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Matérias > Física > Termologia > Termometria

Matérias > Física > Termologia > Termometria : 1_1-1

Termometria
Conceitos básicos
Temperatura
É a medida do grau de agitação molecular. Essa medida é feita indiretamente medindo-se a variação de
grandezas físicas que variam biunivocamente com a temperatura. Por esse motivo são chamadas
grandezas físicas termométricas. Como exemplo podemos citar a pressão, o volume e a resistência
elétrica.
Os sistemas construídos para medir-se a temperatura são chamados termômetros. Como exemplos têm-se
o termômetro de mercúrio, o de álcool, o de pressão, etc.
Como a temperatura está associada ao movimento das moléculas, pode-se encará-la como medida do nível
energético das moléculas.
Energia térmica
É a energia associada à energia cinética das moléculas. Portanto, depende da massa e da temperatura de um
corpo.
Equilíbrio térmico
Dizemos que dois corpos estão em equilíbrio térmico quando estão à mesma temperatura.
Graduação de um termômetro
A graduação de termômetro é feita com água pura à pressão normal (1 atm). No termômetro são marcadas
duas posições. Uma marca é obtida mergulhando-se o termômetro num recipiente que contém gelo em
fusão; é o primeiro ponto fixo (1° P.F.).
A outra marca é obtida mergulhando-se o termômetro num recipiente que contém água em ebulição; é o
segundo ponto fixo (2° P.F.)

Escalas termométricas

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Das escalas acima, a Celsius é a mais utilizada.
A escala Fahrenheit é adotada nos países de língua inglesa.
A escala Kelvin é a escala utilizada pelo Sistema Internacional de Unidades. É a única escala absoluta, ou
seja, a única cujo zero é absoluto e não relativo como nas outras.
Função termométrica
É toda função que relaciona, biunivocamente, a medida da temperatura com a de uma grandeza física
termométrica. Portanto, pode-se relacionar a temperatura de um corpo, ou substância, com a sua pressão,
com a seu volume, etc.
2_2
Matérias > Física > Termologia > Dilatação Térmica : 2_1-2

Dilatação Térmica
Introdução
A variação da temperatura provoca, geralmente, uma variação das dimensões de um corpo, pois está
associada a alteração do grau de agitação molecular.
A variação das medidas lineares de um corpo é chamada dilatação linear ou unidimensional; a variação
das medidas superficiais é chamada dilatação superficial ou bidimensional; a variação das medidas
volumétricas é chamada dilatação volumétrica ou tridimensional.
Dilatação térmica dos sólidos
Dilatação linear dos sólidos



( = coeficiente de dilatação linear do material)

Dilatação superficial dos sólidos



( = coeficiente de dilatação superficial do material )
Dilatação volumétrica dos sólidos

( : coeficiente de dilatação volumétrica ou cúbica do material)

Matérias > Física > Termologia > Dilatação Térmica : 2_2-2

Dilatação dos líquidos
Como os líquidos não têm forma própria, estuda-se somente a dilatação volumétrica dos mesmos.
A dilatação de um líquido ocorre ao mesmo tempo que ocorre a do recipiente que o contém. Assim sendo,
dependendo do coeficiente de dilatação do líquido e do material de que é feito o frasco, a dilatação do
líquido observada (dilatação aparente) será diferente.
Para ilustrar melhor a dilatação aparente utiliza-se um recipiente completamente cheio com um
determinado líquido , como na figura abaixo.



Dependendo da relação entre o coeficiente de dilatação do líquido ( ) e o coeficiente de dilatação
volumétrica do material de que é feito o recipiente ( ), poder-se-á observar um transbordamento ou não,
pois a dilatação aparente depende da dilatação do líquido e da dilatação do recipiente, ou seja:

No caso de um transbordamento, tem-se:

Unidade do coeficiente de dilatação
Os três coeficientes de dilatação têm a mesma unidade.

ou º F-1 ou K-1, dependedo do sistema adotado.
Dilatação anômala da água
Em geral, um líquido, quando aquecido, sempre dilata, aumentando de volume: No entanto, a água
constitui uma exceção a essa regra, pois ao ser aquecida de 0°C a 4°C tem seu volume diminuído, ao invés
de aumentado. Apenas para temperaturas acima de 4°C a água dilata-se normalmente ao ser aquecida.

A variação do volume e, consequentemente, a variação da densidade da água com a temperatura estão
representadas nos gráficos abaixo.



A densidade volumétrica máxima da água vale 0,99997 g/cm3 (1 g/cm3) e acorre a 3,98 °C (4°C).

3_4
Matérias > Física > Termologia > Calorimetria: 3_1-4

CALORIMETRIA
CALOR (Q)
Introdução
Quando dois corpos, em temperaturas diferentes, são postos em contato, observa-se que a temperatura do
corpo mais quente diminui, enquanto que a temperatura do corpo mais frio aumenta. Essas variações de
temperatura cessam quando as temperaturas de ambos se igualam (equilíbrio térmico).
Portanto, durante esse processo, o nível energético (grau de agitação molecular) do corpo mais quente
diminui, enquanto que o do corpo mais frio aumenta. Como a energia térmica de um corpo depende, além
da sua massa e da substância que a constitui, da sua temperatura, conclui-se que as variações de



temperatura estão associadas às variações de energia térmica.
Concluindo, a diferença de temperatura entre dois corpos provoca uma transferência espontânea de energia
térmica do corpo de maior temperatura para o corpo de menor temperatura. Essa quantidade de energia
térmica que se transferiu é chamada de calor.

Calor é energia térmica em trânsito entre corpos a diferentes temperaturas.
Unidades
No S.I. o calor é medido em J (joule). Usualmente utiliza-se a cal (caloria), tal que:

1 cal = 4,186 J

Sinal do Calor
O calor (quantidade de energia térmica) é positivo (Q > 0) quando um corpo recebe energia térmica e
negativo (Q < 0) quando perde.

Calor "perdido": Q < 0
Calor "recebido": Q > 0

Formas de Calor
A quantidade de energia térmica recebida ou perdida por um corpo pode provocar uma variação de
temperatura ou uma mudança de fase (estado de agregação molecular).
Se ocorrer variação de temperatura, o calor responsável por isso chamar-se-á calor sensível. Se ocorrer
mudança de fase, o calor chamar-se-á calor latente




CÁLCULO DO CALOR
Calor Sensível
Verifica-se experimentalmente que o valor do calor sensível depende da substância utilizada, e da variação
de temperatura sofrida por ela. Esse valor é obtido pela relação abaixo
,

onde c é um coeficiente de proporcionalidade chamado calor específico sensível de uma substância.
Esse coeficiente depende da natureza da substância, da sua temperatura e da fase em que se encontra.
A influência da temperatura não será considerada, pois utiliza-se um valor médio para o calor específico
sensível.
Observações:
1ª - A unidade de c no S.I. é dada por J/kg .K, mas usualmente utiliza-se cal/g oC, pois:

C=

2ª - O produto (m . c) é chamado capacidade térmica C de um corpo, ou seja:

Desta relação conclui-se que a capacidade térmica é medida em J/K no S.I. e em cal/ ºC no sistema usual.
3ª - Das relações anteriormente definidas, concluiu-se que, tanto a capacidade térmica como o calor
específico sensível, são grandezas positivas, pois:

.
Calor Latente
Verifica-se experimentalmente que o valor do calor latente depende apenas da substância utilizada e é
obtido pela relação a seguir:

Q = m. L,

onde L é um coeficiente de proporcionalidade chamado calor específico latente de uma substância.
Esse coeficiente depende da natureza da substância e da fase em que a mesma se encontra.



Observações

1ª - A unidade de L é dada no S.I. por J/kg, mas usualmente utiliza-se cal/g, pois:

2ª - Desta última relação conclui-se que o valor do calor específico latente pode ser positivo ou negativo,
pois:

.

Durante a mudança de fase de uma substância pura, submetida à uma pressão constante, a temperatura não
varia. Por esse motivo, o calor latente não depende da temperatura.


MUDANÇA DE FASE
Introdução

A matéria pode apresentar-se em três fases ou estados de agregação molecular: sólido, líquido e vapor.
Os sólidos têm forma própria, volume bem definido e suas moléculas têm pouca liberdade pois as forças de
coesão entre elas são muito intensas.
Os líquidos não têm forma própria, mas têm volume definido. Suas moléculas possuem liberdade maior do
que nos sólidos, pois as forças de coesão são menores.
Os vapores não possuem nem forma nem volume definidos. Devido a fracas forças de coesão suas
moléculas têm grande liberdade.
Processos de Mudança de Fase
q Fusão: passagem de sólido para líquido;



q Solidificação: passagem de líquido para sólido;
q Vaporização: passagem de líquido para vapor;
q Condensação: passagem de vapor para líquido
q Sublimação: passagem de sólido para vapor ou vapor para sólido, também conhecido como
cristalização.
A mudança de fase pode ser uma transformação endotérmica (Q > 0) ou exotérmica (Q < 0).
A fusão, a vaporização e a sublimação são transformações endotérmicas. A solidificação, a condensação e
a cristalização são transformações exotérmicas.

Observação
| Lf | = | Ls | e | Lv | = | Lc |

Curvas de Mudança de Fase
São curvas obtidas, construindo, num diagrama cartesiano, o gráfico da temperatura de um corpo em
função do calor trocado por ele.

Este gráfico será chamado de curva de aquecimento, se o corpo estiver recebendo energia térmica, ou
curva de resfriamento, se o corpo estiver cedendo energia térmica.




POTÊNCIA TÉRMICA
A rapidez com que uma fonte fornece ou retira uma certa quantidade de energia térmica ( calor ) de um
corpo é determinada por uma grandeza chamada potência térmica, ou seja:

a unidade da potência térmica é o W (watt), onde

é usual adotar-se cal/s ou cal/min como unidade de potência térmica.
TROCAS DE CALOR
Quando corpos, que estão a temperaturas diferentes, são colocados em contato, ocorrem trocas de calor
entre eles, que cessam ao ser atingido o equilíbrio térmico.
Para que não haja influência do meio externo nas trocas de calor, é necessário colocá-los em um recipiente
isolante térmico chamado calorímetro.
Através do balanço energético, conclui-se que, em módulo, a somatória dos calores cedidos é igual à
somatória dos calores recebidos.

Se os sinais são levados em conta, tem-se:

ou
Q1 + Q2 + Q3 + ... + Qn = 0

COMPLEMENTOS
Equivalente em Água
Chama-se equivalente em água de um sistema a massa de água cuja capacidade térmica é igual à do
sistema considerado.
Calorímetro Ideal
É o calorímetro que é isolante térmico (adiabático) e possui capacidade térmica nula (não participa das
trocas de calor).
Tipos de Vaporização
Conforme a maneira de se processar, a vaporização pode ser classificada como evaporação, ebulição ou
calefação.
Na evaporação, a mudança de fase ocorre apenas na superfície do líquido, mediante um processo lento,
podendo ocorrer a qualquer temperatura.



Na ebulição, a mudança de fase ocorre numa temperatura fixa, para uma dada pressão chamada de
temperatura de ebulição. Esse processo ocorre em todo o líquido.
Já na calefação, a mudança de fase ocorre após um aquecimento muito brusco como, por exemplo, uma
porção de água que cai numa panela vazia e muito quente.

4_4
Matérias > Física > Termologia > Mudanças de Estado: 4_1-4

MUDANÇAS DE ESTADO
INTRODUÇÃO
No capítulo anterior vimos que uma substância pura pode se apresentar em três estados de agregação (ou
fases): sólido, liquido e gasoso. Na realidade existem um quarto estado denominado plasma. Porém esse é
um caso especial que comentaremos mais adiante.
Quando uma substância muda de estado, sofre uma variação de volume. Isto significa que alterações da
pressão externa podem ajudar ou dificultar a mudança de estado. No capítulo anterior nos limitamos a
mudanças que acorrem com pressão externa fixa de 1 atmosfera. Sob essa pressão vimos, por exemplo, que
a água entra em ebulição a 100ºC. No entanto se, por exemplo, diminuirmos a pressão externa, a água
entrará em ebulição em temperaturas menores. Na cidade de São Paulo, que está a 700 metros acima do
nível do mar, a água entra em ebulição a 98ºC. Isto acorre porque nessa altitude a pressão atmosférica é
menor do que 1 atmosfera.
Neste capítulo analisaremos as influências conjuntas da pressão e da temperatura no estado de agregação.
DIAGRAMAS DE ESTADO
A Fig.1 apresenta um diagrama de estado típico da maioria das substâncias.



Esse diagrama nos mostra os valores de pressão e temperatura para os quais a substância se encontra em
cada estado de agregação.
A curva TB é chamada curva de fusão. Para os valores de pressão e temperatura que correspondem aos
pontos dessa curva, a substância pode apresentar em equilíbrio as fases sólida e líquida.
A curva TC é a curva de vaporização. Seus pontos correspondem a valores de temperatura e pressão em
que as fases líquida e gasosa podem ficar em equilíbrio.
A curva AT é a curva de sublimação. Seus pontos correspondem a valores de pressão e temperatura em
que as fases sólida e gasosa podem ficar em equilíbrio.
O ponto T é chama de ponto triplo (ou tríplice), Sob pressão p T e à temperatura T, a substância pode
apresentar em equilíbrio as três fases: sólida, líquida e gasosa.
Exemplo
A Fig. a seguir nos mostra o diagrama de estado para o dióxido de carbono (CO2).

Por esse diagrama vemos que, à temperatura de – 56,6ºC e sob pressão de 5 atmosferas, o CO2 pode
apresentar em equilíbrio as três fases. Sob pressão de 1 atmosfera não encontramos o CO2 no estado
líquido: ou ele está no estado sólido ou gasoso.



Vamos analisar agora, separadamente, as três curvas.

Matérias > Física > Termologia > Mudanças de Estado:4_2-4

CURVA DE FUSÃO
Durante a fusão a maioria das substâncias se expandem. Portanto, para essas substâncias, um aumento de
pressão dificulta a fusão e assim o aumento da pressão acarreta um aumento da temperatura de fusão.
Assim, para essas substâncias, a curva de fusão tem aspecto da Fig. 2.

Fig. 2 – Curva de fusão de uma sustância que se expande na fusão:

Há porém algumas substância que se contraem durante a fusão. É o caso, por exemplo, da água, do ferro e
do bismuto. Para essas substâncias um aumento de pressão facilita a fusão . Desse modo, o aumento de
pressão acarreta uma diminuição na temperatura de fusão. Para essas substâncias a curva de fusão tem o
aspecto da Fig. 3 e o diagrama completo tem aspecto de Fig. 4.



Fig. 3 – Curva de fusão para uma substância que se contrai na fusão:

Fig. 4 – Diagrama de estado para uma substância que se contrai na fusão.
Exemplo
Sob pressão normal (1 atmosfera) o gelo se funde a 0 ºC. Numa pista de gelo destinada à patinação, o gelo
encontra-se a uma temperatura um pouco inferior a 0 ºC. Quando a lâmina do patim comprime o gelo, este
fica submetido a uma pressão superior a 1 atmosfera e, assim, se funde a uma temperatura inferior a 0 ºC,
formando-se sob a lâmina uma pequena camada de água líquida que é o que facilita o deslizamento do
patim. Após a passagem do patim, a pressão sobre a pista volta a ser 1 atmosfera e a água solidifica-se.




CURVA DE VAPORIZAÇÃO
Os pontos da curva de vaporização correspondem aos valores de pressão e temperatura em que a
substância entra em ebulição.
Todas as substâncias se expandem ao entrarem em ebulição e assim, um aumento de pressão dificulta a
ebulição. Portanto um aumento de pressão provoca um aumento da temperatura de ebulição. Desse modo
as curvas de vaporização têm o aspecto da Fig. 5.

Fig. 5 – Curva de vaporização
Temperatura Crítica
Existe uma temperatura, denominada temperatura crítica acima da qual, por maior que seja a pressão,
a substância encontra-se no estado gasoso. Por isso é costume fazer uma distinção entre gás e gás e vapor:
q gás é uma substância no estado gasoso, acima da temperatura critica.

q vapor é uma substância no estado gasoso abaixo da temperatura crítica.

Desse modo, os diagramas de estado ficam com os aspectos da Fig. 6 (substâncias que se expandem na
fusão) e da Fig. 7 (substâncias que se contraem na fusão). Nessas figuras, C é o ponto crítico, definido
pela temperatura crítica c e pela pressão crítica pc.




Evaporação e Ebulição
A passagem do estado líquido para o gasoso pode ser feita por dois processos: evaporação e ebulição.
A evaporação é uma vaporização que pode ocorrer em qualquer temperatura, pela superfície do líquido em
contado com o ambiente. Esse processo ocorre pela fuga das moléculas mais energéticas do líquido e por
isso acarreta um esfriamento do líquido. Quando uma pessoa sai molhada de um banho ou de uma piscina,
“sente frio”: a evaporação da água retira calor do corpo da pessoa.
A ebulição é uma vaporização que envolve todo o líquido e acontece a uma temperatura determinada (para
cada valor de pressão).
CURVAS DE SUBLIMAÇÃO
Os pontos da curva de sublimação correspondem aos valores de pressão e temperatura em que podem ficar
em equilíbrio os estados sólido e gasoso.



Quando uma substância passa do estado sólido para o gasoso, aumenta de volume e, assim, um aumento de
pressão dificulta a transformação. Portanto o aumento de pressão acarreta um aumento da temperatura em
que ocorre a sublimação e assim, as curvas têm o aspecto da Fig. 8.

5_1
Matérias > Física > Termologia > Transmissão de Calor: 5_1-1

TRANSMISSÃO DE CALOR
Condução de calor
O calor pode se propagar por três processos:
Condução, convecção e irradiação.
A condução é processo pelo qual o calor se transmite ao longo de um meio material, como efeito da
transmissão de vibração entre as moléculas. As moléculas mais energéticas ( maior temperatura )
transmitem energia para as menos energéticas ( menor temperatura ) .
Há materiais que conduzem o calor rapidamente, como por exemplo, os metais. Tais materiais são
chamados de bons condutores. Podemos perceber isso fazendo um experimento como o ilustrado na
figura 1. Segurando uma barra de metal que tem uma extremidade sobre uma chama, rapidamente o calor é
transmitido para nossa mão. Por outro lado há materiais nos quais o calor se propaga muito lentamente.
Tais materiais são chamados isolantes. Como exemplo podemos citar a borracha, a lã, o isopor e o
amianto.



Consideremos uma barra condutora de comprimento L e cuja seção transversal tem área A, cujas
extremidades são mantidas a temperaturas , com . Nesse caso o calor fluirá através da barra
indo da extremidade que tem a maior temperatura ( )para a extremidade que tem menor temperatura ( ).
A quantidade de calor ( Q ) que atravessa uma seção reta da barra, num intervalo da tempo (Q ) é chamada
fluxo de calor. Representando o fluxo por temos:

Experimentalmente, verifica-se que o fluxo de calor é dado pela Lei de Fourier:

Onde k é uma constante cujo valor depende do material e é chamado coeficiente de condutibilidade
térmica.
A unidade do fluxo no SI, é J/s, isto é, watt ( W ). Assim, no SI, a unidade de k é
W / m.K
Na tabela abaixo fornecemos os valores de k para alguns materiais.

Material k( W / m . K )

Aço 45,4

Alumínio 210

Cobre 390

Ferro 74,4

Mercúrio 29,1

Ouro 313

Prata 419



Vidro 0,74

Madeira 0,04 - 0,12

Gelo 2,21

Isopor 0,01

Exemplo
Uma barra de cobre, de comprimento L = 4,0 m tem seção reta de área A = 3,0 . 10-4 m2. Essa barra tem
suas extremidades mantidas a temperaturas e . Sabendo que o coeficiente de
condutibilidade térmica do cobre é k = 390 W/mK, calcule:
A ) o fluxo de calor através da barra;
B ) a temperatura num ponto situado a 1,6m da extremidade mais quente;
Resolução

A)

B ) A temperatura decresce uniformemente ao longo da barra

Convecção
A convecção ocorre no interior de fluidos (líquidos e gases) como consequência da diferença de
densidades entre diferentes partes do fluido. Por exemplo, consideremos o caso ilustrado na figura 3 em
que um recipiente contendo água é colocado sobre uma chama. Pelo aquecimento, a parte inferior da água
se dilata e fica com densidade menor que a parte superior. Com isso, ocorre uma corrente ascendente e
outra descendente. Essas correntes são chamadas de correntes de convecção.



Como outro exemplo podemos citar os refrigeradores. Neles, o congelador é colocado na parte superior.
Desse modo o ar mais frio desce, espalhando-se pelo interior do refrigerador.
Irradiação
Todos os corpos emitem ondas eletromagnéticas cuja intensidade aumenta com a temperatura. Essas ondas
propagam-se no vácuo e é dessa maneira que a luz e o calor são transmitidos do Sol até a Terra. Entre as
ondas eletromagnéticas, a principal responsável pela transmissão do calor são as ondas de infra-vermelho.
Quando chegamos perto de uma fogueira, uma lâmpada incandescente ou um aquecedor elétrico, sentimos
o calor emitido por essas fontes. Uma parcela desse calor pode vir por condução através do ar. Porém essa
parcela é pequena, pois o ar é mau condutor de calor. Na realidade a maior parte do calor que recebemos
dessa fontes vem por irradiação de ondas eletromagnéticas.
De modo semelhante ao que acontece com a luz, as ondas de calor podem ser refletidas por superfícies
metálicas. É por esse motivo que a parte interior de uma garrafa térmica tem paredes espelhadas, para
impedir a passagem de calor por irradiação.
Estufa
Muitas plantas são criadas em estufas que são recintos com paredes de vidro. O vidro deixa passar com
facilidade as ondas vindas do sol. Essas ondas são absorvidas pelo solo e pelos corpos no interior da estufa.
O solo e os corpos interiores emitem por sua vez ondas de calor que, na sua maior parte, não conseguem
atravessar o vidro. Desse modo, o interior da estufa fica mais quente que o exterior.

O vapor de água e o gás carbônico da atmosfera têm um efeito semelhante ao do vidro. As ondas do Sol
são absorvidas pela Terra a qual se aquece e passa a emitir ondas de calor que têm dificuldade em passar
pelo vapor d’ água e pelo gás carbônico; isso mantém aquecida a região próxima à superfície da Terra.
Ultimamente, os veículos e as indústrias têm contribuido para aumentar a concentração de gás carbônico
na atmosfera o que tem provocado um aumento na temperatura média próxima à superfície da Terra. No



futuro esse aumento de temperatura pode ter consequências desastrosas.

6_4

Matérias > Física > Termologia > Estudos dos Gases: 6_1-4

Estudos dos Gases
CONCEITOS BÁSICOS
Definição
Gás ideal ou perfeito é um gás hipotético cujas moléculas não apresentam volume próprio (tamanho
desprezível) fazendo com que o volume ocupado por ele seja o volume do recipiente que o contém. Gás é
um fluído que sofre grandes variações de volume quando submetido a baixas pressões. Isso faz com que
tenha duas características importantes, a expansibilidade e a compressibilidade.
Os gases reais adquirem comportamento próximo do de um gás ideal quando está submetido a baixas
pressões e a altas temperaturas.
O comportamento de um gás é analisado através de grandezas físicas, a ele associadas, chamadas variáveis
de estado.
As variáveis de estado que caracterizam um gás são: volume (V), pressão (p) e temperatura (T).
MOL
Da Química, sabe-se que os átomos e moléculas combinam-se segundo proporções bem definidas, cujas
massas são chamadas massa atômica e massa molecular, respectivamente. Experimentalmente, mostra-se
que, quando a massa de uma porção de um gás medida em gramas é numericamente igual à massa
molecular do mesmo, o número de moléculas dessa porção é igual a 6,02.1023 moléculas. A este número
dá-se o nome de número de Avogadro.
Todo “pacote” de partículas, cujo número corresponde ao número de Avogadro, recebe o nome de mol.
Por comodidade costuma-se avaliar uma porção de gás através do seu número de mols (n).

, onde m é a massa de uma porção de gás e M é a massa de um mol desse gás.




TRANSFORMAÇÕES GASOSAS
Uma transformação gasosa ocorre quando há mudança nas variáveis de estado de um gás.

Há certas transformações que são consideradas especiais ou particulares: a isocórica (V constante), a
isobárica (p constante), e a isotérmica (T constante).
A possibilidade de existir tais transformações foi constatada por experiências realizadas.
Transformação isocórica
(Lei de Charles)
Para um dado número n de mols, tem-se:

, onde T é a temperatura absoluta (em kelvin) do gás e K a constante de
proporcionalidade.

Portanto, entre dois estados quaisquer, tem-se que

Graficamente, tem-se:

Transformação isobárica
(Lei de Gay - Lussac)




, onde T é a temperatura absoluta e K a constante de proporcionalidade.

Portanto, entre dois estados quaisquer, tem-se que: .


Matérias > Física > Termologia > Estudos dos Gases : 6_3-4

Transformação isotérmica
(Lei de Boyle)

T const p . V = const ou , onde K é a constante de proporcionalidade.

Por tanto, entre dois estados quaisquer, tem-se que:
Pi . Vi = pf . Vf




Transformações sucessivas
Para se representar sucessão de transformações gasosas, utiliza-se o diagrama p X V.

AB: expansão isobárica
BC: isocórica
CD: expansão isotérmica
DE: isocórica
EF: compressão isotérmica
FG: compressão isobárica




LEI GERAL DOS GASES
É uma consequência das leis que regem as três transformações descritas

ou , onde K é uma constante de proporcionalidade que depende da natureza do gás e da sua
massa.
Entre dois estados quaisquer, tem-se que:

RELAÇÃO DE CLAPEYRON

É uma relação que estabelece que a constante de proporcionalidade, do quociente da lei geral dos
gases, é diretamente proporcional ao número n de mols de um gás ideal, ou seja:

, onde R é uma constante de proporcionalidade igual para todos os gases.

Portanto, R não é uma constante característica de um gás. Por esse motivo é chamado de constante
universal dos gases.
O valor dessa constante, que depende das unidades utilizadas, pode ser:

ou no SI.

CNTP ou TPN
Um gás está em condições normais de temperatura e pressão (CNTP) quando esta submetido a 1 atm (105
N/m2) de pressão e à temperatura de 0° C (273 K).



7_7
Matérias > Física > Termologia > Termodinâmica: 7_1-7
Termodinâmica
Introdução
A termodinâmica é a parte da física que trata da transformação da energia térmica em energia mecânica e
vice-versa.
Essa transformação é feita utilizando-se um fluido chamado fluido operante.
A termodinâmica será aqui estudada utilizando-se um gás ideal como fluido operante.
Pressão
Considera-se um recipiente cilíndrico, que contém um gás ideal, provido de um êmbolo, de área A, que
pode deslocar-se sem atrito, submetido a uma força resultante de intensidade F exercida pelo gás, como
mostra a figura.

A pressão que o gás exerce sobre o êmbolo é dada por:

Trabalho numa transformação
Considera-se um gás ideal contido num recipiente, como no item anterior. O trabalho numa transformação
gasosa, é o trabalho realizado pela força que o gás aplica no êmbolo móvel do recipiente.
Transformação Isobárica
Da definição de pressão tem-se que.
F=p.A
Da dinâmica, para um deslocamento na mesma direção de uma força constante, tem-se que.

Das duas relações acima conclui-se que

Ao deslocamento está associada a variação de volume . Portanto,

Numa expansão isobárica o volume aumenta e o gás "realiza trabalho" sobre o meio externo.



Numa compressão isobárica o volume diminui e o gás “recebe trabalho“ do meio externo.



Transformação qualquer
Através do diagrama ( p X V ) pode-se determinar o trabalho associado a um gás numa transformação
gasosa qualquer.

A área A, assinalada na figura acima, é numericamente igual ao módulo do trabalho. O sinal do trabalho
depende do sentido da transformação.

Unidades
No S.I. o trabalho é medido em J ( joule ), onde .

Uma outra unidade utilizada é atm. L, onde.
1atm . L = 1atm.1L
Energia Interna
A energia interna (U) de um gás está assossiada à energia cinética de translação e rotação das moléculas.
Podem também ser consideradas a energia de vibração e a energia potencial molecular (atração). Porém,
no caso dos gases perfeitos, apenas a energia cinética de translação é considerada.
Demontra-se que a energia interna de um gás perfeito é função exclusiva de sua temperatura (na Lei de
Joule para os gases perfeitos). Sendo gás monoatônico temos:

P portanto, a variação da energia interna ( ) depende unicamente da variação de temperatura ( ).



1ª Lei da Termodinâmica
Num processo termodinâmico sofrido por um gás, há dois tipos de trocas energéticas com o meio exterior:
o trabalho realizado ( ) e o calor trocado ( Q). Como consequência do balanço energético, tem-se a
variação da energia interna ( ).

Para um sistema constituído de um gás perfeito, tem-se que:( =Q- Q= + ).

Transformações Gasosas
Isobárica

Expansão



Compressão

Isocórica

Isotérmica



Expansão

Compressão

Adiabática
Nessa transformação o calor trocado com o meio externo é nulo ( Q = 0 )

Expansão



Compressão

Cíclica
A transformação cíclica corresponde a uma sequência de transformações na qual o estado termodinâmico
final é igual ao estado termodinâmico inicial, como, por exemplo, na transformação A B C D E A.

Como consequência de uma transformação cíclica, tem-se:
1ª ) O trabalho num ciclo corresponde à soma dos trabalhos.

Utilizando-se a propriedade de gráfica conclui-se que o módulo do trabalho num ciclo é numericamente
igual a área do gráfico ( pxv ).
Ciclo no sentido horário

Ciclo no sentido anti-horário



2ª ) A variação da energia interna num ciclo é nula.

3ª ) O calor trocado pelo sistema durante um ciclo deve ser igual ao trabalho realizado durante o ciclo.

Essa conclusão corresponde ao esquema de funcionamento de uma máquina térmica teórica, onde,
através do fornecimento de calor, produz-se trabalho.

Máquina Térmica
O funcionamento de uma máquina térmica está associado à presença de uma fonte quente ( que fornece
calor ao sistema ), à presença de uma fonte fria ( que retira calor do sistema ) e à realização de trabalho.

Do esquema acima, devido ao balanço energético, conclui-se que:
ou

| Q1| é a energia que entra na máquina para ser transformada em energia mecânica útil.

é a energia aproveitada.

é a energia perdida (degradada).

O rendimento da máquina térmica é dado por:



2ª Lei da Termodinâmica
" O calor não passa espontaneamente de um corpo para outro de temperatura mais alta".
Como consequência conclui-se que é impossível se construir uma máquina térmica, que opere em ciclos,
cujo único objetivo seja retirar calor de uma fonte e convertê-lo integralmente em trabalho.
Portanto, é impossível transformar calor em trabalho ao longo de um ciclo termodinâmico sem que haja
duas temperaturas diferentes envolvidas ( duas fontes térmicas distintas ).
Assim sendo, o rendimento de uma máquina térmica jamais poderá ser igual a 100% ( | Q2 | = 0 ).

Ciclo de Carnot
É um ciclo que proporciona a uma máquina térmica o rendimento máximo possível. Consiste de duas
transformações adiabáticas alternadas com duas transformações isotérmicas, todas elas reversíveis,
sendo o ciclo também reversível.

AB: expansão isotérmica com o recebimento do calor Q1 da fonte quente.

BC: expansão adiabática (Q = 0 ).
CD: compressão isotérmica com cedimento de calor Q2 à fonte fria.

DA: compressão adiabática (Q = 0 ).
O rendimento no ciclo de Carnot é função exclusiva das temperaturas absolutas das fontes quente e fria,
não dependendo, portanto, da substância trabalhante ( fluido operante ) utilizado.

Como



Esse é o máximo rendimento que se pode obter de uma máquina térmica.

8_2
Matérias > Física > Eletricidade > Corrente Elétrica > Carga e Corrente: 8_1-2

Carga e Corrente
A matéria é formada por átomos, os quais por sua vez são formados por três tipos de partículas: prótons,
elétrons e nêutrons. Os prótons e nêutrons agrupam-se no centro do átomo formando o núcleo. Os
elétrons movem-se em torno do núcleo. Num átomo o número de elétrons é sempre igual ao número de
prótons. Às vezes um átomo perde ou ganha elétrons; nesse caso ele passa a se chamar íon.

A experiência mostra que: (Fig. 2)
I – Entre dois prótons existe um par de forças de repulsão;
II – Entre dois elétrons existe um par de forças de repulsão;
III – Entre um próton e um elétron existe um par de forças de atração;
IV – Com os nêutrons não observamos essas forças.



Dizemos que essas forças aparecem pelo fato de elétrons e prótons possuírem carga elétrica. Para
diferenciar o comportamento de prótons e elétrons dizemos que a carga do próton é positiva e a carga do
elétron é negativa. Porém, como em módulo, as forças exercidas por prótons e elétrons são iguais, dizemos
que, em módulo, as cargas do próton e do elétron são iguais. Assim, chamando de qp a carga do próton e
qE a carga do elétron temos:

| qE | = | qp|

qE = - qp

O mais natural seria dizer que a carga do próton seria uma unidade. No entanto, por razões históricas,
pelo fato de a carga elétrica ter sido definida antes do reconhecimento do átomo, a carga do próton e a
carga do elétron valem:
qp = + 1,6 . 10-19 coulomb = 1,6 . 10-19 C

qE = - 1,6 . 10-19 coulomb = -1,6 . 10-19 C

onde o coulomb (C) é a unidade de carga elétrica no Sistema Internacional. A carga do próton é também
chamada de carga elétrica elementar (e). Assim:
qp = + e = + 1,6 . 10-19 C

qE = - e = - 1,6 . 10-19 C

Como o neutron não manifesta esse tipo de força, dizemos que sua carga é nula.
CONDUTORES E ISOLANTES
Chamamos de condutor elétrico um material que permite a movimentação de cargas elétricas. Os metais
são bons condutores pelo fato de existirem os elétrons livres, que são os elétrons mais afastados dos
núcleos. Eles estão fracamente ligados aos núcleos e assim movem-se com facilidade. Quando dissolvemos
um sal ou um ácido em água, esta provoca a dissociação das moléculas em íons, os quais podem se
movimentar. Portanto uma solução iônica também é um condutor.
Chamamos de isolante, um material em que a movimentação de cargas elétricas é muito difícil. Como
exemplo temos a borracha, o vidro, a ebonite.



Matérias > Física > Eletricidade > Corrente Elétrica > Carga e Corrente: 8_2-2

INTENSIDADE DE CORRENTE
Consideremos um fio metálico. Normalmente os elétrons livres movem-se caoticamente em todas as
direções (Fig. 3). No entanto, quando ligamos os extremos do fio aos terminais de uma pilha (Fig. 4) ou
bateria, os elétrons livres adquirem um movimento aproximadamente ordenado, formando o que
chamamos de corrente elétrica.

No estudo da eletrostática e do magnetismo veremos que um elétron movendo-se num sentido, produz o
mesmo efeito que um próton movendo-se no sentido oposto. Assim, pelo fato de no século XIX, os
estudiosos acreditarem que eram as cargas elétricas positivas que se movimentavam, ainda hoje indicamos
o sentido da corrente elétrica (i) como oposto ao movimento dos elétrons como indicamos na Fig. 4; esse
sentido é chamado de sentido convencional da corrente elétrica. Assim, dizemos que a corrente
convencional sai do pólo positivo da pilha (+) e entra pelo pólo negativo da pilha (-).

Em um fio cilíndrico consideremos uma seção transversal S. Suponhamos que, num intervalo de tempo
, passa por S uma carga elétrica Q. A intensidade média da corrente (im) é definida por:



Quando a velocidade dos elétrons não é constante, definimos uma intensidade instantânea de modo
análogo ao que fizemos com a velocidade instantânea:

No entanto, neste curso, só consideraremos casos em que os elétrons movem-se com velocidade constante
e, assim, a intensidade média é igual à intensidade instantânea.

No Sistema Internacional, a unidade de intensidade de corrente é o ampère (A):

Exemplo:

Pela seção reta de um fio, em um intervalo de tempo = 3,0 segundos, passam 12 . 108 elétrons. Calcule
a intensidade de corrente.
Resolução:
Sendo N o número de elétrons que passam pela seção S no intervalo de tempo temos:
N = 12 . 108
Sabemos que o módulo da carga de um elétron é igual à carga elementar e:
e = 1,6 . 10-19 C
Assim, sendo Q o módulo da carga que passa por S, no intervalo de tempo , temos:
|Q| = N . e
Assim:

i = 6,4 . 10-11C/s = 6,4 . 10-11 A
Muitas vezes teremos correntes de intensidades muito pequenas e usaremos submúltiplos do ampère que
podem ser expressados usando os prefixos do SI.
Assim, por exemplo:



1mA = 1 miliampère = 10-3 A
1 A = 1 microampère = 10-6 A
1nA = 1 nanoampère = 10-9 A
1pA = 1 picoampère = 10-12 A
Gráfico de i x t
Na Fig. 6 representamos o gráfico de i em função do tempo (t) para o caso em que a corrente tem
intensidade constante.

Sabemos que:

Assim, percebemos que, no caso da Fig. 6, a área da figura sombreada (A) é numericamente igual ao
módulo da carga que passa pela seção reta do fio num intervalo de tempo :
Para o caso em que a intensidade de corrente é variável (Fig. 7), é possível demonstrar que a propriedade
continua válida:

CORRENTES IÔNICAS
Há substâncias que ao se dissolverem em água têm suas moléculas dissociadas em íons (como por exemplo
um sal ou um ácido). Assim se introduzirmos na solução duas placas metálicas ligadas aos terminais de
uma pilha (Fig. 8) ou bateria, haverá um movimento de íons positivos num sentido e íons negativos no
sentido oposto.

Suponhamos que:



Como o movimento das cargas negativas num sentido é equivalente ao movimento de cargas negativas no
sentido oposto, a intensidade total de corrente (i) é dada por:
i=(i+)+(i-)

9_6
Matérias > Física > Eletricidade > Corrente Elétrica > Tensão e Resistência: 9_1-6

Tensão e Resistência
Tensão elétrica
As correntes elétricas são mantidas nos fios por meio de aparelhos denominadas geradores elétricos. Os
dois principais tipos de geradores são os químicos e os eletromagnéticos. Como exemplos de geradores
químicos temos as pilhas e as baterias usadas em automóveis. Dentro desses dispositivos ocorrem reações
químicas que liberam elétrons. Como exemplo de geradores eletromagnéticos podemos citar os dínamos (
ou alternadores ) usados em automóveis e os geradores usados em usinas elétricas. Esses geradores
produzem a corrente por meio de um efeito magnético que estudaremos mais adiante. Em qualquer caso, os
geradores fornecem energia aos elétrons. No caso real uma parte dessa energia é perdida dentro do próprio
gerador de modo que o elétron abandona o gerador com uma energia um pouco menor do que a energia
recebida. Por enquanto consideramos uma situação ideal em que o elétron não perde energia dentro do
gerador.
Sendo EE a energia elétrica fornecida para uma quantidade de carga cujo módulo é Q, dizemos que há uma
tensão ( U ) entre os terminais do gerador dada por:



Isto é, a tensão é a energia elétrica por unidade de carga.
No Sistema Internacional, a unidade de tensão é o volt ( V ):

Por razões que ficarão claras no estudo da eletrostática, a tensão elétrica também é chamada de diferença
de potencial e simbolizada por d. d. p.
Exemplo
Um gerador ideal fornece uma energia EE = 9,6 . 10-19 J para cada elétron. Sabendo que a carga do elétron
tem módulo Q = 1,6 . 10-19 C, calcule a tensão entre os terminais desse gerador.
Resolução

U = 6,0 V
Um gerador ideal é representado pelo símbolo mostrado na figura 1. A corrente elétrica convencional entra
pelo pólo negativo ( traço menor ) e sai pelo pólo positivo ( traço maior ).


Resistência
Consideremos um condutor que, ligado aos terminais de gerador ideal, que mantém entre seus terminais
uma tensão U é percorrido por uma corrente de intensidade i. Definimos a resistência R do condutor pela
equação:

ou U = R . i

No Sistema Internacional, a unidade de resistência é o ohm cujo símbolo é .
Há condutores que, mantendo temperatura constante, têm resistência constante. Nesses casos, o gráfico de
U em função de i é retilíneo como indica a figura 2. Esse fato foi observado pelo físico alemão Georg Ohm
e por isso, tais condutores são chamados de ôhmicos. Em geral, os metais são condutores ôhmicos.
Há condutores cuja resistência não é constante, dependendo da tensão aplicada. Nesses casos o gráfico de



U em função de i não é retilíneo, como por exemplo, o caso da figura 3.

Chamamos de resistor, todo condutor cuja única função é transformar a energia elétrica em energia
térmica. É o caso por exemplo de um fio metálico. À medida que os elétrons passam pelo fio, as colisões
entre os elétrons e os átomos do metal, faz aumentar a agitação térmica dos átomos. Um resistor de
resistência R é representado pelo símbolo da figura 4.

Exemplo
Um resistor de resistência R = 3,0 é ligado aos terminais de um gerador ideal que mantém entre seus
terminais uma d. d. p. ( tensão ) U = 12 V. Calcule a intensidade da corrente que percorre o resistor.
Resolução
U=Ri
12 = (3,0) . i
i = 4,0 A




Resistividade
Consideremos um condutor em forma de cilindro, de comprimento L e seção reta de área A. Verifica-se
que a resistência desse condutor é dada por:

Onde é uma constante que depende do material e é chamada de resistividade.
Da equação anterior vemos que:

Portanto, no Sistema Internacional temos:

Unidade de .

Verifica-se que a resistividade varia com a temperatura. Sendo a resistividade à temperatura 0 e a
resistividade á temperatura , vale aproximadamente a equação.




Associação de Resistores
Os resistores podem ser ligados ( associados) de vários modos. Os dois mais simples são associação em
série e associação em paralelo.
Associação em série
Na figura 6 temos um exemplo de resistores associados em série. Neste caso todos os resistores são
percorridos pela mesma corrente cuja intensidade é i.

A tensão U entre os terminais da associação é igual à soma das tensões entre os extremos de cada resistor:
U = U1 + U2 + U3 ( I )

mas: U1 = R1.i , U2 = R2 . i e U3 = R3 . i

Assim, substituindo na equação I:
U = R1 . i + R2 . i + R3 . i

ou: U = (R1 + R2 + R3) . i

ou ainda: U = RE . i

onde : RE = R1 + R2 + R3

Percebemos então que, se substituirmos a associação de resistores por um único resistor de resistência RE (
figura 7 ), este será percorrido pela mesma corrente. A resistência RE é chamada de resistência
equivalente à associação.

Associação em paralelo
Na figura 8 apresentamos um exemplo de resistores associados em paralelo; todos suportam a mesma
tensão U.



Devemos ter: i = i1 + i2 + i3 ( II )

Mas:

Substituindo na equação II:

Imaginemos um único resistor que, submetido à mesma tensão U seja percorrido por uma corrente de
intensidade igual à intensidade i da corrente total da associação ( figura 9 ). Sendo RE a resistência desse
resistor temos.

( IV )

Comparando as equações III e IV temos:

Ou:

A resistência RE é chamada de resistência equivalente à associação.

Para o caso particular de apenas dois resistores em paralelo ( figura 10 ), temos:

Ou:



Se tivermos n resistores iguais associados em paralelo ( figura 11 ), teremos:

ou:

Assim:




Reostatos
Reostatos são resistores cuja resistência pode ser variada. Em um circuito, pode ser representado por um
dos dois símbolos mostrados na figura 12.

Fusíveis
Os fusíveis são dispositivos cuja função é proteger os circuitos.
Eles são constituídos de modo que interrompem a corrente quando esta atinge um valor determinado. Na
figura 13 damos o símbolo usado para um fusível.

Amperímetros e Voltímetros
Os amperímetros são aparelhos cuja função é medir intensidades de corrente. Deve ser colocado em série
com o trecho de circuito onde se quer determinar a corrente ( figura 14).
Desse modo um bom amperímetro deve ter resistência muito pequena. O amperímetro ideal têm
resistência nula.

Os voltímetros são aparelhos cuja função é medir diferenças de potencial ( tensões ) entre dois pontos.
Assim deve ser colocado em paralelo ( figura 14 ) com o trecho em que se deseja determinar a tensão.
Vemos então que um bom voltímetro deve ter resistência muito grande ( para desviar pouca corrente ). O
voltímetro ideal tem resistência infinita.




Curto Circuito
Quando ligamos dois pontos x e y de um circuito por um fio de resistência desprezível ( representado por
uma linha “ lisa “ ) dizemos que há um curto-circuito ( figura 15 ). Dizemos então que os pontos x e y têm
o mesmo potencial e podemos considerá-los como representando o mesmo ponto ( figura 16 ).

Exemplo
Determine a resistência equivalente ao circuito abaixo, entre os pontos A e B.

Resolução
Os pontos A e Y estão ligados por um fio de resistência desprezível e assim podemos considerar .O
símbolo significa que os fios AY e BX não se cruzam. Fazemos agora um novo desenho, partindo de A e
chegando em B, levando em conta que .
Observamos que :
R1 está entre A e B

R2 está entre A e X

R3 está entre X e Y

R4 está entre Y e B

R5 está entre X e B



Este novo circuito pode ser dividido facilmente em trechos do tipo série e paralelo e assim podemos
calcular a resistência equivalente.
10_3
Matérias > Física > Eletricidade > Corrente Elétrica > Geradores e Receptores: 10_1-3
Geradores e Receptores
Gerador
Um gerador elétrico produz correntes elétricas transformando em energia elétrica um outro tipo qualquer
de energia. As baterias de automóvel por exemplo ( e as pilhas ) transformam energia química em energia
elétrica. Os geradores usados nas grandes usinas elétricas transformam energia cinética em energia elétrica;
essa energia cinética por sua vez pode ser obtida da energia potencial da água ( usina hidroelétrica ) ou do
vapor d’ água ( usina termoelétrica ). Nas termoelétricas o calor necessário para produzir o vapor d’ água
pode ser obtido pela queima de combustíveis fósseis ( carvão ou petróleo ) ou por meio de reações
nucleares ( usinas nucleares ).
Força Eletromotriz
Dentro de um gerador, as cargas elétricas recebem energia. A energia recebida por cada unidade de carga
chama-se força eletromotriz do gerador ( E ):

A força eletromotriz é abreviada por f. e. m. e sua unidade no Sistema Internacional é o volt (V)

Nos geradores reais, uma parte da energia recebida pelas cargas é perdida dentro do próprio gerador;
dizemos que o gerador tem uma resistência interna r. Desse modo, a tensão U ( diferença de potencial )
entre os terminais do gerador é, em geral, menor do que a força eletromotriz:

U=E-ri(I)



onde i é a corrente que atravessa o gerador. Na figura 1 damos o símbolo usado para o gerador real.
O gerador ideal é aquele em que a resistência interna ( r ) é nula; neste teremos sempre U = E.

Como a equação I é do primeiro grau, o gráfico de U em função de i é retilíneo como ilustra a Fig. 2. Para i
= 0 ( gerador em aberto ) teremos U = E.
O caso U = 0 ocorre para um valor de corrente denominada corrente de curto circuito (iCC); isso ocorre
quando ligamos os terminais do gerador por um fio de resistência desprezível.
Exemplo
No circuito representado abaixo temos um gerador de força eletromotriz E = 60 V e resistência interna r =
2,0 .

Calcule:
A ) a intensidade da corrente no circuito.
B ) a diferença de potencial entre os terminais do gerador.
Resolução
A ) A resistência interna do gerador pode ser imaginada como representando um resistor que está em série
com os outros resistores do circuito.
Assim, a resistência total R do circuito é dada por:
R = 2,0 + 8,0 + 3,0 + 7,0 = 20



Assim o circuito dado é equivalente ao circuito da figura a:

E=Ri 60 = 20 . i i = 3,0 A
B)U=E-ri
U = 60 - (2,0) (3,0)
U = 54 V


Associação de Geradores em Série
Na Fig. 3 representamos um conjunto de geradores associados em série. Esse conjunto de geradores pode
ser substituído por um único gerador ( Fig. 4 ) de força eletromotriz E e resistência interna r dados por:



Associação de Geradores em Paralelo
A associação de geradores em paralelo só é vantajosa quando os geradores são iguais ( Fig. 5 ). Neste caso,
sendo n o número de geradores associados, a associação pode ser substituída por um único gerador ( Fig. 6
) de força eletromotriz E e resistência interna r dadas por:



Receptores Elétricos
Um receptor elétrico transforma energia elétrica em outro tipo de energia. É o caso por exemplo dos motores
elétricos, que transformam energia elétrica em energia cinética. Porém uma parte da energia elétrica recebida
é transformada em energia térmica, a qual é denominada energia dissipada. Para caracterizar essa
dissipação, dizemos que o receptor tem uma resistência interna r.
Na Fig. 7 damos a representação de um receptor. A corrente entra pelo pólo positivo e sai pelo pólo negativo.
Quando o receptor é submetido a uma diferença de potencial ( tensão ) U, esta divide-se em duas partes:

1ª ) uma parcela r. i, correspondente à dissipação de energia.
2ª) uma parcela E, denominada força contra-eletromotriz (f.c.e.m), correspondente à energia que será
realmente utilizada.
Assim, para o receptor temos:
U=E+ri
Neste caso o gráfico de U em função de i tem o aspecto dado na Fig. 8.

Circuito Gerador-Receptor
Na Fig. 9 representamos um trecho de circuito onde há um gerador de força eletromotriz E1 e um receptor de
força contra-eletromotriz E2. Esse trecho é equivalente a um gerador ( Fig. 10 ) de força eletromotriz E e
resistência interna r dadas por:



Exemplo
Na Fig. A representamos um circuito contendo um gerador de força eletromotriz E1 = 60 V, um receptor de
força contra-eletromotriz E2 = 40 V e um resistor de resistência . Calcule a intensidade da corrente
no circuito.

Resolução



As resistências dadas correspondem a resistores associados em série. Portanto o circuito dado é equivalente
ao circuito da Fig. b onde temos um gerador ideal de força eletromotriz E, ligado a um resistor de resistência
R, dados por:

Assim:
E=Ri 20 = 10 . i i = 2,0 A

11_2
Matérias > Física > Eletricidade > Corrente Elétrica > Energia e Potência: 11_1-2
Energia e Potência
Potência
Sendo E a energia consumida ou fornecida por um sistema, num intervalo de tempo , a potência média
(Pm) consumida ou fornecida por esse sistema será:

A potência instantânea Pé obtida a partir da potência média, fazendo tender a zero:

Quando a potência instantânea for constante teremos Pm = P.

No Sistema Internacional, a unidade de energia é o joule (J) e a unidade de potência é o watt (W):

Sendo , teremos: . Apartir dessa relação é definida uma unidade prática de energia: o
quilowatt- hora (kWh):

1 kWh = (1 kW) (1 h) = (103W) (3600s) = 3,6 . 106 J



Potência e Tensão

Consideramos um trecho de circuito percorrido por uma corrente de intensidade i, havendo entre seus
extremos uma tensão U. Esse trecho pode ser constituindo por um resistor ou um gerador ou um receptor
ou, ainda , um conjunto de vários desses elementos.
Sendo E a energia elétrica consumida ou fornecida por esse trecho, num intervalo de tempo , temos:

Onde O é a carga elétrica que passou pelo trecho no intervalo de tempo . Portanto:
E = U . Q ( III )
Dividindo os dois membros por temos:

Mas:

Assim, a equação IV fica:
P = U. i (V)
Potência dissipada num resistor

Num resistor a energia elétrica é transformada em energia térmica (energia dissipada). A potência
dissipada num resistor pode ser calculada pela equação V:
P=U.i
Mas, pela definição de resistência, temos:



U = R . i ou

Assim, podemos expressar a potência dissipada num resistor de outro modo:

Matérias > Física > Eletricidade > Corrente Elétrica > Energia e Potência: 11_2-2
Potência do gerador

Considerando um gerador de força eletromotriz E e resistência interna r, percorrido por uma corrente de
intensidade i. Sendo U a tensão entre os terminas do gerador temos:
U = E – ri
Multiplicando todos os termos por i, obtemos:
U . i = E . i – ri²

Temos então
Pu = Pt - Pd

O rendimento do gerador é definido por:

Como Pu = U . i e Pt = E . i, temos:



Potência máxima
Na Fig.4 representamos um gerador ligado a um circuito de resistência total R.

Esta última equação é do segundo grau em i. Portanto, o gráfico de Pu em função de i é um arco de
parábola (Fig.5) cuja concavidade é para baixo pois o coeficiente de i2 é negativo. Podemos observar que o
potência é nula para i = 0 ou para:

Assim, a potência máxima ocorre para .

Como U = E – ri, na condição de potência máxima teremos:

Potência do receptor



Para um receptor (fig.6) temos:
U=E+ri
Multiplicando todos os termos por i obtemos:
U . i = E i + r i2

isto é: Pt = Pu + Pd

O rendimento do receptor é dado por:

12_2
Matérias > Física > Eletricidade > Corrente Elétrica > Leis de Kirchhoff: 12_1-2

Leis de Kirchhoff
Primeira Lei de Kirchhoff
Há circuitos que não podem ser reduzidos a trechos simples do tipo série e paralelo. Nesses casos são úteis
duas leis estabelecidas por Kirchhoff no século XIX, quando não se conhecia a natureza da corrente
elétrica. Hoje essas leis são, como veremos, consequências da conservação da carga e da conservação da
energia.



Em um circuito elétrico chamamos de nó um ponto onde se cruzam três ou mais condutores. Na Fig. 1
representamos quatro fios que se cruzam no nó X. A primeira lei de Kirchhoff afirma que a soma das
correntes que “chegam“ é igual à soma das correntes que “saem":
i1 + i2 = i3 + i4

Diferenças de Potencial
Em um resistor existe perda de energia elétrica ( que é transformada em energia térmica ). Assim a
corrente vai do potencial maior (VA) para o potencial menor (VB).

Em um gerador as cargas ganham energia elétrica. Assim a corrente vai do potencial mais baixo (VA) para
o potencial mais alto (VB).

Num receptor as cargas perdem energia elétrica. Assim a corrente vai do potencial mais alto (VA) para o
potencial mais baixo (VB).



Exemplo
Na figura a baixo representamos um trecho de circuito percorrido por uma corrente de intensidade i = 5A.
Calcule a diferença de potencial entre os pontos X e K.

Resolução
No trecho XY há uma perda de potencial igual a R1. i. No trecho YZ há um aumento de potencial de valor
E-1. No trecho ZW há uma perda de potencial de valor R3 . i e no trecho WK há uma perda de potencial de
valor E2. Assim, partindo do ponto X:

Vx – R1 . i + E1 - R2 . i – E2 = VK

ou: VX – VK = R1 i – E1 + R2 i + E2

VX – VK = (2) (5) – (40) + (3) (5) + 10

VX – VK = - 5 volts

UXK = VX – VK = - 5V



Matérias > Física > Eletricidade > Corrente Elétrica > Leis de Kirchhoff: 12_2-2

Segunda Lei de Kirchhoff
A segunda lei de Kirchhoff é uma conseqüência da conservação da energia:
Em um percurso fechado em um circuito, a soma dos ganhos e perdas de potencial deve ser nula.

Exemplo
Vamos determinar as intensidades de corrente nos trechos do circuito abaixo.

Podemos inicialmente atribuir um sentido qualquer às correntes. No fim dos cálculos, se alguma corrente
resultar negativa, isto significará que o sentido correto é oposto ao sentido adotado.
Como temos três incógnitas, precisamos de três equações. A primeira pode ser obtida aplicando a primeira
lei de Kirchhoff ao nó X:
i1 = i2 + i3 ( I )

Para obter as outras duas equações podemos fazer dois percursos fechados nas malhas .
Façamos um percurso na malha , partindo do ponto A, no sentido horário, calculando as perdas e ganhos
de potencial:
+ 60 – 5i1 – 15i2 = 0 ( II )

Façamos um percurso na malha , partindo do ponto X no sentido horário:
- 3i3 – 18 + 15i2 = 0 ( III )

Resolvendo o sistema formado pelas equações I, II e III obtemos:
i1 = 6,0 A, i2 = 2,0 A e i3 = 4,0 A

13_3



Matérias > Física > Eletricidade > Corrente Elétrica > Medidores Elétricos: 13_1-3
Medidores Elétricos
Galvanômetro
O galvanômetro é um aparelho que mede correntes de pequenas intensidades (alguns miliampères). Seu
funcionamento é baseado em efeito magnético que estudaremos mais adiante.
A corrente de máxima intensidade que pode ser medida pelo galvanômetro chama-se corrente de fundo
de escala.
Amperímetro
O galvanômetro pode ser modificado de modo a medir correntes de intensidades maiores e nesse caso é
chamado de amperímetro. Essa modificação consiste em colocar em paralelo com o galvanômetro G
(Fig.1) um resistor de pequena resistência denominado shunt.

No amperímetro entra uma corrente de intensidade i que se divide em duas partes: uma corrente de
intensidade iG que passa pelo galvanômetro (cuja resistência é RG) e uma corrente de intensidade iS que
passa pelo shunt (cuja resistência é RS).

Como o galvanômetro e o shunt estão em paralelo e portanto estão submetidos à mesma tensão U:

Mas: i = iG + iS

O amperímetro ideal tem resistência nula.
Voltímetro
O mostrador de um galvanômetro pode ser graduado de modo a indicar a tensão U entre seus extremos:
U = RG . iG



No entanto ele mede apenas pequenas tensões. Para que possa medir tensões maiores associamos em série
com o galvanômetro G (Fig.2) um resistor de resistência muito grande denominada resistência
multiplicadora (RM).

O aparelho assim obtido é um voltímetro

O voltímetro ideal tem resistência infinita

Ponte de Wheatstone
Na fig.3 esquematizamos um circuito denominado ponte de Wheatstone, usado para medir resistências.
Uma das resistências é desconhecida e as outras três são conhecidas. Entre as conhecidas uma delas é
variável. (Reostato)



A resistência do reostato é variada até que a corrente no galvanômetro seja nula. Nesse momento os pontos
X e Y terão o mesmo potencial o que significa que a tensão entre A e X (UAX) é igual à tensão entre A e
Y(UAY). Da mesma maneira a tensão entre X e B(UXB) é igual à tensão entre Y e B(UYB).

Como não há corrente no galvanômetro, as correntes nos ramos AX e XB têm a mesma intensidade ( i1 ) e
as correntes nos ramos AY e YB também têm a mesma intensidade ( i2 ).

Dividindo membro a membro:

Quando a corrente no galvanômetro é nula dizemos que a ponte está em equilíbrio.


Ponte de Fio
Na fig.4 esquematizamos uma variante da ponte de Wheatstone, denominada ponte de fio.



Nesse esquema, AB é um fio de seção reta constante e feito de um único material.
O equilíbrio da ponte é obtido variando-se a posição do ponto de contato X. Sendo R2 a resistência do
trecho AX e R3 a resistência do trecho XB, ao ser obtido o equilíbrio da ponte, teremos:

RX . R3 = R2 . R1 ( I )

Mas, como o fio tem seção reta constante, a resistência de cada trecho é proporcional ao comprimento:
R2 = kL2 e R3 = kL3

Substituindo na equação I :
RX . kL3 = k . L2 . R1 Rx . L3 = R1 . L2

14_5
Matérias > Física > Eletricidade > Eletrostática > Eletrização e Lei de Coulomb: 14_1-5
Eletrização e Lei de Coulomb
CORPOS ELETRIZADOS
A carga elétrica de um próton é chamada de carga elétrica elementar, sendo representada por e; no
Sistema Internacional, seu valor é:
e = 1,6 . 10-19 coulomb = 1,6 . 10-19 C
A carga de um elétron é negativa mas, em módulo, é igual à carga do próton:
Carga do elétron = - e = - 1,6 . 10-19 C
Os nêutrons têm carga elétrica nula. Como num átomo o número de prótons é igual ao número de elétrons,
a carga elétrica total do átomo é nula.



De modo geral os corpos são formados por um grande número de átomos. Como a carga de cada átomo é
nula, a carga elétrica total do corpo também será nula e diremos que o corpo está neutro. No entanto é
possível retirar ou acrescentar elétrons de um corpo, por meio de processos que veremos mais adiante.
Desse modo o corpo estará com um excesso de prótons ou de elétrons; dizemos que o corpo está
eletrizado.
EXEMPLO
A um corpo inicialmente neutro são acrescentados 5,0 . 107 elétrons. Qual a carga elétrica do corpo?
RESOLUÇÃO
A carga elétrica do elétron é qE = - e = - 1,6 . 10-19 C. Sendo N o número de elétrons acrescentados temos:
N = 5,0 . 107.
Assim, a carga elétrica (Q) total acrescentada ao corpo inicialmente neutro é:
Q = N . qE = (5,0 . 107) (-1,6 . 10-19 C) = - 8,0 . 10-12 C

Q = - 8,0 . 10-12 C
Frequentemente as cargas elétricas dos corpos é muito menor do que 1 coulomb. Assim usamos
submúltiplos. Os mais usados são:

Quando temos um corpo eletrizado cujas dimensões são desprezíveis em comparação com as distâncias
que o separam de outros corpos eletrizados, chamamos esse corpo de carga elétrica puntiforme.
Dados dois corpos eletrizados, sendo Q1 e Q2 suas cargas elétricas, observamos que:

I. Se Q1 e Q2 tem o mesmo sinal (Figura 1 e Figura 2), existe entre os corpos um par de forças de repulsão.

II. Se Q1 e Q2 têm sinais opostos (Figura 3), existe entre os corpos um par de forças de atração.



A LEI DE COULOMB
Consideremos duas cargas puntiformes Q1 e Q2, separadas por uma distância d (Figura 4). Entre elas
haverá um par de forças, que poderá ser de atracão ou repulsão, dependendo dos sinais das cargas. Porém,
em qualquer caso, a intensidade dessas forças será dada por:

Onde k é uma constante que depende do meio. No vácuo seu valor é .

Essa lei foi obtida experimentalmente pelo físico francês Charles Augustin de Coulomb (1736-1806) e por
isso é denominada lei de Coulomb.
Se mantivemos fixos os valores das cargas e variarmos apenas a distância entre elas, o gráfico da
intensidade de em função da distância tem o aspecto da Figura 5.



EXEMPLO
Duas cargas puntiformes estão no vácuo, separadas por uma distância d = 4,0 cm. Sabendo que seus
valores são Q1 = - 6,0 . 10-6 C e Q2 = + 8,0 . 10-6 C, determine as características das forças entre elas.

RESOLUÇÃO
Como as cargas têm sinais opostos, as forças entre elas são de atração. Pela lei da Ação e Reação, essas
forças têm a mesma intensidade a qual é dada pela Lei de Coulomb:

temos:



CONDUTORES E ISOLANTES
Há materiais no interior dos quais os elétrons podem se mover com facilidade. Tais materiais são
chamados condutores. Um caso de interesse especial é o dos metais. Nos metais, os elétrons mais
afastados dos núcleos estão fracamente ligados a esses núcleos e podem se movimentar facilmente. Tais
elétrons são chamados elétrons livres.
Há materiais no interior dos quais os elétrons têm grande dificuldade de se movimentar. Tais materiais são
chamados isolantes. Como exemplo podemos citar a borracha, o vidro e a ebonite.
ELETRIZAÇÃO POR ATRITO
Quando atritamos dois corpos feitos de materiais diferentes, um deles transfere elétrons para o outro de
modo que o corpo que perdeu elétrons fica eletrizado positivamente enquanto o corpo que ganhou elétrons
fica eletrizado negativamente.
Experimentalmente obtém-se uma série, denominada série tribo-elétrica que nos informa qual corpo fica
positivo e qual fica negativo. A seguir apresentamos alguns elementos da série:
... vidro, mica, lã, pele de gato, seda, algodão, ebonite, cobre...
quando atritamos dois materiais diferentes, aquele que aparece em primeiro lugar na série fica positivo e o
outro fica negativo.
Assim, por exemplo, consideremos um bastão de vidro atritado em um pedaço de lã (Figura 6). O vidro
aparece antes da lã na série. Portanto o vidro fica positivo e a lã negativa, isto é, durante o atrito, o vidro
transfere elétrons para a lã.

Porém, se atritarmos a lã com um bastão de ebonite, como a lã aparece na série antes que a ebonite, a lã
ficará positiva e a ebonite ficará negativa (Figura 7).



ELETRIZAÇÃO POR CONTATO
Consideremos um condutor A, eletrizado negativamente e um condutor B, inicialmente neutro (Figura 8).
Se colocarmos os condutores em contato (Figura 9), uma parte dos elétrons em excesso do corpo A irão
para o corpo B, de modo que os dois corpos ficam eletrizados com carga de mesmo sinal. (Figura 10)

Suponhamos agora um condutor C carregado positivamente e um condutor D inicialmente neutro (Figura
11). O fato de o corpo A estar carregado positivamente significa que perdeu elétrons, isto é, está com
excesso de prótons. Ao colocarmos em contato os corpos C e D, haverá passagem de elétrons do corpo D
para o corpo C (Figura 12), de modo que no final, os dois corpos estarão carregados positivamente (Figura
13). Para facilitar a linguagem é comum dizer-se que houve passagem de cargas positivas de C para D mas
o que realmente ocorre é a passagem de elétrons de D para C.



De modo geral, após o contato, a tendência é que em módulo, a carga do condutor maior seja maior do que
a carga do condutor menor. Quando o contato é feito com a Terra, como ela é muito maior que os
condutores com que usualmente trabalhamos, a carga elétrica do condutor, após o contato, é praticamente
nula (Figura 14 e Figura 15).

Se os dois condutores tiverem a mesma forma e o mesmo tamanho, após o contato terão cargas iguais.
EXEMPLO
Dois condutores esféricos de mesmo tamanho têm inicialmente cargas QA = + 5nC e QB = - 9nC. Se os
dois condutores forem colocados em contato, qual a carga de cada um após o contato?
RESOLUÇÃO
A carga total Q deve ser a mesma antes e depois do contato:
Q = Q'A + Q'B = (+5nC) + (-9nC) = -4nC

Após o contato, como os condutores têm a mesma forma e o mesmo tamanho, deverão ter cargas iguais:



Nos condutores, a tendência é que as cargas em excesso se espalhem por sua superfície. No entanto,
quando um corpo é feito de material isolante, as cargas adquiridas por contato ficam confinadas na região
onde se deu o contato.

ELETRIZAÇÃO POR INDUÇÃO
Na Figura 16 representamos um corpo A carregado negativamente e um condutor B, inicialmente neutro e
muito distante de A. Aproximemos os corpos mas sem colocá-los em contato (Figura 17). A presença do
corpo eletrizado A provocará uma separação de cargas no condutor B (que continua neutro). Essa
separação é chamada de indução.

Se ligarmos o condutor B à Terra (Figura 18), as cargas negativas, repelidas pelo corpo A escoam-se para a
Terra e o corpo B fica carregado positivamente. Se desfizermos a ligação com a Terra e em seguida
afastarmos novamente os corpos, as cargas positivas de B espalham-se por sua surperfície (Figura 19).

Na Figura 20 repetimos a situação da Figura 17, em que o corpo B está neutro mas apresentando uma
separação de cargas. As cargas positivas de B são atraídas pelo corpo A (força ) enquanto as cargas
negativas de B são repelidas por A (força ). Porém, a distância entre o corpo A e as cargas positivas de B
é menor do que a distância entre o corpo A e as cargas negativas de B. Assim, pela Lei de Coulomb,
o que faz com que a força resultante seja de atração.



De modo geral, durante a indução, sempre haverá atração entre o corpo eletrizado (indutor) e o corpo
neutro (induzido).
INDUÇÃO EM ISOLANTES
Quando um corpo eletrizado A aproxima-se de um corpo B, feito de material isolante (Figura 21) os
elétrons não se movimentam como nos condutores mas há, em cada molécula, uma pequena separação
entre as cargas positivas e negativas (Figura 22) denominada polarização. Verifica-se que também neste
caso o efeito resultante é de uma atração entre os corpos .

Um exemplo dessa situação é a experiência em que passamos no cabelo um pente de plástico o qual em
seguida é capaz de atrair pequenos pedaços de papel. Pelo atrito com o cabelo, o pente ficou eletrizado e
assim é capaz de atrair o papel embora este esteja neutro.
Foi esse tipo de experiência que originou o estudo da eletricidade. Na Grécia antiga, aproximadamente em
600 AC, o filósofo grego Tales observou que o âmbar, após ser atritado com outros materiais era capaz de
atrair pequenos pedaços de palha ou fios de linha. A palavra grega para âmbar é eléktron. Assim, no
século XVI, o inglês William Gilbert (1544-1603) introduziu o nome eletricidade para designar o estudo
desses fenômenos.

15_3
Matérias > Física > Eletricidade > Eletrostática > Campo Elétrico: 15_1-3

Campo Elétrico
Campo elétrico em um ponto
A interação entre duas cargas elétricas pode ser interpretada de dois modos. Um deles é o modo
apresentado no capítulo anterior onde admitimos que as cargas elétricas exercem forças à distância em
outras cargas elétricas.
Um outro modo consiste em admitir que as cargas elétricas criam uma grandeza denominada campo
elétrico e é esse campo que vai atuar sobre outras cargas.
Para determinarmos o campo elétrico em um ponto P do espaço ( Fig. 1 ), colocamos nesse ponto uma
"pequena" carga q e medimos a força elétrica exercida sobre ela. O campo elétrico é, por definição,
dado por:

(I) ou



Da definição percebemos que:

I. Se q > 0 , os vetores têm o mesmo sentido ( Fig. 2)

II. Se q < 0 , os vetores têm sentidos opostos ( Fig. 3)

Também de definição percebemos que, no Sistema Internacional, a unidade da intensidade de pode ser o
newton / coulomb:

Porém, a unidade oficial no SI é outra e será apresentada no próximo capítulo.
Exemplo
Em ponto P do espaço há um campo elétrico de intensidade E = 20 N/C e cujo sentido está
assinalado na figura ao lado. Determine a força exercida sobre uma carga puntiforme q, colocada
em P, nos seguintes casos:
A) q = 2.0 C B) q = -3,0 C
Resolução

A) Sendo q > 0, a força e o campo devem ter o mesmo sentido como mostra a figura
ao lado.



B) Sendo q < 0, a força e o campo devem ter sentidos opostos como mostra a figura ao
lado.


Campo de uma carga puntiforme
Consideremos uma carga fixa Q e vamos determinar o campo elétrico produzido por ela em um ponto P
qualquer.
Suponhamos inicialmente que a carga seja positiva (Q > 0). Para calcular o campo em um ponto P,
colocamos nesse ponto uma carga q, chamada carga de prova. Se q > 0, a carga Q irá repelir q, por meio
de uma força (fig.4). Se q < 0, a carga Q irá atrair q por meio de uma força (fig. 5). No caso da Figura
4, como q > 0, a força e o campo devem ter o mesmo sentido. No caso da Fig. 5, como q < 0, a força e o
campo devem ter sentidos opostos.



Vemos então que o sentido do campo produzido por Q, não depende do sinal da carga de prova q. De
modo geral, uma carga puntiforme positiva produz em torno de si um campo elétrico de afastamento (Fig.
6)

Para obtermos a intensidade de , calculamos primeiramente a intensidade de pela lei de Coulomb.
Tanto para o caso da Fig. 4 como para o caso da Fig. 5 temos:



Assim:

(II)

Procedendo de modo semelhante, podemos mostrar que uma carga puntiforme negativa produz em torno
de si (Fig. 7) um campo elétrico de aproximação e cuja intensidade também é dada pela equação II.

Analisando a equação II percebemos que o gráfico da intensidade de em função de distância d tem o
aspecto da Fig. 8

EXEMPLO
Duas cargas puntiformes A e B estão fixas nas posições indicadas na figura. Determine o campo elétrico
produzido por elas no ponto P sabendo que:



RESOLUÇÃO

Como a carga A é negativa, o campo por ela produzindo no ponto P é de aproximação. A carga B,
sendo positiva, produz no ponto P um campo de afastamento.

O campo total produzido no ponto P é a resultante

Aplicado o teorema de Pitágoras




Linhas de Força
Para melhor visualizar as características do campo elétrico, desenhamos linhas, denominadas linhas de
força. Cada linha de força é desenhada de modo que em cada ponto da linha (figura 9), o campo elétrico é
tangente à linha.

Quando temos um conjunto de linhas de força (Figura 10) é possível demonstrar que na região onde as
linhas estão mais próximas o campo é mais intenso do que nas região onde elas estão mais afastadas.
Assim, por exemplo, no caso da Fig. 10, podemos garantir que .
A seguir mostramos como são as linhas de força em alguns casos particulares.

Campo produzido por uma carga puntiforme positiva.



Campo produzido por uma carga puntiforme negativa.

Campo produzido por duas cargas puntiformes de sinais opostos mas de

mesmo módulo

Campo produzido por duas cargas puntiformes positivas e de mesmo

módulo.
De modo geral, as linhas de força "começam" em cargas positivas e "terminam" em cargas negativas.
Campo Uniforme
Consideremos uma certa região onde há campo elétrico com a seguinte características: em todos os pontos
da região o campo tem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido (Fig. 15). Dizemos então
que o campo é uniforme.

Num campo uniforme as linhas de força são retas paralelas. Para indicar que o módulo é constante,
desenhamos essas linhas regularmente espaçadas.
Na prática, para obtermos um campo elétrico uniforme eletrizamos duas placas metálicas paralelas (Fig.
16) com cargas de sinais opostos nas de mesmo módulo. Pode-se verificar que nesse caso, na região entre
as placas o campo é aproximadamente uniforme. Na realidade, próximo das bordas (Fig. 17) as linhas se
curvam mas nos exercícios nós desprezamos esse efeito.



16_4
Matérias > Física > Eletricidade > Eletrostática > Potencial Elétrico: 16_1-4

Potencial Elétrico
Energia Potencial
Consideremos uma região do espaço onde há um campo elétrico estático, isto é, que não varia no decorrer
do tempo. Suponhamos que uma carga puntiforme q seja levada de um ponto A para um ponto B dessa
região (Fig. 1). É possível demonstrar que o trabalho da força elétrica nesse percurso não depende da
trajetória seguida, isto é, qualquer que seja a trajetória seguida, o trabalho da força elétrica entre A e B
é o mesmo. Portanto a força elétrica é conservativa e podemos assim definir uma energia
potencial.

Como já vimos na mecânica, o valor exato da energia potencial não é importante. O que importa na
realidade é a diferença da energia potencial no percurso. Portanto podemos escolher um ponto R qualquer
como referencial, isto é, o ponto onde a energia potencial é considerada nula.

Escolhido o ponto R (Fig. 2), a energia potencial de uma carga q num ponto A é, por definição, igual
ao trabalho da força elétrica quando a carga é levada de A até R:



Podemos definir também o potencial do ponto A (VA) como sendo a energia potencial por unidade de
carga:

No Sistema Internacional a unidade de potencial é o volt (V):

Suponhamos que uma carga puntiforme q seja levada de um ponto A para um ponto B (Fig. 3). Como a
força elétrica é conservativa o trabalho não depende da trajetória. Portanto, podemos escolher uma
trajetória que vá de A para R e de R para B:

mas:
Substituindo em III:

Porém:

Substituindo em IV:



isto é, o trabalho da força elétrica para ir de A até B é igual à diferença de energia potencial entre A e
B.
Lembrando que:

e substituindo em V obtemos:

A diferença de potencial VA – VB costuma ser representada por UAB:

UAB = VA - VB


Propriedades do Potencial
Consideremos uma carga puntiforme q positiva sendo levada de um ponto A para um ponto B sobre uma
linha de força (Fig. 4). Como a carga é positiva, a força tem o mesmo sentido do campo e, desse modo, o
trabalho da força elétrica será positivo .

Assim:

Percebemos então que o potencial do ponto A é maior que o potencial do ponto B. Portanto:

o potencial diminui ao longo de
uma linha de força.

Movimento espontâneo:
Se abandonamos uma carga q numa região onde há campo elétrico, supondo que não haja nenhuma outra
força, a carga deverá se deslocar “a favor” da força elétrica, isto é, a força elétrica realizará um trabalho



positivo. Consideremos duas possibilidades: q > 0 e q < 0.

Percebemos então que:

uma carga positiva, abandonada numa região onde há campo elétrico,
desloca-se espontaneamente para pontos de potenciais decrescentes.

Portanto:

uma carga negativa abandonada numa região onde há campo elétrico,
desloca-se espontaneamente para pontos de potenciais crescentes.

Superfícies Eqüipotenciais
Na Fig. 5, as linhas S1 e S2 representam no espaço, superfícies que, em cada ponto, são perpendiculares à
linhas de força. Suponhamos que uma carga q seja transportada de um ponto A para um ponto B, de modo
que a trajetória esteja sobre uma dessas superfícies. Nesse caso, em cada pequeno trecho da trajetória, a
força elétrica será perpendicular ao deslocamento e, portanto, o trabalho da força elétrica será nulo:

Concluímos então que todos os pontos dessa superfície têm o mesmo potencial e por isso ela é chamada de
superfície equipotencial. Assim, na Fig. 5, S1 e S2 são exemplos de superfícies eqüipotenciais.




O Elétron – Volt
Na área de Física Nuclear é usada uma unidade de energia (ou trabalho) que não pertence ao Sistema
Internacional: o elétron – volt (eV). Essa unidade é definida como sendo o módulo do trabalho realizado
pela força elétrica quando um elétron é deslocado entre dois pontos cuja diferença de potencial é 1 volt.
Lembrando que, em módulo, a carga de um elétron é 1,6 . 10-19 C temos:

1eV = 1 elétron – volt = 1,6 . 10-19J
Potencial e Campo Uniforme
Na Fig. 6 representamos algumas linhas de força de um campo elétrico uniforme . Como as superfícies
eqüipotenciais devem ser perpendiculares às linhas de força, neste caso as superfícies eqüipotenciais são
planos perpendiculares às linhas. Na Fig. 6, SA e SB representam duas superfícies equipotencial. Todos os
pontos de SA têm um mesmo potencial VA e todos os pontos de SB têm um mesmo potencial VB.

Suponhamos que uma carga positiva q seja transportada do ponto A para o ponto B. O trabalho da força
elétrica não depende da trajetória. Portanto podemos fazer o percurso A X B indicado na figura:

No trecho XB a força elétrica é perpendicular ao deslocamento e, portanto, . No trecho AX temos:



Substituindo em VII:

Mas sabemos que:

Assim:

UAB = E . d (VIII)

Como o potencial decresce ao longo de uma linha de força temos VA > VB. Portanto, se quiséssemos VB –
VA teríamos:

VB - VA = UBA = - E . d

Unidade de E no SI
No capítulo anterior vimos que, no SI, a unidade do campo elétrico pode ser o newton por coulomb
(N/C). No entanto a unidade oficial do campo elétrico no SI é outra, a qual pode ser obtida da equação
VIII:

Assim:


Potencial e Campo de Carga Puntiforme
Quando o campo elétrico é produzido por uma única carga puntiforme Q, sabemos que as linhas de força
são radiais como indicam as figuras 7 e 8.



Como as superfícies eqüipotenciais devem ser perpendiculares às linhas de força, neste caso, as superfícies
eqüipotenciais são superfícies esféricas cujo centro estão sobre a carga Q.
Suponhamos que a carga Q esteja fixa, e uma carga puntiforme q seja transportada de um ponto A para um
ponto B. É possível mostrar que o trabalho da força elétrica neste caso é dada por:



Portanto, a diferença de potencial entre os pontos A e B é dada por:

A partir da equação vemos que neste caso é conveniente adotar o referencial no infinito, pois para o
termo . Assim, teremos:

ou, de modo geral:

Ainda supondo o referencial no infinito, da equação IX tiramos:

ou, de modo geral:

17_4



Matérias > Física > Eletricidade > Eletrostática > Condutores em Equilíbrio Eletrostático: 17_1-4
Condutores em Equilíbrio Eletrostático
Campo e Potencial do Condutor
Um bom condutor possui elétrons livres. Se esses elétrons não apresentarem nenhum movimento
ordenado, diremos que o condutor está em equilíbrio eletrostático. Para que isso ocorra, o campo elétrico
no interior do condutor deve ser nulo pois se o campo fosse diferente de zero, provocaria movimento dos
elétrons.

No interior
de um
condutor
em
equilíbrio
eletrostático
o campo
elétrico é
nulo.

Na superfície do condutor pode haver campo elétrico não nulo, desde que ele seja perpendicular à
superfície.
Por exemplo, se tivermos um condutor eletrizado positivamente (Fig. 1), na superfície o campo tem o
sentido de afastamento e se o condutor for eletrizado negativamente, o campo é de aproximação (Fig. 2).

A necessidade de o campo ser perpendicular à superfície decorre do fato de o condutor estar em equilíbrio.
Se o campo fosse inclinado em relação à superfície, como ilustra a figura 3, haveria uma componente
tangencial que provocaria o movimento das cargas.



Consideremos agora dois pontos quaisquer A e B pertencentes a um condutor em equilíbrio eletrostático.
Se os potenciais de A e B fossem diferentes, haveria movimentação de elétrons livres do potencial mais
baixo para o potencial mais alto o que contraria a hipótese de equilíbrio. Portanto concluímos que os
pontos A e B devem ter o mesmo potencial:

Todos os
pontos de
um
condutor
em
equilíbrio
eletrostático
devem ter o
mesmo
potencial.

Distribuição de Cargas
Quando um condutor está eletrizado, tem um excesso de cargas positivas ou negativas. Na situação de
equilíbrio essas cargas tendem a se afastar o máximo possível e assim ficam na superfície do condutor. Se
o condutor for esférico e isolado ( longe da influência de outros condutores ) as cargas distribuem-se
uniformemente pela superfície. (Fig. 5) Mas se o condutor tiver outra forma, as cargas concentram-se mais
nas regiões mais pontudas.



Para caracterizar essas diferenças define-se a densidade superficial de cargas. Se uma “pequena”
superfície de área contiver uma carga Q, a densidade de cargas nessa superfície é definida por:

(I)

Assim, no caso do condutor esférico isolado, a densidade é constante ao longo da superfície. Porém para
condutores de outras formas, a densidade é maior nas pontas.
Blindagem Eletrostática
Na figura 7 representamos um condutor neutro Y situado no interior de um condutor oco X.
Independentemente do fato de X estar ou não eletrizado o campo elétricono no seu interior é nulo. Desse
modo, o condutor X protege o condutor Y de ações elétricas externas. Se aproximarmos, por exemplo, um
condutor eletrizado A, (Fig. 8) este induzirá cargas em X mas não em Y. dizemos então que o condutor X é
uma blindagem eletrostática para o condutor Y.



Essa blindagem é usada na proteção de aparelhos elétricos para que estes não sintam perturbações elétricas
externas. A carcaça metálica de um automóvel ou avião e a estrutura metálica de um edifício também são
exemplos de blindagens eletrostáticas.

Campo e Densidade
Consideremos um condutor em equilíbrio eletrostático. O campo elétrico num ponto exterior P, “muito
próximo” do condutor, tem intensidade dada por:
(
II
)

onde é a densidade superficial da cargas nas proximidades de P e E é uma constante denominada
permissividade do meio. Essa constante está relacionada com a constante lei de Coulomb pela relação:



Assim, no vácuo, temos:

Em um ponto S da superfície do condutor, a intensidade do campo é a metade da intensidade no ponto P:

( III )

Das equações II e III percebemos que o campo é mais intenso onde a densidade de cargas for maior. Por
outro lado sabemos que a densidade é maior nas “pontas”.
Portanto, o campo elétrico é mais intenso nas “pontas” de um condutor e esse fato é conhecido como
poder das pontas.
Exemplo
Um condutor esférico de raio R = 2,0.10-2m está eletrizado com carga Q = 7,5.10-6C no vácuo. Determine:
a) a densidade superficial de carga
b) a intensidade do campo elétrico num ponto externo muito próximo do condutor
c) a intensidade do campo sobre o condutor
Resolução
a) supondo que o condutor esteja isolado as cargas distribuem-se uniformemente pela superfície.
Lembrando que a área da superfície é temos:

b) num ponto P externo é “muito próximo” do condutor, o campo tem intensidade dada por:



c) num ponto S da superfície, o campo tem intensidade igual à metade da intensidade no ponto próximo:

Condutor Esférico
Consideremos um condutor esférico, eletrizado, em equilíbrio e isolado. Como já sabemos, o excesso de
cargas distribui-se uniformemente pela sua superfície (Fig. 10 e Fig. 11).



No interior do condutor o campo elétrico é nulo. Porém no exterior o campo é não nulo e sua intensidade
pode ser calculada como se toda a carga do condutor ( Q ) estivesse concentrada no centro da esfera,
usando a equação válida para uma carga puntiforme:
(para
d>
r) (
IV )

Para calcular a intensidade num ponto “muito próximo”, fazemos d = R:

(
V
)

É fácil verificar que esta equação dá o mesmo valor fornecido pela equação II:

Na superfície o campo tem intensidade igual à metade da intensidade no ponto “muito próximo”:

Desse modo o gráfico da intensidade do campo em função da distância d ao centro da esfera, tem o aspecto



representado na figura 12.

O potencial em pontos externos também pode ser calculado supondo toda a carga concentrada no centro e
usando a equação da carga puntiforme:
(
VI
)

Na superfície do condutor, o potencial é obtido fazendo d = R:
(
VII
)

Como todos os pontos do condutor têm o mesmo potencial, a equação VII nos dá o potencial de todos os
pontos do condutor. Assim, o gráfico do potencial em função da distância d ao centro da esfera tem o
aspecto da figura 13 para Q > 0 e o da figura 14 para Q < 0.



Capacitância
Suponhamos que um condutor de formato qualquer esteja isolado. Se eletrizarmos esse condutor com uma
carga Q ele terá um potencial V. É possível demonstrar que Q e V são proporcionais, isto é,
q dobrando a carga, dobra o potencial

q triplicando a carga, triplica o potencial

q etc.

Assim, podemos escrever

Q (
=
C.
ou VIII
V )

Onde C é uma constante de proporcionalidade chamada capacitância do condutor e que pende do meio e
da geometria do condutor, isto é, do seu formato e tamanho. Como Q e V têm o mesmo sinal, a
capacitância é sempre positiva.
No Sistema Internacional a unidade de capacitância é o farad ( F ):

Porém, em geral, as capacitâncias dos condutores com que trabalhamos são muito menores do que 1F;
assim, usaremos submúltiplos:
Fórmulas
1m F = 1 mulifarad = 10-3F
1 F = 1 microfarad = 10-6F
1nF = 1 nanofarad = 10-9F
1pF = 1 picofarad = 10-12F
Antigamente, a capacitância era chamada de capacidade eletrostática. Embora esse nome tenha caído em
desuso, às vezes ainda o encontramos em alguns textos.
Capacitância de um Condutor Esférico
Consideremos um condutor esférico de raio R, eletrizado com carga Q. supondo-o isolado, seu potencial é
dado por

Portanto sua capacitância é dada por:



(
IX
)

Exemplo
Calcule a capacitância de um condutor esférico de raio R = 36 cm, situado no vácuo.
Resolução
No vácuo, nós sabemos que a constante da lei de Coulomb é dada por
k = 9,0. 109 (S.I)
Como R = 36 cm = 36.10-2m, a capacitância do condutor é dada por:

18_4
Matérias > Física > Eletricidade > Eletrostática > Capacitores: 18_1-4

Capacitores
1. CAPACITÂNCIA E ENERGIA
Capacitores são dispositivos cuja a função é armazenar cargas elétricas. São formados por dois condutores
situados próximos um do outro, mas separados por um meio isolante, que pode ser o vácuo. Ligando - se
os condutores aos terminais de um gerador (Fig. 1), eles ficam eletrizados com cargas + Q e -Q .



Os dois condutores são chamados de armaduras do capacitor e o módulo da carga que há em cada
armadura é chamado de carga do capacitor.
Os tipos de capacitores são:
1. capacitor plano (Fig.2a) formado por duas placas condutoras paralelas.
2. capacitor esférico ( Fig.2b) formado por duas cascas esféricas concêntricas.
3. capacitor cilíndrico (Fig.2c) formado por duas cascas concêntricas.

Qualquer que seja o tipo de capacitor, nos esquemas de circuito ele é representado por um símbolo da
Fig.3.

Verifica - se que há uma proporcinalidade entre a carga (Q) do capacitor e a diferença de potencial (U)
entre suas armaduras:

Q = C . U ou C = (I)



A constante de proporcionalidade C é denominada capacitância do capacitor e sua unidade no Sistema
Internacional é o farad, cujo símbolo é F.
Verifica - se que a capacitância de um capacitor depende apenas da geometria das armaduras ( forma,
tamanho e posição relativa ) e do isalante que há entre elas.
Um capacitor carregado armazena energia potencial elétrica ( Ep ) a qual é dada por:

Ep = ( II )

Exemplo
Um capacitor de capacitância C = 2,0 p F, foi ligado aos terminais de uma bateria que mantém entre seus
terminais uma diferença de potencial U = 12V. Calcule:
A) a carga do capacitor
B) a energia armazenada no capacitor:
Resolução
A) Pela definição de capacitância temos:

Q = C. U = ( 2,0 p F ) ( 12V ) =
= ( 2,0 . 10-12 F ) ( 12V ) =
= 24. 10-12 coulomb.
Q = 24 . 10-12 C = 24 pC

B) Ep = = 144 . 10-12 = 1,44 . 10-10

Ep = 1,44.10-10 J

Exemplo
No circuito esquematizado ao lado há um capacitor



.

Calcule sua carga.
Resolução
Pelo capacitor não passa corrente elétrica. No entanto ele está
submetido a uma diferença de potencial que é a mesma que existe
entre os potos X e Y.
Os resistores do circuito estão em série e sua resistência equivalente
é:
R = 3,0 + 2,0 + 4,0 = 9,0
Assim: 54 = ( 9,0 ) . i i = 6,0A
A diferença de potencial entre X e Y é dada por:
Uxy = ( 2,0 ) (6,0 A) = 12 V

Portanto a carga Q do capacitor é dada por:
Q = C . Uxy = (5,0 F) (12 V) = (5,0 . 10-6 F) (12V) =

= 60 . 10-6 coulomb = 60 C
Q = 60 C
Observação:
Os capacitores são também chamados de condensadores.




2. CAPACITOR PLANO
Consideremos um capacitor plano cujas placas têm área A e estão separdas por uma distância d ( Fig.4)

Pode - se demostrar que a capacitância desse capacitor é dada por:

( III )

onde a constante E depende do meio isolante ( dielétrico ) que existe entre as placas e é chamada
permissividade do meio. Da equação III tiramos:

Assim, no Sistema Internacional temos:

A permissividade do vácuo é:
E0 = 8,85.10-12 F/m

Qualquer outro isolante tem uma permissividade ( E ) maior que a do vácuo ( E0 ). Define -se então a
permissividade relativa ( ou constante dielétrica ) do meio por:

A permissividade está realcionada com a constante k da Lei de Coulomb por meio da equação:

Exemplo
Um capacitor plano é formado por placas de área A = 36.10-4m2 separadas por uma distância d =



18.10-3m, sendo o vácuo o meio entre as placas as quais estão
ligadas a um gerador que mantém entre seus terminais uma
tensão U = 40V. Sabendo que a permissividade do vácuo é E0
= 8,85.10-12 F/m, calcule:

A) a capacitância desse capacitor
B) a carga do capacitor
C) a intensidade do campo elétrico entre as placas
Resolução

A) = 1,77 . 10-12

C = 1,77 . 10-12F
B) Q = C .V = (1,77 . 10-12F) (40 V) = 7,08 . 10-11C
Q = 7,08 . 10-11C
C) No capítulo de campo elétrico vimos que entre duas placas paralelas, uniformemente carregadas com
cargas de sinais opostos, há um campo elétrico aproximadamente uniforme. Ao estudarmos o potencial
vimos que para um campo uniforme temos:
U = E.d

Portanto:

E 2,2 . 103 V / m


3. ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES EM SÉRIE
Na Fig.5 representamos três capacitores associados de modo que a armadura negativa de um deles está
ligada à armadura positiva do seguinte. Dizemos que eles estão associados em série.



Numa associação em série, os capacitores têm a mesma carga.
Na Fig.6 representamos um único capacitor, de capacitância CE, que é equivalente à associação dada, isto
é, sob a mesma tensão total U, tem a mesma carga Q.
U = U1 + U2 + U3 ( VI )

Mas:

Substituindo em VI:

ou: ( VII )

A equação anterior pode ser generalizada para um número qualquer de capacitores em série.
Quando há apenas dois capacitores em série temos:

ou: (VIII)

Se forem n capacitores iguais, associados em série teremos:

n parcelas

ou: (IX)




4. ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES EM PARALELO
Na Fig.7 representamos três capacitores associados em paralelo, isto é, os três estão submetidos à mesma
tensão U.

Na Fig.8 representamos um único capacitor, de capacitância CE que é equivalente à associação, isto é,
submetido à mesma tensão U, apresenta a mesma carga total Q:
Q = Q1 + Q2 + Q3 (X)

Mas: Q = CE.U, Q1 = C1.U, Q2 = C2.U, Q3= C3.U

Substituindo em X:
CE.U = C1.U + C2.U + C3.U

ou:
CE = C1 + C2 + C3

19_2



Matérias > Física > Eletricidade > Magnetismo > O Campo Magnético: 19_1-2

O CAMPO MAGNÉTICO
Os Imãs
Na Grécia antiga (século VI a.C.), em uma região denominada Magnésia, parecem ter sido feitas as
primeiras observações de que um certo tipo de pedra tinha a propriedade de atrair objetos de ferro. Tais
pedras foram mais tarde chamadas de imãs e o seu estudo foi chamado de magnetismo.
Um outro fato observado é que os imãs têm, em geral, dois pontos a partir dos quais parecem se originar as
forças. Quando pegamos, por exemplo, um irmã em forma de barra (Fig. 1) e o aproximamos de pequenos
fragmentos são atraídos por dois pontos que estão próximos das extremidades. Tais pontos foram
denominadas pólos.

Quando um imã em forma de barra é suspenso de modo a poder girar livremente (Fig. 2), observa-se que
ele tende a se orientar, aproximadamente, na direção norte-sul. Por esse motivo, a extremidade que se
volta para o norte geográfico foi chamada de pólo norte (N) e a extremidade que se volta para o sul
geográfico foi chamada de pólo sul (S).

Foi a partir dessa observação que os chineses construíram as primeiras bússolas.
Quando colocamos dois imãs próximo um do outro, observamos a existência de forças com as seguintes
características (Fig. 3):



q dois pólos norte se repelem (Fig. 3 a);
q dois pólos sul se repelem (Fig. 3 b);
q entre um pólo norte e um pólo sul há um par de forças de atração (Fig. 3 c).
Resumindo essas observações podemos dizer que:

pólos de nomes diferentes de atraem e
pólos de mesmo nome se repelem

Magnetismo da Terra
A partir dessa observasões concluímos que a Terra se comporta como se no seu interior houvesse um
gigantesca imã em forma de barra (Fig. 4). Porém, medidas precisas mostram que os pólos desse grande
imã não coincidem com os pólos geográficos, embora estejam próximos. Assim:
q o pólo norte da bússola é atraído pelo sul magnético, que está próximo do norte geográfico.

q o pólo sul da bússola é atraído pelo norte magnético, que está próximo do sul geográfico.

Inseparabilidada dos pólos



Os primeiros estudiosos tiveram a idéia de quebrar o imã, para separar o pólo norte do pólo sul. Porém, ao
fazerem isso tiveram uma surpresa: no ponto onde houve a quebra, apareceram dois novos pólos (Fig. 5 b)
de modo que os dois pedaços são dois imãs. Por mais que se quebre o imã, cada pedaço é um novo imã
(Fig 5 c). Portanto, não é possível separar o pólo norte do pólo sul.

Um imã pode ter vários formas. No entanto, os mais usados são o em forma de barra e o em forma de
ferradura (Fig. 6).

Matérias > Física > Eletricidade > Magnetismo > O Campo Magnético: 19_2-2

O campo magnético
Para interpretar a ação das imãs, dizemos que eles criam em torno de sí um campo, denominado indução
magnética ou, simplesmente, campo magnético. Esse campo, que é representado por , tem sua direção
determinada usando um pequeno imã em forma de agulha (bússola). Colocamos essa bússola próxima do
imã. Quando a agulha ficar em equilíbrio, sua direção é a do campo magnético (Fig. 7). O sentido de é
aquele para o qual aponta o norte da agulha.



O modo de determinar o módulo de será visto no próximo capítulo.

Para visualizar a ação do campo, usamos aqui o mesmo recurso adotado no caso do campo elétrico: as
linhas de campo. Essas linhas são desenhadas de tal modo que, em cada ponto (Fig. 8), o campo
magnético é tangente à linha. O sentido da linha é o mesmo sentido do campo.

Verifica-se aqui uma propriedade semelhante à do caso do campo elétrico: o campo é mais intenso onde as
linhas estão mais próximas. Assim, no caso do Fig. 8, o campo magnético no ponto A é mais intenso do
que o campo no ponto B.
As linhas de campo do campo magnético são também de linhas de indução.
Campo magnético uniforme
Para o caso de um imã em forma de ferradura (Fig. 9), há uma pequena região onde o campo é uniforme.
Nessa região o campo tem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido em todos os seus pontos.
Como conseqüência, as linhas de campo são paralelas.

Fig. 9- Na região sombreada, o campo magnético é uniforme.
Quando um imã em forma de barra é colocado numa região onde há um campo magnético uniforme (Fig.
10) fica sujeito a um par de forças de mesmas intensidades mas sentidos opostos, formando um binário
cujo momento (ou torque) M tem módulo dado por:
q | M | = F. d



Na Fig. 11 temos a situação de equilíbrio estável.

20_3
Matérias > Física > Eletricidade > Magnetismo > Força Magnética: 20_1-3

FORÇA MAGNÉTICA
Força sobre particula carregada

Consideremos uma partícula com carga . Quando essa partícula é lançada com velocidade numa

região em que existe apenas um campo magnético , às vezes essa partícula sofre a ação de uma força ,

que depende de . Observa-se que a força é nula quando tem a mesma direção de (Fig. 1).

No entanto, quando forma com um angulo (Fig. 2), tal que e , observa-se a
existência de uma força cujo módulo é proporcional ao produto v.sen .



Assim, a intensidade de é definida de modo que a intensidade da força é dada por:

(I)

Quando existe a força magnética, observa-se que ela é simultaneamente perpendincular a ea , (Fig.

3), isto é, ela é perpendicular ao plano determinado por e . Na Fig. 3, a força tem a direção da reta r
que é perpendicular a .

O sentido de depende do sinal da carga. Na Fig. 4 indicamos o sentido de para o caso em que q > 0.
Esse sentido pode ser obtido pela regra da mão esquerda:



Se a carga for negativa, o sentido de é oposto ao anterior. (Fig. 5).

Para facilitar a representação dos vetores usamos seguinte convenção:
q o simbolo indica um vetor "entrando" no plano do papel.
q o simbolo indica um vetor "saindo"do plano do papel.

Assim, para o observador O da da Fig. 4, a força será representada por:

e no caso da Fig. 5, a força vista pelo observador O será representada por:

Unidade de intensidade de

No sistema internacional a unidade da intensidade de é o tesla, cujo simbolo é T.
Trabalho da força magnética
Pelo fato de a força magnética ser perpendicular à velocidade, ela numca realiza trabalho. Assim, ela não
altera o módulo de ; seu efeito é apenas o de alterar a direção de .
Exemplo

Na Fig. 6 representamos uma partícula com carga q > 0 sendo lançada com velocidade num ponto em

que o campo magnético é . Aplicando a regra da mão esquerda (Fig. 7) percebemos que a força tem



direção perpendicular ao plano do papel e seu sentido é "para fora"do papel e assim, é representada pelo
simbolo da Fig. 8.

Fig. 8

Na fig. 9 representamos como a força é vista pelo observador, sendo o plano determinado por e .


Movimento quando o campo é uniforme

Suponhamos que uma partícula com carga seja lançada com velocidade numa região onde há

campo magnético uniforme . Podemos ter três tipos de movimentos.

A) Caso em que e têm a mesma direção
Neste caso a força magnética é nula e assim, o movimento será retilíneo e uniforme.



B) Caso em que é perpendicular a

Neste caso teremos um movimento circular e uniforme. Na Fig. 11, o campo , é perpendicular ao
plano do papel e "entrando" nele.(Símbolo )

Como o ângulo entre e é = 90º, temos sen = 1. Assim:

Neste caso a força magnética é uma força cemtrípeta. Assim:

Portanto:

Assim: (II)

O período (T) do movimento é dado por:

(III)



C) Caso em que e formam ângulo tal que , e

Neste caso podemos decompor a velocidade em duas componentes (Fig. 12); uma componente ',

perpendicular a e uma componente ", paralela a .

A componente ' produz um movimento circular e uniforme de raio:

(IV)

A componente " produz um movimento retilíneo e uniforme.
A composição desses dois movimentos resulta num movimento helicoidal. A trajetória é uma hélice
cilíndrica (Fig. 13) cujo raio R é dado pela equação IV e cujo passo p é dado por:

(V)

Exemplo
Na figura representamos uma partícula com carga q = 8,0.10-1 C e massa m = 3,2.10-20kg sendo lançada

com velocidade v = 2,5.106 m/s em direção a uma região onde há um campo magnético uniforme de
intensidade B = 0,50 T. A partícula penetra na região pela abertura A.



O simbolo indica que o campo é perpendicular ao plano do papel e seu sentido é "para fora" do

papel. A velocidade é, portanto, perpendicular a e teremos um movimento circular. Aplicando a
regra da mão esquerda vemos que a força magnética tem o sentido indicado na figura. A particula
descreverá uma semi-circunferência de raio R, atingindo a parede da região no ponto B.
O raio da circunferência é dado por:

= 2,0.10-1m = 20 cm

A distância d é o dobro do raio: d = 40 cm.


Força sobre condutor retilíneo.
Quando temos um fio percorrido por corrente elétrica e sob a ação de um campo magnético, cada partícula
que forma a corrente poderá estar submetida a uma força magnética e assim haverá uma força magnética
atuando no fio. Vamos considerar o caso mais simples em que um fio retilíneo, de comprimento L é
percorrido por corrente elétrica de intensidade i e está numa região onde há um campo magnético uniforme

.

Sendo o plano determinado pelo fio e pelo campo (Fig. 14) a força sobre o fio é perpendicular a e
tem sentido dado pela regra da mão esquerda como ilustra a figura. O módulo de é dado por:



F = B.i.L.sen (VI) .
21_5
Matérias > Física > Eletricidade > Magnetismo > Fontes de Campo Magnético: 21_1-5

FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO
O EXPERIMENTO DE OERSTED
Em 1820, o físico dinamarquês Hans Christian Oersted percebeu que uma bússola colocada próxima de um
fio conduzindo corrente elétrica, sofria desvios. Isso mostrou que as correntes elétricas também produzem
campos magnéticos.
Mais tarde as pesquisas revelaram que todo campo magnético é produzido pelo movimento de cargas
elétricas. No caso dos ímãs é o movimento dos elétrons que produz o campo magnético. Hoje sabemos
que:
a) Uma carga elétrica em repouso produz apenas campo elétrico.
b) Uma carga elétrica em movimento produz dois campos: um campo elétrico e um campo magnético.
O cálculo do campo magnético produzido pelas cargas em movimento é em geral bastante complexo.
Assim analisaremos apenas alguns casos particulares.
FIO RETILÍNEO
Consideramos um fio retilíneo e "longo", percorrido por uma corrente de intensidade i. Em volta do fio
existe um campo magnético tal que, proximo do fio as linhas de campo são circunferências (Fig. 1) cujo
centro está no fio. Na Fig. 1 as linhas circulares estão contidas no plano o qual é perpendicular ao fio.



Para determinarmos o sentido do campo magnético usamos a regra da mão direita (Fig. 2). Envolvemos o
fio com a mão direita, de modo que o polegar aponte no sentido da corrente; a curvatura dos outros dedos
nos dá o sentido de . Para o observador O da Fig. 1, as linhas de campo têm o aspecto da Fig. 3.

Na Fig. 4 representamos algumas linhas de campo situadas em dois planos distintos e . Representando o
campo no plano do papel (Fig. 5), o campo "entra" no papel à direita do fio (símbolo ) e sai do papel à
esquerda do fio (símbolo ).



O módulo de em um ponto é dado por:

(I)

onde d é a distância do ponto ao fio e o é uma constante, denominada permeabilidade do vácuo, cujo
valor do SI é o = 4 . 10-7. Da equção I tiramos:

Assim:

unidade de

Portanto:


ESPIRA CIRCULAR
Na Fig. 6 representamos um fio dobrado em forma de espira circular, percorrido por uma corrente de
intensidade i.



Na Fig. 7 apresentamos uma visão em perspectiva da espira, com as linhas do campo magnético produzido.
O sentido do capo pode ser obtido pela regra da mão direita. O observador O1 da Fig. 7 vê o campo
"entrando" no plano da espira (Fig. 8) e o observador O2 vê o campo "saindo" do plano da espira (Fig. 9).

Em anologia com os ímãs, a face por onde "saem" as linhas é chamada de face norte (Fig. 10) e a face por
onde "entram" as linhas é chamada de face sul (Fig. 11). Observe que as extremidades da S e do N nos dão
o sentido da corrente.



Essa atribuição de polaridade às faces, nos ajuda a decidir o tipo de força que ocorre entre duas espiras ou
entre uma espira e um ímã.
Consideremos duas espiras circulares, percorridas por correntes elétricas, colocadas face a face, isto é, com
seus planos paralelos, observamos que:
a) duas faces norte se repelem
b) duas faces sul se repelem
c) uma face norte e uma face sul se atrem
CAMPO NO CENTRO DA ESPIRA
No centro da espira, a intensidade do campo magnético é dada por:

(II)

onde R é o raio da espira.
BOBINA CHATA
Se enrolarmos o condutor de modo a obtermos várias espiras circulares de mesmo raio e superpostas
compactamente, como ilustra a Fig. 12, obteremos o que se chama bobina chata. No centro da bobina a
intensidade do campo é:

(III)

onde N é o número de espiras.




SOLENÓIDE
Na Fig. 13 representamos um fio enrolado de modo que temos várias espiras circulares, uma ao lado da
outra. Esse objeto é denominado solenóide ou bobina longa.

Quando o comprimento da solenóide (L) é bem maior do que o raio das espiras (R) e o solenóide é
percorrido por corrente elétrica forma-se um campo magnético cujas linhas têm o aspecto da Fig. 14; no
interior do solenóide o campo é aproximadamente uniforme.



A intensidade do campo magnético no inteior do solenóide é dada por:

(IV)

onde N é o número de espiras.

O quociente é o número de espiras por unidade de comprimento. Se representarmos esse quociente

por n, isto é, n = , a fórmula IV pode ser escrita:

B = o n i (IV)
A extremidade do solenóide por onde "saem" as linhas de campo (Fig. 14) comporta-se como um pólo
norte e a extremidade por onde "entram" as linhas, comporta-se como um pólo sul; o campo produzido por
um solenóide é semelhante ao campo produzido por um ímã em forma de barra.


CAMPO MAGNÉTICO DE UM ÍMÃ
O movimento dos elétrons no interior da matéria, produz campo magnético. O campo magnético produzido
por um elétron é semelhante ao campo produzido por uma espira circular (Fig. 15), isto é, cada elétron
produz um campo semelhante ao de um minúsculo ímã (Fig16) denominado ímã elementar.



Nos corpos macroscópicos temos um número muito grande de elétrons que produzem campos magnéticos
em todas as direções (Fig. 17), de modo que o efeito médio é nulo, isto é, em geral os corpos não
apresentam efeitos magnéticos.

Há porém alguns materias que, na presença de um campo magnético, têm seus ímãs elementares
aproximadamente alinhados (Fig. 18) transformando-se momentaneamente em ímã. É o caso do ferro, que
é atraido pelos ímãs.



Em geral, com a retirada do campo magnético externo os ímãs elementares desses materiasis voltam à
desordem inicial, perdendo seu efeito magnético. No entanto há alguns materiais que, após a retirada do
campo externo mantêm seus ímãs elementares aproximadamente alinhados, transformando-se em ímãs
permanentes.
Os materiais que têm comportamento semelhante ao do ferro são chamados de ferromagnéticos. Como
exemplos podemos citar o cobalto, o níquel e o gadolímio.
ELETROÍMÃ
Colocando-se um núcleo de ferro no interior de um solenóide, observamos que o campo magnético fica
muito mais intenso (Fig. 19).
Tal objeto é denominado eletroímã e é usado em aparelhos tais como campainhas e guindastes
magnéticos.

PONTO CURIE
Consideramos um ímã permanente. Aquencendo-se esse corpo, aumenta a agitação das moléculas. Desse
modo, atingindo uma certa temperatura, a agiração pode desfazer o alinhamento dos ímãs elementares.
Essa temperatura é denominada ponto de Curie. No caso do ferro, o ponto Curie é 770º C.




FORÇA ENTRE CONDUTORES PARALELOS
Consideremos dois condutores retos, longos e paralelos como ilustra a ( Fig.20 ). Suponhamos que os fios
sejam percorridos por correntes elétricas de mesmo sentido e intensidades i1 e i2.

Na figura representamos o campo produzido pela corrente i1 ( 1 ). A intensidade desse campo é dada
por:

O condutor C2 sofre a ação do campo 1. Assim a força exercida sobre o condutor C2 é dada por:

Aplicando a regra da mão esquerda percebemos que nesse caso as forças são de atração. Quando os fios
são percorridos por correntes de sentidos opostos ( Fig.21 ) existe entre eles um par de forças de repulsão.



A fórmula VI foi obtida considerando o campo produzido por C1, atuando sobre C2. O resultado seria o
mesmo se considerássemos o campo produzido por C2 atuando em C1.

DEFINIÇÃO DO AMPÈRE
No Sistema Internacional, a umidade elétrica de base não é o coulomb mas sim o ampère; o coulomb é
definido a partir do ampère, usando a equação:

Assim, existe um procedimento padrão para obter-se a corrente de intensidade 1 ampère. Esse
procedimento a equação VI; considerando i1 = i2 = i:

Fazendo i = 1A e d = 1m temos:

A partir da equação VII define - se o ampère:
O ampère é a intensidade de uma corrente constante que, estabelecida em dois condutores retos, paralelos e
longos, separados por uma distância de 1 metro, no vácuo faz parecer entre eles, força magnética de
intensidade po metro.

22_4



Matérias > Física > Eletricidade > Magnetismo > Indução Eletromagnética: 22_1-4

INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
FLUXO MAGNÉTICO
Consideremos uma superfície plana de área A situada numa região onde há um campo magnético uniforme
. Adotemos um vetor , perpendicular à superfície (Fig. 1).

O fluxo de através da superfície é dado por:
(I)

Onde é o ângulo entre e .
Quando a superfície não for plana ou o campo não for uniforme, dividimos a superfície em "pequenos"
pedaços de modo que em cada pedaço o campo possa ser considerado constante; aplicamos a fórmula I a
cada pedaços e fazemos a soma.

Ao adotarmos o vetor temos duas possibilidades e dois ângulos diferentes.

Se considerarmos o vertor , o fluxo é:



e se considerarmos o vetor , o fluxo é:

mas e assim:

Portanto, ou

Assim, a orientação de influi apenas no sinal do fluxo. Mas , como veremos adiante, o que importa
mesmo é a variação do fluxo. Assim escolhemos uma orientação qualquer e a mantemos até terminar os
cálculos.
No Sistema Internacional, a unidade de fluxo é o weber (Wb).


CORRENTES INDUZIDAS
Consideremos um circuito em uma região onde há campo magnético. A experiência mostra que, toda vez
que o fluxo através do circuito varia, aparece no circuito uma corrente elétrica, denominada corrente
induzida:
Observando a fórmula I vemos que o fluxo pode varias de três modos:
varição de fluxo corrente induzida

A corrente existe enquanto o fluxo estiver variando. Quando o fluxo deixar de variar, a corrente se anula.

1º) variando
2º) variando A (por exemplo, deformando o circuito)

3º) variando (girando o circuito)
A produção de corrente por meio da variação do fluxo magnético é denominada indução eletromagnética
e foi descoberta pelo físico e químico inglês Michael Faraday (1791 - 1867).
A LEI DE LENZ
Heinrich Lenz (1804 - 1865), nascido na Estônia, descobriu que:
A corrente induzida tem um sentido tal que se opõe
à variação de fluxo

EXEMPLO
Na Fig. 3 representamos um imã sendo aproximado de uma espira.



À medida que o imã se aproxima, o campo magnético do imã sobre a espira fica cada vez mais intenso e,
portanto, o fluxo de aumenta. A variação do fluxo ocasionará o aparecimeto de uma corrente induzida
na espira. De acordo com a lei de Lenz, essa corrente irá contrariar a aproximação do imã. Isso significa
que a face da espira que está voltada para o imã deve ter a mesma polaridade do pólo que está se
aproximando, isto é, pólo norte, para que isso aconteça, a corrente deve ter o sentido indicado na Fig. 4. O
operador deverá aplicar uma força no imã pois este estará sendo repelido pela espira.

Um outro modo de pensar é observar que o fluxo de através da espira está aumentando. Assim, a espira
tentará diminuir esse fluxo, produzindo um campo (Fig.5) que tem sentido oposto ao campo do imã.
Para que isso aconteça a corrente induzida deve ter o sentido indicado na figura.

EXEMPLO
Na Fig. 6 temos um condutor dobrado em forma de U sobre o qual se apoia um condutor retilínio YZ. O
conjunto está em uma região em que há um campo magnético e o condutor YZ está sendo puxado para
a direita.



Desse modo a área do circuito W Y Z K está aumentando o que acarreta o aumento do fluxo de através
do circuito. Em consequência teremos uma corrente induzida no circuito que irá contrair o aumento de
fluxo. Para que isso ocorra, a corrente deverá produzir um campo de de sentido oposto ao de e, para
isso, a corrente deverá ter sentido anti-horáro (Fig. 7).
EXEMPLO
Na Fig. 8 representamos uma espira estre os pólos de um imã. Se girarmos a espira, iremos provocar a
variação do ângulo (Fig. 9) entre o campo e o vetor perpendicular ao plano da espira.



A variação de irá ocasionar a variação do fluxo de e, assim, teremos uma corrente induzida na espira.
Esse é o princípio de funcionamento dos geradores elétricos usandos nas grandes usinas produtoras de
energia elétrica e, também nos geradores usados em automóveis (dínamos ou alternadores).


LEI DE FARADAY
Considaremos um circuito no qual foi induzida uma corrente de intensidade i. Tudo se passa como se,
dentro do circuito houvesse um gerador ideal, de força eletromotriz E dada por:
E=R.i
onde R é a resintência do circuito. Essa força eletromotriz é chamada de força eletromotriz induzida.
Sendo a variação do fluxo num intervalo de temo , Faraday descobriu que o valor médio de E é
dado por:

Algumas vezes essa fórmula aparece do seguinte modo:

Neste caso, o serial "menos" serve apenas para lembrar da lei de Lenz, isto é, que a força eletromotriz
induzida se opõe à variação de fluxo.
EXEMPLO
Uma espira retangunlar, de área A = 0,50 m² e resistência R = 2,0 está numa região onde há um campo
magnético uniforme , como indica a Fig. 10, sendo = 60º.



Num intervalo de tempo = 3,0 s, a intensidade de varia de B1 = 12 T para B2 = 18 T. Calcule o
valor médio da intensidade da corrente induzida na espira.
Resolução
Lembrando que cosº 60 = 1/2, os fluxos iniciais ( 1) e final ( 2) são:

Assim:

De acordo com a lei de Faraday, o valor médio da força eletromotriz induzida é dado por:

Sendo im o valor médio da intensidade da corrente induzida, temos:

im = 0,25 A

Podemos definir a força eletromotriz instantânea por:

Quando a força eletromotriz é constante, seu valor médio coincide com seu valor instantâneo.




INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
CONDUTOR RETILÍNEO EM CAMPO UNIFORME
Na Fig. 11 representamos um condutor dobrado em forma em força de U sobre o qual se apóia um
condutor Y X que se move com velocidade .

Podemos observar que neste caso, o vetor perpendicular ao plano do circuito é perpendicular ao plano
do papel e assim, e são paralelos o que faz com que o ângulo entre e seja nulo (ou 180º)
(Fig. 12).

Em qualquer caso teremos |cos | = 1. Assim vamos escolher = 0 e cos = 1 fluxo de através da
espira é:



Quando o condutor está na posição Y' Z', o novo fluxo de será:

Assim:
Portanto, sendo Em a força eletromotriz induzida média, teremos:

Mas = vm onde vm é a velocidade média:

Se a velocidade for constante, temos:

23_3
Matérias > Física > Mecânica > Cinemática > Conceitos básicos: 23_1-3

Conceitos Básicos
A velocidade e a aceleração são grandezas vetoriais. Porém, em certos casos podemos esquecer esse
caráter vetorial e interpretar tanto a velocidade como a aceleração, como sendo grandezas escalares; esses
casos são tratados pela Cinemática Escalar que estudaremos a seguir. Mais tarde estudaremos a
Cinemática Vetorial, isto é, aqueles casos em que é necessário considerar o caráter vetorial da velocidade
e da aceleração.
Ponto Material
Chamamos de ponto material, um objeto cujo tamanho e estrutura interna não são importantes para o
problema com que lidamos, além de não nos interessarmos por eventuais rotações, isto é, estamos
interessados apenas na sua translação. A Terra, por exemplo, pode ser olhada como um ponto material para
a maioria dos problemas de movimento planetário, mas certamente não para problemas terrestres.
Freqüentemente usaremos a palavra partícula no lugar de ponto material.
Sistemas de Referência
Chamamos de sistema rígido, todo sistema de pontos para o qual a distância entre dois pontos quaisquer
permanece invariável. Em outras palavras, sistema rígido é um sistema indeformável. Podemos determinar
a posição de um ponto, dando suas distâncias aos pontos do sistema rígido. No caso do sistema rígido ser
usado para determinar posição, dizemos que ele constitui um sistema de referência, ou simplesmente
referencial. Por exemplo, se tivermos uma mosca andando sobre uma mesa, podemos usar como sistema
rígido, para determinar sua posição, um par de eixos perpendiculares (figura 1) e determinar sua posição
dando as coordenadas cartesianas da mosca.



Porém, nem todos os movimentos vão se dar apenas num plano, mas sim, poderão ser espaciais. Nesse
caso, o tipo mais usado de sistema rígido é um conjunto de 3 eixos perpendiculares entre si que passam por
um mesmo ponto (figura 2).

Movimento e repouso
Suponha que você está viajando em um trem; suponha ainda que você esteja conversando com um amigo
(que se encontra parado em uma das estações, por exemplo) através de um rádio-transmissor, e que em
dado momento ele pergunte a você se a lâmpada do teto do vagão está em repouso ou em movimento. Se
você respondesse que a lâmpada está em repouso, um indivíduo no chão, fora do vagão, poderia dizer que
a lâmpada está em movimento e nenhum dos dois estaria errado.
Esse exemplo mostra que movimento e repouso são conceitos relativos, isto é, não podemos dizer
simplesmente que tal objeto está parado ou está se movimentando, mas sim, devemos especificar, em
relação a que referencial o objeto está em repouso. No caso do trem, as afirmações corretas seriam:
q a lâmpada está em repouso, em relação a um observador situado no trem.

q a lâmpada está em movimento, em relação a um observador fixo em relação ao solo.

Dizemos então, que um certo ponto encontra-se em movimento em relação a um certo referencial, se
pelo menos uma das coordenadas do ponto variar com o tempo.
Dizemos que um ponto está em repouso em relação a um certo referencial, se nenhuma de suas
coordenadas variar com o tempo.
Trajetória
Consideremos os pontos ocupados por um móvel com o correr do tempo, em relação a um dado
referencial. Unamos os pontos obtendo assim uma linha, a qual chamaremos de trajetória do móvel em
relação ao referencial adotado.
Por essa definição podemos concluir, que a forma da trajetória dependerá do referencial adotado. Por
exemplo, consideremos um avião que solta uma granada (figura 3).



Um indivíduo no chão observará uma trajetória curva, enquanto que o indivíduo que soltou a granada
observará uma trajetória reta e vertical, isto é, seria a mesma trajetória que ele notaria se soltasse a granada
do alto do Edifício Itália (Desprezando a resistência do ar).

(Fig. 3)


Posição escalar ou espaço (s)
Vamos iniciar agora, realmente, a cinemática escalar. Vamos escolher um referencial, e em relação a esse
referencial, vamos considerar a trajetória do móvel em estudo e vamos fazer com essa trajetória o mesmo
que foi feito em geometria analítica com a reta. Vamos marcar uma origem, considerar um sentido como
positivo e colocar as "marcas" nessa estrada (figura 4).

Nas estradas de rodagem, os marcos são colocados de quilômetro em quilômetro, mas na nossa trajetória,
poderemos colocar de metro em metro, de centímetro em centímetro ou mesmo de polegada em polegada.
Em geometria analítica a posição de um ponto é determinada pela sua abscissa. Por exemplo, na figura 5, a
abscissa do ponto A é +2 e a abscissa do ponto B é -3.

Na cinemática faremos o mesmo, porém usando a palavra "espaço" no lugar de "abscissa"; além disso
devemos informar também a unidade usada. Assim, por exemplo, na figura 6 temos uma trajetória
"graduada" em quilômetros; o espaço do ponto M é 3 km e indicamos por:
sM = 3 km



O espaço também é chamado de posição escalar.
Movimentos Progressivos e Retrógrados
Quando o movimento de uma partícula se dá no sentido dos espaços crescentes dizemos que o movimento
é progressivo; se o movimento se dá no sentido dos espaços decrescentes o movimento é dito retrógrado.

(Fig 7)
Deslocamento escalar ou Variação do espaço ( )
Sendo sa e sb os espaços de uma partícula nos instantes ta e tb respectivamente (com tb > ta) , chamamos de
variação de espaço entre os instantes ta e tb ( representado por ) a diferença sb - sa:

Generalizando

, onde:

sf = posição escalar final

si = posição escalar inicial

Observações:
I - Quando um movimento é progressivo >0
II - Quando um movimento é retrógrado <0
Distância percorrida (d)
Quando o movimento é sempre progressivo ou sempre retrógrado temos:

Quando o movimento é composto de várias etapas




Velocidade Escalar Média (vm)

Consideremos uma partícula que no instante tA tem espaço sA e no instante tB > tA tem espaço sB. A
velocidade escalar média entre os instantes tA e tB é definida por:

Generalizando:

Observações:
I - Quanto um movimento é sempre progressivo temos vm > 0

II - Quando um movimento é sempre retrógrado temos vm < 0

Velocidade Escalar Instantânea (v)
A velocidade escalar média é calculada entre dois instantes; além dessa velocidade podemos definir a
velocidade escalar instantânea que, como o próprio nome diz, é a velocidade escalar num determinado
instante. No entanto, para definir esta velocidade precisamos de uma "ferramenta" matemática que está
fora do vestibular: é a teoria dos Limites e Derivados. Assim sendo apresentaremos a definição apenas por
curiosidade, mas não vamos utilizá-la:
a velocidade escalar instantânea (v) é definida por:

Isto significa que para calcularmos a velocidade escalar instantânea, calculamos a velocidade escalar
média num intervalo de tempo "tendendo a zero". Como nós não poderemos fazer esse cálculo,
encararemos o conceito de velocidade escalar instantânea como um conceito "intuitivo". A "grosso modo",
a velocidade escalar instantânea é o que marca o velocímetro do automóvel.



De modo geral, a velocidade escalar média (vm) e a velocidade escalar instantânea (v) são conceitos
diferentes. Mas, se durante um movimento, o valor de v ficar constante, então:
V--m = V

Para velocidade escalar instantânea valem duas propriedades idênticas a duas que foram apresentadas para
a velocidade escalar média:
1ª) Se num determinado instante o movimento é progressivo, então v > 0
2ª) Se num determinado instante o movimento é retrógrado, então v < 0.

Observação:
Quando escrevemos "velocidade escalar" sem especificar se é média ou instantânea, por convenção
estamos nos referindo à velocidade escalar instantânea.

24_2
Matérias > Física > Mecânica > Cinemática > Movimento Uniforme: 24_1-2

Movimento Uniforme
Definição e Conceitos
Consideremos uma partícula em movimento. Diremos que esse movimento é uniforme se a velocidade
escalar for constante.

Equação Horária
Vamos fixar a nossa atenção sobre uma partícula em movimento uniforme, com velocidade escalar v.
Suponhamos que no instante t = 0 seu espaço seja so e num instante posterior t qualquer seu espaço seja s.

A velocidade escalar média nesse trecho é dada por:



Mas, como a velocidade escalar é constante, seu valor médio em qualquer intervalo de tempo coincide com
seu valor instantâneo:

Desta última igualdade obtemos:

Esta última equação é conhecida por equação horária do espaço para o movimento uniforme.

Matérias > Física > Mecânica > Cinemática > Movimento Uniforme: 24_2-2

Gráficos
A equação horária do espaço de um M.U. é s = so + vt, isto é, é uma equação do primeiro grau em s e t.
Portanto, o gráfico de s em função de t (s x t) é retilíneo.

Como a velocidade escalar é constante, o gráfico da velocidade em função do tempo é uma reta paralela ao
eixo dos tempos:

Em um M.U. a aceleração escalar é nula; portanto o gráfico da aceleração em função do tempo é:



25_4
Matérias > Física > Mecânica > Cinemática > Movimento Uniformemente Variado: 25_1-4

Movimento Uniformemente Variado
Definição e Conceito
Dizemos que um movimento é uniformemente variado quando a aceleração escalar é constante e diferente
de zero.

Equação do M.U.V.
Consideremos uma partícula em M.U.V. de aceleração escalar . No instante t = 0 a partícula tem espaço
so (espaço inicial) e velocidade escalar vo (velocidade inicial). Num instante posterior t qualquer a
partícula tem espaço s e velocidade escalar v.

Como a aceleração escalar é constante temos:

ou

Esta última equação é chamada de equação horária da velocidade escalar do M.U.V.
Para obter a equação horária do espaço é necessário aplicar a teoria das derivadas e integrais, que não faz
parte do programa do vestibular. Assim vamos apresentar essa equação sem demonstração:



As equações anteriores são suficientes para resolver qualquer problema de M.U.V. No entanto, em certos
casos, o problema é resolvido mais rapidamente usando uma equação, conhecida pelo nome de “Equação
de Torricelli”, que é obtida a partir das equações horárias do espaço e da velocidade escalares.

Generalizando:

Propriedade do M.U.V.
Entre dois instantes quaisquer ti e tf, vale a seguinte igualdade:


Movimentos Acelerado e Retardado
Dizemos que um movimento é acelerado quando o módulo da velocidade escalar aumenta com o tempo.
Dizemos que o movimento é retardado quando o módulo da velocidade diminui com o tempo.
movimento acelerado |v| aumenta
movimento retardado |v| diminui

Analisando os sinais de v e , concluímos que:

a) Num movimento acelerado, a velocidade escalar (v) e a aceleração escalar ( ) têm o mesmo sinal, isto
é, ou são ambas positivas ou ambas negativas;

b) Num movimento retardado a velocidade escalar (v) e a aceleração ( ) têm sinais contrários:
Resumindo:
Acelerado Retardado
Progressivo v>0e v>0e
Retrógrado v<0e v<0e
Regra prática

Na regra prática se a velocidade e a aceleração têm o mesmo sinal (< ou >), significa que o movimento é



acelerado, entretanto se os sinais da velocidade e aceleração são opostos, significa que o movimento é
retardado.
Aceleração Escalar Instantânea ( )


Aceleração Escalar Média ( )
Consideremos uma partícula que tem velocidade escalares vA e vB nos instantes tA e tB, respectivamente,
com tB > tA. Definimos a aceleração média ( ) entre os instantes tA e tB por:

Generalizando


Gráficos
Um movimento uniformemente variado possui aceleração escalar constante e diferente de zero. Portanto o
gráfico da aceleração escalar em função do tempo é uma reta paralela ao eixo t.

A equação horária da velocidade escalar é



, isto é, uma equação do primeiro grau em v e t. Portanto, o gráfico da velocidade escalar em função do
tempo é retilíneo.

A equação horária do espaço é do segundo grau em t :

Portanto o gráfico do espaço em função do tempo é parabólico.

O vértice da parábola corresponde ao instante (t1) em que a velocidade é nula.

PROPRIEDADES DOS GRÁFICOS
Gráfico da velocidade escalar em função do tempo
Dado um gráfico da velocidade escalar em função do tempo, a área da figura situada entre o gráfico e o
eixo dos tempos, é numericamente igual à variação de espaço



Gráfico da aceleração escalar em função do tempo
Dado um gráfico da aceleração escalar em função do tempo, a área da figura entre o gráfico e o eixo dos
tempos, é numericamente igual à variação de velocidade escalar

26_1
Matérias > Física > Mecânica > Cinemática > Movimento Vertical No Vácuo: 26_1-1

Movimento Vertical no Vácuo
Consideremos um corpo em movimento vertical nas proximidades da superfície da Terra sob a ação de
uma única força que é a sua força peso; estamos, portanto, supondo que não há resistência do ar, isto é,
estamos supondo que o movimento se dá no vácuo. A experiência mostra que esse movimento tem uma
aceleração aproximadamente constante, cujo módulo chama-se aceleração da gravidade e é representado
por g. O valor de g não depende do tamanho, forma ou massa do corpo.
O valor de g varia de ponto a ponto da Terra, mas o seu valor é próximo de 9,8 m/s².
Para estudarmos esse movimento usamos as equações do M.U.V. tomando o seguinte cuidado:
a) Se o eixo dos espaços for orientado para baixo, a aceleração é positiva: =+g
b) Se o eixo for orientado para cima, a aceleração é negativa: =-g



27_5
Matérias > Física > Mecânica > Cinemática > Vetores: 27_1-5

VETORES
Grandezas Escalares e Vetoriais
Há algumas grandezas que para ficarem caracterizadas necessitam
apenas de um número (e, naturalmente, a unidade usada). É o caso,
por exemplo, da temperatura, da massa, etc. Essas grandezas são
chamadas escalares. Porém há outras grandezas que necessitam de
uma informação adicional que nos dá a direção e o sentido da
grandeza. É o caso, por exemplo, da força. Quando aplicamos uma
força a um corpo (Fig.1), além do valor da força, desenhamos um
segmento orientado para dizer "para que lado" atua a força. As
grandezas que necessitam dessa informação geométrica são
denominadas grandezas vetoriais e os segmentos orientados usados
para representá-las são denominadas vetores. Para representar um vetor usamos uma letra com uma
pequena flecha em cima, como indicado na fig.1.
Nos casos mais elementares analisados até agora, a velocidade e a aceleração foram tratadas como
grandezas escalares. No entanto elas são grandezas vetoriais e assim devem ser consideradas, em casos
mais complexos, como veremos mais tarde.
Quando dois vetores são paralelos dizemos que eles têm a mesma direção. Se, além disso, eles apontarem
para o "mesmo lado", dizemos que têm o mesmo sentido; se apontarem para "lados opostos" dizemos que
têm sentidos opostos.
Suponhamos, por exemplo, o caso da Fig.2 onde as retas r, s e t são paralelas.
Podemos dizer que:
q os vetores e têm direções diferentes;
q os vetores e têm a mesma direção e o mesmo sentido;



q os vetores e têm a mesma direção mas sentidos opostos.
q os vetores e têm a mesma direção e o mesmo sentido; e
q os vetores e têm a mesma direção mas sentidos opostos.

O "tamanho" do vetor é proporcional ao valor da grandeza que está representando e esse valor, considerado
positivo (ou nulo), é chamado módulo do vetor. Para representar o módulo de um vetor usamos a
notação | |.

Quando uma grandeza tem o valor nulo, o vetor que a representa é o vetor nulo; representado por e cujo
módulo é nulo.
Dizemos que dois vetores são iguais quando, e somente quando, têm a mesma direção, o mesmo sentido e
o mesmo módulo.




Adição de Vetores

Na Fig. 3 representamos dois vetores não nulos e . Para obtermos a soma ( ) dos vetores podemos
efetuar uma translação em um dos vetores ( Fig. 4 ) de modo que a extremidade do primeiro coincida com
a origem do segundo. O vetor soma é obtido ligando-se a origem do primeiro à extremidade do segundo.

Para obtermos o módulo de usamos a lei dos cossenos:

| s |2 = | |2 + | |2 - 2 | |.| | . cos
Quando os vetores têm a mesma direção, temos uma situação mais simples, como ilustra a Fig. 5.

Se tivermos mais de dois vetores podemos usar o mesmo procedimento, como ilustra a Fig. 6.

O modo de obter a soma de vetores que acabamos de descrever é conhecido como regra do polígono. Há
porém um outro modo, que veremos adiante, conhecido como regra do paralelogramo.




Regra do Paralelogramo

Na Fig.7 representamos dois vetores e . Para obtermos sua soma pela regra do paralelogramo
transladamos um dos vetores de modo que tenham a mesma origem (Fig. 8). A seguir desenhamos o
segmento paralelo ao vetor e o segmento paralelo ao vetor , obtendo o paralelogramo XYZK. O
segmento orientado ( diagonal do paralelogramo )srepresenta a soma dos vetores.

Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo XYZ temos:

| |2=| |2 + | |2 - 2 | |.| | . cos
Como e são suplementares, temos cos = -cos . Assim , a equação acima pode ser escrita:

| |2 = | |2 + | |2 + 2 | |.| | . cos
Exemplo
Para os vetores representados na figura abaixo temos:

| |=4e| |=6

Determine o módulo da soma desses vetores.
Resolução

| |2 = | |2 + | |2 + 2 | |.| | . cos 60º



Lembrando que cos 60º =

| |2 = 42 + 62 + 2 ( 4 ) ( 6 ) ( )

| |2 = 16 + 36 + 24

| |2 = 76

| |= = =2 8,7
A soma de dois vetores é também chamada de resultante dos dois vetores.


Oposto de um vetor

Dado um vetor não nulo , o seu oposto é representado por - , e
tem as seguintes características (Fig. 9):
q mesma direção de
q mesmo módulo de
q sentido oposto ao de
O oposto do vetor nulo é ele mesmo:

- =
Subtração de vetores

Dados dois vetores e , a diferença entre e e é indicada
por:

= -
e é definida do seguinte modo:

= - = +(- )



isto é, a diferença entre e é igual à soma de com o oposto de .
Exemplo

Para os vetores representados abaixo, determine o vetor tal que = -

Resolução
Por definição temos:

= +(- )

Na figura abaixo respresentamos o vetor - e a seguir, pela regra do paralelogramo, determinamos a soma
de com - .

Multiplicação de um vetor por um número

Dado um vetor não nulo e um número real não nulo k, a multiplicação de k por resulta num vetor ,
indicado por

=k.
e tal que:
-1º ) | |=|k|.| |
-2º ) e têm a mesma direção

-3º)



Exemplo

Na figura abaixo representamos o vetor , o vetor tal que =2 e o vetor tal que = -3 .

Podemos observar que:

| |=2| |e| |=3| |

Se = ou k = 0 temos:
k. =


Decomposição de um vetor

Dado umvetor não nulo (Fig.10), como veremos mais tarde, pode ser vantajoso obter dois vetores
perpendiculares e (Fig. 11) tais que:
= +

Esse processo é chamado decomposição, dizemos que o vetor foi decomposto nos vetores e . Feita
a decomposição, o vetor é substituido pelo par de vetores e . (Fig. 12)



Considerando o triângulo sombreado na Fig. 11 temos:

Exemplo

Para o vetor representado abaixo temos | | = 5. Sabendo que sen = 0,8 e cos =0,6 , determine os
módulos dos vetores obtidos pela decomposição do vetor nas direções x e y.



Resolução

| |=| | . cos = ( 5 ) ( 0,6 ) = 3

| |=| | . sen = ( 5 ) ( 0,8 ) = 4

28_5
Matérias > Física > Mecânica > Cinemática > Cinemática Vetorial: 28_1-5
Cinemática Vetorial
Deslocamento
Se num certo intervalo de tempo, uma partícula vai de um ponto A para um ponto B, o deslocamento
vetorial dessa partícula é um vetor cuja origem é o ponto A e cuja extremidade é o ponto B (Fig.1),
qualquer que tenha sido a trajetória.



Observando a Fig. 1 vemos que o comprimento do arco é igual ao módulo da variação de espaço :

e observamos também que, nesse caso,

Porém, quando tivermos uma trajetória retilínea (Fig.2), teremos . Assim, em geral:


Velocidade Vetorial Média

Se, em um certo intervalo de tempo , uma partícula tem um deslocamento , sua velocidade vetorial
média nesse intervalo de tempo é, por definição, o vetor , dado por:

Como , os vetores e devem ter a mesma direção e o mesmo sentido (quando não nulos) como
ilustra a Fig. 3.



Vimos que a velocidade escalar média (vm) é dada por:

Assim, como , teremos:

Exemplo:
Uma partícula sai de um ponto A, dirige-se para um ponto B e em seguida vai até um ponto C, como ilustra
a figura, num intervalo de tempo = 2,0s.

Para esse intervalo de tempo, determine:
-a) o vetor deslocamento
-b) o velocidade vetorial média
-c) o módulo da variação de espaço
-d) o módulo da velocidade escalar média
Resolução:
A) O vetor deslocamento tem origem no ponto inicial (A) e extremidade no ponto final (C), como mostra a
figura ao lado.



Dessa figura temos:

mas:
Substituindo na equação acima:

B) A velocidade vetorial média é o vetor que tem a mesma direção e o mesmo sentido que , (como
mostra a figura) e tal que:

Assim:

C) Da figura tiramos que:

D)




Velocidade Vetorial Instantânea
Calculando a velocidade vetorial média para um intervalo de tempo tendendo a zero ( ) obtemos a
velocidade vetorial instantânea . Por meio da teoria dos limites pode-se demonstrar que a velocidade
vetorial instantânea é tangente à trajetória, como ilustra a Fig. 4. Sendo v a velocidade escalar instantânea,
pode-se mostrar também que:


Aceleração Vetorial Média

Se uma partícula tem velocidade vetorial instantânea num instante inicial ti e velocidade vetorial
instantânea num instante final tf, sua aceleração vetorial média ( ) nesse intervalo de tempo é, por
definição,

Exemplo:
Uma partícula move-se com velocidade escalar constante v = 8 m/s sobre uma circunferência, no sentido
horário, como ilustra a figura. Num determinado instante a partícula está no ponto A e depois de um
intervalo de tempo = 2 s, está no ponto B. Para esse intervalo de tempo, calcule a aceleração vetorial
média.



Resolução:
Na figura abaixo representamos as velocidades vetoriais instantâneas nos instantes inicial e final. Como
sabemos, esses vetores devem ser tangentes à trajetória. Os vetores e são diferentes pois têm direções
diferentes.

No entanto, como a velocidade escalar instantânea é constante, devemos ter:

Para calcular a aceleração vetorial média, calculamos primeiramente a variação da velocidade vetorial (
);

Na Fig. b representamos o vetor ( ). Por essa figura percebemos que:



Como , os vetores devem ter a mesma direção e o mesmo sentido como
ilustra a Fig. c.




Aceleração Vetorial Instantânea
Calculando-se a aceleração vetorial média para um intervalo de tempo tendendo a zero ( ) obtemos a
aceleração vetorial instantânea ( ). Pode-se demonstrar que essa aceleração pode ser calculada como
sendo a resultante de duas acelerações perpendiculares e m como ilustra a Fig. 5. A aceleração é
tangente à trajetória e por isso é chamada aceleração tangencial. Como é perpendicular (ou normal) a
, ela é chamada de aceleração normal.

Pode-se mostrar que o módulo de é igual ao módulo da aceleração escalar :

O cálculo de é, em geral, complexo, exigindo a aplicação da teoria das derivadas. No entanto, para o
caso particular em que a trajetória é circular (Fig. 6) é possível demonstrar que aponta para o centro (C)
da circunferência e seu módulo é dado por:

onde v é o módulo da velocidade instantânea e R é o raio da circunferência.

Pelo fato de a aceleração normal apontar para o centro da circunferência, ela é chamada também de
aceleração centrípeta.
A aceleração normal existe sempre que a trajetória for curva. Se a trajetória for retilínea, não haverá



aceleração normal, isto é, teremos .
Exemplo:
Uma partícula parte do repouso no instante t = 0 e move-se sobre uma circunferência de raio R = 12 m com
aceleração escalar constante . Para o instante t = 1,5 s calcule:
-a) o módulo da aceleração tangencial;
-b) o módulo da velocidade instantânea;
-c) o módulo da aceleração normal ; e
-d) o módulo da aceleração vetorial instantânea .
Resolução:

A) O módulo da aceleração tangencial é igual ao módulo da aceleração escalar :

B) Como a aceleração escalar é constante, temos um movimento uniformemente variado.
Portanto:

C)

D)

29_4



Matérias > Física > Mecânica > Cinemática > Composição de Movimentos: 29_1-4

Composição de movimentos
Movimentos de translação
Na fig. 1 representamos uma partícula P cuja velocidade em relação a um referencial R1 é .O
referencial R1 por sua vez tem uma velocidade em relação ao referencial R1.

A velocidade de P em relação a R2 é dada por (Fig. 2):

Exemplo 1

Sobre um rio há duas pontes cuja distância é d = 2000m. A velocidade do rio em relação às margens ( )
tem módulo vRM = 4,0 m/s. Um barco, cuja a velocidade em relação ao rio tem módulo vBR = 6,0 m/s,
parte de um ponto situado sob uma das pontes, sobe o rio até atingir a outra ponte e em seguida desce o rio
até voltar ao ponto sob a primeira ponte. Calcule:

a) o tempo de subida
b) o tempo de descida
Resolução
a) "Subir o rio" significa ir contra a correnteza (Fig. a). A



velocidade do barco em relação às margens é dada por (Fig.
b):

Em módulos temos:

b) "Descer o rio" significa ir a favor da correnteza (Fig. c). A
velocidade do barco em relação à margem ( ) é dada por (Fig.
d):

Em módulos temos:


Exemplo 2
Um rio retilínio tem margens paralelas sendo a largura do rio dada
por d = 200 m. A velocidade do rio em relação às margens tem
módulo dado por . Um barco sai de um ponto X
situado numa das margens e dirige-se à outra margem, mantendo seu
eixo perpendicular às margens e com velocidade em relação ao
rio, cujo módulo é . Sendo y o ponto atingido pelo
barco na margem oposta, determine:
-a) a velocidade do barco em relação às margens;
-b) o tempo de travessia;
-c) o deslocamento rio abaixo; e



-d) a distância entre os pontos X e Y.
Resolução
A) Um observador fixo na margem vê o barco mover-se com
velocidade como ilustra a figura ao lado:

Em módulos temos:

Portanto :

B) A velocidade do rio não afeta o tempo da travessia o qual pode ser calculado por:

C) Se não houvesse a correnteza o barco atingiria o ponto Z. A distância entre os pontos Z e Y pode ser
calculada por:

D) Podemos calcular a distância de dois modos. Um deles é aplicando o Teorema de Pitágoras ao
triângulo X Z Y :

Assim:

Um outro modo é:




Exemplo 3
Um rio retilíneo tem suas margens paralelas e separadas por uma
distância d = 180m. A velocidade do rio em relação às margens tem
módulo dado por . Um barco, cuja a velocidade em
relação ao rio tem módulo , parte de um ponto X em
uma das margens e atinge um ponto Y na outra margem, de modo
que o segmento XY é perpendicular às margens, como ilustra a
figura. Determine:
-a) a velocidade do barco em relação às margens; e
-b) o tempo de travessia.
Resolução
A) Para que o barco atinja o ponto y, sua velocidade em relação às
margens ( ) deve ser perpendicular a elas como indica a figura.
Para que isso ocorra, a velocidade do barco em relação ao rio ( )
deve ter direção inclinada em relação à correnteza, isto é, o eixo do
barco deve ter a direção do vetor representado na figura.
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo sombreado temos:

Daí tiramos:

O ângulo pode ser dado por:

B)




Consideremos o caso de uma roda que rola sem escorregar, sobre uma superfície plana S como ilustra a
Fig. 3. É o caso, por exemplo, das rodas de um automóvel em movimento, desde que as rodas não
derrapem. Esse movimento pode ser considerado como resultado da composição de dois movimentos:

-I ) movimento de rotação em torno do centro C (Fig.4)
-II ) movimento de translação com velocidade (Fig. 5)

Para um observador fixo em relação à superfície S, a velocidade
de cada ponto pode ser obtida pela superposição das figuras 4 e 5,
resultando na situação representada na Fig. 6, onde assinalamos
as velociadades dos pontos X, Y, Z e W. Observe que a
velocidade do ponto X é nula, o que já era de se esperar, pois
estamos supondo que a roda role sem escorregar. Temos então:

30_4



Matérias > Física > Mecânica > Cinemática > Lançamento Horizontal e Oblíquo: 30_1-4

Lançamento Horizontal e Oblíquo
Lançamento Oblíquo no Vácuo
No vácuo, ou em meios onde as resistências passivas podem ser desprezadas, o movimento de um projétil
pode ser decomposto em duas direções:
movimento horizontal - eixo x
movimento vertical - eixo y

Após o lançamento, o peso, na vertical é a única força agente, considerando constante, temos:
Componentes da Velocidade Inicial

= ângulo de lançamento ("ângulo de tiro")
Da figura temos:




Movimento Componente Horizontal

Na horizontal não há forças atuantes portanto:
I - O movimento é uniforme e retilíneo
II - a velocidade é constante, de módulo:

III - Sua equação horária é:


Movimento Componente Vertical



Na vertical atua a força-peso, portanto:
I - O movimento é uniformemente variado, retilíneo
II - a aceleração escalar constante vale:

III - A equação de sua velocidade escalar (Vy) é:

IV - Sua equação horária é:

(equação de um M.U.V.) ou seja:

V - Vale também a equação de Torricelli:




Propriedades do Movimento
1. No pico da trajetória, a velocidade vetorial tem direção horizontal e valor mínimo, diferente de zero. A
componente vertical é ZERO, nesse ponto.

2. O tempo total de subida é igual ao tempo de descida, e vale:

( Vy = 0)

(fazendo Vy = 0 na equação de Torricelli)

3. A altura máxima aumenta com o ângulo de tiro
(fixados Vo e g) e vale:

(fazendo Vy = 0 na equação deTorricelli)

4. O alcance horizontal, D, cresce com o ângulo de tiro, sendo máximo (Dmáx) a 45º fixados Vo e y.

É útil lembrar que o alcance, independentemente do valor do ângulo de tiro, é obtido fazendo-se o tempo



total igual a 2 vezes o tempo de subida.

5.Em qualquer instante, a velocidade vetorial é dada por:

O módulo de é dado por:

C. Lançamento Horizontal no vácuo
O lançamento horizontal pode ser encarado como sendo um caso particular de lançamento oblíquo.

31_7



Matérias > Física > Mecânica > Cinemática > Cinemática Angular: 31_1-7

CINEMÁTICA ANGULAR
Deslocamento Angular
Consideremos uma partícula movendo-se sobre uma circunferência de raio R, indo de um ponto A a um
ponto B.
O comprimento do arco é a variação de espaço s.
O ângulo central , oposto ao arco , é chamado deslocamento angular.
Quando este ângulo é medido em radianos temos:

s=R.( ) ou (I)

Exemplo
Uma partícula move-se sobre uma circunferência de raio R = 4,0 m indo do ponto A ao ponto B. Calcule o
deslocamento angular em radianos e a variação de espaço s.

Resolução



Assim:


Velocidade angular

Além da velocidade escalar média, dada por , podemos definir a velocidade angular média (

m) dada por:

(II)

Cuja unidade, no Sistema Internacional, é o radiano por segundo: rad/s.
Pela equação I temos: s = ( ) . R. Dividindo os dois membros por t:
(III)

A mesma relação vale para a velocidade escalar instantânea (v) e a velocidade angular instantânea ( ):
v = R (IV)

Exemplo

Sobre uma circunferência de raio R = 10 m, uma partícula descreve um arco de comprimento s = 30
m em um intervalo de tempo t = 2,0 s. Calcule, para esse intervalo de tempo:
A) a velocidade escalar média;
B) o deslocamento angular; e
C) a velocidade angular média.



Resolução

Poderíamos também ter usado a relação III:


Movimento Circular Uniforme (M C V)
Num movimento circular uniforme a velocidade escalar (v) e a velocidade angular ( ) são constantes.
Para esse movimento definimos período (T) e frequência (f).

Para N = 1 teremos t = T:

(V)

No Sistema Internacional, a unidade de tempo é o segundo (s) e a unidade de frequência é o hertz (Hz):
1 Hz = 1 hertz = 1 volta por segundo = 1 rotação por segundo = 1 rps.
Às vezes é usada também a unidade rpm (rotações por minuto).
Para um intervalo de tempo igual a um período ( t = T) teremos e . Assim:

Exemplo
Uma partícula tem movimento uniforme sobre uma circunferência de raio R = 10 m, com período T = 0,25



s. Calcule a frequência (f), a velocidade escalar (v) e a velocidade angular ( ) do movimento.

Resolução

Poderíamos também ter usado a equação IV:

Observação:
A velocidade escalar (v) é também chamada de velocidade linea ou velocidade tangencial.


Transmissão de movimento circular
Podemos transmitir um movimento circular por meio de uma correia (Fig. 2) ou pelo contato entre rodas
(Fig. 3); neste caso é costume usar rodas dentadas para evitar o deslizamento.

Para os dois casos, supondo que não haja deslizamento, os pontos da periferia da roda A têm a mesma
velocidade escalar que os pontos da periferia da roda B:
vA = vB
Exemplo
Duas rodas de raios RA = 12 cm e RB = 6 cm giram acopladas como indica a figura. Sabendo que a



frequência da roda A é fA = 40 Hz, calcule a frequência da roda B.

Resolução
Supondo que não haja deslizamento temos:
vA = vB

mas: . Assim:

vA = vB RA fA = RB fB

12 (40) = 6 (fB)

fB = 80 Hz


Equação horária do M C U
Consideremos uma partícula movendo-se sobre uma circunferência de raio R com velocidade angular
constante. Suponhamos que a partícula mova-se no sentido anti-horário, que adotaremos como positivo
(Fig. 4).

Adotemos o ponto O como origem dos espaços e o segmento CO como origem das posições angulares.
No instante inicial (t = 0) a partícula tem espaço inicial s0 e posição angular 0. No instante t a partícula



terá espaço s e posição angular .
Sendo um movimento uniforme sabemos que:
s = s0 + vt

Dividindo todos os termos por R:

= 0 + t (VIII)


Aceleração angular
Quando a velocidade angular varia podemos definir uma aceleração angular média ( m):

(lX)

No Sistema Internacional, a unidade da velocidade angular é rad/s e a de tempo é o segundo. Assim, a
unidade de aceleração angular é rad/s2.
Exemplo
Num intervalo de tempo t = 4,0 s, a velocidade angular de uma partícula varia de i = 3,0 rad/s para f =
9,0 rad/s. Para esse intervalo de tempo calcule a aceleração angular média.
Resolução

Quando a velocidade angular varia de maneira uniforme em relação ao tempo, a aceleração angular
instantânea ( ) coincide com a aceleração angular média ( m).

Podemos relacionar a aceleração angular ( ) com a aceleração escalar ( ). Sabemos que:

Assim:

(X)




Movimento Circular Uniformemente Variado ( M C U V )
Quando a aceleração angular é constante (e não nula) o movimento circular é chamado de uniformemente
variado. Nesse caso a aceleração escalar também será constante.
Para um movimento uniformemente variado (Fig. 5) sabemos que valem as equações:

(XI)

De modo análogo podemos demonstrar que:

(XII)

32_1



Matérias > Física > Mecânica > Dinâmica > Leis de Newton: 32_1-1

Leis de Newton
Massa e Peso
A massa de um corpo é a grandeza escalar e mede a inércia do corpo. No SI a unidade de massa é o
quilograma (kg).

O peso é medido em unidade de força.

PRIMEIRA LEI DE NEWTON
“Quando a resultante de todas as forças que agem em uma partícula é nula, a partícula permanece em
repouso (equilíbrio estático) ou em movimento retilíneo uniforme (equilíbrio dinâmico)”.

SEGUNDA LEI DE NEWTON

“A força resultante que age numa partícula é igual ao produto da massa da partícula pela aceleração
resultante “.

Para m = cte. e têm mesma direção e sentido.

Observação
1N = 1kg . 1m/s2
TERCEIRA LEI DE NEWTON

Quando um corpo (2) exerce uma força num corpo (1), este também exerce no corpo (2) uma força



de tal forma que as forças tenham:

-a) mesma intensidade = ;
-b) mesma direção (são paralelas);
-c) sentidos contrários.

=-

OBS. IMPORTANTE!
“A força de ação nunca anula a sua reação, pois atuam em corpos distintos”.
33_1
Matérias > Física > Mecânica > Dinâmica > Força de Atrito: 33_1-1

Força de Atrito
Atrito Estático
A força de atrito que impede um corpo de se movimentar, em relação ao plano de apoio é chamada força
de atrito estática ( ).

Como a intensidade da força de atrito depende da intensidade da força aplicada no bloco (vide figura
acima), o seu valor não é fixo, podendo variar de zero a um valor máximo. Neste último caso o corpo
estará na iminência de movimento. A força de atrito estático será chamada força de atrito estática máxima
( ) e sua intensidade dependerá da compressão normal.

O parâmetro é denominado coeficiente de atrito estático e depende das superfícies que estão em
contato
Atrito Cinético
A força de atrito que é aplicada num corpo, no sentido oposto ao seu movimento, pelo plano de apoio, é
chamada força de atrito cinética e sua intensidade, que também depende da compressão normal.



O parâmetro é denominado coeficiente de atrito cinético e depende das superfícies que estão em
contato.
34_1
Matérias > Física > Mecânica > Dinâmica > Força Elástica: 34_1-1

Força Elástica
Lei de Hooke
(Deformação Elástica)

| el| = K . x

x = deformação sofrida pela mola

= comprimento da mola relaxada

= comprimento final
K = constante elástica da mola

35_1



Matérias > Física > Mecânica > Dinâmica > Dinâmica dos Movimentos Curvos: 35_1-1

DINÂMICA DOS MOVIMENTOS CURVOS
Componentes da Força Resultante

A 2ª Lei de Newton afirma que

Como ( ) pode ser decomposta em duas componentes, ( ) conclui-se que:

é a componente tangencial da força resultante ou resultante tangencial.

é a componente centrípeta da força resultante ou resultante centrípeta.

A. Componente tangencial

Características:
provoca variação da intensidade da , ou seja, causa os movimentos variados;
tem a mesma direção da , ou seja, é tangente à trajetória;
tem o mesmo sentido da , quando o movimento é acelerado e tem sentido oposto ao da , quando o
movimento é retardado.
Sua intensidade é dada por

Onde a é a aceleração escalar e m é a massa da partícula.

B. Componente centrípeta

Características:
provoca a variação da direção da , ou seja, causa os movimentos curvilíneas;
tem direção perpendicular a da , ou seja, sua direção é radial.
tem sentido voltado para o centro da trajetória em cada instante.
sua intensidade é dada por:

Onde:
m = massa da partícula



v = módulo da velocidade vetorial instantânea
R = raio da trajetória no instante considerado.
36_2
Matérias > Física > Mecânica > Dinâmica > Trabalho e Potência: 36_1-2

Trabalho e Potência
TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA CONSTANTE

= F.d.cos (grandeza escalar)

= força constante (newton = N)

= vetor deslocamento (metro = m)

= ângulo entre e
No S.I. o trabalho é expresso em joules (J).
Diagrama Força Tangencial x Deslocamento
Esta propriedade permite o cálculo do trabalho realizado por forças constantes e variáveis. Neste gráfico a
força é analisada do ponto de vista escalar.

Trabalho Realizado Pela Força Peso ( p)

Qualquer que seja a trajetória entre os pontos A e B, tem-se que:

p =±P.h



de A para B (desce) p>0
de B para A (sobe) p<0

Matérias > Física > Mecânica > Dinâmica > Trabalho e Potência: 36_2-2

Potência - Definição
É a grandeza física que mede a rapidez com que a energia é transformada, transferida ou transportada por
um sistema.

no S.I. a potência é expressa em watts (W)

Para constante : PM = F.vM

A potência instantânea pode ser calculada por:
Potência = F. v
Onde v é a velocidade instantânea.
Outras unidades de potência:

Diagrama Potência X Tempo



Essa propriedade permite o cálculo do trabalho realizado por forças constantes e variáveis.
Energia Potencial
Energia Potencial Gravitacional

Ep.grav. = ± mgh

m = massa da partícula (kg)
g = aceleração da gravidade
h = diferença de nível (metro no S.I.)
Energia Potencial Elástica



k = constante elástica da mola (N/m ou N/cm)
x = deformação (m ou cm)
37_1
Matérias > Física > Mecânica > Dinâmica > Energia Cinética: 37_1-1

Energia Cinética
A energia cinética é uma forma de energia associada ao movimento: é grandeza expressa em joules no SI.

m = massa da partícula (kg no SI)
v = velocidade (m/s no SI)
Teorema da Energia Cinética (TEC)

res = total = Ecin

res = Ecin f - Ecin i

onde

res = F + N + FAT P + …

Este teorema permite o cálculo do trabalho realizado por forças constantes e variáveis.
Trabalho mede energia transferida.
38_1



Matérias > Física > Mecânica > Dinâmica > Energia Mecânica: 38_1-1

Energia Mecânica
A energia potencial gravitacional, a energia potencial elástica e a energia cinética são formas de energia
mecânica.
Ep.grav. = ± mgh

Conservação da Energia Mecânica
Sistemas conservativos
“Quando as únicas forças que realizam trabalho são as forças conservativas (força da gravidade, força
elástica ou outras), a energia mecânica total (Ec + Ep) permanece constante, ocorrendo apenas
transformações de energia cinética em potencial e vice-versa”.
Nos sistemas conservativos tem-se:
Ec + Ep = Emec. total = constante

Sistemas Dissipativos
Quando existe atrito, a energia mecânica não é conservada porque parte ou toda se dissipa na forma de
calor.
Conservação da Energia Total
“A energia pode transformar-se de uma forma para outra, não podendo ser criada ou destruída”
39_1



Matérias > Física > Mecânica > Dinâmica > Impulso e Quantidade de Movimento: 39_1-1

Impulso e Quantidade de Movimento

= força constante
= tempo de ação da força

é grandeza vetorial, no mesmo sentido que
Unidade no S.I. é N.s
Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento
“Quando a resultante das forças externas que atuam num sistema é nula, a quantidade de movimento total
desse sistema é constante”.

Quantidade de Movimento Linear ( )


= velocidade vetorial

= quantidade de movimento

Unidade no S.I. é kg.m/s

Quantidade de Movimento Linear ( )


= velocidade vetorial



= quantidade de movimento

Unidade no S.I. é kg.m/s
40_2
Matérias > Física > Mecânica > Dinâmica > Colisões Mecânicas: 40_1-2

Colisões Mecânicas
Definição
A colisão é composta de duas fases; deformação e restituição. Na fase de deformação a energia cinética do
sistema é convertida em energia potencial. Na fase de restituição ocorre o processo inverso.
Tipos de colisão
A parcela de energia cinética restituída determina o tipo de colisão; colisão perfeitamente elástica, colisão
parcialmente elástica e perfeitamente inelástica (anelástica).

Observação importante:
Independentemente do tipo de colisão realizada, a quantidade de movimento do sistema será conservada,
pois na colisão consideram-se as forças externas desprezíveis.

Matérias > Física > Mecânica > Dinâmica > Colisões Mecânicas: 40_2-2

Colisão Perfeitamente Elástica
Características
Energia Cinética do sistema se conserva
Ecfs = Ecis

O módulo da velocidade relativa de afastamento é igual ao da velocidade relativa de aproximação

A quantidade de movimento do sistema se conserva

Colisão Parcialmente Elástica
Características:
Não há restituição de toda a energia cinética do sistema
Ecfs < Ecis



O módulo da velocidade relativa de afastamento é menor do que o da velocidade relativa de aproximação


Colisão Inelástica
Características:
Os corpos ficam grudados após a colisão. Portanto, a velocidade relativa de afastamento é nula.

Não há restituição de toda a energia cinética do sistema
Ecfs < Ecis


Coeficiente de Restituição

onde é o módulo da velocidade relativa de afastamento (após a colisão) e éo

módulo da velocidade relativa de aproximação (antes da colisão).
Observações:
a. Colisão perfeitamente elástica --> e = 1
b. Colisão parcialmente elástica --> 0 < e < 1
c. Colisão inelástica --> e = 0

41_6
Matérias > Física > Mecânica > Dinâmica > Gravitação: 41_1-6

Gravitação
Os Movimentos dos Planetas
Na Grécia antiga, os primeiros filósofos propuseram modelos para explicar os movimentos dos corpos
celestes. O primeiro modelo que teve, na época, uma grande aceitação foi o modelo geocêntrico (Fig. 1)
assim chamado pois admitia que a Terra estaria no centro do Universo enquanto o Sol, a Lua e os planetas
(até então conhecidos) girariam em órbitas circulares ao redor da Terra. Porém, esse modelo não explicava
completamente as observações. Assim, Ptolomeu (100 DC – 165 DC) introduziu uma mudança nesse
modelo (Fig. 2). Nesse novo modelo a Terra continuava no centro do Universo enquanto cada planeta
girava em torno de um ponto o qual por sua vez tinha uma trajetória circular em torno da Terra.



O modelo de Ptolomeu prevaleceu até o Renascimento quando o polonês Nicolau Copérnico (1473 – 1543)
propôs um modelo heliocêntrico (Sol no centro) segundo o qual (Fig. 3) o Sol estaria no centro do
Universo, enquanto os planetas girariam, em órbitas circulares, em torno do Sol. Porém, esse modelo
também não explicava as observações. Assim, usando os dados coletados pelo dinamarquês Tycho Brahe
(1546 – 1601), o astrônomo alemão Johannes Kepler (1571 – 1630) concluiu que as trajetórias dos planetas
não eram circunferências mas sim elipses (Fig. 4 ).

Na época de Kepler só eram conhecidos 6 planetas. Mais tarde foram descobertos Urano, Neturno e Plutão
e, de acordo com os conhecimentos atuais o Sistema Solar é o representado na figura 5. As órbitas de
quase todos os planetas estão aproximadamente contidas num mesmo plano. A exceção é Plutão cuja órbita
está contida num plano inclinado de 17º em relação ao plano da órbita da Terra.




Leis de Kepler
Analisando cuidadosamente os dados coletados por Tycho Brahe, Kepler chegou a três leis sobre os
movimentos dos planetas.
Primeira lei de Kepler
Cada
planeta
gira em
torno do
Sol de
modo
que sua
trajetória
é uma
elípse,
estando
o Sol
num dos
focos da
elipse.



Segunda lei de Kepler
O segmento
que liga o
Sol a um
planeta varre
áreas
proporcionais
aos tempos
gastos para o
percurso.

Assim, por exemplo, no caso da Fig. 7, se o planeta gasta um tempo para percorrer o trecho X1Y1 e um
tempo para percorrer o trecho X2Y2, temos:

Observando a Fig. 7 percebemos que uma consequência dessa lei é que a velocidade do planeta não é
constante durante o seu percurso. Quanto mais perto do Sol, maior a velocidade do planeta e, à medida que
se afasta do Sol, sua velocidade diminui.
Terceira Lei de Kepler
Sendo T o período do movimento do planeta em torno do Sol e R o comprimento do semi – eixo maior da
trajetória, temos:



O comprimento do semi – eixo maior (R) é também chamado de distância média ao Sol.
Se a trajetória for circular, o valor de R é o raio da circunferência.
Mais tarde, pela aplicação da Lei de Newton ( que veremos adiante ), demonstrou-se que as leis de Kepler
valem para qualquer sistema onde existem corpos girando em torno de um corpo de massa muito maior,
como por exemplo no caso da Lua e dos satélites artificiais girando em torno da Terra.
Exemplo
A distância média da Terra ao Sol é dada por . Sabendo que a distância média de Marte ao
Sol é , calcule o tempo que Marte demora para dar uma volta em torno do Sol.
Resolução
Queremos determinar o período (TM) do movimento de Marte; o período do movimento da Terra é
conhecido:

Pela terceira lei de Kepler temos:

TM = 1,9
anos
terrestres




Lei da Gravitação Universal
Em 1687, em sua famosa obra "Princípios Matemáticos da Filosofia Natural" , Isaac Newton (1642 – 1727)
mostrou que as leis de Kepler podiam ser demonstradas admitindo que entre um par qualquer de partículas, de
massas m1 e m2 (Fig. 9 ), existe um par de forças de atração cujas intensidades são dadas por:

onde d é a distância entre as partículas e G é uma constante, denominada constante de gravitação universal e
cujo valor no Sistema Internacional de Unidades é:

Para calcular a força de atração entre corpos de tamanhos não desprezíveis devemos dividi-los em pequenos
corpúsculos, calcular a força de atração entre cada par e depois efetuar a soma. Esse processo em geral é
complexo, exigindo a aplicação do Cálculo Integral. No entanto há um caso particular demonstrado por
Newton:

Se os corpos
forem
esféricos e
homogêneos,
a força de
atração entre
eles pode ser
calculada
supondo
toda sua
massa
concentrada
no centro
(Fig. 10) e
usando a



distância
entre os
centros:

Exemplo
Duas pessoas, de massas M = 80 kg e m = 60 kg estão de pé, separados por uma distância
d = 3,0 metros. Calcule o valor aproximado das intensidades das forças de atração gravitacional que há entre
eles.

Resolução
Pela lei da gravitação de Newton temos:



F 3,5 . 10-8N
Como podemos observar, essa força tem intensidade muito pequena de modo que não a percebemos. Para que a
força gravitacional tenha intensidade perceptivel, pelo menos uma das massas deve ser "muito grande", como é
caso dos planetas.


Corpos em Órbita Circular
Consideremos um corpo de massa m girando em torno de um corpo de massa M de modo que M seja “
muito maior “ do que m ( M » m ). Desse modo podemos supor o corpo de maior massa como estando
praticamente em repouso e considerar apenas o movimento do corpo de massa menor. Supondo que a
trajetória seja circular de raio R (Fig. 11), a força de atração gravitacional fará o papel de uma força
centrípeta:

Como podemos observar, a velocidade do corpo de massa m não depende do valor dessa massa mas
apenas da massa do corpo central (M).
Exemplo
Um satélite artificial gira em torno da Terra, em órbita circular situada a uma altura h = 1600 km acima da
superfície da Terra. São dados:



Calcule o tempo que o satélite gasta para dar uma volta completa em torno da Terra.
Resolução
A órbita do satélite tem raio R dado por:
R = r + h = ( 6400 km ) + ( 1600 km ) = 8 000 km = 8,0.106 m

Na teoria vimos que:

O período do movimento do satélite é:


Campo Gravitacional
Consideremos um "pequeno" corpo de massa m situado a uma distância R do centro
da Terra, como mostra a Fig. 12.
A Terra exercerá sobre o corpo uma força de atração gravitacional cuja intensidade
é:

onde M é a massa da Terra. Supondo que essa seja a única força atuante no corpo,
pela Segunda lei de Newton teremos:



onde é a aceleração do corpo. Assim:

Essa aceleração é a aceleração da gravidade ( g ), também chamada de campo gravitacional.
Assim, temos:

Portanto vemos que a aceleração da gravidade diminui à medida que nos afastamos da Terra. Porém quando
consideramos uma região de pequena altura próximo à superfície da Terra, o valor de g pode ser considerado
aproximadamente constante dentro dessa região, sendo dado por
O cálculo que fizemos supõe a Terra como sendo esférica e homogênea o que não é verdade e assim, na
realidade, o valor de g próximo à superfície da Terra depende do ponto considerado.
A rotação da Terra afeta o valor medido de g, também chamado de
aceleração aparente da gravidade (ga). Para percebermos isso
consideremos, por exemplo, um corpo de massa m situado no equador (Fig.
13).

Esse corpo recebe da Terra uma força de atração gravitacional dada por:

Se colocarmos esse corpo na extremidade de um dinamômetro (Fig. 14) ele receberá do dinamômetro uma força
cuja intensidade é o peso aparente, sendo dado por:
PA = m . gA

Como o corpo está em movimento circular e uniforme, de velocidade angular , a resultante de éa
força centrípeta :



Assim:

Supondo a Terra esférica e homogênea, nos pólos a gravidade medida é o próprio g.


Energia Potencial
Pode-se demonstrar que a força gravitacional é conservativa e portanto podemos definir uma energia
potencial. Adotando referencial no infinito, isto é, considerando a energia potencial de um par de partículas
como sendo nula quando estiverem infinitamente afastadas, a energia potencial é dada por:

Velocidade de Escape
Chamamos de velocidade de escape de um planeta, a menor velocidade vE que devemos dar a um corpo
para que ele nunca mais volte ao planeta.
Suponhamos então um corpo de massa m lançando com velocidade inicial vi = vE a partir da superfície
de um planeta de raio R (Fig. 16 ).
Suponhamos que ele só atinja velocidade nula no infinito.



Temos então:

Pelo princípio da conservação da energia mecânica temos:

Portanto:

Exemplo
Sabendo que a massa e o raio da Terra são, respectivamente, M = 6,0.10 24 kg e R = 6, 4.106m, calcule a



velocidade de escape da Terra.
Resolução
Sabendo que G = 6,67.10-4 Nm2/kg2, temos, temos:

42_1
Matérias > Física > Mecânica > Dinâmica > Estática do Sólido: 42_1-1

Estática do Sólido
MOMENTO DE UMA FORÇA
Até agora estudamos a dinâmica dos movimentos de translação. A dinâmica dos movimentos de rotação só é
estudada em cursos de nível avançado pois exige conhecimentos de matemática que não fazem parte do curso de
nível médio. No entanto há um caso particular cujo estudo é simples: a estática de rotação, isto é, a condição
para que um corpo extenso não sofra rotação. Para isso precisamos introduzir o conceito de momento de uma
força.

Consideremos uma força atuando em um corpo, como ilustra a Fig. 1.

O momento de em relação a um ponto P qualquer é definido por:

onde F é o módulo da força e d é a distância do ponto P à reta suporte de (que é a reta r na figura). A escolha
do sinal depende da tendência de rotação produzida por . Em geral adota-se o sinal positivo quando a tendência
da força é produzir rotação no sentido anti-horário (Fig. 2) e negativo quando a tendência é produzir rotação no
sentido horário (Fig. 3).



No Sistema Internacional, a unidade de momento é o N.m que, dimensionalmente, é idêntica à unidade de
trabalho. No entanto, trabalho e momento são grandezas distintas.
Exemplo

Uma força de intensidade F = 20 N é aplicada a um corpo, como mostra a figura, de modo que a distância entre
um ponto P e a reta suporte da força é d = 3,0m.

A tendência de é produzir uma rotação do corpo no sentido anti-horário, em torno de P e, assim, o momento
será positivo:
MF = + F . d = (20 N) (3,0m) = + 60 N . m

Observações:
1ª - O ponto P é denominado pólo.
2ª - O momento é também chamado de torque.
Propriedade:
O momento de uma força depende, obviamente, do pólo escolhido. No entanto, temos a seguinte propriedade:

Consideramos n forças. .
Se MF1 + MF2 + ... MFn = 0

em relação a um pólo P, então a soma será também nula em relação a qualquer outro pólo.



43_7
Matérias > Física > Mecânica > Dinâmica > Hidrostática: 43_1-7

HIDROSTÁTICA
INTRODUÇÃO
Estudaremos neste capítulo a mecânica dos fluidos em repouso. Um fluido pode ser um líquido ou um gás.
Como os primeiros estudos foram feitos com a água, que em grego é “hydor”, esse estudo ficou chamado
de hidrostática, embora o nome mais adequado seja fluidostática.
As leis que explicam o comportamento mecânico dos fluidos utilizam dois conceitos: densidade e
pressão. Assim, começaremos definindo-os.
DENSIDADE E MASSA ESPECÍFICA
Dado um corpo de massa m e que ocupa um volume V , sua densidade é definida por :

No Sistema Internacional, a unidade de densidade é kg/m3. Porém, freqüentemente são usadas outras
unidades como, por exemplo, g/cm3, valendo:

1kg/m3
1g/cm3 = 103kg/m3 ou = 10-3
g/cm3

Se o corpo for maciço e constituído por uma única substância, a densidade pode ser chamada de massa
específica da substância. Na tabela abaixo damos alguns valores de densidade:

Sólidos d Líquidos d Gases d
(a 20oC) (g/cm3) (a 20oC) (g/cm3) (0oC, 1atm) (kg/m3)

Alumínio 2,7 Água (a 4oC) 1, 0 Oxigênio 1,429

Ferro 7,9 Mercúrio ( a 0oC) 13,6 Nitrogênio 1,251

Gelo (a 0oC) 0,92 Álcool Etílico 0,79 Gás Carbônico 1,977

Ouro 19,3 Gasolina 0,68 - 0,72 Hidrogênio 0,09

Exemplo:
Um corpo de densidade d = 4,0g/cm3 ocupa volume de 80cm3. Calcule a massa desse corpo.
Resolução:



m=
320g

Exemplo:
Transforme 1g/cm3 em kg/m3
Resolução:

Assim:

Sendo dA e dB as densidades de dois corpos, a densidade de A em relação a B é definida por:


PRESSÃO
Suponhamos que sobre uma superfície plana, de área A, atuem forças perpendiculares cuja resultante é
(Fig. 1). A pressão média sobre essa superfície é definida por:

No Sistema Internacional, a unidade de pressão é o pascal (Pa).

A pressão em um ponto é definida pelo limite da expressão anterior quando a área tende a zero:



Se a força se distribui uniformemente pela superfície, a pressão é a mesma em todos os pontos e coincide
com a pressão média.
Exemplo:
Numa região em que g = 10m/s2, uma pessoa de massa m = 60kg, está apoiada sobre os dois pés. Supondo
que a área de contato com o solo seja 150 cm2 para cada pé, calcule a pressão média exercida pela pessoa
sobre o solo.
Resolução:
Sabemos que 1cm = 10-2 m. Portanto: 1cm2 = 10-4 m2. Assim, a área de contato com o solo é:
A = 2 (150 cm2) = 300 cm2 = 300 . 10-4 m2 = 3,0 . 10-2 m2
A força exercida sobre o solo é igual ao peso da pessoa:

Portanto:


LEI DE STEVIN

Consideremos um líquido homogêneo, cuja densidade é d, em equilíbrio sob a ação da gravidade, sendo a
aceleração da gravidade. Sendo pA a pressão em um ponto A (Fig. 2) e pB a pressão em um ponto B, temos:



pB
=
pA
+
dgh

onde h é o desnível entre os dois pontos.
Exemplo:
Na figura abaixo representamos um ponto B situado a uma profundidade h = 3,0 metros em uma piscina
contendo água de densidade d = 1,0 . 103 kg/m3. Sabe-se que a pressão atmosférica vale 1,0 . 105 N/m2.
Sendo g = 10 m/s2 calcule a pressão no ponto B.

Resolução:
Sendo A um ponto da superfície da água, a pressão nesse ponto é a pressão exercida pela atmosfera:
PA = Patm = 1,0 . 105 N/m2.

Assim, pela Lei de Stevin, temos:
PB = PA + dgh = ( 1,0 . 105) + (1,0 . 103) (10) (3,0) =

=( 1,0 . 105) + (3,0 . 104) =
=( 1,0 . 105) + (0,3 . 105) = 1,3 . 105
PB = 1,3 . 105 N/m2 = 1,3 . 105 Pa




PRESSÃO ATMOSFÉRICA
O primeiro a medir a pressão atmosférica foi o matemático e físico italiano Evangelista Torricelli (1608 –
1647). Ele encheu com mercúrio um tubo de vidro de comprimento aproximadamente igual a 1 metro e
tampou-o (Fig. 3a). Em seguida ele inverteu o tubo, mergulhando-o em um recipiente que também
continha mercúrio (Fig. 3b). Ao destampar o tubo (Fig. 3c) a coluna de mercúrio desceu um pouco
estabilizando-se numa altura que, ao nível do mar, era 76cm.

Acima do ponto A há praticamente vácuo (na realidade há um pouco de vapor de mercúrio, mas sua
pressão pode ser desprezada) e assim, no ponto A a pressão é nula: PA = 0. A pressão no ponto B é a
pressão atmosférica. Aplicando a Lei de Stevin, temos:

Para o mercúrio temos d 13,6 . 103 kg/m3, sendo h = 76 cm = 0,76 m e supondo g 9,8 m/s2, temos:

Assim, ao nível do mar temos:

Essa é a pressão ao nível do mar. À medida que nos afastamos da superfície da Terra essa pressão vai
diminuindo.
Unidades de Pressão
A partir do experimento de Torricelli são definidas outras unidades de pressão:




VASOS COMUNICANTES
Na Fig. 5 representamos um tubo em forma de ( U ) contendo dois líquidos imiscíveis (que não se
misturam). A e B, em equilíbrio, sob a ação da gravidade. As pressões nos pontos x e y podem ser
calculadas pela Lei de Stevin.

Como os pontos x e y pertencem a um mesmo líquido e estão no mesmo nível temos px = py. Assim:

Se tivermos apenas um líquido ( Fig. 6) este deverá apresentar o mesmo nível nos dois lados, qualquer que
seja a forma do tubo.




PRINCÍPIO DE PASCAL
O matemático e físico francês Blaise Pascal (1623 – 1662) estabeleceu o seguinte princípio:
O acréscimo (ou diminuição) de pressão, produzido em um ponto de um líquido em equilíbrio, se
transmite integralmente para todos os pontos do líquido.

Como aplicação desse princípio temos o mecanismo hidráulico empregado em elevadores de automóveis
nos postos de gasolina (Fig.7).

Uma força de intensidade F1 aplicada em um pequeno pistão de área A1, produz uma pressão p que é
aplicada no pistão de área A2, que sustenta o automóvel.

Como , teremos . Desse modo, aplicando-se uma força de “pequena” intensidade no
pistão menor, obteremos uma força de ”grande” intensidade no pistão maior.




PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES
Quando um corpo está total (Fig. 8b) ou parcialmente (Fig. 8a) imerso em um fluido em equilíbrio, este
exerce sobre o corpo uma força , denominada empuxo, que tem as seguintes características:
1ª ) Sentido
oposto ao
peso do
corpo ;

2ª )
Intensidade
dada por E
= pF onde
pF é o peso
do fluido
deslocado.

Por fluido deslocado, entendemos o fluido que preenche o volume ocupado pelo corpo, abaixo da
superfície livre do fluido.

No caso da Fig. 8a o volume deslocado é o volume da região hachurada. No caso da Fig. 8b o volume
deslocado é o próprio volume do corpo.
Sendo dF a densidade do fluido, g a aceleração da gravidade e VF o volume de fluido deslocado, temos:

E = pF = mF . g = (dF . VF) . g



E
=
dF
.
VF
.g

O primeiro a conseguir calcular o empuxo foi o físico e matemático grego Arquimedes (298 aC. – 212 aC.)
Quando abandonamos um corpo totalmente submerso em um fluido (Fig.8b) temos:

Portanto:

Exemplo:
Um corpo de volume Vc = 0,60 m3 flutua na água de modo que a parte submersa tem volume 0,45 m3.
Sendo a densidade da água igual a 1,0 g/cm3, calcule a densidade do corpo.
Resolução:
O volume deslocado é igual ao volume da parte submersa.
VF = 0,45 m3

O empuxo ( ) tem intensidade dada por

E = dF . VF . g



Onde dF é a densidade do líquido que neste caso é a água.

O peso do corpo tem intensidade dada por:
pc = dc . Vc g

Como o corpo está em equilíbrio temos:
Pc = E dc .Vc. g = dF .VF . g

dc . Vc = dF . VF

dc (0,60) = (1,0) (0,45)


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