V@R: Overview

Value-at-Risk:
Overview
Análise de Risco (1)
R.Vicente mpmmf

1

Resumo
Objetivos
Definição
Esquema Geral
Dinâmica de Preços
Passeio Aleatório Discreto
Somas de Variáveis Aleatórias
Teorema Central do Limite
Estatística dos Retornos
Auto-Correlação
Volatilidade
Matrizes de Correlação
Bibliografia

2

Objetivos
1. Medida de exposição por transação, unidade de
negócios ou agregada;
2. Alocação de capital apropriada ao valor de mercado
e risco;
3. Estabelecimento de limites de exposição;
4. “Disclosure” para acionistas, mercado e órgãos
regulatórios;
5. Avaliação de “traders” e/ou unidades de negócio.

3

Definição
Dado um horizonte de tempo T e um nível de confiança p, o
VaR é a perda no valor de mercado no horizonte T que pode
ser excedida com probabilidade 1-p.

BIS: p=0,99 e T = 10 dias
JPM: p=0,95 e T = 1 dia

O VaR é apenas um benchmark para decisões comparativas.
Em situações adversas podem ocorrer problemas de liquidez
que podem ampliar significativamente perdas potenciais.

4

Esquema Geral
Simulação de mudanças nos preços e taxas.
(modelos estatísticos paramétricos ou bootstrap)

Base de dados com carteiras

Cálculo do valor de mercado de cada instrumento para cada cenário
de preços e taxas.
(aproximações de 1a (delta) ou 2a (delta-gama) ordem, full valuation)

5

O que é necessário ?

1. Modelo para as mudanças aleatórios nos preços;
2. Modelo para preços e sensibilidades de derivativos

6

Dinâmica de Preços

Rt = μt−1 + σt −1εt
μt−1 = E ⎡⎣ Rt I t−1 ⎤⎦
σt −1 = var ⎡⎣ Rt I t−1 ⎤⎦
E ⎡⎣εt I t−1 ⎤⎦ = 0 var ⎡⎣εt I t−1 ⎤⎦ = 1

“Plain vanilla model”: μ, σ constantes.
ε iid N (0,1)

7

S n = S n−1 + σεn
1 1
εn ~ p (ε) = δ (ε − s ) + δ (ε + s ) i.i.d .
2 2
εn = 0 εn = s 2 εn ε j = s 2δnj
2

40

20

0

-20

-40

-60

-80

-100

-120

-140
-10 0 10 20 30 40 50 60 70
8

N
SN = ∑ ε j
j =1
S1000 N
SN = ∑ ε j = 0
j =1
N
= ∑ εj = Ns
2 2 2
SN
j =1

9

Convolução
N
Qual é a distribuição de SN = ∑ ε j ?
j =1

X = X1 + X 2 x j ~ p j (x j )
p ( x) = ∫ dx ′ p1 ( x ′) p2 ( x − x ′)
p = p1 ∗ p2

10

Convolução
N
X =∑Xj x j ~ p j (x j )
j =1
N −1
p( x) = ∫ ∏ dx′
j =1
j p1 ( x1′) pN −1 ( xN −1 ) pN ( x − x1′ −
′ x'′N −1 )

p = p1 ∗ p2 ∗ pN
N
Qual é a distribuição de Sn = ∑ ε j ?
j =1

p ( S N ) = p (ε ) ∗ p (ε ) ∗ p (ε ) = p ∗ N (ε )
N termos

11

Convolução no Espaço de
Fourier

p ( z ) = ∫ dx exp(izx ± izx'1 ±
ˆ ′ izx'′N −1 )
N −1

∫ ∏ dx′
j =1
j p1 ( x1′) pN −1 ( xN −1 ) pN ( x − x1′ −
′ x'′N −1 )

N
p( z ) = ∏ p j ( z )
ˆ ˆ
j =1

⎡N ⎤ N

Como conseqüência os ln p ( z ) = ln ⎢∏ p j ( z )⎥ = ∑ ln p j ( z )
ˆ ˆ ˆ
⎢ j=1 ⎥ j=1
⎣ ⎦
cumulantes se somam: l ∂ ln p (0)
l
ˆ N
cl , N = (−i ) = ∑ cl , j
∂z l
j =1

12

Cumulantes
Se as variáveis são i.i.d. os
cumulantes de uma soma cl , N = Ncl ,1
de N variáveis são:
l
cl , N cl ,1 1−
Os cumulantes λl , N = l
= N 2
c2,1
normalizados são:
(c2, N ) 2

Em uma soma de N variáveis i.i.d. a assimetria (skewness) , a
curtose e os cumulantes superiores decaem como:
λ3 κ λl l −2
λ3, N = κN = λl , N = β ,β =
N N N 2
13

Seja uma seqüência N de variáveis aleatórias i.i.d.
{ X k }k =1
com distribuição comum. Suponha que estejam definidos os
dois primeiros cumulantes.

μ = X k = c1 σ = Xk − Xk
2 2 2
= c2

N
Seja SN = ∑ X k , então, para β fixo:
k=1

β
⎧ SN − N μ
⎪ ⎫
⎪
1
P⎪ < β ⎪ ⎯⎯⎯
1 − x2
⎨
⎪ σ N
⎪
⎩
⎬ N →∞→
⎪
⎪
⎭
∫
2π −∞
dx e 2
14


15

Distribuições Estáveis
N

Se a distribuição de S N = ∑ X k tiver a mesma forma
k =1
funcional, da distribuição de X k, a distribuição de Xk
é dita estável.

Portanto, uma distribuição é estável se, no espaço de Fourier, sua
função característica for

pn ( z ) = [ p ( z ) ]
n
ˆ ˆ

tal que pn ( z ) e p ( z ) tenham a mesma forma funcional.
ˆ ˆ
16

Exemplo: A distribuição Lorentziana (Cauchy) é estável:
γ 1
p( x) =
π γ +x
2 2

No espaço de Fourier:

γ eixz
p( z ) = ∫
−γ z
ˆ dx =e ˆ n ( z ) = e−nγ z
p
π γ 2 + x2
Retornando ao espaço original:

1 nγ 1
∫ dz e e = π (nγ )2 + x 2
−ixz − nγ z
pn ( x ) =
2π
17

A classe completa de distribuições estáveis é descrita pela seguinte família
de funções características (Lévy e Khintchine):

⎧
⎪ ⎡ ⎤
⎪iλ z − a z μ ⎢1− iβ z tan ⎛ π μ⎞⎥ , μ ≠ 1
⎪ ⎜ ⎟
⎪
⎪
μ ⎢ ⎜2 ⎟
⎜ ⎠⎥
⎝ ⎟⎥⎦
⎪ ⎢⎣ z
ln p ( z ) = ⎨
ˆ
⎪
⎪ ⎡ z 2 ⎤
⎪ iλ z − aμ z ⎢1− iβ
⎪ ln z ⎥⎥ , μ = 1
⎪ ⎢ z π
⎪
⎩ ⎢⎣ ⎥⎦
0 < μ ≤ 2 aμ > 0 λ ∈ β ∈ [−1, +1]

18

Exponencial LÉVY
Lorentziana
Lévy-Smirnoff (β = 1)

Uniforme

NORMAL
μ→2 μ =1 μ = 1/ 2 μ→0 19

Passeio Aleatório Contínuo
S n = S n−1 + σεn
εn ~ p (ε) i.i.d .
εn = 0 εn = s 2 εn ε j = s 2δnj
2

n → ∞ Δt → 0 com nΔt ≡ t
s2
S 2 (t ) = ns 2 = t
Δt
20

Passeio Aleatório Contínuo:
Difusão
Definindo S 2 (t ) = Dt
Constante de difusão
s 2 = DΔt

⎡ ( x − x )2 ⎤ 0.4

exp ⎢⎢− ⎥
1
p ( x, t ) = 0

2 Dt ⎥⎥
0.35

2 π Dt ⎢⎣ ⎦ 0.3

0.25

0.2

Equação de Difusão 0.15

0.1

∂p ∂p D ∂ p 2
= − x0 + 0.05

∂t ∂x 2 ∂x 2 0
-30 -20 -10 0 10 20 30

21

ju
l-

5000
10000
15000
20000

0

-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
ja 94
n- jul-94
9
ju 5
l -9 jan-95
ja 5
n- jul-95
9
ju 6
l- jan-96
ja 96
n-
9 jul-96
ju 7
l -9 jan-97
ja 7
IBOVESPA

n-
9 jul-97
ju 8
l- jan-98
ja 98
jul-98
n-
9
ju 9
l -9 jan-99
ja 9
jul-99
n-
0
ju 0
l- jan-00
ja 00
jul-00
n-
0
ju 1
l -0 jan-01
ja 1
n-
0 jul-01
ju 2
l -0 jan-02
2
jul-02
St
=
St
ΔS St +1 − St
Estatística dos Retornos: IBOV

⎜
≈ ln ⎜

25
⎜ S ⎠
⎛ St +1 ⎞
⎝ t ⎟
⎟
⎟
⎟

Estatística dos Retornos:
Leptocurtose no IBOV
⎛ St +1 ⎞
⎟
xt = ln ⎜
⎜
⎜ S ⎠
⎟
⎟
⎝ t
⎟
Média -0,0012 IBOVESPA

Assimetria -0,15
Curtose 3,87

Um teste de Kolmoroff-Smirnoff rejeita a normalidade da amostra com p-
value de 0,038 para um nível de significância de 5%.

26

Auto-correlação
C ( L) = xt + L xt − xt + L xt

IBOVESPA

99% de
confiança

27

Leptocurtose e
Heterocedasticidade

Retornos independentes e gaussianos mas com a volatilidade mudando
com o tempo geram distribuições de retornos agregados leptocúrticas.

⎛ x2 ⎞
exp ⎜− 2 ⎟
1
[ p ( x)] = ∫ d σ p (σ ) ⎜ ⎟
⎟
2πσ 2 ⎜ 2σ ⎠
⎝ ⎟
3[σ 4 ]
[σ 4 ] ≥ [σ 2 ]2 ⇒ [κ ] = 2 2 − 3 ≥ 0
[σ ]

28

Leptocurtose e Jump Diffusion
Retornos independentes e gaussianos mas com picos eventuais de
volatilidade também geram distribuições de retornos agregados
leptocúrticas.

29

Leptocurtose e Mistura de Normais

Qualquer curtose pode ser gerada via uma mistura de distribuições normais

Normal 1: probabilidade p X = αZ
Normal 2: probabilidade 1-p X = βZ
var(X ) = pα2 + (1 − p)β 2 = σ 2

σ 2 − pα 2
β=
1− p
E ⎡⎣X 4 ⎤⎦
κ= = 3 (pα 4 + (1 − p)β 4 )
σ4
30

Volatilidades
As volatilidades são bem descritas por um modelo GARCH e são altamente
heterocedasticas.

31

Auto-correlação das
Volatilidades
As volatilidades são bem descritas por um modelo GARCH e são altamente
heterocedasticas e auto-correlacionadas.

32

Matriz de Correlações
Espectro de
Autovalores

MARKET

RANDOM

33

Bibliografia

•Duffie e Pan, An Overview of Value at Risk
•Bouchaud e Potters, Theory of Financial Risk;

• Mantegna R.N. e Stanley E., An Introduction to Econophysics;
• Feller W., An Introduction to Probability Theory and Applications;
Leitura Complementar
Sornette e Andersen, Increments of Uncorralated Time Series Can Be Predicted
With a Universal 75% Probability of Success;
http://xxx.lanl.gov/abs/cond-mat/0001324

34

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