Pfc03
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Este documento apresenta o Princípio Fundamental da Contagem para r conjuntos. Ele afirma que o número de r-uplas ordenadas de elementos de r conjuntos é igual ao produto dos tamanhos dos conjuntos. A demonstração é feita por indução matemática, mostrando que se a fórmula é válida para r-1, então também é válida para r.
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- 1. Princípio Fundamental da Contagem Consideremos r conjuntos Seja 𝜃 = 𝐴1 × 𝐴2 × … × 𝐴 𝑟 Então o número de r-uplas ordenadas (sequências de r elementos) do tipo (𝑎𝑖1 , 𝑎𝑖2 , … , 𝑎𝑖 𝑟 ) ∈ 𝜃 Onde 𝑎𝑖1 ∈ 𝐴1, 𝑎𝑖2 ∈ 𝐴2, ... , 𝑎𝑖 𝑟 ∈ 𝐴 𝑟 é #𝜃 = 𝑛1 × 𝑛2 × … × 𝑛 𝑟 Demonstração: Se r =2 é imediato, pois caímos no PFC1 já visto. Suponhamos que a fórmula seja válida para o inteiro (r-1) e provemos que daí decorre que ela seja válida para o inteiro r. Para r-1 tomemos as sequências de r-1 elementos (𝑎𝑖1 , 𝑎𝑖2 , … , 𝑎𝑖 𝑟−1 ). Por hipótese de indução, existem 𝑛1 × 𝑛2 × … × 𝑛 𝑟−1 e 𝑛 𝑟 elementos pertencentes ao conjunto 𝐴 𝑟.
- 2. Cada sequência (𝑎𝑖1 , 𝑎𝑖2 , … , 𝑎𝑖 𝑟 ) consiste de uma sequência (𝑎𝑖1 , 𝑎𝑖2 , … , 𝑎𝑖 𝑟−1 ) e 𝑎𝑖 𝑟 ∈ 𝐴 𝑟. Portanto, pelo PFC1, o número de sequências do tipo (𝑎𝑖1 , 𝑎𝑖2 , … , 𝑎𝑖 𝑟 ) é ( 𝑛1 × 𝑛2 × … × 𝑛 𝑟−1). 𝑛 𝑟 = 𝑛1 × 𝑛2 × … × 𝑛 𝑟−1 × 𝑛 𝑟 Segue-se então que o teorema é válido ∀𝑟 ∈ 𝑁 𝑒 𝑟 ≥ 2.