Equações do 2ºgrau, Função Polinomial do 1º e 2º grau, Semelhanças, Segmentos Proporcionais etc.
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O documento apresenta um resumo sobre equações de segundo grau. Define o que é uma equação de segundo grau e explica os conceitos de coeficientes, raízes, equações completas e incompletas. Apresenta exemplos e atividades sobre identificação de coeficientes e resolução de equações.
Equações do 2ºgrau, Função Polinomial do 1º e 2º grau, Semelhanças, Segmentos Proporcionais etc.
- 1. Escola municipal são José • Prof:Zaqueu Oliveira • Revisão geral
- 2. Equações do 2º Grau 2 ax + bx + c = 0, a ≠ 0
- 3. Definição: Denomina-se equação do 2º grau, na incógnita x, toda equação da forma: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0. Observe que: a representa o coeficiente de x²; b representa o coeficiente de x; c representa o termo independente. Exemplos: x2 - 5x + 6 = 0, onde a = 1, b = -5 e c = 6. 2 - x = 0, onde a = 7, b = -1 e c = 0. 7x x2 - 36 = 0, onde a = 1, b = 0 e c = -36.
- 4. Equações Completas do 2º Grau Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos: x² - 9x + 20 = 0, onde a = 1, b = -9 e c = 20. -x² + 10x - 16 = 0, onde a = -1, b = 10 e c = -16.
- 5. Equações Incompletas do 2º Grau Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda, quando ambos são iguais a zero. Equações da forma ax² +bx = 0, (c = 0) x² - 3x = 0, onde a = 1, b = -3. -2x² + 4x = 0, onde a = -2, b = 4. Equações da forma ax² +c = 0, (b = 0) 3x² - 2 = 0, onde a = 3, c = -2. x² + 5 = 0, onde a = 1, c = 5.
- 6. ATIVIDADE-1 1. Obtenha os coeficientes equações do 2 grau: a) 5x²-7x-3=0 a:5 b:-7 b) x²-4x +2=0 a:1 b:-4 c) x²-x-1=0 a:1 b:-1 d) 2x²+7x+8=0 a:2 b:7 e) x²-7x=0 a:1 b:-7 f) x²-25=0 a:1 b:0 das c:-3 c:2 c:-1 c:8 c:0 c:-25
- 7. 2. Forme as equações do 2° grau em x: • a=1; x²-6x+5=0 b=-6 ; c= 5 b) a=3; b=7 ; 3x²+7x+8=0 c= 8 c) a=8; 8x²=0 c=0 b=0 ; d) a=1; b=-3 ; x²-3x+4=0 c= 4
- 8. Resolução de Equações Incompletas Equações da forma: ax² +bx = 0, (c = 0) Equações da forma: ax² +c = 0, (b = 0) De modo geral, a equação do tipo ax² +bx = 0 tem para soluções: De modo geral, a equação do tipo ax² +c = 0: x=0 e x=-b a possui duas raízes reais se: - c for um nº positivo a não possui raiz real se: - c for um nº negativo a
- 9. ATIVIDADE-2 1.Determine o conjunto verdade das equações: x²-7x = 0 Δ=b²-4.a.c x=7+7=14/2=7 Δ=7²-4.1.0 Δ=49 x=7-7=0/2=0 b) 3x²-6x = 0 Δ=b²-4.a.c Δ=-6²-4.3.0 Δ=36 x=6+6=12/6=2 x=6-6=0/2=0 Δ=b²-4.a.c Δ=5²-4.1.0 Δ=25 x=-5+5=0/2=0 x=-5-5=-10/2=-5 c) x² +5x = 0
- 10. 2.Determine o conjunto verdade das equações: X² - 49 = 0 a=1 Δ=0²-4.1.49 x=14/2=7 Δ=196 2x² -32 = 0 Δ=0²-4.2.32 x=16/4 =4 Δ= 0+256 Δ=256 5x² - 20 = 0 Δ=0²-4.5.-20 Δ=400 x= 0+20=20/10=2
- 11. Composição de uma Equação do 2º Grau, Conhecidas as Raízes Considere a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0. Dividindo todos os termos por a, a ≠ 0, obtemos: ax2 + bx + c = 0 a a a x2 + bx + c = 0 a a Como: S = x’+ x” = -b e P = x’. x” = c a a Podemos escrever a equação desta maneira: x2 - Sx + P = 0
- 12. Exercício sobre Composição Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7. Solução: A soma das raízes corresponde a: S = x1 + x2 = -2 + 7 = 5 O produto das raízes corresponde a: P = x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14 A equação é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S = 5 e P = -14. Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.
- 13. ATIVIDADE – 4 Componha a equação do 2º grau cujas raízes são: • • • • • • • • • • • • 5 e2 R=x²-sx+p=0 x²-7x+10=0 -2 e -3 R= x²-sx+p=0 x²+5x-6=0 4 e -5 R=x²-sx+p=0 x²+1x - 20=0 => x² + x – 20 = 0 -5 e 5 R= x² -sx+p=0 x²-25=0
- 14. Representação gráfica de função 1º grau
- 15. Função de 1º grau é toda função do tipo y = f(x) = ax + b Em que a e b são constantes reais, com a ≠ 0. Se b = 0, temos a função y = f(x) = ax, chamada, também, função linear.
- 16. Características da função de 1º grau y = f(x) = ax + b. • A fórmula que a define é um polinômio de 1º grau; seu termo independente pode ser nulo ou não. • Se b = 0, temos a função f(x) = ax, chamada de função linear. • A constante real a, não-nula, é o coeficiente angular. Ela é a mesma, qualquer que seja o intervalo considerado.
- 17. Características da função de 1º grau y = f(x) = ax + b. • A constante real b é o coeficiente linear. • Seu gráfico cartesiano é uma linha reta, não paralela aos eixos. Ela pode conter a origem (caso b = 0) ou não conter origem (caso b ≠ 0). • O crescimento ou o decrescimento da função estão relacionados com o sinal de a. A reta é ascendente para a > 0 e descendente para a < 0.
- 18. Crescimento e decrescimento. a > 0 ⇒ função crescente ⇒ reta ascendente (sobe da esquerda p/ direita) a < 0 ⇒ função decrescente ⇒ reta descendente (desce da esquerda p/ direita)
- 19. • Exemplos Veja o gráficos das funções y = x; y = 2x e y = x/2. y a>0 y = 2x 5 y=x 4 3 y = x/2 2 1 x –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 1 2 3 4 5
- 20. Exemplos • Veja o gráficos das funções y = –x; y = –2x e y = –x/2 em que y a<0 5 4 3 2 1 x –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –1 –2 y = –x/2 –3 –4 y = –x –5 y = –2x
- 21. A temperatura de uma substância é 30 ºC. Sua temperatura varia com o tempo de maneira uniforme, aumentando 10 ºC por minuto. Veja as temperaturas da substância, medidas minuto a minuto. t(min) 0 1 2 3 4 5 T(oC) 30 40 50 60 70 80 A taxa de variação da temperatura é positiva (10 oC/min). Após t minutos, a temperatura T da substância em oC é, T = 30 + 10.t
- 22. Veja o gráfico cartesiano da função T(oC) t(min) T(oC) 0 30 1 40 2 50 3 60 4 70 5 80 80 60 40 20 t(min) T = 30 + 10.t 0 1 2 3 4 5
- 23. A temperatura de uma substância é 30 ºC Sua temperatura varia com o tempo de maneira uniforme, diminuindo 10 ºC por minuto. Veja as temperaturas da substância, medidas minuto a minuto. t(min) 0 1 2 3 4 5 T(oC) 30 20 10 0 –10 – 20 A taxa de variação da temperatura é negativa (10 oC/min). Após t minutos, a temperatura T da substância em oC é, T = 30 – 10.t
- 24. Veja o gráfico cartesiano da função T(oC) t(min) T(oC) 0 30 1 20 2 10 3 0 4 –10 5 60 –20 40 20 t(min) 0 –20 T = 30 – 10.t –40 1 2 3 4 5
- 26. Definição Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. Vejamos alguns exemplos de função quadráticas: f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0 f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0
- 27. Pontos notáveis da parábola Os pontos de interseção com o eixo Ox (se existirem) Para resolvê-la, utilizamos a fórmula de Bhaskara : x= em que, 2 Se > 0 , temos duas reízes reais distintas. Se < 0 , não temos raízes reais. Se = 0 , temos duas raízes reais e iguais.
- 28. > 0 a>0 a<0 = 0 a>0 a<0 < 0 a>0 a<0
- 29. Raízes ou zeros da função • Denominam-se zeros ou raízes de uma função de 2° grau os valores de x que anulam a função, ou seja, que tornam f(x)=0 • As raízes da função nada mais é onde a parábola corta no eixo do x.
- 30. Vértice da parábola Vértice da parábola V (Xv, Yv) Xv = Yv =
- 31. Raízes ou zeros da função • Denominam-se zeros ou raízes de uma função de 2° grau os valores de x que anulam a função, ou seja, que tornam f(x)=0 • As raízes da função nada mais é onde a parábola corta no eixo do x.
- 32. Valor mínimo da função • Mínimo : • Se a > 0, yv = é o valor mínimo da função Im= {y Є IR / y ≥ }
- 33. Valor máximo da função • Máximo: • Se a < 0, yv = é o valor máximo da função Im= {y Є IR / y ≤ }
- 34. EXEMPLO: Estudar o sinal da função f(x)= x2 - 5x + 6. x2 - 5x + 6 = 0 (determina-se a raiz da função) (marcam-se as raízes em uma reta e analisa-se a concavidade da parábola) (faz-se o estudo do sinal) f(x) > 0, para x<2 ou x>3 f(x)=0, para x=2 ou x=3 f(x) < 0, para 2 < x < 3
- 35. Gráficos • O gráfico das Funções Quadráticas: • O gráfico de uma função quadrática, f(x)=ax2+bx+c, com a diferente de 0, é uma curva chamada parábola. Ao construir um gráfico de uma função quadrática f(x)=ax2+bx+c, notaremos sempre que: • a>0, a parábola tem a concavidade voltada para cima (U) • a<0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo
- 36. Y = X2 + X x -3 -2 -1 y 6 2 0 0 1 2 0 2 6
- 37. 1.RAZÃO Arazão de dois números a e b, com b 0, é o quociente do primeiro pelo segundo: OBSERVAÇÃO: Apalavra razão vem do latim ratio, que significa divisão. Exemplos
- 38. 2.RAZÃO DE DOIS SEGMENTOS Chamamos razão de dois segmentos a razão ou quociente entre os números que exprimem as medidas desses segmentos, tomados na mesma unidade. Exemplos: Determinar a razão entre os segmentos AB e CD, sendo AB = 6 cm e CD = 12 cm.(Lembre-se :AB representa a medida do segmento AB.)
- 39. Exemplos: 1) Verifique se os segmentosAB =4 cm, CD = 6 cm, EF = 8 cm e GH = 12 cm formam, nessa ordem, uma proporção. Podemos afirmar que os segmentos, nessa ordem, são proporcionais.
- 40. 3.SEGMENTOS PROPORCIONAIS Dizemos que quatro segmentos, AB, CD, EF e GH, nessa ordem, são proporcionais, quando a razão entre os dois primeiros for igual à razão entre os dois últimos, ou seja:AB, CD, EF e GH são, nessa ordem, proporcionais se, e somente se:
- 41. 2) Verifique se os segmentos AB = 7 cm, CD = 10cm, EF = 12 cm e GH = 5 cm formam, nessa ordem, uma proporção. Podemos afirmar que os segmentos, nessa ordem, não são proporcionais.
- 42. 3) Quatro segmentos AB, MN, PQ e RS, nesta ordem, são proporcionais. SeAB=5 cm, MN= 15 cm e PQ= 4 cm, qual a medida de RS? 5x = 60 x= 12
- 43. Que tal você tentar resolver o Problema abaixo usando a relação Entre as alturas propostas por Tales 1) (Saresp) Um prédio projeta uma sombra de 40 m ao mesmo tempo que um poste de 2 m projeta uma sombra de 5 m. Então, a altura do prédio é A) B) C) D) 10 m. 12 m. 14 m. 16 m.