Estudos de Controle - Aula 3: Modelagem (1)
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O documento discute modelos matemáticos para sistemas dinâmicos, incluindo sistemas lineares e não lineares. Ele também explica funções de transferência, que caracterizam as relações de entrada e saída de sistemas lineares invariantes no tempo, e como elas podem ser usadas para análise e projeto desses sistemas. Diagramas de blocos são apresentados como uma forma de representar funções de transferência.
Estudos de Controle - Aula 3: Modelagem (1)
- 1. Estudos de Controle – Modelagem (1) 1
- 2. Modelos Matemáticos • Modelagem matemática de sistemas dinâmicos: • Analisar características dinâmicas. • São conjuntos de equações que representam com precisão ou razoavelmente bem a dinâmica do sistema. • Não é único. Geralmente utilizam-se equações diferenciais. • É considerada a parte mais importante da análise de sistemas de controle. 2
- 3. Propriedades • Sistemas lineares: • Definição: um sistema é dito linear se o princípio da superposição se aplicar a ele. Ou seja, a resposta produzida pela aplicação simultânea de duas funções diversas é a soma das duas respostas individuais. • Nesses sistemas, a resposta para cada entrada pode ser calculada tratando uma de cada vez e somando o resultado. • Geralmente, se causa e efeito são proporcionais, o sistema é linear. 3
- 4. Propriedades • Sistemas lineares invariantes no tempo: • Os sistemas dinâmicos cujos coeficientes das equações diferenciais são constantes são chamados de sistemas lineares invariantes no tempo. • Exemplo: termostato. • Sistemas lineares variantes no tempo: • São os sistemas cujos coeficientes das equações diferenciais variam no tempo. • Exemplo: veículo espacial (massa). 4
- 5. Função de transferência • Caracterizam as relações de entrada e saída dos sistemas. • Geralmente escritas por equações diferenciais lineares invariantes no tempo. • Definição: relação entre a transformada de Laplace da saída (função de resposta) e a transformada de Laplace da entrada (função de excitação), admitindo-se as condições iniciais nulas. 5
- 6. Função de transferência • Dada a equação diferencial de um sistema linear invariante no tempo: 𝑎0 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑡 𝑛 + 𝑎1 𝑑 𝑛−1 𝑦 𝑑𝑡 𝑛−1 + … + 𝑎 𝑛−1 𝑑𝑦 𝑑𝑡 + 𝑎 𝑛 𝑦 = 𝑏0 𝑑 𝑚 𝑥 𝑑𝑡 𝑚 + 𝑏1 𝑑 𝑚−1 𝑥 𝑑𝑡 𝑚−1 + ⋯ + 𝑏 𝑚−1 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝑏 𝑚 𝑥 onde 𝑛 ≥ 𝑚, y é a saída do sistema e x é a entrada. Então, a função de transferência é 𝐺 𝑠 = 𝑌(𝑠) 𝑋(𝑠) = 𝑏0 𝑠 𝑚 + 𝑏1 𝑠 𝑚−1 + ⋯ 𝑏 𝑚−1 𝑠 + 𝑏 𝑚 𝑎0 𝑠 𝑛 + 𝑎1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ 𝑎 𝑛−1 𝑠 + 𝑎 𝑛 6
- 7. Função de transferência • Muito utilizada na análise e projeto de sistemas lineares invariantes no tempo. • É um método operacional para expressar a equação diferencial que relaciona a variável de saída à variável de entrada. • É uma propriedade inerente ao sistema, independentemente da magnitude e da natureza da função de entrada. • Não fornece nenhuma informação relativa à estrutura física do sistema. 7
- 8. Função de transferência • Permite estudar a saída do sistema para várias maneiras de entrada, fornecendo informações da natureza do sistema. • Se a função de transferência não é conhecida, ela pode ser determinada experimentalmente com o auxílio de entradas conhecidas e análise das respectivas respostas do sistema. 8
- 9. Função de transferência • Exemplo: • Sistema de controle de posição de um satélite, considerando apenas um eixo. Dois jatos localizados em A e B aplicam força de reação para girar o corpo, com empuxo igual a 𝐹 2 e o torque resultante seja T=Fl. 9
- 10. Função de transferência • Exemplo: • Como os jatos são aplicados por um certo tempo, o torque é uma função do tempo 𝑇 𝑡 . • O momento de inércia em relação ao eixo de rotação no centro da massa é J. • Obtenha a função de transferência admitindo que a entrada é o torque 𝑇 𝑡 e o deslocamento angular 𝜃(𝑡) é a saída. 10
- 11. Função de transferência • Exemplo: • Aplicando a segunda lei de Newton: 𝑇 𝑡 = 𝐽 𝑑2 𝜃(𝑡) 𝑑𝑡2 • Transformada de Laplace: 𝑇 𝑠 = 𝐽𝑠2 𝜃(𝑠) • Função de transferência: 𝐺 𝑠 = 𝜃(𝑠) 𝑇 (𝑠) = 1 𝐽𝑠2 11
- 12. Função de transferência • Integral de Convolução • Dada a função de transferência, podemos escrevê-la também da seguinte forma 𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 𝑋(𝑠) • Que equivale no domínio do tempo a integral de convolução 𝑦 𝑡 = 𝑔 𝑡 − 𝜏 𝑥 𝜏 𝑑𝜏 𝑡 0 12
- 13. Função de transferência • Função de resposta impulsiva: • A saída de um sistema a um impulso unitário com condições iniciais nula é dado por 𝑌 𝑠 = 𝐺(𝑠) • No domínio do tempo g(t) é chamada de função de resposta impulsiva, que também é chamada de função característica do sistema. • Logo, é possível obter informações sobre as características dinâmicas do sistema por meio da excitação por um impulso de entrada. 13
- 14. Função de transferência • Diagrama de blocos: • Representação gráfica das funções desempenhadas por cada componente e o fluxo de sinais entre eles. • Blocos funcionais – símbolo da operação matemática aplicada ao sinal de entrada do bloco, produzindo uma saída. • Somador e ponto de ramificação. 14 G(s)
- 15. Função de transferência • Diagrama de blocos de um sistema de malha fechada: • Quando a saída é realimentada para comparação com a entrada, é necessário converter a forma do sinal de saída à do sinal de entrada. • Elemento de realimentação, cuja função de transferência é H(s). 15
- 16. Função de transferência • Função de transferência de malha aberta: • Relação entre o sinal de realimentação e o sinal de erro atuante. 𝐵(𝑠) 𝐸(𝑠) = 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠) • Função de transferência do ramo direto: • Relação entre o sinal de saída e o sinal de erro atuante. 𝐶(𝑠) 𝐸(𝑠) = 𝐺 𝑠 16
- 17. Função de transferência • Malha fechada • Relaciona o sinal de saída e o sinal de entrada. 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝐺(𝑠) 1 + 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠) 17