Modulo i
- 1. Faculdade SISTEMAS DE INFORMAÇÃO SI11 LÓGICA MÓDULO I INTRODUÇÃO Professor Newton Marquez Alcantara 1
- 2. 1. O que é a Lógica? – Rapidamente, podemos dizer que a Lógica versa sobre os princípios da inferência correta. Inferência, por sua vez, é o processo que nos permite partir de coisas, fatos ou afirmações já conhecidas (premissas) e concluir algo novo, ainda não conhecido. Exemplo: Premissas: - Pedro, sempre que pode, joga futebol aos domingos - Hoje é domingo - O tempo está bom - Pedro já terminou os trabalhos da Faculdade Conclusão: - Pedro vai jogar futebol (portanto não adianta convidá-lo para pescar) O processo mental que nos levou das premissas à conclusão é que é denominado de inferência. Historicamente, o estudo formal dos princípios da inferência correta começou com os gregos, culminando em uma obra denominada de Organom que significa “instrumentos da ciência”. Esta obra, que é considerada o marco inicial desta área do conhecimento, é uma coletânea de trabalhos do filósofo Aristóteles feita pelos seus alunos após a sua morte. O nosso objeto de estudo é a lógica de primeira ordem. Este assunto é de fundamental importância para a Ciência da Computação por estar presente na definição e manipulação de banco de dados relacionais, linguagens de programação e ser o principal alicerce para o projeto de processadores. 2. Proposições e Conectivos 2.1. Sentença – É toda estrutura lingüística que exprime um pensamento completo. Exemplos: a) A terra é redonda b) 2 + 2 = 4 c) A lua é feita de queijo verde. d) Que horas são? e) Feche a porta! f) Oba! As sentenças “a”, “b” e “c” são ditas sentenças declarativas, visto que afirmam ou declaram algo. A sentença “d” é uma sentença interrogativa, a sentença “e” é uma sentença imperativa (uma ordem ou comando) e a sentença “f” é uma exclamação. As sentenças que nos interessam são as sentenças declarativas, também designadas de proposições. A estas sentenças nós podemos atribuir os valores lógicos de verdade (V) ou falsidade (F). 2
- 3. Exemplos: Vv (“a terra é redonda”) = Verdade Vv (“2 + 2 = 4”) = Verdade Vv (“a lua é feita de queijo”) = Falsidade Vv (“o quadrado é uma figura de três lados”) = Falsidade Observação: Leremos o símbolo “Vv” como “valor verdade”. Portanto, “Vv (‘2 + 2 = 4’) = Verdade” significa “o valor verdade da proposição “2 + 2 = 4” é a verdade. Já “Vv (‘O Sol é um planeta’) = Falsidade”, significa “o valor verdade da proposição “O Sol é um planeta” é a falsidade. Os valores de verdade e falsidade são representados por “V” e “F” ou “1” e “0”, significando: Valor lógico de verdade – “V” ou “1” Valor lógico de falsidade – “F” ou “0” 2.2. Axiomas – Axiomas são afirmações que consideramos verdadeiras sem necessidade de demonstrar tal fato. Axiomas da Lógica: Axioma da não Contradição – Uma proposição não pode, simultaneamente, ser verdadeira e falsa. Ou seja, uma proposição não pode assumir os dois valores (verdade ou falsidade) ao mesmo tempo. Axioma do Terceiro Excluído – Uma proposição somente pode ser verdadeira ou falsa, não havendo uma terceira alternativa. 2.3. Proposições Simples – Uma proposição simples é aquela formada por uma única sentença declarativa. As proposições simples serão designadas por letras minúsculas como “p”, “q”, “r”, “s” etc. Exemplo: p = “Pedro joga futebol” q = “Maria é engenheira” r = “2 + 3 > 1 + 3” 2.4. Proposições Compostas – Uma proposição é dita composta quando é formada por mais de uma proposição simples unidas por conectivos. Uma proposição composta é designada por letras Maiúsculas como “P”, “Q”, “R”, “S” etc. Exemplos: a) P (p, q) = Pedro é goiano ou Pedro é mineiro. Temos duas proposições simples, a proposição p = “Pedro é goiano” e a proposição q = “Pedro é mineiro”. A proposição composta “P(p, q)” é construída com o auxílio do conectivo “ou”, que é designado pelos símbolos “ + ” ou “ ”. Simbolicamente poderíamos representar: P (p, q) = p q ou P (p, q) = p + q 3
- 4. b) Q (p, q) = Maria é carioca e Maria é casada. Novamente duas proposições simples, a proposição p = “Maria é carioca” e a proposição q = “Maria é casada”. A proposição composta “Q (p, q)” é construída com o auxílio do conectivo “e”, que é designado pelos símbolos “ . ” e “ ”. Simbolicamente poderíamos representar: Q (p, q) = p q ou Q (p, q) = p . q c) R (p, q) = Se hoje é quarta-feira, então temos aula de laboratório. As duas proposições simples, as proposições p = “hoje é quarta-feira” e q = “temos aula de laboratório” formam a proposição composta “R (p, q)” , construída com o auxílio do conectivo “se .. então”, que é designado pelo símbolo “ ”. Simbolicamente poderíamos representar: R (p, q) = p q. 2.5. Conectivos e Tabelas-Verdade – Como visto no Item anterior, conectivos são símbolos que utilizamos para unir proposições simples de modo a formar proposições compostas. Os conectivos são definidos com precisão através de tabelas-verdade. Uma tabela-verdade é uma tabela que, organizadamente, fornece todas as possibilidades de valores verdade para uma proposição. 2.5.1. Conectivo “não” Símbolo. Notação V/F: “ ~ ” Notação 1/0: “ ’ ” Exemplo: Se “p” é uma proposição, leremos “~p” como “não p”. Da mesma forma, leremos “ p’ ” como “não p”. Definição - O conectivo “não” quando aplicado a uma proposição inverte o seu valor verdade. Portanto se Vv(p) = V, Vv(~p) = F e se Vv(p) = F, Vv(~p) = V. Exemplo: p = Pedro joga futebol. Então, a sua negação será: ~p = Pedro não joga futebol q = a terra é quadrada. Então, a sua negação será: q’ = a terra não é quadrada Notação V/F Notação 1/0 Tabela-Verdade que define o p ~p p p’ conectivo “não” V F 1 0 F V 0 1 4
- 5. 2.5.2. Conectivo “e” Símbolo. Notação V/F: “” Notação 1/0: “ . ” Exemplo: Se “p” e “q” são proposições, leremos “p q” como “p e q” ou “p conjunção q”. Igualmente, utilizando a notação “1/0”, leremos “p . q” como “p e q” ou “p conjunção q”. Definição - “p q” somente é verdadeiro quando ambas proposições são verdadeiras. Caso contrário o valor verdade de “p q” é falso. Exemplo: p = A terra é redonda ; q = O Brasil se situa na América do Sul. Então, a proposição composta P (p, q) = p q = “a terra é redonda e o Brasil se situa na América do Sul” é verdadeira, ou seja, Vv (P(p,q)) = V. Notação V/F Notação 1/0 Tabela-Verdade que define o p q pq p q p.q conectivo “e” V V V 1 1 1 V F F 1 0 0 F V F 0 1 0 F F F 0 0 0 2.5.3. Conectivo “ou” Símbolo. Notação V/F: “ ” Notação 1/0: “ + ” Exemplo: Se “p” e “q” são proposições, leremos “p q” como “p ou q” ou “p disjunção q”. Igualmente, utilizando a notação “1/0”, leremos “p + q” como “p ou q” ou “p disjunção q”. Definição - “p q” somente é falso quando ambas proposições são falsas. Caso contrário o valor verdade de “p q” é verdadeiro. Exemplo: p = A terra é plana ; q = O Brasil se situa na Europa. Então, a proposição composta P (p, q) = p q = “a terra é plana ou o Brasil se situa na Europa” é falsa, ou seja, Vv (P(p,q)) = F. Notação V/F Notação 1/0 Tabela-Verdade que define o p q pq p q p+q conectivo “ou” V V V 1 1 1 V F V 1 0 1 F V V 0 1 1 F F F 0 0 0 5
- 6. 2.5.4. Conectivo “ ou exclusivo” Símbolo. Notação V/F: “” Notação 1/0: “” Exemplo: Se “p” e “q” são proposições, leremos “p q” como “p ou exclusivo q”. Igualmente, utilizando a notação “1/0”, leremos “p q” como “p ou exclusivo q”. Definição - “p q” é verdadeiro quando as proposições têm valores verdade diferentes. Quando as proposições têm valores verdade iguais, “p q” é falso. Exemplo: p = 2 < 3 ; q = 2 > 3. Então, a proposição composta P (p, q) = p q = “ 2 < 3 ou exclusivo 2 > 3” é verdadeira, ou seja, Vv (P(p,q)) = V. Notação V/F Notação 1/0 Tabela-Verdade que define o p q pq p q pq conectivo “ou exclusivo” V V F 1 1 0 V F V 1 0 1 F V V 0 1 1 F F F 0 0 0 2.5.5. Conectivo “se .. então” Símbolo. Notação V/F: “ ” Notação 1/0: “ ” Exemplo: Se “p” e “q” são proposições, leremos “p q” como “se p então q” ou “p condicional q”. Definição - “p q” é falsa somente quando “p” é verdadeiro e “q” é falso. Nos outros casos, “p q” é verdadeiro. Exemplo: p = chove ; q = o chão está molhado. Então, a proposição composta P (p, q) = p q = “se chove então o chão está molhado” é verdadeira, ou seja, Vv (P(p,q)) = V. Notação V/F Notação 1/0 Tabela-Verdade que define o p q p q P q p q conectivo “se .. então” V V V 1 1 1 V F F 1 0 0 F V V 0 1 1 F F V 0 0 1 6
- 7. 2.5.6. Conectivo “se e somente se” Símbolo. Notação V/F: “ ” Notação 1/0: “ ” Exemplo: Se “p” e “q” são proposições, leremos “p q” como “p se e somente se q” ou “p bicondicional q”. Definição - “p q” é verdadeira quando as proposições têm valores verdade iguais. Quando as proposições têm valores verdade diferentes, “p q” é falsa. Exemplo: p = 2 + 3 = 5 ; q = 3 + 2 = 5. Então, a proposição composta P (p, q) = p q = “2 + 3 = 5 se e somente 3 + 2 = 5” é verdadeira, ou seja, Vv (P(p,q)) = V. Notação V/F Notação 1/0 Tabela-Verdade que define o p q p q P q p q conectivo “se e somente se” V V V 1 1 1 V F F 1 0 0 F V F 0 1 0 F F V 0 0 1 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1 – Responda: a) O que é a lógica? b) O que é uma proposição simples? c) O que é uma proposição composta? d) O que são os conectivos? e) Quais são os dois axiomas da Lógica de Primeira Ordem? Enuncie os mesmos. 2) Seja p = “2 + 2 = 6” ; q = “4 x 3 = 12” ; r = “3 - 2 = 1”. Observe o exemplo abaixo: Ex: Calcular o valor verdade de P (p, q) = p q. Solução: Sabemos que Vv (p) = F pois 2 + 2 = 4. Também sambemos que Vv (q) = V. Logo, Vv (P(p,q)) = Vv (p q) = Vv (F V) = F, pela 3ª linha da tabela verdade que define o conectivo “ Agora, calcule você mesmo os seguintes valores verdade: 7
- 8. a) Vv (Q), onde Q (p,q) = q p b) Vv (R), onde R (p,q) = p q c) Vv (S), onde S (q, r) = r q d) Vv (T), onde T (r) = ~r e) Vv (U), onde U (p) = ~p f) Vv (X), onde X (p,r) = p + r g) Vv (Y), onde Y (p,q) = p q h) Vv (Z), onde Z (q,r) = r . q i) Vv (A), onde A (p,r) = r . p j) Vv (B), onde B (q,r) = r q Respostas para conferência Exercício 1. Vide a parte inicial deste módulo ou as notas de aula. Exercício 2. a) Vv (Q) = F b) Vv (R) = V c) Vv (S) = F d) Vv (T) = F e) Vv (U) = V f) Vv (X) = V g) Vv (Y) = V h) Vv (Z) = V i) Vv (A) = F j) Vv (B) = V 8