Trabalho nº13

Escola Secundária de Pinheiro e Rosa
Trabalho de Grupo
Tema 3 “O cubo truncado”
Disciplina de Matemática A
Professora Emília Santos
Professor Luís Vilhena
Trabalho realizado por:
Ana Rita nº7
Rui nº27
10º C

Introdução
 Esta tarefa foi-nos proposta pela professora Emília Santos e pelo
Professor Luís Vilhena como trabalho de grupo no âmbito de a
desenvolver e resolver, apresentando as respectivas soluções.
 Ao longo desta apresentação iremos mostrar as várias alíneas da
nossa tarefa e a sua resolução explicando como chegámos aos
nossos resultados.

Tarefa 3: O cubo truncado
Na figura está representado um cubo de 20 cm de
aresta.
1. Seja M o ponto médio de [BF]. Desenhe e
classifique a secção produzida no cubo por um
plano que passa pelos pontos C, E e M.
Resposta: A figura produzida no cubo
pelo plano que passa nos pontos C, E e M é um
losango.

32
52500 
20EF
10FM
2. Determine o perímetro e a área da secção obtida anteriormente.
5105001004001020 2222
 xxxx
500)500(
5405104
2


A
P
xME 
20BC
10BM
xMC 
20DC
10DP
xPC 
20EG
10PG
xPE 

3. Suponhamos que o cubo é truncado de tal modo que os
vértices das faces triangulares são os pontos médios das arestas
do cubo. Estamos neste caso perante o cuboctaedro, poliedro
com seis faces quadradas e oito faces que são triângulos
equiláteros.
3.1. Se a aresta do cubo é igual a 1cm, prove que a área da
superfície do cuboctaedro é
1
cm)33( 
Zoom

1
2
1
y
222
cch 
Para determinar y podemos aplicar o Teorema
de Pitágoras.













22
2
2
1
2
1
y

4
1
4
12
y

4
22
y

2
12
y

2
1
y

2
1
y
 
 
2*2
2*1
y
 
 2
2
2
y
2
2
 y
Cálculos:

equiláteros.
Agora que já sabemos y é fácil determinar a área total do
cubo octaedro. Primeiro calculamos a área dos quadrados
constituintes do sólido e depois a dos triângulos.
Área de 1 quadrado =
Área dos 6 quadrados =
1
cm)33( 








2
2
2

4
2
2
1
3
2
6
6
2
1

Calcular a área
dos triângulos

equiláteros.
1
cm)33( 
2
2
 CABCAB
?CD
222
ADACCD 
4
2
2
2
2
 DBAD
Altura do triângulo
Dado fundamental
para calcular a área
de um triângulo.
Relembrando...
Teorema de Pitágoras:
222
cch 

















22
2
4
2
2
2
CD 
16
2
4
22
CD

8
1
2
12
CD 
8
1
8
42
CD 
8
32
CD

8
3
CD
 
 



222
23
8
3
CDCD
4
6
CD

Agora já sabemos a altura do triângulo por isso
vamos calcular a sua área aplicando a fórmula
apresentada abaixo.
2
alturabase
Atriângulo


2
2
 ABBase
4
6
 CDAltura
8
3
16
32
16
12
2
8
12
2
4
6
2
2


triânguloA
38
8
3
8 triângulosA
Existem 8 triângulos na
superfície do
cuboctaedro.

Área total da superfície do
cuboctaedro
triângulosquadradostotal AAÁrea 86 
33totalA

3.2. Determine o volume do cuboctaedro.
Se repararmos o cuboctaedro não é nada
mais nada menos que um cubo cujos
vértices foram retirados. Esses vértices
juntos 4 a 4 formam duas pirâmides
quadrangulares. Ao calcular o volume das
pirâmides e o do cubo conseguimos
determinar o volume do cuboctaedro se
subtrairmos o volume das pirâmides ao do
cubo. É o que em seguida iremos fazer.
3
AlturaA
V base
pirâmide


4
2
2
2
2








Ab
2
1
Altura
12
1
24
2
3
8
2
3
2
1
4
2
4 

pirâmidesV
6
1
12
2
2
12
1
8 pirâmidesV

Volume do cuboctaedro
113
cuboV
pirâmidescuboocuboctaedr VVV 2
6
5
6
1
6
6
6
1
1 ocuboctaedrV
O volume do
cuboctaedro é do
volume do cubo
6
5

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