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Probabilidade no conjunto e espaço de probabilidade
Recorda:
Seja um conjunto.
Designa-se por conjunto das partes de o conjunto formado pelos
subconjuntos de e representa-se por .
Exemplo:
O número de subconjuntos do conjunto é dado por.
Assim, .
Seja .
Conjunto das partes de

Seja um conjunto finito, não vazio. Uma função de domínio , e de valores não
negativos, é chamada uma probabilidade no conjunto se:
Definição:
 ;
 para , disjuntos (ou seja, ), .
No contexto da definição anterior, designa-se:
 o conjunto por espaço amostral ou universo dos resultados;
 o conjunto por espaço dos acontecimentos;
 os elementos de por acontecimentos;
 o terno por espaço de probabilidade.
Desta definição resulta que, é possível definir várias probabilidades
diferentes para o mesmo domínio .

Exemplo 1:
Considera o conjunto finito .
Para todo o , tem-se que é igual à soma das
probabilidades dos elementos pertencentes a .
Vamos definir a probabilidade para o domínio , tal que:
𝑃 (∅)=0
Assim, .
𝑃 ( 𝐸)=1
𝑃 ({2})=0,5
𝑃 ({4})=0,25
𝑃 ({6})=0,25
A função assim definida é uma probabilidade no conjunto e
é um espaço de probabilidade.

Exemplo 2:
Na experiência aleatória que consiste em lançar um dado
octaédrico equilibrado, numerado de a , e verificar a face
que fica voltada para baixo, tem-se que:
Para todo o , é igual à soma das probabilidades dos elementos pertencentes
a .
𝑃 ( 𝐸)=1
𝑃 ({1})=𝑃 ({2})=𝑃({3})=𝑃 ({4})=𝑃 ({5})=𝑃 ({6})=𝑃 ({7})=𝑃 ({8})
A função assim definida é uma probabilidade no conjunto e
é um espaço de probabilidade.
¿
1
8
𝐸={1,2,3,4,5,6,7,8}

Acontecimentos
Definições:
Dados um conjunto finito, não vazio, e uma probabilidade no conjunto ,
designa-se por:
Definições:
 acontecimento impossível o conjunto vazio;
 equiprováveis se tiverem a mesma probabilidade.
 acontecimento certo o conjunto .
 incompatíveis ou mutuamente exclusivos se forem disjuntos;
 complementares ou contrários se forem disjuntos e a respetiva união for
igual a ;
Dados um conjunto finito , não vazio, e uma probabilidade no conjunto , dois
acontecimentos designam-se por:
O acontecimento complementar ou contrário de representa-se por .

Acontecimentos
Exemplo:
Para todo o , tem-se que é igual à soma das probabilidades dos elementos
pertencentes a .
Seja a probabilidade definida para o domínio , tal que:
𝑃 (∅)=0
𝒫( 𝐸 )={∅ , {2 }, {4 }, {6 }, {2, 4}, {2 , 6}, {4 ,6 }, 𝐸 }
𝑃 ( 𝐸)=1𝑃 ({2})=0,3𝑃 ({4})=0,3𝑃 ({6})=0,4
Verifica-se que:
 é o acontecimento impossível;
 é o acontecimento certo;
 e são acontecimentos incompatíveis, dado que .
 e são acontecimentos contrários, pois e
.
 e são equiprováveis, pois .

Acontecimentos
Definição:
Dados um conjunto finito , não vazio, uma probabilidade no conjunto e um
acontecimento , designam-se por casos favoráveis a os elementos de e
por casos possíveis os elementos do espaço amostral .
Exemplo:
Sejam e .
 , e são os casos possíveis e ;
 e são os casos favoráveis a e , diz-se que é um acontecimento
composto;
 é o único caso favorável ao acontecimento e , diz-se que é um
acontecimento elementar.

Acontecimentos
Definição:
Dados um conjunto finito não vazio, e uma probabilidade no conjunto , um
acontecimento designa-se por elementar quando e por composto quando .

Lei de Laplace
Definição:
Seja um conjunto finito, não vazio.
A função de probabilidade de domínio definida por:
,
é designada por definição de Laplace.
¿ 𝐴
¿ 𝐸
Decorre naturalmente da definição de Laplace que os acontecimentos
elementares (acontecimentos constituídos por um só elemento) são
equiprováveis, com probabilidade igual a
1
¿ 𝐸
.

Exercício 1
Considera todos os números de quatro algarismos diferentes.
Sugestão de resolução:
Selecionando um deles ao acaso, qual é a probabilidade de ser ímpar?
2.º algarismo 3.º algarismo
9 9 8
× × ¿𝟒𝟓𝟑𝟔
4.º algarismo
7
×
1.º algarismo
𝟗
𝑨𝟑
O número de casos possíveis corresponde ao número de números
compostos por quatro algarismos diferentes.
Para cada uma das escolhas efetuadas, tem-se maneiras de escolher a
sequência dos três algarismos da classe das unidades.
Há nove escolhas para o algarismo das unidades de milhar (não pode ser ).
N.º de casos possíveis

Exercício 1
Sugestão de resolução (continuação):
Para determinar o número de casos favoráveis, basta ter em consideração
que um número ímpar termina em , , , ou .
Para cada uma das hipóteses anteriores, há oito escolhas para o algarismo
das unidades de milhar (não pode ser , nem o algarismo escolhido para as
unidades).
Assim, há cinco escolhas para o algarismo das unidades.
Por fim, para cada par de escolhas efetuadas, tem-se maneiras de escolher a
sequência dos dois algarismos do meio.
8 8 7
× ×
4.º algarismo
5
×
1.º algarismo

Exercício 1
8 8 7
× × ¿𝟐𝟐𝟒𝟎
4.º algarismo
5
×
1.º algarismo
𝟖
𝑨𝟐
N.º de casos favoráveis
Pela lei de Laplace, a probabilidade pedida é
2 240
4 536
¿
𝟒𝟎
𝟖𝟏.

Exercício 2
De um baralho de 52 cartas, selecionaram-se as cartas do naipe copas.
Destas, escolhem-se quatro cartas ao acaso e dispõem-se em fila numa
mesa.
2.ª carta 3. ª carta
13 12 11
× × ¿𝟏𝟕𝟏𝟔𝟎
4. ª carta
10
×
1.ª carta
𝟏𝟑
𝑨𝟒
a) A experiência aleatória consiste em escolher ordenadamente e sem
repetição quatro cartas de entre as treze cartas do naipe copas.
N.º de casos possíveis
a) Qual é a probabilidade de formar uma fila que comece com uma figura?
O número de casos possíveis é dado por .

Exercício 2
mesa.
a) Para determinar o número de casos favoráveis, basta ter em conta que a
1.ª carta da fila é uma figura. Assim, há três escolhas disponíveis.
a) Qual é a probabilidade de formar uma fila que comece com uma figura?
Para cada uma das escolhas efetuadas, tem-se maneiras de escolher a
sequência das três cartas.
2.ª carta 3. ª carta
3 12 11
× × ¿𝟑𝟗𝟔𝟎
4. ª carta
10
×
1.ª carta
𝟏𝟐
𝑨𝟑
N.º de casos favoráveis
A probabilidade pedida é .
3 960
17 160
¿
𝟑
𝟏𝟑

Exercício 2
mesa.
b) O número de casos possíveis é .
b) Qual é a probabilidade de formar uma fila que contenha as três figuras?
Em relação aos casos favoráveis, há formas de dispor as figuras “rei”,
“dama” e “valete” na fila de cartas.
Após dispor em fila as figuras do naipe copas, há cartas disponíveis para
colocar no único lugar da fila.
O número de casos favoráveis é , ou seja, há formas de arrumar as
quatro cartas em fila, sendo que a fila contém três figuras.
¿
240
17 160
24 ×10
17 160
¿
𝟐
𝟏𝟒𝟑

Exercício 3
Numa turma de alunos, rapazes e raparigas, vão escolher-se 6 alunos.
Assim, o número de casos possíveis é .
Qual a probabilidade do grupo escolhido ter rapazes e raparigas?
Para contabilizar todas as possibilidades de se escolherem seis alunos de
um grupo de basta calcular o número de combinações de , a .
Agora, para escolher os três rapazes temos maneiras distintas de o fazer e,
para escolher as raparigas, há formas diferentes.
Logo, resulta que o número de casos favoráveis ao acontecimento é
¿120×455 .
54 600
177 100
¿
𝟕𝟖
𝟐𝟓𝟑

Exercício 4
Seis amigos vão ao cinema e sentam-se numa fila de seis lugares. Supondo
que se sentam ao acaso, qual a probabilidade do casal, João e Rita (que
fazem parte do grupo), ficar junto?
O esquema seguinte sugere as várias formas do casal ocupar os lugares,
ficando o João (J) sentado à esquerda e a Rita (R) à direita:
São cinco possibilidades, mais outras
cinco, pois o João e a Rita podem trocar
entre si as posições.
___ ___ ___ ___ ___ ___
J R
___ ___ ___ ___ ___ ___
J R
___ ___ ___ ___ ___ ___
J R
___ ___ ___ ___ ___ ___
J R
___ ___ ___ ___ ___ ___
J R
O número de casos possíveis é o número de formas de permutar lugares
distintos, isto é, .

Para cada posição que o casal ocupa, os outros amigos têm maneiras de
ocupar os quatro lugares que ficam livres.
Exercício 4
Seis amigos vão ao cinema e sentam-se numa fila de seis lugares. Supondo
que se sentam ao acaso, qual a probabilidade do João e a Rita (que fazem
parte do grupo), ficarem juntos?
Assim, o acontecimento tem casos favoráveis.
____ ____ ____ ____ ____ ____
J R
opções opções opções opção
Pela lei de Laplace, a probabilidade pedida é .
240
720
¿
𝟏
𝟑

Seja o número de bolas pretas. Assim, o saco tem bolas.
Exercício 5
Um saco contém várias bolas indistinguíveis ao tato, das quais quatro são
brancas e as restantes são pretas. Retiraram-se simultaneamente e ao acaso
duas bolas desse saco.
4
𝐶1 × 𝑛
𝐶1
𝑛+4
𝐶2
=
20
69
A probabilidade de sair uma bola preta é .
20
69
Determina o número de bolas pretas.
Para resolver este problema, percorre as seguintes etapas:
 equaciona o problema;
 resolve a equação.
Tem-se que:
⟺
4 ×𝑛
(𝑛+4 ) ×(𝑛+3 )
2
=
20
69
⟺
8𝑛
𝑛
2
+7 𝑛+12
=
20
69

8𝑛
𝑛
2
+7 𝑛+12
=
20
69
Exercício 5 | Sugestão de resolução
⟺69 × 8𝑛=20×(𝑛2
+7𝑛+12)
⟺552𝑛=20𝑛2
+140𝑛+240
⟺20𝑛2
−412𝑛+240=0
⟺ 𝑛=
−(− 412) ± √(− 412)
2
− 4 × 20× 240
2 ×20
⟺𝑛=
412± √169744 −19200
4 0
⟺𝑛=
412±√150544
4 0
⟺ 𝑛=
4 12 ± 388
4 0
⟺ 𝑛=20 ∨ 𝑛=
3
5
Como , então .
Logo, o saco tem bolas pretas.

Propriedades das probabilidades
Teorema 1:
Sejam um conjunto finito, não vazio, uma probabilidade no conjunto e um
acontecimento :
Demonstração:
Como os acontecimentos e são contrários, então e .
Assim,
𝑃(𝐴∪ 𝐴)=𝑃(𝐴)+𝑃( 𝐴) (pela definição de probabilidade, porque )
⟺𝑃(𝐸)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐴) ()
⟺1=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐴) (pela definição de probabilidade, )
⟺𝑷( 𝑨)=𝟏−𝑷(𝑨)

Teorema 2:
Dados um conjunto finito, não vazio, e uma probabilidade no conjunto :
Demonstração:
𝑃 (∅)
¿ 𝑃 (𝐸)
¿1−𝑃 (𝐸)
¿1−1
¿0
Assim, resulta que .

Teorema 3:
Dados um conjunto finito, não vazio, , uma probabilidade no conjunto e dois
acontecimentos , :
Se , então .
Demonstração:
Se , então ,
onde .
Assim,
𝑃(𝐴∪(𝐵¿))=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵¿) (pela definição de probabilidade)
⟺𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵¿) ()
⟺𝑷(𝑩¿)=𝑷(𝑩)–𝑷(𝑨)

Corolário (Monotonia da probabilidade):
acontecimentos , :
Se , então .
Demonstração:
Se , então , isto é .
Dado que é uma probabilidade, .
Assim, .

Teorema 4:
Dados um conjunto finito, não vazio, , uma probabilidade no conjunto e um
acontecimento :
.
Seja qualquer.
 Por sua vez, dado que , pela monotonia da probabilidade, então , isto é, .
Logo, vem que .
Demonstração:
 Se é uma probabilidade, tem-se que é um número não negativo, isto é, .

Teorema 5:
acontecimentos , :
.
Demonstração:
Tem-se que ,
onde .
Assim,
𝑃((𝐴∩𝐵)∪(𝐴¿))=𝑃(𝐴∩𝐵)+𝑃(𝐴¿) (pela definição de probabilidade)
⟺𝑃(𝐴)=𝑃(𝐴∩𝐵)+𝑃(𝐴¿) ()
⟺𝑷(𝑨)=𝑷(𝑨∩𝑩)+𝑷(𝑨∩𝑩) ()

Teorema 6:
acontecimentos , :
.
Demonstração:
Tem-se que ,
onde , e são disjuntos dois a dois.
Pelo teorema anterior, sabe-se que:
⟺ 𝑃 ( 𝐴)=𝑃 ( 𝐴∩𝐵)+𝑃 ( 𝐴¿)
𝑃 ( 𝐴)=𝑃 ( 𝐴∩𝐵)+𝑃(𝐴∩𝐵)
⟺ 𝑃 (𝐵)=𝑃 ( 𝐴∩ 𝐵)+𝑃(𝐵¿)
𝑃 (𝐵)=𝑃 ( 𝐴∩𝐵)+𝑃(𝐵∩ 𝐴)
Adicionando, membro a membro, as últimas igualdades, tem-se:
𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)
¿ 𝑃 ( 𝐴∩𝐵)+ 𝑃( 𝐴¿)+𝑃 ( 𝐴∩𝐵)+𝑃 (𝐵¿)

Demonstração (continuação):
Desta forma, conclui-se que:
𝑃 (𝐴)+𝑃(𝐵)
¿ 𝑃 ( 𝐴∩𝐵)+ 𝑃( 𝐴¿)+𝑃 ( 𝐴∩ 𝐵)+𝑃 (𝐵¿)
⟺ 𝑃 ( 𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃 ( 𝐴∩𝐵)=𝑃 ( 𝐴¿)+𝑃( 𝐴∩ 𝐵)+𝑃 (𝐵¿)
𝑃 ( 𝐴∪ 𝐵)
.

Propriedades das probabilidades | Síntese
acontecimentos , :
𝑃 ( 𝐴 )=1 − 𝑃 ( 𝐴 )
𝑃 ( ∅ )= 0
 Se , então
 Se , então
𝑃 ( 𝐴 ) ∈ [ 0 , 1 ]
𝑃 ( 𝐴) = 𝑃 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) + 𝑃 ( 𝐴 ∩ 𝐵 )
𝑃 ( 𝐴 ∪ 𝐵)=𝑃 ( 𝐴 )+ 𝑃 ( 𝐵) − 𝑃 ( 𝐴 ∩ 𝐵 )

Exercício 6
Seja o espaço amostral associado a uma experiência aleatória.
Sejam e dois acontecimentos ( e ).
 ;
Sabe-se que:
 ;
 .
Calcula .
𝑃( 𝐴)=0 ,7
⟺𝑃(𝐴)=1−0,7
⟺𝑃(𝐴)=0,3
𝑃( 𝐴 ∩ 𝐵)
¿ 𝑃(𝐴∪𝐵)
¿1−𝑃(𝐴∪𝐵)
𝑃(𝐴∪𝐵)
¿𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)
¿0,3+0,6−0,4
¿1−0,5
Por fim,
𝑃 ( 𝐴 ∩ 𝐵)=1 − 𝑃 ( 𝐴 ∪ 𝐵)
¿𝟎,𝟓
¿0,5

Exercício 7
Dados um conjunto finito , uma probabilidade no conjunto e dois
acontecimentos possíveis e equiprováveis , tais que:
determina:
𝑃 ( 𝐴 ∩ 𝐵)=
𝑃(𝐴∪𝐵)=
5
6
e ,
a) ;
a) Como e são acontecimentos equiprováveis, tem-se que .
⟺
5
6
+
1
3
=2 𝑃 ( 𝐵)
5
6
=𝑃 ( 𝐵)+𝑃 ( 𝐵)−
1
3
⟺
5
6
+
2
6
=
12
6
𝑃 (𝐵)
⟺7=12 𝑃 (𝐵)
⟺ 𝑃 (𝐵)=
𝟕
𝟏𝟐
Dado que , faz-se:

Exercício 7
Dados um conjunto finito , uma probabilidade no conjunto e dois
acontecimentos possíveis e equiprováveis , tais que:
determina:
𝑃 ( 𝐴 ∩ 𝐵)=
𝑃(𝐴∪𝐵)=
5
6
e ,
b) .
b) ¿ 𝑃(𝐴∪𝐵)
¿1−𝑃(𝐴∪𝐵)
¿ 1 −
5
6
¿
𝟏
𝟔

Exercício 8
Dados um conjunto finito , não vazio, uma probabilidade no conjunto e dois
acontecimentos , , prova que:
(Teorema 1)
a) ;
b) ;
a) ¿𝑃 ( 𝐴∪𝐵)+1− 𝑃 (𝐴)
¿ 𝑃 ( 𝐴)+ 𝑃(𝐵)−𝑃 ( 𝐴∩ 𝐵)+1− 𝑃( 𝐴)
¿ 𝑃 ( 𝐵)+1 −(1 − 𝑃 ( 𝐴∩ 𝐵 ))
¿ 𝑃 ( 𝐵)+1 −1+ 𝑃 ( 𝐴∪ 𝐵)
¿ 𝑷 ( 𝑩) + 𝑷 ( 𝑨 ∪ 𝑩 )
(Teorema 6)
(Teorema 1)
(Leis de De Morgan)
b) ¿ 𝑃 (( 𝐴∩ 𝐵)∪ 𝐴)
( e são incompatíveis)
¿ 𝑃 (( 𝐴 ∪ 𝐴)∩(𝐵 ∪ 𝐴)) (Propriedade distributiva)
¿ 𝑃 (𝐸 ∩( 𝐵 ∪ 𝐴))
¿ 𝑷 ( 𝑩 ∪ 𝑨) ( é o elemento neutro da interseção)
( e são acontecimentos contrários)

Exercício 8
Dados um conjunto finito , não vazio, uma probabilidade no conjunto e dois
acontecimentos , , prova que:
(Leis de De Morgan)
c) ;
d) .
c) ¿𝑃 ( 𝐴∩𝐵)+𝑃( 𝐴∩𝐵)
¿ 𝑃 ( 𝐴∩ 𝐵)+1 − 𝑃 ( 𝐴∩ 𝐵)
¿ 𝟏
(Teorema 1)
d) ¿𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)+𝑃(𝐵) (Teorema 6)
¿𝑃(𝐴)+1−𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)+𝑃(𝐵)
¿ 𝑃 ( 𝐴)+1− 𝑃 ( 𝐴 ∩ 𝐵)
¿ 𝑃 ( 𝐴)+ 𝑃 ( 𝐴∩ 𝐵)
¿ 𝑃 ( 𝐴)+ 𝑃 ( 𝐴∪ ´
𝐵)
¿ 𝑷 ( 𝑨)+𝑷 ( 𝑨∪ 𝑩)
(Teorema 1)
(Teorema 1)
(Leis de De Morgan)

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