Número de Fibonacci
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O documento descreve a sequência de Fibonacci, começando com os primeiros termos 0 e 1 e definindo cada termo subsequente como a soma dos dois anteriores. Também discute generalizações como números de Lucas e tribonacci, e aplicações nos algoritmos euclidianos e no triângulo de Pascal.
Número de Fibonacci
- 2. Escola Estadual Fernando CorrêaAlunos(as): Alef, Adilson, Jeniffer, Johnny, Rodrigo, Ully.
- 3. 2 ano “A” Ensino Médio
- 5. Profº: José MiguelÍndiceNúmero de Fibonacci...............................................4
- 7. Calculando números de Fibonacci.........................6
- 14. Repfigits.....................................................................15Número de FibonacciNa prática: você começa com 0 e 1, e então produz o próximo número de Fibonacci somando os dois anteriores para formar o próximo. Os primeiros Números de Fibonacci (sequência A000045 na OEIS) para n = 0, 1,… são
- 15. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946…
- 16. Esta sequência foi descrita primeiramente por Leonardo de Pisa, também conhecido como Fibonacci (Dc. 1200), para descrever o crescimento de uma população de coelhos. Fórmula explícitaConforme mencionado por Johannes Kepler, a taxa de crescimento dos números de Fibonacci, que é F(n + 1) /F(n), tende à Proporção áurea, denominada φ. Esta é a raiz positiva da equação de segundo grau x² − x − 1 = 0, então φ² = φ + 1. Se multiplicarmos ambos os lados por φn, teremos φn+2 = φn+1 + φn, então a função φn é uma sequência de Fibonacci. É possível demonstrar que a raiz negativa da mesma equação, 1 − φ, tem as mesmas propriedades, então as duas funções φn e (1 − φ)n formam outra base para o espaço.Calculando números de FibonacciNa prática não é conveniente calcular os números de Fibonacci usando potências da proporção áurea, a não ser para valores pequenos de n, já que os erros de arredondamento se acumulam e a precisão dos números de ponto flutuante normalmente não será suficiente.
- 17. A implementação direta da definição recursiva da sequência de Fibonacci também não é recomendável porque os mesmos valores são calculados muitas vezes (a não ser que a linguagem de programação guarde automaticamente os valores calculados nas chamadas anteriores da mesma função com o mesmo argumento). Por esse motivo, normalmente calcula-se os números de Fibonacci "de baixo para cima", começando com os dois valores 0 e 1, e depois repetidamente substituindo-se o primeiro número pelo segundo, e o segundo número pela soma dos dois anteriores.AlgoritmosAlgoritmo em Java
- 18. Algoritmo Recursivo em Java
- 19. Algoritmo recursivo eficiente em Java
- 20. Algoritmo Recursivo em Scheme
- 21. Algoritmo Iterativo em Scheme
- 22. Algoritmo em ECMAScript / JavaScript
- 23. Algoritmo recursivo em Python
- 24. Algoritmo eficiente em Python
- 25. Algoritmo em PHP
- 27. Algoritmo em C
- 28. Algoritmo em RubyAlgoritmo em Erlang
- 29. Algoritmo em Shell Script (Zsh)
- 30. Algoritmo em bc (comando Unix)
- 33. Algoritmo em Prompt Script (BAT)
- 35. Algoritmo em Tcl
- 38. Algoritmo em Visual Fox Pro
- 39. Algoritmo em C#AplicaçõesOs números de Fibonacci são importantes para a análise em tempo real do algoritmo euclidiano, para determinar o máximo divisor comum de dois números inteiros.
- 40. Matiyasevich mostrou que os números de Fibonacci podem ser definidos por uma Equação diofantina, o que o levou à solução original do Décimo Problema de Hilbert.
- 41. Os números de Fibonacci aparecem na fórmula das diagonais de um Triângulo de Pascal GeneralizaçõesUma generalização da sequência de Fibonacci são as Sequências de Lucas. Um tipo pode ser definido assim:
- 42. U(0) = 0
- 43. U(1) = 1
- 45. onde a sequência normal de Fibonacci é o caso especial de P = 1 e Q = -1. Outro tipo de sequência de Lucas começa com V(0) = 2, V(1) =P. Tais sequências têm aplicações na Teoria de Números e na prova que um dado número é primo (primalidade).
- 46. Os polinômios de Fibonacci são outra generalização dos números de Fibonacci.IdentidadesF(n + 1) = F(n) + F(n − 1)
- 47. F(0) + F(1) + F(2) + … + F(n) = F(n + 2) − 1
- 48. F(1) + 2 F(2) + 3 F(3) + … + n F(n) = n F(n + 2) − F(n + 3) + 2
- 49. Podemos provar essas identidades usando diferentes métodos. Mas, entretanto, nós queremos demonstrar uma elegante prova para cada um de seus usos aqui. Particularmente, F(n) podem ser interpretados como o número de formas de adicionar 1's e 2's até n − 1, convencionando-se que F(0) = 0, significando que nenhuma soma irá adicionar até -1, e que F(1) = 1, significando que a soma 0 será "adicionada" até 0. Aqui a ordem dos números importa. Por exemplo, 1 + 2 e 2 + 1 são consideradas duas diferentes somas e são contadas duas vezes.Número TribonacciUm Número Tribonacci assemelha-se a um número de Fibonacci, mas em vez de começarmos com dois termos pré-definidos, a sequência é iniciada com três termos pré-determinados, e cada termo posterior é a soma dos três termos precedentes. Os primeiros números de uma pequena sequência Tribonacci são:
- 50. 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, 121415, 223317, etc.A EspiralNa espiral formada pela folha de uma bromélia, pode ser percebida a sequência de Fibonacci, através da composição de quadrados com arestas de medidas proporcionais aos elementos da sequência, por exemplo: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…, tendentes à razão áurea. Este mesmo tipo de espiral também pode ser percebida na concha do Nautilus marinho.
- 51. RepfigitsUm repfigit ou número de Keith é um número inteiro, superior a 9, tal que os seus dígitos, ao começar uma sequência de Fibonacci, alcançam posteriormente o referido número. Um exemplo é 47, porque a sequência de Fibonacci que começa com 4 e 7 (4, 7, 11, 18, 29, 47) alcança o 47. Outro exemplo é 197: 1+9+7= 17, 9+7+17= 33, 7+17+33= 57, 17+33+57= 107, 33+57+107= 197.
- 52. Um repfigit pode ser uma sequência de Tribonacci se houver três dígitos no número, e de Tetranacci se o número tiver quatro dígitos, etc.
- 53. Alguns Números de Keith conhecidos: 14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, 31331, 34285…Fonte da pesquisahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Número_de_Fibonacci