Sist cont i_conf3_2014

SISTEMAS DE CONTROLE ISISTEMAS DE CONTROLE I
Dr. Miguel A. Rodríguez Borroto
Escola Superior de Tecnologia (EST)
Universidade do Estado de amazonas (UEA)
e-mail: mrb1940@gmail.com

SISTEMAS DE CONTROLE ISISTEMAS DE CONTROLE I
CONFERENCIA 3CONFERENCIA 3
Modelagem Matemático da DinâmicaModelagem Matemático da Dinâmica
de Sistemas (Segunda parte):de Sistemas (Segunda parte):
Modelagem de sistemas deModelagem de sistemas de
controle no espaço de estado.controle no espaço de estado.

ConteúdoConteúdo
• Introduçao à teroria moderna do controle.
• Modelagem de sistemas de controle no
espacio de estados.
• Conceitos, equações de estado.
• Correlação entre FT e equações de
estados.
Bibliografia: Ogata, K. Engenahria De controle moderna,
5ta edição, Cap2, Pags. 58-65.

OBJETIVOSOBJETIVOS
•Familiarizar-se com os conceptos de estado,
variáveis de estado (VE) e equações de estado (EE).
•Conhecer a correlação que existe entre função de
transferência (FT) e equações de estado.
•Conhecer a representação matricial das equações
de estado.
•Determinar o modelo de estado de sistemas físicos
típicos.

Teoria de controle ModernoTeoria de controle Moderno
A tendências atual dos sistemas de engenharia é no sentido
de aumentar sua complexidade em função, da
necessidades de realizar tarefas complexas e com
requisitos de boa precisão.
Sistemas complexos podem ter muitas entradas e muitas
saídas e podem ser variantes no tempo.
A necessidade de satisfazer requisitos cada vez mais
rigoroso quanto ao desempenho de sistemas de controle,
o aumento de complexidade dos sistemas e a facilidade de
acesso aos computadores de grande porte ensejaram o
desenvolvimento da teoria de controle moderna, iniciada
desde 1960 como uma nova forma de analisar e projetar
sistemas complexos.

Esta nova abordagem é baseada no conceito de variáveis
e equações de estado.
Então, a toda a estruturação da teoria de controle, apoiada
neste concepto, é o que se chama teoria de controle
moderno.
Mas este conceito no é novo, tem existência há longo
tempo no campo da dinâmica clássica.

Realmente, o procedimento de encontrar e escrever as
equações de estado de um sistema físico, no é mais que o
procedimento de descrever a equação diferencial que define
seu desempenho em sua forma normal.
O qual não é mais que, a representação da equação
diferencial em termos de suas derivadas de distintos
ordenes.
Por exemplo: Seja o sistema cuja dinâmica é descrita pela
seguinte equação diferencial de segunda ordem:
y by cy u( t )+ + =&& &

Este sistema em sua forma normal torna-se como:
O qual, como veremos mais adiante é a
representação de nosso sistema em equações e
variáveis de estado.
= 
→
= 
= =
→ 
= = − − + = − − +
1
2
1 2
2 2 1
x y
x y
x y x
x y ay by u( t ) ax bx u( t )
&
& &
& && &

Teoria de controle moderno versus teoria deTeoria de controle moderno versus teoria de
controle convencionalcontrole convencional
A teoria de controle moderno contrasta com a teoria de
controle convencional no sentido de que a primeira é
aplicável a sistemas com entradas e saídas múltiples, lineares
ou não-lineares ou invariantes no tempo, em quanto a
segunda é aplicável só a sistemas mono-variável.
Alem disso, a teoria de controle moderno é uma abordagem
baseada somente no domínio do tempo, em quanto a teoria
convencional adota um enfoque no domínio da freqüência
complexa.

Conceitos fundamentais de Teoria de controleConceitos fundamentais de Teoria de controle
modernomoderno
Concepto de Estado:Concepto de Estado:
O estado de um sistema dinâmico é o menor
número de variáveis (variáveis de estado) de modo
que o conhecimento de seus valores em
t = t0, junto como o conhecimento dos valores do
sinal de entrada para t ≥ 0, se pode determinar
totalmente o comportamento do sistema em
qualquer instante t ≥ t0.
O conceito de estado não está limitado somente
aos sistemas físicos; se aplica também ao
sistemas biológicos, econômicos, sociais, etc.

Variáveis de estado:Variáveis de estado: É o menor conjunto de
variáveis que determina o estado do sistema
dinâmico.
Se forem necessárias pelo menos n variáveis x1,
x2, . . . ,xn, para descrever o comportamento de um
sistema (de
modo que conhecidos os valores de entrada em t ≥ t0 e
especificado o estado inicial em t = t0, o estado futuro do
sistema esteja completamente determinado), então tais n
variáveis dizem-se as variáveis de estado desse sistema.
modernomoderno

Vetor de EstadoVetor de Estado
• Se n variáveis de estado são necessárias para
descrever completamente o comportamento de
um sistema, então estas n variáveis de estado
podem ser consideradas as componentes de um
vetor x no espaço n-dimensional. Um tal vetor é
chamado vetor de estado.
• Portanto, um vetor de estado é um vetor que
determina o estado x(t) do sistema para qualquer
instante t ≥ t0, uma vez conhecido o estado em t =
t0 e uma função de entrada u(t) também para todo t ≥ t0.
modernomoderno

Espaço de estadoEspaço de estado
É o espaço n-dimensional cujos eixos
coordenados consistem dos eixos x1,
x2,. . ., xn.
Qualquer estado particular num instante
t=to pode ser representado por um ponto
no espaço de estado.
modernomoderno

Equações de estadoEquações de estado
• A analise no espaço de estado envolve três tipos de
variáveis na modelagem de sistemas dinâmicos:
variáveis de entrada,variáveis de saída e variáveis de
estado.
• As equações de estado são as que relacionam as
variáveis de estado e as entradas e saídas do sistema
para definir seu comportamento dinâmico no tempo.
• A representação de um sistema em variáveis de
estado não é única, exceto que o número de variáveis
de estado sim é o mesmo para qualquer das diferentes
representações do sistema.
modernomoderno

Representação por espaço de estadosRepresentação por espaço de estados
Seja a seguinte equação diferencial, de orem n, no tempo
que define o comportamento dinâmico de um sistema:
(1)
Podemos definir um conjunto de variáveis que poderiam
ser escolhidas em relação direta com as derivadas do
sistema:
(2)
−
−+ + + + =
( n ) ( n 1 )
1 n 1 ny a y a y a y u&L

Assim a equação (1), pode ser reescrita como a seguir:
(3)
Matematicamente, o sistema (3) se diz que é a
decomposição normal do equação (1) como já falamos.

As quais são conhecidas como equações de estado do
sistema.
Portanto, a equação diferencial de ordem n fica
transformada num conjunto de n equações diferenciais
de primeiro ordem.
Logo, podemos organizar elas em forma de equação
matricial:
(4)
Onde:
A matriz A de ordem (n,n) é a matriz de coeficientes
ligados as variáveis de estado do sistema.
BuAxx +=&

B (n,r) é a matriz de coeficientes do sinal de entrada;
onde, r é o numero de variáveis de entrada.
Na saída teremos a variável y:
Conhecida como Equação de saída.
(5)

Podendo ser escrita matricialmente como a seguir:
(6)
Onde:
A matriz C de ordem (1,n) é a matriz de coeficientes
ligados as variáveis de estado do sistema.
A matriz D de ordem (1,r) é a matriz de coeficientes do
sinal de entrada.
DuCxy +=

Podemos então escrever finalmente (4) como segui:
(7)
E a equação de saída (6) torna-se como segui:
(8)
u*
1
0
0
x
x
x
*
aaa
0
0100
0010
x
x
x
n
2
1
12n1nn
2
1












=
























−−−
=












−−









[ ] [ ] u*D
x
x
x
*001y
n
2
1
+












=



Se a saída não depende do sinal de entrada u, então D=0
(matriz nula).
Nesse caso uma realização destas equações é o diagrama
de bloco que se mostra na figura seguinte:
Fig. 1

Observe-se que a função de transferência:
é dada também pelas equações (4) até (6) com D = 0.
Agora considere-se o caso mais geral admitindo que o
sistema é multivariáveis (múltiples entradas e múltiples
saídas) envolva n integradores.
Suponha-se também, que haja r sinais de entrada u1,
u2,,. . . ,ur e m sinais de saída y1, y2,. . ., ym.

Definam-se as n variáveis de saída dos integradores
como as variáveis de estado x1, x2,. . .,xn.
O sistema pode então ser descrito como:
(9)

Os valores das saídas do sistema estão dadas por:
(10)

Definindo-se:
(11)

Então as equações (9) e (10) podem-se escrever como:
(12)
(13)
Se as equações anteriores são linearizadas, então resulta
o sistema linear em notação matricial seguinte:
(14)
(15)

Onde igualmente que em o caso anterior:
A(t): Matriz de estado de ordem (n,n)
B(t): Matriz de entrada de ordem (n,r)
C(t): Matriz de saída de ordem (m,n)
D(t): Matriz de transmissão direta de ordem
(m,r)

Representação no diagrama de blocoRepresentação no diagrama de bloco
As equações (14) e (15) se representam em bloco como
segui (Fig. 2).
Fig. 2

Exemplo 1Exemplo 1
Considere o sistema mecânico indicado na Fig. 3
seguinte:
Fig. 3

Exemplo 1:Exemplo 1: Sistema massa, mola,Sistema massa, mola,
amortecedor:amortecedor:
Plantando o principio de conservação da energia, através
do balance de forças no sistema se tem o seguinte
modelo:
(16)
Trata-se de um sistema simples entrada - simples saída
de segunda ordem, o qual não implica que o sistema tem
dois integradores:
Definem-se as variáveis de estado x1(t) e x2(t) como
segui:
(17)

Exemplo 1Exemplo 1
Resulta então:
(18)
Ou
(19)

Exemplo 1Exemplo 1
A equação de saída é:
(20)
Em notação matricial se tem:
(21)

Exemplo 1Exemplo 1
E a equação de saída fica como:
(22)
As equações do sistema estão agora padronizadas:
(23)

Correlação entre variáveis de estado e funçãoCorrelação entre variáveis de estado e função
de transferênciade transferência
No que segui, será mostrado como obter a função de
transferência de um sistema mono variáveis a partir das
equações de estado.
Considere o sistema cuja função de transferência e da
forma:
=
Y( s )
G( s )
U( s )

O diagrama de bloco para o exemplo 1 se mostra na Fig.
4.
Fig. 4

Transformando por Laplace à forma padronizada (23) tem-se:
(25)
Já que a FT define-se para condições iniciais zero se tem que x(0)
= 0, então fica:
(26)
Ou seja:
(27)

Deve ter-se presente que a notação é matricial e portanto a
manipulação das equações anteriores deve fazer-se aplicando
o álgebra matricial.
Premultiplicando (27) por à esquerda por (sI-A)-1
tem-se:
(28)
Substituindo (28) em segunda equação de (6.25) fica:
(29)

Portanto a função de transferência é:
(30)
Observe-se que o segundo membro de (6.30) envolve (sI-A)-1
.
Então a equação pode escrever-se com:
(31)
Onde Q(s) é um polinômio em s e sI-A= determinante de SI-A.
Então |sI-A| = 0 é o polinômio característico do sistema.

Ou seja-se, os autovalores de A o raízes de |sI-A|=0 são os pólos de
G(s), ou seja do sistema.
Consideremos de novo o sistema do exemplo 1.
Nesta caso, substituindo os valores de A, B, C, e D dado em (24)
em (30) tem-se:

Posto que:

Tem-se:
Os alunos devem verificar este resultado diretamente da equação
diferencial (16)

Matriz de transferênciaMatriz de transferência
A matriz de transferência G(s) relaciona a saída Y(s)
com a entrada U(s), portanto:
(32)

Representação no espaço de estado de sistemasRepresentação no espaço de estado de sistemas
com derivadas na excitaçãocom derivadas na excitação
Seja o sistema linear de orem n com derivadas na
excitação cujo modelo matemático é a equação
diferencial seguinte:
(33)
Então o conjunto das variáveis: não se
qualifica como variáveis de estado, e o método direto
empregado ao principio desta aula não pode ser usado.
Isto é porque as n equações diferenciais de primeira
ordem:

Onde y = x1, não podem conduzir a uma solução única.
O problema radica na presencia de derivadas no sinal de
excitação na segundo membro de (33).

Um modo de resolver o problema é definir as variáveis de estado
como segui:
(34)
Onde os β0, β1, . . . , βn se calculam a partir de:

(35)

Então, agora as equações de estado são:
(36)

Em notação matricial tem-se:
(37)

Ou:
(38)
Onde:
(39)

Nesta representação em variáveis de estado as matrizes A e C são as
mesmas que no caso anterior, somente troca a matriz B.
A função de transferência do sistema (33) se torna:
(40)
Uma realização das equações (36 ) – (38) se mostra no seguinte
diagrama de bloco:

Fig. 5

Transformação no espaço de estado paraTransformação no espaço de estado para
função de transferência e vice-versa comfunção de transferência e vice-versa com
MatLabMatLab
MatLab permite, dada a FT de um sistema,
encontrar as variáveis e eqs. de estado. Assim:
>>[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
>>[num,den]=ss2tf(A,B,C,D, iu)
O argumento iu deve ser especificado para
sistemas multvariaveis, por exemplo se o sistema
tem três entradas u1, u2, u3, então se iu = 1 u=u1,
se iu = 2 u = u2 e assim sucessivamente. Por
defeito se não se coloca iu se consideira ao
sistema de uma só entrada.

Exemplos de sistema elétricosExemplos de sistema elétricos
Exemplo 2: Variáveis e equações de estado para o circuito
elétrico serie RLC.
Seja o circuito elétrico mostrado na Fig. 6.
Fig. 6

Em circuitos elétricos se acostuma a selecionar as
variáveis de estado como as correntes no indutores e os
voltagem os capacitores.
Plantando as equações de voltagem de Kirchhof no
circuito e o voltagem no capacitor tem-se:
Ou seja:

Então se definem como variáveis de estado:
Voltagem no capacitor C
Corrente no indutor L dividido por C
As equações de estado são:
E a equação de saída é:

Exemplo de sistema mecânicoExemplo de sistema mecânico
Exemplo 3: Modelo de estado do pendulo invertido mostrado a
seguir:
Só considera-se o caso de dois dimensões.

Neste caso trata se de um carrinho que se move em dois
dimensões com um pendulo invertido e se pretende
controlar o movimento do carrinho de modo que o
pendulo se mantenha com uma inclinação dada.
A notação fica clara na figura anterior.
O modelo deste sistema mecânico se mostra no Exemplo
3-4 do livro de texto (Ogata, K. pag. 71 e seguintes) e
dado por:

(a)
(b)
Se consideramos que a massa m do pendulo está
concentrada no centro de gravidade do mesmo, seu
momento angular de inércia I é praticamente zero,
portanto, fazendo I = 0 a equação (b) torna se:
(c)

As equações (a) e (c) definem o modelo do pendulo no
plano.
Eliminando de (a) e (c) temos:
(d)
Eliminando de (a) e (c) temos:
(e)
Então o modelo do pendulo fica dado por (d) e (e).
x&&
θ&&

Antes de encontrar o modelo de estado vejamos que o sistema em
malha aberta é instável.
Em efeito, a função de transferência do sistema é:
G(s) = (f)
Vemos que apresenta dois raízes sobre o eixo jw.
Considerando M = 2 kg, m = 0.1 kg, l = 0.5 m, g = 9.81 m/seg2
Temos:
= =
× − + × −2 2
1 1
G( s )
2 0,5s ( 2 0,5 ) 9.81 s 24,5

Em efeito, o sistema apresenta raízes em ±j4,95.
Agora definamos as variáveis de estado a partir do sistema (d) e (e);
assim temos:
(g)
Definindo a posição angular θ do pendulo e o deslocamento x do
carrinho como variáveis de saída temos:

(h)
Então, tendo em conta as equações (d) e (e) e as definições
(f) temos as equações de estado seguintes:
(i)

Em notação matricial (i) torna-se como segui:

Substituindo os valores numéricos deste casso temos:
E finalmente temos:
Onde:

Simulação do sistema:
Neste caso a simulação se fará em laço aberto porque ainda no
teremos o controle do processo em malha fechada; mas acontece
que nestas condições o processo do pendulo se torna instável;
então se precisa fazer a simulação como se mostra seguir:
Terminator
Switch 1
State-Space
x' = Ax+Bu
y = Cx+Du Scope
Constant 1
pi /2
Constant
0

Induzindo as matrizes no workspace de matlab:
>> A = [0 1 0 0; 20.6 0 0 0; 0 0 0 1; -0.4905 0 0 0];
>> B = [0 -1 0 0.5]’;
>> C = [1 0 0 0; 0 0 1 0];
>> D = [0 0]’;
O sinal de entrada se coloca em 0 porque queremos simular a
resposta ao condição inicial.
O sistema baseado em um switch que se utiliza para simular as
condições reais do pendulo.
A resposta a uma condições inicial de 0.1 rad no ângulo de pendulo
e deslocamento zero (0) do carrinho se mostra a seguir:

ExercíciosExercícios
1.Dadas as seguintes FT encontrar a representa em VE
do sistema.
2.Encontrar as FT dos sistemas lineares cujas
representações em VE são as seguintes:
( )( )
1008017
1005010
)()
243512
10
)()
91
9
)()
23
2
23
+++
++
=
+++
=
++
=
sss
ss
sGc
sss
sGb
ss
sGa

ExercíciosExercícios
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]u
x
x
yu
x
x
x
x
c
u
x
x
x
yu
x
x
x
x
x
x
b
u
x
x
yu
x
x
x
x
a
001;
10
2
84
10
)
0001;
1
0
0
1051
100
010
3
)
001;
1
0
52
10
)
2
1
2
1
2
1
3
2
1
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
+





=





+





⋅





−−
=





+








=










+










⋅










−−−
=










+





=





+





⋅





−−
=





&
&
&
&
&
&
&

CONCLUSÕESCONCLUSÕES
Os conceitos de estado e vaiáveis de estado, do ponto de
vista matemático não são conceitos novos, conhecem-se
faze muito tempo com o nome de normalização da
equação diferencial do sistema.
Entretanto, o conceito, foi amplamente desenvolvido em
introduzido como ferramenta matemática para o análise e
desenho de sistemas de controle pelo Kallman, Newman,
Iserman e outros, dando lugar assim ao que chamou
desde mediados do século passado a teoria moderna do
controle, fundamentada em um análise no domínio
temporário.

CONCLUÇÕESCONCLUÇÕES
Modernamente o conceito foi amplamente desenvolvido e
continua sendo a base do modelado no domino temporário
dos sistemas de controle lineares e não lineares,
invariantes e variante no tempo.
Uma extensão dessa teoria é a conhecida atualmente como
teoria do controle robusto, a qual é a verdadeira teoria do
controle robusto atualmente.

BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA
Ogata, K.; Engenharia de Controle Moderna. 4ª Edição,
Cap. 3.

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