000 . (1 + 0,10)3 = 5000 . (1,10)3 = 6.655

EXERCÍCIOS - JUROS

P1) Qual o juro produzido por R$ 14.000,00 em três anos, a 5% ao ano?

P2) Calcular o juro de R$ 2.700,00 a 8% ao ano, em 3 anos e 4 meses.

P3) Calcular o juro produzido por R$ 900,00 em 1 ano, 5 meses e 20 dias a 0,8% ao
mês.

P4) Calcular o juro de R$ 264,00 em 9 meses a 7% ao ano.

P5) Qual o capital que produz R$ 400,00 de juro ao ano em 1 ano e 8 meses á uma
taxa de 1% ao mês?

P6) A que taxa ao ano deve ser empregado o capital de R$ 16.000,00 para produzir
R$ 2.520,00 em 2 anos e 3 meses?


P7) O capital de R$ 6.000,00 empregado à 9% ao ano, produziu R$ 810,00 de juro.
Durante quanto tempo esteve empregado?

P8) Uma pessoa adquire um automóvel por R$ 18.000,00. O vendedor
oferece um abatimento
de 5% pelo pagamento à vista. A pessoa, no entan-
to, prefere pagar em duas prestações iguais. A primeira 6 meses depois da
compra e a outra um ano depois submetendo-se ao pagamento de 7% de juro ao
ano. Quanto gastou a mais, adotando o pagamento em prestações?

P9) Certo capital colocado a juro durante 3 anos e 4 meses a 8% ao ano, produziu
R$ 720,00 de juro. Qual o capital?

P10) O capital de R$ 900,00 empregado a 0,8% de juro ao mês, produziu R$ 127,00
de juro. Durante quanto tempo esteve empregado?

P11) Um aparelho eletrônico custa R$ 620,00 à vista. Em 5 prestações mensais o
preço passa a ser de R$ 868,00. Sabendo-se que a diferença entre os preços é
devida ao juros, qual a taxa de juros cobrada ao mês por essa loja?

P12) Quem aplicou R$ 20.000,00 por 2 meses a uma taxa de 10% ao mês vai
receber a mesma quantia que quem aplicou R$ 25.000,00 a uma taxa de 8% ao
mês pelo mesmo período de tempo. Esta afirmação é VERDADEIRA ou FALSA?

P13) Qual o tempo necessário para que um capital, colocado a 5% ao ano, dobre
de valor?

P14) Qual o capital que colocado a 6% ao ano, produz um montante de R$
100.000,00 no fim de 15 anos?

P15) Qual o montante de R$ 100.000,00 no fim de 10 anos à taxa de 5,5%?

P16) Qual a taxa que esteve empregado o capital de R$ 24.750,00, se ao fim de 60
dias produziu o montante de R$ 24.997,50?

P17) Uma pessoa deposita suas economias no valor de R$ 13.000,00 num banco
que paga 5% ao ano. Qual o capital acumulado em 5 anos?

P18) Uma pessoa emprega seu capital a 8% e, no fim de 3 anos e 8 meses recebe
capital e juros reunidos no valor de R$ 15.520,00. Qual o capital empregado?

P19) No fim de quanto tempo um capital qualquer aplicado a 5% triplica de valor?

P20) Uma pessoa coloca um capital a 4%. No fim de 3 anos retira o capital e juros
e coloca o montante a 5%. Ao cabo de 2 anos o novo montante é de R$ 6.160,00.
Qual o capital?

GABARITO - JUROS


P1) R$ 2.100,00

P2) R$ 720,00

P3) R$ 127,20

P4) R$ 13,86

P5) R$ 2.000,00

P6) 7% ao ano

P7) 1 ano e 6 meses

P8) R$ 1.845,00

P9) R$ 2.700,00

P10) 1 ano, 5 meses e 20 dias

P11) 8%

P12) sim

P13) 20 anos

P14) R$ 52.631,58

P15) R$ 155.000,00

P16) 1,67% a.d.

P17) R$ 16.250,00

P18) 12.000

P19) 40 unidades de tempo

P20) R$ 5.000,00

O QUE É CAPITALIZAÇÃO
Do ponto de vista das finanças, CAPITALIZAÇÃO é o processo de aplicação de uma importância a
uma determinada taxa de juros e de seu crescimento por força da incorporação desses mesmos juros
à quantia inicialmente aplicada. No sentido particular do termo, CAPITALIZAÇÃO é uma


combinação de economia programada e sorteio, sendo que o conceito financeiro acima exposto
aplica-se apenas ao componente "economia programada", cabendo ao componente lotérico o papel
de poder antecipar, a qualquer tempo, o recebimento da quantia que se pretende economizar ou de
um múltiplo dela de conformidade com o plano. Para a venda de um título de Capitalização é
necessário uma série de formalidades que visam a garantia do consumidor. A Sociedade de
Capitalização deve submeter o seu plano ao órgão fiscalizador do Sistema Nacional de Capitalização
- SUSEP.
Plano de Capitalização - é o conjunto de elementos que dão forma ao título, são as Condições
que caracterizam um produto e os diferenciam entre si. Os planos são representados pelas Condições
Gerais, Nota Técnica Atuarial e Material de Comercialização.
A comercialização de um título de Capitalização envolve termos próprios, a saber:
O QUE É TÍTULO DE CAPITALIZAÇÃO?
É um papel do mercado mobiliário, nominativo, que pode ser adquirido à prazo ou à vista.
O QUE SIGNIFICA "JUROS"?
É uma remuneração do capital aplicado a uma determinada taxa, denominada taxa de juros.
No final de cada período de Capitalização que é previamente estipulado, os juros produzidos são
adicionados ao capital, passando a fazer parte do mesmo para efeito de cálculo dos próximos juros.
Assim, estamos diante de uma aplicação de juros compostos.
CONDIÇÕES GERAIS
É o documento onde contém todos os direitos e deveres da Sociedade de Capitalização e do
comprador do título.
É, portanto, de fundamental importância conhecer o texto das Condições Gerais de um título, tanto
para vendê-lo como para comprá-lo. Atente-se ainda para o fato de que não existe padrão de
Condições Gerais, assim sendo, os direitos conferidos pela aquisição de um título de Capitalização ou
os deveres decorrentes da sua venda variam substancialmente de empresa para empresa e até de
plano para plano em uma mesma empresa.
NOTA TÉCNICA
É o documento que contém as demonstrações de cálculos dos
parâmetros técnicos de um título de Capitalização. Esse documento consiste
de enunciados e fórmulas matemáticas e deve ser assinado por atuário
registrado no órgão de classe e credenciado junto à SUSEP.

MATERIAL DE COMERCIALIZAÇÃO
É o material usado para a divulgação e venda do título.
Deve ser bem claro, atendendo ao Código de Defesa do Consumidor.
É fundamental o conhecimento do produto para que todos possam prestar quaisquer esclarecimentos
aos clientes.
COMO SE ADQUIRE UM TÍTULO DE CAPITALIZAÇÃO?
O título pode ser adquirido, mediante preenchimento de uma Proposta para Compra de Título de
Capitalização.
O QUE É PROPOSTA?
Proposta é um formulário contendo os dados do subscritor, bem como sua autorização para débito
em sua conta das mensalidades do título.


SOBRE A NATUREZA E TRANSFERIBILIDADE DO TÍTULO
NATUREZA DO TÍTULO
O título é livremente negociável, podendo ser vendido, trocado ou doado, desde que seja
formalizada junto a Sociedade de Capitalização a transferência conjunta do cedente e
cessionário. Assim, o cessionário sucede o cedente em todos os seus direitos e obrigações.
CEDENTE - Pessoa física ou Jurídica que cede o Título de Capitalização.
CESSIONÁRIO - Pessoa física ou Jurídica a quem está sendo cedido o título e que se
tornará o novo subscritor.

ATRIBUTOS BÁSICOS DO TÍTULO
O título de Capitalização possui os seguintes atributos básicos: prazos, sorteios, mensalidades e
atualizações monetárias.
QUE SIGNIFICA PRAZO?
É o prazo para pagamento das mensalidades do título cujos valores são capitalizados no
mesmo período, ou não, dependendo do plano.
QUE SIGNIFICA VIGÊNCIA?
O título é considerado em vigor no primeiro dia útil seguinte ao do pagamento da primeira
mensalidade. O título permanecerá nessa condição enquanto não houver atraso no
pagamento das mensalidades subsequentes.
QUE SIGNIFICA TÍTULO SUSPENSO?
Vencido o prazo para pagamento e não quitado o débito, ficará suspenso automaticamente o
direito de o título concorrer a sorteios, até que venha a ficar novamente em dia, pelo
pagamento das mensalidades vencidas.
QUE É PRAZO DE CARÊNCIA?
É o período de tempo em que o subscritor do título terá que esperar para receber o valor de
resgate correspondente ao saldo de Capitalização garantido.
Decomposição das Mensalidades de um Título de Capitalização
A mensalidade é composta pelo menos de três elementos a saber:
Reserva Matemática - É a parcela deduzida de cada mensalidade para constituir as quantias
economizadas pelo subscritor. É somente sobre a reserva matemática que se aplicam
correção monetária e juros e não sobre o total das mensalidades. A reserva matemática nada
mais é que o valor de resgate ao final do plano.
Despesas Operacionais - É a parcela deduzida de cada mensalidade para cobrir despesas
operacionais e administrativas da Companhia tais como: salários, honorários, aluguéis,
publicidade, material, correios, etc.
Custo de Sorteios - É a parcela deduzida de cada mensalidade para garantir o pagamento dos
prêmios aos subscritores contemplados.
FORMA DE PAGAMENTO
O título de Capitalização pode ser adquirido à prazo ou à vista.
PRAZO DE PAGAMENTO / TAMANHO DA SÉRIE
O prazo de pagamento e o tamanho da série são definidos em função do plano a ser
elaborado pela Companhia de Capitalização.


DESCONTO BANCÁRIO
Chamamos de desconto comercial, bancário ou por fora o equivalente ao juro simples
produzido pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente e à taxa
fixada.
Sejam d o valor de desconto comercial, N o valor nominal do título, A o valor atual
comercial, n o tempo que falta para o vencimento e i a taxa de desconto, então:
O valor atual bancário é dado por:

EXERCÍCIOS
1. Um título de R$ 60.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias
para o vencimento do título, determine:
a . o valor do desconto comercial
b . o valor atual comercial
Solução
N = 60.000,00 i = 2,1% a.m. n = 45 dias
a. d = N i n = 60.000 x 0,021 x 1,5 = R$ 1.890,00
b. A = N - d = 60.000 - 1.890 = R$ 58.110,00

2. Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 6.072,00.
Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% ao
mês.

Solução
N = 6.900,00 A = 6.072,00 i = 4% a.m.
d = N - A = N i n . (6.900 - 6.072) = 6.900 x 0,04 x n
n = 828
69000 x 0.04
=3

Resp: 3 meses

DESCONTO COMPOSTO
O desconto simples, racional ou comercial são aplicados somente aos títulos de curto
prazo, geralmente inferiores a 1 ano.
Quando os vencimentos têm prazos longos, não é conveniente transacionar com esses
tipos de descontos, porque podem conduzir a resultados que ferem o bom senso.
Observe o EXEMPLO

Calcular o desconto comercial de um título de R$ 100.0000,00 com resgate para 5 anos, à
taxa de 36% ao ano.

RESOLUÇÃO
Fórmula: d = N i n
N = R$ 100.000,00 i = 36% a.a. = 0,36 a.a. n= 5 anos
d = 100.000 . 0,36 . 5 = 180.000

Como vemos, o valor do desconto é superior ao valor nominal do título, o que é um
absurdo!!!
É por esse motivo que, em casos como o apresentado, adotamos o regime de regime de
juros compostos, que jamais darão resultados desse tipo.
Como no desconto simples, temos duas formas de desconto composto, o desconto
comercial, bancário composto ou por fora e o desconto racional ou por dentro.


DESCONTO COMERCIAL, BANCÁRIO COMPOSTO OU POR FORA
Como o desconto comercial simples, o desconto comercial composto é calculado sobre o
valor nominal do título. O valor atual é obtido por meio de uma sucessão de descontos
sobre o valor nominal, isto é, sobre o valor expresso no título.

Assim, Instante n: valor do título é N
Instante n - 1 (ou 1 período anterior: valor do título era N - iN = N (1 - i)
Instante n - 2: valor do título era (N - iN) - i (N - iN) = (N - iN) [1 - i] =
= N(1 - i)[1 - i] = N (1 - i)2
e, assim sucessivamente, n períodos antes do vencimento o valor do título era:
A = N (1 - i) n
O desconto comercial é a diferença entre o valor nominal do título e o seu valor
atual. Assim,
d = N - A = N - N(1 - i)n = N [ 1 - (1 - i)n]

EXERCÍCIO RESOLVIDO

1. Calcular o valor atual de um título de R$ 20.000,00 descontado um ano antes do
vencimento à taxa de desconto bancário composto de 5% ao trimestre, capitalizável
trimestralmente.

SOLUÇÃO
A = ? N = R$ 20.000,00 i = 5% a.t. = 0,05 a.t. n = 1 ano = 4
trimestres
A = N (1 - i)n = 20.000 (1 - 0,05)4 = 20.000 . 0,814506 = 16.290,13
A = N (1 - i)n

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Calcular a taxa de desconto bancário composto de um título de R$ 20.000,00,
descontado 4 meses antes do vencimento, recebendo líquido o valor de R$ 16.290,13.

2. Um título de R$ 20.000,00 foi descontado num banco, pelo desconto bancário
composto, à taxa de 5% a.m., sendo creditada, na conta do cliente, a importância de R$
16.290,13. Quanto tempo antes do vencimento foi descontado este título?

Gabarito
01 - Resp: 5% 02 - Resp : 4 meses

O que é Taxa de Juros?
É o preço do dinheiro. Dinheiro é uma mercadoria com outra qualquer. Tomemos o
exemplo de uma geladeira. O preço varia em função da lei da oferta e da procura. Quanto


maior a quantidade de geladeira no mercado, menos o consumidor pagará por ele. Com o
dinheiro é a mesma coisa. Quanto mais dinheiro os bancos têm para oferecer aos seus
clientes, menos eles cobram pelo empréstimo. E o preço que os bancos cobram é a taxa
de juros. Os bancos precisam captar recursos no mercado para poder emprestar. Para
atrair esse capital eles remuneram os clientes que depositam seu rico dinheirinho. E
adivinhe com o se chama essa remuneração: taxa de juros. Portanto, por definição, o que
o banco lucra é a diferença entre a taxa de juros paga ao depositante e a taxa cobrada de
quem pega um empréstimo. É o chamado spread.

TAXAS

DESCONTO COMERCIAL SIMPLES

Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que entregue ao credor
um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida.
Todo título de crédito tem uma data de vencimento; porém, o devedor pode resgatá-lo
antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado desconto.
O desconto é uma das mais comuns aplicações da regra de juro.
Os títulos de crédito mais utilizados em operações financeiras são a nota promissória, a duplicata e a
letra de câmbio.
A nota promissória é um comprovante da aplicação de um capital com vencimento predeterminado. É
um título muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoa física e instituição financeira.
A duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física ou jurídica),
para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo
um contrato.
A letra de câmbio, assim como a nota promissória, é um comprovante de uma aplicação de capital
com vencimento predeterminado; porém, é um título ao portador, emitido exclusivamente por uma
instituição financeira.

Com relação aos títulos de crédito, pode ocorrer:
•que o devedor efetue o pagamento antes do dia predeterminado. Neste caso, ele se beneficia com um
abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro durante o intervalo de
tempo que falta para o vencimento;
•que o credor necessite do seu dinheiro antes da data predeterminada. Neste caso, ele pode vender o
título de crédito a um terceiro e é justo que este último obtenha um lucro, correspondente ao
juro do capital que adianta, no intervalo de tempo que falta para o devedor liquidar o
pagamento; assim, ele paga uma quantia menor que a fixada no título de crédito.

Em ambos os casos há um benefício, definido pela diferença entre as duas quantidades. Esse
benefício, obtido de comum acordo, recebe o nome de desconto.
As operações anteriormente citadas são denominadas operações de desconto, e o ato de efetuá-las é
chamado descontar um título.

A fórmula é:

d = N.i.n
Exemplo:


Qual o desconto de um título no valor de R$ 50.000,00, se ele for pago 2 meses antes do vencimento à uma
taxa de 5,5 % a.m.?

Aplicando a fórmula:

d : o que você quer saber
N : 50.000,00
i : 5,5% - 0,055
n :2

Logo : 50000 . 0,055 . 2 = > R$ 5.500,00 de desconto

Valor Atual / Nominal

O cálculo do valor atual está para o Desconto Simples como o Montante para o cálculo de Juros
Simples , ou seja, é o valor final após calcular o desconto.

Pegando o exemplo da seção anterior, o Valor Nominal do título era de $ 50.000,00 e o desconto
incidente foi de $ 5.500,00 ( ou seja , A = N-d ). Logo, o Valor Atual é de $ 44.500,00. Fácil, não?

A fórmula para o cálculo direto do Valor Atual é:

A = N. (1-i.n)
Exemplo:

Após receber sua devolução do I.R., você resolve quitar de uma vez as suas parcelas restantes do seu
consórcio, num valor total de $ 70.000,00 ( claro, como você é uma pessoa consciente você paga suas
dívidas e não sai por ai torrando e fazendo novas dívidas). Faltam 5 parcelas mensais e o desconto será
de um 1% a.m. . Quanto você terá de pagar em cash ?

Aplicando a fómula:
A = o que você quer descobrir
N =70.000,00
i = 1% a.m.
n = 5 meses
Logo: A=70000. (1 - 0,01.5) resultando $ 66.500,00 , ou seja, uma diferença de $ 500,00.

Taxas Equivalentes

Em linguagem simples, são duas taxas ou mais taxas que, quando aplicadas, em determinado lapso
de tempo em determinada quantia têm como resultado o mesmo valor.

Complicado? Tá, então digamos assim: você tem uma aplicação que rende 1 % a.m. se você aplicar
durante 6 meses . E você tem outra que rende 12 % a.a. se você aplicar durante um ano. Qual é mais
vantajosa? É tudo a mesma coisa , ou seja, elas são equivalentes, ou não? Ou será que é melhor pagar
antecipadamente uma dívida ou aplicar o dinheiro e pagá-la no vencimento previsto?

EXEMPLO: Calcular o juro produzido pelo capital de R$ 20.000,00
- à taxa de 4% ao mês, durante 6 meses
- à taxa de 12% ao trimestre, durante 2 trimestres
RESOLUÇÃO
No primeiro caso, temos J = 20.000,00 x 0,04 x 6 = 4.800,00
No segundo caso, temos J = 20.000,00 x 0,12 x 2 = 4.800,00


Como os juros são iguais, podemos dizer que 4% a . m. e 12% a . t., são taxas equivalentes

Ah, mais uma coisinha que causa confusão entre os não-iniciados. Muitas vezes você vai ouvir sobre
Taxas Nominais, Taxas Efetivas e Taxas Reais e quiçá, Proporcional e Aparente . Mas, afinal, do que
se trata tudo isso?

Vamos lá:

Taxa Nominal - Versão financiês : É quando o período de formação e o período de incorporação de
juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referenciada. - Versão português : É
quando você diz, por exemplo, que uma aplicação é de 35% ao ano só que a capitalização é mensal ou
que a aplicação financeira é de 0,85% ao mês só que a capitalização é diária, como os FIFs ou FAQs,
de capitalização diária , dos bancos.
Assim, por exemplo,
35% ao ano, com capitalização mensal;
16% ao ano, com capitalização semestral;
36% ao mês, com capitalização diária.
Veja bem: A taxa nominal é muito utilizada no mercado, quando da formalização dos negócios. Não é,
porém, utilizada diretamente nos cálculos, por não corresponder, de fato, ao ganho/custo financeiro do
negócio.
Qual é, então, a taxa efetivamente utilizada?
É a taxa efetiva

Taxa Efetiva - falando financiês : É quando o período de formação e o período de incorporação de
juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referenciada. - falando português : É quando
você diz, por exemplo, que uma aplicação é de 1 % ao mensal e capitalização é mensal, como a
poupança.

Como se obtém a TAXA EFETIVA?
O seu valor pode ser determinado através da equivalência: o principal VP aplicado à taxa iaa
durante um ano deve produzir mesmo montante que quando aplicado à taxa i
durante m períodos:
VP( 1 + iaa) = VP( 1 + i)m.
Portanto,
iaa = (1 + i)m - 1 = FAC (m,i) - 1

EXEMPLO
Sejam R$ 100,00 aplicados a 2% ao mês, capitalizados mensalmente.
Taxa nominal: iN = 12 x 2% = 24% ao ano.
Taxa efetiva: i E = (1 + 0,02)12 - 1 = 1,268 - 1 = 0,268 = 26,8% ao ano
O montante após um ano será 100(1 + 0,268) = 126,8 e não 100(1 + 0,24)
= 124 como se poderia supor!!.

A distinção entre taxa efetiva e taxa nominal é de suma importância. Em situações envolvendo
empréstimos ou financiamentos, por exemplo, a taxa que figura nos contratos é geralmente a taxa
nominal, que não pode ser tomada como critério de decisão.

Taxa Real - é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período. Você vai ouvir esse termo
adoidado. Pegando o exemplo da poupança , quando o Governo diz que a poupança tem um
rendimento real de 0,5% ao mês , siginifica que seu dinheiro foi corrigido primeiro pela inflação do
período e sobre este montante foi aplicado 0,5%.

Bom agora que você está suficientemente confuso ou confusa , vamos aos cálculos de equivalência:


Taxa de Juros Proporcional

Duas taxas são ditas proporcionais quando os números que indicam as taxas são diretamente
proporcionais aos respectivos números que indicam os períodos de referência. É um conceito do
regime de juros simples.
Por exemplo:
15% ao trimestre é proporcional a 5% ao mês. Isto porque:
15% / 3 meses = 5% / 1 mês

Taxa de Juros Aparente

É um conceito usado em estudos financeiros em contexto inflacionário. Hoje em dia não é utilizada
devido às baixas taxas de inflação registradas já há alguns anos no Brasil.

Equivalência entre duas taxas no regime de juros simples

Essa é Fácil: é só pegar a taxa e multiplicá-la (ou dividi-la) pelo período correspondente ao que
deseja descobrir. Exemplo : você tem uma taxa de 5% a.m. e quer saber quanto é equivalente ao ano.
Ora, um ano tem 12 meses então é só multiplicar 5% por 12 e você tem 60% a.a. O inverso também é
verdadeiro : você tem uma taxa de 15% a.m. e quer saber quanto é ao dia . É só dividir 15% por 30
dias e você tem 0,5% a.d. Fácil, não ?

Equivalência entre duas taxas no regime de juros composto

Bom, essa é um pouco mais complicada, mas também não é nenhum bicho-de-sete-cabeças. Se você
quer passar de uma unidade de tempo "menor" para uma "maior" , como de mês para ano, você
eleva a taxa de juros pelo número de períodos correspondente. Se for o contrário, como por exemplo
de ano para mês, você eleva ao inverso do período . Complicado ? Que nada , isso é matéria de 2º
grau mas para os que não se lembram ou cochilaram na aula, abaixo uma tabelinha com as
conversões necessárias :

De a.m. para a.a. = ia = (1+im)12 -1
De a.d. para a.m. = im = (1+id )30 -1
De a.d. para a.a. = ia = (1+id)360 -1
De a.a. para a.m. = im = (1+ia)1/12 -1
De a.m. para a.d. = ia = (1+im)1/30 -1
De a.a. para a.d. = id = (1+ia)1/360 -1

Exemplo : você tem uma taxa de 24% a.a. e quer saber quanto é equivalente ao mês. Usando a
fórmula dá aproximadamente 1,81% a.m. Será? Então faça uma prova de confirmação : use as duas
taxas sobre um valor simples como R$ 1.000,00 e veja se o resultado não é igual. (Na verdade dá
uma pequena diferença porque eu arredondei o decimal na hora de calcular ;))

Equivalência entre uma aplicação e um desconto no regime de juros simples

Há ocasiões em que será necessário verificar se uma taxa de juros aplicada a um capital e uma taxa
de juros aplicada para fins de desconto são equivalentes.
Isso é fundamental para decidir se vale a pena pagar antes, aplicar , reinvestir , etc..
A fórmula para determinar uma taxa equivalente é :

Se você tem a taxa de desconto e quer descobrir a taxa de juros correspondente:


i / 1- i.n

Se você tem a taxa de juros para aplicação e quer descobrir a taxa de desconto correspondente:
i / 1+ i.n

Exemplo: Vamos pegar um capital de $ 60.000,00 investido a juros simples de 8% a.m. por 3 meses.
Qual a taxa de desconto simples equivalente ?
Usando a fórmula : i / 1+ i.n = > 0,08 / 1,08*3 = >0,0645 Ou seja 6,45% a.m. de desconto é
equivalente a 8% a.m. para aplicação, em regime de juros simples, num prazo de 3 meses.

RENDAS UNIFORMES E VARIÁVEIS (Rendas Certas ou
Anuidades)
Bom, anuidades ou rendas certas é o nome que se dá aos pagamentos sucessivos tanto a
nível de financiamentos quanto de investimentos.

Se a renda possui um número finito de termos será chamada de temporária caso contrário
é chamada de permanente. Apesar da opinião de alguns mutuários da Caixa Econômica ,
o financiamento da casa própria é temporária, apesar de ter um termo de conclusão bem
longo.

Agora, se os termos da renda certa forem iguais é chamada de renda certa de termo
constante ou renda certa uniforme; senão é uma renda certa de termo variável.

Finalmente, quando o período entre as datas correspondentes aos termos tiverem o
mesmo intervalo de tempo , diz-se que a renda certa é periódica ; caso contrário é não
periódica.

Exemplo:

Um financiamento de casa própria é um caso de renda certa temporária, de termo variável
(sujeito à variação da T R) e periódica.

Um financiamento de eletrodoméstico é um caso de renda certa temporária, de termo
constante (você sabe quanto pagará de juros) e periódica.

Já a caderneta de poupança pode se considerar como um caso de renda certa perpétua
(pelo menos enquanto o dinheiro estiver à disposição para aplicação), de termo variável e
periódica. Bico, como pode ver. E já que é bico, mais algumas definições :

As rendas periódicas podem ser divididas em :

§Postecipadas
§Antecipadas
§Diferidas

As Postecipadas são aquelas na qual o pagamento no fim de cada período e não na
origem. Exemplo: pagamento de fatura de cartão de crédito

As Antecipadas são aquelas na qual os pagamentos são feitos no início de cada período
respectivo.
Exemplo: financiamentos com pagamento à vista


E as Diferidas são aquelas na qual o primeiro pagamento é feito após um determinado
período.
Exemplo: promoções do tipo, compre hoje e pague daqui a x dias

Caso ainda não tenha percebido , os cálculos envolvendo renda certa lembram os
cálculos de Juros Compostos e Descontos Compostos já vistos anteriores.

Calculando Valor Atual em casos de Rendas Certas

Bom, para começar, trabalharemos aqui com cálculos de renda certas do tipo periódicos,
de termos constantes e temporários, os quais são mais usados.

Para se calcular o Valor Atual num caso de Rendas Certas, a fórmula a ser utilizada
depende de ser postecipada , antecipada ou diferida. Assim , se for:

Postecipada a fórmula é : V=T.an¬i
Antecipada a fórmula é : V=T+T.an-1¬i

Diferida a fórmula é : V=T.an¬i/(1+i) m

m é sempre uma unidade menor do que a se deseja calcular, ou seja, se a venda é diferida
de 3 meses, m será 2 .

Para saber o valor de an¬i , você pode:
§calcular usando a fórmula (1+i)n-1/i(1 + i )n.

Exemplo:

Um carro é vendido a prazo em 12 pagamentos mensais e iguais de R$2.800,00 (num total
de R$ 36.000,00), sendo a primeira prestação no ato da compra, ou seja, o famoso " com
entrada" , ou ainda, um caso de renda certa antecipada. Sendo que a loja opera a uma
taxa de juros de 8% a.m. , calcule o preço à vista desse carro.

n = 12
T = 2800
V = 2800+2800. a11¬8% = R$ 22.789,10

Outro exemplo:

Um dormitório é vendido em 4 prestações de R$ 750,00, com o primeiro pagamento para 3
meses após a compra (ou seja, esse é um caso de diferida) Sabendo que a loja trabalha
com juros de 6% a.m. , calcule o valor à vista.

n=4
T = 750
m=2
i = 6%
V = 750.a4¬6 %/(1+.06)2 = 750.3,465106/1.1236 =
R$2.312,95


Calculando o Montante em casos de Rendas Certas
Como você deve se lembrar, Montante nada mais é do que a somatória dos juros com o
capital principal. No caso de rendas certas , a fórmula é dada por:

M=T.Sn¬i

Para saber o valor de Sn¬i você pode:
-calcular usando a fórmula (1+i)n-1/i.

Exemplo:

Calcule o Montante de uma aplicação de R$ 100,00 , feita durante 5 meses, a uma taxa de
10% a.m.
Aplicando a fórmula (esse é um caso de postecipada, porque o primeiro rendimento é um
mês após a aplicação) :

n=5
T = 100
i = 10% a.m.
M = 100.S5¬10% = R$ 610,51

Quando for uma situação de:

antecipada : subtraia 1 de n
diferenciada : após determinar Sn¬i , divida o resultado por (1+i)m

Nomenclaturas usadas

i = do inglês Interest , é usado para representar os juros envolvidos em quaisquer
operações financeiras.

C = do inglês Capital , é usado para representar o Capital utilizado numa aplicação
financeira.

M = do inglês a Mount , é usado para representar o Montante que é o resultado da
soma do Capital com os juros.

n = nesse caso é uma incógnita (quem aprendeu equações do segundo grau usou
muitas incógnitas. Todos aqueles x, y, z são incógnitas.) referente ao período de
tempo (dias, semanas, meses, anos...) de uma aplicação financeira. Lembre-se da
expressão : "levou n dias para devolver o dinheiro..."

a.d. = abreviação usada para designar ao dia

a.m. = abreviação usada para designar ao mês

a.a. = abreviação usada para designar ao ano

d = do inglês Discount , é usado para representar o desconto conseguido numa
aplicação financeira.


N = do inglês Nominal , é usado para representar o valor Nominal ou de face de um
documento financeiro.

A = do inglês Actual , é usado para representar o valor real ou atual de um documento
financeiro em uma determinada data.

V = incógnita usada para representar o Valor Atual em casos de renda certa ou
anuidades

T = incógnita usada para representar o Valor Nominal em casos de renda certa ou
anuidades

an¬i = expressão que representa o fator de valor atual de uma série de pagamentos.

Sn¬i = expressão que representa o fator de acumulação de capital de uma série de
pagamentos.

PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E
FINANCIAMENTOS
Amortização - SAC
(Sistema de Amortização Constante)

Neste sistema, o devedor obriga-se a restituir o principal em n prestações nas quais as
cotas de amortização são sempre constantes. Ou seja, o principal da dívida é dividido pela
quantidade de períodos n e os juros são calculados em relação aos saldos existentes mês
a mês. A soma do valor de amortização mais o dos juros é que fornecerá o valor da
prestação. Não há necessidade de fórmulas complicadas mas você precisará montar uma
planilha em situações de períodos mais ou menos longos. Esse tipo de empréstimo é
usado pelo SFH e também, em certos casos, em empréstimos às empresas privadas
através de entidades governamentais.

Exemplo:

Na compra de um apartamento de $ 300.000,00, você faz um financiamento em um banco
com juros de 4% a.m., a ser pago em 5 meses. Calcule a prestação mensal.

Bom, o valor da amortização é calculado dividindo-se o principal pela quantidade de
períodos, ou seja, 300.000 por 5 que dá 60.000 Os juros são calculados sobre os saldos da
prestação, assim :

1º mês 300.000 * 4% = 12.000,00
2º mês 240.000 * 4% = 9.600,00
3º mês 180.000 * 4% = 7.200,00
4º mês 120.000 * 4% = 4.800,00
5º mês 60.000 * 4% = 2.400,00

Os saldos são calculados subtraindo-se apenas o valor da amortização. Por exemplo, no
primeiro mês você pagará $ 72.000,00 de prestação mas do saldo devedor será subtraído
apenas o valor da amortização que é $ 60.000,00 e por aí vai...

Ou seja, ao final você pagará $ 336.000,00 em 5 prestações, sendo a primeira de $
72.000,00, a segunda de $ 69.600,00 , a terceira de $ 67.200,00 , a quarta de $ 64.800,00 e a


quinta de $ 62.400,00. Disso, $ 300.000,00 corresponde ao principal e $ 36.000,00 aos
juros.

Amortização - SACRE
O SACRE é uma modalidade de financiamento criada pela Caixa Econômica Federal a ser
aplicada nos empréstimos para aquisição de casa própria.

A Caixa costumava (em alguns casos ainda utiliza) utilizar os sistemas Price , SAC e o
SAM, só que enquanto que nesses sistemas os juros são calculados sobre o saldo do
saldo devedor menos amortização, a Caixa calculava os juros antes do abatimento da
amortização o que acabava resultando em um abatimento menor. Junte-se a isso a alta
inadimplência, a Caixa optou por desenvolver um mecanismo próprio de amortização.

Em termos comparativos é como fosse um Sistema Price só que as mensalidades iniciais
são maiores do que as finais. Qual a vantagem disso ? Bom o contratante quitaria o
grosso do empréstimo mais cedo e, caso ficasse inadimplente, haveria uma grande
possibilidade de que a maior parte do empréstimo já estivesse paga.

O cálculo divide-se em duas partes: o cálculo do Encargo Mensal sobre o qual é calculado
a prestação mensal a ser paga.

A fórmula para o Encargo Mensal é :

EM = C * ( i +1/n)

Exemplo:

Na compra de um apartamento de R$ 300.000,00, você faz um financiamento em um banco
com juros de 4% a.m., a ser pago em 5 meses. Calcule a prestação mensal.

EM = 300000 ( 0,04 + 1/5 )
EM = 72000

Para calcular a Prestação Mensal entram dois índices também criados pela Caixa
Econômica : O CES (Coeficiente de Equivalência Salarial) e o Seguro , que possui uma
metodologia toda própria. Não vou me alongar no conceito jurídico ou do porquê eles
existem senão precisarei de um livro só para isso.

CES - 1,12, fixado por Circular.

Seguro - a taxa do seguro é composta por duas partes, a DIF, para Danos Físicos, e a MIP,
Morte e Invalidez. Outra coisa, ela trabalha, atualmente, sobre o valor da avaliação do
imóvel e não sobre o valor financiado. Isso quer dizer que se o imóvel foi avaliado em R$
500.000,00 é sobre isso que será calculado e não sobre o valor financiado. As fórmulas
são básicas:

DIF = valor da avaliação x taxa de seguro x CES
MIP = valor da avaliação x taxa de seguro x CES

Apresentamos as duas fórmulas em separado, porque as taxas de seguro são diferentes (
faz sentido, afinal Danos Físicos é bem diferente de Morte, não ?). Para saber quais taxas
aplica-se no seu caso você tem de contatar a Caixa, mas para os planos feitos após 94 ,
na Categoria 6 a taxa para DIF é 0,02402 % e para MPI é 0,14429% . A taxa de seguro varia
conforme a categoria (que é dividida conforme o valor da avaliação) conforme o plano


contratado, quando você fechou o contrato... enfim, estamos assumindo que o contrato é
realizado HOJE .

Então vamos lá:

DIF = 500.000 * 0,02402% * 1,12 = 134,51
MIP = 500.000 * 0,14429%*1,12 = 808, 02

Total do seguro = 942,53
Agora vamos finalmente calcular quanto será sua prestação mensal.

A fórmula para o Encargo Mensal é:

PM = (EM*CES)+ Seguro

Exemplo:

com juros de 4% a.m., a ser pago em 5 meses. Calcule a prestação mensal:

EM = 300000 ( 0,04 + 1/5 )
EM = 72000
PM = ( 72000*1,12) + 942,54
PM = 81.582,54

Agora, não se esqueça que existem outras coisas a considerar:

- esse é um método exclusivo da Caixa, apresentado aqui apenas para fins didáticos.
- existem outros pontos a serem considerados como T R e reajustes da prestação que
devem ser levados em conta ao montar a planilha.

Amortização - SAM
(Sistema de Amortização Mista)

Esse sistema é baseado no SAC e no Sistema Price. Nesse caso, a prestação é igual à
média aritmética entre as prestações dos dois outros sistemas, nas mesmas condições.

Esse é o caso típico daquela frase: para quê simplificar se pode complicar... na verdade é
apenas mais uma forma de se fazer um pagamento, uma outra alternativa que o cliente
tem para quitar suas dívidas...

Exemplo:


Esse problema já foi resolvido pelos outros dois sistemas, logo, tudo que tenho a fazer é
somar os valores das prestações dos dois casos e dividir por dois.

Ou seja, ao final você pagará $ 336.470,34 em 5 prestações, divididas da seguinte forma :

1ª $ 69.694,06
2ª $ 68.494,07
3ª $ 67.294,07


4ª $ 66.094,07
5ª $ 64.894,07

Disso, $ 300.000,00 corresponde ao principal e $ 36.470,34 aos juros.

Sistem a Alemão de Am ortização
Esse sistema é utilizado mais em países europeus. Assim, quem fizer negócios com a
Alemanha, Suíça e outros é bem capaz de você encontrar esse tipo de amortização.

O que o torna diferente? Enquanto que nos outros sistemas de amortização os juros são
pagos no vencimento, neste sistema os juros são pagos antecipadamente. Ou seja,
quanto você contrai o empréstimo os juros do primeiro período são pagos; quando for
pagar a 1ª parcela pagará, também, os juros antecipados da 2ª parcela e por aí vai.

A prestação é calculada pela fórmula :
C * i / 1 - (1-i)n

Exemplo:

suíço com juros de 4% a.a., a ser pago em 5 anos. Calcule a prestação anual.


C*i / 1 - (1-i)n
300000* 4% / 1-(1-4%)5
64.995,80

Ou seja, ao final você pagará $ 336.979,02 em 5 prestações, correspondente $ 300.000,00
ao valor de amortização e $ 36.979,02 aos juros.
Alguém poderá dizer: mas 64995,80 vezes 5 anuidades dá 324.979,00, o que dá uma
diferença de 12.000. É, mas não se esqueça que os juros são pagos antecipados. E 4%
sobre 300.000 dá 12.000.

Abaixo uma tabela para melhor entendimento.

Parc. Juros Anuidade Saldo
12000 12000
1 300000 9400 64995,8 235004
2 235004 6800 64995,8 170008
3 170008 4200 64995,8 105013
4 105012 1601 64995,8 40017
5 40017 64995,8 -24979
Total 336979,0

Sistem a Am ericano
Neste sistema, o devedor obriga-se a devolver o principal em um único pagamento,
normalmente ao final, enquanto os juros são pagos periodicamente. Nesse caso, não
existem cálculos complexos. Se for uma taxa de juros fixa, basta usar um cálculo de juros
simples que você terá o total de juros, dividindo o mesmo pelo período terá os
pagamentos mensais.


Exemplo:

Na compra de um apartamento de $ 300.000,00, você faz um financiamento em um banco

Calculando:

300.000 *4%*5 => 60.000,00

Ou seja, ao final você pagará $ 360.000,00 em 5 prestações, correspondendo $ 300.000,00
ao valor de amortização, paga de uma única vez ao final do período e $ 60.000,00 de juros,
pagos em 5 prestações iguais de $ 12.000,00

Há casos em que o cliente, não desejando pagar de uma só vez o valor do principal,
negocia com o banco a criação de um fundo de amortização denominado SINKING FUND
de forma que, ao final do período, o total de fundo seja igual ao valor a pagar. Um tipo de
caderneta de poupança forçada vamos assim dizer.

A prestação é calculada pela fórmula :

M=T. Sn ¬i

Se preferir, divida o principal pelo número de prestações, que você terá o valor do
depósito mensal a ser feito.

Sistem a Price de Amortização
Batizado em homenagem ao economista inglês Richard Price, o qual incorporou a teoria
do juro composto às amortizações de empréstimos, no século XVIII, é uma variante do
Sistema Francês.

O sistema Price caracteriza-se por pagamentos do principal em prestações iguais
mensais, periódicas e sucessivas. A prestação é calculada pela fórmula:

T. an¬i

Os juros são calculados sobre o saldo devedor e o valor da amortização é a diferença
entre o valor dos juros e da prestação.

Exemplo:



F= T. an¬i
300000=T. a 5¬4 %
T=67.388,13

Ou seja, ao final você pagará R$ 336.940,65 em 5 prestações, correspondente R$
300.000,00 ao valor de amortização e R$ 36.940,65 aos juros.


Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de
financiamento, empréstimo e investimento.
Nos financiamentos incide uma série de custos adicionais, como IOF, despesas
administrativas de elaboração do contrato, comissões, etc.
Tais fatores elevam o custo (ou taxa) efetivo e devem ser considerados ao se tomar um
empréstimo.

Em contextos inflacionários inflacionários, deve-se ficar atento para a denominada ilusão
monetária, ou rendimento aparente. Nesta situação é importante determinar a taxa real de
juros e o custo ou rendimento real de um financiamento ou aplicação.

No processo de cálculo da taxa real, é necessário homogeneizar os valores das séries
financeiras, de forma a retirar os efeitos corrosivos da inflação nos valores aplicados ou
recebidos em cada data, traduzindo-os ao mesmo padrão monetário de referência em uma
determinada época, ou seja, é necessário "datar" a moeda; dizer, por exemplo, moeda de
1994, moeda de 1995 etc.

O processo de homogeneização dos valores monetários utiliza índices de preços a fim de
deflacionar ou inflacionar as séries de valores nominais ou aparentes.
o deflacionamento permite reduzir todos os valores da série a uma base comum de
referência, situada preteritamente no início da série. Os índices de preços permitem
calcular deflatores. ou seja. operadores que, multiplicados pelos valores monetários das
diversas épocas, reduzem-nos a valores correspondentes ao nível de preços da data
inicial de referência.

O inflacionamento (indexação ou atualização monetária), inversamente, traduz a
colocação dos diversos valores correntes nominais, em termos de moeda de poder
aquisitivo do final da série; isto é, a indexação (inflacionar) transforma os valores
nominais de cada época em valores compatíveIs com a capacidade de compra verificada
numa data superior.

Em contextos inflacionários são muitos usadas as expressões, "em preços correntes"
(valores nominais) e "em preços constantes". A primeira representa poder aquisitivo da
data respectiva do fluxo considerado, enquanto a segunda representa poder aquisitivo de
uma única data (preços constantes de uma única data).

ÍNDICES DE PREÇOS
Um índice de preços procura medir a mudança que ocorre nos níveis de preços de um
período para outro.

No Brasil, a maioria dos cálculos de índices de preços está a cargo da Fundação Getúlio
Vargas do Rio de Janeiro. Os índices nacionais e regionais são publicados mensalmente
na revista Conjuntura Econômica. Outras instituições também têm elaborado índices de
preços: o IBGE, a FIPE e o DIEESE em São Paulo, a FUNDARJ em Recife, o IPEAD -UFMG
em Belo Horizonte.

Para comparações específicas e obtenção de taxas reais de crescimento em determinados
setores, devem ser utilizados índices de preços particulares de cada setor, como, por
exemplo, construção civil, produtos agropecuários etc.


O índice mais geral disponível é o Índice Geral de Preços -disponibilidade interna da FGV
ClGP-di).Para inflacionar ou deflacionar uma série de valores monetários cujas causas
foram devidas a muitos fatores. o mais indicado é usar o IGP-di que mede a inflação do
país. O processo de "inflacionar" ou "deflacionar" uma série de pagamentos/recebimentos
para uma determinada data de referência traduz em si uma comparação entre as
evoluções dos valores monetários em análise e o comportamento dos preços dos
produtos enfeixados no índice escolhido. Assim, se um investimento teve um rendimento
de 15% real, tomando-se como referência um determinado índice de preços, isso significa
que este rendimento superou em 15% a evolução do índice escolhido, ou seja, a evolução
média dos preços dos bens e serviços que compõem o índice.

REPRESENTATIVIDADE DOS VALORES FINANCEIROS EM AMBIENTES
INFLACIONÁRIOS
O processo inflacionário obriga a quem faz cálculo financeiro ou toma decisões de
investimento ou financiamento a prestar especial atenção ao significado econômico dos
lucros e contas nominais apresentados pelas empresas. ao impacto da inflação na
avaliação dos investimentos e com o processo decisório é afetado.

Como resultado da inflação, o significado das medidas contábeis e econômicas de
rentabilidade. lucros e custos diverge, e esta divergência é maior à medida que a inflação
se acelera. No Brasil, diversos mecanismos foram desenvolvidos para atenuar o impacto
da inflação nas peças contábeis das empresas (correção monetária do Balanço
Patrimonial, Correção integral etc.). Mas, são mecanismos imperfeitos que aliviam. mas
não curam o mal.

Enquanto a inflação estiver presente na economia. o tomador de decisões deve saber lidar
com ela. Deve-se compreender o significado dos valores nominais, taxas de juros
aparentes e reais, custos efetivo aparente e real dos financiamentos, rentabilidade efetiva
e real das aplicações, taxas de crescimento nominal e real, atualização monetária e
cambial etc.

Exemplos:
1) Um eletrodoméstico. cujo valor à vista é $ 1000.00. foi financiado em 3 prestações
mensais (Sistema Francês) sem entrada, a uma taxa de 10% a.m. Calcule o valor das
prestações, sabendo-se que as mesmas serão corrigidas mensalmente pelo IGPM.

Supor variação mensal do IGPM 1%a.m.

Solução:
Cálculo da Prestação:


2) Numa aplicação financeira, um investidor obteve uma taxa aparente de 10%. Sendo a
inflação do período de 25%. qual a taxa de juros reais desta aplicação?

3) Uma pessoa aplicou seu capitaI de R$ 10.000,00 na caderneta de poupança por 1 mês e
obteve um montante de R$ 1025,00.
Sendo a taxa de inflação do mês em questão igual a 2%, qual a taxa de juros reais desta
aplicação?

AVALIAÇÃO DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO

O Comitê de Política Monetária (Copom) em recente reunião estabeleceu a taxa de juros
básica em 17,25% a.a. Cada vez mais, a definição dos juros está basicamente relacionada
com o cumprimento da meta de inflação de 2006 (vale lembrar que o efeito de mudanças
nos juros sobre o nível de preços da economia leva alguns meses para ser sentido). Como
as projeções disponíveis hoje apontam para uma inflação acima da meta para o ano que
vem, o Copom continua optando por uma trajetória mais amena de queda dos juros.

As recentes reduções nos juros têm trazido a taxa de juros básica, paulatinamente, para
níveis mais baixos. Em termos de aplicação financeira, isso significa que os
investimentos em renda fixa estão se tornando cada vez menos atraentes em termos de
retorno, o que tem incentivado os agentes a buscar alternativas mais arriscadas para


aplicar seu dinheiro. Essa situação é nova no mercado brasileiro, onde as aplicações de
menor risco (renda fixa) eram também as de maior retorno esperado.

Reflexo disso é que os fundos de renda fixa ainda respondem por cerca de 96% do total
de aplicações em fundos de investimentos no Brasil. Com os juros mais baixos, o
investidor que quiser maiores retornos terá que aprender a conviver com maiores riscos,
ou seja, com maior possibilidade de perda. Porém, essa busca por novas opções de
investimento pode trazer diversas complicações. Neste momento, os investidores devem
ter alguns princípios básicos em mente, que, embora pareçam óbvios, nem sempre são
lembrados no momento da aplicação.

Alocação imprópria: muitos analistas dizem que 90% do retorno de um investimento é
dado pela alocação adequada dos recursos. Isso significa que as aplicações escolhidas
pelo investidor devem ser compatíveis com diversos parâmetros determinados por ele,
como tempo de duração do investimento, a necessidade de saques ocasionais durante
este período, a capacidade do investidor de suportar períodos de alta volatilidade, entre
outros.
Resumindo, para poder alcançar uma alocação adequada de recursos, o investidor deve
ter objetivos muito bem estudados e claramente definidos.

Evitar um elevado número de transações: no entusiasmo dos negócios, muitos
investidores exageram na quantidade de transações e, com isso, acabam desperdiçando
seu tempo e parte expressiva de seus recursos no pagamento de taxas e impostos. Além
disso, aumentasse a possibilidade de cometer erros de avaliação. O pior é que, em geral,
esse excesso de movimentações não traz ganhos expressivos em termos de retorno.

Fugir de taxas exageradas: antes de aplicar o dinheiro, deve-se sempre prestar muita
atenção no custo das operações que serão realizadas. Promessas de retornos elevados
podem esconder custos operacionais exagerados. Portanto, muita atenção com as taxas
que são cobradas em cada etapa do processo de investimento.

Tomar cuidado com a diversificação excessiva: alternativas simples de investimento
podem oferecer retornos tão bons quanto muitas alternativas sofisticadas. Embora a
diversificação de investimentos seja uma estratégia recomendável, deve-se ter cuidado
para não exagerar na dose e cair numa situação na qual torna-se extremamente difícil
monitorar adequadamente sua carteira de investimentos.

Ter opinião própria: embora seja muito importante ouvir a avaliação de vários
especialistas, é sempre mais importante possuir uma opinião própria sobre as tendências
do mercado. Caso contrário, você ficará como um cego que tem que confiar no seu guia
para não errar o caminho. Enquanto o guia estiver certo, tudo bem. Por outro lado,
quando o guia começar a falhar, você fica sem rumo. Neste ponto, vale lembrar uma
máxima do mercado: quando todos estão seguindo um determinado caminho, tente
descobrir se não existe um melhor. No entanto, essa descoberta é possível somente
quando se tem consciência do que se está fazendo.

Muitos fundos de investimento cobram dos investidores uma taxa de performance, que é
a remuneração do administrador do fundo pelo seu desempenho. Este desempenho é
avaliado de acordo com algum parâmetro predeterminado no estatuto do fundo. Por
exemplo, se um fundo de ações tem como meta superar o desempenho do Ibovespa, a
taxa de performance será cobrada sempre que o retorno do fundo em determinado
período for maior que o do Ibovespa. Se o fundo não conseguir superar o retorno do
Ibovespa, não será cobrada taxa de performance. Portanto, ao escolher um fundo de
investimento, deve-se prestar muita atenção nessa taxa. Alguns investidores preocupam-
se em analisar apenas o desempenho passado do fundo (o que também deve ser feito) e
se esquecem de verificar se existe uma taxa de performance e de quanto ela é. Afinal,


retornos esperados elevados podem ser ofuscados por altas taxas de performance, o que,
normalmente, o investidor só percebe quando é tarde demais.

O ato de investir recursos vem se tornando uma tarefa que exige cada vez mais atenção
por parte dos investidores.
Como alternativas de investimentos tem-se à disposição do investidor uma cesta de
ativos composta por instrumentos de Renda Fixa como operações estruturadas de
financiamento a termo na BOVESPA, debêntures, certificados de depósitos bancários
(CDB) emitidos por empresas e bancos estrangeiros de primeira linha, que apresentam as
melhores rentabilidades e garantias, proporcionando sempre nas reaplicações e
movimentações financeiras a isenção da CPMF e oferecendo liquidez diária.
Atualmente, há mais de R$ 200 bilhões aplicados nas diversas modalidades de fundos
oferecidos pelas instituições administradoras de recursos.
Escolher qual fundo investir não é tarefa simples, nem mesmo para grandes investidores.
As alternativas são inúmeras e as informações nem sempre estão facilmente disponíveis.

APLICAÇÕES FINANCEIRAS COM RENDA FIXAS
São as seguintes as aplicações financeiras com a renda fixa que temos no mercado:
•Renda pré - fixada: CDB, RDB, LC, BBC, LTN
•Renda pós - fixada: CDB, RDB, LC, Caderneta de Poupança, NTN, Debêntures,
•Operações com Fundo de Investimento de Renda Fixa, FAF

ENGENHARIA ECONÔMICA
Engenharia econômica é o conjunto de princípios e técnicas necessárias para se tomar
decisões sobre aquisições e disponibilidades de bens de capital pelas empresas.
De uma forma geral, podemos dizer que a engenharia econômica consiste na teoria,
baseada na matemática financeira, que trata da análise técnico-financeira e decisão entre
alternativas de investimentos.
Um estudo técnico-econômico/financeiro completo, envolve normalmente os seguintes
passos :

11) Objetivo : um problema a resolver ou uma decisão a tomar ou uma função a executar.
12) Linhas de ação : As diversas soluções alternativas tecnicamente possíveis.
13) Estratégia : Avaliação de cada alternativa de investimento, determinando vantagens e
desvantagens. Análise das diferenças, eliminando os fatores comuns.
14) Decisão : Comparação e escolha da melhor alternativa de investimento.

OBS : naturalmente, só existirá uma decisão se existirem alternativas (linhas) de ação a
tomar; é necessário que elas sejam tecnicamente viáveis para que o problema seja
solucionado efetivamente e não só teoricamente. Normalmente os métodos existentes de
avaliação de alternativas de investimentos analisam e visam uma decisão de optar pela
alternativa que apresente o menor custo para atingir a um mesmo objetivo, o maior lucro
decorrente de uma aplicação definida ou mesmo a maior taxa de rentabilidade dos
capitais empregados, sempre visando soluções de longo prazo.

CRITÉRIOS DE DECISÃO:
O que caracteriza uma decisão é a existência de mais de uma alternativa de investimento.
No limite deste raciocínio, poderemos inclusive adotar como alternativa o "não fazer
nada" em oposição a apenas uma alternativa a investir.
Não é simples a avaliação das vantagens e desvantagens de cada alternativa de
investimento, uma vez que devemos enfocar somente eventos futuros, eliminando fatores
constantes e tendo como denominador comum o dinheiro, com isto, iremos elaborar, para
cada alternativa, um fluxo caixa.


Caso estejamos estudando alternativas de custo, iremos optar pela alternativa mais
econômica (de menor custo) e, caso estejamos analisando alternativas que irão gerar
recursos, iremos optar pela alternativa mais lucrativa (de maior lucro).
Todos os métodos e critérios de avaliação de alternativas de investimento baseiam-se no
princípio da equivalência. A comparação das alternativas só poderá ser realizada quando
o investidor estabelecer uma medida de equivalência. Esta medida e comumente chamada
de Taxa mínima de Atratividade, Taxa mínima Atrativa de Retorno de um Investimento, ou,
Taxa Interna de Retorno (IRR-Internal Rate of Return).

VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO:
O conceito de equivalência está ligado, intimamente, à capacidade do dinheiro gerar
lucros (juros). Não se pode comparar valores absolutos de dinheiro em épocas ou datas
diferentes. Esta comparação dependerá da taxa de juros que se atribuir ao dinheiro.
Sempre iremos supor que o dinheiro poderá ser investido em alguma atividade produtiva
que nos irá fornecer uma certa quantia de juros que serão a remuneração do
investimento.
A taxa de rendimento mínima que esperamos de nosso investimento é calculada em
função da situação prevista para o mercado financeiro e do risco que atribuímos ao
investimento.
A taxa mínima atrativa de retorno de um investimento é portanto, totalmente subjetiva,
podendo variar de pessoa para pessoa, de empresa para empresa, de ramo de negócio
para ramo de negócio, etc..
Não se tem, geralmente, um conhecimento preciso sobre todas as oportunidades de
investimento que se está perdendo. Baseado na sensibilidade, o investidor irá determinar
uma taxa mínima que uma nova proposta de investimento deverá atingir para ser atrativa :
é a taxa mínima de atratividade.
Recomenda-se utilizar em um estudo econômico, as estimativas sempre em moeda
corrente, incluindo-se, portanto, a inflação, ou seja, a expectativa de inflação pode ser
incorporada à taxa mínima de atratividade, sem qualquer problema. Todavia, se as
estimativas forem feitas em moeda constante, eliminado-se o efeito da inflação, a taxa
mínima de atratividade não estará incluindo a taxa de inflação. Também, pode-se não
considerar a despesa oriunda do imposto de renda, que é uma percentagem do lucro
líquido, e que faz com que ocorram duas taxas mínimas de atratividade : uma antes do
imposto de renda e outra depois do imposto de renda.

FLUXO DE CAIXA (CASH-FLOW):
O fluxo de caixa indicará os recebimentos e pagamentos futuros decorrentes de um
investimento realizado hoje; ele é portanto, um modelo da alternativa de investimento em
estudo.
Em um fluxo de caixa as datas que aparecem são sempre futuras, partindo de um
momento atual (hoje). Por outro lado, lembramos que na análise econômica-financeira,
não interessará saber de que maneira as receitas e despesas estarão sendo
contabilizadas e sim em quais datas elas estarão efetivamente ocorrendo.
O estudo econômico deve cobrir um intervalo de tempo compatível com a duração da
proposta de investimento considerada, frequentemente denominada de VIDA ÚTIL, VIDA
ECONÔMICA OU VIDA DO PROJETO.

TAXA INTERNA DE RETORNO
Em muitas situações práticas (investimentos e empréstimos por exemplo), é necessário o
cômputo da taxa de juro que ao ser usada para obtenção do valor presente de um fluxo de
recebimentos ou de pagamentos, torna esse valor igual a zero. A taxa de juro que
apresenta essa propriedade com relação a um dado fluxo de recebimentos e pagamentos
é chamada taxa interna de retorno desse fluxo.


A importância da diversificação
Freqüentemente nos deparamos com perguntas do tipo: Qual a melhor alternativa de
investimento no momento? Qual é o investimento mais rentável? Estas perguntas são tão
sem sentido quanto entrar em uma farmácia e solicitar o melhor remédio para curar uma
gripe, por exemplo. A tabela abaixo apresenta uma relação de alguns aspectos que devem
ser observados em relação a um medicamento e um determinado investimento.
Um bom investimento é aquele que a pessoa escolhe, após uma análise cuidadosa
das informações disponíveis, como apropriado às suas preferências em termos de risco e
taxa de retorno (rentabilidade), bem como adequando o investimento ao perfil de
consumo, patrimônio e fluxo de caixa, do indivíduo ou da família.
Baseado nesta premissa, o investidor deve alocar seus recursos de acordo com suas
necessidades. Em contrapartida, se o investidor busca maiores retornos precisa assumir
maiores riscos. Portanto, o investimento mais adequado é aquele que atende aos seus
objetivos financeiros ao longo do tempo e com a melhor relação entre risco e retorno.
Podemos entender que a parcela de recursos disponível para um prazo maior pode ser
direcionada para alternativas de investimento com maior risco e conseqüentemente com
expectativas de maiores retornos. E recursos disponíveis para um prazo mais curto
devem ser destinados para investimentos com menor risco e maior liquidez e
conseqüentemente menores rentabilidades.
Com as elevadas taxas de juros vigentes no Brasil, fica difícil justificar a diversificação em
ativos com maiores riscos em troca de expectativas de maior retorno. O mercado de
ações, naturalmente uma alternativa de investimento de longo prazo, vem apresentando
riscos mais elevados dos que os tradicionais fundos de renda fixa, porém, sem oferecer
rentabilidades compensadoras. Nos últimos sete anos (junho de 1995-2002), o índice da
Bolsa de Valores de São Paulo registrou uma rentabilidade acumulada de 167,1%,
enquanto que o Certificado de Depósito Interbancário (CDI), o referencial mais utilizado
para investimentos em renda fixa, 160,0%. Porém, o risco proporcionado pela Bovespa foi
15 (quinze) vezes ao de um investimento de renda fixa. Então, podemos concluir, que para
este período analisado o retorno em ações não compensou o risco proporcionado. Em
contrapartida, a poupança no mesmo período apresentou uma rentabilidade de 95,3%
(líquida de IR). Neste caso, o ganho proporcionado pelo mercado de ações foi de
aproximadamente 40% sobre a poupança.
O maior problema para conscientizar as pessoas da necessidade de diversificação em
ativos de maior risco está representado no gráfico abaixo. Este gráfico mostra a
rentabilidade mensal do Ibovespa, CDI, Dólar e Poupança no período de junho de 1995 a
2002. A volatilidade (= risco) apresentada pelo Ibovespa assusta, principalmente, o
investidor menos experiente. Historicamente, observamos que investidores optam em
diversificar na Bolsa em momentos de alta, porém sem entender a dinâmica deste
mercado. A conseqüência imediata é o resgate (ou liquidação) da posição no primeiro
retorno negativo apresentado.
Outro bom exemplo seria a demanda existente atualmente pelo dólar devido,
principalmente, a escalada desenfreada e desequilibrada do seu valor em relação ao real
nos últimos dois meses. Comprar dólares ou investir em papéis atrelados ao dólar é uma
alternativa para as pessoas que estejam poupando para realizar um gasto futuro em dólar
(viagem, estudo dos filhos no exterior, compra de imóveis no exterior, etc) ou que tenham
dívidas atreladas em dólar.
A diversificação dos investimentos tem por objetivo a redução do risco e a adequação às
reais necessidades e/ou objetivos do investidor no curto, médio e longo prazos Vamos


utilizar um exemplo para apresentar a importância da diversificação mesmo em momentos
de elevada incerteza e volatilidade no mercado.
Uma pessoa concentra todo o seu dinheiro em poupança. Em junho de 1995 havia
definido como meta de longo prazo (junho de 2002) fazer uma viagem para os Estados
Unidos de um mês com sua família. O correto seria definir o valor em dólares que gostaria
de acumular neste período e programar investimentos periódicos equivalentes em dólar
em alguma alternativa de investimento atrelada ao dólar. Porém, como esta pessoa é
muito conservadora resolveu concentrar seus investimentos em poupança. Decorridos
três anos fez uma comparação entre a poupança e o dólar e chegou a conclusão de que
sua escolha foi correta. Porém, em janeiro de 1999 veio a surpresa, o dólar se valorizou
em relação ao Real. Em junho de 2002, o dólar havia acumulado uma valorização próxima
a 120% enquanto a poupança estava com 100%. A escolha mais conservadora seria
poupar em dólar para gastos em dólar, independente das expectativas de valorização do
dólar ou se este está caro ou barato.
A conclusão é que a diversificação dos seus investimentos é muito importante e
necessária, porém não descarta uma boa análise e um entendimento das principais
alternativas existentes.

QUESTIONÁRIO
Pertinência:

01. O QUE É UM FUNDO DE INVESTIMENTO?

É uma forma de investimento que reune vários aplicadores, formando uma espécie de
condomínio, no qual as receitas e as despesas são divididas. O patrimônio é gerido por
especialistas - os administradores - e aplicado em títulos diversos ou em outros fundos,
buscando maximizar os retornos e diminuir os riscos dos investimentos. O dinheiro
depositado nos fundos é convertido em cotas. Os cotistas - pessoas que integram o fundo
- são proprietários de partes da carteira, proporcionais ao capital investido. A cota é
atualizada diariamente e o cálculo do saldo é feito multiplicando o número de cotas
adquiridas pelo valor da cota daquele dia. O dinheiro aplicado nos fundos é utilizado para
a compra de títulos diversos como por exemplo ações, títulos públicos, CDBs, etc.
conforme a política de cada fundo.

02. POR QUE INVESTIR EM FUNDOS?

Uma das principais razões de se investir em fundos é a comodidade para o investidor, que
prefere deixar sob os cuidados de especialistas a gestão de seus recursos. As equipes de
gestores acompanham e analisam o mercado diariamente em busca de boas
oportunidades de investimento, o que muitas vezes o investidor não tem tempo nem
condições de fazer. Em virtude do volume de dinheiro que capta, o fundo consegue taxas
mais vantajosas em várias operações do que um pequeno e médio investidor
individualmente conseguiria. Os fundos são investimentos com alta liquidez, o que
permite na grande maioria dos casos saques a qualquer momento sem qualquer tipo de
carência.

03. OS FATORES QUE DETERMINAM A RENT ABILIDADE ?

A rentabilidade de cada fundo é determinada pela estratégia de investimento adotada pelo
administrador que deve respeitar as características definidas no seu estatuto. Existem


fundos conservadores e fundos mais agressivos com graus de risco definidos de acordo
com seu objetivo. Se um fundo conseguir rentabilidade de 3% em um mês, todos os
cotistas terão a mesma valorização, independentemente do valor aplicado. As taxas e
impostos têm grande importância na rentabilidade do fundo, portanto, vale a pena ficar
atento às taxas cobradas, que variam de acordo com o fundo e com a instituição.

04. QUEM ADMINIST RA OS FUNDOS?

Os administradores de fundos são as instituições financeiras responsáveis legais perante
os órgãos normativos e reguladores (Comissão de Valores Mobiliários - CVM e Banco
Central) além de determinar a política e o regulamento de cada fundo. Existe também a
figura do gestor de fundos que é responsável pela escolha dos papéis, avaliação dos
cenários e montagem das carteiras. No Brasil, existem administradores que realizam a
gestão de seus fundos e que também terceirizam esta gestão para asset managers
independentes. Profissionais especializados acompanham o mercado e procuram definir
os melhores momentos de compra e venda e quais ativos comporão a carteira do fundo.
Cada fundo de investimento constitui-se como uma pessoa jurídica própria, não se
confundindo com a instituição gestora. O que significa que o dinheiro aplicado num fundo
está resguardado de qualquer eventual problema financeiro que a administradora ou a
gestora venha a ter.

05. AS TAXAS COBRADAS?

Taxa de administração. A taxa de administração é a porcentagem cobrada sobre o valor
total da aplicação de cada cotista do fundo independentemente do resultado do mesmo.
Será recolhida diariamente uma parcela pelo administrador, que varia de fundo para
fundo. É a remuneração da instituição administradora pelo serviço de gestão e custódia
dos recursos. O regulamento do fundo deve prever quanto será o percentual cobrado
relativo à taxa de administração. Taxa de Performance Muitos fundos cobram uma taxa
extra, além da taxa de administração, sobre o que exceder o seu benchmark (seu
parâmetro de comparação). O benchmark muda de acordo com o tipo de fundo. Os
Fundos de renda fixa normalmente adotam o CDI ou o IGP-M como comparativo, os
fundos cambiais usam como benchmark o dólar e os fundos de renda variável costumam
adotar o IBOVESPA. Sobre a rentabilidade obtida acima destes índices, é aplicada uma
taxa de performance, que pode variar de um fundo para outro. Por exemplo: Um fundo de
renda fixa que possui como meta o CDI, cobra uma taxa de 20% sobre a rentabilidade que
exceder o rendimento do CDI. Portanto, se o fundo render 30% no ano, e o CDI render
20%, sobre a diferença, no caso 10% será cobrada a taxa de performance. O que no caso,
será 2% fazendo com que o rendimento do fundo de 30% passe para 28% no ano,
descontada a taxa de performance.

06. APLICAÇÕES E RESGATES

Cada fundo define o valor mínimo para a aplicação inicial e para os movimentos
adicionais. Os valores exigidos pelas administradoras de recursos de terceiros variam
conforme sua política de investimento, composição da carteira e público-alvo. Há fundos
bem populares, que aceitam aplicações iniciais a partir de R$ 100,00. Os prazos para
movimentação dos fundos devem ser divulgados, uma vez que diferem de acordo com o
fundo e com a instituição. Para aplicação, o padrão é considerar as cotas de D+0 ou D+1.
Se for solicitada uma aplicação até o horário permitido do dia que varia das 9.00 às 16.00
horas, a cota que valerá será a daquele dia (D+0) ou a do dia útil seguinte (D+1). É
importante notar que a data do pedido de resgate (que costuma ser D+1) não
necessariamente é igual à data em que o dinheiro estará disponível na conta corrente (que
pode ser D+0, D+1 ou D+3).

07. ÓRGÃOS REGULADORES ?


O órgão regulador a que o fundo vai se submeter varia conforme a composição e política
de investimento da carteira. O Conselho Monetário Nacional (CMN), entidade superior do
sistema financeiro, autoriza a criação e o funcionamento dos fundos e delega à Comissão
de Valores Mobiliários (CVM) ou ao Banco Central (Bacen) a responsabilidade pelo
controle e acompanhamento da gestão. O Banco Central (Bacen) é o órgão executivo do
sistema financeiro. A entidade é responsável pela regulação e fiscalização dos fundos de
investimento de renda fixa. A Comissão de Valores Mobiliários (CVM) é o órgão normativo
do sistema financeiro voltado basicamente para a fiscalização do mercado de ações e de
debêntures. A CVM está para os fundos de renda variável assim como o Bacen está para
os de renda fixa. As carteiras reguladas e fiscalizadas pela CVM devem ter, no mínimo,
51% dos recursos aplicados em ações de companhias abertas registradas na própria
entidade. Além disso, podem ser constituídas sob a forma de condomínio aberto ou
fechado, com prazo de duração determinado ou indeterminado.

08. AS CATEGORIAS DOS FUNDOS?

Os fundos de investimento podem ser classificados em duas grandes categorias: renda
fixa e renda variável. Renda Fixa Os fundos de renda fixa devem aplicar no mínimo 51% de
seu patrimônio em títulos de renda fixa que pagam juros pré ou pós-fixados. Estes fundos
dividem-se em: os FIFs e os FACs. Os FIFs - Fundos de Investimento Financeiro-investem
seu patrimônio diretamente em títulos diversos do mercado, como títulos públicos
federais, CDBs e debêntures, entre outros. Todo o patrimônio líquido dos FIFs pode ser
alocado em títulos públicos federais. De acordo com o Bacen, o investimento em ações e
cotas de fundos de ações não pode ultrapassar 49% do patrimônio líquido (PL). O
percentual da carteira em títulos emitidos por uma mesma pessoa jurídica, sociedades por
ela controladas ou coligadas deve ser igual ou menor a 10% do patrimônio. Aplicações em
papéis de uma única instituição financeira ou coligada não podem representar mais do
que 20% dos recursos. Já os FACs - Fundos de Aplicação em Cotas - aplicam seu
patrimônio em cotas de diferentes tipos de FIFs, em proporções variáveis. Os FACs,
portanto, são fundos de fundos, o que significa que em vez de aplicar diretamente em
ativos, preferem aplicar em cotas de fundos diversos inclusive de outras instituições. Os
títulos de renda fixa mais comuns que compõem as carteiras dos fundos são o Certificado
de Depósito Bancário (CDB) e os títulos públicos, como LTN e NBC, entre outros. Os
títulos com juros prefixados têm definido no momento do investimento o percentual que
será pago. Por exemplo: No caso de um CDB de 60 dias prefixado, o investidor saberá no
momento da aplicação, que será pago 3% de juros nesse período. Os títulos com juros
pós-fixados têm sua valorização atrelada a um indicador como, por exemplo, o DI
(depósito interbancário). Isso significa que o investidor não sabe, no momento da
aplicação, quanto serão os juros pagos ao final do período, pois eles irão depender da
performance do indicador.

09. OS GRUPOS DE FUNDOS DE RENDA FIXA ?

Existem diversos tipos de fundos de renda fixa uns mais conservadores com baixo nível
de risco e outros mais arrojados. Os fundos de renda fixa mais arrojados mesclam em sua
composição ativos de renda fixa e de renda variável ou operações com derivativos
(mercado futuro). A Associação Nacional dos Bancos de Investimento (ANBID)
desenvolveu uma classificação para os fundos procurando identificar mais claramente as
diferentes famílias de acordo o perfil de risco, potencial de retorno e metas do
investimento. A idéia é separar os fundos principalmente de acordo com seu grau de risco
e obrigar as instituições administradoras a seguir mais de perto o objetivo de cada fundo,
buscando evitar que o investidor compre "gato por lebre". A classificação adotada pela
ANBID dividiu os fundos de renda fixa em 3 grandes grupos:
•referenciados,
•não referenciados e


•genéricos.

1. Fundos Referenciados: Fundos referenciados são aqueles que adotam uma
administração passiva, ou seja, o fundo busca replicar a performance de determinado
indicador. Os fundos referenciados devem ser compostos por no mínimo 95% de ativos
de renda fixa que acompanham o desempenho de um único indicador escolhido pelo
administrador, como o CDI ou o dólar. Pelo menos 80% da sua carteira deve ser aplicada
em títulos públicos federais ou ainda títulos de empresas privadas, que apresentem baixo
risco de crédito. Estes fundos não podem possuir uma posição que comprometa seu
patrimônio em operações futuras, evitando possibilidades de perdas. Fazem parte deste
grupo: Fundos DI Estão totalmente atrelados à variação do Certificado de Depósito
Interbancário (CDI) no prazo de um dia. A indexação é feita por meio de derivativos
financeiros, como swap de taxas. São fundos que acompanham a taxa de juros, sendo
indicados para cenários cuja expectativa é de alta da taxa de juros. Fundos Cambiais
Buscam proteger a moeda nacional contra eventuais desvalorizações. Aplicam em títulos
de renda fixa corrigidos pelo dólar, como NTN- C (Notas do Tesouro Nacional Cambiais) e
export notes. Instrumentos de derivativos como swap de dólar também são permitidos.
Além de acompanhar a variação do dólar, o capital é rentabilizado com uma taxa de juros.
É indicado para quem possui dívidas em dólar ou quem acredita na desvalorização da
nossa moeda.

2. Fundos Não Referenciados: São fundos considerados conservadores e/ou moderados,
e que não precisam seguir nenhum referencial ou indicador. Neste tipo de fundo é
possível diversificar a carteira em títulos prefixados e pós-fixados com diferentes
indexadores. Estes fundos deverão ser compostos com no mínimo 80% de títulos
públicos federais, ou títulos de empresas privadas que apresentem baixo risco. Fazem
parte desta categoria: » Fundos de Renda Fixa Tradicionais Aplicam em ativos de renda
fixa prefixados e pós-fixados. Tais carteiras não possuem uma estratégia de investimento
claramente definida, o que dificulta mensurar os riscos envolvidos na aplicação. A
rentabilidade varia de acordo com os humores do mercado e a estratégia usada pelo
administrador.

3. Fundos Genéricos: São fundos que podem apresentar risco moderado ou agressivo,
uma vez que possuem total liberdade na composição da carteira, podendo aplicar até 49%
de seu patrimônio em ações além de aceitar operações de derivativos. Em virtude do risco
existente nestes fundos, informações como a política de investimentos, taxas,
classificação, etc, devem ser destacadas para que o investidor entenda exatamente em
que tipo de fundo está aplicando. Fazem parte desta categoria: Fundos Derivativos
Aplicam em ativos de renda fixa pré ou pós-fixados e assume posições em derivativos,
incrementando a rentabilidade por meio de contratos no mercado de futuros, opções e
operações no mercado a termo. Em função das estratégias arrojadas, os valores das
cotas podem sofrer fortes impactos, acarretando, inclusive, perda do patrimônio. Os
fundos derivativos recebem a classificação "FIFs Livres". Fundos Multiportfólio São
aqueles que tem sua carteira diversificada entre títulos e operações de renda fixa e
aplicações em renda variável, podendo atuar também no mercado de derivativos. Fundo
de Investimento no Exterior - Fiex. Foi criado como alternativa de investimento em moeda
estrangeira. Deve investir no mínimo 80% da carteira em títulos da dívida externa
brasileira, também conhecidos como bradies e até 20% em qualquer título de crédito
negociado no mercado internacional, com o limite de concentração máximo de 10% em
títulos de um mesmo emitente. Os títulos são mantidos em custódia no exterior em nome
do fundo e pode alternativamente, ter no máximo, 10% do seu patrimônio, isolada ou
cumulativamente, em conta de depósito no exterior ou no país, em nome do fundo e ainda
realizar operações em mercado organizados de derivativos no exterior, exclusivamente
para fins de hedge. É um fundo aberto formado por cotas sem carência para resgate,
caracterizado como de renda fixa, embora com volatilidade de renda variável.


10.OS GRUPOS DE FUNDOS DE RENDA VARIÁVEL ?

Os fundos de renda variável devem ter no mínimo 51% de sua carteira aplicada em títulos
de renda variável como ações, além de também poderem operar no mercado futuro. Estes
fundos portanto, estão sujeitos a fortes oscilações em sua rentabilidade, possuem alto
risco, possibilidade de altos retornos e também de eventuais perdas. São conhecidos
popularmente como Fundos de Ações e são chamados oficialmente de FITVM - Fundos de
Investimento em Títulos e Valores Mobiliários. Os fundos de renda variável podem ser
divididos em três grupos: fundos passivos, fundos ativos e setoriais. O FITVM pode
aplicar seu patrimônio em: - ações de emissão de companhias com registro na CVM;
valores mobiliários cuja distribuição tenha sido objeto de registro na CVM; - certificados
ou recibos de depósitos de valores mobiliários, regulados pelo CMN ou pela CVM; títulos
públicos de emissão do Tesouro Nacional ou do BC; títulos de renda fixa de emissão de
instituições financeiras; cotas de FIF, cotas de FAC e cotas de FIEX; operações com
derivativos, envolvendo contratos referenciados em títulos e valores mobiliários,
realizadas em pregão ou em sistema eletrônico que atenda as mesmas condições dos
sistemas competitivos administrados por bolsas;operações de empréstimos de ações, na
forma regulada pela CVM e - operações compromissadas de acordo com a
regulamentação do CMN, limitadas a 5% do PL do fundo. Os fundos passivos têm como
objetivo seguir um indexador como o Ibovespa ou qualquer outro. Na prática, um fundo
passivo de Ibovespa vai compor sua carteira com base na carteira do Ibovespa e aguardar
os resultados. Já os fundos ativos buscam superar a rentabilidade de seu indexador. Para
isto é necessário ter uma estratégia agressiva na composição da carteira, usando em
alguns casos operações no mercado futuro. Os fundos setoriais por sua vez possuem
como estratégia investir em ações de determinado setor como telecomunicações, energia,
bancos e tecnologia.

11- T RIBUTAÇÃO IR ?

Imposto de renda 20% é a alíquota aplicada nos ganhos obtidos com fundos de renda fixa,
já os ganhos com fundos de renda variável são tributados em 10%. Para a Receita Federal
um fundo só pode ser tributado em 10% se possuir no mínimo 67% de seu patrimônio
aplicado em títulos de renda variável como ações. IOF - Imposto sobre operações
financeiras Apenas os fundos de renda fixa estão sujeitos à cobrança de IOF. Saques
realizados com prazos inferiores a 30 dias terão incidência do IOF sobre os rendimentos
auferidos.

12- ANÁLISE DE DESEMPENHO

Transparência É obrigação dos administradores de recursos fornecerem todo o tipo de
informação relevante para o cotista sobre a política de investimento do fundos, os riscos
envolvidos e os principais direitos e responsabilidades dos investidores e dos gestores. O
prospecto e o regulamento do Fundo são os instrumentos básicos de informação no
momento inicial do investimento. Porém, durante o período de permanência do investidor
no fundo ele deve ser informado sobre todas as mudanças importantes, seja na equipe de
gestores ou no estatuto do fundo. A utilização do correio eletrônico (e-mail) como meio de
comunicação entre o administrador de fundos e os cotistas é uma das principais
inovações nas regras dos fundos. Benchmark é um indicador que dá a referência de
performance que cada fundo busca acompanhar. Os fundos de Renda Fixa costumam ter
como ponto de referência o CDI ( Certificado de Depósito Interbancário ). A meta é sempre
obter resultados iguais ou superiores à taxa do CDI, como mostra o exemplo a seguir: O
Fundo XYZ obteve em 1998 rentabilidade igual a 36,16%, enquanto o CDI rendeu 28,61% .
Portanto se o objetivo do fundo era render 110% do CDI, ele superou seus objetivos e
rendeu na verdade 126% em relação a taxa do CDI. Já em 1999, por exemplo o Fundo XYZ
rendeu apenas 22,56% enquanto o CDI teve retorno de 25,26% . O Fundo não atingiu seu
objetivo pois rendeu na verdade apenas 89% comparada à taxa do CDI. Já os fundos de


Renda Variável possuem como principal benchmark o Índice Bovespa. Os fundos de
ações buscam alcançar rentabilidade anual igual ou maior que o IBOVESPA, dependendo
do perfil e composição do fundo. Volatilidade A volatilidade vem a ser a dispersão positiva
ou negativa em relação à média das rentabilidades diárias. Mais especificamente seria a
média dos desvios padrões . Um investimento com alta volatilidade deve ser considerado
como de maior risco. Já os investimentos com baixa volatilidade possuem uma
performance mais estável e, portanto, com um comportamento mais previsível, sua
performance não surpreende o investidor. Risco e retorno Retorno e risco são duas
variáveis que andam juntas no mundo dos investimentos. Quanto maior a possibilidade
de retorno maiores os riscos envolvidos. Por exemplo, fundos que investem mais do que
seu patrimônio no mercado futuro e que podem ter alta rentabilidade em certos períodos,
trazem consigo um alto risco e a possibilidade de rendimentos negativos durante algum
período. Já os fundos mais conservadores procuram garantir mais segurança aos seus
investidores e portanto rentabilidades menores. Análise de Risco Antes de investir em um
fundo é importante avaliar!

§os riscos envolvidos na aplicação. Conhecer o tipo de investimento, a volatilidade
das cotas e os índices de risco do fundo é fundamental para a escolha consciente
do investidor.

Outros aspectos que devem ser analisados pelo investidor são: a instituição que faz a
gestão e a administração do fundo, o agente custodiante (instituição que faz a custódia
dos títulos do fundo) bem como a empresa que faz auditoria dos fundos. Alavancagem
Um conceito importante a ser explorado é o de Alavancagem. A alavancagem ocorre
quando o gestor assume obrigações maiores do que o patrimônio do fundo caso as
operações previstas dêem errado. O regulamento de cada fundo preceitua quanto é o
limite de alavancagem de cada fundo. Por isso, é importante sempre ler no regulamento
quanto é este limite para se conhecer o campo de atuação do gestor. Há gestores que
alavancam mais de três vezes o patrimônio do fundo. Para os fundos de renda variável há
um limite estabelecido pela CVM (Comissão de Valores Mobiliários) de 100% de
alavancagem sobre o patrimônio. Risco de Crédito É a avaliação da capacidade do
emissor de cada papel em honrar a obrigação assumida no título. Por exemplo, se um
CDB compuser a carteira do fundo, é fato relevante saber se o Banco emissor está
pagando suas contas, adimplento no mercado, em suma a saúde financeira da instituição.
Índice de Sharpe O índice de Sharpe, criado por William Sharpe, é um indicador que
permite avaliar a relação entre o retorno e o risco dos fundos. Ele deve ser usado para
comparar fundos de uma mesma categoria. O índice de Sharpe é definido pela seguinte
equação: (Retorno Fundo - Retorno Livre de Risco) IS = ----------------------------------------------
Desvio Padrão do Retorno do Fundo.

O Retorno do Fundo menos o Retorno Livre de risco é definido como prêmio que o
investidor tem pelo risco que se dispôs a assumir. Quanto maior este prêmio, maior o
Sharpe, quanto menor o desvio padrão, será maior o Sharpe. Histórico do Fundo e do
Gestor Embora rentabilidade passada não seja garantia de rentabilidade futura, a
evolução do valor das cotas do fundo é um bom parâmetro para se tomar como base na
escolha de um fundo de investimento. Porém, é importante saber se a política de gestão
praticada, o gestor e o procedimentos de análises atuais são os mesmos que garantiram
aquela rentabilidade passada.

13- OUT ROS FUNDOS

1. Fundo Capital Garantido tem como meta proteger o capital principal investido. Investe
uma pequena parcela do patrimônio em renda variável, buscando uma rentabilidade maior
do que a dos demais fundos de renda fixa, porém, sem colocar em risco o valor principal.
Se o mercado de renda variável alcançar bom desempenho este fundo renderá mais do
que os fundos que só investem em renda fixa. Caso o mercado de renda variável não


apresente bons resultados, o investidor não perde seu capital como aconteceria se ele
tivesse aplicado num fundo de ações, ele terá garantido o capital inicial investido. Por
exemplo: Um fundo investe 98% de seu patrimônio em títulos de renda fixa prefixado, com
este rendimento ele garante uma rentabilidade que cobrirá os 2% restante do patrimônio
do fundo. Os outros 2% o administrador investe em títulos de renda variável ou no
mercado futuro, buscando maior rentabilidade. Caso, haja perda total nos investimentos
de renda variável ele tem garantido os 100% do patrimônio do fundo. Na pior das
hipóteses este fundo não perde.

2. Fundos Off Shore: São carteiras que aplicam recursos disponíveis no exterior em
ativos brasileiros e que têm a sua sede formalmente localizada no exterior.

3. Fundos Private Equity: São fundos fechados que compram participações minoritárias
em empresas privadas. Esses fundos não podem investir em empresas de capital
fechado. Por esta razão esta razão as empresas interessadas em receber esses
investimentos devem abrir o capital ou fazer a chamada abertura técnica" (registro na
CVM e emissão de ações que são compradas pelo fundos). Os objetivos dos fundos
private equity são capitalizar a empresa, definir uma estratégia de crescimento, valorizar
as ações e vender com lucro esta participação. O horizonte da aplicação varia de três a
oito anos. Fontes de consulta: Mercado Financeiro, Produtos e Serviços - Eduardo
Fortuna Banco Central do Brasil Comissão de Valores Mobiliários.

TAXAS DE RETORNO
A taxa de retorno de um investimento é a taxa de juros que anula a diferença entre os
valores atuais das receitas e das despesas de seu fluxo de caixa. Numa análise de
investimentos, a escolha recai na alternativa de maior taxa de retorno.

Uma alternativa de investimento é considerada vantajosa quando a taxa de retorno é
maior que a taxa mínima de atratividade.

Dentre todos os indicadores mais utilizados a TIR é aquele que, ao primeiro exame,
aparenta apresentar as menores limitações. Isso se deve, possivelmente, a independência
de informações exógenas ao projeto para a sua obtenção.


Em particular, não depende da definição "a priori" de um custo de oportunidade do capital
para sua elaboração, como ocorre nos casos dos outros indicadores considerados.
Todavia, essa vantagem é apenas aparente, pois a TIR somente será um indicador
consistente, em uma situação em que um investidor que dispuser de um capital para
aplicação de valor K, tendo como alternativas de investimento projetos mutuamente
exclusivos, não puder aplicar o valor residual de seu capital inicial após o investimento no
projeto escolhido, o que é uma situação bem pouco realista. Em alguns casos, os
resultados da aplicação do critério TIR são absolutamente incoerentes, como ocorre no
projeto I, que apresenta o seguinte fluxo de caixa líquido, definido para os períodos 0 e 1:

Fo = 100 e F1 = -90

A TIR desse projeto que é -10%, tornaria, à primeira vista, inviável sua seleção quando
comparado a qualquer projeto com TIR positiva. Entretanto, basta uma rápida inspeção no
fluxo de caixa para se perceber que o projeto é altamente viável (corresponde a uma
situação na qual toma-se 100 unidades monetárias no período 0 para pagamento de
apenas 90 unidades monetárias no período 1).

A análise dos projetos E e F apresentados previamente permite constatar outras
limitações da TIR quando comparado ao VA por exemplo. Pelo critério da TIR o projeto E
(TIR = 20,00%) seria preferido ao projeto F (TIR = 15,76%) ; contudo, se o custo de
oportunidade considerado for de 10,0 %, o critério do VA apresentaria o projeto F como
preferido ao projeto E.

Uma justificativa para a escolha do projeto F resulta da análise do fluxo de caixa dos
projetos. O investimento nos dois projetos é idêntico e igual a 100 unidades monetárias.O
projeto E apresenta seu benefício de 120 unidades monetárias no período 1 e o projeto F
apresenta seu beneficio de 134 unidades monetárias no período 2. É fácil verificar que à
taxa de 10%(custo de oportunidade do capital considerado)o valor do benefício recebido
no projeto E de 120 unidades monetárias,no período 1, representaria um valor de 132
unidades no período 2, valor inferior ao obtido pelo projeto F no período 2.

Uma outra dificuldade na utilização da TIR como indicador está associada à possibilidade
de ocorrência de múltiplas TIR para um mesmo fluxo de caixa. Ou seja, para alguns fluxos
de caixa existirá mais de uma TIR que atenda à definição desse indicador.

O descarte de projetos através da TIR pode ser realizado comparando-se seu valor com o
do custo de oportunidade do capital. Caso o valor da TIR (positivo) de um projeto seja
inferior ao valor do custo de oportunidade do capital, então esse projeto será descartado.


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