Estudos de Controle - Aula 4: Modelagem (2)
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O documento discute diferentes tipos de controladores automáticos, incluindo controladores de duas posições (on-off), proporcional, integral, proporcional-integral, proporcional-derivativo e proporcional-integral-derivativo. Também aborda a modelagem de sistemas de controle através de diagramas de blocos e a análise da resposta a distúrbios em malha fechada.
Estudos de Controle - Aula 4: Modelagem (2)
- 1. Estudos de Controle – Modelagem (2) 1
- 2. Controladores Automáticos • Compara o valor real de saída da planta com a entrada de referência. • Produz sinal de controle que reduz o desvio. • Ação de controle é a maneira pela qual isso é feito. • Tipos: • Duas posições (on-off) • Proporcional • Integral • Proporcional-integral • Proporcional-derivativo • Proporcional-integral-derivativo 2
- 3. Duas posições (on-off) • O elemento atuante tem somente duas posições fixas. • Simples e barato. • Seja u(t) o sinal de saída do controlador e e(t) o sinal de erro atuante: 𝑢 𝑡 = 𝑈1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒 𝑡 > 0 𝑈2, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒 𝑡 < 0 onde 𝑈1 e 𝑈2 são constantes. 3
- 4. Duas posições (on-off) • Intervalo diferencial é o intervalo no qual o sinal de erro atuante deve variar antes de ocorrer a comutação. • Relacionado com a vida útil dos componentes. 4
- 6. Proporcional • Seja u(t) o sinal de saída do controlador e e(t) o sinal de erro atuante: 𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 𝑜𝑢 𝑈(𝑠) 𝐸(𝑠) = 𝐾 𝑝 onde 𝐾𝑝 é o ganho proporcional. 6
- 7. Integral • O valor da saída u(t) é modificado a uma taxa de variação proporcional ao sinal de erro atuante e(t). 𝑢 𝑡 = 𝐾𝑖 𝑒 𝑡 𝑡 0 𝑑𝑡 𝑜𝑢 𝑈(𝑠) 𝐸(𝑠) = 𝐾𝑖 𝑠 onde 𝐾𝑖 é o ganho integral. 7
- 8. Proporcional-integral • Propriedades do controle proporcional e integral. 𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 + 𝐾𝑝 𝑇𝑖 𝑒 𝑡 𝑡 0 𝑑𝑡 𝑜𝑢 𝑈(𝑠) 𝐸(𝑠) = 𝐾𝑝 1 + 1 𝑇𝑖 𝑠 onde 𝑇𝑖 é o tempo integrativo. 8
- 9. Proporcional-derivativo 𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 + 𝐾𝑝 𝑇𝑑 𝑑𝑒(𝑡) 𝑑𝑡 𝑜𝑢 𝑈(𝑠) 𝐸(𝑠) = 𝐾𝑝 1 + 𝑇𝑑 𝑠 onde 𝑇𝑑 é o tempo derivativo. 9
- 10. Proporcional-integral- derivativo • Tem as vantagens individuais de cada uma das três ações de controle 𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 + 𝐾𝑝 𝑇𝑖 𝑒 𝑡 𝑡 0 𝑑𝑡 +𝐾𝑝 𝑇𝑑 𝑑𝑒(𝑡) 𝑑𝑡 𝑜𝑢 𝑈(𝑠) 𝐸(𝑠) = 𝐾𝑝 1 + 1 𝑇𝑖 𝑠 + 𝑇𝑑 𝑠 10
- 11. Distúrbios em malha fechada • Como é um sistema linear, as entradas podem ser tratadas independentemente. Considerando 𝐶 𝐷 𝑠 a resposta somente ao distúrbio: 𝐶 𝐷(𝑠) 𝐷(𝑠) = 𝐺2(𝑠) 1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠) • E 𝐶 𝑅 𝑠 a resposta somente à entrada ao sistema: 𝐶 𝑅(𝑠) 𝐷(𝑠) = 𝐺1 𝑠 𝐺2(𝑠) 1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠) 11
- 12. Distúrbios em malha fechada • A resposta à aplicação simultânea das duas entradas pode ser obtida somando as respostas individuais: 𝐶 𝑠 = 𝐶 𝑅 𝑠 + 𝐶 𝐷 𝑠 𝐶(𝑠) = 𝐺2 𝑠 1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻 𝑠 (𝐺1 𝑠 𝑅 𝑠 + 𝐷(𝑠)) 12
- 13. Distúrbios em malha fechada • Reescrevendo a equação: 𝐶 𝐷(𝑠) 𝐷(𝑠) = 𝐺2(𝑠) 1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠) 𝐶 𝐷(𝑠) 𝐷(𝑠) = 1 𝐺1 𝑠 𝐻(𝑠) 1 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠) + 1 • Se 𝐺1 𝑠 𝐻 𝑠 ≫ 1 e |𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻 𝑠 | ≫ 1 o efeito do distúrbio é suprimido. 13
- 14. Distúrbios em malha fechada • Reescrevendo a equação: 𝐶 𝑅(𝑠) 𝐷(𝑠) = 𝐺1 𝑠 𝐺2(𝑠) 1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠) 𝐶 𝑅(𝑠) 𝐷(𝑠) = 1 𝐻(𝑠) 1 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠) + 1 • Se |𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻 𝑠 | ≫ 1 então a função de transferência é inversamente proporcional a H(s) e independe de 𝐺1(𝑠) e 𝐺2(𝑠). 14
- 15. Construção de diagramas de bloco • Descrever as equações que descrevem o comportamento dinâmico de cada componente. • Obter a transformada de Laplace dessas equações, admitindo as condições iniciais como nulas. • Representar individualmente cada transformada em um bloco. • Agrupar os elementos. 15
- 16. Construção de diagramas de bloco • Exemplo: circuito RC. • Equações do circuito: 𝑖 = 𝑒 𝑖−𝑒0 𝑅 e 𝑒0 = 𝑖𝑑𝑡 𝐶 • Transformada de Laplace: 𝐼 𝑠 = 𝐸 𝑖 𝑠 −𝐸0(𝑠) 𝑅 e 𝐸0 𝑠 = 𝐼(𝑠) 𝐶𝑠 16
- 17. Construção de diagramas de bloco • Exemplo: circuito RC • Diagrama de blocos de cada transformada: • Agrupado: 17
- 18. Redução do diagrama de blocos • Podem ser conectados em série. • Podem ser substituídos por um único bloco, cuja função de transferência é o produto das funções de transferência individuais. • Exemplo: circuito RC. 18 1 𝑅𝐶𝑠
- 19. Redução do diagrama de blocos • Simplificação facilita a análise posterior: • O produto das funções de transferência no sentido da ação deve permanecer o mesmo. • O produto das funções de transferência ao redor da malha deve permanecer o mesmo. • Exemplo: 19
- 20. Redução do diagrama de blocos • Exemplo: • G1: • Realimentação H1: 20
- 21. Redução do diagrama de blocos • G3: • Realimentação: 21