![1. Tautologia, Contradição e Contingência
1.1. Tautologia – Uma proposição composta é dita uma tautologia ou, de outra forma, uma
proposição composta é tautológica, quando o resultado da sua tabela-verdade, ou seja, a última
linha da sua tabela-verdade é toda ela verdadeira.
Ex: P (p, q) = (p . q) + (p’ + q’) Esta proposição é tautológica
A notação é “1/0” e a tabela-verdade tem 4 linhas (duas proposições simples).
resultado final
p q p’ q’ p.q p’ + q’ (p . q) + (p’ + q’)
1 1 0 0 1 0 1
1 0 0 1 0 1 1
0 1 1 0 0 1 1
0 0 1 1 0 1 1
Ex: P (p, q, r) = [(p → q) r] ↔ [r (q + p’)] Esta proposição é uma tautologia
A notação é “1/0” e a tabela-verdade tem 8 linhas (três proposições simples).
resultado final
p q r p’ p → q (p→q) r q + p’ r (q+p’) [(p → q) r] ↔ [r (q + p’)]
1 1 1 0 1 0 1 0 1
1 1 0 0 1 1 1 1 1
1 0 1 0 0 1 0 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 1 1 1 0 1 0 1
0 1 0 1 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 0 1 0 1
0 0 0 1 1 1 1 1 1
1.2. Contradição – Uma proposição composta é dita uma contradição ou, de outra forma, uma
proposição composta é contraditória, quando o resultado da sua tabela-verdade, ou seja, a última
linha da sua tabela-verdade é toda ela falsa.
Ex: P (p, q) = (p . q) . (p’ + q’) Esta proposição é contraditória
A notação é “1/0” e a tabela-verdade tem 4 linhas (duas proposições simples).
resultado final
p q p’ q’ p.q p’ + q’ (p . q) . (p’ + q’)
1 1 0 0 1 0 0
1 0 0 1 0 1 0
0 1 1 0 0 1 0
0 0 1 1 0 1 0
2](https://image.slidesharecdn.com/moduloiii-130325225257-phpapp01/85/Modulo-iii-2-320.jpg)
![Ex: P (p, q, r) = [(p → q) r] [(p’ + q) r] Esta proposição é uma contradição
A notação é “1/0” e a tabela-verdade tem 8 linhas (três proposições simples).
resultado final
p q r p’ p → q (p→q) r p’ + q (p’+q) r [(p → q) r] [(p’+q) r]
1 1 1 0 1 0 1 0 0
1 1 0 0 1 1 1 1 0
1 0 1 0 0 1 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 0 1 0 0
0 1 0 1 1 1 1 1 0
0 0 1 1 1 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1 1 1 0
1.3. Contingência – Uma proposição composta é dita uma contingência ou, de outra forma, uma
proposição composta é contingente, quando o resultado da sua tabela-verdade, ou seja, a última
linha da sua tabela-verdade tem valores verdadeiros e falsos.
Ex: P (p, q) = (p . q) + (p’ q’) Esta proposição é contingente
A notação é “1/0” e a tabela-verdade tem 4 linhas (duas proposições simples).
resultado final
p q p’ q’ p.q p’ q’ (p . q) + (p’ q’)
1 1 0 0 1 0 1
1 0 0 1 0 1 1
0 1 1 0 0 1 1
0 0 1 1 0 0 0
Ex: P (p, q, r) = [(p → q) r] → [(p’ + q) . r] Esta proposição é uma contingência
A notação é “1/0” e a tabela-verdade tem 8 linhas (três proposições simples).
resultado final
p q r p’ p → q (p→q) r q + p’ (p’+q) . r [(p → q) r] → [(p’ + q) . r)]
1 1 1 0 1 0 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1 0 0
1 0 1 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 1 1 1 0 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1 0 0
0 0 1 1 1 0 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1 0 0
3](https://image.slidesharecdn.com/moduloiii-130325225257-phpapp01/85/Modulo-iii-3-320.jpg)
Modulo iii
- 1. Faculdade SISTEMAS DE INFORMAÇÃO SI11 LÓGICA MÓDULO III Tautologia, Contradição e Contingência Equivalência Lógica Professor Newton Marquez Alcantara 1
- 2. 1. Tautologia, Contradição e Contingência 1.1. Tautologia – Uma proposição composta é dita uma tautologia ou, de outra forma, uma proposição composta é tautológica, quando o resultado da sua tabela-verdade, ou seja, a última linha da sua tabela-verdade é toda ela verdadeira. Ex: P (p, q) = (p . q) + (p’ + q’) Esta proposição é tautológica A notação é “1/0” e a tabela-verdade tem 4 linhas (duas proposições simples). resultado final p q p’ q’ p.q p’ + q’ (p . q) + (p’ + q’) 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 Ex: P (p, q, r) = [(p → q) r] ↔ [r (q + p’)] Esta proposição é uma tautologia A notação é “1/0” e a tabela-verdade tem 8 linhas (três proposições simples). resultado final p q r p’ p → q (p→q) r q + p’ r (q+p’) [(p → q) r] ↔ [r (q + p’)] 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1.2. Contradição – Uma proposição composta é dita uma contradição ou, de outra forma, uma proposição composta é contraditória, quando o resultado da sua tabela-verdade, ou seja, a última linha da sua tabela-verdade é toda ela falsa. Ex: P (p, q) = (p . q) . (p’ + q’) Esta proposição é contraditória A notação é “1/0” e a tabela-verdade tem 4 linhas (duas proposições simples). resultado final p q p’ q’ p.q p’ + q’ (p . q) . (p’ + q’) 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 2
- 3. Ex: P (p, q, r) = [(p → q) r] [(p’ + q) r] Esta proposição é uma contradição A notação é “1/0” e a tabela-verdade tem 8 linhas (três proposições simples). resultado final p q r p’ p → q (p→q) r p’ + q (p’+q) r [(p → q) r] [(p’+q) r] 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1.3. Contingência – Uma proposição composta é dita uma contingência ou, de outra forma, uma proposição composta é contingente, quando o resultado da sua tabela-verdade, ou seja, a última linha da sua tabela-verdade tem valores verdadeiros e falsos. Ex: P (p, q) = (p . q) + (p’ q’) Esta proposição é contingente A notação é “1/0” e a tabela-verdade tem 4 linhas (duas proposições simples). resultado final p q p’ q’ p.q p’ q’ (p . q) + (p’ q’) 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 Ex: P (p, q, r) = [(p → q) r] → [(p’ + q) . r] Esta proposição é uma contingência A notação é “1/0” e a tabela-verdade tem 8 linhas (três proposições simples). resultado final p q r p’ p → q (p→q) r q + p’ (p’+q) . r [(p → q) r] → [(p’ + q) . r)] 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 3
- 4. 2. Equivalência Lógica 2.1. Definição. Duas proposições são logicamente equivalentes se e somente se têm a mesma tabela verdade. 2.2. Simbologia. Se duas proposições P (p,q,r,s,...) e Q (p,q,r,s,...) são logicamente equivalentes, então, simbolicamente, representaremos este fato, por “P (p,q,r,s,...) Q (p,q,r,s,...)” e leremos como “a proposição P (p,q,r,s,...) é logicamente equivalente à proposição Q (p,q,r,s,...)” ou “a proposição P (p,q,r,s,...) e a proposição Q (p,q,r,s,...) são logicamente equivalentes”. OBSERVAÇÃO: Os símbolos “↔” e “” são completamente distintos. O primeiro (“↔”) representa a bicondicional, que é um conectivo. O segundo (“”) representa a relação de equivalência lógica que pode ou não existir entre duas proposições. 2.3. Verificação se duas proposições são logicamente equivalentes. O processo de verificação decorre diretamente da definição. Basta construir as tabelas-verdade para ambas as proposições e verificar se o resultado final é o mesmo. Se o resultado final for o mesmo, as proposições são logicamente equivalentes. Caso contrário, não são logicamente equivalentes. Exemplo: Verificar se P(p,q) = p → q e Q (p,q) = p’ + q são logicamente equivalentes. Observação: por questão de conveniência, sempre que possível, iremos construir as duas tabelas- verdade na mesma tabela. P(p,q) Q(p,q) p q p’ p→q p’ + q 1 1 0 1 1 As duas últimas colunas são iguais. Logo as 1 0 0 0 0 proposições P (p,q) e Q (p,q) são logicamente 0 1 1 1 1 equivalentes. 0 0 1 1 1 iguais 4
- 5. Exemplo: Verificar se P(p,q,r) = p ↔ (qr) e Q(p,q,r) = q + (p→r)’ são logicamente equivalentes. P(p,q,r) Q(p,q,r) p q r q r p ↔ (q r) p→r (p→r)’ q + (p→r)’ 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 diferentes As colunas que representam o resultado final para as tabelas-verdade de P(p,q,r) e Q(p,q,r) são diferentes. Logo as proposições P(p,q,r) e Q(p,q,r) não são logicamente equivalentes. 5