Os Teoremas de Euler e Wilson
- 1. Sum´ario OS TEOREMAS DE EULER E WILSON Luciana Santos da Silva Martino lulismartino.blogspot.com.br lulismartino@gmail.com PROFMAT - Col´egio Pedro II 02 de dezembro de 2016
- 2. Teorema de Euler Teorema de Wilson Sum´ario 1 Teorema de Euler 2 Teorema de Wilson
- 3. Teorema de Euler Teorema de Wilson Outline 1 Teorema de Euler 2 Teorema de Wilson
- 4. Teorema de Euler Teorema de Wilson Teorema de Euler . Objetivo: Determinar se a congruˆencia aX ≡ 1 mod m possui alguma soluc¸ ˜ao em X Proposic¸ ˜ao 10.1: Sejam a, m ∈ Z, com m > 1. A congruˆencia aX ≡ 1 mod m possui soluc¸ ˜ao se, e somente se, (a, m) = 1. Al´em disso , se x0 ∈ Z ´e uma soluc¸ ˜ao, ent˜ao x ´e uma soluc¸ ˜ao da congruˆencia se, e somente se, x ≡ x0 mod m Uma soluc¸ ˜ao da congruˆencia aX ≡ 1 mod m determina e ´e determinada por qualquer outra soluc¸ ˜ao. Se considerarmos que duas soluc¸ ˜oes congruentes m´odulo m s˜ao, essencialmente, a mesma, temos a unicidade da soluc¸ ˜ao
- 5. Teorema de Euler Teorema de Wilson Teorema de Euler Definic¸ ˜ao: Um sistema reduzido de res´ıduos m´odulo m ´e um conjunto de n´umeros inteiros r1, ..., rs tais que: (i) (ri , m) = 1, para todo i = 1, ..., s (i) ri ≡ rj mod m, se i = j (iii) Para cada n ∈ Z tal que (n, m) = 1, existe i tal que n ≡ ri mod m . Pode-se obter um sistema reduzido de res´ıduos r1, ..., rs m´odulo m, a partir de um sistema completo qualquer de res´ıduos a1, ..., am m´odulo m, eliminando os elementos ai que n˜ao s˜ao primos com m . Dois sistemas reduzidos de res´ıduos m´odulo m tem o mesmo n´umero de elementos
- 6. Teorema de Euler Teorema de Wilson Teorema de Euler Designaremos por ϕ(m) o n´umero de elementos de um sistema reduzido de res´ıduos m´odulo m > 1, que corresponde `a quantidade de n´umeros naturais entre 0 e m − 1 que s˜ao primos com m Pondo ϕ(1) = 1, isso define uma importante func¸ ˜ao ϕ : N → N chamada func¸ ˜ao fi de Euler Pela definic¸ ˜ao temos que ϕ(m) ≤ m − 1, para todo m ≥ 2 Al´em disso, se m ≥ 2, ent˜ao ϕ(m) = m − 1 se, e somente se, m ´e um n´umero primo
- 7. Teorema de Euler Teorema de Wilson Teorema de Euler Exemplo 10.2: Se n = kd, com k, d ∈ N, ent˜ao a quantidade de n´umeros naturais m tais que 1 ≤ m ≤ n e (n, m) = d ´e ϕ(k) Exemplo 10.3: Gauss Seja n ∈ N. Tem-se que d|n,d∈N ϕ(d) = n Em particular, temos que ϕ(1)+ϕ(2)+ϕ(3)+ϕ(4)+ϕ(6)+ϕ(9)+ϕ(12)+ϕ(18)+ϕ(36) = 36
- 8. Teorema de Euler Teorema de Wilson Teorema de Euler Proposic¸ ˜ao 10.4: Seja r1, ..., rϕ(m) um sistema reduzido de res´ıduos m´odulo m e seja a ∈ Z tal que (a, m) = 1. Ent˜ao ar1, ..., arϕ(m) ´e um sistema reduzido de res´ıduos m´odulo m Euler Teorema 10.5: Sejam m, a ∈ Z, com m > 1 e (a, m) = 1. Ent˜ao aϕ(m) ≡ 1 mod m Pequeno Teorema de Fermat Corol´ario 10.6: Sejam a ∈ Z e p um n´umero primo tais que (a, p) = 1. Tem-se que ap−1 ≡ 1 mod p
- 9. Teorema de Euler Teorema de Wilson Teorema de Euler Exemplo 10.7: Da vers˜ao acima do Pequeno Teorema de Fermat, obtem-se que ap ≡ a mod p, ∀a ∈ Z Generalizac¸ ˜ao do Pequeno Teorema de Fermat Se p ´e um n´umero primo ent˜ao ∀a ∈ Z e ∀k ∈ N tem-se que ak(p−1)+1 ≡ a mod p No entanto, n˜ao ´e verdade em geral que para todo a ∈ Z e todo k ∈ N se tenha akϕ(m)+1 ≡ a mod m Certamente, essa congruˆencia ´e v´alida se (a, m) = 1, pois ´e consequˆencia do Teorema de Euler. Mas se (a, m) = 1, ela pode ser falsa Exemplo 10.8: Seja m = 4 e a = 2. Logo, aϕ(m)+1 = 22+1 = 8 ≡ 2 mod 4
- 10. Teorema de Euler Teorema de Wilson Teorema de Euler . Aplicac¸ ˜ao do Teorema de Euler: c´alculo de ϕ(m) Proposic¸ ˜ao 10.9: Sejam m, m ∈ N tais que (m, m ) = 1. Ent˜ao ϕ(mm ) = ϕ(m)ϕ(m ) Corol´ario 10.10: Seja m um inteiro livre de quadrados. Ent˜ao para todo a ∈ Z e todo k ∈ N tem-se que akϕ(m)+1 ≡ a mod m Proposic¸ ˜ao 10.11: Se p ´e um n´umero primo e r, um n´umero natural, ent˜ao tem-se que ϕ(pr ) = pr − pr−1 = pr 1 − 1 p
- 11. Teorema de Euler Teorema de Wilson Teorema de Euler Teorema 10.12: Seja m > 1 e seja m = pα1 1 ...pαn n a decomposic¸ ˜ao de m em fatores primos. Ent˜ao ϕ(m) = pα1 1 ...pαn n 1 − 1 p1 ... 1 − 1 pn Essa f´ormula ´e reescrita como: ϕ(pα1 1 ...pαn n ) = pα1−1 1 ...pαn−1 n (p1 − 1)...(pn − 1) Para calcular o resto da divis˜ao de uma potˆencia an por um n´umero natural m > 1, ´e conveniente achar um expoente h ∈ N de modo que ah ≡ 1 mod m, pois, se n = hp + r ´e a divis˜ao euclidiana de n por h, teremos an = ahq ar ≡ ar mod m Portanto, ´e clara a utilidade do Teorema de Euler para a resoluc¸ ˜ao desse tipo de quest˜ao
- 12. Teorema de Euler Teorema de Wilson Teorema de Euler Exemplo 10.13: Vamos achar o resto da divis˜ao de 3100 por 34 . Em geral, nem sempre ´e poss´ıvel chegar a um n´umero h tal que ah ≡ 1 mod m Proposic¸ ˜ao 10.14: Sejam dados a, m ∈ Z, com m ≥ 2. Existe h ∈ N tal que ah ≡ 1 mod m se, e somente se, (a, m) = 1 No Exemplo 10.13: (3, 34) = 1
- 13. Teorema de Euler Teorema de Wilson Teorema de Euler Suponha que a, m ∈ Z, com m > 1 e (a, m) = 1. Nesse caso {i ∈ N; ai ≡ 1 mod m} = ∅ Portanto, vamos definir a ordem de a com respeito a m como sendo o n´umero natural ordm(a) = min{i ∈ N; ai ≡ 1 mod m} Lema 10.15: Sejam a, m ∈ Z, com m > 1 e (a, m) = 1. Temos que an ≡ 1 mod m se, e somente se, ordm(a) | n
- 14. Teorema de Euler Teorema de Wilson Teorema de Euler Corol´ario 10.16: Sejam a, m ∈ Z, com m > 1 e (a, m) = 1. Temos que ordm(a) | ϕ(m) Proposic¸ ˜ao 10.17: Todo divisor natural de Fn ´e da forma 2n+1k + 1, onde k ∈ N ∪ {0} Exemplo 10.18: Uma prova mais conceitual do fato de que o quinto n´umero de Fermat F5 = 225 n˜ao ´e primo
- 15. Teorema de Euler Teorema de Wilson Teorema de Euler Corol´ario 10.19: Na progress˜ao aritm´etica de primeiro termo 1 e raz˜ao 2r , para r ∈ N, fixo, existem infinitos n´umeros primos Exemplo 10.20: Se n ´e um divisor de um n´umero da forma Mp = 2p − 1, onde p ´e um n´umero primo, ent˜ao n ≡ 1 mod p Lucas - rec´ıproca parcial do Teorema de Fermat (teste de primalidade) Teorema 10.21: Sejam a e m dois n´umeros naturais tais que m > 1 e (a, m) = 1. Suponha que am−1 ≡ 1 mod m, e que ak ≡ 1 mod m, ∀k, k < m − 1. Ent˜ao m ´e primo
- 16. Teorema de Euler Teorema de Wilson Outline 1 Teorema de Euler 2 Teorema de Wilson
- 17. Teorema de Euler Teorema de Wilson Teorema de Wilson Wilson Teorema 10.22: Se p ´e um n´umero primo, ent˜ao (p − 1)! ≡ −1 mod p Rec´ıproca do Teorema de Wilson - crit´erio de primalidade - n˜ao eficiente Proposic¸ ˜ao 10.23: Seja p ≥ 2 um inteiro. Se (p − 1)! ≡ −1 mod p, ent˜ao p ´e primo Exemplo 10.24: Se p ´e um n´umero primo ´ımpar, ent˜ao p | 2p−1 + (p − 1)!
- 18. Teorema de Euler Teorema de Wilson Teorema de Wilson Generalizac¸ ˜ao do Teorema de Wilson Teorema 10.25: Sejam p um n´umero primo e m, n ∈ N{0} tais que m + n = p − 1. Tem-se que m!n! ≡ (−1) n+1 mod p Exemplo 10.26: Seja p = 2q + 1 um n´umero primo onde q ´e ´ımpar. Vamos mostrar que q! ≡ ±1 mod p Exemplo 10.27: Seja p um primo tal que p ≡ 1 mod 4. Tem-se que p − 1 2 ! 2 ≡ −1 mod p Em particular, ∃a ∈ Z, com 0 < a ≤ p−1 2 , tal que a2 ≡ −1 mod p